FNM UM, Oddelek za matematiko in računalništvo

(1)

1. delni test pri predmetu Analiza IV 18. 11. 2019

Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon. Piši čitljivo, vse odgovore natančno utemelji in jih nedvoumno podaj. Dovoljena sta največ dva A4 lista s formulami in priročnik, rešene naloge so prepovedane. Čas reševanja je120 minut.

1. [25] Naj bo a >0. Izračunaj ploščino območja, ki ga omejuje krivuljaKz enačbo (x²+y²)(y²+x(x+a)) = 4axy².

Krivuljo Ktudi skiciraj.

(2)

2. [25] V sfernih koordinatah je podan trojni integral I =

Z 2π

0

dϕ Z ^π₂

π 6

dθ Z 2

1 2 sinθ

cosθdr.

(a) Skiciraj integracijsko območje v kartezičnih koordinatah in trojni integral I zapiši v cilindričnih koordinatah.

(b) Izračunaj trojni integral I.

(3)

3. [25] Omejeno teloG leži v polprostoru z ≥0in je določeno z neenačbami x²+y² ≤ R²

4 in x²+y²+z²−4Rz+11

4 R² ≥0.

Izračunaj težišče homogenega telesa G.

(4)

4. [25] Krivulja K je podana kot presek ploskev z enačbama z = 1−x²−y² in z =x².

(a) Skriciraj in parametriziraj krivuljo K.

(b) Poišči vse točkeT na krivuljiK, ki imajo naslednjo lastnost: tangenta v točki T na krivuljo K seka eno od koordinatnih osi.