UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

VESNA NEMET

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Študijski program: Matematika in fizika

KONCEPT ZAPOREDJA SKOZI ZGODOVINO MATEMATIKE

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

prof. dr. Aleksander Malnič Vesna Nemet

Ljubljana, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Aleksandru Malniču za pomoč in strokovne nasvete pri pisanju diplomskega dela. Prav tako se zahvaljujem svoji družini in vsem, ki ste mi kakorkoli pomagali in me spodbujali v času študija.

Prisrčna hvala tudi Srečku in Lini za vso potrpežljivost, pomoč in podporo pri nastajanju tega diplomskega dela.

Povzetek

Osrednji del diplomskega dela je predstavitev začetkov matematike od starih Egip- čanov in Babiloncev do srednjega veka. Osredotočimo se predvsem na problem kon- vergence in neskončne deljivosti dolžin, ki sta v zgodovini matematike predstavljala velik problem. Izpostavimo računanje kvadratnih korenov pri starih Babiloncih, od starogrških matematikov obravnavamo Zenona in njegov paradoks Ahila in želve, iz srednjega veka pa Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste. Zaradi lažjega razumevanja obravnavanih problemov, uvodu sledi poglavje o zaporedjih in vrstah.

Za konec si pogledamo še moderni koncept zaporedij ter konvergence v metričnih prostorih.

Ključne besede:

zaporedja, vrste, konvergenca, babilonska matematika, zgodovina matematike, Ze- nonovi paradoksi, Oresmejev dokaz, metrični prostori

Abstract

The main part of this thesis presents the beginnings of mathematics from the periods of Ancient Egypt and Babylon to the Middle Ages. It mainly focuses on the issue of convergence and infinite divisibility of lengths, which were important problems in the history of mathematics. It addresses Babylonian square root calculations, Zeno’s paradox of the tortoise and Achilles in Greek mathematics, and Oresme’s proof of the divergence of the harmonic series. The introductory part is followed by a chapter discussing sequences and series for better understanding of the problems. The final part of the thesis touches on the modern concept of sequence and convergence in metric spaces.

Keywords:

sequences, series, convergence, Babylonian mathematics, history of mathematics, Zeno’s Paradoxes, Oresme’s proof, metric spaces

Kazalo

1 Uvod 7

2 Številska zaporedja in vrste 8

2.1 Zaporedja . . . 8

2.2 Vrste . . . 13

3 Zaporedja skozi zgodovino 17 3.1 Egipt in Mezopotamija . . . 17

3.1.1 Stari Egipčani . . . 20

3.1.2 Stari Babilonci . . . 21

3.1.3 Babilonski približek za √ 2 . . . 23

3.2 Grčija . . . 26

3.2.1 Zenonov paradoks: Ahil in želva . . . 29

3.3 Srednji vek . . . 32

3.3.1 Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste . . . 33

4 Moderni pristop 35 4.1 Metrični prostori . . . 35

4.1.1 Poln metrični prostor . . . 37

4.2 Augustin Louis Cauchy . . . 39

Literatura 40

Slike

3.1 Mezopotamija . . . 18

3.2 Tablica Plimpton 322 . . . 19

3.3 Babilonska števila do 59 . . . 22

3.4 Tablica YBC 7289 . . . 23

3.5 Grške številke (vir [8]) . . . 26

3.6 Ahil in želva . . . 29

3.7 Razdalja v primerjavi s časom med Ahilom in želvo . . . 30

Poglavje 1 Uvod

V tem diplomskem delu bomo predstavili razvoj pojmovanja zaporedij skozi tisočle- tja, vse od starega Egipta in Mezopotamije do srednjega veka in modernega razume- vanja tega pojma. Koncept zaporedja ima v zgodovini matematike velik pomen. Na pojem številskega zaporedja naletimo že pri sistematičnem zapisu števil, zato bomo v delu na kratko predstavili egipčanski in babilonski zapis števil ter izpostavili njuno razliko.

Namen tega diplomskega dela ni, da bi predstavili celotno zgodovino matematike, saj je le-ta preobsežna. Naš namen je bralcu podati jasnejšo sliko o razvoju koncepta zaporedij, zato se bomo na kratko sprehodili čez zgodnja zgodovinska obdobja in izpostavili nekaj zanimivih primerov, ki so podali pomembne smernice v razvoju matematike. Pokazali bomo, na kakšen način so Babilonci računali zelo natančne približke za kvadratne korene, izpostavili grški problem pojmovanja neskončnosti, razrešili Zenonov paradoks neskončne deljivosti dolžin in predstavili Oresmejev do- kaz za divergenco harmonične vrste. Pri tem nas bo zanimala predvsem kovergenca zaporedij in neskončnih vrst. Zato uvodu sledi poglavje o zaporedjih in vrstah.

Ker je predmet diplomskega dela bolj zgodovinske narave in ker začnemo na začetku zgodovinskega razvoja matematike, je umestno predstaviti tudi osnovne definicije aritmetičnega in geometrijskega zaporedja, ki ju omenjamo skozi celotno jedro di- plomskega dela. V zadnjem poglavju pa si bomo pogledali še moderno definicijo zaporedja ter konvergence v metričnih prostorih.

Poglavje 2

Številska zaporedja in vrste

2.1 Zaporedja

Ohlapno rečeno je zaporedje števen nabor elementov iz kake množice, po navadi števil, kjer je prvi element označen z a₁, drugi z a₂, tretji z a₃ in tako naprej.

Posameznim elementoma₁, a₂, a₃, a₄, . . .pravimo členi zaporedja,a₁ je začetni člen, a_npan-ti alisplošni členzaporedja. Zaporedje na kratko označimo tudi kot(a_n)_n∈N. Definicija 2.1. Zaporedjev neprazni množiciM je funkcijaa:N→M, ki vsakemu naravnemu številun priredi natanko določen element iz M.

a:n7→a_n.

Zaporedje lahko podamo na več načinov. Lahko ga podamo z eksplicitnim funk- cijskim zapisom a_n = f(n), včasih tudi z rekurzivno formulo, to je s »pravilom«, s katerim je vsak naslednji člen zaporedja določen iz prejšnjih. Vendar se vseh zaporedij ne da podati na tak način.

Primer 2.2.

1. Zaporedje naravnih števil a_n=n:

1,2,3,4,5, . . . .

2. Zaporedje obratnih vrednosti naravnih števila_n= ¹_n: 1,1

2,1 3,1

4,1 5, . . . . 3. Izmenično ali alternirajoče zaporedje a_n = (−1)ⁿ:

−1,1,−1,1,−1,1,−1, . . . .

4. Konstantno zaporedje 1, to je a_n= 1:

1,1,1, . . . ,1, . . . .

5. Zelo znano je tudi Fibonaccijevo zaporedje, ki ga je italijanski matematik Leo- nardo Fibonacci leta 1202 uporabil za proučevanje populacije zajcev, v katerem je vsak člen od tretjega naprej vsota prejšnjih dveh. Zaporedje podamo z rekurzivno formulo:

a₁ =a₂ = 1, a_n+2 =a_n+a_n+1. Iz tega dobimo člene zaporedja:

1,1,2,3,5,8,13, . . . .

Zaradi nadaljnje obravnave nekaterih znamenitih problemov v zgodovini matema- tike, si posebej poglejmo definiciji in nekatere lastnosti aritmetičnega ter geometrij- skega zaporedja.

Definicija 2.3. Zaporedje realnih števil je aritmetično, če je razlika med dvema zaporednima členoma konstantna:

an+1−an=d.

Zd označimo diferenco oziromarazliko zaporedja. Če enakosti a₂−a₁ =d

a₃−a₂ =d

· · · · a_n−a_n−1 =d

seštejemo, lahko splošni člen aritmetičnega zaporedja zapišemo eksplicitno:

a_n=a₁+ (n−1)d.

Naraščanje oziroma padanje aritmetičnega zaporedja je odvisno od predznaka di- ference. Za d > 0 je zaporedje naraščajoče, za d < 0 padajoče, za d = 0 pa je konstantno.

Oglejmo si tri zaporedne člene aritmetičnega zaporedja, a_n−1 =a₁+ (n−2)d

a_n=a₁+ (n−1)d a_n+1 =a₁+nd.

Takoj sledi:

a_n−1+a_n+1 = 2a₁+ 2nd−2d= 2(a₁+ (n−1)d) = 2a_n, se pravi:

a_n = a_n−1+a_n+1

2 .

Torej je vsak člen aritmetičnega zaporedja enak aritmetični sredini sosednjih dveh členov. Od tod izhaja tudi ime za zaporedje.

Definicija 2.4. Zaporedje realnih števil je geometrijsko, če je kvocient med dvema zaporednima členoma konstanten.

a_n+1 a_n =q Tu seveda predpostavljamo, da jea₁ ̸= 0 inq ̸= 0.

Sq označimo količnik oziromakvocient dveh zaporednih členov zaporedja.

Če enakosti

a2

a₁ =q a₃ a₂ =q

· · · · a_n a_n−1 =q

zmnožimo, dobimo, da je splošni člen geometrijskega zaporedja enak:

a_n=a₁qⁿ⁻¹.

Naraščanje, oziroma padanje geometrijskega zaporedja je odvisno od količnika q (natančneje od tega, ali je

q >1, q = 1, 0< q <1,

−1< q <0, q =−1, q <−1)

in predznaka prvega členaa₁. V nekaterih primerih ni niti naraščajoče niti padajoče.

Če si pogledamo produkt treh zaporednih členov geometrijskega zaporedja, a_n=a₁qⁿ⁻¹

an−1 =a1qⁿ⁻² a_n+1 =a₁qⁿ,

ugotovimo, da je kvadrat vsakega členaa_nzan ≥2, geometrijskega zaporedja enak produktu sosednjih dveh členov:

a_n−1a_n+1=a²₁q²ⁿ⁻² =a²_n a²_n=a_n−1a_n+1.

Vsak člen an za n ≥ 2, geometrijskega zaporedja je enak geometrijski sredini sose- dnjih dveh členov, (v primeru, ko so členi zaporedja pozitivni). Od tod tudi ime za geometrijsko zaporedje.

Definicija 2.5. Zaporedje realnih števil (a_n)_n∈N se imenuje Cauchyjevo, če se od nekega člena dalje vsaka dva razlikujeta za tako malo, kot želimo. Natančneje, če za vsakε >0 obstaja tako naravno število n(ε), da velja

m, n > n(ε)⇒ |a_m−a_n|< ε.

Primer 2.6. Zaporedje decimalnih približkov poljubnega realnega števila x je za- gotovo Cauchyjevo. Vzamemo ε = 10^−r in podamo n(ε) = r. Potem se vsaka dva približka, ki sta podana na vsaj r decimalnih mest natančno, razlikujeta za manj kot 10^−r.

Definicija 2.7. Limita nekega zaporedja (a_n)_n∈N je tako realno število l, da so v vsaki njeni ε-okolici vsi členi zaporedja razen končno mnogih. Natančneje, za vsak ε >0 obstaja tak n(ε), da za vsen > n(ε)velja |a_n−l|< ε.

Definicija 2.8. Zaporedju, ki ima limito, rečemo konvergentno zaporedje. Limito zaporedja (an)n∈N označimo z:

nlim→∞a_n.

Za zaporedje(an)n∈N, ki ima limitol, rečemo tudi, da konvergira k l.

Izrek 2.9. Vsako konvergentno zaporedje je Cauchyjevo.

Dokaz. Naj bo (a_n)_n∈N konvergentno zaporedje z limito l.

Predpišemo ε >0. Potem obstaja n(^ε₂), da za vsen > n(₂^ε)velja

|a_n−l|< ε 2. Poglejmo si m, n > n(^ε₂). Potem je

|a_n−l|< ε

2 in |a_m−l|< ε 2. Sledi

|a_m−l|=|(a_m−l) + (l−a_n)|<|a_m−l|+|a_n−l|< ε 2+ ε

2 =ε.

Zaporedje je torej Cauchyjevo.

Za realna števila velja tudi obrat izreka 2.9, kar pomeni, da so konvergentna zaporedja natanko Cauchyjeva. To je pomembno za samo testiranje, ali dano zapo- redje konvergira ali ne, saj v Cauchyjevem testu samem limita ne nastopa. Če pa se omejimo na, recimo, zgolj racionalna števila, obrat izreka 2.9 ne velja. Obsta- jajo namreč zaporedja racionalnih števil, ki konvergirajo k realnemu številu, ki ni racionalno.

2.2 Vrste

Ohlapno rečeno ještevilska vrsta »neskončna vsota« realnih števil.

∑∞ n=1

an =a1+a2+a3+. . .+an+· · ·

Ob tem se naravno zastavi vprašanje, ali taka neskončna vrsta sploh obstaja, sešte- jemo lahko namreč le končno mnogo členov. Če jo želimo sešteti, vzamemo zaporedje a₁, a₂, a₃, . . . , a_n, . . . členov dane vrste in iz njega tvorimo zaporedje

s₁ =a₁ s2 =a1+a2

s₃ =a₁+a₂+a₃ . . . .

sn =a1+a2+. . .+an

. . . .

Zaporedjus₁, s₂, s₃, . . . , s_n, . . . pravimo zaporedje delnih vsotvrste ∑_∞

n=1a_n.

Definicija 2.10. Če zaporedje delnih vsot (s_n)_n∈N, konvergira k limiti s, pravimo, da vrsta ∑_∞

n=1an konvergira. Vsoto vrste definiramo kot limito zaporedja delnih vsot:

∑∞ n=1

a_n=a₁+a₂+a₃+· · ·=s.

Primer 2.11. Vrsta

a+aq+aq²+aq³+· · · ,

se imenujegeometrijska vrsta, ker njeni členi tvorijo geometrijsko zaporedje, če se- veda predpostavljamo, da je a ̸= 0 in q ̸= 0. Če je kvocient q ̸= 1, lahko zapišemo n-to delno vsoto:

s_n=a+aq+aq²+aq³+. . .+aqⁿ⁻¹

=a(1 +q+q²+. . .+qⁿ⁻¹)

=a1−qⁿ 1−q .

• Za |q|<1, je lim_n→∞s_n= ₁₋¹_q in zato

a+aq+aq²+· · ·= a 1−q.

• Za|q|>1, zaporedje qⁿ ne konvergira, torej vrstaa+aq+aq²+· · · divergira.

• Za q= 1 ali q=−1pa vrsta a+aq+aq²+· · · divergira.

Primer 2.12. Poglejmo si vsoto vrste

∑∞ n=1

1 n(n+ 1).

Produkt _k(k+1)¹ lahko razdelimo na parcialna ulomka:

1

k(k+ 1) = (k+ 1)−k k(k+ 1) = 1

k − 1

k+ 1. Zan-to delno vsoto velja:

s_n = 1

1·2 + 1

2·3+ 1

3·4 +. . .+ 1

(n−1)n + 1 n(n+ 1)

= 1− 1 2 +1

2 −1 3 +1

3 −. . .+ 1

n−1 − 1 n + 1

n − 1

n+ 1

= 1− 1 n+ 1. Vidimo, da je

nlim→∞s_n= 1.

Torej vrsta konvergira proti 1 in tudi vsota te vrste je enaka 1.

Računanje vsot ni lahko, včasih jo je nemogoče določiti, ker ne znamo eksplicitno izračunati splošnega člena zaporedja delnih vsot. Včasih je dovolj zgolj vedeti, ali vsota sploh obstaja, ne da bi poznali njeno vrednost. Tu nam lahko pomaga dejstvo, da je zaporedje konvergentno natanko takrat, ko je Cauchyjevo, kar lahko prenesemo na test za konvergenco vrste.

Poglejmo si torej, kdaj je vrsta konvergentna po Cauchyevem kriteriju.

Izrek 2.13 (Cauchyjev kriterij). Vrsta realnih števil a₁+a₂+a₃+· · ·+a_k+· · ·

je konvergentna natanko takrat, ko za vsak ε >0 obstaja tako naravno število n(ε), da za vsak m > n(ε) in za vsako naravno število p velja:

|am+1+· · ·+am+p|< ε.

Dokaz. Zaporedje delnih vsot (s_n)_n∈N, je konvergentno, natanko takrat, ko je Ca- uchyjevo. To je, ko za vsak ε > 0 obstaja tak n(ε), da za m > n(ε) in p ∈ N velja

|sm+p−sm|< ε.

Iz enakosti

sm+p−sm =am+1+· · ·+am+p

neposredno sledi trditev izreka.

Posledica 2.14. Če je vrsta ∑_∞

k=1a_k konvergentna, velja

klim→∞a_k = 0.

Dokaz. Dokaz sledi neposredno iz prejšnjega izreka. Za vsak ε > 0 obstaja tako naravno številon(ε)da za vse m in p= 1 velja

|a_m+1|< ε.

Torej zaporedje(an)n∈N res konvergira k 0.

Vrsta, katere členi ne konvergirajo k 0, divergira. Seveda pa konvergenca členov vrste k 0 še ni zadostni pogoj za konvergenco vrste.

Konvergenco vrst ugotavljamo s pomočjo kriterijev za ugotavljanje konvergentnosti.

Eden pomembnejših je primerjalni kriterij, ki ga bomo rabili pozneje v poglavju 3.3.1, pri Oresmejevem dokazu divergence harmonične vrste. Primerjalni kriterij ponavadi uporabljamo takrat, ko neko vrsto primerjamo z že znano vrsto.

Izrek 2.15 (Primerjalni kriterij). Naj bo

c₁+c₂+c₃+· · ·

konvergentna vrsta z nenegativnimi členi. Če so členi vrste

a₁+a₂+a₃+· · ·

taki, da za vsak k∈N velja

|a_k| ≤c_k, je tudi vrsta ∑_∞

k=1a_k konvergentna.

Dokaz. Ker je vrsta ∑

c_k konvergentna, obstaja za vsak ε >0tako naravno število n(ε), da za katerikoli n > n(ε)in za vsako naravno število p velja

c_n+1+· · ·+c_n+p < ε.

Za taken in za vse p je torej

|a_n+1+· · ·+a_n+p| ≤ |a_n+1|+· · ·+|a_n+p| ≤

≤c_n+1+· · ·+c_n+p < ε.

Vrsta∑

a_k je po Cauchyjevem izreku konvergentna.

Omenimo tudi naslednje: ni potrebno zahtevati, da za vse člene vrste ∑

ak velja

|a_k|< c_k; dovolj je, da to velja za vse člene od nekega člena naprej.

Poglavje 3

Zaporedja skozi zgodovino

3.1 Egipt in Mezopotamija

Zgodovinski začetki zaporedij segajo v čas starih Egipčanov in Babiloncev, ko so se ob bregovih velikih rek, Nila, Evfrata in Tigrisa, razvile novejše in bolj napredne oblike družbe, ki so se načrtno ukvarjale s pridelovanjem hrane, gradnjo nasipov, jezov in namakalnih sistemov ter razvile dokaj izpopolnjeno intenzivno kmetijstvo.

Tak način življenja je zahteval administracijo vseh vrst, od pobiranja davkov in de- litve hrane, do merjenja parcel in zapisovanja koledarja. Za vse to pa so potrebovali dobro razvito aritmetiko, geometrijo ter astronomijo in seveda, v prvi vrsti, pisavo oziroma znake s katerimi so zapisovali števila in besede.

Lahko bi rekli, da so se prva zaporedja pojavila že z začetkom uporabe prvih števil oziroma z uvedbo prvih številskih sistemov - saj že množici naravnih ali pa racional- nih števil predstavljata zaporedji. Vendar je v času začetkov uporabe prvih števil še nesmiselno govoriti o kakršnihkoli zaporedjih - saj je bilo prvo štetje, v času še pred nastankom velikih civilizacij, zelo omejeno in je le počasi prihajalo v rabo. Poznali so le izraze za eden, dva in mnogo ter jih uporabljali predvsem za potrebe takratne obrti in trgovine, ki je temeljila na lončarstvu, tesarstvu in tkalstvu in ni zahtevala veliko matematične spretnosti. Tako se je tudi pojem števila razvijal zelo počasi.

Poleg tega pa tudi nimamo zanesljivejših zgodovinskih virov, iz časov pred Egipčani in Babilonci, ki bi pričali o naprednejšem razvoju aritmetike in matematike. Zato

lahko začetke aritmetike pripišemo šele Egipčanom in Babiloncem, ki so po priča- njih zgodovinskih virov prvi, ki so uporabljali številske sisteme, s katerimi se je dalo zapisati veliko večja, v babilonskem šestdesetiškem sistemu, celo zelo velika števila.

Na tem mestu povejmo tudi to, da ko bomo v nadaljevanju govorili o Babiloncih, bomo govorili o različnih narodih, ki so v starem veku naseljevali ozemlje Mezopo- tamije oz. njeno osrednje mesto Babilon.

Slika 3.1: Mezopotamija

Če naštejemo nekatere izmed njih, so to bili Sumerci, Akadijci, Elamiti, Amoriti, Kasiti, Hetiti, Asirci, Aramejci, Medijci in drugi narodi, ki so nam svoja odkritja zapustili na glinastih tablicah [6].

Iz časov starega Egipta in Mezopotamije imamo nekoliko več zgodovinskih virov:

na primer najstarejše egipčanske hieroglife s števili, ki izhajajo iz leta 3100 pr.n.št.

ter Rhindov in Moskovski papirus. Prvi je iz leta 1650 pr.n.št in vsebuje prepis 200 let starejšega teksta. Predstavlja učbenik iz aritmetike in geometrije s 85 problemi.

Drugi pa je iz leta 1850 pr.n.št in vsebuje 25 problemov. Ker so Egipčani svoje zapi- ske pisali na papirus, se ti zaradi poplavljajočega Nila večinoma niso ohranili, razen tistih, ki so bili shranjeni v suhih puščavskih predelih. Ohranilo pa se je veliko več babilonskih matematičnih zapisov, ki so bili zapisani na skoraj neuničljive glinaste

tablice. Teh so do polovice 19. stoletja odkopali okrog pol milijona, med njimi pa jih okrog 300 vsebuje matematične tabele in zbirke matematičnih problemov. Najbolj znani sta: tablica YBC 7289, ki je nastala v obdobju od 1800 do 1600 pr.n.št. in predstavlja kvadrat z obema diagonalama ter zelo natančno vrednost kvadratnega korena iz 2. Zapis je seveda v šestdesetiškem sistemu, rezultat pa podaja rešitev na presenetljivih pet decimalk natančno. To tablico si bomo kasneje podrobneje ogle- dali in poskusili razložiti, na kakšen način so Babilonci prišli do takšnega rezultata.

Znana je tudi tablica Plimpton 322, ki vsebuje 15 vrstic klinopisno zapisanih števil v šestdesetiškem številskem sistemu, ki predstavljajo seznam pitagorejskih trojic.

Slika 3.2: Tablica Plimpton 322

3.1.1 Stari Egipčani

Če se vrnemo na egipčansko matematiko, lahko pripomnimo, da je večina matema- tičnih primerov bila zelo preprostih, podanih le z napotki: »Naredi tako in tako, dobiš to.« Največkrat so obsegali enačbe z eno neznanko. Tudi dokazovali niso ni- česar. Zato ne vemo natančno, kako so dobili svoje rezultate in vsi današnji poskusi razlage so še vedno le domneve. Uporabljali so desetiški številski sistem. Števila od 1 do 9 so zapisovali z večkratnim ponavljanjem znaka za število 1. Vsako potenco števila 10 pa so zapisali z novim znakom. Posamezna števila so predstavljali na- slednji znaki: število 1 navpična črta, število 10 volovski jarem, število 100 zvitek, število 1000 lotosov cvet, število 1000 človeški prst, število 100000 žabji paglavec ali žaba in število 1000000 človek ali neko božanstvo [6].

1 =|, 10 = 2, 100 =3, 1 000 = 4, 10 000 = 5, 100 000 =6, 1 000 000 = 7. Teh znakov je bilo le 7, zato je največje število, ki se ga da zapisati z egipčanskimi števili, število 9 999 999. To je tudi pomanjkljivost egipčanskega zapisa števil. Za zapis večjih števil bi morali vpeljati nove znake za višje potence števila 10.

Značilno za Egipčane pa je tudi računanje s tako imenovanimi egipčanskimi ulomki.

To pomeni, da so vse ulomke izrazili kot vsoto ulomkov s števcem 1. Npr. 2/9 = 1/6 + 1/18 ali 2/9 = 1/5 + 1/45. Edina izjema je bil ulomek 2/3, za katerega je obstajal poseben znak. Računanje z egipčanskimi ulomki ni bilo ravno enostavno, zato so si pri tem pomagali s tabelami, ki so podajale razcep ulomkov oblike 2/n.

V Rhindovem papirusu najdemo tabelo razvojev ulomkov oblike 2/n za lihe n v vsoto egipčanskih ulomkov. Tak način računanja z ulomki in zapisovanja števil pa vsekakor ni bil primeren za nadaljnji razvoj matematike. Kljub vsemu pa je tovrstna tehnika zahtevala nekaj matematične spretnosti.

Bolj teoretično zanimivi so bili problemi z aritmetičnim zaporedjem. Na primer problem, kako razdeliti 100 štruc med 5 mož tako, da bodo deleži, ki jih bodo dobili, v aritmetičnem zaporedju in da bo 1/7 vsote največjih treh deležev enaka vsoti najmanjših dveh. Najdemo celo geometrično zaporedje v nalogi o 7 hišah, v vsaki od teh je 7 mačk, vsaka preži na 7 miši itd., kar kaže, da so poznali formulo za vsoto geometričnega zaporedja [7].

3.1.2 Stari Babilonci

Glede na zgodovinske vire, kaže, da je bila babilonska matematika na veliko višji ravni kot egipčanska. Že najstarejši teksti s tega območja, iz okoli leta 2100 pr.n.št., kažejo visoko računsko tehniko. Za razliko od Egipčanov so Babilonci uporabljali šestdesetiški številski sistem in števila zapisovali z mestnimi vrednostmi. Za zapis števil od 1 do 9 so podobno ko Egipčani uporabljali večkratni zapis števila 1. Znak za število 1 po Babilonsko pa je izgledal tako:

𒁹

in števila od 1 do 9 so zapisali na naslednji način:

𒁹 𒈫 𒐈 𒃻 𒐊 𒐋 𒐌 𒐍 𒐎

^.

Za večkratnike števila 10 so uporabljali večkratni zapis znaka za število 10, ki je imel obliko:

𒌋

. Ostale desetiške večkratnike pa so zapisovali tako:

𒌋 𒌋𒌋 𒌍 𒐏 𒐐

^.

Preostala števila so zapisali z združitvijo desetic in enic ter dobljeno kombinacijo znakov obravnavali kot en znak. Število 46 = 40 + 6 so na primer dobili tako:

𒐏

⁺

𒐋

→

𒐏𒐋

^.

Kot smo že prej omenili, so Babilonci uporabljali zapis z mestnimi vrednostmi, kar pomeni, da so namesto da bi, kot Egipčani, označili vsako višjo enoto z novim sim- bolom, uporabili isti simbol in njegovo vrednost nakazali s položajem tega simbola.

Na primer babilonski zapis števila 1, ki mu je sledila druga 1, to je, 11 je pomenil 1·60 + 1 = 61. In zapis števila 563 je pomenil 5·60² + 6·60 + 3 = 18363. Kot vidimo, to pomeni, da je zapis poljubnega števila v šestdesetiškem sistemu pomenil:

a=aⁿ·60ⁿ+· · ·+a₁·60 +a₀+a₋₁·60⁻¹+a₋₂·60⁻²+· · · .

Ta sistem se ni bistveno razlikoval od našega mestnega zapisa v desetiškem sistemu, kjer zapis 375 pomeni3·10²+7·10+5. Tak sistem ima bistveno prednost pri množenju

in računanju z ulomki ter računanju nasploh. Vendar so Babilonci pri zapisu mestnih vrednosti vseeno imeli težavo, ker niso uporabljali simbola za število nič. Namesto ničle so ponavadi pustili kar prazen prostor, kar je vodilo do nesporazumov. Tako je zapis1 1 lahko pomenil tudi1·60²+ 1 = 361. Naslednja pomanjkljivost pa je bila, da niso uporabljali oznake, ki bi bila enakovredna naši decimalni vejici. Kar pomeni, da se ni natančno vedelo, ali zapis 363 morda pomeni tudi5·60 + 6·1 + 3·60⁻¹ = 306 + ₂₀¹. Zato je natančno razlago bilo potrebno določiti iz konteksta. Kakorkoli že, šestdesetiški sistem in sistem mestnih vrednosti sta se ohranila vse do danes, saj prvega uporabljamo pri merjenju časa in kotov, drugega pa pri današnjem načinu zapisa števil.

Zgolj kot zanimivost in za lažje razumevanje naslednjega poglavja, navajam babi- lonska števila do 59.

1 𒁹

2 𒈫

3 𒐈

4 𒃻

5 𒐊

6 𒐋

7 𒐌

8 𒐍

9 𒐎

10 𒌋

11 𒌋𒁹

12 𒌋𒈫

13 𒌋𒐈

14 𒌋𒃻

15 𒌋𒐊

16 𒌋𒐋

17 𒌋𒐌

18 𒌋𒐍

19 𒌋𒐎

20 𒌋𒌋 21 𒌋𒌋𒁹 22 𒌋𒌋𒈫 23 𒌋𒌋𒐈 24 𒌋𒌋𒃻 25 𒌋𒌋𒐊 26 𒌋𒌋𒐋 27 𒌋𒌋𒐌 28 𒌋𒌋𒐍 29 𒌋𒌋𒐎

30 𒌍

31 𒌍𒁹

32 𒌍𒈫

33 𒌍𒐈

34 𒌍𒃻

35 𒌍𒐊

36 𒌍𒐋

37 𒌍𒐌

38 𒌍𒐍

39 𒌍𒐎

40 𒐏

41 𒐏𒁹

42 𒐏𒈫

43 𒐏𒐈

44 𒐏𒃻

45 𒐏𒐊

46 𒐏𒐋

47 𒐏𒐌

48 𒐏𒐍

49 𒐏𒐎

50 𒐐

51 𒐐𒁹

52 𒐐𒈫

53 𒐐𒐈

54 𒐐𒃻

55 𒐐𒐊

56 𒐐𒐋

57 𒐐𒐌

58 𒐐𒐍

59 𒐐𒐎

Slika 3.3: Babilonska števila do 59

Poglavje je povzeto po: [6], [7] in [8].

3.1.3 Babilonski približek za √ 2

Slika 3.4: Tablica YBC 7289

Iz tablice YBC 7289 (slika 3.4) je razvidno, da so Babilonci že okrog leta 1600 pr.n.št. poznali zelo dober približek za √

2. Na tablici je narisan kvadrat z obema diagonalama. Na eni stranici je oznaka

𒌍

kar je Babilonski zapis za število 30. To je dolžina stranice kvadrata v nekih enotah. Na diagonali najdemo zapis

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

, kar v babilonskem šestdesetiškem sistemu predstavlja zelo natančen približek za √

2. In pod diagonalo je zapis

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊

^{, ki}

predstavlja približek za dolžino diagonale kvadrata s stranico 30 enot. Poglejmo si sedaj zapis teh treh števil v našem desetiškem sistemu. Povejmo še, da bo vejica med seboj ločevala posamezne številke, podpičje pa celi del števila od njegovega preostanka, tako kot vejica v današnjem decimalnem zapisu.

𒌍

^{= 30}

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

^{= 1; 24,51,10 = 1 +24}

60 + 51 60² + 10

60³ = 30547 21600

= 1,. 41421296

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊

^{= 42; 25,35 = 42 + 25}

60 + 35

60² = 30547 720

= 42,. 4263889

Zveza med temi tremi števili je dokaj preprosta. Tretje izmed števil je produkt prvih

dveh. Torej predstavljajo zvezo med diagonalo in stranico kvadrata d=a·√

2.

Nas bo zanimalo predvsem drugo število, torej babilonski približek za √

2, ki se kar na petih decimalnih mestih za decimalno vejico ujema z današnjim približkom.

Poglejmo:

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

^{= 1,. 41421296}

√2 .

= 1,41421356.

Zato bomo poskušali pokazati, na kak način so Babilonci prišli do tako natančnega približka za število√

2. O tem obstaja več teorij, vendar si bomo mi pogledali tisto, ki pripelje do tako natančnega rezultata na zgornji tablici.

Po mnenju Otta Neugebauerja, ki velja za enega najboljših poznavalcev babilon- ske matematike, so Babilonci koren poljubnega pozitivnega števila A računali po iterativni metodi, kjer so najprej približno ocenili vrednost √

A in to vzeli za prvi približekx₁, nato pa po rekurzivni formuli

x_n+1 = 1 2

(

x_n+ A x_n

)

n= 1,2,3, . . . ,

računali vedno boljše približke za√ A.

Do rekurzivne formule so prišli s sklepanjem:

če jex₁ =√

A, je A/x₁ =x₁, če jex1 <√

A, je A/x1 > x1, če jex₁ >√

A, je A/x₁ < x₁.

Naslednji približek x₂ je nekje med x₁ in A/x₁. Izračunamo kar njuno aritmetično sredino in tako dobimo nov približek

x₂ = 1 2

(

x₁+ A x₁

) .

Nato postopek ponovimo s približkomx₂, da dobimo približekx₃, in to ponavljamo tako dolgo, dokler ne dobimo poljubno natančnega rezultata.

Sedaj si poglejmo konkreten primer za izračun približka za √

2. Recimo, da so Babilonci ocenili, da je √

2 enak približno 1¹₂ in so to vzeli za x₁. Nato pa so po zgornji rekurzivni formuli računali naslednje približke. Torej:

x₁ = 3

2 = 1; 30, x_n+1 = 1 2

(

x_n+ A x_n

)

x₂ = 1 2

(

x₁+ 2 x₁

)

= 1 2

(3 2+ 4

3 )

= 17

12 = 1; 25

x₃ = 1 2

(

x₂+ 2 x₂

)

= 1 2

(17 12+24

17 )

= 577

408 = 1; 24,51,10.

Tretji približek pa je že kar znameniti približek s tablice YBC 7289. Z opisanim postopkom bi babilonski matematiki lahko še nadaljevali, vendar jim je izračunani približek za njihove potrebe verjetno povsem zadostoval.

V knjigah zgodovine matematike najdemo tudi domnevo, da so nekatere kvadratne korene računali tudi z aproksimativno formulo:

(a²+h)^1/2 ≈a+ 2/a,

vendar po tej poti zagotovo niso dobili tako natančnega rezultata, ki je zapisan na tablici YBC 7289.

Razdelek je povzet po: [9] in [8].

3.2 Grčija

V zadnjem stoletju drugega tisočletja pred našim štetjem so se v vzhodnem Medite- ranu zgodile velike ekonomske in politične spremembe. Bronasto dobo je nadome- stila železna. S tem pa ni prišlo samo do sprememb v vojskovanju, ampak tudi pri pocenitvi orodja in vpeljavi kovanega denarja, ki je spodbudil trgovanje in omogočil večjo udeležbo navadnih ljudi pri ekonomskih in javnih poslih. Ena izmed novosti v tem obdobju je bila tudi zamenjava babilonske pisave z lahko abecedo. Števila so prav tako zapisovali s črkami. Za razločevanje števil od črk so uporabljali črtico (’) za številom zgoraj, za števila do 999, in črtico (,) pred številom spodaj, za števila od 1 000 naprej [8].

Slika 3.5: Grške številke (vir [8])

Moč Egipta in Mezopotamije se je takrat zelo zmanjšala in v zgodovino so prišla nova ljudstva, kot so Hebrejci, Asirci, Feničani in Grki. Rodila se je popolnoma nova vrsta civilizacije, civilizacija Grčije. Zaradi novih geografskih odkritij in širjenja trgovine so mesta ob Sredozemlju, v Mali Aziji, Grčiji in južni Italiji postajala vse bogatejša in pomembnejša. V Grčiji sta to bila Korint in Atene, ob Italijanski obali Kroton in Tarent ter na Siciliji Sirakuze. Dolgo pa je imelo vodilno vlogo mesto Milet, ki ga poznamo predvsem po tradicionalnem očetu grške matematike Talesu iz Mileta (∼ 624−546 pr.n.št.), ki je v prvi polovici 6. stoletja pred našim štetjem obiskal Babilon in Egipt. Tales je bil miletski trgovec, filozof, matematik in astronom ter hkrati prvi, ki je svoje življenje posvetil študiju matematike [6].

V tem času se je v duhu racionalizma razvila moderna matematika, ki je poleg, sta- roegipčanskih in babilonskih odgovorov, na vprašanja »kako?«, prvič začela podajati tudi odgovore na moderno, znanstveno vprašanje »zakaj?«. Pojavili so se namreč prvi dokazi in takšen pristop je dvignil matematiko na bistveno višjo raven. Žal nimamo veliko matematičnih zgodovinskih virov, ki bi pričali o zgodnjem razvoju grške matematike in smo odvisni le od majhnih odlomkov, ki so nam jih posredovali kasnejši matematiki. V večji meri pa so obnovljeni teksti iz 4. stoletja pr.n.št. in pozneje. Tako imamo dober pregled del Evklida, Arhimeda in Apolonija, ki so poleg drugih bili največji antični matematiki.

Pomembno vlogo v grški matematiki so imeli tudi pitagorejci. To o bili študentje pitagorejske šole, ki jo je ustanovil znameniti grški matematik Pitagora. Gojili so vero v moč števil in njihove znanosti so bile predvsem aritmetika, geometrija, glasba ter astronomija. Najpomembnejše odkritje pitagorejcev je odkritje iracionalnosti na podlagi nesoizmerljivosti daljic. To odkritje je bilo verjetno posledica zanimanja za geometrijsko sredino a : b = b : c. Geometrijska sredina od 1 in 2, dveh svetih simbolov, je vodila k proučevanju razmerja med stranico in diagonalo kvadrata. To pa jih je pripeljalo do spoznanja, da se tega razmerja ne da izraziti s »števili«, ki so jih priznavali kot taka, to je s tem, čemur danes pravimo racionalna števila (cela števila in ulomki). Odkritje iracionalnosti je povzročilo prvo veliko krizo v zgodo- vini matematike, nastopila pa je hkrati z drugo težavo, ki je nastala iz filozofskih razpravljanj o realnosti spremembe in osnovah tedanjega dojemanja sveta. To je bil pojem neskončnosti. To težavo pripisujemo grškemu filozofu Zenonu iz Eleje (okoli leta 450 pr.n.št.), ki je formuliral štiri znane paradokse: Dihotomijo, Ahila in želvo, Puščico in Stadion, ki so temeljili na problemu neskončnosti in so metali dvom na njihova tedanja pojmovanja neskončno majhnih in neskončno velikih količin. Grki so namreč verjeli, da je neskončna vsota pozitivnih količin neskončno velika [6]. Zato jim je bilo nepojmljivo, da bi vsota neskončno mnogo členov dajala neko končno vrednost, ali pa, da bi neko izmerljivo razdaljo lahko razdelili na neskončno mnogo intervalov. Zenonovi paradoksi so logično zavračali njihovo tedanjo teorijo in so zanimiv predmet razprav še danes. Mi si bomo v nadaljevanju natančneje ogledali problem Ahila in želve ter poskušali razrešiti ta paradoks.

Kot zanimivost omenimo še Evdoksa iz Kinda, učenca Platona, čigar ime je povezano s teorijo razmerij, ki jo je Evklid podal v svoji peti knjigi, in tudi s tako imenovano

»ekshavcijsko« metodo ali metodo izčrpavanja, ki je omogočila strogo obravnavanje računanja površin in prostornin. Zato lahko rečemo, da je bil Evdoks tisti, ki je rešil

»krizo« v grški matematiki in čigar stroge formulacije so pomagale določiti smer- nice grške aksiomatike in do precejšnje mere cele grške matematike. [7] Evdoksova teorija razmerij temelji na tem, da je vsaka količina določena, če poznamo njeno pozicijo med količinami. To je zelo moderno gledanje (iracionalna števila poznamo v kolikor poznamo vsa manjša in vsa večja racionalna števila.) Kar je tudi osnova za moderno teorijo realnih števil. Evdoksova metoda izčrpavanja pa temelji na tem, da ploščino poljubnega lika ali prostornino poljubnega telesa določimo z aproksi- macijami. Krog na primer aproksimiramo z včrtanimi ali očrtanimi večkotniki. To je kasneje uporabljal in izpopolnil Arhimed. Če od neke količine odštejemo vsaj pol, od ostanka vsaj pol itd., lahko dosežemo, da je po določenem številu korakov ostanek poljubno majhen. Manjši od vsake vnaprej predpisane količine [6]. Podobno temu so pozneje uvedli pojem »geometrijskega atoma«. Domnevali so, da so daljica, ploščina ali prostornina zgrajene iz končnega števila nedeljivih »atomov«. Kar celo danes uporabljamo v matematičnih problemih v teoriji elastičnosti, fiziki ali kemiji.

Poglavje je povzeto po: [7], [6] in [8].

3.2.1 Zenonov paradoks: Ahil in želva

V tem razdelku si bomo podrobneje pogledali znan Zenonov paradoks, ki temelji na problemu neskončnosti.

Ahil in želva se gibljeta v isti smeri po ravni črti. Ahil je hitrejši od želve, zato ji da določeno prednost. Da bi Ahil dohitel želvo, mora najprej mimo točke A, s katere je začela teči želva. Ko pride do točkeA, je želva že napredovala do točke A₁. Ahil želve ne more dohiteti, dokler ne pride do točkeA₁, a tedaj je želva prišla že do nove točkeA₂. Ko pride Ahil do A₂, je želva že pri A₃. In tako se ti koraki nadaljujejo v neskončnost. Tako Ahil ne more želve nikoli dohiteti, saj je pri vsaki novi točki, ki jo doseže, želva še vedno korak pred njim. Čeprav je želvina prednost vedno manjša, se ne bo nikoli izničila.

Slika 3.6: Ahil in želva

Tu gre za neskončno korakov, ki se izvršijo v končnem času. Zaradi lažjega raču- nanja privzemimo, da je Ahil dvakrat hitrejši od želve, ki ima pred njim določeno prednost. Ko pride Ahil do mesta, kjer je začela teči želva, je ta že pol poti naprej itd. Vprašanje pa je, ali Ahil želvo sploh kdaj ujame? [6]

Poglejmo si sedaj rešitev te naloge. Če posamezne korake zapišemo v neskončno

vsoto, dobimo neskončno geometrijsko vrsto:

∑∞ n=0

(1 2

)n

= 1 + 1 2+1

4 +1 8 + 1

16 +· · ·

Zanima pa nas: ali je vsota te vrste končna? Vsoto neskončne vrste, v primeru, ko je −1< q <1, izračunamo po formuli za vsoto neskončne geometrijske vrste.

Ker je

q = a_n+1 a_n =

1 4 1 2

= 1 2 in

lim|a_n+1 a_n |= 1

2 <1

vrsta konvergira. Njeno vsoto izračunamo po znani formuli:

∑∞ n=0

(1 2

)n

= a1

1−q = 1

1−¹₂ = 1

1 2

= 2.

Torej je vsota neskončne vrste∑_∞

n=0

(1 2

)n

enaka 2 in tam Ahil želvo ujame.

Poglejmo si še grafični prikaz razdalje v primerjavi s časom.

t y

a

Slika 3.7: Razdalja v primerjavi s časom med Ahilom in želvo

Odebeljena premica na grafu predstavlja Ahila, tanka pa želvo. Njuno presečišče je limitna točka v kateri Ahil želvo ujame. Sedaj izračunajmo to presečišče. Označimo pot Ahila z y_A in pot želve z y_Z. Ker je Ahil dvakrat hitrejši od želve, je naklon Ahilove premiceKA = 2in želvine KZ = 1. Torej, če hitrost želve označimo s k, je K_A = 2K_z = 2k. Zanima pa nas čas t. Zapišemo:

y_Z =kt+a y_A = 2kt

Iz pogoja y_Z =y_A sledi

kt+a = 2kt a =kt

t = a k

Če privzamemo, da jea razdalja recimo enega metra, torej a= 1 dobimo:

t= a k = 1

1 = 1

ter y_A= 2kt= 2·1·1 = 2 y_Z =kt+a= 1·1 + 1 = 2

Kar pomeni, da Ahil želvo dohiti na razdaljiy= 2, kjer jo tudi ujame. Enak rezultat smo dobili pri prejšnjem izračunu vsote neskončne geometrijske vrste.

3.3 Srednji vek

Obdobje srednjega veka se je pričelo leta 476 z razpadom Zahodnega rimskega ce- sarstva in končalo leta 1492 z odkritjem Amerike. Tisočletno obdobje velja za eno temačnejših obdobij, kjer so poleg stoletne vojne in črne smrti (kuge), ki je zmanj- šala evropsko prebivalstvo za skoraj tretjino [6], nasploh vse stvari nazadovale, med njimi tudi matematika.

Omenimo lahko enega najbolj nadarjenih matematikov tega časa Leonarda Fibonac- cija iz Pise (1170-1250), čigar znamenito zaporedje, ki ga je uporabil za računanje populacije zajcev, smo že omenili. Fibonacci je bil sin mestnega pisarja in bogatega trgovca, ter po nekaterih poročilih konzul Pize. Bil je trgovec in veliko je potoval po Italiji. To mu je omogočilo, da se je naučil toliko matematike, ki mu je kot tr- govcu in pisarju zelo koristila. Svoja matematična spoznanja je leta 1202 opisal v knjigi Liber abbaci, ki je bila posvečena aritmetiki in algebri ter je več stoletij dobro služila študentom matematike. V 13. stoletju se drugi matematiki v primerjavi s Fibonaccijem zdijo le njegove blede sence [6].

Šele po stotih letih se je v Normandiji rodil največji matematik 14. stoletja. To je bil francoski matematik, astronom, filozof in teolog Nicole Oresme (1323-1382). Leta 1348 je končal študij teologije v Parizu in na svoja stara leta postal škof. Napisal je pet matematičnih del in prevedel Aristotela. Bil je prvi, ki je uvedel potence s pozitivnimi eksponenti in govoril o lomljenih eksponentih. Ukvarjal se je tudi z neskončnimi vrstami. Najbolj znan je njegov dokaz za divergenco harmonične vrste, ki temelji na združevanju 2ⁿ zaporednih členov [6]. Dokaz, ki ga najdemo tudi v današnjih učbenikih si bomo ogledali v naslednjem poglavju.

Razdelek je povzet po: [15], [13] in [6].

3.3.1 Oresmejev dokaz divergence harmonične vrste

Nicole Oresme je v 14. stoletju v eni izmed svoji razprav podal dokaz o divergenci harmonične vrste. Ta dokaz predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike.

Kasneje so podobne dokaze podali tudi Pietro Mengoli, Johann in Jakob Bernoulli v 17. stoletju.

Najprej si na primeru poglejmo, kaj je to harmonična vrsta, nato pa kot dokaz njene divergence uporabimo Oresmejev dokaz in razložimo njegovo bistvo.

Definicija 3.1. Vrsta

1 + 1 2+ 1

3+ 1

4+· · ·=

∑∞ n=1

1 n

se imenujeharmonična vrsta, ker njeni členi tvorijo harmonično zaporedje.

Vsak člen vrste, od drugega naprej, je harmonična sredina sosednjih dveh [10].

Poglejmo:

1

2 = 2 1 + ¹1

3

, 1

3 = 2

1

1 2

+ ¹1 4

, 1

4 = 2

1

1 3

+ ¹1 5

, · · · , 1

a_n = 2

1

1 an−1

+ ¹1 an+1

.

Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi se imenuje harmonično zaporedje. Vrsta pa divergira, sicer počasi, k ∞. Oglejmo si, kako je to dokazal Oresme.

Oresmejev dokaz. Vzamemo harmonično vrsto:

∑∞ n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1 4 +1

5 +1 6 +1

7 +1 8 +1

9 +· · ·

in jo primerjamo z vrstoS, ki jo tvorimo na naslednji način:

∑∞ n=1

1

n = 1 + [

1 2 ]

+ [

1 3 +1

4 ]

+ [

1 5 +1

6 +1 7 +1

8 ]

+ [

1 9 +· · ·

]

+· · ·

S = 1 + [

1 2 ]

+ [

1 4 +1

4 ]

+ [

1 8 +1

8 +1 8 +1

8 ]

+ [

1 16+· · ·

]

+· · ·

= 1 + [

1 2 ]

+ [

1 2 ]

+ [

1 2 ]

+ [

1 2 ]

+· · ·

Členi v vrsti S so konstantni. Vrsta z neničelnimi, konstantnimi členi pa divergira.

Ker je harmonična vrsta ∑_∞

n=1

1

n nad vrsto S, to je, ∑_∞

n=1

1

n > S > 0, potem tudi vrsta∑_∞

n=1

1

n divergira.

Ponavadi ta dokaz pišemo v obliki:

1

m+ 1 + 1

m+ 2 +· · ·+ 1

m+m > m 1 2m = 1

2, kar pomeni

1 3 +1

4 > 1

2, 2 člena 1

5 +1 6 +1

7 +1 8 > 1

2, 4 členi 1

9+ 1

10+. . .+ 1 16 > 1

2, 8 členov . . .

1

2^k−1+ 1 +· · ·+ 1 2^k > 1

2, 2^k−1 členov.

Iz tega sledi, da delne vsote harmonične vrste niso navzgor omejene. Vrsta torej divergira.

Poglavje 4

Moderni pristop

4.1 Metrični prostori

Metrični prostor je v matematiki množica (ali »prostor«), v kateri je določena me- trika - to je razdalja med njenimi elementi. Metrični prostor, ki je najbolj podoben našemu intuitivnemu razumevanju stvarnosti, je 3-razsežni evklidski prostor. Ev- klidska metrika tega prostora določa razdaljo med dvema točkama kot »običajno«

dolžino daljice, ki ju povezuje [12].

Geometrija prostora je odvisna od izbrane metrike. Z izbiro različnih metrik se lahko konstruira zanimive neevklidske geometrije, ki se uporabljajo v splošni teoriji relativnosti [12].

Definicija 4.1. Naj bo M poljubna neprazna množica. Metrika naM je taka realna funkcijad:M ×M −→R, za katero velja:

1. d(x, y)≥0za poljubna x, y ∈M ind(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x=y;

2. d(x, y) = d(y, x)za poljubna x, y ∈M;

3. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) za poljubnex, y, z ∈M.

Neprazno množicoM skupaj z metriko d imenujemometrični prostor (M,d).

Prva lastnost reče, da je razdalja nenegativna in strogo definitna, druga, da je si- metrična in tretja lastnost je trikotniška neenakost. Ta pove, da je dolžina ene

stranice trikotnika (razdalja med dvema točkama) manjša ali enaka vsoti drugih dveh stranic.

Primer 4.2. Par (R, d), kjer je

d(x, y) = |x−y|

za poljubnax, y ∈R, je metrični prostor. Tej metriki d rečemo evklidska metrika v R.

Primer 4.3. Par (Rⁿ, d), kjer je

d((x₁,· · · , x_n),(y₁,· · · , y_n)) =√

(x₁−y₁)²+· · ·+ (x_n−y_n)²

za poljubna(x1,· · · , xn)in(y1,· · · , yn)vRⁿ, je metrični prostor. Tej metriki rečemo evklidska metrika v Rⁿ.

V prvem poglavju smo zaporedje že definirali, kot funkcijo na množici naravnih števil, z vrednostmi v množiciM, to je a :N→M.

Definicija konvergentnega zaporedja v M, oziroma limite, je skoraj prav taka, kot smo jo povedali v prvem poglavju.

Definicija 4.4. Naj bo(a_n)_n∈Nzaporedje točk metričnega prostoraM. To zaporedje konvergira k točki A∈ M, če za vsako pozitivno število ε obstaja takn(ε)∈N, da za vsako naravno število n ≥ n(ε) velja d(A, an) < ε. Zaporedje, ki konvergira h kaki točki, jekonvergentno. Če(a_n)_n∈Nkonvergira kA, pravimo tudi, da jeAlimita zaporedja (a_n)_n∈N in zapišemo A=lim_n→∞a_n.

Pogoj, da jed(A, x_n)< ε, lahko povemo tudi takole. Označimo z K(A, ε) = {x∈M | d(x, A)< ε}.

To je množica tistih točk iz M, ki so od točkeA v metrikid na razdalji, ki je manjša odε. Tej množici rečemoodprta krogla s središčem A in polmerom ε.

4.1.1 Poln metrični prostor

Definicija 4.5. Zaporedje a_n : N −→ M v metričnem prostoru (M, d) je Cauchy- jevo, če za vsakε >0obstaja tako naravno število n(ε), da za vsaka m, n∈N velja implikacija

m, n > n(ε)⇒d(a_m, a_n)< ε.

Definicija 4.6. Metrični prostor je poln, če je v njem vsako Cauchyjevo zaporedje konvergentno.

Primer 4.7. Metrični prostor realnih števil (R, d), za d(x, y) =|x−y|, je poln. Ta primer je zelo netrivialen in fundamentalen. Dokaz lahko najdemo v [4].

Poleg tega, da lahko v polnem metričnem prostoru za ugotavljanje konvergence uporabimo Cauchyjev kriterij, ima poln prostor še celo vrsto drugih lepih lastnosti.

Kot primer v zvezi s polnostjo prostora, si oglejmo še Banachovo skrčitveno načelo.

Definicija 4.8.Naj boM poljuben metrični prostor. Preslikavif :M →M rečemo skrčitev, če obstaja tako pozitivno številoq <1, ki se imenuje faktor skrčitve, da za poljuben parx, y ∈M velja d(f(x), f(y))≤q d(x, y).

Hitro se da videti, da je skrčitev zvezna funkcija. Za zvezno funkcijo pa velja, da konvergentno zaporedje, preslika v konvergentno zaporedje, (dokaz lahko najdemo v [3]), natančneje

f(limx_n) = limf(x_n).

Izrek 4.9 (Banachovo skrčitveno načelo). Če je M poln metrični prostor in je f :M →M skrčitev, obstaja natanko ena negibna točka preslikave f, tj. taka točka a∈M, da velja f(a) = a. [5]

Dokaz. Pokažimo, da obstaja kvečjemu ena negibna točka. Recimo, da obstajata dve različni točkix, y ∈M za kateri veljaf(x) =x in f(y) =y. Tedaj nas dejstvo, da jef skrčitev, pripelje do protislovne neenakosti:

d(x, y) = d(f(x), f(y))≤q d(x, y)< d(x, y).

Pokažimo še, da negibna točka res obstaja. Naj bo x₀ ∈ M in (x_n)_n∈N zapo- redje podano z rekurzivno formulo x_n = f(x_n−1). Če označimo d(x₀, x₁) z D, je d(x₁, x₂) = d(f(x₀), f(x₁)) ≤ qd(x₀, x₁) = qD. Podobno pokažemo, da je d(x2, x3) =d(f(x1), f(x2))≤ q²D itd. S popolno indukcijo dokažemo, da za vsako naravno številon velja

d(x_n, x_n+1)≤qⁿD. (4.1)

Iz trikotniške neenakosti in neenakosti (4.1) dobimo za poljuben par naravnih števil m > n oceno

d(x_n, x_m)≤

m∑−1

i=n

d(x_i, x_i+1)≤

m∑−1

i=n

qⁱD≤D

∑∞ i=n

qⁱ =D qⁿ 1−q.

Ta ocena nam pove, da je zaporedje (x_n)_n∈N Cauchyjevo. Ker je prostor M poln, ima to zaporedje limitno točko. Označimo jo za. Iz rekurzivne formule in iz dejstva, da je skrčitev zvezna funkcija, sledi

a =limx_n+1 =limf(x_n) = f(limx_n) =f(a).

Točkaa je torej negibna točka skrčitve f.

4.2 Augustin Louis Cauchy

Namenimo še nekaj besed velikemu francoskemu matematiku 19. stoletja, Augustinu Louisu Cauchyju (1789 - 1857), ki je bil eden izmed zgodnjih pionirjev matematične analize, po katerem so poimenovali največ konceptov, pojmov in izrekov. Cauchy- jeva otroška leta segajo v čas francoske revolucije. Napoleonova doba je Cauchyju prinesla prve uspehe in službo vojnega inženirja v Cherbourgu. Po vrnitvi v Pariz je hitro pritegnil pozornost vodilnih francoskih matematikov.

Bil je izjemno inventiven in je ob Gaussu kmalu veljal za enega največjih živečih ma- tematikov. Napisal je okoli osemsto raziskovalnih člankov in pet učbenikov. Začel je projekt formuliranja in dokazovanja izrekov infinitezimalnega računa v strogem smislu in zavračal hevristično načelo splošnosti algebre, ki so jo izkoriščali predho- dni avtorji. Postavil je temelje sodobni obravnavi konvergence, razvil kriterije za konvergenco neskončnih vrst in izdal razlago infinitezimalnega računa na podlagi li- mite funkcije. Pri tem ni bil popolnoma uspešen, ker še ni imel konstrukcije realnih števil, kar so kasneje razvili Cantor, Dedekind in Weierstrass [11].

Literatura

[1] Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart and Winston Inc., 1964.

[2] Apostol, T. M.,Mathematical Analysis.2nd edition. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1974.

[3] Vidav, I., Višja matematika 1, DMFA, Ljubljana, 1994.

[4] Vrabec, J., Metrični prostori, DMFA, Ljubljana, 1990.

[5] Cencelj, M., Repovš, D., Topologija, PeF, Ljubljana, 2001.

[6] Hladnik, M., Zgodovina matematike, FMF, Ljubljana 2013. spletni vir.

[7] Struik, D.J. , Kratka zgodovina matematike, DMFA, Ljubljana, 1986.

[8] Razpet, M. , Babilonski zapis števil, študijsko gradivo, UL, PEF, Ljubljana, 2015.

[9] Domajnko, V. ,Babilonski približek za√

2, PRESEK, list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje, DMFA Ljubljana, 1993, spletni vir.

[10] Wikipedia, The Free Encyclopedia.,Harmonična vrsta, Wikimedia Foundation Inc., spletni vir.

[11] Wikipedia, The Free Encyclopedia.,Augustin Louis Cauchy, Wikimedia Foun- dation Inc., spletni vir.

[12] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Metrični prostor, Wikimedia Foundation Inc., spletni vir.

[13] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Nicole Oresme, Wikimedia Foundation Inc., spletni vir.

[14] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Leonardo Fibonacci, Wikimedia Founda- tion Inc., spletni vir.

[15] Wikipedia, The Free Encyclopedia., Srednji vek, Wikimedia Foundation Inc., spletni vir.