BABILONSKI ZAPIS ŠTEVIL

(1)

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo

Marko Razpet

BABILONSKI ZAPIS ŠTEVIL

Študijsko gradivo Zgodovina matematike

Ljubljana, januar 2015

(2)

Vsebina

Predgovor 3

1 Uvod 7

2 Realna števila 11

3 Pitagorejske trojke 12

4 Tablice množenj 14

5 Tablice obratnih vrednosti, koreni 16

6 Zametki algebre 22

7 Primerjava z egipčanskim zapisom 23

8 Egipčanski ulomki 26

9 Babilon po Babilonu 28

Za konec 37

Literatura in spletni viri 38

(3)

Predgovor

Kot vemo, so se prve civilizacije začele pred več tisočletji hitro razvijati na porečjih velikih rek, ki so pogosto poplavljale in odlagale plodno zemljo, ki so jo ljudje pridno obdelovali in vedno znova in znova odmerjali. Gradili so razmeroma velika mesta in namakalne sisteme, kar je samo po sebi pri- neslo razvoj geometrije in astronomije, zapise vseh vrst, od knjigovodskih in pravnih do literarnih, pa tudi zapisovanje števil in računanje z njimi ter astronomske in druge tablice. Podrobneje si bomo ogledali babilonski način zapisovanja števil, primerjali pa ga bomo z egipčanskim.

Na univerzi Yale, New Haven, Connecticut, ZDA, hranijo okroglo glinasto ploščico premera približno 7 cm, na kateri je razločno narisan kvadrat z diagonalama. Ploščica ima kataloško oznako YBC 7289. YBC je kratica za Yale Babylonian Catalogue. Nad eno stranico nekaj piše v klinopisni pisavi, prav tako na eni od diagonal in pod njo. Ploščica je nastala v Mezopotamiji v obdobju 1800 do 1600 pne. Številski znaki na sliki 1 in njihov razpored se zaradi tehničnih težav le malenkostno razlikujejo od tistih na ploščici. En napis je z diagonale nekoliko dvignjen zaradi boljše berljivosti.

Po temeljitem preučevanju se je izkazalo, da je napis na diagonali kvadrata približek za število √

2 v babilonskem šestdesetiškem sistemu. Če preraču- namo v običajni desetiški sistem, dobimo:

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

⁼^{1 +} ²⁴⁶⁰⁺ ⁶⁰⁵¹² ⁺ ⁶⁰¹⁰³ ⁼ ³⁰⁵⁴⁷²¹⁶⁰⁰ = 1.414212962.^. Nekaj točnih decimalk pa je: √

2 .

= 1.414213562373. To pomeni, da približek na omenjeni ploščici da na pet decimalk točen približek za √

2. V delu bomo skušali razložiti, kako so prišli do tega približka. Nad stranico kvadrata je zapisano število

𒌍

⁼ ^30,

kar pomeni dolžino stranice kvadrata v nekih enotah. Pod diagonalo kvadrata pa je zapisan približek za dolžino diagonale kvadrata s stranico 30 enot:

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊

⁼^{42 +} ²⁵⁶⁰ ⁺⁶⁰³⁵² ⁼ ³⁰⁵⁴⁷⁷²⁰ = 42.42638888.^. Če izračunamo v desetiškem sistemu, dobimo 30√

2 .

= 42.4264068711, kar se

(4)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

𒌍

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

𒐏𒈫 𒌋𒌋𒐊 𒌍𒐊

...

........

.......

......

.....

....

...

. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

. ....

...

....

.....

.......

...

..................

......

............

........................

...................................................................................................................................................................................................................................

Slika 1: Preris glinaste ploščice YBC 7289.

z babilonskim približkom ujema na treh decimalkah.

Ker je vse to lahko razumeti, je ploščica YBC 7289 postala ena od najbolj znanih glinastih ploščic z matematično vsebino iz Mezopotamije. Navajajo jo skoraj vse knjige, ki obravnavajo zgodovino matematike.

Beseda diagonala je grškega izvora. Nastala je iz besed διά, kar pomeni prek, čez, skozi, inγωνία, kot, vogal. Prav tako Mezopotamija: μέσοςpomeni med, sredi, ποταμός pa reka. Mezopotamija bi torej lahko poslovenili v Medrečje. Beseda ni čisto primerna, ker ne označuje le dežele med rekama Evfrat, Εὔϕράτης, in Tigris, Τίγρις, ampak skoraj celotno njuno porečje.

Beseda sistem je grška: σύστημα pomeni sestav, načrt, red, urejena celota nečesa. Tudi besedo Babilon smo prevzeli od Grkov, ki so ga zapisali kot Βαβυλών.

Številski sistem z osnovo 60 se imenuje šestdesetiški ali seksagezimalni.

(5)

Slednja beseda je latinska, izvedena vrstilnega števnika sexagesimus, šestde- seti. Ta ustreza glavnemu števnikusexaginta, šestdeset. V več jezikih je tako, da besede za dele celote izvajamo iz vrstilnih števnikov: tri, tretji, tretjina;

deset, deseti, desetina. V angleščini: three, third, one third; ten, tenth, one tenth. V nemščini: drei, dritte, ein Drittel; zehn, zehnte, ein Zehntel.

Izjema jepolovica, ki ni po prejšnji logikidrugina. Tudi v drugih jezikih je polovica izjema: two, second, half; zwei, zweite, eine Halbe. Celo stari Egipčani so pogosto uporabljali za polovico znak M, ne pa dvojke (znak ||) pod ustnicami (znak r).

Deloma šestdesetiški sistem uporabljamo v vsakdanjem življenju v zvezi s časom. Ura je razdeljena na 60 minut, minuta na 60 sekund. Pri sekundah pa govorimo le o njenih stotinkah. Pravimo: smučarka je zmagala v smuku s časom 1:50,48, kar pomeni 1 minuta, 50 sekund, 48 stotink sekunde. To bi po babilonsko zapisali kot 1^′50^′′28^′′′ 48^′′′′. Kdo ve, zakaj pa so se pri času odločili za skrpucalo med šestdesetiškim in desetiškim številskim sistemom.

Prav tako pri kotih še vedno deloma uporabljamo šestdesetiški številski sistem. Kotna stopinja je razdeljena na kotnih 60 minut, minuta na 60 kotnih sekund. Enota radianse je pojavila v matematiki relativno pozno. Vpeljala sta ga Thomas Muir (1844–1934) in James Thomson (1822–1892). Spom- nimo: en radian je v krogu kot, ki ustreza ločni dolžini enega polmera tega kroga.

V študijskem gradivu se bomo nekoliko bolje seznanili z babilonskim nači- nom zapisovanja števil. Ljubiteljem TEX-a so na razpolago ustrezni nabori znakov in paketi, s katerimi jih lahko zapisujemo. V preambuli izvirnega dokumenta, ki ga moramo pisati z vključitvijo kodne tabele UTF-8, moramo dodati vrstici

\usepackage{pgffor,babyloniannum}

\newcommand{\Bnum}[1]{{\LARGE \babyloniannum{#1}}}

V besedilu nato dosežemo izpis naravnega števila z ukazom\Bnum. Primer:

zapis števila 1949 dosežemo z ukazom \Bnum{1949} in dobimo

𒌍𒈫 𒌋𒌋𒐎

(6)

Včasih je treba z znanimi ukazi kakšen številski znak nekoliko dvigniti ali spustiti, včasih malo premakniti v levo ali desno, kar ni težko. Seveda je treba poskrbeti za namestitev naborov znakov Santakku.ttf,SantakkuM.ttf ter slogov pgffor.sty in babyloniannum.sty, ki jih brez težav dobimo na medmrežju.

Velikost znakov lahko spremenimo, če spremenimo velikost v ukazu

\newcommand{\Bnum}[1]{{\LARGE \babyloniannum{#1}}}

Zapis števila 666 je videti v različnih velikostih tako:

𒌋𒁹 𒐋

𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋

Z rimskimi številkami zapišemo 666 s samimi različnimi črkami: DCLXVI.

Za pisanje števil na babilonski način lahko uporabimo tudi neposredno daljši ukaz\babyloniannumin spreminjamo znake z ukazi paketovgraphicx in color.

𒌋𒁹 𒐋 𒌋𒁹 𒐋

Zgornja zapisa dosežemo z ukazoma

\textcolor{blue}{\scalebox{5}{\babyloniannum{666}}}

\colorbox{black}{\textcolor{white}{\scalebox{5}{\babyloniannum{666}}}}

Ko pripravimo dokument z besedilom in vsemi ukazi, seveda datoteko, ki ji damo končnico .tex, varno shranimo. Nato poženemo program xelatex, ki nam ustvari dokument v pdf(Portable Document Format).

Programski orodji XƎTEX in XƎL^ATEX sta veliko bolj sposobni glede naborov znakov kot orodji TEX in L^ATEX. Paziti je treba le, da pri pripravi osnovnega dokumenta ves čas uporabljamo kodno tabelo UTF-8.

Ljubljana, januarja 2015 Dr. Marko Razpet

(7)

1 Uvod

Mezopotamijo pogosto imenujejo zibelka civilizacije. Tako kot Nil v Egiptu, v Mezopotamiji že od nekdaj reki Evfrat in Tigris skrbita s svojimi poplavami za rodovitno zemljo. Zato so se tu ljudje naselili in začeli obdelovati zemljo.

Ker jo je bilo treba pogosto deliti, meriti in napovedovati čas poplav, sta se tu hitro razvili geometrija in astronomija, ki sta terjali zapisovanje besedil in števil z znaki. Najbolj je bila pripravna tamkajšnja glina, ki jo je bilo na pretek. Iz nje so za potrebo gradbeništva izdelovali opeko, ki so jo sušili na soncu ali pa žgali v preprostih pečeh. Hitro so ugotovili, da se da na sveže glinaste plošče pisati s priostrenimi paličicami iz trstja. Zato so zelo zgodaj izumiliklinopis, v slovenščini tako poimenovan zaradi klinaste oblike znakov, angleško cuneiform, nemško Keilschrift. Plošče so se posušile in zapisi so postali zelo obstojni. V 2. stoletju starih klinopisov že nihče ni več znal brati. Našli so jih v novejši dobi na tisoče in po več tisoč letih so v 19.

stoletju uspeli razvozlati pozabljeno pisavo. Tako so se nam ohranila imena mest, pokrajin, ljudstev, vladarjev, zakoniki, epi in tablice z matematično vsebino. Od literarnih del se nam je skoraj v celoti ohranil sumerski Ep o Gilgamešu, iz katerega se da razbrati, kakšno je bilo življenje Sumercev v stari Mezopotamiji. Del epa pripoveduje o vesoljnem potopu. Navedimo tisti del (prevod Mirko Avsenak), ki opisuje priprave nanj:

Petega dne sem napravil načrt njenih mer:

eno polje je merila spodnja ploskev,

desetkrat dvanajst komolcev so bile visoke njene stene, desetkrat dvanajst komolcev pa rob njenega stropa.

Mezopotamija je bila zanimiva za osvajalce vseh vrst. Tako zasledimo na njenih tleh od približno leta 3000 pne. naprej sumersko, akadijsko, novo- sumersko, starobabilonsko, asirsko, novobabilonsko, kaldejsko, medijsko, perz- ijsko kraljestvo, če navedemo samo nekatera. Klinopisno pisavo so poznali že Sumerci, druga ljudstva so ga prevzela in prilagodila svojim jezikom. Celo staroperzijska pisava je bila klinopisna. Dolgo je bil Babilon osrednje mesto v

(8)

Mezopotamiji, zato bomo v nadaljevanju govorili kar o Babiloncih, babilonskih številskih znakih in babilonskem načinu zapisovanja števil.

Babilonci so torej zapisovali tudi števila s klinopisno pisavo. Tako kot stari Egipčani, so naravna števila od 1 do 9 zapisovali z ustreznim številom črtic. Ena taka črtica je imela obliko

𒁹

. Število 10 je očitno imelo poseben pomen tudi pri Babiloncih, kajti zanj so uporabljali nov znak:

𒌋

^{. Take}

znake so ustrezno večkrat ponovili, da so dobili desetiške večkratnike števil od 1 do 5. Da, samo do 5, kajti babilonski številski sistem je bil šestdesetiški, seksagezimalni, z mestnimi vrednostmi, tako kot naš desetiški.

Slika 2: Mezopotamija.

Števila od 1 do 9 so pisali v obliki:

𒁹 𒈫 𒐈 𒃻 𒐊 𒐋 𒐌 𒐍 𒐎

Kot vidimo, so pisali števila od 4 do 9 tako, da so enico

𒁹

^{nanizali v}

nadstropja. Podobno so zapisovali desetiške večkratnike:

(9)

𒌋 𒌋𒌋 𒌍 𒐏 𒐐

Preostala števila od 1 do 59 so zapisali z združitvijo desetic in enic in v bistvu dobljeno kombinacijo znakov obravnavali kot en znak. Število 49 = 40 + 9 so na primer dobili tako:

𒐏

⁺

𒐎

−→

𒐏𒐎

Zapisi vseh babilonskih številk od 1 do 59 so zbrani v tabeli 1. Poljubno

1

𒁹

¹⁶

𒌋𒐋

³¹

𒌍𒁹

⁴⁶

𒐏𒐋

2

𒈫

¹⁷

𒌋𒐌

³²

𒌍𒈫

⁴⁷

𒐏𒐌

3

𒐈

¹⁸

𒌋𒐍

³³

𒌍𒐈

⁴⁸

𒐏𒐍

4

𒃻

¹⁹

𒌋𒐎

³⁴

𒌍𒃻

⁴⁹

𒐏𒐎

5

𒐊

²⁰

𒌋𒌋

³⁵

𒌍𒐊

⁵⁰

𒐐

6

𒐋

²¹

𒌋𒌋𒁹

³⁶

𒌍𒐋

⁵¹

𒐐𒁹

7

𒐌

²²

𒌋𒌋𒈫

³⁷

𒌍𒐌

⁵²

𒐐𒈫

8

𒐍

²³

𒌋𒌋𒐈

³⁸

𒌍𒐍

⁵³

𒐐𒐈

9

𒐎

²⁴

𒌋𒌋𒃻

³⁹

𒌍𒐎

⁵⁴

𒐐𒃻

10

𒌋

²⁵

𒌋𒌋𒐊

⁴⁰

𒐏

⁵⁵

𒐐𒐊

11

𒌋𒁹

²⁶

𒌋𒌋𒐋

⁴¹

𒐏𒁹

⁵⁶

𒐐𒐋

12

𒌋𒈫

²⁷

𒌋𒌋𒐌

⁴²

𒐏𒈫

⁵⁷

𒐐𒐌

13

𒌋𒐈

²⁸

𒌋𒌋𒐍

⁴³

𒐏𒐈

⁵⁸

𒐐𒐍

14

𒌋𒃻

²⁹

𒌋𒌋𒐎

⁴⁴

𒐏𒃻

⁵⁹

𒐐𒐎

15

𒌋𒐊

³⁰

𒌍

⁴⁵

𒐏𒐊

Tabela 1: Osnovne babilonske številke.

naravno število a so zapisali kot linearno kombinacijo potenc števila 60:

a=a_n·60ⁿ+. . .+a₁·60 +a₀.

(10)

Pri tem so koeﬁcienti a_n, . . . , a₁, a₀ cela števila od 0 do 59, lahko jim rečemo števke. Le-te število a enolično določajo, če jih navedemo v dogovorjenem zaporedju in pišemo

a =an. . . a1a0.

Števila 0 Babilonci niso poznali. V zapisu so namesto 0 pustili prazen prostor, kar je sicer lahko vodilo v nesporazume in zlorabe. Manjši prazen prostor je bil tudi med posameznimi števkami. Prednost njihovega zapisa pred egipčanskim je zagotovo v tem, da lahko tako zapišemo še tako veliko število.

Verjetno so za osnovo izbrali število 60 zato, ker ima veliko več deliteljev kot 10. Tudi naš zapis je tak, samo da število zapišemo kot vsoto potenc števila 10, koeﬁcienti so pa cela števila od 0 do 9.

Zapišimo števila

91 = 1·60+31, 3899 = 1·60²+4·60+59, 9 746 373 = 45·60³+7·60²+19·60+33.

po babilonsko:

𒁹 𒌍𒁹

^,

𒁹 𒃻 𒐐𒐎

^,

𒐏𒐊 𒐌 𒌋𒐎 𒌍𒐈

Števila

95 = 1·60 + 35,3635 = 1·60² + 35,216035 = 1·60³+ 35 imajo podobne zapise:

𒁹 𒌍𒐊

^,

𒁹 𒌍𒐊

^,

𒁹 𒌍𒐊

Razlikujejo se v dolžini presledka med števkami. V prvem primeru ločuje presledek števki, v drugem pa večji presledek označuje odsotnost60¹, v tretjem pa še večji presledek odsotnost 60² in 60¹. Kasneje (šele okoli leta 300 pne.) so uvedli znak za 0, ki pa je imel samo vlogo zapolnjevalca praznega mesta. Dolgo časa je preteklo, preden so ljudje začeli 0 obravnavati kot število. Zapolnjevalec praznega mesta je imel obliki

𒈫

^ali

𒈫

_{. Z}

njim bi števili 3635 in 216035 zapisali takole:

(11)

𒁹 𒈫 𒌍𒐊

^,

𒁹 𒈫 𒈫 𒌍𒐊

Pravijo, da so Babilonci iz konteksta razbrali, za katero število gre tudi brez uporabe znaka

𒈫

^.

2 Realna števila

Podobno kot v desetiškem sistemu pišemo decimalne ulomke, so Babilonci pisali šestdesetiške ulomke, na primer

1 60, 31

60², 59 60³, . . . in realna števila

a =a_n·60ⁿ+. . .+a₁·60 +a₀+ a₋₁

60 +a₋₂

60² + a₋₃ 60³ +. . . Mestni zapis števila a je torej

a=a_na₁. . . a₀;a₋₁a₋₂a₋₃. . .

Pri tem soa_n, a₁, . . . , a₀;a₋₁, a₋₂, a₋₃, . . . cela števila od 0 do 59, razporejena v točno takem vrstnem redu, kot smo ga zapisali. Ni znano, da bi Babilonci uporabljali poseben znak, ki bi ustrezal naši decimalni vejici ali piki. V tem besedilu bomo vsemu navkljub, zaradi boljšega označevanja, od tu naprej uporabljali podpičje. Babilonci pa so iz konteksta ugotovili, kje naj bi bilo naše podpičje.

Zapišimo za primer števila 911/240,71/480,7801/600 v šestdesetiškem sistemu. Najprej jih izrazimo s šestdesetiškimi ulomki, nato jih zapišimo še po babilonsko:

911

240 = 3 + 47 60+ 45

60², 71 480 = 8

60+ 52 60² + 30

60³, 7801

600 = 2·60 + 10 + 1 60,

𒐈

^;

𒐏𒐌 𒐏𒐊

^, ^;

𒐍 𒐐𒈫 𒌍

^,

𒈫 𒌋

^;

𒁹

(12)

Seveda se lahko zgodi, da je za podpičjem nešteto števk, tako kot je lahko nešteto števk za decimalno vejico v desetiškem sistemu. Kako bi na primer po babilonsko zapisali število 355/113, kar je dober indijski približek za število π? Najprej ga je treba izraziti kot vsoto

355

113 = 3 + 8

60+ 29 60² + 44

60³ + 4

60⁴ + 14

60⁵ +. . . , kar da krajšo obliko:

355

113 = 3; 8 29 44 4 14 . . . , z babilonskimi števkami na nekaj seksagezimalk pa

𒐈

^;

𒐍 𒌋𒌋𒐎 𒐏𒃻 𒃻 𒌋𒃻

Upajmo, da ne bo pohujšanja, če vpeljemo besedo seksagezimalka, ki v šestdesetiškem številskem sistemu igra enako vlogo kot decimalka v de- setiškem. Števila π Babilonci še niso poznali posebno natančno. Njihov približek je bil 3 = 𒐈 in v najboljšem primeru3,125 = 25/8 = 3; 7 30= 𒐈

; 𒐌 𒌍 .

3 Pitagorejske trojke

Pravokoten trikotnik, ki ima dolžine katet a, b in hipotenuze c izražene z naravnimi števili neke dolžinske enote, je pitagorejski, če je a² +b² = c². Namesto o pitagorejskem trikotniku govorimo tudi o pitagorejski trojki(a, b, c).

Pitagorejsko trojko(a, b, c)sestavljajo naravna številaa, b, c(a < c, b < c), za katere jea²+b² =c². Trikotnik, ki ima v takem primeru stranice v razmerju a : b : c, je po obratu Pitagorovega izreka pravokoten. Pitagorejska trojka je primitivna, če naravna števila a, b, c nimajo skupnega delitelja razen 1.

Primitivnih pitagorejskih trojk je nešteto. Vse so zajete v obrazcih a=m²−n², b= 2mn, c=m² +n²,

če izberemo tuji si števili m, n, m > n in m, n različnih parnosti, torej eno liho, drugo sodo. Pitagora, Πυθαγόρας, po katerem se imenuje slavni izrek

(13)

in omenjeni trikotniki ter trojke, je živel od leta 570 do leta 495 pne. Vse kaže, da so relacijo a²+b² =c² v pravokotnem trikotniku poznali že veliko prej, kar nam izpričuje glinasta tablica Plimpton 322, ki jo hrani Univerza Columbia v New Yorku.

Plimpton 322 je kataloška oznaka zbirke te univerze, ime pa je dobila po ameriškem publicistu in ﬁlantropu Georgeu Arthurju Plimptonu (1855–1936), ki je univerzi daroval mnogo starin. Beseda ﬁlantrop, človekoljub, je nastala iz grških besed ϕίλος, prijatelj, inἄνθρωπος, človek.

Na tablici je 15 vrstic klinopisno zapisanih števil v šestdesetiškem števil- skem sistemu. Nekaj vrstic je poškodovanih in v nadaljevanju kljub temu pišemo, kaj je bilo na mestih poškodb zapisano v glini. V prvem stolpcu z desne so zaporedne številke vrstic. V drugem stolpcu so v vseh vrsticah isti znaki, ki so morda bolj za okras. Ugotovili so, da so v tretjem stolpcu z desne dolžine hipotenuz c, v četrtem stolpcu z desne dolžine katet, denimo a, v petem stolpcu pa kvocienti a²/b² pitagorejskega trikotnika (a, b, c). Vsi kvocienti so točno zapisani, ker tudi morajo biti, saj je vsakbprodukt potenc števil 2,3,5. Tabela 2 kaže primer prve, pete in enajste vrstice. Izračunane so še katete po formuli b=√

c²−a² in dodani običajni zapisi.

a²/b², 5. st. a, 4. st. c, 3. st. b n, 1. st.

;

𒐐𒐎 𒌋𒐊 𒁹 𒐐𒐎 𒈫 𒐏𒐎 𒁹

0; 59 0 15 1; 59 2; 49 1

14161/14400 119 169 120

;

𒐏𒐍 𒐐𒃻 𒁹 𒐏 𒁹 𒐊 𒁹 𒌍𒐌 𒐊

0; 48 54 1 40 1; 5 1; 37 5

4225/5184 65 97 72

;

𒌍𒐈 𒐏𒐊 𒐏𒐊 𒁹 𒌋𒐊 𒌋𒁹

0; 33 45 45 1; 15 11

9/16 45 75 60

Tabela 2: Plimpton 322, tri izbrane vrstice. Univerza Columbia.

(14)

Pitagorejske trojke na plošči Plimpton 322 so precej velike, večina je primitivnih, ni pa znano, kako so do njih prišli. V drugi vrstici najdemo primi- tivno pitagorejsko trojko (3367,3456,4825). Zaa²/b² dobimo v tem primeru ulomek 11336689/11943936, ki ima babilonsko obliko

0; 56 56 58 14 50 6 15.

Na plošči pa v drugi vrsti za a²/b² piše

;

𒐐𒐋 𒐐𒐋 𒐐𒐍 𒌋𒃻 𒐐 𒐋 𒌋𒐊

^,

kar je

0; 56 56 58 14 50 6 15.

Zapisa se ujemata na vseh seksagezimalnih mestih.

Če zberemo po vrsti vse pitagorejske trojke s tablice Plimpton 322, dobimo tabelo 3.

V 11. vrstici pitagorejska trojka ni primitivna:

(45,60,75) = 15(3,4,5).

Ustrezni pravokotni trikotnik je podoben egipčanskemu s stranicami 3, 4, 5.

Dobro je znano, da so si Egipčani v praksi pomagali z njim konstruirati pravi kot. V ta namen je obstajala posebna služba, katere naloga je bila meriti z vrvjo in odmerjati prave kote. Izvajali so jo napenjalci vrvi, harpedonapti, kakor so jih imenovali Grki, po grško ἁρπεδονάπται. Beseda je nastala iz ἁρπεδόνη, vrv, vrvica, ἅπτω, pritikam, privezujem, pripnem.

4 Tablice množenj

V Babiloniji so našli tudi tablice množenj. Primer kaže tabela 4. Navadno je bilo na drugi strani tablice nadaljevanje.

Take tablice so bile seveda zelo koristne, saj so olajšale množenje števil.

Medtem ko v desetiškem številskem sistemu ne potrebujemo veliko tovrstnih tablic, so v šestdesetiškem sistemu verjetno sestavili tablice za 2-kratnike,

(15)

n a b c

1 119 120 169

2 3367 3456 4825 3 4601 4800 6649 4 12709 13500 18541

5 65 72 97

6 319 360 481

7 2291 2700 3541

8 799 960 1249

9 481 600 769

10 4961 6480 8161

11 45 60 75

12 1679 2400 2929

13 161 240 289

14 1771 2700 3229

15 56 90 106

Tabela 3: Plimpton 322, pitagorejske trojke.

3-kratnike, …, 59-kratnike vseh števil od 1 do 59. Sestavili so tudi tablice kvadratov in kubov, ki so jih uporabljali za reševanje kvadratnih in kubičnih enačb. Tablice kvadratov so uporabljali tudi za množenje. V ta namen so uporabljali enakost

xy = (x+y)² −(x−y)²

4 .

Z njeno pomočjo so znali rešiti sistem enačb x+y =a, xy = b za pozitivni števili ainb. Zgornja enakost nam da enačbob =a²/4−((x−y)/2)². S tem dobimo sistem linearnih enačb

x+y

2 = a

2, x−y

2 =

√(a 2

)₂

−b.

(16)

𒁹 𒐋 𒌋𒐈 𒁹 𒌋𒐍

𒈫 𒌋𒈫 𒌋𒃻 𒁹 𒌋𒌋𒃻

𒐈 𒌋𒐍 𒌋𒐊 𒁹 𒌍

𒃻 𒌋𒌋𒃻 𒌋𒐋 𒁹 𒌍𒐋

𒐊 𒌍 𒌋𒐌 𒁹 𒐏𒈫

𒐋 𒌍𒐋 𒌋𒐍 𒁹 𒐏𒐍

𒐌 𒐏𒈫 𒌋𒐎 𒁹 𒐐𒃻

𒐍 𒐏𒐍 𒌋𒌋 𒈫

𒐎 𒐐𒃻 𒌋𒌋𒁹 𒈫 𒐋

𒌋 𒁹 𒌋𒌋𒈫 𒈫 𒌋𒈫

𒌋𒁹 𒁹 𒐋 𒌋𒌋𒐈 𒈫 𒌋𒐍 𒌋𒈫 𒁹 𒌋𒈫 𒌋𒌋𒃻 𒈫 𒌋𒌋𒃻

Tabela 4: Mnogokratniki števila 6.

Tega ni težko rešiti:

x= a 2 +

√(a 2

)₂

−b, y = a

2 −^√(a 2

)₂

−b.

Seveda so problem znali rešiti le za primer a² ≥ 4b. Odštevanje večjega števila od manjšega ni imelo za Babilonce nobenega pomena.

5 Tablice obratnih vrednosti, koreni

Babilonci so sestavili tudi tablice obratnih vrednosti glede na število 60. To pomeni tablice števil x, y, za katere je xy= 60.

V drugem tisočletju pred našim štetjem so v Babiloniji računali kvadratni koren pozitivnega števila N po približni, iterativni metodi. Najprej so prib-

(17)

𒁹 𒁹 𒁹

^;

𒐋 𒐏 𒐐𒃻

𒁹

^;

𒌋𒈫 𒐐 𒁹

^;

𒌋𒐊 𒐏𒐍 𒁹

^;

𒌋𒌋 𒐏𒐊 𒁹

^;

𒌍 𒐏 𒁹

^;

𒐏 𒌍𒐋 𒁹

^;

𒐐𒈫 𒌍 𒌍𒈫

𒈫 𒌍

𒈫

^;

𒌋𒐈 𒌋𒌋 𒌋𒌋𒐌

Tabela 5: Obratne vrednosti glede na število 60.

ližno z x₁ >0ocenili √

N, nato pa po formuli x_n+1 = 1

2

(

x_n+ N x_n

)

, n= 1,2,3, . . . ,

računali boljše in boljše približke za √

N. Vse so seveda delali v šestde- setiškem številskem sistemu.

Do rekurzivne formule so prišli s preprostim sklepanjem. Če je x₁ že

√N, potem je N/x₁ =x₁ in račun je končan. Če pa je x₁ <√

N, potem je N/x₁ > x₁; če jex₁ >√

N, potem je N/x₁ < x₁. Boljši približekx₂ je nekje vmes med x₁ in N/x₁. Najbolje je vzeti kar aritmetično sredino števil x₁ in N/x1:

x₂ = 1 2

(

x₁+ N x₁

)

.

Nato isto zgodbo ponovimo s približkom x2, da dobimo približek x3 in po- navljamo do želene natančnosti √

N. V resnici ni hudo važno, kaj vzamemo za x₁.

Izračunajmo na primer v desetiškem številskem sistemu po babilonskem

(18)

postopku kvadratni koren števila 𒐊 𒐏𒈫 𒐐𒐋 𒐌 , to pomeni

√5·60³+ 42·60²+ 56·60 + 7 =√

1 234 567 na 6 decimalk.

Prvi, grobi približek za√

1 234 567 dobimo, če števke pod korenom razde- limo na skupine po dve z desne proti levi, izberemo najbližji naravni prib- ližek kvadratnega korena skupine skrajno levo, nato pa mu pripišemo na desni toliko ničel, kolikor je preostalih skupin: ^√1|23|45|67 .

= 1000 = x₁. Nato računamo iterativno približke xn po rekurzivni formuli, kjer vzamemo N = 1 234 567, in jih zapišemo v tabelo:

n x_n

1 1 000,000000 2 1 117,283500 3 1 111,127757 4 1 111,110705 5 1 111,110705

Tabela 6: Iterativno računanje kvadratnega korena.

Četrti in peti približek se ujemata že na 6 decimalk, zato je zagotovo na 6 decimalk √

1 234 567 .

= 1111,110705. Malo po naše, malo po babilonsko lahko zapišemo:

√

𒐊 𒐏𒈫 𒐐𒐋 𒐌 .

= 𒌋𒐍 𒌍𒁹 ; 𒐋 𒌍𒐍 𒌍𒈫 𒌋𒐋 𒐏𒐍 Rekurzivno formulo za izračun √

N lahko opravičimo tudi drugače. Za- pišemo N =a²+b, kjer sta a in b pozitivni števili, b < a². Potem velja

√N =

√

a²(1 +b/a²) = a

√

1 +b/a² ≈

≈a(1 +b/(2a²)) =a+b/(2a) = (1/2)(a+a+b/a) = (1/2)(a+N/a).

Pri tem smo uporabili prva dva člena v razvoju funkcije x 7→ √

1 +x v Maclaurinovo vrsto:

√1 +x= 1 +x/2−x²/8 +. . .

(19)

Iz grafov funkcij x7→√

1 +x inx7→1 +x/2vidimo, da je približek 1 +x/2 vedno večji od √

1 +x razen za x= 0. Zato je približek a+b/(2a) večji od

√a² +b.

Slika 3: Graf korenske funkcije s tangento.

Hitro se vidi, da primer x²₁ = N potegne za sabo konstantno zaporedje x₁ = x₂ = x₃ = . . . = √

N. Zato obravnavajmo primer x²₁ ̸= N. Tedaj konvergira opisano zaporedje približkov x₁, x₂, x₃, . . . proti √

N, kar lahko dokažemo s teorijo zaporedij. V vsakem primeru je zaporedje navzdol omejeno, saj so vsi členi pozitivni. Spodnjo mejo lahko natančno izračunamo.

Za n≥1 je namreč

x_n+1 = 1 2

(

x_n+ N x_n

)

>

√

x_n· N x_n =√

N ,

kjer smo upoštevali, da geometrijska sredina dveh pozitivnih števil ne presega aritmetične sredine istih dveh števil. Velja torej relacija x_n ≥ √

N za vse n ≥2. Za take n pa velja še

x_n−x_n+1 =x_n− 1 2

(

x_n+ N x_n

)

= 1 2

(

x_n− N x_n

)

= x²_n−N 2x_n >0.

Zaporedje je padajoče in navzdol omejeno. Po osnovnem izreku za realna zaporedja obstaja x = lim_n_→∞x_n. Iz rekurzije potem dobimo enačbo x = (x+N/x)/2, ki ima pozitivno rešitev x=√

N.

(20)

Slika 4: Namesto ničle funkcije iščemo ničle linearnega približka funkcije.

Približne ničle zveznih in odvedljivih funkcij f včasih računamo s tan- gentno ali Newtonovo metodo. Pri njej namesto ničle funkcije zaporedno iščemo ničle linearnega približka funkcije v približkih (slika 4). Če je x₁ približek ničle funkcije f, potem z rekurzijo

x_n+1 =x_n− f(x_n) f^′(x_n) računamo naslednje približke. Za računanje √

N vzamemo funkcijo f :x7→

x²−N in dobimo

x_n+1 =x_n−x²_n−N 2x_n = 1

2

(

x_n+ N x_n

)

, kar je ista rekurzija kot prva.

Na znameniti ploščici YBC 7289 je zapisan približek za √

2. Babilonski matematik ga je verjetno izračunal z rekurzijo

x_n+1 = 1 2

(

x_n+ 2 x_n

)

, x₁ = 3

2 = 1; 30.

Dobil je približka

x2 = 17

12 = 1; 25, x3 = 577

408 = 1; 24 51 10

(21)

Slika 5: Zaporedni približki za √ N.

in slednjega vpisal ali dal vpisati na glinasto ploščico kot

𒁹 𒌋𒌋𒃻 𒐐𒁹 𒌋

. Rekurzijo za izračun √

N lahko obravnavamo tudi z Banachovim skrčit- venim načelom. Funkcija f :x 7→ (x+N/x)/2 iz poltraka [

√

N/3,∞] vase namreč krči prostor: če sta x^′ inx^′′ poljubni števili tega poltraka, potem po izreku o povprečni vrednosti med njima leži število ξ, odvisno od x^′ in x^′′, tako da velja zveza

f(x^′′)−f(x^′) =f^′(ξ)(x^′′−x^′).

Odvod

f^′(x) = 1 2

(

1− N x²

)

pa za vsak x ∈ [^√N/3,∞] po absolutni vrednosti ne presega 1/2, tako da velja relacija

|f(x^′′)−f(x^′)|< 1

2 · |x^′′−x^′|.

Funkcija f ima na poltraku natančno eno negibno točko x, kar pomeni:

x= 1 2

(

x+N x

)

. Za rešitev te enačbe, dobimo x = √

N. Skrčitveno načelo pove še več:

če izberemo poljubno točko x₁ na poltraku [

√

N/3,∞], potem zaporedje

(22)

x₁, x₂, x₃, . . ., ki ga dobimo z rekurzijo x_n+1 = f(x_n), konvergira proti ne- gibni točki funkcije x=√

N. To se lepo vidi na sliki 5, kjer se stopnice med krivuljo y=f(x) in premico y=x spuščajo proti točki(√

N ,√ N).

Banachovo skrčitveno načelo se da formulirati v splošnem polnem metričnem prostoru. Ime je dobilo po poljskem matematiku Stefanu Banachu (1892–1945).

6 Zametki algebre

Babilonci so reševali v povezavi s konkretnimi problemi linearne enačbe, pa tudi kvadratne enačbe oblike

x²+px = q, x² = px+q, x²+q = px

s pozitivnimi koeﬁcienti p, q, r. Lotili pa so se tudi kubičnih enačb tipa ax³+bx² =c

s pozitivnimi koeﬁcienti a, b, c. V vseh primerih so jih zanimale le pozitivne rešitve. V tistih časih namreč še niso poznali negativnih števil, pa tudi ne števila nič.

Znan je tudi primer transcendentne enačbe, do katere so prišli pri prob- lemu iz denarništva. Vprašali so se, po kolikem času naraste kapital na dvakratno vrednost pri letni obrestni meri 20 %? Problem nas privede do

enačbe ₍

1 + 1 5

)x

= 2.

Našli so oceno za rešitev: 3< x <4. S približnimi metodami ugotovimo:

x= 4 leta−2; 22 42 55 46meseca.

Če drugega ne, vsaj sedaj vemo, da so Babilonci operirali z zelo visokimi obrestmi, ki pa niti niso bile tako oderuške, kot jih dandanes terja marsikateri posojilodajalec.

(23)

7 Primerjava z egipčanskim zapisom

Stari Egipčani so za zapis števil uporabljali naslednje znake:

|= 1, 2 = 10, 3 = 100, 4= 1 000, 5 = 10 000, 6 = 100 000, 7=1 000 000.

Znak za 1 je palčka, ki je tudi v drugih kulturah najbolj pogost znak za to število. Egipčani so ga pisali pokončno, nekatera ljudstva pa tudi vodoravno.

Za število 10 so Egipčani uvedli znak, ki spominja na podkev, za 100 na kos zvite vrvi, za 1 000 na lotus, za 10 000 na človeški prst, za 100 000 na žabjega paglavca, včasih kar žabo, in za 1 000 000 na človeka, morda tudi na neko božanstvo v posebni telesni pozi. Za števila od 1 do 9 so Egipčani zapisali ustrezno število znakov |, za 10-kratnike teh števil ustrezno število znakov 2 in tako naprej. Zaradi varčevanja s prostorom so znake zapisovali tudi enega nad drugim, na primer:

|||| = |||| = 4, |||||| =|||||| = 6, 2222 = 22

22 = 40, 222222 =222 222 = 60.

Večja števila so zapisovali preprosto, z združevanjem ustrezno mnogo osnovnih števk, na primer:

442||||| =442||||| = 2015.

Pomanjkljivost egipčanskega zapisa števil je v kar sedmih osnovnih znakih, s katerimi lahko zapišemo največje število 9 999 999, ki niti ni videti posebno zapleteno:

777777 777

666666 666

555555 555

444444 444

333333

333 222222222 ^|||^||||||

Za zapis večjih števil bi morali vpeljati dodatne simbole za 10 milijonov, 100 milijonov in tako naprej. To ne pomeni, da so bili Egipčani slabi matematiki. Razvili so metode računanja, geometrijo, astronomijo, vse za prak- tične potrebe njihovega življenja in dela. Dokazovali niso ničesar. Na srečo se je ohranilo precej zapisov na papirusu in v kamnu, na stenah svetišč in grobnic, iz katerih se da razbrati, s čim so se ukvarjali. Za matematiko sta pomembna ohranjena Rhindov ali Ahmesov papirus in moskovski papirus.

Prvi je nastal okoli leta 1650 pne., drugi je starejši, nastal okoli leta 1850

(24)

pne. Vsebujeta veliko konkretnih primerov, kako se nekaj izračuna. Vsekakor egipčanski način zapisovanja števil ni bil primeren za napredek matematike.

Tudi grški in hebrejski zapis s črkami ni bil dosti boljši, da o rimskem sploh ne govorimo.

Babilonski zapis števil, čeprav s 59 simboli (glej tabelo 1), ki so sicer sestavljeni samo iz dveh osnovnih, 𒁹 in 𒌋 , je bil naprednejši, ker je bil zgrajen na principu mestnih vrednosti. Čudno, da ga niso prevzeli Grki, ki so se od Babiloncev naučili marsikaj. Babilonski in egipčanski zapisi teh 59 števil so si zelo podobni. Nekaj primerov je zbranih v tabeli 7.

31

𒌍𒁹

222|

32

𒌍𒈫

222||

33

𒌍𒐈

222|||

34

𒌍𒃻

222|||

|

35

𒌍𒐊

222|||||

36

𒌍𒐋

222||||||

37

𒌍𒐌

222^|||||||

38

𒌍𒐍

222^||||||||

39

𒌍𒐎

222^|||^||||||

40

𒐏

²²22

50

𒐐

²²²22

99

𒁹 𒌍𒐎

²²²²²²222^|||^||||||

999

𒌋𒐋 𒌍𒐎

³³³³³³333222222222^|||^||||||

Tabela 7: Babilonske in egipčanske številke.

Težko je reči, ali so se Indijci od njih naučili mestnega zapisa ali obratno, dejstvo je, da so Indijci poznali mestni zapis, za osnovo pa so vzeli manjše število 10. Poleg tega so vpeljali znak za ničlo in jo priznali za število.

(25)

Tudi računanje z indijskimi številkami je bilo lažje kot z babilonskimi. Za množenje s slednjimi je tudi poštevanka dosti bolj obširna. V obeh sistemih pa lahko zapišemo s končno mnogo znaki poljubno veliko naravno število.

Zapis z mestnimi vrednostmi se je dobro obnesel in bistveno pripomogel k hitrejšemu razvoju matematike.

Pogosto menjavanje vladajočega naroda in jezika v Mezopotamiji, pri če- mer pa so klinopisna znamenja ostala, le izgovarjala so se različno, je pripo- mogla k nekakšni mali internacionalizaciji matematičnih znakov na tistem področju za daljše obdobje. To je nekaj podobnega kot na primer danes, ko celi svet uporablja iste simbole za števila in osnovne računske operacije.

Za pisanje egipčanskih številk v TEX-u uporabimo paket hieroglf, ki je sestavni del debelega MikTEX-a in ga vključimo v preambuli dokumenta z ukazom

\usepackage{hieroglf}

Osnovni ukaz, ki nam da egipčanski številski znak, je\pmglyph. Za tem ukazom v zavitem oklepaju sledijo znaki na tipkovnici.

Za 1 uporabimo znak |, z ukazom \pmglyph{|}dobimo |, za 10 uporabimo znak 2, z ukazom\pmglyph{2} dobimo2, za 100 uporabimo znak 3, z ukazom\pmglyph{3}dobimo 3, za 1 000 uporabimo znak 4, z ukazom \pmglyph{4}dobimo 4, za 10 000 uporabimo znak 5, z ukazom \pmglyph{5}dobimo 5, za 100 000 uporabimo znak 6, z ukazom\pmglyph{6} dobimo6, za 1 000 000 uporabimo znak 7, z ukazom\pmglyph{7} dobimo7. Znake ločimo z -, posamezna nadstropja pišemo v zavite oklepaje, nadstropja pa ločimo z dvopičjem :. Ukaz

{\Huge\pmglyph{{2-2}:{2}-{|-|}:{|-|}}}

nam na primer da število 34 v obliki

(26)

22 2 || ||

Tudi stari Egipčani so nam zapustili nekaj lepih pesmi, na primerPesem nosačev žita. V slovenščino jo je prevedel Gregor Strniša, sliši pa se takole:

Snope in belo žito nosimo dan za dnem.

Kašče prepolne so, polne vse ladje.

Zrnje že teče čez krov.

Nas pa še zmeraj priganjajo.

Lačni in sključeni stopamo.

Naša pleča so bron, naša srca so bron, ko nosimo dan za dnem.

Razen delovnih pesmi so Egipčani gojili tudi ljubezensko liriko in re- ligiozne himne. Njihovo prozo sestavljajo razne modrosti, poduki, izreki, zgodovinska poročila, pravljice in novele. Hieroglifno pisavo je leta 1822 razvozlal Jean-François Champollion (1770–1832).

8 Egipčanski ulomki

Ulomke so stari Egipčani pisali na svojevrsten način. Vse so izrazili kot vsoto ulomkov s števcem 1. Tega števca seveda potem niso pisali. Za ulomkovo črto so uporabljali znak r. Primeri:

1

3 = r

||| , 1

4 = r

||||, 5 12 = 1

4 +1

6 =r

||||^r^|||||| .

Za nekatere ulomke so obstajali posebni znaki, na primerMza1/2 inrs za 2/3. Če je bil imenovalec sestavljen iz veliko znakov, so znakr zapisali samo nad prvimi, na primer r

333222

222 za 1/360.

(27)

Dandanes ulomkom s števcem 1 pravimo egipčanski ulomki. O njih se je razvila cela teorija. Dokazati se da, da lahko vsak pravi ulomek, ki ga sestavljata naravni števili, zapišemo kot vsoto egipčanskih ulomkov. Zapis ni enoličen. Ulomek 5/7 na primer lahko zapišemo kot 1/2 + 1/7 + 1/14 ali pa kot 1/2 + 1/6 + 1/21.

V resnici tudi desetiški zapis decimalnih števil ni enoličen, saj lahko pišemo na primer

1

2 = 0,5 = 0,49,

kjer črtica nad 9 pomeni neskončno ponavljanje decimalke 9. Res je 0,49 = 4

10+ 9

100 + 9

1000 +. . .= 4 10+ 9

100 · 1 1− 1

10

= 4 10 + 9

90 = 5

10 = 0,5.

Pri tem smo po znani formuli sešteli neskončno geometrijsko vrsto.

Egipčani so te ulomke pisali v padajočem zaporedju, tako da je bil na prvem mestu ulomek z najmanjšim imenovalcem, na zadnjem pa tisti z naj- večjim. Primer: ulomek 2/7 = 1/4 + 1/28 lahko zapišemo kot

r|||| r 22||||||||

Včasih so se stari Egipčani zadovoljili tudi s približnim zapisom ulomka kot vsoto egipčanskih ulomkov. To pomeni, da njihova vsota ni čisto točno enaka danemu ulomku. Kakorkoli že, računanje ni bilo ravno lahko. V ta namen so že sestavljali potrebne tabele. Rhindov papirus na primer vsebuje tabelo razvojev nekaterih ulomkov oblike 2/n za lihe n v vsoto egipčanskih ulomkov.

Predstavljajmo si, da bi morali v astronomiji pisati efemeride z egipčan- skimi ulomki. Ali pa sestaviti tabele trigonometričnih funkcij. To ne bi bilo nič kaj prijetno delo. Efemeride so zbirke podatkov, ki povedo, kje so v določenem obdobju nebesna telesa na nebu, kdaj so Sončevi in Lunini mrki, kdaj vzideta oziroma zaideta Sonce in Luna in podobno. Sama beseda efe- merida je nastala iz rodilnika ἐϕημερίδος grškega samostalnika ἐϕημερίς, ki pomeni dobesedno dnevnik, zapiski in je zlepek predloga ἐπί, kar pomeni na, in samostalnika ἡμέρα, dan, čas.

(28)

Stari Grki so tudi nekaj časa pisali ulomke, λεπτά, na egipčanski način, seveda s svojimi simboli za številke, ne pa s hierogliﬁ. Zanimiv je Diofant iz Aleksandrije (200/214–284/298),Διόϕαντος ὁ ᾿Αλεξανδρεύς, ki je pri ulomkih števec pisal pod imenovalec, mi pa dandanes ravno obratno. Nismo pa popol- noma prepričani, če je uporabljal tudi ulomkovo črto.

9 Babilon po Babilonu

Babilon je postal v času vladanja (550–530 pne.) Kira Velikega (600–529 pne.) znanstveno središče, kjer sta se razvijali matematika in astronomija, izdelovali so zvezdne karte in sestavljali tabele. Leta 331 pne. je Babilon zavzel Aleksander Veliki (356–323 pne.), ki je tam po pohodu do Indije in nazaj tudi umrl. Že pred njegovo smrtjo je začel Babilon stagnirati.

Od Egipčanov in Babiloncev so se tudi Grki marsikaj naučili, na primer ﬁlozof, matematik in astronom Tales iz Mileta (624–546 pne.), Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, eden od sedmerice modrih. Babilonski šestdesetiški številski sistem je preživel kljub propadu Babilona, zlasti v astronomiji. Kot vemo, so že Babilonci polni kot razdelili na 360 stopinj, stopinjo na 60 minut, minuto na 60 sekund. Tako razdelitev uporabljamo še danes. V grškem svetu pa sta jo v 2. stoletju pne. uvedla Hipsikles, ῾Υψικλῆς, matematik in astronom, ter Hiparh, ῞Ιππαρχος, matematik, astronom in geograf. Hiparh je izračunal tabelo tetiv, ki v krogu ustrezajo središčnim kotom od7^◦30^′ do180^◦na vsake 7^◦30^′, kar je četrtina kota 30^◦.

Tako kot stari Grki niso bili politično složni, si niso bili enotni niti v jeziku niti v pisavi. Tudi števila so zapisovali različno. Oglejmo si samo njihov alfabetični aleksandrijski način, kot kaže tabela 8.

Število so zapisali z nizanjem osnovnih številk z leve proti desni v pada- jočem vrstnem redu. Vsota vseh je bilo dano število, na primer 365 = τξεʹ. Za razločevanje števil od običajnih besed so uporabljali črtico (ʹ) za številom zgoraj do 999, od 1 000 naprej pa črtico (͵) pred številom spodaj. Najdemo pa tudi zapise števil z daljšo črto zgoraj, na primer σναza 251.

V tem sistemu lahko pišemo tisoče,χίλιοι, in deset tisoče,μύριοι. Največje

(29)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ

10 20 30 40 50 60 70 80 90

ιʹ κʹ λʹ μʹ νʹ ξʹ οʹ πʹ ϙʹ

100 200 300 400 500 600 700 800 900

ρʹ σʹ τʹ υʹ ϕʹ χʹ ψʹ ωʹ ϡʹ

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000

͵α ͵β ͵γ ͵δ ͵ε ͵ϛ ͵ζ ͵η ͵θ

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000

͵ι ͵κ ͵λ ͵μ ͵ν ͵ξ ͵ο ͵π ͵ϙ

Tabela 8: Osnovne grške številke.

število, ki se ga da zapisati v tem sistemu, je 99 999: ͵ϙ͵θϡϙθʹ.

Okrogle deset in sto tisoče so Grki izražali v deset tisočih, mirijadah (M).

Presežke nad mirijadami so dopisali. Število 315 467 pišemo kot 315 467 = 31·10 000 + 5 467. Grk bi napisal število 315 467 v obliki ^λαM͵ευξζʹ.

Za šestdesetiški zapis je bil grškim astronomom pomemben šestdesetiški ulomek. Šestdesetina je šestdeseti del (ἑξηκοστὰ τμήμα, λεπτά, tenka, drobna, majhna, latinsko minuta) celote. To je prva (πρῶτα) delitev. Druga delitev je delitev šestdesetine celote na šestdesetine (δεύτερα ἑξηκοστά, druga, latinsko secunda). Lahko bi to počeli še s tretjo, četrto, … delitvijo. Zato še danes uporabljamo besedi minuta, sekunda.

Šestdesetiški številski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj (90–168), Κλαύδιος Πτολεμαῖος, aleksandrijski matematik, astronom, astrolog in geograf. Napisal je veliko del, ki so bila še dolgo časa pomembna za islamsko in evropsko znanost. Njegovo najpomembnejše delo je Matematična razprava, Μαθηματικὴ σύνταξις, ki je postalo bolj znano kotVelika razprava,῾Η μεγάλη σύνταξις, in celo Največja razprava, ῾Η μεγίστη σύνταξις. Arabski prevod ima zato naslov

ù¢j.ÒË@

, iz grškega ženskega presežnika μεγίστη, največja, prevod iz arabščine v latinščino pa Almagest. Ptolemaju gre zasluga, da je za več kot tisoč let postavil geocentrični svetovni sistem.