UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje: Predmetno poučevanje Matematika – Računalništvo
JANJA POGAČAR
KRITERIJI PRIMERNOSTI VIRTUALNIH PRIPOMOČKOV ZA UČENJE ZAČETNE
ALGEBRE
Magistrsko delo
Ljubljana, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje: Predmetno poučevanje Matematika – Računalništvo
JANJA POGAČAR
KRITERIJI PRIMERNOSTI VIRTUALNIH PRIPOMOČKOV ZA UČENJE ZAČETNE
ALGEBRE
Magistrsko delo
Mentor: doc. dr. Zlatan Magajna
Ljubljana, 2017
ZAHVALA
Najlepše se zahvaljujem svojemu mentorju doc. dr. Zlatanu Magajni za vsa usmerjanja in nasvete pri pisanju magistrskega dela.
Zahvaljujem se tudi vsem, ki so mi omogočili izvedbo raziskave in so pridno odgovarjali na moj anketni vprašalnik.
Velike zahvale pa gredo mojim najbližjim, ki so mi skozi vsa leta šolanja stali ob strani in me spodbujali.
POVZETEK
V magistrskem delu so obravnavane vsebine, ki so povezane z virtualnimi učnimi pripomočki pri pouku algebre v osnovni šoli. Definiran je pojem učni pripomoček in predstavljene so teme, pri katerih najpogosteje uporabljamo pripomočke pri pouku matematike. Predstavljeni so tudi najpogosteje uporabljeni učni pripomočki pri
poučevanju matematike v osnovni šoli. Opisana je klasifikacija učnih pripomočkov po štirih kriterijih (glede na stopnjo prikazovanja odnosov, glede na statičnost, glede na konkretnost ter glede na vrsto interakcije med snovalcem, uporabnikom in
pripomočkom). V magistrskem delu se osredotočimo na dinamične virtualne učne pripomočke. Navedemo nekaj virtualnih učnih pripomočkov za pouk matematike ter zapišemo, kakšno vlogo imajo virtualni učni pripomočki pri poučevanju matematike.
Opišemo tudi nekaj raziskav, ki so bile narejene na področju poučevanja z uporabo virtualnih učnih pripomočkov. Predstavimo pregled algebrskih vsebin slovenskih osnovnih šol, pred empiričnim delom pa še predstavimo virtualne učne pripomočke za reševanje linearnih enačb, ki jih uporabimo v naši raziskavi.
V empiričnem delu magistrskega dela so predstavljene ugotovitve o stališčih študentk in študentov matematike na Pedagoški fakulteti v Ljubljani o kriterijih za primernost
virtualnih učnih pripomočkov za reševanje linearnih enačb ter mnenja študentk in študentov o uporabi izbranih virtualnih učnih pripomočkov pri pouku začetne algebre.
Po mnenju študentov je najbolj primeren virtualni učni pripomoček za učenje reševanja enačb virtualna tehtnica s spletne strani NLVM, naslednji najbolj primeren pa virtualni učni pripomoček za reševanje enačb s spletne strani Gizmos. V primerjavi z učitelji matematike iz tujine se stališča slovenskih študentk in študentov razlikujejo. Kar je slovenskim študentkam in študentom manj pomembno, je pogosto učiteljem matematike iz tujine bolj pomembno. Slovenskim študentom je tako najpomembnejši kriterij pri izbiri virtualnega pripomočka njegova cena, učiteljem iz tujina pa je najpomembnejša
stabilnost delovanja. Oblikovani kriteriji in ključne ugotovitve o stališčih do izbranih virtualnih učnih pripomočkov, predstavljenih v empiričnem delu, so lahko učiteljem pomembno napotilo pri izbiri in uporabi pripomočkov pri pouku začetne algebre v osnovni šoli.
KLJUČNE BESEDE: kriteriji primernosti učnega pripomočka, matematični učni pripomoček, virtualni učni pripomoček, začetna algebra
ABSTRACT
The master’s thesis considers virtual teaching aids for teaching algebra in elementary schools. First, the concept of teaching aid is defined and the mathematics topics in which teaching aids play an important role are presented. Then some most commonly used teaching aids in elementary school mathematics are presented. Also, the
classification of teaching aids according to four criteria is described (the level of
modelling, dynamicity, concreteness, and the type of interaction between teaching aid, its user and its creator). We focus on mathematics teaching aids that are virtual and dynamic. We explain the role of virtual teaching aids in teaching mathematics, we present some of such aids, and we also report on the results of several studies on teaching by using virtual teaching aids. Finally, we present four virtual teaching aids for solving linear equations that are used in the empirical part of our research.
The empirical part of the thesis considers the views of prospective mathematics teachers from the Faculty of Education in Ljubljana about the criteria for suitability of teaching aids for solving linear equations. We consider also students’ opinions on the use of selected virtual teaching aids for teaching basic algebra.
According to the prospective teachers the most suitable virtual teaching aid for teaching equations in basic algebra is the virtual balance scale from the website NLVM, followed by the virtual teaching aid for solving equations from the website Gizmos. In comparison to mathematics teachers from abroad the views of Slovene students on suitability criteria differ in several respects. What is less important for Slovene students is often more important for foreign mathematics teachers. For Slovene students the most important criteria in choosing teaching aids is the price, while foreign teachers put on the first place the stability of virtual aids. The established criteria and key findings about the views on the selected virtual teaching aids presented in the empirical part can be an important guide for teachers when choosing teaching aids for basic algebra in elementary schools.
KEY WORDS: criteria of suitability of teaching aids, mathematics teaching aid, virtual teaching aid, basic algebra
KAZALO VSEBINE
1 UVOD ... 1
2 TEORETIČNA IZHODIŠČA ... 2
2. 1 UČNI PRIPOMOČKI PRI POUKU MATEMATIKE ... 2
2. 2 VIRTUALNI UČNI PRIPOMOČKI PRI POUKU MATEMATIKE ... 7
2. 3 VLOGA VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV PRI POUČEVANJU MATEMATIKE ... 11
2. 4 ALGEBRSKE VSEBINE V OSNOVNI ŠOLI ... 15
2. 5 VIRTUALNI UČNI PRIPOMOČKI ZA POUK ZAČETNE ALGEBRE ... 18
2. 5. 1 SPLOŠNE ZNAČILNOSTI IZBRANIH VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV ... 18
2. 5. 2 PREDSTAVITEV LINEARNE ENAČBE ... 20
2. 5. 3 PREDSTAVITEV NEGATIVNIH IN POZITIVNIH VREDNOSTI ... 23
2. 5. 4 PRIŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ELEMENTOV ... 24
2. 5. 5 PRIKAZ DELJENJA PRI PREOBLIKOVANJU LINEARNE ENAČBE ... 25
2. 5. 6 PRIKAZ SIMBOLNEGA ZAPISA OB REŠEVANJU LINEARNE ENAČBE ... 27
2. 6 KRITERIJI PRIMERNOSTI VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV ZA POUK ALGEBRE ... 28
3 EMPIRIČNI DEL ... 31
3. 1 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA ... 31
3. 2 CILJI RAZISKAVE ... 31
3. 3 METODA IN RAZISKOVALNI PRISTOP ... 32
3. 3. 1 VZOREC ... 32
3. 3. 2 OPIS POSTOPKA ZBIRANJA PODATKOV ... 33
3. 3. 3 POSTOPKI OBDELAVE PODATKOV ... 34
3. 4 REZULTATI RAZISKAVE IN INTERPRETACIJA ... 34
3. 4. 1 OCENE KRITERIJEV ZA IZBRANE VIRTUALNE UČNE PRIPOMOČKE ... 34
3. 4. 2 POMEMBNOST KRITERIJEV ZA IZBOR VIRTUALNEGA UČNEGA PRIPOMOČKA SLOVENSKIM ŠTUDENTKAM IN ŠTUDENTOM TER PRIMERJAVA S TUJIMI UČITELJI MATEMATIKE ... 39
3. 4. 3 PRIMERJAVA POMEMBNOSTI KRITERIJEV PRIMERNOSTI VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV MED LETNIKI IZOBRAŽEVANJA ... 43
3. 4. 4 MNENJE O IZBRANIH VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKIH ZA POUK
ALGEBRE ... 47
3. 4. 5 ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... 51
4 ZAKLJUČEK ... 53
5 LITERATURA ... 55 PRILOGE
Kazalo slik
Slika 1: Linkkocke _____________________________________________________ 4 Slika 2: Dienesove kocke ________________________________________________ 5 Slika 3: Cuisenairove paličice pri seštevanju ulomkov __________________________ 5 Slika 4: Ploščice za vzorčke _____________________________________________ 6 Slika 5: Modeli delov celote ______________________________________________ 6 Slika 6: Geoplošča _____________________________________________________ 7 Slika 7: Virtualne Dienesove kocke ________________________________________ 8 Slika 8: Virtualne algebrske ploščice _______________________________________ 9 Slika 9: Virtualna geoplošča _____________________________________________ 9 Slika 10: Virtualna geometrijska telesa ____________________________________ 10 Slika 11: Tangrami ____________________________________________________ 10 Slika 12: Virtualna tehtnica za reševanje enačb _____________________________ 11 Slika 13: Kolbov krog izkustvenega učenja _________________________________ 12 Slika 14: Sestavni deli enačbe ___________________________________________ 16 Slika 15: Prikaz primerov enačb _________________________________________ 16 Slika 16: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani NLVM __________________ 21 Slika 17: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani MathPlayground __________ 21 Slika 18: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani Algebra4All _____________ 22 Slika 19: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani Gizmos _________________ 22 Slika 20: Dodajanje/odvzemanje elementov na virtualni tehtnici NLVM ___________ 24 Slika 21: Dodajanje/odvzemanje elementov pri virtualni tehtnici MathPlayground ___ 25 Slika 22: Deljenje pri virtualni tehtnici MathPlayground ________________________ 26 Slika 23: Deljenje pri virtualnem učnem pripomočku Algebra4All ________________ 26 Slika 24: Deljenje pri virtualnem učnem pripomočku Gizmos ___________________ 27 Slika 25: Prikaz simbolnega zapisa pri virtualnih učnih pripomočkih ______________ 28 Slika 26: Odstotkovni prikaz vzorca glede na letnik izobraževanja ________________ 33 Slika 27: Primernost virtualne tehtnice NLVM ________________________________ 48 Slika 28: Primernost virtualne tehtnice MathPlayground _______________________ 48 Slika 29: Primernost virtualnega učnega pripomočka Algebra4All ________________ 49 Slika 30: Primernost virtualnega učnega pripomočka Gizmos ___________________ 49
Kazalo tabel
Tabela 1: Matematični koncept po stopnjah dela z učnim pripomočkom ... 3
Tabela 2: Splošne značilnosti izbranih virtualnih učnih pripomočkov ... 19
Tabela 3: Predstavitev pozitivnih in negativnih vrednosti ... 23
Tabela 4: Struktura vzorca glede na spol ... 32
Tabela 5: Struktura vzorca glede na spol in letnik izobraževanja ... 32
Tabela 6: Povprečna vrednost stališč o kriterijih za izbrane virtualne učne pripomočke 35 Tabela 7: Primerjava med slovenskimi študenti in tujimi učitelji matematike ... 39
Tabela 8: Rangirani kriteriji po pomembnosti Slovenija/tujina ... 41
Tabela 9: Povprečje kriterijev primernosti po skupinah in razlika med povprečji med skupinama ... 43
Tabela 10: Povprečja ocen primernosti izbranih virtualnih učnih pripomočkov ... 50
1
1 UVOD
Aktivno sodelovanje učencev pri obravnavi učne snovi prinaša kvalitetnejše znanje in pomnjenje. Uporaba učnih pripomočkov pri pouku bistveno olajša razumevanje novih pojmov. Učenci si koncept lažje predstavljajo. Virtualni učni pripomočki so znani po tem, da so zaznavni in interaktivno bogati. Tako učencem zmanjšajo miselno obremenjenost delovnega spomina. Učenci se posledično bolj miselno vključijo v aktivnost. (Pouw, Gog, Paas, 2014)
Na svetovnem spletu najdemo veliko virtualnih učnih pripomočkov. Učitelji se sprašujejo, katerega naj uporabijo pri obravnavi novih matematičnih konceptov. Pri mnogih učiteljih se pojavlja zadržanost pri uporabi virtualnih učnih pripomočkov. Sprašujejo se, kaj se učenci sploh naučijo in ali jim tehnologija res poenostavi razumevanje matematične učne snovi. Ti učitelji se morda ne zavedajo, da je pomembno, da učitelj izbere primeren virtualni učni pripomoček in da učence opozori, na kaj naj bodo pozorni pri delu z njim.
Pomembno je, da na koncu v razredu izpeljejo skupen razgovor, kjer poudarijo, kaj so napačne predstave in kaj pravilne, ter zapišejo skupne ugotovitve. (Drijvers, Barzel, 2012)
Virtualni učni pripomočki lahko spodbujajo kognitivni konflikt ter vplivajo na aktivnost učenca pri učenju. Učenci pri usvajanju novih matematičnih konceptov lažje prehajajo s konkretne na abstraktno raven. Med prebiranjem člankov in raziskav smo ugotovili, da je primerna uporaba virtualnih učnih pripomočkov pri pouku matematike pozitivno vplivala na učenje matematike. Vse pregledane raziskave o uporabi virtualnih učnih pripomočkov so bile izvedene v tujini. Glavno vodilo magistrskega dela je bila obravnava kriterijev o primernosti virtualnih učnih pripomočkov za pouk začetne algebre v slovenskih osnovnih šolah. Bokhove in Drijvers (2010) predstavljata kriterije za oceno primernosti virtualnih učnih pripomočkov za učenje algebre. Te kriterije smo uporabili v empiričnem delu.
Zanimala so nas stališča bodočih učiteljic in učiteljev matematike o kriterijih. Podatke smo zbrali z anketnim vprašalnikom. Rezultati so pokazali, da študentke in študenti dajejo velik poudarek temu, da je virtualni učni pripomoček brezplačen in enostaven za uporabo. Za najbolj primeren in uporaben virtualni učni pripomoček so študentke in študenti ocenili virtualno tehtnico s spletne strani NLVM.
2
2 TEORETIČNA IZHODIŠČA
2. 1 UČNI PRIPOMOČKI PRI POUKU MATEMATIKE
Že od nekdaj se pri pouku matematike uporabljajo učni pripomočki. Primer zelo starega učnega pripomočka za učenje računanja je abak. Italijanska pedagoginja Maria
Montessori prinesla v predšolsko izobraževanje veliko učnih pripomočkov, ki so bili v uporabi kar nekaj let. Danes svet učiteljev matematike NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) priporoča uporabo učnih pripomočkov na vseh stopnjah izobraževanja, saj opažajo, da je najbolj dragoceno znanje tisto, ki je doseženo z aktivnim delom učencev. Predvsem so učni pripomočki pomoč pri razumevanju bolj zahtevnih konceptov pri pouku matematike. Učenci ob njih lažje usvajajo simbolne zapise in postopke pri matematiki.
Spletna stran Hand2mind1, preko katere lahko naročimo različne učne pripomočke, podaja tudi opis prednosti uporabe učnih pripomočkov, ki sloni na povzetku raziskav različnih uveljavljenih avtorjev. Med drugimi navaja, da NCTM priporoča uporabo učnih pripomočkov pri poučevanju matematike za naslednje teme:
- urejanje (matematična spretnost, ki pomaga pri razumevanju vzorcev in funkcij), - razvijanje občutka za število,
- gradnja značilnih vzorcev (pomembno za posplošitev),
- prepoznavanje značilnih geometrijskih oblik in razumevanje odnosov med njimi, - merjenje 2D- in 3D-objektov s standardnimi in nestandardnimi enotami,
- razumevanje mestne vrednosti pri zapisu števil,
- razumevanje matematičnih operacij (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje), - prepoznavanje odnosov med matematičnimi operacijami,
- raziskovanje in opisovanje prostorskih odnosov, - prepoznavanje in opisovanje različnih vrst simetrije, - razvoj prostorske predstave,
- spoznavanje in apliciranje transformacij, - reševanje matematičnih problemov,
- predstavitev matematične ideje na različne načine, - povezovanje različnih konceptov v matematiki in - učinkovita uporaba matematičnih idej.
Matematični koncept se razvija po treh stopnjah dela z učnim pripomočkom.
Te stopnje so predstavljene v spodnji tabeli.
1 Spletni vir: http://www.hand2mind.com/resources/benefits-of-manipulatives, 2017
3
Tabela 1: Matematični koncept po stopnjah dela z učnim pripomočkom
KONKRETNA STOPNJA PREDSTAVITVENA STOPNJA
ABSTRAKTNA STOPNJA
Matematični koncept je vgrajen v učni pripomoček.
Učenec skozi aktivnost, kjer dela z učnim pripomočkom, raziskuje,
za kakšen matematičen koncept gre.
Učenec predstavi matematičen koncept s sliko oziroma skico
na podlagi prejšnje stopnje.
Učenec prikaže matematični postopek slikovno.
Učenec uporabi za prikaz postopka
simbolni zapis.
Matematični koncept predstavi v matematičnem jeziku.
Učne pripomočke različni avtorji različno opredeljujejo. Šilih (1961, po Bambič 2009) opredeljuje učne pripomočke kot pomagala, s katerimi rokujejo učenci. Andoljšek (1973, po Bambič 2009) opredeljuje učne pripomočke kot učilo, ob katerem učenec pridobiva znanje neposredno. Podhostnik (1981, po Bambič 2009) definira učne pripomočke kot učna sredstva, ki posredno pomagajo pri dajanju ali pridobivanju informacij. Poljak (1991, po Bambič 2009) predstavlja učne pripomočke kot učno sredstvo za delo pri pouku. Torej učni pripomočki so materiali, ki jih učitelj pri pouku uporablja in z njimi pomaga učencem usvajati učne cilje, ki si jih zastavi. (Bambič, 2009)
Učni pripomočki, ki jih poznamo pri poučevanju matematike, so predvsem konkretni učni pripomočki. Učenci se z njimi naučijo različnih matematičnih konceptov. Pomembno je, da imajo učenci dovolj časa, da z njimi delajo in sami skonstruirajo pravilno matematično razmišljanje, ki jih pripelje do razumevanja določenega matematičnega koncepta.
Učne pripomočke lahko klasificiramo glede na štiri kriterije:
- Glede na stopnjo prikazovanja odnosov jih delimo na ponazorila in modele.
Ponazorilo ponazarja določeno dejstvo ali pojem. Model ponazarja odnose med objekti. Bistvo modela je, da prikažemo odnose iz nekega konteksta X v drugem kontekstu Y. Model nam omogoča napovedovanje dogodkov v kontekstu X iz konteksta Y in obratno. V primeru geometrijskega telesa kocka, je skica kocke ponazorilo, medtem ko je fizična kocka model, saj jo lahko obračamo, razrežemo, razvijemo v mrežo in drugo. (Magajna (2015) po Pogačar 2015)
- Glede na statičnost ločimo statične in dinamične učne pripomočke. Statični učni pripomočki so zgolj nepremične slike. Torej slike, ki jih kot uporabniki ne moremo premikati ali spreminjati. Dinamični učni pripomočki omogočajo uporabniku interaktivno delo s prikazanimi elementi. Uporabnik lahko objekt premika, vrti, vleče, uporablja drsnike in drugo. (Moyer, Bolyard, Spikell (2001) po Pogačar 2015)
4
- Glede na konkretnost učnega pripomočka delimo učne pripomočke na fizične (konkretne) in virtualne učne pripomočke. Fizični učni pripomočki so učni
pripomočki, s katerimi se lahko učenci »rokujejo«. Virtualni učni pripomočki so fizični učni pripomočki v virtualni obliki, kot aplikacije na računalniku. (Moyer, Bolyard, Spikell (2001) po Pogačar 2015)
- Glede na vrsto interakcije med snovalcem pripomočka, uporabnikom in pripomočkom razlikujemo med pripomočkom v ožjem smislu, orodjem in
instrumentom. Ti pojmi so povezani s ciljem usvajanja znanja. Učni pripomoček v ožjem smislu je sredstvo, ki nam pomaga pri matematičnem razmišljanju in izvajanju matematičnih postopkov z namenom, da dosežemo učni cilj. Med pripomočke uvrščamo pisalo, tablo, algoritem, karirast papir, računalniški program, aplet, … Pripomoček postane orodje, ko ga začnemo povezovati z namenom uporabe, ki je uporabniku poznan. Orodje je na primer žepno računalo, saj z njim izvajamo računske operacije, ki bi jih sicer pisno. Instrument je
nadgradnja orodja. Instrument se moramo naučiti uporabljati, da lahko dobro razumemo njegov namen in pojme povezane z njim. Primer instrumenta je program Geogebra, saj omogoča izvedbo postopkov, ki jih brez tega programa težko razumemo (npr. vlečenje). (Magajna (2015) po Pogačar 2015)
Za lažjo predstavo o tem, kakšne učne pripomočke poznamo pri pouku matematike, bomo v nadaljevanju predstavili nekatere dinamične fizične učne pripomočke v ožjem smislu. (Suban in drugi, 2013)
LINKKOCKE
To so kocke, ki jih lahko spnemo na vseh ploskvah in nam omogočajo gradnjo geometrijskih teles. Kocke so različnih barv. Na eni ploskvi imajo čepek, na drugi pa luknjico. Uporabimo jih kot model za odkrivanje lastnosti geometrijskih teles. Lahko služijo kot model za različne dejavnosti pri obravnavi računskih operacij seštevanja in odštevanja. Primerne so za spoznavanje števil desetiških enot. Z njimi lahko učenci sestavljajo različne figure, oblikujejo vzorce, se učijo urejanja in razvrščanja ter se učijo štetja.
Slika 1: Linkkocke (vir: Spletna stran Juma, 2017)
5 DIENESOVE KOCKE
Imenujemo jih tudi kocke za ponazarjanje desetiških enot. Komplet je sestavljen iz majhnih kock, ki predstavljajo enice, paličic (10 majhnih kock skupaj), ki predstavljajo desetice, plošč (skupaj deset paličic), ki predstavljajo stotice, in velikih kock (skupaj deset plošč), ki predstavljajo tisočice. Učenci se z njimi učijo razumevanja desetiškega sistema in utemeljevanja računskih algoritmov.
Slika 2: Dienesove kocke (vir: Spletna stran Flipkart, 2017)
CUISENAIROVE PALIČICE
Paličice so namenjene za delo s števili in so kot pripomoček pri spoznavanju računskih operacij ter njihovih lastnosti komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti. Uporabne so tudi na področju algebre, simetrije in prostornine.
Slika 3: Cuisenairove paličice pri seštevanju ulomkov (vir: Spletna stran Mathfour, 2017)
6 PLOŠČICE ZA VZORČKE
Zbirka ploščic, ki jo sestavljajo rumeni šestkotniki, rdeči trapezi, modri paralelogrami, zeleni trikotniki, bež paralelogrami in oranžni kvadrati. Uporabne so za spoznavanje lastnosti geometrijskih likov in oblikovanje vzorcev. Obstajajo pa tudi odnosi med ploščicami, kar privede do različnih sklepov. Na primer “trapez je polovica šestkotnika”,
“paralelogram pa je tretjina trapeza”.
Slika 4: Ploščice za vzorčke (vir: Spletna stran Lakeshore vzorci, 2017)
MODELI DELOV CELOTE
Za delo z deli celote in ulomki uporabljamo predstavitev kroga in njegove dele. Deli kroga so označeni in različno obarvani. Uporabljajo se kot modeli za predstavitev ulomkov.
Slika 5: Modeli delov celote (vir: Spletna stran Lakeshore ulomki, 2017)
7 GEOPLOŠČA
Je plošča, na kateri imamo pritrjeno različno število čepkov. Čepki so razporejeni tako, da jih je v vodoravni in navpični vrsti enako število. Geoplošča je lahko lesena ali plastična. Uporabljamo jo kot model pri geometriji. Učenci s pomočjo elastike ponazarjajo like različnih oblik. (Jaklin, 2016)
Slika 6: Geoplošča (vir: Spletna stran Jecnik, 2017)
2.2 VIRTUALNI UČNI PRIPOMOČKI PRI POUKU MATEMATIKE
V razdelku 2.1 smo spoznali konkretne oziroma fizične učne pripomočke, ki jih uporabljamo pri pouku matematike. V tem razdelku se osredotočimo na dinamične virtualne učne pripomočke v ožjem smislu. Virtualni učni pripomočki se od fizičnih učnih pripomočkov razlikujejo v tem, da so virtualni učni pripomočki kot neke aplikacije na računalniku. To so na primer različne virtualne predstavitve zgornjih konkretnih učnih pripomočkov. Učenci manipulirajo z objekti preko računalniške miške ali preprosto s prstom po tablici. Učenci s tem preiskujejo matematične pojme, se učijo matematičnih postopkov in zapisov ter gradijo matematično znanje. (Moyer, Bolyard, Spikell, 2001) Virtualni učni pripomočki so na področju poučevanja matematike razmeroma nova tehnologija. Na računalniku jih najdemo kot programčke Java Script in Flash.
Omogočajo različne reprezentacije konkretnih učnih pripomočkov. Pomembna razlika med konkretnimi učnimi pripomočki in virtualnimi učnimi pripomočki je ta, da s številnimi virtualnimi učnimi pripomočki učenci lažje razvijajo matematične ideje kakor pri
konkretnih učnih pripomočkih. Konkretni učni pripomočki tudi ne zagotavljajo usmerjene povratne informacije, medtem ko se virtualni učni pripomoček odzove na učenčevo
8
dejanje in poda smernico, ki vodi učenca do prave matematične ideje. Virtualni učni pripomočki lahko spremenijo obliko objekta in tudi objekt pravilno matematično označijo.
Virtualni učni pripomoček nima omejitve števila elementov, kakor je to pri konkretnih učnih pripomočkih. Virtualni učni pripomočki so dostopni, kadarkoli si to želimo. Dostop je brezplačen ali plačljiv. Učencem je delo s tehnologijo všeč, zato jim bo tak način dela zanimiv in obenem poučen. Uporaba virtualnih učnih pripomočkov vpliva predvsem na konceptualno razumevanje in pomaga učencem prehajati iz konkretne izkušnje na bolj abstraktno raven. (Moyer, Bolyard, Spikell, 2001)
Za boljšo ponazoritev smo v nadaljevanju prikazali nekaj dinamičnih virtualnih učnih pripomočkov v ožjem smislu.
VIRTUALNE DIENESOVE KOCKE
Virtualne Dienesove kocke so model za učenje računskih algoritmov. Na spodnji sliki lahko vidimo, da je predstavitev enic (majhne kocke), desetic (10 majhnih kock skupaj) in stotic (deset paličic po 10 majhnih kock skupaj) povsem enaka kot pri fizičnem učnem pripomočku, le da je to na računalniku in se učenec fizično ne more dotikati kock. Poleg slikovne predstavitve ima učenec zraven prikazan tudi matematični zapis.
Slika 7: Virtualne Dienesove kocke (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
9 VIRTUALNE ALGEBRSKE PLOŠČICE
Virtualne algebrske ploščice so model za množenje veččlenikov. Z algebrskimi ploščicami so predstavljene različne spremenljivke in števila. Učenci na primer s premikanjem elementov v pravokotnik predstavijo produkt dveh veččlenikov.
Slika 8: Virtualne algebrske ploščice (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
VIRTUALNA GEOPLOŠČA
Virtualna geoplošča je model za prikaz geometrijskih likov in oblik. Sestavljena je iz kvadratne mreže s točkami, ki predstavljajo čepke. V virtualnem smislu je elastika ravna črta, ki jo vlečemo z miško od ene točke do druge in tako ustvarjamo geometrijske oblike. Območja lahko tudi obarvamo z želeno barvo.
Slika 9: Virtualna geoplošča (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
10 VIRTUALNA GEOMETRIJSKA TELESA
To je virtualni učni pripomoček, ki ponazarja modele različnih geometrijskih teles. Učenci lahko sami oblikujejo geometrijska telesa in jih nato obarvajo ter raziskujejo lastnosti določenega geometrijskega telesa.
Slika 10: Virtualna geometrijska telesa (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
TANGRAMI
Tangram sestavlja sedem delov. Ti deli so osnovni geometrijski liki. Z njimi sestavljamo različne figure in tako preiskujemo geometrijske lastnosti teh figur.
Slika 11: Tangrami (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
11
VIRTUALNA TEHTNICA ZA REŠEVANJE ENAČB
Virtualna tehtnica je model za reševanje linearnih enačb. Učenci z njo ponazorijo linearno enačbo in jo nato s preoblikovanjem rešijo.
Slika 12: Virtualna tehtnica za reševanje enačb (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
V magistrskem delu se v nadaljevanju osredotočimo na virtualne učne pripomočke za pouk matematike. V ta namen bomo predstavili, kakšna sta vloga in pomen virtualnih učnih pripomočkov pri pouku matematike. Zato smo se v razdelku 2. 3 posvetili
teoretičnemu ozadju in raziskavam, ki pojasnjujejo vlogo virtualnih učnih pripomočkov na področju poučevanja matematike.
2. 3 VLOGA VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV PRI POUČEVANJU MATEMATIKE
Pomen učnih pripomočkov ni enoznačen. Učenec in učitelj lahko vidita v nekem učnem pripomočku različno. Učitelj vidi neko matematično strukturo, ki spodbudi želeno miselno aktivnost učenca. Učenec pa mogoče tega ne opazi. Zato se mora učitelj vživeti v
učenca in predvidevati težave, do katerih lahko pride. Učenec lahko učni pripomoček vidi povsem matematično. To pomeni, da mu učni pripomoček predstavlja model nekega abstraktnega pojma. Lahko pa učenec dojema učni pripomoček povsem ne-
matematično, torej v učnem pripomočku »vidi« zgolj fizični objekt. (Jaklin, 2016)
12
Tako lahko vidimo, da sama uporaba učnih pripomočkov še ne pomeni, da spodbudimo miselno aktivnost učenca in doseganje učnih ciljev, ki si jih zastavimo. V ta namen bomo v nadaljevanju predstavili teorijo, na kateri sloni pomen uporabe učnih pripomočkov.
Teorija o izkustvenem učenju nam pravi, da se učimo najbolje, če naredimo nekaj sami.
Pri izkustvenem učenju gre za metodo učenja, ki skuša povezati neposredno izkušnjo, opazovanje in spoznanje v celoto. Učenci postopno usvajajo in gradijo pojmovne predstave, od konkretnih izkušenj do abstraktnega pojma. Gre predvsem za čutno spoznavanje različnih konceptov. (Žakelj, 2003)
Izkustveno učenje je netradicionalni pristop, ki upošteva realistični pristop, ki prehaja iz prakse k teoriji.
Marentič Požarnik (2010, str. 124) navaja Kolbov krog izkustvenega učenja. To je cikličen proces v štirih stopnjah. Prva stopnja predstavlja konkretno izkušnjo (vpletenost učenca v učno izkušnjo), druga razmišljujoče opazovanje (učenec izkušnjo analizira in o njej razmišlja), tretja abstraktno konceptualizacijo (učenec svojo izkušnjo primerja s sošolci, oblikuje nove pojme in vključi nove pojme v že obstoječe znanje) in četrta aktivno eksperimentiranje (kar se je učenec naučil pri pouku, uporabi v realnih situacijah). V procesu izkustvenega učenja morajo biti izvedene vse štiri stopnje.
Slika 13: Kolbov krog izkustvenega učenja (vir: Marentič Požarnik, 2010, str. 124)
Nekaj aktivnosti izkustvenega učenja (Žakelj, 2003):
- uporaba modelov, - izdelovanje modelov, - iskanje analogij,
- navajanje primerov in protiprimerov, - samostojno reševanje odprtih problemov, - eksperimentiranje,
- izvajanje meritev,
13 - zbiranje podatkov,
- ob uporabi geometrijskih modelov reflektiranje geometrijskih znanj, - predstavitev pojmov z diagrami, modeli, risbami,
- približno računanje,
- samostojno iskanje virov in
- iskanje podobnosti, razlik ter povezav med pojmi in dejstvi.
Za naštete aktivnosti izkustvenega učenja bi učitelj moral uporabiti primeren učni pripomoček. Torej učitelj se mora zavedati, kakšen je namen učnega pripomočka in kako bo učenca pripeljal do želenega učnega cilja.
Tudi uporaba virtualnih učnih pripomočkov ima pomembno vlogo pri razumevanju matematičnih pojmov, uporabi in razumevanju matematičnih postopkov, razumevanju določenih pravil ter reševanju matematičnih problemov.
Na tem področju je bilo izvedenih nekaj raziskav glede učinkovitosti virtualnih učnih pripomočkov pri pouku matematike.
Mbaye, Menil in Fuchs (2014) so v raziskavi na dveh fakultetah v New Yorku s pomočjo virtualnih učnih pripomočkov na osnovi Brunerjeve reprezentacije prišli do sklepa, da je uporaba virtualnih učnih pripomočkov pripomogla do boljših dosežkov pri pouku
matematike in do boljšega odnosa do matematike. Raziskava je potekala en semester.
Imeli so kontrolno skupino, kjer je bil klasičen pouk, in eksperimentalno skupino, kjer je potekel pouk z uporabo virtualnih učnih pripomočkov in Brunerjevo reprezentacijo.
Brunerjeva reprezentacija obsega tri ravni. Prva je enkativna, kjer izkusimo oziroma delamo z virtualnim učnim pripomočkom. Druga raven je ikonična, kjer ideje, ki jih
dobimo z virtualnim učnim pripomočkom, slikovno ponazorimo. Tretja raven je simbolna, kjer izpeljane pojme zapišemo v matematičnem zapisu. V raziskavi so naredili predtest in potest ter anketni vprašalnik o zadovoljstvu pri učenju na uporabljen način. Rezultati so pokazali, da so učenci, ki niso uporabljali virtualnega učnega pripomočka, na
preizkusu znanja dosegli slabše rezultate. (Mbaye, Menil, Fuchs, 2014)
Lee in Ferrucci (2012) sta izvedla raziskavo, kjer so se učenci na osnovni šoli v
Singapurju z uporabo virtualnega učnega pripomočka učili ekvivalence ulomkov. Izvedli so dve učni uri. Prva učna ura je bila izvedena z uporabo konkretnih učnih pripomočkov, druga učna ura pa je bila izvedena z uporabo virtualnih učnih pripomočkov. Pred obema urama je bil izveden test predznanja. Po obeh urah pa je bila izvedena anketa o
zadovoljstvu s takšnim delom. Učenci so napisali tudi prispevek za matematično revijo o učni uri z uporabo virtualnih učnih pripomočkov. Po učnih urah so izvedli tudi intervju z učiteljicama, ki sta izvajali učni uri. Rezultati so pokazali, da je bil način dela zanimiv, zabaven in poučen tako za učence kot tudi za učiteljici. (Lee, Ferrucci, 2012)
Drijvers in Barzel (2012) opozarjata, da različni virtualni učni pripomočki ter aktivnosti z njimi izzovejo različne matematične zaključke. Virtualni učni pripomočki oblikujejo
14
učenčevo matematično razmišljanje na osnovi učenčevega dojemanja, kako se določen virtualni učni pripomoček uporablja. Ta ideja se je oblikovala s teorijo, ki poudarja tesno povezavo med tehnikami za uporabo virtualnega učnega pripomočka in slikovno
predstavo o matematičnem konceptu, ki ga učenec oblikuje ob uporabi virtualnega učnega pripomočka. Zelo pomembno je, da se zavedamo možnih učenčevih napačnih predstav. Slikovna predstava, ki jo oblikujejo učenci ob uporabi virtualnega učnega pripomočka, mora biti trajnostna, da jo lahko uporabimo v prihodnjih učnih urah. Seveda pa so tu tudi omejitve virtualnih učnih pripomočkov. Na primer, predstavitev spremenljivk x in –x ni vedno enaka pri vseh virtualnih učnih pripomočkih. Učence moramo na to opozoriti. Uskladiti moramo uporabo virtualnega učnega pripomočka in simbolni zapis matematičnega postopka na list papirja. (Drijvers, Barzel, 2012)
Baratta (2011) v svojem članku opisuje, kako učenci razvijejo matematičen postopek reševanja linearne enačbe. V začetku si mora učenec predstavljati, kaj pomeni enačaj. V zgodnjih letih šolanja si predstavljajo enačaj kot znak, da morajo izračunati nekaj.
Kasneje pa igra enačaj tudi drugo vlogo. Enačaj pomeni, da sta dve strani enačbe enaki.
Učenci si najlažje to predstavljajo konkretno s tehtnico, ki je v ravnovesju. Na tem mestu pa avtorica predlaga uporabo virtualnega učnega pripomočka, ki predstavlja tehtnico v ravnovesju. Učenec lahko upravlja različne matematične operacije in pride do rešitve linearne enačbe s preoblikovanjem. Avtorica priporoča uporabo virtualnega učnega pripomočka pred tem, ko formalno zapišemo učno snov v zvezek. Učenci lahko že prej opazujejo, kaj se dogaja s tehtnico in kako se enačba obnaša med preoblikovanjem.
Učenec lahko sam oblikuje postopek reševanja linearne enačbe s preoblikovanjem.
Pomembno pa je, da učencu omogočimo enaktivno, ikonično in simbolno reprezentacijo, saj bo tako uspešneje prišel do želenega učnega cilja. (Baratta, 2011)
Loong (2014) v svojem članku opisuje spodbujanje matematičnega razumevanja s pomočjo konkretnih in virtualnih učnih pripomočkov. Da bi učenci usvojili matematične koncepte, ki so zahtevnejši za razumevanje, je pomembno izbrati ustrezen virtualni učni pripomoček. Ko izbiramo, kateri virtualni učni pripomoček bomo vpeljali v pouk
matematike, moramo upoštevati tri ključne verodostojnosti. Virtualni učni pripomoček mora biti matematično verodostojen, kar pomeni, da pripomoček v virtualnem svetu pravilno odraža matematične lastnosti. Virtualni učni pripomoček mora biti kognitivno verodostojen, torej, kako dobro virtualni učni pripomoček odraža učenčeve miselne dejavnosti ter možne razlage, medtem ko učenec dela z njim. Nenazadnje pa mora biti virtualni učni pripomoček pedagoško verodostojen, kar pomeni, da učni pripomoček omogoča doseganje učnih ciljev, ki smo si jih zastavili. Z uporabo virtualnih učnih pripomočkov pri razumevanju zahtevnejših matematičnih konceptov lahko zmanjšamo čas, ki ga učenci porabijo za njihovo razumevanje. (Loong, 2014)
Uporaba virtualnih učnih pripomočkov pomembno vpliva na učenje matematike. Ko učenec dela z virtualnim učnim pripomočkom, mora priti tudi do simbolnega zapisa matematičnega postopka, kar pa je za učenca lahko tudi precej zahtevno. Učenec se kasneje znajde v situaciji, ko mora uporabiti pridobljeno znanje brez uporabe virtualnega učnega pripomočka. Virtualni učni pripomočki so interaktivni in zmanjšajo kognitivno
15
obremenitev delovnega spomina. Učenec se bolje miselno vključi v aktivnost, ki jo izvajamo. Interaktivno bogati virtualni učni pripomočki pa lahko privedejo do visoke kognitivne obremenitve, saj se učenci preveč ukvarjajo z manipulacijo objektov ter posledično ne pridejo do matematičnih konceptov, ki so v ozadju. Prav tako morajo učenci med aktivnostjo z virtualnim učnim pripomočkom preiti iz konkretne izkušnje (enaktivne ravni) v matematični zapis postopka (simbolna raven), pri tem pa jih lahko ovira višje zaznaven in interaktivno bogat virtualni učni pripomoček. Učinkovita uporaba virtualnega učnega pripomočka je uporaba primerno zaznavnega in ustrezno
interaktivnega virtualnega učnega pripomočka s poudarkom na aktivnosti učenca.
Učenje z virtualnimi učnimi pripomočki pogosto vključuje ponotranjenje senzomotoričnih izkušenj. (Pouw, Gog, Paas, 2014)
Pouw, Gog in Paas (2014) v članku navajajo pojma vgrajeno in utelešeno znanje (embedded and embodied cognition). Ideja vgrajenega znanja je, da je spoznanje neločljivo od interakcije med telesom in okoljem. Učinkovito učenje je odvisno od tega, kako učenci usklajujejo svoje kognitivne (miselne) aktivnosti s svojimi telesnimi
aktivnostmi in vplivi iz okolja. Ideja o utelešenem znanju pa trdi, da je znanje vgrajeno v senzomotorične navade in izkušnje. Zelo pomembno je, da se vgrajeno in utelešeno znanje dopolnjujeta v učenčevem mišljenju. Vgrajeno znanje se osredotoča na
neprekinjeno interakcijo z okoljem, medtem ko se utelešeno znanje osredotoča na vlogo predhodno pridobljenih senzomotoričnih izkušenj v miselni aktivnosti, to je nepovezano s trenutnim okoljem. Učenec z izkušnjo zaznavnih in interaktivnih virtualnih učnih
pripomočkov ponotranji matematični koncept in ga v kasnejših podobnih situacijah brez virtualnega učnega pripomočka, zna izvajati zgolj v mislih. Kljub temu pa je tako
pridobljeno znanje lahko neločljivo povezano s senzomotorično izkušnjo z virtualnim učnim pripomočkom. (Pouw, Gog, Paas, 2014)
Ker je pouk algebre v osnovnih šolah za učence bolj abstraktna vsebina, smo se v magistrskem delu odločili, da predstavimo virtualne učne pripomočke za pouk začetne algebre, bolj natančno za reševanje linearnih enačb. Za lažjo predstavo o tem, kaj vse morajo učenci usvojiti glede algebrskih vsebin v višjih razredih osnovne šole, bomo v nadaljevanju najprej predstavili algebrske vsebine, ki jih učenci obravnavajo v osnovni šoli in nato predstavili izbrane virtualne učne pripomočke za reševanje linearnih enačb.
2. 4 ALGEBRSKE VSEBINE V OSNOVNI ŠOLI
V Slovarju slovenskega knjižnega jezika (SSKJ) je algebra definirana kot »veda o računanju s črkami ali kakimi drugimi znaki.« Algebra uporablja simbole in pravila, ki veljajo pri uporabi teh simbolov. Simboli so zapisani s črkami in predstavljajo količine brez določene vrednosti. Te vrednosti so neznanke, ki nastopajo v enačbi. Neznanka v matematičnem pomenu pomeni »matematična količina, katere vrednost je treba
izračunati.« (SSKJ)
16
Enačba je simbolni zapis za enakost dveh matematičnih izrazov. Izraza imenujemo leva stran in desna stran enačbe. Med njima stoji znak enačaj (=). Spremenljivke, ki
nastopajo v enačbi, imenujemo neznanke. Neznanko označimo s poljubno črko
abecede, najpogosteje s črko x. Rešitev enačbe je vsako število, pri katerem je vrednost leve strani enačbe enaka vrednosti desne strani enačbe. Pravimo, da to število zadošča ali ustreza enačbi. (Berk, Draksler, Robič, 2015)
Na spodnji sliki vidimo, kako je sestavljena enačba.
Slika 14: Sestavni deli enačbe
V algebri poznamo več vrst enačb, ki jih razvrstimo glede na število neznank in glede na stopnjo neznanke. Glede na število neznank poznamo: enačbo za eno neznanko,
enačbo z dvema neznankama, enačbo s tremi neznankami, enačbo s štirimi
neznankami. Glede na stopnjo neznanke poznamo: linearno enačbo, kvadratno enačbo, kubično enačbo. Poznamo pa tudi druge vrste enačb, to so na primer: trigonometrijska enačba, logaritemska enačba, diofantska enačba, diferencialna enačba … (Gorše Pihler in drugi, 2016)
Na spodnji sliki je prikazanih nekaj primerov enačb.
Slika 15: Prikaz primerov enačb (vir: i-učbenik za matematiko v 9. razredu, 2017)
17
V magistrskem delu se bomo ukvarjali z linearnimi enačbami. Linearna enačba je enačba z eno neznanko in stopnjo neznanke ena. (Gorše Pihler in drugi, 2016)
Te vrste enačbe so najbolj enostavne in prav takšne obravnavajo učenci v osnovni šoli.
Primer linearne enačbe lahko vidimo na sliki 15.
Za boljšo predstavo, kaj učenci obravnavajo v osnovni šoli pri temi algebra, smo uporabili najnovejši učni načrt za matematiko v osnovni šoli.
Učenci se v osnovni šoli srečajo z naslednjimi algebrskimi vsebinami (Štembergar, 2016):
- zapis računskih zakonov v splošni obliki, - zapis in reševanje linearnih enačb,
- zapis funkcijskega odnosa med količinami.
Posodobljen učni načrt za matematiko v osnovni šoli (2011) je prinesel nove didaktične posodobitve in vsebinske spremembe pouka algebre. Vpeljana je nova vsebina vzorci in zaporedja, ki služijo kot didaktični pristop za vpeljavo in razumevanje algebrskih struktur.
(Štembergar, 2016)
V učnem načrtu matematike za osnovno šolo (2011) se bomo osredotočili na tretje izobraževalno obdobje, saj poteka osrednji pouk algebre prav v tem obdobju. Učenci v tem obdobju prehajajo na raven abstraktno-logičnega mišljenja. V tretjem triletju
spoznajo osnove linearne funkcije, formalno rešujejo linearne enačbe, izražajo neznane količine iz matematičnih obrazcev, rešujejo naloge premega in obratnega sorazmerja ter usvojijo osnovno znanje o algebrskih izrazih.
Učni cilji tretjega triletja, ki so povezani z algebrskimi koncepti, so:
- računajo z algebrskimi izrazi,
- opazujejo vzorce, oblikujejo pravila in zapišejo z algebrskim izrazom, - poenostavljajo algebrske izraze in izračunajo njegovo vrednost za izbrano
vrednost spremenljivke, - izpostavljajo skupni faktor,
- ob besedilni nalogi zapišejo enačbo in jo rešijo, - rešijo linearno enačbo,
- izrazijo neznanko iz formule.
V empiričnem delu se bomo osredotočili na reševanje linearnih enačb, ki pa jih temeljito vpeljemo šele v 9. razredu osnovne šole. Po koncu osnovne šole učenci znajo formalno reševati linearne enačbe s preoblikovanjem. V 7. in 8. razredu se učenci učijo enačbe reševati s premislekom, z diagramom ali s ponazoritvijo s tehtnico.
Reševanje linearnih enačb je za učence v osnovni šoli abstraktnejša vsebina, saj morajo učenci uporabljati pri reševanju linearne enačbe simbolni zapis, ki pa je nekoliko
18
drugačen od navadnega računa s števili. Za lažji prehod in razumevanje matematičnega postopka reševanja linearnih enačb se moramo kot učitelji primerno pripraviti na učno uro. V veliko pomoč nam lahko pridejo že pripravljeni učni pripomočki. Za predstavitev linearne enačbe je najprimernejša tehtnica, saj mora imeti levo in desno stran v
ravnovesju, tako kot tudi linearna enačba. Ker je fizična tehtnica precej nerodna za natančno predstavitev reševanja linearne enačbe s preoblikovanjem, lahko za preprosto predstavitev uporabimo virtualni učni pripomoček, ki je namenjen reševanju linearnih enačb s preoblikovanjem.
2. 5 VIRTUALNI UČNI PRIPOMOČKI ZA POUK ZAČETNE ALGEBRE
Na spletu smo našli kar nekaj virtualnih učnih pripomočkov za reševanje linearnih enačb. Izbrali smo štiri virtualne učne pripomočke za reševanje linearnih enačb. Pri izboru smo upoštevali, da so virtualni učni pripomočki ustrezno predstavljali pojem enačbe in da je predstavljen postopek reševanja linearne enačbe. Upoštevali smo tudi, da je virtualni učni pripomoček dokaj enostaven za uporabo in da je matematično korekten.
2. 5. 1 SPLOŠNE ZNAČILNOSTI IZBRANIH VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV
Do izbranih virtualnih učnih pripomočkov lahko dostopamo na naslednjih povezavah:
1. Spletna stran NLVM:
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions&from=cat egory_g_4_t_2.html
2. Spletna stran MathPlayground:
http://www.mathplayground.com/AlgebraEquations.html 3. Spletna stran Algebra4All:
http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/homework/applets_two_step.html#top 4. Spletna stran Gizmos:
https://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cResource.dspView&ResourceID=
226
V spodnji tabeli so predstavljene splošne značilnosti izbranih štirih virtualnih učnih pripomočkov. V tabeli so na levi strani naštete značilnosti, pri vsakem virtualnem učnem pripomočku pa je označeno z zeleno kljukico, če značilnost velja za določen virtualni učni pripomoček, oziroma z rdečim križcem, če značilnost za določen virtualni učni pripomoček ne velja.
19
Tabela 2: Splošne značilnosti izbranih virtualnih učnih pripomočkov
Spletna
stran NLVM Spletna stran MathPlayground
Spletna stran
Algebra4All Spletna stran Gizmos
Generira naključne linearne enačbe.
Linearno enačbo lahko generiramo
sami.
Virtualni učni pripomoček je
dostopen z internetno povezavo.
Za zagon virtualnega pripomočka je potreben program
JavaScript.
Za zagon virtualnega učnega
pripomočka je potreben program
Flash.
Virtualni učni pripomoček je brezplačen za
uporabo. (poskusna
doba 5 min na dan)
Učenčevi odgovori in postopki reševanja se
shranjujejo.
20 Virtualni učni
pripomoček se prilagaja učenčevemu
znanju.
Virtualni učni pripomoček je odprto-koden.
Virtualni učni pripomoček uporablja angleški
jezik.
Virtualni učni pripomoček nudi tehnično pomoč.
Virtualni učni pripomoček nudi sprotno povratno
informacijo.
2. 5. 2 PREDSTAVITEV LINEARNE ENAČBE
V tem razdelku bomo opisali, kako vsak izmed štirih virtualnih učnih pripomočkov predstavlja pojem linearne enačbe.
Virtualni učni pripomoček s spletne strani NLVM slikovno ponazarja pojem linearne enačbe z virtualno tehtnico, ki je v ravnovesju. To lahko vidimo na spodnji sliki.
21
Slika 16: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani NLVM (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
Tudi virtualni učni pripomoček s spletne strani MathPlayground se poslužuje predstavitve pojma linearne enačbe z virtualno tehtnico, ki je v ravnovesju.
Slika 17: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani MathPlayground (vir: Spletna stran MathPlayground, 2017)
22
Virtualni učni pripomoček s spletne strani Algebra4All prikazuje pojem linearne enačbe z dvema poljema (levi/desni) med njima je enačaj oziroma, če linearna enačba ni v
ravnovesju, je neenačaj.
Slika 18: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani Algebra4All (vir: Spletna stran Algebra4All, 2017)
Virtualni učni pripomoček s spletne strani Gizmos se prav tako poslužuje predstavitve pojma linearne enačbe z levim in desnim poljem, kjer je med njima enačaj, ki se spremeni v neenačaj, če enačba ni v ravnovesju, tako kot se spreminja pri virtualnem učnem pripomočku s spletne strani Algebra4All. Predstavitev pojma linearne enačbe lahko vidimo na spodnji sliki.
Slika 19: Predstavitev linearne enačbe na spletni strani Gizmos (vir: Spletna stran Gizmos, 2017)
23
Predstavitev pojma linearnih enačb je pri vseh štirih virtualnih učnih pripomočkih ustrezna, saj smo v prejšnjih poglavjih spoznali, da je predstavitev linearne enačbe s tehtnico najbolj nazorna za učence. Tudi polji, ki sta med seboj v ravnovesju, sta primerna predstavitev linearne enačbe. Pomembno pa je, da se učenci zavedajo, da je potrebno vse, kar naredijo, narediti na obeh straneh enačbe.
2. 5. 3 PREDSTAVITEV NEGATIVNIH IN POZITIVNIH VREDNOSTI
V začetku reševanja linearne enačbe moramo linearno enačbo predstaviti z elementi za števila in spremenljivke, ki nastopajo v linearni enačbi. Vsak od izbranih virtualnih učnih pripomočkov uporablja drugačno predstavitev, na kar moramo biti pozorni. Tudi učence moramo na predstavitve opozoriti, da se zavedajo različnosti predstavitev. Za
predstavitve lahko uporabimo karkoli, vendar moramo to ustrezno označiti in pojasniti.
V spodnji tabeli so prikazane predstavitve za negativna števila in spremenljivke ter pozitivna števila in spremenljivke pri vsakem virtualnem učnem pripomočku.
Tabela 3: Predstavitev pozitivnih in negativnih vrednosti
Spletna stran
NLVM Spletna stran
MathPlayground
Spletna stran
Algebra4All Spletna stran Gizmos
Pozitivno število
Enotska utež Pozitivna enota Pozitivna enota Kroglica Pozitivna
spremenljivka Utež neznane
mase Neznana vrednost Neznana
vrednost Disk
Negativno
število Balonček, ki vleče navzgor
z maso 1 Negativna enota Negativna enota /
Negativna
spremenljivka Balonček, ki vleče navzgor z enako maso
/ Nasprotje
neznane vrednosti
/
24 kot utež »x«
navzdol
Primer: x = 3
Pomeni, da neznana utež tehta toliko kot
tri enotske uteži.
Pomeni, da je neznana vrednost enaka 3 pozitivnim
enotam.
Pomeni, da je neznana vrednost enaka
3 pozitivnim enotam.
Pomeni, da disku
»pripadajo« 3 kroglice.
Vidimo, da so predstavitve pozitivnih in negativnih vrednosti različne glede na virtualni učni pripomoček. Virtualna tehtnica NLVM uporablja za predstavitev pozitivnih vrednosti uteži, za negativne vrednosti pa balončke. Virtualna pripomočka s spletne strani
Alegbra4All in MathPlayground uporabljata med seboj podobne predstavitve. Oba uporabljata za predstavitev pozitivnih in negativnih vrednosti geometrijske like. Virtualni učni pripomoček s spletne strani Gizmos pa uporablja zanimivo predstavitev, s kroglico ponazarja število 1 in disk ponazarja neznano vrednost x. V tabeli je za lažjo predstavo, v spodnji vrstici zapisan tudi primer za x = 3. Pri vseh izbranih virtualnih učnih
pripomočkih je spremenljivka x predstavljena s privzetkom, da je vrednost spremenljivke pozitivna (pozitivna spremenljivka). Simbol x tako pomeni prištevanje (pozitivne)
spremenljivke, simbol –x pa odštevanje (pozitivne) spremenljivke. Pri virtualni tehtnici NLVM tako spremenljivko x ponazori z utežjo, ki »vleče« navzdol, -x pa kot balonček, ki
»vleče« navzgor.
2. 5. 4 PRIŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ELEMENTOV
Pri reševanju linearne enačbe preoblikujemo linearno enačbo tako, da pridemo do rešitve za spremenljivko x. Pri preoblikovanju dodajamo oziroma odvzemamo elemente z obeh strani enačbe. Virtualni učni pripomočki uporabljajo različne načine, kako to naredijo.
Virtualna tehtnica NLVM
Elemente na tehtnico dodajamo oziroma odvzemamo z gumbi. To je prikazano na spodnji sliki. Virtualni učni pripomoček dopušča le enakovredno dodajanje oziroma odvzemanje na obeh straneh linearne enačbe.
Slika 20: Dodajanje/odvzemanje elementov na virtualni tehtnici NLVM (vir: Spletna stran NLVM, 2017)
25 Virtualna tehtnica MathPlayground
Elemente dodajamo oziroma odvzemamo s klikom na gumba prikazana na spodnji sliki.
Ko dodajamo/odvzemamo elemente na virtualni tehtnici, se enako število elementov doda oziroma odvzame na obeh straneh virtualne tehtnice hkrati. Z enim klikom na gumb »dodaj/odvzemi« se spreminjata obe strani linearne enačbe.
Slika 21: Dodajanje/odvzemanje elementov pri virtualni tehtnici MathPlayground (vir: Spletna stran MathPlayground, 2017)
Virtualni pripomoček Algebra4All
Pri virtualnem učnem pripomočku Algebra4All zgolj dodajamo oziroma odvzemamo elemente z vlečenjem. Elemente moramo povleči na vsako stran linearne enačbe posebej. Torej, ko dodajamo/odvzemamo na levi strani linearne enačbe, se enačaj med poljema spremeni v neenačaj. Zato enako naredimo tudi na desni strani linearne
enačbe. Neenačaj med poljema se spremeni nazaj v enačaj, saj smo enačbo postavili v ravnovesje, ker smo enako naredili na obeh straneh linearne enačbe.
Virtualni učni pripomoček Gizmos
Pri preoblikovanju linearne enačbe pri virtualnem učnem pripomočku Gizmos potrebujemo zgolj odvzemanje elementov. Elemente odvzemamo z vlečenjem
elementov v polje ob delovnem prostoru. Elemente enakovredno odvzemamo na obeh straneh linearne enačbe, kar odvzamemo na eni strani enačbe, gre avtomatsko stran tudi na drugi strani enačbe.
2. 5. 5 PRIKAZ DELJENJA PRI PREOBLIKOVANJU LINEARNE ENAČBE
Tudi prikaz deljenja je pri virtualnih učnih pripomočkih različen.
Virtualna tehtnica NLVM
Med preoblikovanjem izvedemo deljenje tako, da enakovredno delimo s številom na obeh straneh linearne enačbe. Za deljenje uporabljamo gumb poleg gumbov za dodajanje oziroma odvzemanje, to je gumb s simbolom »÷«.
26 Virtualna tehtnica MathPlayground
Virtualni učni pripomoček s spletne strani MathPlayground nam sam razdeli območje na enake dele, ko pridemo pri preoblikovanju linearne enačbe do deljenja. Naša naloga je zapisati končno rešitev po razdelitvi na enake dele. Virtualni učni pripomoček dodeli vsaki spremenljivki x enako število enotskih elementov. Razdelitev enakovredno naredi na obeh straneh linearne enačbe. Deljenje je zelo nazorno, tako da lahko rešitev
enostavno vidimo s slike. Prikaz deljenja je na spodnji sliki.
Slika 22: Deljenje pri virtualni tehtnici MathPlayground (vir: Spletna stran MathPlayground, 2017)
Virtualni pripomoček Algebra4All
S klikom na gumb »/« v levem okvirju razdelimo območje na toliko delov, kot imamo spremenljivk x. Ob kliku na gumb »/« se razdelita obe strani linearne enačbe hkrati. Nato število elementov na desni razporedimo v polja tako, da ima vsaka spremenljivka x enako število enotskih elementov. Prikaz deljenja je na spodnji sliki.
Slika 23: Deljenje pri virtualnem učnem pripomočku Algebra4All (vir: Spletna stran Algebra4All, 2017)
27 Virtualni učni pripomoček Gizmos
Zelo nazorno deljenje ima virtualni učni pripomoček s spletne strani Gizmos. Tukaj moramo na diske, ki so spremenljivke x, povleči toliko kroglic, da jih bo na vsakem disku enako število. Ko pridemo do deljenja pri preoblikovanju linearne enačbe, na virtualnem učnem pripomočku ni več leve in desne strani enačbe. Imamo samo diske in kroglice, ki jih moramo ustrezno razporediti. To je prikazano na spodnji sliki.
Slika 24: Deljenje pri virtualnem učnem pripomočku Gizmos (vir: Spletna stran Gizmos, 2017)
Najbolj ustrezen prikaz deljenja se nam zdi pri virtualnem učnem pripomočku s spletne strani Gizmos. Tu si učenci lažje predstavljajo deljenje, saj uporabimo diske, ki smo jih imeli že od prejšnjih korakov in učenec mora samo razporediti kroglice na diske po enako število kroglic. Kar pa učencem ne bi delalo težav. Pri virtualnem učnem
pripomočku s spletne strani MathPlayground vidimo nekaj težav, saj učenec ne bi vedel, kako kar naenkrat razdelimo polja. Ker učenec ne bi bil fizično aktiven pri deljenju, verjetno tudi miselno ne bi usvojil tega koraka deljenja. Zelo pomemben je ob tem razmislek, zakaj se tako razdeli.
2. 5. 6 PRIKAZ SIMBOLNEGA ZAPISA OB REŠEVANJU LINEARNE ENAČBE
Simbolni zapis je prisoten pri vseh štirih izbranih virtualnih učnih pripomočkih, vendar le pri virtualni tehtnici s spletne strani NLVM ostaja cel postopek reševanja linearne enačbe ob celotnem preoblikovanju, medtem ko pri preostalih treh simbolni zapis od prejšnjega koraka izgine in se pojavi simbolni zapis novega koraka. Tu bi bilo priporočljivo, da si učenci postopek preoblikovanja linearne enačbe pišejo v zvezek.
Spodaj so prikazani različni simbolni zapisi ob ikonični reprezentaciji.
28
Slika 25: Prikaz simbolnega zapisa pri virtualnih učnih pripomočkih (vir: Spletna stran NLVM, spletna stran MathPlayground, spletna stran Algebra4All, spletna stran Gizmos, 2017)
2. 6 KRITERIJI PRIMERNOSTI VIRTUALNIH UČNIH PRIPOMOČKOV ZA POUK ALGEBRE
V empiričnem delu smo v anketnem vprašalniku uporabili kriterije primernosti virtualnih učnih pripomočkov, ki so bili uporabljeni v raziskavi v tujini. Kriteriji so povzeti po članku Digital Tools for Algebra Education: Criteria and Evaluation (Bokhove, Drijvers, 2010). V nadaljevanju bomo predstavili te kriterije primernosti virtualnih učnih pripomočkov.
Kriterij 1: Virtualni učni pripomoček dopušča učencu, da razvije svoje strategije, ideje in sklepanja.
Kriterij 2: Učenec oblikuje pravilne miselne procese pri uporabi virtualnega učnega pripomočka in jih zna uporabljati tudi brez virtualnega učnega pripomočka.
29
Kriterij 3: Virtualni učni pripomoček podpira matematične zapise, matematične simbole in matematične operacije, ki jih učitelj uporablja pri učni uri.
Kriterij 4: Virtualni učni pripomoček generira naključne algebrske naloge.
Kriterij 5: Znanje, ki ga učenec pridobi z uporabo virtualnega učnega pripomočka, lahko združuje v večje učne enote.
Kriterij 6: S pomočjo virtualnega učnega pripomočka učenec pride do zastavljenega učnega cilja.
Kriterij 7: Učitelj lahko vključi virtualni učni pripomoček v svojo učno uro in z njim dosega zastavljene učne cilje.
Kriterij 8: Učenec uporablja virtualni učni pripomoček kot orodje (vemo, kakšen je namen in pomen uporabe pripomočka).
Kriterij 9: Virtualni učni pripomoček pravilno prikazuje matematične simbole in formule.
Kriterij 10: Virtualni učni pripomoček nudi učencu vse tri reprezentacije po Brunerju (enaktivna, ikonična, simbolna reprezentacija).
Kriterij 11: Učitelj lahko virtualni učni pripomoček prilagodi glede na potrebe učne ure (vprašanja, besedilo, naloge, povratna informacija).
Kriterij 12: Uporaba virtualnega pripomočka je za učenca enostavna (zapis enačb, prijazen uporabniški vmesnik, hitro učenje uporabe pripomočka).
Kriterij 13: Virtualni učni pripomoček je dostopen kadarkoli in kjerkoli.
Kriterij 14: Učenčevi odgovori in postopki reševanja se shranjujejo.
Kriterij 15: Virtualni učni pripomoček omogoča uporabo standardov SCORM (zbirka standardov in navodil za spletno e-učenje).
Kriterij 16: Virtualni učni pripomoček ponuja več faz učenja (ponavljanje, utrjevanje, preverjanje).
Kriterij 17: Virtualni pripomoček omogoča več tipov povratne informacije (razumevanje pojmov, razumevanje postopka, zgolj poprava).
Kriterij 18: Virtualni učni pripomoček se prilagaja profilu učenca tako, da upošteva učenčevo znanje in zahteve.
Kriterij 19: Omogoča sistematičen pregled pravilnosti reševanja nalog.
Kriterij 20: Uporabljeni so različni tipi nalog (odprti, zaprti tipi nalog).
Kriterij 21: Virtualni učni pripomoček je brezplačen za uporabo.
Kriterij 22: Virtualni učni pripomoček je odprto-koden (programsko kodo virtualnega pripomočka lahko spreminjamo in nadgrajujemo).
30
Kriterij 23: Omogočena je brezplačna tehnična pomoč uporabnikom.
Kriterij 24: Virtualni učni pripomoček učenec lahko uporablja v svojem maternem jeziku.
Kriterij 25: Virtualni učni pripomoček je stabilen (Java), učinkovit in ne moteč za uporabo pri pouku.
Kriterij 26: Uporabniški vmesnik virtualnega učnega pripomočka je privlačen in dobro strukturiran.
Od zgoraj naštetih 26 kriterijev smo štiri kriterije oblikovali sami. Kriterije, ki smo jih zapisali z rdečo barvo, smo oblikovali sami. Te kriterije smo dodali, ker smo želeli pri izboru virtualnega pripomočka upoštevati vse tri verodostojnosti (kognitivno,
matematično in pedagoško verodostojnost).
Kriterij 2 (»učenec oblikuje pravilne miselne procese pri uporabi virtualnega učnega pripomočka in jih zna uporabljati tudi brez virtualnega učnega pripomočka«) upošteva kognitivno verodostojnost. Torej kognitivno verodostojen je učni pripomoček, ki odraža učenčeve miselne dejavnosti ter možne razlage, medtem ko dela z njim. (Loong, 2012) Kriterij 6 (»s pomočjo virtualnega učnega pripomočka učenec pride do zastavljenega učnega cilja«) in kriterij 7 (»učitelj lahko vključi virtualni učni pripomoček v svojo učno uro in z njim dosega zastavljene učne cilje«) upoštevata pedagoško verodostojnost.
Torej učni pripomoček omogoča doseganje učnih ciljev, ki si jih zastavimo kot učitelj.
Kriterij 10 (»virtualni učni pripomoček nudi učencu vse tri reprezentacije po Brunerju (enaktivna, ikonična, simbolna reprezentacija«) smo vključili med naštete kriterije, ker je ob obravnavi zahtevnejše vsebine pri matematiki, pomembna uporaba Brunerjeve reprezentacije.
Upoštevanje zgornjih kriterijev je pomembno vodilo, ko izbiramo virtualni učni pripomoček za pouk matematike. Kakšno stališče do kriterijev za izbor primernega virtualnega učnega pripomočka pa imajo bodoče učiteljice in učitelji, bomo predstavili v empiričnem delu.
31
3 EMPIRIČNI DEL
3. 1 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA
Glavni namen raziskovalnega dela je raziskati kriterije primernosti virtualnih učnih pripomočkov za pouk začetne algebre. Z raziskavo želimo raziskati, kako pomembni so kriteriji primernosti študentkam in študentom poučevanja matematike. Podobni kriteriji so bili uporabljeni v raziskavi na Nizozemskem (Bokhove, Drijvers, 2010), kjer so
primernost kriterijev ocenjevali učitelji matematike.
Dobili bomo vpogled v to, kakšno je mnenje naših bodočih učiteljev glede primernosti kriterijev virtualnih učnih pripomočkov za pouk začetne algebre. Poleg tega pa bomo njihova mnenja primerjali z mnenji učiteljev na Nizozemskem.
Tema je v današnjem času precej aktualna in pomembna, saj je svetovni splet nasičen z virtualnimi učnimi pripomočki. Učitelj je tisti, ki se mora odločiti, kateri virtualni učni pripomoček bo uporabil in tako učencem olajšal razumevanje učne snovi ter učitelju omogočal priti do zastavljenega učnega cilja.
Raziskava bo vplivala na učiteljev izbor primernega virtualnega učnega pripomočka za pouk začetne algebre ter dala vpogled v to, katere virtualne učne pripomočke za pouk algebre imamo in kako so ti pripomočki primerni za pouk v slovenskih osnovnih šolah.
Z raziskavo želimo prispevati k novim spoznanjem na področju poučevanja začetne algebre in posledično učiteljem pomagati pri izbiri primernega virtualnega učnega pripomočka za pouk začetne algebre.
3. 2 CILJI RAZISKAVE
V raziskavi se bomo osredotočili na naslednja raziskovalna vprašanja:
Raziskovalno vprašanje 1: Kakšna so mnenja študentk in študentov matematike glede kriterijev po izkušnjah z izbranimi virtualnimi učnimi pripomočki za pouk začetne
algebre?
Raziskovalno vprašanje 2: Kakšno stopnjo pomembnosti dajejo študentke in študenti matematike posameznim kriterijem za izbor virtualnih učnih pripomočkov (tudi v
primerjavi s tujimi učitelji matematike)?
Raziskovalno vprašanje 3: Kako ocenjujejo študentke in študenti matematike, na osnovi predstavljenih kriterijev, primernost izbranih virtualnih učnih pripomočkov za pouk začetne algebre?
32
3. 3 METODA IN RAZISKOVALNI PRISTOP
Za izvedbo empiričnega dela raziskave bomo uporabili deskriptivno ter kavzalno neeksperimentalno metodo in kvantitativni raziskovalni pristop.
3. 3. 1 VZOREC
V vzorec raziskave so zajete študentke in študenti višjih letnikov programa dvopredmetni učitelj, smeri matematika na Pedagoški fakulteti v Ljubljani. Način vzorčenja je
neslučajnostni, namenski.
Demografski podatki vzorca
V nadaljevanju bomo prikazali podatke o populaciji študentov, ki so bili vključeni v našo raziskavo. Zajeti vzorec bomo opredelili po spolu in letniku obiskovanja programa dvopredmetni učitelj, smeri matematika.
Kvantitativna raziskava temelji na podatkih zbranih z anketnim vprašalnikom za študentke in študente 3., 4. in dodatnega letnika dodiplomskega študija ter 1. in
dodatnega letnika podiplomskega študija. Raziskovalni vzorec predstavlja 106 študentk in študentov.
Tabela 4: Struktura vzorca glede na spol
Število (N)
Odstotek (%) Spol
Moški 33 31,1
Ženski 73 68,9
Skupaj 106 100,0
Tabela 5: Struktura vzorca glede na spol in letnik izobraževanja
LETNIK
3. letnik dodpl
4. letnik dodpl
1. letnik podpl
Dodatno leto
dodpl/podpl SKUPAJ
SPOL f f % f f % f f % f f % f f %
Moški 9 8,5 6 5,7 6 5,7 12 11,3 33 31,1
Ženski 16 15,1 22 20,7 19 17,9 16 15,1 73 68,9
SKUPAJ 25 23,6 28 26,4 25 23,6 28 26,4 106 100,0
33
Slika 26: Odstotkovni prikaz vzorca glede na letnik izobraževanja
Vzorec predstavlja 106 študentk in študentov, med katerimi je 73 študentk, kar je 68,9 %, ter 33 študentov, kar predstavlja 31,1 % celotnega vzorca. Iz tabele 5 lahko razberemo, da je v vzorcu največ (28) študentk in študentov 4. letnika dodiplomskega študija, kar predstavlja 26,4 %. V 3. letniku dodiplomskega študija je 25 študentk in študentov (23,6 %). Enako število študentk in študentov je v 1. letniku podiplomskega študija, to je 25 študentk in študentov (23,6 %). V dodatnem letniku podiplomskega študija je 16 študentk in študentov (15,1 %). Najmanj študentk in študentov (12) je v dodatnem letniku dodiplomskega študija, kar predstavlja 11,3 % celotnega vzorca. V tabeli smo združili dodatna letnika dodiplomskega in podiplomskega študija, kar je skupaj 28 študentk in študentov. To predstavlja 26,4 % celotnega vzorca.
3. 3. 2 OPIS POSTOPKA ZBIRANJA PODATKOV
Za ugotovitev stališč študentk in študentov do primernosti kriterijev virtualnih učnih pripomočkov ter ustreznosti izbranih virtualnih učnih pripomočkov za pouk algebre, smo oblikovali anketni vprašalnik (glejte Prilogo 1). Anketni vprašalnik je nestandardizirani merski instrument.
Anketni vprašalnik smo objavili na spletni strani http://www.z-maga.si/ ter na družbenem omrežju Facebook. Sestavili smo ga na spletni strani https://www.1ka.si. Zbiranje
podatkov je potekalo od 23. maja 2017 do 20. junija 2017.
Anketni vprašalnik vsebuje sedem sklopov zaprtih vprašanj:
1.–2. Demografski podatki (spol, letnik izobraževanja);
3. Letnik dodpl 4. Letnik dodpl 1. Letnik podpl Dodatno leto dodpl Dodatno leto podpl
