KONSTRUKTIVISTI Č NI PRISTOP PRI POU Č EVANJU DELOV CELOTE IN UVAJANJU V ULOMKE

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

MAJA VEGELJ

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA RAZREDNI POUK

KONSTRUKTIVISTI Č NI PRISTOP PRI POU Č EVANJU DELOV CELOTE IN UVAJANJU V ULOMKE

DIPLOMSKO DELO

Mentorica: Kandidatka:

dr. Tatjana Hodnik Č adež, doc. za didaktiko matematike Maja Vegelj

Somentorica:

dr. Vida Manfreda Kolar, asist. za didaktiko matematike

Ljubljana, maj 2012

(4)

Lektorica:

Nataša Felc, prof. slovenščine

Prevajalka:

Urška Lahajnar Ubajiogu, prof. angleščine

(5)

ZAHVALA

Iskreno se zahvaljujem vsem, ki so mi med študijem in pisanjem diplomskega dela stali ob strani.

Zahvalila bi se dr. Vidi Manfreda Kolar in dr. Tatjani Hodnik Čadež, ki sta me s strokovnimi nasveti in potrpežljivostjo usmerjali pri pisanju in nastajanju diplomskega dela.

Zahvalila bi se vsem sodelavcem, ki so mi ponudili pomoč tako pri empiričnem delu kot pri nastajanju diplomskega dela s koristnimi nasveti in spodbudnimi besedami.

Zahvaljujem se vsem učencem, ki so sodelovali v študiji primera.

S srcem pa zahvalo namenjam možu, hčerkama in vsem bližnjim, ki so mi nudili podporo in pomoč v času študija in me potrpežljivo spremljali na poti k diplomi.

(6)

(7)

I

IZVLE Č EK

V diplomskem delu z naslovom Konstruktivistični način poučevanja delov celote in uvajanj v ulomke smo se najprej osredotočili na konstruktivistični pristop k poučevanju, ki učencem nudi globlje, trdnejše in bolj uporabno znanje. V drugem delu teoretične predstavitve smo podrobneje predstavili temo deli celote in ulomki: načine poimenovanja le-teh, različne vidike ulomkov in operacije, s katerimi se učenci srečujejo pri njihovi obravnavi. Velik pomen imajo tudi ponazorila, ki se ves čas prepletajo z vsebino in pripomorejo k lažjemu razumevanju ulomkov ter delu z njimi. Pri konstruktivističnem poučevanju delov celote je pomembno, da učencem ponudimo problemske situacije, s katerimi krepijo osnovno znanje in na njem gradijo nova spoznanja, ki jih potem s pridom uporabljajo v novih situacijah. Znanje, ki ga učenec usvoji s svojim aktivnim delom, se bolj ponotranji, kar je pri delih celote zelo pomembno, saj kasneje učenci lažje sledijo kompleksnejšim nalogam, ki jih prinašajo racionalna števila.

V empiričnem delu smo desetim učencem individualno zastavili osem različnih nalog in situacij s področja delov celote, s kakršnimi se učenci pri pouku le redko srečajo. Kognitivni konflikti, ki so jih učenci ob danih situacijah doživljali, so nam pokazali, kakšne so njihove predstave o delih celote. Pozorni smo bili predvsem na napačne predstave. Individualni pristop, pri katerem je vsak učenec moral aktivno sodelovati, je prispeval k temu, da so se le-te hitro pokazale. S pravilnim vodenjem smo jih nato poskušali odpraviti in s tem pri učencih doseči napredek pri razumevanju delov celote. Uspešnost našega načina dela je bila visoka, kar smo prikazali tudi s primerjavo začetnih in končnih odgovorov učencev, v katerih je bilo opaziti viden napredek vsakega posameznega učenca.

KLJUČNE BESEDE:

Konstruktivizem, poučevanje, celota, del celote, kognitivni konflikt, napačna predstava, individualni pristop.

(8)

II

THE CONSTRUCTIVIST APPROACH TO TEACHING PARTS OF A WHOLE AND INTRODUCING FRACTIONS

In the thesis The Constructivist Approach to Teaching Parts of a Whole and Introducing Fractions the focus has been laid on the constructivist approach to teaching which provides pupils deeper, more solid and more useful knowledge. The second part of the theoretical topic presentation there is a more detailed presentation of the parts of a whole and fractions: ways of naming them, various approaches to fractions and mathematical operations that pupils meet while dealing with this topic. Very important for the work are also depictions that constantly intertwine with the contents and help understand the fractions as such and dealing with them more easily. In constructivist teaching of parts of a whole it is extremely important to provide pupils with problem situations that will strengthen their basic knowledge and develop it into new findings which can be used effectively in ever new situations they encounter. The knowledge pupils gain with their active cooperation will be internalised more, which is very important with parts of a whole, as it helps pupils comprehend more complex tasks of rational numbers more easily.

The empirical part consists of a practical task – ten pupils were individually confronted by eight different exercises and situations from the topic of parts of a whole, the type of which pupils rarely encounter in regular class work. Cognitive conflicts that pupils experienced in the given situations have shown us their notion of parts of a whole. Attention was mainly paid to wrong notions. Individual approach with each pupil obliged to actively cooperate has made it possible for the latter to show soon. With appropriate guiding we have then tried to eliminate them and achieve progress in understanding of parts of a whole with pupils who initially had wrong notions. Success with this method was high, which has also been presented in the comparison of the initial and the final answers of pupils. They clearly show the notable progress of each individual pupil.

KEYWORDS:

Constructivism, teaching, a whole, part of a whole, cognitive conflict, wrong notion, individual approach.

(9)

III

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ... - 1 -

2 KONSTRUKTIVIZEM... - 2 -

2.1 RAZLIKEMEDTRADICIONALNIMINKONSTRUKTIVISTIČNIM PRISTOPOMKPOUČEVANJU ... -6-

2.2 PREDNOSTIINSLABOSTIKONSTRUKTIVISTIČNEGAPOUČEVANJA . -7- 2.3 VLOGAUČITELJAPRIKONSTRUKTIVISTIČNEMPOUČEVANJU ... -9-

2.4 VLOGANAPAČNIHPREDSTAVPRIKONSTRUKTIVISTIČNEM POUČEVANJU ... -11-

2.5 RAZLOGIZAKONSTRUKTIVISTIČNOPOUČEVANJENARAZREDNI STOPNJI ... -13-

2.6 POMENUČENJAVKONTEKSTU ... -16-

3 OD DELOV CELOTE DO ULOMKOV ... - 20 -

3.1 KOMPONENTEPRIDOBIVANJADELOVCELOTEINULOMKOV ... -21-

3.2 POIMENOVANJEDELOVCELOTE ... -26-

3.3 RAZLIČNIVIDIKIVPELJAVEULOMKOV ... -28-

3.3.1 ULOMEK KOT DEL ALI VEČ ENAKIH DELOV CELOTE ... - 28 -

3.3.2 ULOMEK KOT DEL KOLIČINE ... - 29 -

3.3.3 ULOMEK KOT KOLIČNIK NARAVNIH ŠTEVIL ... - 29 -

3.4 DELOZULOMKI ... -33-

3.4.1 RAZŠIRJANJE IN KRAJŠANJE ULOMKOV ... - 34 -

3.4.2 PRIMERJANJE IN UREJANJE ULOMKOV ... - 36 -

3.4.3 SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ULOMKOV ... - 40 -

3.4.4 MNOŽENJE IN DELJENJE ULOMKOV ... - 44 -

(10)

IV

3.5 MODELIZAPONAZORITEVULOMKOV ... -47-

3.5.1 KONKRETNI IN PLOŠČINSKI MODELI ... - 47 -

3.5.2 PODMNOŽICA SKUPINE PREDMETOV ... - 49 -

3.5.3 TOČKA NA ŠTEVILSKI PREMICI ... - 51 -

4 POVEZAVA MED KONSTRUKTIVIZMOM IN DELI CELOTE.. - 52 -

4.1 PROJEKTWISKOBAS IN DIDAKTIČNIKONSTRUKTIVIZEM ... -54-

4.2 NAPAČNEPREDSTAVE–KAKOJIHODPRAVITI? ... -57-

5 EMPIRI Č NI DEL ... - 62 -

5.1 OPREDELITEVPROBLEMA ... -62-

5.1.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... - 63 -

5.1.2 RAZISKOVALNE HIPOTEZE ... - 63 -

5.2 METODOLOGIJARAZISKOVANJA ... -64-

5.2.1 RAZISKOVALNA METODA ... - 64 -

5.2.2 RAZISKOVALNI VZOREC ... - 64 -

5.2.3 INSTRUMENTARIJ ... - 64 -

5.2.4 POSTOPEK ZBIRANJA PODATKOV ... - 65 -

5.2.5 METODE OBDELAVE PODATKOV ... - 65 -

5.3 REZULTATI ... -66-

5.4 INTERPRETACIJAREZULTATOV ... -92-

6 SKLEP ... - 100 -

7 LITERATURA ... - 102 -

8 PRILOGE ... - 104 -

(11)

V

KAZALO SLIK IN TABEL

Slika 2.1: Delež tradicionalnih in konstruktivističnih učbenikov l. 1980 ... - 3 -

Slika 2. 2: Delež tradicionalnih in konstruktivističnih učbenikov l. 1990 ... - 3 -

Slika 2.3: Shema konstruktivizma ... - 5 -

Slika 2.4: Primer vstopanja in izstopanja na avtobus ... - 17 -

Slika 2.5: Zapis s puščicami ... - 18 -

Slika 2.6: Štetje nevidnih količin ... - 19 -

Slika 2.7: Prirejanje ... - 19 -

Slika 3.1: Primer različno velikih celot ... - 21 -

Slika 3.2: Delitev jabolka ... - 22 -

Slika 3.3: Konkretni material: pica ... - 23 -

Slika 3.4: Konkretni model: pica ... - 23 -

Slika 3.5: Diagram razdelitve pice na enako velike dele ... - 24 -

Slika 4.1: Piagetov eksperiment ohranitve količine tekočine ... - 54 -

Slika 4.2: Eksperiment z vazo ... - 56 -

Slika 4.3: Vodoravno obrnjena vaza ... - 56 -

Tabela 2.1: Tradicionalno in konstruktivistično poučevanje... - 6 -

Tabela 3.1: Postopno poimenovanje delov celote in simbolni zapis ... - 27 -

Tabela 4.1: Primerjava pomena delov celote med predšolskimi otroki in tretješolci devetletne OŠ ... - 53 -

Tabela 4.2: Delež nepravilnih odgovorov na preizkusu znanja... - 60 -

Tabela 5.1 Ali je krog razdeljen na tretjine? ... - 67 -

Tabela 5.2: Strategije dokazovanja učencev... - 68 -

Tabela 5.3: Ali je pravokotnik razdeljen na četrtine? ... - 69 -

Tabela 5.4: Stanje po demonstraciji učitelja ... - 71 -

Tabela 5.5: Pravična delitev čokolade ... - 72 -

Tabela 5.6: Strategije razpolavljanja čokolade ... - 73 -

Tabela 5.7: Delitev jabolka na polovici ... - 74 -

Tabela 5.8: Strategije utemeljevanja pri delitvi jabolka na polovici ... - 75 -

(12)

VI

Tabela 5.9: Trditve učencev in končno stanje po učiteljevi delitvi jabolka na dva dela ... - 76 -

Tabela 5.10: Poskus z vazo ... - 77 -

Tabela 5.11: Ugotovitve učencev po demonstraciji učitelja ... - 78 -

Tabela 5.12: Strategije natančnega merjenja količine tekočine ... - 78 -

Tabela 5.13: Lik 1 ... - 79 -

Tabela 5.14: Lik 2 ... - 81 -

Tabela 5.15: Lik 3 ... - 83 -

Tabela 5.16: Lik 4 ... - 84 -

Tabela 5.18: Lik 5 ... - 86 -

Tabela 5.20: Primerjava uspešnosti učenčevih odgovorov pri vseh likih v šesti nalogi ... - 88 -

Tabela 5.21: Iskanje dveh ekvivalentnih ulomkov na ponazorilu ... - 90 -

Tabela 5.22: Enak del čokolade ... - 91 -

(13)

Vegelj, M. (2012) Konstruktivistični pristop pri poučevanju delov celote in uvajanju v ulomke. Diplomsko delo.

Ljubljana: Pedagoška fakulteta UL.

- 1 -

1 UVOD

V diplomskem delu je v prvem delu teoretične predstavitve opredeljen konstruktivistični pristop k poučevanju, ki temelji na predpostavki, da je učenje posledica aktivnosti učenca: učenec svoje znanje gradi na predznanju, prepoznava svoje napačne predstave in ob danem vodenju učitelja s svojo miselno aktivnostjo gradi smiselne povezave. Znanje, ki ga učenec pridobi, je poglobljeno in trajnejše in tako posledično bolj uporabno.

Sledi podrobnejša predstavitev obravnave delov celote in ulomkov. Opisani so načini poimenovanja le-teh, načini obravnave pri pouku, konkretni modeli, ki pripomorejo k lažjemu dojemanju in predstavljanju ulomkov ter delu in operacijam, s katerimi se učenci srečujejo tudi v nadaljnjih letih šolanja. Zelo pomembno je, da so predstave o delih celote zgrajene na trdnih temeljih, in eden od načinov, kako lahko to dosežemo, je tudi konstruktivistični pristop.

V empiričnem delu raziščemo predstave učencev o delih celote. Namen raziskave je osredotočiti se na učenca in njegovo razumevanje delov celote ter poiskati pravi način vodenja učitelja, ki bi učenca s pojasnili, ponazorili in demonstracijo vodil po poti k pravilnemu rezultatu. Tako je bilo učencem ob vsaki nalogi ponujeno iskanje različnih strategij in raziskovanje z več čutili ob konkretnih stvareh, modelih in pripomočkih. Ob tem so na podlagi svojega predznanja oz.

napačnih predstav odkrivali svoje napake in iskali dokaze, da so se prepričali o pravilnosti različnih trditev.

(14)

- 2 -

2 KONSTRUKTIVIZEM

Učenje je pojem, ki ga vsi poznamo, vendar ob vprašanju, kaj je bistvo učenja, težko poiščemo pojasnilo zanj. Tako se je skozi čas razvilo veliko različnih teorij, ki so poskušale odgovoriti na to vprašanje. Med različnimi teoretičnimi pristopi k učenju ima pomembno vlogo tudi konstruktivistična perspektiva (Marentič Požarnik, 2004). Konstruktivistična teorija temelji na tem, da si vsak posameznik sam konstruira svoje znanje z lastno miselno aktivnostjo.

Konstruktivistična ideja se je rodila okoli leta 1980 na Nizozemskem. V naslednjem desetletju so se tam pojavile velike spremembe v poučevanju matematike. Pouk so želeli povezati z bolj realnim, praktičnim delom življenja (Mutić, 1996). Za vodilno metodo pri aplikaciji konstruktivizma so si v razredu izbrali metodo konfliktne situacije. Projekt je imel veliko skupnih točk z radikalnim konstruktivizmom, kot ga je opredelil von Glasersfeld (1991; v Hodnik Čadež, 2004). Van den Brink (1991; v Hodnik Čadež, 2004) ga je zaradi uporabnosti matematike kot neke dejavnosti, preko katere se učenci aktivno učijo novih znanj, preimenoval v didaktični realizem. Izpostavil je tri vodilna načela didaktičnega realizma:

1. Ker so konstrukti vezani na kontekst, morajo biti kontekstualne tudi matematične naloge in matematični jezik.

2. Med konstrukti posameznikov morajo obstajati določene konfortacije (konflikti, presenečenja in šale).

3. Konstrukti morajo imeti določen pomen in jih je mogoče vgraditi v obstoječo miselno strukturo.

(15)

- 3 -

V projektu Wiskobas so na Nizozemskem predstavili realistične poglede na poučevanje matematike, ki je kasneje vodilo v velike spremembe na trgu matematičnih učbenikov. Leta 1980 so na trgu učbenikov še vedno močno prevladovali tradicionalni (slika 1).

Slika 2.1: Delež tradicionalnih in konstruktivističnih učbenikov l. 1980 (Treffers, 1991, str. 11)

Po predstavitvi in z uvajanjem v nove načine poučevanja matematike se je v enem desetletju situacija močno spremenila. Na spodnji sliki vidimo, kolikšen delež realističnih učbenikov je bilo na trgu leta 1990.

Slika 2. 2: Delež tradicionalnih in konstruktivističnih učbenikov l. 1990 (Treffers, 1991, str. 11)

95%

5%

tradicionalni učbeniki realistični učbeniki

25%

75%

tradicionalni učbeniki realistični učbeniki

(16)

- 4 -

Ponudba realističnih učbenikov na trgu se je povzpela s 5 % na 75 %. »Napredek v poučevanju matematike na Nizozemskem je bil edinstven. Vodila ga je ideja, da naj bi bili matematika in aritmetika močno povezani z aktivnostjo človeka, ki pripomore k temu, da je doseženo znanje bolj kvalitetno in uporabno. Začetnika te nove ideje sta bila Brouwer in njegov učenec

Freudenthal. Tako naj bi učenec v povezavi z vsebinami, vprašanji, s formulami in z aktivnostmi, razvijal svoj konstrukt. Šele takrat, ko je nek konstrukt razvit, lahko potem dojame pomen

formule, vsebin in vprašanj« (Van den Brink, 1991, str. 198 in 199).

Tako je konstruktivizem postal v 80. in 90. letih pomemben okvir izobraževalne teorije. Tudi v slovenskem izobraževalnem prostoru je pustil svoj pečat. Pomembno vlogo konstruktivistične teorije je čutiti v izhodiščih kurikularne prenove, ki so jih izdali leta 1996. V njih je poudarjeno, da je potrebno povečati kakovost in trajnost pridobljenega znanja in ob tem razvijati svoje spoznavne spretnosti kritične presoje, ustvarjalnega mišljenja, učnih strategij in razmišljanja o svojem učenju (metaučenje), kar je osnova konstruktivističnega učenja (Marentič Požarnik, 2004).

»Konstruktivizem s svojo osnovno predpostavko, da znanja ne moremo preprosto „podati“

drugim oz. ga od drugih sprejemati, ampak da si ga mora vsakdo zgraditi z lastno miselno aktivnostjo ob izpopolnjevanju ali spreminjanju obstoječih idej o svetu, v procesu produktivne interakcije, dialoga s soljudmi, predstavlja pomemben raziskovalni in miselni model, ki ga v številnih mednarodnih okoljih že s pridom, čeprav ne brez težav, vpenjajo v šolski vsakdanjik«

(Marentič Požarnik, 2004, str.7).

»Na področju vzgoje in izobraževanja s konstruktivizmom označujemo teorijo znanja in iz njih izpeljane teorije učenja, ki temeljijo na predpostavki, da je znanje človekov konstrukt, pa naj bo to posledica človekove individualne, ožje socialne oz. širše družbene dejavnosti« (Plut Pregelj, 2004, str. 22).

»Najučinkovitejše učenje je tisto, ki je samoiniciativno« (Butler, 1995; v: M. Požarnik, 2004).

Vprašanje je le, kako pri učencih doseči stopnjo, da bo v sebi sam odkril motivacijo za učenje. Pri tem je zelo pomemben vpliv učitelja: učence naj bi z različnimi učnimi metodami vodil po poteh znanja in življenja. Tako bi učenci znali le-to izkoristiti tudi kasneje v različnih življenjskih situacijah.

(17)

- 5 -

Jaušovec (1993) poudarja, da je za kvaliteto učenja pomembno:

• da učenec izvaja naloge v okolju, ki je neposredno povezano s situacijami, s katerimi se bo srečal v vsakdanjem življenju;

• da je omogočeno sodelovanje med učiteljem in učenci ter med samimi učenci in

• da so učenci notranje motivirani.

Vse zgornje komponente učencu koristijo celo življenje. Ne učimo se le v šoli, ampak je učenje del našega vsakdana. Vse pridobljeno znanje pa bo imelo pomen, če ga bomo znali izkoristiti in pravilno porabiti. K boljšemu in kvalitetnejšemu življenju bomo pripomogli najprej s tem, da bomo sami tako živeli z duhom in s telesom. Konstruktivisti nas spodbujajo k aktivnem učenju:

gibanju, učenju ob različnih situacijah. Od učitelja pa je odvisno, ali bo za učence izbral aktivnosti, s katerimi bo izpolnil cilje, predpisane v učnem načrtu.

Spodnja shema prikazuje pomembnost tesne povezanosti vseh komponent učenja.

Slika 2.3: Shema konstruktivizma (Steffe, 2010, str. 23) UČNI

CILJI

SITUACIJA REZULTAT

AKTIVNOSTI

AKTIVNOST, DEJAVNOST

(18)

- 6 -

2.1 RAZLIKE MED TRADICIONALNIM IN KONSTRUKTIVISTI Č NIM PRISTOPOM K POU Č EVANJU

TRADICIONALNO POUČEVANJE KONSTRUKTIVISTIČNO POUČEVANJE Učitelj predvideva oziroma pričakuje od

učencev obvladovanje neke bazične snovi (predznanje).

Učitelj izhaja iz učenčevega vsakdana, njegovih izkušenj in spoznanj. Izhajamo iz vsebin, ki so blizu učenčevemu svetu (življenjske naloge in problemi). Pogosto vsebine integriramo z drugimi predmeti.

Na to predznanje nato nasloni razlago – to pomeni, da posreduje svoje znanje učencem preko večinoma enosmerne verbalne komunikacije. Učenec ima večinoma pasivno vlogo.

Učenec znanje pridobi aktivno na dejaven način – to je z izvajanjem raznih praktičnih dejavnosti: opazovanje, merjenje, primerjanje,

…

Učenec utrdi in poglobi novo znanje z urjenjem – najprej rešuje preproste matematične naloge (računi, izrazi, naloge, ki zahtevajo le prepoznavanje določenih obrazcev oz. postopkov) in kasneje še kakšno besedilno nalogo.

Velik pomen pri poglobitvi znanja ima učenčevo razumevanje.

Večinoma uporaba le osnovnih učnih pripomočkov (tabla, grafoskop).

Uporaba vsakdanjih predmetov, oblik, teles.

Konstruktivizem zlasti mlajšim učencem priporoča razne družabne igre, izmišljanje, pripovedovanje, uprizarjanje zgodb in igre vlog.

Snov je podana pregledno in sistematično. Novo znanje učenec pridobiva iz razumevanja, dogovorov, mnenj in pravil, ki so kompleksna in dolgotrajna.

Tabela 2.1: Tradicionalno in konstruktivistično poučevanje (Mutić, 1997, str. 194)

(19)

- 7 -

2.2 PREDNOSTI IN SLABOSTI KONSTRUKTIVISTI Č NEGA POU Č EVANJA

Poučevanje ni le podajanje vsebin, ki nam jih predpisuje učni načrt, temveč tudi spremljanje otrokovega razvoja in dojemanja. Vsak učenec v sebi sam gradi svoje znanje in razumevanje pojmov in vsebin. Zaradi razlik med učenci in njihovim različnim razumevanjem in predstavami je zanje dobro, da jim ponudimo naloge, preko katerih bodo na konstruktivni način prišli do nekih spoznanj. Pomembno je, da so sami aktivni in se sami dokopljejo do nekega znanja, učitelj pa jih le še usmerja in vzpodbuja.

Uporaba konstruktivističnih zakonitosti v učilnici predstavlja za učence in učitelje izziv, hkrati pa s tem ponuja tudi določene prednosti:

1. Učenci niso le pasivni prejemniki informacij, ampak se morajo v učno situacijo aktivno vključiti. Tako ob določenih aktivnostih pridobivajo znanje z razumevanjem, kar jim omogoča dolgotrajnejšo zapomnitev pridobljenih znanj.

2. Po Žakljevi (2001) naj bi socialni psihologi (Gilly, Blaye, Roux) spodbujali tudi sodelovanje med učenci, kar vpliva na pozitiven psihosocialni razvoj učencev.

Sodelovanje omogoča soočenje različnih stališč in vpogled v drugačno razmišljanje. Pri spodbujanju socialno-kognitivnega in kognitivnega razvoja je pomembno, da učitelj upošteva učenčev začetni nivo mišljenja, strukturo že obstoječega znanja ter otrokove lastne konceptne predstave.

3. »Pri konstruktivističnem načinu poučevanja učenec prevzame aktivno vlogo. Znanje si konstruira na podlagi svojih lastnih izkušenj in spoznanj. To znanje si mora pridobiti na dejaven način – to je z izvajanjem raznih praktičnih dejavnosti (merjenje, raziskovanje, opazovanje), kar pozitivno vpliva tudi na učenčev psihofizični razvoj, saj je med dejavnostmi vključenega veliko gibanja« (Mutić, 1997, str. 194).

4. »Motivacija pri otroku je običajno ob konstruktivističnem načinu poučevanja močna, pridobivanje znanja pa poteka bolj počasi, vendar ima trdne temelje in je tudi bolj uporabno, zato se nam dolgoročno gledano vsekakor obrestuje« (Mutić, 1997, str. 205).

5. Konstruktivizem spodbuja celostno učenje in različne metode dela, npr. projektno delo, učenje z odkrivanjem, učenje z raziskovanjem, kar pa posledično vodi tudi v pouk izven učilnic (narava, muzeji …), ki učencem omogoča učenje ob konkretnih situacijah.

(20)

- 8 -

6. »Ni pravilnih in napačnih odgovorov. S tem se dviguje samozavest učencev, kar ima spet pozitivne učinke na vrsto drugih dejavnikov uspešnega učenja in poučevanja« (Krnel, 2004, str. 276).

Konstruktivizem ima specifičen vpliv na teoretično pedagogiko in pedagoško prakso. Poleg vseh prednosti naletimo tudi na pomanjkljivosti takega načina poučevanja:

1. Učenci z nižjimi sposobnostmi rabijo ob reševanju problemov več učiteljeve pozornosti in usmeritve. Ob določenih ovirah pa se lahko pojavi tudi občutek nezmožnosti in neznanja, kar v otroku vzbudi nelagodje, nesamozavest in pomanjkanje motivacije.

2. Večja težava v današnjem šolskem sistemu je tudi pomanjkanje časa in snovna prenatrpanost učnih načrtov in učbenikov, ki vodi k temu, da je pomembneje rešiti vse naloge v delovnem zvezku in »priti« skozi snov, kot pa to snov poglobiti. Dražumerič (2004) omenja tudi problem eksternih preverjanj znanja in sprejemne izpite, na katerih še vedno večina nalog zahteva veliko reprodukcijskega znanja. Tako si učitelj ne more dovoliti, da bi določene vsebine, ki nimajo bistvenega pomena, enostavno izpustil.

3. Prevelike skupine učencev: »Pri poučevanju je potrebno upoštevati razvojno stopnjo in individualne razlike med učenci« (Mutić, 1997, str. 195). Le-to pa je težko izvedljivo v skupinah, kjer je veliko število učencev. Tam je za učitelja »lagodneje« tradicionalno poučevanje in frontalna razlaga učne snovi. Pri konstruktivističnem načinu poučevanja pa je potrebno skrbno oblikovati skupine, pri čemer je potrebno upoštevati različne učne stile posameznih učencev in njihovo predznanje. S pravilnim pristopom je potrebno učence naučiti poslušati in upoštevati različna mnenja, tako postanejo bistveno bolj samostojni ter učinkovito sodelujejo med seboj. Pri tem pa ima velik pomen tudi razvijanje pozitivnih stališč, ki so po Dražumerič (2004):

vrednotenje, obveznost, samozavest, sodelovanje, kreativnost, radovednost, empatija, entuziazem, samostojnost, integriteto, spoštovanje in strpnost.

4. Priprava učitelja: Uveljavljanje metod, ki omogočajo in spodbujajo učenčevo miselno aktivnost ter samostojnost, kot so produktivni dialog, problemski pouk, projektno učno delo, igre, simulacije ... so zahtevnejše, saj poleg obvladovanja tehnik pomenijo tudi korak v negotovost.

Učitelj se mora prilagoditi vsakokratni situaciji, odgovorom in vprašanjem učencev, ne da bi

(21)

- 9 -

izgubil izpred oči glavne cilje pouka. Nevajenost učencev na kulturo dialoga in na samostojno raziskovanje lahko pri nekaterih vodi do »zmedenega« znanja. Dražumerič (2004) navaja kot pomanjkljivost tudi sam način poučevanja, ki od učitelja zahteva veliko več kot tradicionalna oblika. Rutinsko delo, ki se ponavlja iz leta v leto, ne zadostuje več. Ker je priporočljiva uporaba čim več različnih virov in metod, se praviloma učbenikov ne uporablja, kar nalaga učitelju še dodatno delo.

2.3 VLOGA U Č ITELJA PRI KONSTRUKTIVISTI Č NEM POU Č EVANJU

Učitelj je pri konstruktivistično naravnanem pouku še kako potreben, saj je le-ta organizator in vodja, na katerega se učenci vedno lahko zanesejo, da jim je pripravljen pomagati in jih usmerjati. Učitelj mora pripraviti tako prostor kot dejavnosti na tak način, da je učencem omogočenih čim več dejavnosti – opazovanje, merjenje, eksperimentiranje, ugotavljanje rezultatov, primerjanje rezultatov z drugimi, sklepanje zaključkov …

»Učitelj mora ustvariti ugodne pogoje za procese učenja, vzpodbudno okolje in socialno ozračje, da bi lahko sprožil procese dejavnega, samostojnega pridobivanja spoznanj. Da bi učitelj lahko izvajal take procese, mora imeti posebne kvalitete in strategije delovanja: fleksibilnost, odprtost, strpnost, sposobnost vzbuditi zanimanje in navdušenje, izvirnost, pripravljenost upoštevati drugačna stališča in mnenja« (Špoljar, 2004, str. 65, 66).

Za učitelja je zelo pomembno, da izpelje učno uro na čim bolj učinkovit način. Prvi problem se mu postavi že na začetku ure, ko mora učence pritegniti z dobro motivacijo, ki v njih zbudi radovednost in zanimanje ter jih spodbudi k aktivnem sodelovanju.

Van den Brink (1991) je ob konstruktivističnem načinu poučevanja naletel na dve pomembni vprašanji:

1. Kako pripraviti otroke na konstruktivno mišljenje?

2. Kako pripraviti otroke, da bodo razvijali svoje znanje v smer, v katero želim, da se razvije?

(22)

- 10 -

Pri samostojnem odkrivanju določenih znanj lahko pridejo učenci tudi do napačnih ugotovitev, na kar mora biti učitelj zelo pozoren, da jih lahko nato preusmeri nazaj na pravo pot. Učitelj mora imeti ves čas v mislih, kako bo v danih okoliščinah določena metoda pomagala doseči pomembne cilje, kot so: globlje razumevanje, povezovanje spoznanja, dograjevanje in spreminjanje obstoječih idej učencev.

»Namesto učitelja, ki odgovarja na vprašanja učencev, mora prevzeti vlogo učitelja, ki ima vedno pri roki provokativno vprašanje, ki bo spodbudilo učence k razmišljanju in iskanju novih odgovorov. Uporablja naj odprta vprašanja, ki preprečujejo, da bi učenci znanje le reproducirali, saj reprodukcija ni tisto, kar naj bi vodilo k razvoju razumevanja« (Dražumerič, 2004, str. 365).

Po Windschitlu (2002) naj bi učitelj v uvodni motivaciji najprej izvabil obstoječe ideje in izkušnje učencev v zvezi z obravnavanim področjem. Tako jim že vnaprej približa temo in jih s tem tudi motivira. Nato naj oblikuje učne situacije, ki sestojijo iz primernih vprašanj oz. nalog, ki pomagajo učencem prestrukturirati njihovo znanje. Učitelj učence pravilno usmerja in vodi smiseln dialog o nalogah in njihovem reševanju. Učence spodbuja, da samostojno razmišljajo in uporabljajo znanje v raznolikih pristnih, življenjskih povezavah. Večkrat naj učencem razkriva svoje miselne procese in jih pred njimi modelira.

Pri konstruktivističnem načinu poučevanja naj učitelj ustvarja sproščeno ozračje razreda, ki učence opogumlja, da razkrivajo svoje ideje in o njih razpravljajo. Uporablja naj raznolike strategije preverjanja, da bi bolje razumel razmišljanje učencev in jim tako lažje posredoval natančno sprotno povratno informacijo tako o procesu kot o produktih mišljenja. Skupaj z učenci naj oblikuje kriterije kakovostnega znanja (odgovora, izdelka …), učence pa naj vključi tudi k sodelovanju pri samem ocenjevanju (tudi preko samoocenjevanja, vzajemnega ocenjevanja).

»Od učitelja tak način poučevanja zahteva veliko: izkušnje, razgledanost, dobre organizacijske sposobnosti, prožnost, dobro obvladovanje razreda, dobre verbalne sposobnosti, prožnost, praktičnost, obvladovanje snovi. Zaradi tega je prav gotovo manj udoben kot klasično poučevanje, vendar pa nam zaradi vseh navedenih prednosti, ki jih prinaša, ne bi smelo biti žal truda, da ne bi vsaj občasno poučevali na tak način« (Mutić, 1997, str. 206).

(23)

- 11 -

Konstruktivistično in problemsko naravnan pouk temelji na predpostavki, da se učenci aktivno vključujejo v proces pridobivanja znanja in sami konstruirajo svoje znanje. Kompetence posameznega učitelja pri omogočanju učencem konstruktivistično naravnanega pouka pa temeljijo na posameznem učitelju, njegovi volji in trudu pri učni pripravi na vsako učno uro.

Žakljeva (2003) tudi poudarja, da namen poučevanja ne bo ocenjevanje pravilnih učenčevih odgovorov, pač pa odkrivanje njegovih načinov razmišljanja. To nalaga učiteljem naporno delo, saj je jasno, da se miselna struktura učitelja bistveno razlikuje od učenčeve, zato mora učitelj najprej raziskati sam sebe in spremljati sebe, kako rešuje probleme in konstruktivistične naloge.

2.4 VLOGA NAPA Č NIH PREDSTAV PRI KONSTRUKTIVISTI Č NEM POU Č EVANJU

Kot učitelji moramo biti pozorni na učenčevo nerazumevanje oz. napačne predstave, ki nam služijo kot kažipot za izbiro ustreznega načina pridobivanja novega znanja. S konstruktivističnim pristopom namreč ne odpravljamo konceptualnih zmot in napak na način, da pravilen koncept povemo in razložimo, ampak se mora učenec namreč sam prepričati, da nima prav in da njegova zamisel ni ustrezna, in šele potem je sposoben sprejeti in ponotranjiti drugačno mnenje. Na podlagi napačnih predstav torej poskušamo oblikovati konfliktne situacije (razne dejavnosti, naloge, poskusi), v katerih napačne predstave odpovedo. Pri tem je pomembno, da ima učenec možnost zagovarjati svojo idejo in razpravljati z ostalimi učenci. Iz obilice različnih mnenj skušajo učenci prek dejavnosti izluščiti neko splošno veljavno mnenje.

Pri tradicionalnem pouku je namen dela vaj in ponavljanja v tem, da se izognemo morebitnim napakam, zato se uporablja le gole vsote in se poskrbi, da je možen točno določen rezultat. Pri konstruktivizmu pa je urjenje bolj svobodno in je priporočljivo, da pridemo do napak. Te napake potem učenci sami spoznajo, in se preko njih učijo (Streefland, 1991).

Tudi Piaget znanje razume kot proces pridobivanja informacij s pomočjo miselne ali fizične aktivnosti. Zato je pomembna organizacija takih pogojev učenja, da lahko otrok aktivno konstruira svoje znanje, skratka, da lahko eksperimentira. Tako lahko nova spoznanja oblikuje v interakciji z že obstoječimi miselnimi strukturami in z okoljem, kjer preverja in utemeljuje svoje ideje. S svojo miselno aktivnostjo, ki jo spodbuja skrbno pripravljen in fleksibilen učitelj, ki zna sprejeti vsak odgovor enakovredno kot začasno sprejemljiv, otrok odkriva probleme, ki

(24)

- 12 -

povzročajo neravnotežje – kognitivni konflikt. Pomembno je, da učenec sam uvidi, da njegova zamisel ni ustrezna. Cilj tako vodene miselne aktivnosti je vzpostavitev ravnotežja med miselnim procesom in okoljem, učenec tako ponotranji svojo rešitev.

»Učitelj preko kognitivnega in socialno-kognitivnega konflikta spodbuja motivacijo« (Žakelj, 2003, str. 10). Učitelj lahko zanimanje za učenje spodbudi s kognitivnim konfliktom, ki ga sproži s smiselno postavljenim vprašanjem ali pa socialno-kognitivnim konfliktom, ki nastane pri soočanju različnih stališč ali nasprotovanj z argumentiranimi nesoglasji. Prek kognitivnega konflikta učenci začutijo potrebo po znanju in razširitvi le-tega.

Vendar samo kognitivni konflikt, ki ga sprožimo pri učencih, ni dovolj, če ni nadaljevanja, kjer bi si učenci z lastno miselno aktivnostjo gradili lastne konceptne predstave (Žakelj, 2003).

Po Žakljevi (2003) lahko kognitivni konflikt, ki ga pri učencih sprožimo s smiselno postavljenimi vprašanji in problemskimi situacijami, pomaga pri:

• spreminjanju napačnih ali nepopolnih konceptnih predstav (preverjanju razumevanja pojmov);

• uvidu v smiselnost učenja novih vsebin (zakaj je novo znanje potrebno, kje ga lahko uporabimo);

• navezovanju na obstoječo mrežo znanja (povezovanje znanja z znanjem, ki ga že imamo);

• povezovanju znanja (znotraj predmeta ali medpredmetno).

Konfliktne situacije so torej ključni element pri konstruktivističnem poučevanju, saj vodijo v razgovor, raziskovanje, odkrivanje, iskanje nečesa, kar bo v učencu ohladilo njegov »konflikt« in ga pripeljalo do želenih spoznanj.

(25)

- 13 -

2.5 RAZLOGI ZA KONSTRUKTIVISTI Č NO POU Č EVANJE NA RAZREDNI STOPNJI

Če opazujemo otroke v predšolskem obdobju, ugotovimo, da jim največ veselja prinesejo stvari, ki jih otrok doseže sam. S konstruktivističnim načinom poučevanja lahko vsebine prilagodimo otrokovim željam, naloge pripravimo tako, da bo otrok sam aktiven, ob tem ga vodimo po pravi poti in če ne zaidemo, pride otrok do nekega cilja oz. rezultata sam, kar mu da še večjo motivacijo in še večjo željo po še.

Na razredni stopnji je konstruktivizem nujno potreben zaradi njegovega posvečanja jeziku in komunikaciji. Obstaja cel kup matematičnih pojmov, ki jih mnogo otrok zamenjuje: površina – ploščina, lik – telo, rob – stranica ... Razlog za zmešnjavo je, da v vsakdanjem življenju teh izrazov ali ne uporabljamo ali pa jih uporabljamo napačno. Pod pojmom kocka si predstavljamo npr. lego kocke, namesto površina stanovanja uporabljamo izraz kvadratura …

Zaradi večpomenskosti je torej nujno usklajevanje pojmov, vseh pomenov nekega pojma pa se bomo zavedali, če bomo uporabljali konstruktivistični pristop.

S. Mutič (1997) navaja razloge za tak način poučevanja:

1. STAROST OTROK

Pri mlajših učencih je konstruktivizem nujno potreben. Čim mlajši so učenci, tem bolj očitne so razlike med njihovim svetom in svetom učitelja v vseh pogledih, ki so pri učenju pomembni:

interesih, izkušnjah, načinu razmišljanja, socialnih odnosih, komunikaciji, zrelosti … Ravno zato ne bi smeli pričakovati, da bo oblika poučevanja, ki temelji na razlagi, prinesla toliko uspeha kot pri starejših šolarjih, ki so se deloma že privadili procesu šolanja, poleg tega pa so tudi zgoraj naštete razlike bolj zabrisane in zato lažje sledijo učitelju.

(26)

- 14 - 2. POUČEVANJE RAZLIČNIH VSEBIN

Učitelji razrednega pouka imajo večjo svobodo v okviru predpisanega učnega načrta in lažje integrirajo matematične vsebine z drugimi predmeti oz. vsebinami. Tako npr. obravnavo dela celote lahko navežemo na naslednja področja in situacije:

Šport: V določenih športih je trajanje tekem razdeljeno na več enakih delov (nogomet – polčas, hokej – tretjine, košarka – četrtine). Učencem, katerim je šport blizu oz. so sami športno aktivni, so takšne vsebine blizu in posledično tudi lažje predstavljive. Tako lahko s pogovorom drugim predstavijo in približajo svoje že obstoječe znanje.

Gospodinjstvo: V kuharskih receptih se srečujemo z različnimi količinami (polovica kilograma moke, četrtina masla, polovica pecilnega praška …). Učencem bi bila npr. priprava zmesi za palačinke velika motivacija in izziv. Ob delu bi potekal pogovor o količini vsebin, ki jih potrebujemo, po pripravi zmesi bi učiteljica vsakemu spekla eno palačinko, nato pa bi jo lahko namazali in jedli po učiteljičinem navodilu spodaj.

Navodilo za namaz palačinke: Pred seboj imaš palačinko. Polovico jo namaži z evrokremom.

Kolikšen del palačinke še ni namazan? (Polovica palačinke). Od te polovice jo samo pol namaži z jagodno marmelado. Ostalo pusti nenamazano. Kolikšen del palačinke ni namazan? (Četrtina palačinke). Sedaj palačinko zavij. Z vilicami jo razdeli na 3 enake dele. Kako imenujemo en del?

(tretjina). Ne, da bi jo pokusil, pomisli, kateri namaz je v vsaki tretjini. Pojej vsako tretjino posebej in se prepričaj, ali si imel prav.

Pravična delitev: Delitev med učence: čokolado, pico … Vedno je učencem potrebno poudariti, da poteka pravična delitev le takrat, kadar vsak dobi enako velik del.

Dolžina: Polovica kilometra, četrtina metra … Dolžinske mere lahko s pridom uporabimo tako pri pouku športne vzgoje kakor tudi pri matematiki. Predvsem pri merjenju z nestandardnimi enotami se učenci kaj hitro znajdejo v situaciji, ko je npr. miza dolga 10 dlani in še en del dlani.

Ta del dlani lahko potem učenci poimenujejo kot en del celote: polovica, tretjina, četrtina … Likovna vzgoja: polovica risalne površine … Ob podajanju navodil lahko učencem pri kombiniranju različnih tehnik, deležu svetlih in temnih ali toplih in hladnih barv uporabljamo

(27)

- 15 - besedišče z deli celote.

3. FORMALIZEM

Pri matematiki pogosto težimo k formalizmu, ki je za mlajše učence zelo velik zalogaj. Dogaja se, da učenci neko matematično nalogo razumejo in jo tudi znajo rešiti, vendar pa tega ne znajo napisati na formalno pravilen način in je zato rešitev videti napačna. Konstruktivizem je tu lahko v veliko pomoč, saj dopušča otrokom svobodno in neformalno izražanje in jih sčasoma pripelje do formalno pravilnega zapisa. Poglejmo si to na naslednjem primeru:

Na avtobus vstopi na prvi postaji 5 ljudi, na drugi jih vstopi še 6, na tretji izstopijo 3 in na četrti še 2. Koliko potnikov je sedaj na avtobusu?

To je naloga, ki je po zahtevnosti čisto primerna za prvošolce, vendar lahko vidimo, kaj se (lahko) zgodi, ko otroci poskusijo zapisati rešitev na matematični način.

a) 5 + 6 = 11 – 3 = 9 – 2 = 7 (Otrok je računal pravilno, vendar ni ustrezno postavljal enačajev.)

b) 5 + 6 – 3 – 2 = 8 (Otrok se je zmotil pri računanju zaradi dolžine računa.)

c) 5 + 6 = 11 11 – 3 = 8 11 – 2 = 9 (Napaka zaradi velikega števila računov – otrok se je vmes izgubil.) (Mutić, 1996, str. 196)

Konstruktivisti se zaradi zgornjih napak formalnem zapisu raje izognejo. Učenci ob besedilni nalogi uporabljajo svoje metode in konstrukte, ki so podrobneje opisani v naslednjem poglavju:

gibalno prikazovanje situacije, risanje in slikanje poteka dogodkov, ustno pripovedovanje, … Tako ob tem urijo svoje mišljenje, ob tem razvijajo različne spretnosti (gibalne, komunikacijske) ter poiščejo pravilno rešitev. Van den Brink (1991) je prikazal, kako jezik puščic in števil prevesti v standardni matematični zapis, ki mora temeljiti na učenčevi konstrukciji. Prehod je zelo zahteven, zato je pomembno, da je učitelj nanj dobro pripravljen in učence pravilno usmerja in vzpodbuja.

(28)

- 16 -

2.6 POMEN U Č ENJA V KONTEKSTU

Učenci preko matematične dramske igre in slikovitih zgodb uprizorijo neko dogajanje. V prejšnji situaciji uprizorijo vstopanje na avtobus in izstopanje z njega. Učenci si morajo situacijo dobro predstavljati, kar pa je mogoče le, če imajo z avtobusom že poprejšnje izkušnje. Učenci lahko sodelujejo kot igralci, ki uprizorijo avtobus in vstopanje in izstopanje potnikov, kot pripovedovalec zgodbe ali pa zgolj le kot opazovalec ali poslušalec.

Van den Brink (1991) poudarja, da niso vse teme primerne za uprizoritev. Zato poskušamo situacije ponazoriti v različnih kontekstih:

1. Kontekst z ljudmi in živalmi

V kontekstih z ljudmi in živalmi učenci zavzamejo njihovo vlogo. Učitelj pove zgodbo z junaki (ljudmi ali živalmi), ki predstavljajo nek matematični problem oz. nalogo. To zgodbo učenci lahko odigrajo kot igro vlog tako, da upoštevajo dejanja, ki se zgodijo. Tako npr. ob zgodbi potovanja z avtobusom učenci sami odigrajo, koliko učencev je nanj vstopilo, koliko izstopilo in koliko se jih je peljalo na zadnjo postajo.

V takih kontekstih lahko učenci prevzamejo vlogo igralca, lahko pa tudi samo vlogo opazovalca.

Učenci se ob takih nalogah ne učijo le povezovati matematičnih pojmov ter seštevati in odštevati, temveč so naloge pomembne tudi za celostni razvoj otroka, saj ob njih lahko ponovi pravila obnašanja na javnih prevoznih sredstvih, v čakalnici, trgovini …

Pri učencih prve triade se izkaže, da v dinamičnih nalogah hitreje usvojijo dane standarde znanja kot pa v statičnih, kjer učitelj najprej poda in definira vsebino. Tako učenci hitro in v povezavi usvojijo seštevanje in odštevanje, naš učni načrt pa zajema učenje seštevanja ločeno od učenja odštevanja in šele po nekaj urah imajo učenci možnost uvideti, da sta seštevanje in odštevanje med seboj močno povezana.

2. Kontekst z igračami

Tega konteksta ne smemo obravnavati kot kontekst z živalmi in ljudmi, kjer učenci npr. za živali izdelajo lutke oz. namesto njih uporabljajo igrače, niti v kontekstu z ilustriranimi objekti. V tem

(29)

- 17 -

kontekstu mora vsaka situacija vključevati igro (npr. frnikule), ki ima svoja pravila. Ta niso fiksna in poljubna v skladu z zakoni aritmetike (kar pa velja v kontekstu ilustriranih objektov), ampak se o njih dogovorijo učenci sami in si postavijo pravila.

3. Kontekst z aparaturami

Kontekst z aparaturami (tehtnico, žepnim kalkulatorjem, urami, na pol polnimi vazami …) ima svoja pravila. Učenci vedo, da neka pravila obstajajo, vendar jih še ne poznajo. Tako so zanje te aparature neka skrita struktura, ki jo je potrebno raziskati. Zato lahko z njimi učitelj v razredu pripravi zanimivo situacijo, ki učence spodbudi k razmišljanju v vsakdanjem življenju. Ob primerno postavljeni problemski nalogi tako odkrivajo nove pojme v matematiki.

4. Dekorativni zapis s puščicami kot kontekstni višek

Presenetljiva funkcija konstruktivističnega poučevanja je tudi v tem, da se učencem dovoli, da samostojno likovno upodabljajo podobe, ki so povezane s kontekstom. Tako imenovane dekoracije predstavljajo odklon od aritmetičnih modelov, ki jih hočemo predstaviti ob kontekstu.

Primer vstopanja in izstopanja na avtobus

Učenec ob vstopanju in izstopanju potnikov uporablja različne besede: vstopi, izstopi, pride, odide, gre … Za vse te besede pa imamo v matematiki pojma seštevanje in odštevanje, ki pa jih mora učenec še usvojiti. Tako bo v nasprotju s tradicionalnim poukom, kjer se učenec najprej sreča s pojmom in šele nato s primerom, tukaj učenec najprej usvojil procese seštevanja in odštevanja, šele nato pa bo te procese znal tudi matematično pravilno poimenovati.

Slika 2.4: Primer vstopanja in izstopanja na avtobus (Van den Brink, 1991)

(30)

- 18 -

Primer »avtobusa« je zelo primeren tudi z vidika, da ne vodi niti do negativnih niti do velikih števil. Po Hodnik Čadeževi (2004, str. 331) ta kontekst omogoča simultano učenje odštevanja in seštevanja ter nudi raznovrstne problem, izpeljane iz situacij vstopanja v avtobus in izstopanja iz njega. Tako postane učenje matematike realno, dinamično in uporabno v vsakdanjih situacijah.

Po Hodnik Čadeževi morajo učenci aritmetiko izkusiti, pri skupnih povzetkih pa jim pri tem pomaga zapis s puščicami (Van den Brink, 1985; v: Hodnik Čadež, 2004) Tudi zapis s puščicami (namesto enačaja) je zelo pomemben. Kaže vrstni red dogodkov (lahko tudi smer vožnje), hkrati pa formalno ne utesnjuje tako kot enačaj. Otroci tudi pripovedujejo, kaj so narisali in kaj se je dogajalo in s tem dobijo boljše predstave o pomenu matematičnih znakov + in – (vidijo, s katerimi glagoli jih lahko nadomestijo). Gre torej tudi za reševanje problema jezika in komunikacije.

Na sliki 1.5 je učenec s puščicami prikazal, koliko kegljev je podrl ob vsakem metu in koliko metov je bilo potrebno, da je podrl vseh sedem kegljev. Ob tem zapisu je v keglju zapisana številka, koliko kegljev še stoji, nad puščico pa številka, koliko kegljev je v tistem poskusu učenec podrl.

Slika 2.5: Zapis s puščicami (Van den Brink, 1991, str. 200)

(31)

Vegelj, M. (2012) Konstruktivistič Ljubljana: Pedagoška fakulteta UL.

5. Statični kontekst: Temelji na konfliktnih in problemskih situacijah Vseh aritmetičnih problemov se ne da prikazati v dinami

opise problemov v statičnih situacijah, kot je primer:

deklic. Koliko dečkov je v razredu?

preko prikaza pridejo do rešitve. Stati lahko vsebujejo nevidne vsebine, magi

Primer 1: Učencem pokažemo fotografijo pikapolonice in jih vprašamo:

»Koliko pik opazite na njej?

je vseh pik?«

Primer 2: Ali ima lahko vsaka ma

Učenci bi na prvi pogled odgovorili, da ima vsaka ravno enega pasjega prijatelja.

sledila naloga, da bi učenci izrezali pse in ma

ostala sama in tako bi ugotovili, da je bilo njihovo mišljenje z

- 19 -

ni kontekst: Temelji na konfliktnih in problemskih situacijah nih problemov se ne da prikazati v dinamičnem kontekstu. V

čnih situacijah, kot je primer: »V razredu je 11 otrok, od tega je 7 od njih kov je v razredu?« Učenci sami ravno tako lahko situacijo prikažejo in tako preko prikaza pridejo do rešitve. Statične situacije pa so lahko za uč

nevidne vsebine, magične trike …

encem pokažemo fotografijo pikapolonice in jih vprašamo:

Koliko pik opazite na njej? Kaj mislite, koliko jih ima na drugi strani? Koliko

Slika 2

Ali ima lahko vsaka mačka enega svojega pasjega prijatelja?

enci bi na prvi pogled odgovorili, da ima vsaka ravno enega pasjega prijatelja.

čenci izrezali pse in mačke in nato naredili pare.

ostala sama in tako bi ugotovili, da je bilo njihovo mišljenje zmotno in bi to popravili.

Slika 2.7: Prirejanje

evanju delov celote in uvajanju v ulomke. Diplomsko delo.

ni kontekst: Temelji na konfliktnih in problemskih situacijah

nem kontekstu. Včasih vključujejo tudi V razredu je 11 otrok, od tega je 7 od njih enci sami ravno tako lahko situacijo prikažejo in tako ne situacije pa so lahko za učence zelo presenetljive –

encem pokažemo fotografijo pikapolonice in jih vprašamo:

Kaj mislite, koliko jih ima na drugi strani? Koliko

2.6: Štetje nevidnih količin

enci bi na prvi pogled odgovorili, da ima vsaka ravno enega pasjega prijatelja. Zato bi potem ke in nato naredili pare. Na koncu bi ena mačka

motno in bi to popravili.

(32)

- 20 -

3 OD DELOV CELOTE DO ULOMKOV

Pri poimenovanju delov celote moramo najprej prepoznati dano celoto. Npr. celota je tablica čokolade. Da dobimo en del čokolade, jo moramo najprej razdeliti tako, da so vsi deli enako veliki. Če jo razdelimo na 6 enakih delov, nam vsak posamezni del predstavlja eno šestino. Del celote je lažje predstavljiv, če je celota poznana in nam blizu.

Z deli celote se učenci srečujejo že v vsakdanjem življenju – pri pravičnem deljenju pizze, torte, čokoladnih tablic … Pri pouku pa se z njimi prvič srečajo v tretjem razredu. Da bi učitelji njihovo znanje iz vsakdanjega življenja čim bolje izkoristili, je pomembno, da probleme navežejo na konkretne situacije iz otrokovega življenja in otrokovih izkušenj. To je že prvi korak h konstruktivističnemu poučevanju.

V tem poglavju bomo spoznali, kaj so deli celote in kaj nam predstavljajo v konkretnem življenju in pri matematiki. Znanje učencev se gradi na praktičnih izkušnjah, ki jim jih učitelji ponudijo v razredu in jih sami doživljajo v življenju. Za pravilno dojemanje matematičnih pojmov pa je potrebna postopnost uvajanja le-teh, ki naj temelji na Piagetovi teoriji kognitivnega razvoja. Po švicarskem psihologu Jeanu Piagetu poteka kognitivni razvoj v točno določenih zaporednih stopnjah:

1. Senzo-motorična stopnja: spoznavanje sveta preko zaznav in gibanja (od rojstva do drugega leta);

2. Predoperacijska stopnja (od drugega do sedmega leta);

3. Stopnja konkretnih operacij (od sedmega do enajstega leta);

4. Stopnja formalnih operacij (od enajstega leta dalje).

V tretjem razredu so učenci na stopnji konkretnih operacij, kar pomeni, da pri svojem učenju potrebujejo ponazorila, materiale, konkretne dejavnosti in predstavitve. Vsemu temu je s konstruktivističnim pristopom zadoščeno.

(33)

Vegelj, M. (2012) Konstruktivistič Ljubljana: Pedagoška fakulteta UL.

3.1 KOMPONENTE PRIDOBIVANJA DELOV CELOTE IN ULOMKOV

Payne (1990) meni, da konceptualno znanje delov celote vklju učenec usvojiti in med seboj povezovati:

1. KONKRETNI MATERIAL

Učenci se tudi v vsakdanjem življenju z deli celote najprej sre čokolade, piškotov, pice … Sprva temu niti ne posve

na deljenje s prijatelji, z brati in

do pojma enakosti delov celote. Temeljno znanje torej sloni na prakti s konkretnimi predmeti, ki jih u

2. MATEMATIČNI POJMI IN TERMINOLOGIJA Delu s konkretnim materialom sledi spoznavanje matemati tem povezana:

CELOTA

Pri vpeljavi pojma celota si pomagamo s konkretnim materialom, npr. jabolko. Celo jabolko je celota. V kolikor jabolko prerežemo, ga razdelimo na razli

imamo večje in manjše jabolko.

velikega ali nekaj majhnega.

- 21 -

KOMPONENTE PRIDOBIVANJA DELOV CELOTE IN ULOMKOV

meni, da konceptualno znanje delov celote vključuje 5 komponent, ki jih mora enec usvojiti in med seboj povezovati:

KONKRETNI MATERIAL

enci se tudi v vsakdanjem življenju z deli celote najprej srečajo ob konkretnih stvareh: d

… Sprva temu niti ne posvečajo veliko pozornosti. Ko pa delitev nanese brati in s sestrami, pa se hitro srečajo s pojmom pravi

do pojma enakosti delov celote. Temeljno znanje torej sloni na praktičnih konkretnimi predmeti, ki jih učenec vidi, se jih dotika, okuša …

ČNI POJMI IN TERMINOLOGIJA

Delu s konkretnim materialom sledi spoznavanje matematičnih pojmov in terminologije, ki je s

ojma celota si pomagamo s konkretnim materialom, npr. jabolko. Celo jabolko je celota. V kolikor jabolko prerežemo, ga razdelimo na različne dele celote. Na spodnj

je in manjše jabolko. Ob pogovoru o celoti učenci dojamejo, da je celota l velikega ali nekaj majhnega.

Slika 3.1: Primer različno velikih celot

evanju delov celote in uvajanju v ulomke. Diplomsko delo.

KOMPONENTE PRIDOBIVANJA DELOV CELOTE IN ULOMKOV

uje 5 komponent, ki jih mora

ajo ob konkretnih stvareh: delitvi ajo veliko pozornosti. Ko pa delitev nanese ajo s pojmom pravične delitve, ki vodi čnih izkušnjah z realnimi in

nih pojmov in terminologije, ki je s

ojma celota si pomagamo s konkretnim materialom, npr. jabolko. Celo jabolko je ne dele celote. Na spodnjih slikah amejo, da je celota lahko nekaj

(34)

- 22 -

PRAVIČNA DELITEV in POIMENOVANJE DELA CELOTE

Jabolko, ki nam predstavlja celoto, razdelimo na dva neenaka dela. V katerem primeru je delitev pravična? Zakaj?

Slika 3.2: Delitev jabolka

Ob pogovoru učenci spoznajo, da je delitev pravična le takrat, kadar neko celoto razdelimo na dva enaka dela. Vsakodnevna uporaba pojma polovica pa večkrat ni uporabljena pravilno. Npr.

mama razdeli jabolko na dva neenaka dela, potem pa uporabi izraz: »Manjšo polovico bo pojedel Tonček, ker je še majhen, večja pa bo moja.«

KONKRETNI MODELI

Realne predmete postopoma zamenjujemo s konkretnimi modeli, ki predstavljajo enake dele celote: kartoni, razdeljeni na enake dele; geoplošča … Konkretni modeli lahko otroku predstavljajo pico, čokolado ali namišljeno jabolko. Z modeli si učenci razvijajo zaznavne sposobnosti in jim tako omogočajo lažje spoznavanje in razumevanje deljenja celote na enake dele. Konkretni material je reprezentacija realnih predmetov in ravno tako tudi tesno povezan s pojmi, s katerimi se srečujemo pri delih celot.

DIAGRAMI

Abstraktnejši od konkretnih modelov so diagrami. Učenci morajo usvojiti risanje in branje le-teh, za kar pa rabijo v začetku veliko pomoči in je nujno potrebno povezovanje tako s konkretnim materialom kot tudi s konkretnimi modeli.

(35)

- 23 -

Primer: Deljenje pice učenec lahko prikaže na različne načine:

KONKRETNI MATERIAL

Pravično delitev pice na več enakih delov lahko prikaže na pravi pici, ki jo potem učenci lahko tudi pojedo, kar je zanje še dodatna motivacija.

Slika 3.3: Konkretni material: pica

KONKRETNI MODEL

Pravo pico dobro nadomesti tudi pica, narejena na kartonu. Tako imajo lahko učenci najprej nalogo iz kartona izdelati pico. Pico lahko naredijo po »svojem okusu«. Nato npr. po učiteljevih navodilih pico razrežejo na določeno število enakih delov oz. na določene vrednosti, ki jih zahteva učitelj: na polovici, četrtine, šestine … Učenci ob tem utrjujejo poimenovanje delov celote in razvijajo spretnosti oblikovanja in izrezovanja enako velikih delov.

Slika 3.4: Konkretni model: pica

(36)

- 24 - DIAGRAM

Učenci lahko npr. pico upodobijo s tortnim diagramom, na katerem lahko prikažejo, kolikšen del pice je dobil določen učenec. Na začetni stopnji ponudimo učencem diagrame, razdeljene na enake dele:

Slika 3.5: Diagram razdelitve pice na enako velike dele

SIMBOLI

Zadnja komponenta uvajanja delov celote je simbolna raven. Deli celote se z zapisom s simbolom preimenujejo v ulomek. To raven vpeljemo šele takrat, ko so prve štiri komponente že zelo dobro usvojene.

Povezave med vsemi petimi komponentami je težko prikazati. Sčasoma pridobijo konkretni modeli in diagrami isti pomen, vendar ju za začetno razumevanje med seboj ločimo.

Naslednji prikaz je v obliki piramide, kjer so temelji zgrajeni iz konkretnih materialov, modelov, diagramom in pojmov, ki jih morajo učenci razumeti. Ko so temelji trdno usvojeni, jih povežemo s simboli. Vse komponente so med seboj vedno tesno povezane, čeprav se kasneje tega sploh ne zavedamo.

Jan Eva Luka Sabina

(37)

- 25 -

Slika 3.6: Povezava komponent (Payne, 1993, str. 178)

Ko stopnjujemo nivo zahtevnosti, učencem ponudimo celoto, razdeljeno na različne dele, in potem učenec ugotovi, kolikšen del pice je pojedel posamezen otrok.

Slika 3.7: Diagram razdelitve pice na različno velike dele

Jan Eva Luka Sabina

Simboli

Konkretni material Pojmi,

komunikacija Konkretni

modeli in diagrami

(38)

- 26 -

3.2 POIMENOVANJE DELOV CELOTE

V 1. triletju poteka pridobivanje matematičnih pojmov prek dejavnosti s konkretnim materialom. To velja tudi za vsebino deli celote, ki se v učnem načrtu pojavi v 3. razredu. Po načelu od znanega k neznanemu se ravno tako najprej opremo na konkretni material, ob katerem učenci ponovijo in obnovijo že znane pojme ter razčistijo tiste, katerih predstave niso ravno najbolj jasne.

Nato sledi postopen prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis. Učencem ponudimo različne aktivnosti. Zelo priročen je model ponazoritve delov celote s trakovi, kot je prikazano na sliki 2.8.

Vsak otrok potrebuje 8 trakov. Enega bele barve, tri barve A, dva barve B in dva barve C. Ob izdelovanju trakov delamo sprotni zapis na tablo.

Trakovi nam koristijo pri primerjanju delov celote med seboj kakor tudi pri razvijanju poimenovanja

delov celote. Učence navajamo, da imena izvirajo iz števila, ki celoto deli: npr. če je celota razdeljena na štiri enake dele, se posamezni del imenuje četrtina; tako se pri petih enakih delih posamezni del imenuje petina … Pozorni moramo biti predvsem na pojma polovici in četrtina, ki nista direktni izpeljanki iz imena.

Učitelj mora učencem ponuditi neko smiselno povezavo med konkretnim materialom in grafičnim prikazom. S trakovi, kakršne smo prikazali na sliki 2.8, si učenci pomagajo pri predstavljanju različnih količin: dve petini, tri šestine, dve četrtini … Ob barvanju trakov,

1 celota 2 polovici

4 četrtine

8 osmin

3 tretjine

6 šestin

5 petin

10 desetin

Slika 3.8: Poimenovanje delov celote

(39)

- 27 -

primerjanju količin, iskanju enakosti in neenakosti imajo učenci možnost spoznati, da sta dve polovici ravno ena celota, da sta dve četrtini enako kot ena polovica …

Šele ko učenci obvladajo poimenovanja delov celote, ko z njimi štejejo in jih med seboj primerjajo, se lahko vpelje simbolni zapis ulomka. Zapis razvijamo na enak način kot sama poimenovanja delov celote. Vprašanja, ki jih zastavljamo učencem, so ista, le da sta sedaj model in poimenovanje povezana s simbolom (Payne, 1993).

tri četrtine 3 četrtine ¾

ena tretjina 1 tretjina 1/3

dve in ena polovica

2 in 1 polovica 2 ½

Tabela 3.1: Postopno poimenovanje delov celote in simbolni zapis (Payne, 1993, str. 186)

Podobno kot trakove lahko uporabimo tudi druge modele in oblike, ki spodbujajo primerjavo delov celote in izpeljavo poimenovanja. Primer poimenovanja in prikazovanja delov celote iz učbenika za matematiko:

Slika 3.9: Delitev krogov na enake dele (Hernja, 2002, str. 180)

(40)

3.3 RAZLI Č NI VIDIKI VPELJAVE ULOMKOV

Ulomke, ki jih ljudje poznajo že okoli 4000 let, lahko definiramo na razli moramo biti predvsem pozorni na starost in predznanje otrok.

3.3.1 ULOMEK KOT DEL ALI VE

Vpeljava ulomka mora biti nazorna in graditi na konkretn

konkretnih predmetov: čokolade, torte, vrvice, kvadratov, krogov, kock ipd. Izhajamo iz celote (izbranega predmeta) in preidemo k delitvi celote na 2, 3, 4 in ve

poimenovanje posameznih delov celot njihov zapis: 1/2, 1/3, 1/4, … (Strnad, 1997 CELOTA

Slika

1

- 28 -

NI VIDIKI VPELJAVE ULOMKOV

e, ki jih ljudje poznajo že okoli 4000 let, lahko definiramo na različne na moramo biti predvsem pozorni na starost in predznanje otrok.

ULOMEK KOT DEL ALI VE Č ENAKIH DELOV CELOTE

Vpeljava ulomka mora biti nazorna in graditi na konkretni, grafični in geometrijski predstavi okolade, torte, vrvice, kvadratov, krogov, kock ipd. Izhajamo iz celote (izbranega predmeta) in preidemo k delitvi celote na 2, 3, 4 in več enakih delov. Sledi poimenovanje posameznih delov celote s polovico celote, tretjino celote, četrti

njihov zapis: 1/2, 1/3, 1/4, … (Strnad, 1997)

POLOVICA Č

Slika 3.10: Delitev konkretnih stvari

½ ½

^1/4

čne načine. Pri vpeljavi

ENAKIH DELOV CELOTE

ni in geometrijski predstavi okolade, torte, vrvice, kvadratov, krogov, kock ipd. Izhajamo iz celote č enakih delov. Sledi e s polovico celote, tretjino celote, četrtino celote … ter

ČETRTINA

1/4 1/4 1/4

(41)

- 29 -

3.3.2 ULOMEK KOT DEL KOLI Č INE

Način definicije ulomka kot del količine temelji na istem principu kot prikaz s konkretnim materialom, le da pri konkretnih materialih izhajamo iz vsakdanje prakse, tega pa utemeljujemo z merjenjem in izražamo z odnosom, na primer 2/3 od neke količine pomeni, da moramo količino najprej razdeliti na tri enake dele in nato vzeti dva taka dela. Poenostavljeno: Količino najprej delimo s 3 in nato pomnožimo z 2 (Strnad, 1997, str. 29).

Primer: 2/3 od 60 min = ?

Vsakodnevna uporaba se izraža v primerih: »Pridem čez pol ure.«, »Kupi četrtino kg kruha.«,

»Potrebujem 2 in 3/4 metra blaga.« Z ulomki kot merskimi števili pogosto izražamo čas, maso, dolžinske enote. Pri takšni vpeljavi ulomkov se opremo na merjenje in ob tem na pretvarjanje merskih enot. Enote morajo učenci že poznati, prav tako tudi zapis različnih merskih enot z decimalno vejico, zato je tak način vpeljave primeren za višje razrede devetletne osnovne šole (tretje triletje). Ob tem lahko pokažemo tudi delitev ulomkov na tiste, ki so manjši, in tiste, ki so večji od izbrane merske enote. Pozneje to posplošimo na celoto, ki jo izražamo z enoto 1, torej na ulomke, ki so večji ali manjši od 1 (Strnad, 1997).

3.3.3 ULOMEK KOT KOLI Č NIK NARAVNIH ŠTEVIL

Ulomek je eden najpogostejših zapisov racionalnih števil (ℚ), v katerem sta tako števec kot tudi imenovalec celi števili in imenovalec ne sme biti 0.

Množica racionalnih števil je množica števil, ki se lahko zapišejo v obliki ulomka. Vsako racionalno število se zapiše v obliki:

Pri tem je a celo število (ℤ), b naravno število (ℕ). Množico racionalnih števil (ℚ) zapišemo:

ℚ = ; a ᅡ ℤ, b ᅡ ℕ

(42)

- 30 -

Med racionalna števila uvrščamo tudi cela števila ( ), ker lahko vsako celo število zapišemo kot ulomek z imenovalcem 1, na primer:

Tako je množica celih števil (ℤ) podmnožica množice racionalnih števil (ℚ), torej ℤ ℚ. Za množice ℕ, ℤ in ℚ velja (Fojkar, 1991, str. 10, 11):

ℕ ℤ ℚ

Vidik vpeljave ulomka kot količnika naravnih števil izhaja iz operacije deljenja, ki jo pri ulomku izraža ulomkova črta. Zato imamo lahko vsak ulomek za količnik dveh naravnih števil. S to vpeljavo razširimo množico naravnih števil, v kateri lahko brez omejitve samo seštevamo, množimo in potenciramo, na množico ulomkov, s katerimi brez omejitve lahko tudi delimo (Strnad, 1997).

Z deljenjem dveh naravnih števil torej pridobimo nova števila – ulomke. Ulomek kot količnik naravnih števil pa lahko predstavimo tudi prek modelov, ki ustrezajo prvemu od naštetih vidikov – ulomek kot del celote. Poglejmo si na primeru deljenja 3 : 4. To pomeni, da moramo tri enake enote, ki predstavljajo celoto, razdeliti na 4 enake dele. Pomagamo si lahko z modelom, kjer vsako enoto razdelimo na enako število podenot. Na sliki spodaj smo potemnili po eno podenoto v vsaki enoti.

Nato smo vse enote združili v eno enoto, ki jo sestavlja enako število. Potemnjene dele smo postavili skupaj, kot kaže slika spodaj.

Prišli smo do ugotovitve, da je 3 : 4 enako .

(43)

- 31 -

Ta model poveže ulomke z deljenjem naravnih števil. Za učence je prehod težko razumljiv, kar kažejo tudi raziskave, narejene v Angliji leta 1980 z otroki starimi od 12 do 13 let. »Le približno tretjina otrok je ugotovila, da je 3 : 5 enako , kar lahko povzroči težave kasneje pri izražanju ulomkov z decimalnimi številkami« (Kmetič, 1996, str. 269). Streefland je pomembost tega modela pokazal z naslednjim primerom:

Primer: 4 otroci gredo na pico. Ker vedo, da je ena pica preveč za enega otroka, jih naročijo le tri. Posebni pogoji, ki se nanašajo na picerijo, v katero otroci radi zahajajo, spodbujajo otroke, da se v situacijo vživijo in postane to njihov problem, o katerem razmišljajo. Možnosti o delitvi pice so naslednje:

Vsaka pica se razdeli na štiri dele in potem dobi vsak en kos z ene pice:

Vsak dobi: pice + pice + pice, kar je 3-krat pice = pice Najprej dobi vsak polovico pice. Pico, ki ostane, potem razdelijo še na štiri enake dele:

Vsak dobi pice + pice, kar je tudi pice.

Razdelimo vse tri pice hkrati tako, kot prikazuje slika:

Dva otroka dobita 1 – pice; dva otroka pa dobita pice.