Koliko je vsota vrste S

Kolokvij iz matematika 1 VSS.

14. januarja 2011

1. Poiˇsˇci vse reˇsitve enaˇcbe 3x+|x−1|= 7.

2. Koliko reˇsitev ima enaˇcba z³+ 1 = 0, z ∈C? Poiˇsˇci vse realne reˇsitve.

3. Koliko je vsota vrste S = 1 +1 2 +1

4 +· · ·+ 1

2ⁿ⁻¹ +· · ·=

∞

X

n=1

1 2ⁿ⁻¹? 4. Doloˇci definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = p√

2x−1 + 1.

5. Doloˇci kompozitumaf(g(x)) ing(f(x)), ˇce je f(x) =√

x ing(x) =x². Doloˇci definicijski obmoˇcji Df(g(x)) inDg(f(x)).

6. Koliko je razlika med najveˇcjo in najmanjˇso vrednostjo, ki jo zavzame funkcija f(x) = x

1 +x² za x∈R. 7. Izraˇcunaj (posploˇseni) integral

Z ∞

1

dx x².

8. Koliko je dolˇzina loka krivulje podane parametriˇcno x(t) = t, y(t) = 1−t,t ∈[0,1]?

9. Izraˇcunaj prostornino vrtenine, ki nastane, ko se graf funkcije f(x) = 2x zasuˇce okrog osi x, x∈[0,1].

10. Koliko je dolˇzina sence navpiˇcne metrske palice, ˇce je sonce 60^◦ nad obzorjem?

1

Reˇsitve

1. 3x+|x−1|= 7,

(a) x <1⇒3x−x+ 1 = 7⇒2x= 6 ⇒x= 3 (b) x≥1⇒3x+x−1 = 7⇒4x= 8 ⇒x= 2

Vidimo, da x= 3 ne ustreza pogoju x <1, medtem ko x= 2, ustreza pogoju x≥1. Reˇsitev jex= 2.

2. Binomska enaˇcba tretje stopnje z³ −1 = 0 ima natanko tri razliˇcne reˇsitve, leˇzijo na kroˇznici enote in tvorijo enakostraniˇcni trikotnik. ˇStevilo

−1 je edina realna reˇsitev.

3. Vsota vrste je enaka 2. S = 1

1−q, kjer je q= 1 2. 4. Prvi pogoj je 2x−1>0,⇒x > ¹₂. Naslednji pogoj je√

2x−1 + 1 >0, ki ne predstavlja nobene dodatne omejitve.

5. Kompozitum f(g(x)) = |x|, D_f(g(x)) = R, medtem ko je g(f(x)) = x, D_g(f(x)) = [0,∞).

6. Integral Z ∞

1

dx

x² = −1 x

∞

1

= 1.

7. Dolˇzina daljice med toˇckama T₀(0,1) in T₁(1,0) je enaka √ 2.

8. Prostornina stoˇzca V = ¹₃πr²v, kjer je r= 1 in v = 1, ⇒V = ^π₃. 9. Dolˇzina sence je cotπ

3 =

√3 3 .

2