Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta
Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo
Marko Razpet
LOKSODROMA
Študijsko gradivo Zgodovina matematike
Ljubljana, junij 2013
Kazalo
Predgovor 3
1 Prostorski koordinatni sistem 6
2 Krivulje v prostoru 10
3 Ukrivljenosti, Frenetova baza 14
4 Primer parametrizacije krivulje 26
5 Loksodroma 33
Za konec 41
Literatura in spletni viri 42
Predgovor
Glavna beseda v naslovu pričujočega študijskega gradiva jeloksodroma, ki je nastala iz besedλοξός, kar pomeni v klasični grščinipoševen, poprečen, proč obrnjen, nevoščljiv, zaviden, in δρόμος, kar pa pomeni tek, dirka, dirkališče.
V matematiki je loksodroma krivulja, ki leži nasferiin seka pod istim kotom vse njene poldnevnike, potem ko smo na njej vpeljali sferni koordinatni sis- tem. Besedisistem in sfera prav tako prihajata iz grščine: σύστημα pomeni združitev, celota, truma, drhal, društvo, zbor, oddelek, sestav, besedaσφαῖρα pa obla, krogla, žoga. Krogla in sfera sta bili že od nekdaj priljubljena in občudovanja vredna geometrijska objekta. Imeli so ju za simbola popolnosti.
Opazovanje neba in predstave o nebesni sferi so nam daleastronomijo,sferno geometrijo in sferno trigonometrijo. Beseda ἀστήρpomeni zvezda,νόμος pa običaj, šega, navada, red, pravica, načelo, pravilo, predpis, odredba, zakon, postava. Besed geometrija in trigonometrijani treba posebej razlagati.
Navedimo še eno zanimivost. Iz besed καλός, lep, dober, in δρόμος so Srbi in Makedonci dobili besedo kaldrma, Bolgari pa kaldrm, kar pomeni s kamenjem tlakovana pot ali cesta. Take kaldrme iz turških časov še vedno obstajajo po Balkanu. Hrvati pa se ponašajo celo z vasjo Kaldrma v občini Gračac ob meji z Bosno in Hercegovino.
Da pa branje v nadaljevanju ne bo zastalo pri grških besedah, ki jih bomo uporabili zaradi pojasnjevanja nekaterih matematičnih, morda tudi drugih pojmov, najprej zapišimo klasični grški alfabet, ki ima le 24 črk (γράμματα).
Dodana so tudi grška imena črk.
Α α alfa -ἄλφα Ι ι jota -ἰῶτα Ρ ρ ro -ῥῶ
Β β beta -βῆτα Κ κ kapa -κάππα Σ σv ς sigma - σῖγμα
Γ γ gama -γάμμα Λ λ lambda -λάμβδα Τ τ tav -ταῦ
Δ δ delta -δέλτα Μ μ mi -μῦ Υ υ ipsilon - ὖ ψιλόν
Ε ε epsilon -ἔ ψιλόν Ν ν ni -νῦ Φ φ fi -φῖ
Ζ ζ zeta -ζῆτα Ξ ξ ksi -ξῖ Χ χ hi - χῖ
Η η eta -ἦτα Ο ο omikron -ὄ μικρόν Ψ ψ psi -ψῖ
Θ θ theta -θῆτα Π π pi -πῖ Ω ω omega - ὦ μέγα
Gradivo je nastajalo postopoma, se počasi oplajalo in zorelo v okviru rednih predmetov Analiza II in Funkcij več spremenljivk ter splošnega izbirnega
predmeta Zgodovina matematike, ki se je v zimskem semestru akademskega leta 2012/2013 prvič izvajal na Pedagoški fakulteti Univerze v Ljubljani. Med slušatelji slednjega predmeta, odprt za vsakogar na Univerzi v Lhubljani, so bili matematiki, kar se samo po sebi razume, pa tudi socialni in specialni ter rehabilitacijski pedagogi, bodoči učitelji razrednega pouka, bodoči predšolski vzgojitelji in morda še kdo, skratka zelo pisana druščina. Podali smo izčrpen pregled razvoja matematike skozi zgodovino, slušatelji pa so obdelali vsak svojo temo, jo napisali v obliki seminarske naloge, jo predstavili pred kolegi, na koncu pa je vsak opravljal še ustni izpit. Med predavanji pa so izdelovali še domače naloge, navadno v zvezi s kakšnim starinskim računanjem, na primer z egipčanskim množenjem števil in korenjenjem z metodo zaporednih približkov. Sicer se je predmet Zgodovina matematike kot navadni izbirni izvajal že prej, pa tudi pri drugih predmetih tu in tam študentje slišijo kakšno zgodovinsko.
Z loksodromo se je prvi ukvarjal, kolikor nam je znano, portugalski mate- matik, izumitelj, zdravnik, astronom, pedagog in kozmograf Pedro Nunes (1502–1578), latinsko Petrus Nonius. Njemu v čast se imenuje neka merilna naprava nonij. Kasneje je njegovo delo nadaljeval angleški matematik, astro- nom, etnograf in prevajalec Thomas Harriot (1560–1621). V dobi velikih geografskih odkritij se je namreč čedalje bolj izkazovala potreba po natanč- nih zemljevidih, še posebej pomorskih. Tisti iz antičnih časov so bili zelo približni. Glavni problem je nastal, kako ukrivljeno zemeljsko površino in podrobnosti na njej upodobiti na ravni ploskvi. Ljudje so zato izumljali raz- lične geografske projekcije. Mednje sodita tudiMercatorjevainstereografska projekcija. Najbolj verna podoba Zemlje je sevedaglobus, ki pa je v primer- javi s papirnatimi kartami neroden pripomoček. Pri vsaki projekciji Zemlje na ravno ploskev nekaj pridobimo in nekaj izgubimo. Enkrat se ne ohranjajo razmerja med razdaljami, drugič ne koti med smermi, pa spet ne razmerja med površinami likov in podobno.
Pri Mercatorjevi projekciji se poldnevniki in vzporedniki preslikajo v med seboj vzporedne črte, loksodroma pa v ravno črto, ki seka poldnevnike pod stalnim kotom. Slika kontinentov je zelo popačena, oba pola pa zbežita v neskončnost. Nič posebnega! Zato bomo nazadnje loksodromo stereografsko projicirali na ekvatorialno ravnino. Prvi del besede stereografsko pride iz
grškeστερεός, kar pomeniodrevenel, otrpel, trden, trd, močen, čvrst, krepek, drugi del pa iz γράφω, kar pa pomeni včrtam, vrežem, vdolbem, slikam, rišem, vrežem v vosek ali kamen, pišem. Besedaγράφωje pogost sestavni del marsikatere tujke, tudi omenjene kozmografije. Prvi del te besede izhaja iz κόσμος, kar pomeni med drugimureditev, vrsta, red, uredba, ustava države, dostojnost.
Flamski kartograf, filozof in matematikGerardus Mercator(1512–1594) pa je posodil ime drugi omenjeni projekciji. Karte sveta so postajale vedno boljše in se postopoma približevale takim, kot jih poznamo danes. Prvi del besede kartografija je grškega izvora. Besedaχάρτης pomeni list papirja, papir.
V razpravi bomo nekaj več besed posvetili osnovam diferencialne geometrije krivulj. Uvedli bomo Frenetovo bazo in obe ukrivljenosti krivulj. Pri tem bomo uporabljali vektorski račun.
Ljubljana, oktober 2013 Dr. Marko Razpet
1 Prostorski koordinatni sistem
Da bi lahko prostorske objekte, to se pravi točke, premice, ravnine, krivulje in ploskve, obravnavali algebrsko, kar pomeni z enačbami in vektorji, po- novimo najnujnejše. V prostoru si izberimo točko O, skoznjo pa položimo tri med seboj pravokotne premice, ki jih orientiramo ali usmerimo tako, kot kaže slika 1. Od točke O v smeri puščic je orientacija pozitivna, v nasprotni smeri negativna. Izberemo še enoto, s katero bomo merili razdalje. Enoto 1 odmerimo od točke O v vseh treh pozitivnih smereh. S tem smo dobili pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru. Točko O imenujemo izhodišče koordinatnega sistema, osi pa označimo z x, y, z. Po vrsti jim pravimo abscisna, ordinatna, aplikatna os. Ko smo natančni, moramo vedno povedati, da gre za pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxyz, ker je takih sistemov v prostoru nešteto. Po dve in dve koordinatni osi v sistemu
Slika 1: Prostorski koordinatni sistem.
Oxyz določata ravninske koordinatne sistemeOxy, Oyz, Ozx, ki jim pogosto pravimo kar koordinatne ravnine Oxy, Oyz, Ozx. Te ravnine prostor raz- delijo na osem oktantov. Položaj točke T v prostoru, kamor smo postavili koordinatni sistem Oxyz, opišemo s tremi realnimi števili x, y, z, koordina- tami točke T. Običajno zapišemo točko T kar s koordinatami: T(x, y, z).
Pri tem pomenijo |x|,|y|,|z| po vrsti oddaljenosti od ravnin Oyz, Ozx, Oxy.
Predznak koordinat določimo glede na orientacijo koordinatnih osix, y, z. Na koordinatnih ravninah je povsod po ena koordinata enaka 0: na ravniniOxy je z = 0, naOyz je x= 0, na Ozx pa je y= 0. Zato so enačbe koordinatnih ravnin v tem vrstnem redu: z = 0, x= 0, y = 0.
Vektor~r=−→
OT imenujemokrajevni vektortočkeT(x, y, z). Tak vektor zapi- šemo preprosto kot ~r = (x, y, z).Predpostavljamo, da so osnove vektorskega računa bralcu znane. Skalarni produkt vektorjev ~a in~b bomo označevali z ~a ·~b, vektorskega pa z ~a×~b. Standardno urejeno ortonormirano bazo v prostoru, opremljenim s pravokotnim kartezičnim koordinatnem Oxyz, se- stavljajo enotski vektorji v smeri koordinatnih osi:
~i= (1,0,0), ~j = (0,1,0), ~k = (0,0,1).
Slika 2: Smerni koti.
Urejena baza {~i,~j, ~k} je torej ortonormirana, kar pomeni, da imajo vektorji
~i,~j, ~k dolžino enako 1 in da so pravokotni eden na drugega, pri čemer pa še zahtevamo, da je njihov mešani produkt (~i,~j, ~k) = (~i×~j)·~k = 1. Vektor
~
r = (x, y, z) lahko na en sam način zapišemo kot
~r=x~i+y~j +z~k.
Njegova dolžina je
|~r|=√
~r·~r=qx2+y2+z2.
Vsi vektorji~r sestavljajo realen trirazsežen vektorski prostor R3.
Vsak neničelni vektor ~r določa neko smer v prostoru (slika 2). S pozitivnimi polovicami koordinatnih osi x, y, z po vrsti oklepa smerne kote α, β, γ, po velikosti med vključno 0 in π, ki določajo smerne kosinuse:
cosα =~i·~r/|~r|, cosβ =~j·~r/|~r|, cosγ =~k·~r/|~r|.
Povezava med smernimi kosinusi je preprosta:
cos2α+ cos2β+ cos2γ = 1.
V koordinatnem sistemu Oxyz zlahka predstavimo objekte, ki so zapisani z algebrskimi relacijami. Za primer vzemimo ravnino z enačbo
x 3 +y
4 +z 2 = 1,
ki preseka koordinatne osi v točkah A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2). Na sliki 3 je posebej poudarjen trikotnik ABC, ki je del te ravnine. Enačba ravnine
Slika 3: Ravnina v prostoru.
je oblike
ax+by+cz =d,
pri čemer ne smejo biti hkrati vsi koeficienti a, b, c enaki 0. Normalni vektor na to ravnino je ~ν = (a, b, c). Ko je d= 0, poteka ravnina skozi koordinatno izhodišče O. Pogosto normalni vektor normiramo, kar pomeni, da enačbo ravnine prepišemo v ekvivalentno obliko
ax+by+cz−d
√a2+b2+c2 = 0.
Ravnina je najpogosteje podana s tremi točkami ali s svojo normalo in eno točko. Sfera ali obla s središčem v koordinatnem izhodišču O in s polmerom R ima enačbo x2 +y2 +z2 = R2. Ko je R = 1, govorimo o enotski sferi.
Enotska sfera ima enačbox2+y2+z2 = 1. Običajno rečemo točkiN(0,0,1) na njej severni pol, točki S(0,0,−1) pajužni pol sfere. Presek enotske sfere z ravnino z = 0 je ekvator sfere (slika 4). Presek enotske sfere z ravnino, ki poteka skozi koordinatno izhodišče O, je krožnica, glavna krožnica (slika 5). Tako kot v geografiji vpeljemo na sferi poldnevniške ali meridianske kro-
Slika 4: Sfera z ekvatorjem.
žnice, ki so pravzaprav glavne krožnice, dobimo pa jih kot preseke sfere z ravninami, ki potekajo skozi oba pola. Vzporedniki niso glavne krožnice na sferi razen ekvatorja. Vzporednike ali paralele dobimo kot preseke sfere z rav- ninami, ki so pravokotne na premico skozi pola sfere. Z mrežo poldnevnikov in vzporednikov sestavimo krivočrtni koordinatni sistem na sferi.
Slika 5: Sfera z glavno krožnico in ekvatorjem.
2 Krivulje v prostoru
Krivuljo K v prostoru, v katerega smo vpeljali kartezični koordinatni sistem Oxyz, analitično zapišemo v parametrični vektorski obliki
~r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
kjer je t parameter iz nekega intervala [a, b], kjer je a < b, in so koordinatne funkcije t7→x(t), t7→y(t), t7→z(t) definirane na [a, b].
Funkcija t 7→ ~r(t) ima limito A~ = (Ax, Ay, Az) ∈ R3 v točki t0 ∈ [a, b], če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja: čim je 0 < |t − t0| < δ, je
|~r(t)−A|~ < ε. Tedaj pišemo:
A~ = lim
t→t0
~r(t).
Če slednje velja le ta t > t0, je A~ desna limita, če pa velja le za t < t0, pa leva limita funkcije t 7→ ~r(t) v točki t0. Funkcija ima v točki t0 limito A~= (Ax, Ay, Az)natanko takrat, ko imajo koordinatne funkcije limite:
Ax = lim
t→t0x(t), Ay = lim
t→t0y(t), Az = lim
t→t0z(t).
Funkcija t7→~r(t) je zvezna v točki t0 ∈ [a, b], če je definirana v neki okolici točke t0 in ima v t0 limito, ki je enaka ~r(t0). V smislu leve in desne limite govorimo ustrezno tudi o zveznosti z leve oziroma z desne funkcije t7→~r(t).
Funkcija t 7→ ~r(t) je zvezna v točki t0 natanko tedaj, ko so v t0 zvezne njene koordinatne funkcije. Pravimo, da je funkcija zvezna na intervalu, če je zvezna v vsaki točki tega intervala.
Odvod ~r˙(t0) definiramo na običajni način:
~r˙(t0) = lim
t→t0
~r(t)−~r(t0) t−t0 .
Če odvod obstaja, rečemo, da je funkcija t 7→ ~r(t) odvedljiva v točki t0. Tako kot levo in desno limito funkcije vpeljemo tudi njen levi in desni od- vod. Funkcija je na intervalu odvedljiva, če je odvedljiva v vsaki točki tega intervala. Analogno definiramo tudi odvode višjega reda.
Odvod~r˙(t0)6=~0je vektor, ki v točki~r(t0)kaže v smeri tangente na krivuljo K. Nastane kot limitni primer sekante skozi točki ~r(t0) in ~r(t), ko t → t0 (slika 6).
Slika 6: Sekanta in tangenta.
Funkcija t 7→~r(t) odvedljiva v točki t0 natanko tedaj, ko so v t0 odvedljive
njene koordinatne funkcije. Tedaj velja:
~r˙(t0) = ( ˙x(t0),y(t˙ 0),z(t˙ 0)).
Odvod pišemo tudi v obliki diferencialnega kvocienta:
~˙
r(t) = d~r
dt (t) = dx dt(t),dy
dt(t),dz dt(t)
!
.
Če zapis parametra t ni pomemben, pišemo preprosteje:
~r=~r(t), ~r˙ = ( ˙x,y,˙ z),˙ ~..r= (x,.. y,.. z),.. ...~r = (...x,...y ,...z).
Diferencial d~r vpeljemo na običajni način:
d~r = ˙~rdt = ( ˙xdt,y˙dt,z˙dt).
Zato lahko zapišemo:
d~r = d(x, y, z) = (dx,dy,dz).
Za koordinatne funkcije x, y, z : [a, b] 7→ R3, s katerimi opišemo krivuljo K, bomo v nadaljevanju predpostavili, da so vsaj dvakrat zvezno odvedljive, kajti natanko takrat je tudi vektorska funkcija ~r : [a, b] 7→ R3 vsaj dvakrat zvezno odvedljiva. Predpostavimo tudi, da odvod~r˙(t)ni identično enak nič.
Parametrizacija krivulje ni samo ena.
Dolžino krivulje K izrazimo s formulo s(K) =
Z b a
|~r˙(t)|dt.
Če vzamemo poljuben t∈[a, b], potem z integralom s(t) =s[a,t]=
Z t a
|~r˙(τ)|dτ
izračunamo dolžino tistega dela krivulje, ki ustreza parametrom od a do t. Očitno je s(a) = s[a,a] = 0 in s(b) = s[a,b] = s(K). Funkcija t 7→ s(t) je naraščajoča in odvedljiva ter nam definira tako imenovaninaravni parameter s krivulje K po formuli
s(t) =
Z t a
|~r˙(τ)|dτ.
Očitno je
˙
s(t) =|~r˙(t)|, ds
dt =|~r˙|, ds=|~r˙|dt.
Ugodno je vpeljati hitrost v s formulo v =|~r˙|,
s čimer dobijo prejšnje formule enostavnejšo obliko:
˙
s(t) = v(t), ds
dt =v, ds=vdt, ds=|d~r|.
Funkcija t 7→ s(t) je za dano krivuljo K povratno enolična, zato obstaja funkcija s 7→ t(s) iz [0, s(K)] na [a, b] in krivuljo lahko preparametriziramo, namesto~r(t(s))pa pišemo kar~r(s). Krivuljo zapišemo z naravnim parame- trom s, odvode pa označimo s črtico namesto s piko:
~r=~r(s), ~r0 = (x0, y0, z0), ~r00 = (x00, y00, z00), ~r000 = (x000, y000, z000).
Odvode po parametru t in po naravnem parametru s so povezani. Najlaže gre s prvim odvodom:
~r˙= d~r dt = d~r
ds · ds
dt =v ~r0. Z drugim je že nekoliko teže:
..
~ r = d ˙~r
dt = d
dt(v ~r0) = ˙v ~r0+v2~r00. Tretji odvod zahteva le malo več potrpljenja:
...
~ r = d~..r
dt = d
dt( ˙v ~r0+v2~r00) =v ~..r0+ 3vv ~˙r00+v3~r000. Izračunajmo še vektorski produkt ~r˙×~..r in mešani produkt( ˙~r,~r,.. ...~r):
~˙
r×~r..= (v ~r0)×( ˙v ~r0+v2~r00) = v3~r0×~r00,
( ˙~r,..~r,...~r) = ( ˙~r×..~r)·...~r = (v3~r0×~r00)·(v ~..r0+ 3vv ~˙r00+v3~r000) = v6(~r0, ~r00, ~r000).
Upoštevali smo distributivnostni zakon za skalarni produkt in pravilo, ki pravi, da je mešani produkt treh vektorjev enak nič, kakor hitro sta v njem dva faktorja kolinearna. Tako smo pridelali formuli:
~r˙×..~r =v3~r0×~r00, ( ˙~r,~..r,...~r) =v6(~r0, ~r00, ~r000).
3 Ukrivljenosti, Frenetova baza
Krivulji K, parametrizirani z naravnim parametroms, to je
~r=~r(s),
bomo sedaj v njenih točkah priredili urejeno ortonormirano bazo{T~(s), ~N(s), ~B(s)}, imenovano Frenetova baza, osnovni triederaliosnovni trirobkrivulje. V pri-
meru naravnega parametra je s=
Z s 0
|~r0(σ)|dσ,
iz česar sledi z odvajanjem
1 = ds
ds =|~r0(s)|.
Vektor
T~(s) =~r0(s)
je torej enotski vektor, imenujemo ga vektor tangente dane krivulje. Ker je T~(s)·T~(s) = 1, dobimo z odvajanjem
T~0(s)·T~(s) +T~(s)·T~0(s) = 2T~0(s)·T~(s) = 0,
kar pomeni T~0(s)·T~(s) = 0, z drugimi besedami, če je vektor T~0(s) 6=~0, je pravokoten na T~(s). Enotski vektor N~ (s)v smeri vektorja T~0(s)je tedaj definiran z
N~ (s) = 1
|T~0(s)|
T~0(s)
in mu pravimo vektor glavne normale. Velja torej relacija T~(s)·N~ (s) = 0.
Skalarni izraz
k(s) = |T~0(s)|=|~r00(s)| ≥0
imenujemo prva alifleksijska ukrivljenost aliupognjenost krivulje. Formuli, ki izhaja iz definicije vektorja glavne normale, to je
T~0(s) = k(s)N~ (s),
pravimo prva Frenetova formula.
Slika 7: Frenetova baza krivulje.
Tretji vektor Frenetove baze jevektor binormaleB~(s), ki je hkrati pravokoten naT~(s)inN~ (s), kar pomeni, da ga lahko izrazimo z vektorskim produktom:
B~(s) =T~(s)×N~ (s).
TudiB~ (s)je enotski vektor. Vsi trije vektorji, T~(s), ~N(s), ~B(s), sestavljajo desno orientirano bazo, Frenetovo bazo krivulje. To pomeni:
T~(s)·T~(s) = N~ (s)·N~ (s) =B~(s)·B~(s) = 1
in
T~(s)·N~ (s) =N~ (s)·B~(s) =B~(s)·T~(s) = 0.
Vzdolž krivulje se smeri vseh teh treh vektorjev spreminjajo, njihova medse- bojna lega in dolžine pa se ohranjajo (slika 7).
Dva vektorja Frenetove baze preostalega natančno določata:
T~(s) = N~ (s)×B~(s), ~N(s) =B~(s)×T~(s), ~B(s) = T~(s)×N~ (s).
Njihov mešani produkt je enak 1:
(T~(s), ~N(s), ~B(s)) = 1.
Ker jeB~(s)·B~(s) = 1, dobimo prav tako z odvajanjem relacijoB~0(s)·B~ (s) = 0, z drugimi besedami, če je vektor B~ 0(s) 6= ~0, je pravokoten na B~ (s). Z odvajanjem dobimo še
B~0(s) = T~0(s)×N~ (s) +T~(s)×N~ 0(s) =
= k(s)N~ (s)×N~ (s) +T~(s)×N~ 0(s) =
= T~(s)×N~ 0(s),
kar pomeni, da je vektor B~0(s)pravokoten še na vektorT~(s). Zato je vektor B~ 0(s) kolinearen z vektorjem B~(s)×T~(s) = N~ (s). Zapišemo torej lahko tretjo Frenetovo formulo:
B~0(s) =−κ(s)N~ (s).
Skalar κ(s)imenujemodruga alitorzijska ukrivljenost, tudizvitostkrivulje.
Je realno število, lahko pozitivno, negativno ali nič.
Drugo Frenetovo formulo (ker ustreza odvodu drugega vektorja Frenetove baze) dobimo iz
N~ 0(s) = (B~(s)×T~(s))0 =B~ 0(s)×T~(s) +B~(s)×T~0(s) =
= −κ(s)N~ (s)×T~(s) +k(s)B~ (s)×N~ (s) =
= −k(s)T~(s) +κ(s)B~(s).
Zberimo in zapišimo skupaj formule po vrsti v skrajšani obliki:
T~0 = k ~N ,
N~ 0 = −k ~T +κB,~ B~ 0 = −κN .~
Imenujemo jih Frenet–Serretove formule, pogosto samo Frenetove formule.
Jean Frédéric Frenet (1816–1900) in Joseph Alfred Serret (1819–1885) sta bila francoska matematika.
V simbolični matrični obliki lahko isto zapišemo kot
T~ N~ B~
0
=
0 k 0
−k 0 κ 0 −κ 0
=
T~ N~ B~
.
Z vpeljavo Darbouxovega vektorja
D~ =κT~ +k ~B
lahko izrazimo Frenetove formule v enotni obliki:
T~0 = D~ ×T ,~ N~ 0 = D~ ×N ,~
B~0 = D~ ×B.~
Jean-Gaston Darboux (1842–1917) je bil francoski matematik, najbolj deja- ven pa je bil v diferencialni geometriji in matematični analizi. Po njem se imenuje Darbouxov integral.
Absolutna vrednost Darbouxovega vektorja
|D~ |=√
k2+κ2 =|N~ 0|
predstavlja tretjo ukrivljenost krivulje, ki pa ni samostojna, saj se izraža s prvima dvema.
Obe ukrivljenosti bomo sedaj zapisali v obeh primerih: ko je krivuljaKdana z naravnim parametrom s in ko je dana s splošnim parametrom t, torej v oblikah ~r =~r(s)in~r=~r(t). V prvem primeru že imamo izraz:
k =|T~0|=|~r00|.
Ker je
~r˙×..~r =v3~r0×~r00 =v3T~ ×T~0 =kv3T~ ×N~ =kv3B,~
velja
|~r˙×~..r|=kv3 =k|~r˙|3.
Nazadnje lahko zapišemo obe obliki za fleksijsko ukrivljenost:
k=|~r00|= |~r˙×~..r|
|~r˙|3 .
Da bi dobili izraz za torzijsko ukrivljenost, ko k6= 0, pomnožimo obe strani tretje Frenetove formule z vektorjem N~ in dobimo:
κ=−N~ ·B~0 =−1
kT~0·(T~×N~)0 =−1
kT~0·(T~0×N~)− 1
kT~0 ·(T~ ×N~ 0).
Prvi skalarni produkt je enak nič, drugega pa izrazimo kot mešan produkt:
κ= 1
k(T , ~~ T0,(k−1T~0)0) = 1
k(T , ~~ T 0,(k−1)0T~0+k−1T~00)) = 1
k2(T , ~~ T 0, ~T 00).
Nazadnje dobimo izraz za torzijsko ukrivljenost:
κ = (~r0, ~r00, ~r000)
|~r00|2 . V primeru splošnega parametra izrazimo
κ = (~r0, ~r00, ~r000)·k−2 = ( ˙~r,~..r,...~r)
v6 · |~r˙|6
|~r˙×..~r|2 = ( ˙~r,~..r,...~r)
|~r˙×..~r|2. Nazadnje imamo obe obliki za torzijsko ukrivljenost:
κ = (~r0, ~r00, ~r000)
|~r00|2 = ( ˙~r,~..r,...~r)
|~r˙×..~r|2.
Vektorje Frenetove baze pri splošnem parametru dobimo zelo preprosto. Spo- znali smo že, da je vektor T~ kolinearen v isto smer z vektorjem~r, vektor˙ B~ pa z vektorjem ~r˙×~..r. Z normiranjem dobimo:
T~ = 1
|~r˙|
~˙
r, ~B = 1
|~r˙×~r..|
~r˙×~..r, ~N =B~ ×T .~
Katere krivulje imajo fleksijsko ukrivljenost enako nič? Postavimo enačbo k(s) = 0. Za iskano krivuljo mora po prvi Frenetovi formuli veljati enačba T~0(s) =~r00 =~0, kar pomeni, da je vektor T~(s) =~r0(s) konstanten:
~r0(s) =T~0.
To pa pomeni, da je
~r(s) = s ~T0+C,~
kjer jeC~ konstanten vektor. Iskane krivulje so torej premice. Katere krivulje pa imajo torzijsko ukrivljenost enako nič? Postavimo enačbo κ(s) = 0.
Iz tretje Frenetove formule dobimo B~ 0(s) = ~0, kar pomeni, da je vektor binormale konstanten: B~ (s) =B~0. Seveda pa velja
T~(s)·B~0 =~r0(s)·B~0 = (~r(s)·B~0)0 = 0,
kar pomeni, da je sedaj ~r(s)·B~0 = c0, kjer je c0 konstanta. Krivulja torej leži v ravnini r·B~0 =c0. Normala te ravnine je ravno vektor B~0. Sklenemo lahko, da imajo samo ravninske krivulje torzijsko ukrivljenost enako nič.
Dovolj lepa prostorska krivulja v vsaki svoji točki M določa po tri premice in po tri ravnine. Premica skozi M v smeri tangentnega vektorja T~ je tan- genta, v smeri vektorja glavne normaleN~ jeglavna normala, v smeri vektorja binormale B~ pa binormala krivulje. Enačbe teh premic so po vrsti:
~r=~r(s) +λ ~T (s), ~r=~r(s) +µ ~N(s), ~r=~r(s) +ν ~B(s).
Pri tem so λ, µin ν realni parametri.
Ravnina skozi točko M, ki je pravokotna na vektor T~ in vsebuje vektorja N~ inB, je~ normalna ravninakrivulje. Ravnina skozi točkoM, ki je pravokotna na vektor N~ in vsebuje vektorja B~ in T~, je rektifikacijska ravnina krivulje.
Ravnina skozi točko M, ki je pravokotna na vektor B~ in vsebuje vektorjaT~ in N~, je pritisnjena ali oskulacijska ravnina krivulje. Enačbe teh ravnin so po vrsti:
(~r−~r(s))·T~(s) = 0, (~r−~r(s))·N~ (s) = 0, (~r−~r(s))·B~(s) = 0.
Če krivulja leži v ravnini Π, je le-ta njena oskulacijska ravnina.
Izračunajmo fleksijsko ukrivljenost krožnice s polmerom a. Brez škode za splošnost lahko krožnica leži v ravnini z = 0 in ima središče v koordinatnem izhodišču. Njena enačba v parametrični obliki je
~
r(t) =a(cost,sint,0).
Za odvoda dobimo
~˙
r(t) =a(−sint,cost,0), ..~r(t) =a(−cost,−sint,0).
Brez težav poiščemo še
|~r˙(t)|=a, ~r˙(t)×..~r(t) =a2(0,0,1), |~r˙(t)×..~r(t)|=a2.
Torej je k = 1/a. Fleksijska ukrivljenost krožnice je konstantna, enaka je obratni vrednosti njenega polmera.
Slika 8: Pritisnjena krožnica krivulje.
To nas napelje na misel, da vsaki točki dovolj lepe krivulje priredimo krožnico, ki ima polmer R(s) = 1/k(s), se krivulje dotika in leži v njeni pritisnjeni ravnini. Taka krožnica ima središče v točki S s krajevnim vektorjem
~
σ(s) =~r(s) +R(s)N~ (s).
Imenujemo jo pritisnjena krožnica krivulje v točki, ki ustreza parametru s (slika 8).
Vijačnica ali heliks je prostorska krivulja, ki jo v koordinatnem sistemuOxyz zapišemo kot
~r(t) = (acost, asint, bt).
Pri tem sta a in b pozitivni konstanti. To je desnosučna vijačnica. Pri le- vosučni vijačnici zamenjamo prvi dve koordinati. Tudi v tehniki poznamo desni in levi vijak. Navoji ravno ustrezajo vijačnici kot matematični krivulji.
Obravnavali bomo prvi primer. Točka, ki enakomerno kroži po krožnici s polmerom a, hkrati pa središče enakomerno drsi po osi z, pri čemer je rav- nina krožnice ves čas pravokotna na to os, opisuje vijačnico H (slika 9). Za vijačnico dobimo:
~˙
r(t) = (−asint, acost, b), ~..r(t) = (−acost,−asint,0).
Slika 9: Desna vijačnica.
Brez težav poiščemo še
|~r˙(t)|=√
a2 +b2, ~r˙(t)×~..r(t) = a(bsint,−bcost, a), |~r˙(t)×~..r(t)|=a√
a2+b2,
s tretjim odvodom
...
~
r (t) =a(sint,−cost,0) pa izrazimo še
( ˙~r,..~r,...~r ) = ( ˙~r×~r..)·...~r =a2b.
Končno dobimo
k = a
a2+b2, κ = b a2+b2.
Pri levosučni vijačnici je razlika le v predznaku pri torzijski ukrivljenosti.
Dolžina vijačnice, ki ustreza parametrom τ na intervalu [0, t]je s(t) =
Z t 0
|~r˙(τ)|dτ =√
a2+b2
Z t 0
dτ =√
a2+b2t.
Vijačnico lahko preparametriziramo z naravnim parametrom tako, da vsta- vimo v njeno vektorsko obliko t =s/c, kjer je c=√
a2+b2:
~r(s) = (acos(s/c), asin(s/c), bs/c).
Vzdolž krivulje vektor tangente in binormale v splošnem spreminjata smer.
Denimo, da je pri parametru s vektor tangente T~, pri s+ ∆s pa T~ + ∆T~ in vzemimo, da se je pri tem njegova smer spremenila za kot ∆α. Prav tako naj bo pri parametru s vektor binormale B~, pri s + ∆s pa B~ + ∆B~ in predpostavimo, da se je pri tem njegova smer spremenila za kot ∆β. Iz relacij
T~ ·T~ = 1, (T~ + ∆T~)·(T~+ ∆T~) = 1, ~T ·(T~ + ∆T~) = cos ∆α
takoj dobimo
2T~·∆T~ =−4 sin2(∆α/2) =−|∆T~|2. Iz tega sledi
∆T~
∆s
=
2 sin(∆α/2)
∆s
=
sin(∆α/2)
∆α/2 · ∆α
∆s
.
Sedaj naredimo limitni prehod ∆s → 0, kar ima za posledico ∆α → 0, in dobimo:
k =|T~0|=|α0(s)|.
Po istem postopku dobimo tudi
|κ|=|B~ 0|=|β0(s)|.
Ugotovitvi lahko opišemo z besedami. Fleksijska ukrivljenost je naglica spre- minjanja smeri vektorja tangente vzdolž krivulje, torzijska ukrivljenost pa naglica spreminjanja smeri vektorja binormale vzdolž krivulje.
Poglejmo si še, kako se prostorska krivulja s 7→~r(s) obnaša v okolici svoje točkeM0, ki ji pripada krajevni vektor~r0 =~r(s0). Elemente Frenetove baze, ukrivljenosti k in njenega odvodak0 ter ukrivljenostiκ v tej točki opremimo z indeksom 0.
Za s, ki se malo razlikuje od s0, zapišimo Taylorjevo vrsto:
~r(s) =~r0+~r0(s0)(s−s0) + 1
2!~r00(s0)(s−s0)2 + 1
3!~r000(s0)(s−s0)3+. . . Označimo σ = s−s0, %~(σ) =~r(s)−~r0 in uporabimo Frenetove formule v točki s0:
~
%(σ) =T~0σ+ 1
2k0N~0σ2+ 1
6(−k02T~0+k00N~0+k0κ0B~0)σ3+. . .
Uredimo po Frenetovi bazi:
~
%(σ) = σ− k02 6 σ3
!
T~0 + k0
2σ2 +k00 6σ3
!
N~0+k0κ0
6 σ3B~0+. . . Pravokotna projekcija krivulje na pritisnjeno ravnino, v katero postavimo pravokotni koordinatni sistem M0ξη z vektorskima enotamaT~0 v smeri osi ξ in N~0 v smeri osiη je:
ξ(σ) = σ− k02
6 σ3, η(σ) = k0
2σ2+k00 6 σ3. Zanemarimo σ3 v primeravi s σ inσ2:
ξ(σ) = σ, η(σ) = k0 2σ2.
Odvisnost η od ξ je kvadratna: η = k0ξ2/2. Projekcija se obnaša kot para- bola. Uporabimo sliko 7. Pogled v smeri vektorja B~0 kaže slika 10.
Slika 10: Pogled na krivuljo v smeri binormale.
Pravokotna projekcija krivulje na normalno ravnino, v katero postavimo pra- vokotni koordinatni sistem M0ηζ z vektorskima enotama N~0 v smeri osi η in B~0 v smeri osiζ, je:
η(σ) = k0
2σ2+k00
6σ3, ζ(σ) = k0κ0
6 σ3.
Zanemarimo σ3 v primeravi s σ2 pri η:
η(σ) = k0
2 σ2, ζ(σ) = k0κ0
6 σ3.
Povezava medηodζ je: 2κ0η3 = 9k0ζ2. Projekcija se obnaša kot polkubična parabola. Uporabimo spet sliko 7. Pogled v smeri vektorja T~0 kaže slika 11.
Slika 11: Pogled na krivuljo v smeri tangente.
Nazadnje je pravokotna projekcija krivulje na rektifikacijsko ravnino, v katero postavimo pravokotni koordinatni sistem M0ζξ z vektorskima enotamaB~0 v smeri osi ζ inT~0 v smeri osi ξ:
ζ(σ) = k0κ0
6 σ3, ξ(σ) =σ− k20 6σ3. Zanemarimo σ3 v primerjavi s σ pri ξ:
ζ(σ) = k0κ0
6 σ3, ξ(σ) = σ.
Povezava med ζ in ξ je kubična: ζ = k0κ0ξ3/6. Projekcija se obnaša kot kubična parabola. Uporabimo spet sliko 7. Pogled v smeri vektorja N~0 kaže slika 12.
Slika 12: Pogled na krivuljo v smeri glavne normale.
Za vajo izrazimo mešani produkt (T~0, ~T 00, ~T 000) z ukrivljenostma k inκ. Uporabimo prvo in drugo Frenetovo formulo:
T~0 =k ~N , ~T 00 = (k ~N)0 =k0N~ +k ~N0 =k0N~ +k(−k ~T +κB).~
Uredimo po Frenetovi bazi:
T~00 =−k2T~ +k0N~ +kκB.~
Nato nadaljujemo:
T~000 =−2kk0T~ −k2T~0+k00N~ +k0N~ 0+ (kκ)0B~ +kκB~ 0.
Uporabimo vse tri Frenetove formule:
T~000 =−2kk0T~−k3N~ +k00N~ +k0(−k ~T +κB) + (k~ κ)0B~ −kκ2N .~
Uredimo po Frenetovi bazi:
T~000 =−3kk0T~ + (k00−k3−kκ2)N~ + (2k0κ+kκ0)B.~
Očitno je
T~0×T~00=−k3N~ ×T~+k2κN~ ×B~ =k2κT~ +k3B,~
s tem pa tudi
(T~0, ~T 00, ~T 000) = (T~0×T~00)·T~000 =k2κ(−3kk0)+k3(2k0κ+kκ0) =k4κ0−k3k0κ.
Nazadnje lahko zapišemo v zgoščeni obliki:
(T~0, ~T00, ~T 000) =k5
κ k
0
.
S podobnim računom dobimo tudi
(B~ 0, ~B00, ~B000) =κ5 k κ
!0
.
Kdor pa ima voljo, naj poskusi izračunati še (N~ 0, ~N00, ~N000).
4 Primer parametrizacije krivulje
Pogosto je krivulja opredeljena kot presek dveh ploskev. Stožnice so že tak primer: so preseki stožca z ravnino. Prav tako Perzejeve krivulje, ki so preseki torusa z ravnino, ki je vzporedna njegovi osi. Presek valja in sfere, pri čemer se valj od znotraj dotika sfere, je krivulja, ki ji pravimo Evdoksova hipopeda. Stožec, valj in torus so tukaj ploskve, ne telesa.
Poglejmo si poseben primer Evdoksove hipopede, Vivianijevo krivuljo V. To je osmici podobna krivulja na sferi. V koordinatnem sistemu Oxyz nastane kot presek sferex2+y2+z2 =a2 in valjax2+y2 =ax. Pri tem jeapozitivna konstanta, polmer sfere. Valj se od znotraj v točki A(a,0,0) dotika sfere, na nasprotni strani pa valj poteka skozi središče O sfere (skika 13). Pravokotna projekcija krivulje V na ravnino z = 0 je krožnica x2 + y2 = ax, ki jo prepišemo v obliko
(x−a/2)2+y2 = (a/2)2. Njena preprosta parametrizacija je
x= a
2(1 + cost) =acos2(t/2), y = a
2sint=asin(t/2) cos(t/2), 0≤t≤2π.
Projekcijo dvignemo na sfero. Izrazimo z2 =a2− a2
4(1 + cost)2− a2
4 sin2t=a2sin2(t/2).
Slika 13: Nastanek Vivianijeve krivulje.
Če vpeljemo nov parameter τ =t/2, imamo parametrizacijo krivulje V:
~r(τ) =a(cos2τ,sinτcosτ,sinτ), |τ| ≤π.
Ko parameter τ narašča od 0 proti π, krivulja štarta v točki A(a,0,0), pri τ = π/4 gre skozi točko (a/2, a/2, a√
2/2), kjer se najbolj oddalji od rav- nine Ozx. Pri τ = π/2 doseže točko N(0,0, a), ki je najbolj oddaljena od ravnine Oxy. Pri τ = 3π/4 dobimo točko (a/2,−a/2, a√
2/2) in pri τ = π spet točko A(a,0,0). Podobno opišemo potek krivulje na južni polobli. Pa- rametruτ =−π/4ustreza točka(a/2,−a/2,−a√
2/2), parametruτ =−π/2 točka(0,0,−a), parametruτ =−3π/4točka(a/2, a/2,−a√
2/2)in nazadnje parametruτ =−πspet točka A(a,0,0), kjer krivulja preseka sama sebe pod pravim kotom. Slednje potrjuje račun:
~r˙(0) =a(0,1,1), ~r˙(π) =a(0,1,−1), ~r˙(0)·~r˙(π) = 0.
Pravokotna projekcija krivulje V na ravnino Oxy je seveda krožnica x2 + y2 =ax. Kaj pa sta pravokotni projekciji na preostali koordinatni ravnini?
Projekcija na koordinatno ravnino Ozx ima parametrično obliko x=acos2τ, z =asinτ.
Z izločitvijo parametra τ dobimo ax = a2 −z2. To je enačba parabole. V poštev pride le tisti del, kjer je |z| ≤a,0≤x≤a (slika 14).
Slika 14: Pravokotna projekcija Vivianijeve krivulje na ravninoOzx.
Pravokotna projekcija na koordinatno ravnino Oyz ima parametrično obliko y=asinτcosτ, z=asinτ.
Z izločitvijo parametra τ dobimoa2y2 =z2(a2−z2). To je enačbaGeronove lemniskate, tudi Huygensove lemniskate ali preprosto kar osmice (slika 15).
Oglejmo si še dolžino Vivianijeve krivulje na odseku, ki ustreza parametrom τ na intervalu[0, t]. Tako kot pri vijačnici imamo
s(t) =
Z t 0
|~r˙(τ)|dτ,
le integrand ni tako preprost, ker je
~r˙(τ) = a(−2 cosτsinτ,cos2τ −sin2τ,cosτ) =
= a(−sin 2τ,cos 2τ,cosτ),
|~r˙(τ)| = a√
1 + cos2τ =a√ 2
q
1−sin2τ /2.
Z eliptičnim integralom druge vrste v Legendrovi obliki E(ϕ, k) =
Z ϕ 0
q
1−k2sin2udu
Slika 15: Pravokotna projekcija Vivianijeve krivulje na ravninoOyz.
lahko zapišemo:
s(t) =a√
2E(t,√ 2/2).
Adrien-Marie Legendre (1752–1833) je bil francoski matematik, znan na pri- mer še po Legendrovem simbolu v teoriji števil, Legendrovih polinomih in Legendrovih funkcijah v teoriji potenciala in Legendrovi formuli za funkcijo Γ. Omenjamo ga zato, ker so dolgo imeli za njegovo podobo, tudi po ma- tematično zgodovinskih knjigah, portret napačnega človeka, in sicer politika Louisa Legendra (1752–1797). Na portretu ni zapisano njegovo polno ime, ampak le Legendre, kar je zavedlo zgodovinarje. Matematik Legendre se očitno ni dal portretirati, obstaja samo neka karikatura iz leta 1820, kjer je upodobljen skupaj z matematikom Fourierom.
Slika 16: Politik Legendre (levo), matematik Legendre (desno).
Nekaj podobnega se je zgodilo z Arhimedom. Doprsni kip spartanskega kralja
Arhidama III so dolgo imeli za Arhimedovega. Na podlagi tega kipa so dajali v zgodovinske knjige ter na znamke in kovance napačno Arhimedovo podobo.
Poglejmo si še stereografsko projekcijo Vivianijeve krivulje na ekvatorialno ravnino sfere, na kateri leži. Iz severnega pola N sfere skozi točkoP 6=N na sferi konstruiramo poltrak. Njegovo presečišče P0 je stereografska projekcija točke P (slika 17). Če ima točka P koordinate (X, Y, Z), ima P0 koordinati (x, y,0). Povezavi v eno smer pri pogoju X2 +Y2+Z2 =a2 sta naslednji:
x= aX
a−Z, y = aY a−Z. Povezave v nasprotni smeri pa so:
X = 2a2x
x2+y2+a2, Y = 2a2y
x2+y2+a2, Z = a(x2+y2−a2) x2+y2+a2 .
Točke na ekvatorju sfere so negibne ta stereografsko projekcijo. Če se točka P bliža severnemu polu N, beži točka P0 v neskončnost. Vivianijeva krivulja
Slika 17: Stereografska projekcija.
se s stereografsko projekcijo preslika v krivuljo
x=a(1 + sinτ), y = asinτcosτ 1−sinτ .
Njeno implicitno obliko pa dobimo z upoštevanjem, da koordinati X in Y zadoščata enačbi valja X2+Y2 =aX. Veljati mora torej
4a4x2
(x2+y2+a2)2 + 4a4y2
(x2+y2+a2)2 = 2a3x x2+y2+a2. Po poenostavitvi dobimo
2a(x2+y2) =x(x2+y2+a2).
To je implicitna enačba iskane krivulje. Izrazimo y2 = x(x−a)2
2a−x .
To je enačba strofoide v koordinatnem sistemuOxy. Stereografska projekcija
Slika 18: Strofoida kot stereografska projekcija Vivianijeve krivulje.
Vivianijeve krivulje je torej strofoida. Strofoida ima presečišči z osjo x v točkah O(0,0) in A(a,0), premica x = 2a pa je njena navpična asimptota.
Strofoida je simetrična glede na os x. Med točkama O in A opiše zanko.
Poljuben poltrak s krajiščem v točki O skozi točko M z neničelno ordinato na asimptoti preseka strofoido še v točkah A inB (slika 19), premico x=a pa v točki S. Ne glede na izbiro točkeM ležijo točke A, B in C na krožnici s središčem v točki S. To je določilna lastnost strofoide.
Ime krivuljestrofoidaizhaja iz grščine: στροφήpomeni zavoj, upogib, obrat, -ειδής pa je oblike. Poznal jo je že Evangelista Torricelli (1608–1647). Stro- foida je očitno algebrska krivulja tretje stopnje.
Razvoj v Taylorjevo vrsto v okolici točke x=a se začne takole:
y2 = (x−a)2+ 2
a(x−a)3+. . .
To se pravi, da je zaxblizuaordinatayblizu|x−a|, kar pomeni, da strofoida seka samo sebe v točki A pravokotno. Da se pokazati, da stereografska
Slika 19: Strofoida.
projekcija ohranja kote. Zato se strofoida seka prav tako pravokotno kot Vivianijeva krivulja na sferi.
Ploščino S1 strofoidine zanke izračunamo z integralom:
S1 = 2
Z a 0
(a−x)
s x 2a−xdx.
S substitucijo
x= 2asin2u dobimo
S1 = 8a2
Z π/4 0
cos 2usin2udu
in po prehodu od potenc na večkratne argumente v trigonometričnih funkci- jah
S1 = 2a2
Z π/4 0
(2 cos 2u−1−cos 4u) du= 2a2− πa2 2 .
Prav tako dobimo ploščinoS2neomejenega lika med strofoido in njeno asimp- toto:
S2 = 2
Z 2a a
(x−a)
s x 2a−xdx.
Z isto substitucijo kot prej je S2 = 8a2
Z π/2 π/4
(−cos 2u) sin2udu
in spet po prehodu od potenc na večkratne argumente v trigonometričnih funkcijah
S2 = 2a2
Z π/2 π/4
(1 + cos 4u−2 cos 2u) du= 2a2+πa2 2 .
To se je starim imenitno zdelo, kajti S2 −S1 = πa2, kar je ravno ploščina kroga s polmerom a.
5 Loksodroma
Povedali smo že, da je loksodroma sferna krivulja, ki seka vse poldnevnike pod stalnim kotomα. Primer α= 0nam da nezanimive poldnevnike, primer α = π/2 pa vzporednike, zato predpostavimo pogoj 0 < |α| < π/2. Sfero s polmerom a postavimo v koordinatni sistem Oxyz tako, da ima središče v izhodišču O. Njena enačba je x2 +y2 +z2 = a2. Točko N(0,0, a) bomo imenovaliseverni polaliseverni tečaj, točko S(0,0,−a)pajužni polalijužni tečaj sfere. Vsako točko T(x, y, z) na sferi določa njen krajevni vektor ~r.
Razen obeh polov pa jo določata tudi zemljepisna dolžina ali longituda u in zemljepisna širina ali latituda v. Vzamemo −π ≤ u < π, −π/2≤ v ≤ π/2.
V polih je v = ±π/2, u pa ni določen. Ekvator je krožnica, ki je presek sfere in ravnine z = 0, na njem je v = 0. Kot v merimo od ekvatorja proti poloma: proti severnemu pozitivno, proti južnemu negativno. Polkrožnica od severnega pola proti južnemu prek točke (a,0,0) je začetni poldnevnik.
Vsi poldnevniki so polkrožnice od severnega proti južnemu polu. Ravnina poldnevnika oklepa z ravnino začetnega poldnevnika kot u, ki ga štejemo pozitivnega v matematičnem smislu, gledano iz točke na pozitivni osiz (slika 20). Po vsem tem lahko zapišemo
~r=~r(u, v) = a(cosucosv,sinucosv,sinv).
S tem smo pravzaprav zapisali sfero v parametrični obliki, z vektorsko funk- cijo dveh parametrov. V parametrični obliki~r =~r(u, v)lahko zapišemo tudi bolj zapletene ploskve, če primerno izberemo koordinatne funkcije parame- trov u in v.
Če po en parameter vzamemo konstanten, dobimo v tej parametrizaciji ko- ordinatne krivulje na sferi. Krivulje
~
r(u) =~r(u, v0) =a(cosucosv0,sinucosv0,sinv0)
so za vsak konstanten v0 vzporedniki, krivulje
~r(v) =~r(u0, v) = a(cosu0cosv,sinu0cosv,sinv)
pa za vsak konstanten u0 poldnevniki na sferi. Tako dobimo koordinatno mrežo na sferi.
Sedaj se lotimo loksodrome. Poiskati moramo tako povezavo med parame- troma u in v, ki definira sferno krivuljo, ki seka poldnevnike pod stalnim kotom α. To je prav tako kot relacija med x in y v koordinatnem sistemu Oxy.
Kot α med krivuljama je kot med tangentama v presečišču teh krivulj. Ker ima diferenciald~r krivulje isto smer kot njena tangenta, lahko kot med njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvo krivuljo označimo z d, v zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo
cosα= d~r·δ~r
|d~r| · |δ~r| = d~r·δ~r ds·δs.
Na ploskvi~r=~r(u, v) je
d~r= ∂~r
∂udu+∂~r
∂vdv
Slika 20: Koordinate na sferi.
in
|d~r|2 = ds2 =Edu2+ 2F dudv+Gdv2,
pri čemer so Gaußovi koeficienti E, F, G definirani takole:
E = ∂~r
∂u · ∂~r
∂u, F = ∂~r
∂u · ∂~r
∂v, G= ∂~r
∂v · ∂~r
∂v. Preprost račun pokaže za sfero:
∂~r
∂u = a(−sinucosv,cosucosv,0),
∂~r
∂v = a(−cosusinv,−sinusinv,cosv).
Nazadnje dobimo za sfero
E =a2cos2v, F = 0, G=a2.
in
ds2 =a2(cos2vdu2+ dv2).
Sedaj ni težko izraziti produkt za parametrizirano ploskev d~r·δ~r = (∂~r
∂udu+∂~r
∂vdv)·(∂~r
∂u δu+ ∂~r
∂v δv).
Z Gaußovimi koeficienti dobimo:
d~r·δ~r =Eduδu+F(duδv+δudv) +Gdvδv.
Posebej je za sfero d~r ·δ~r = a2(cos2vduδu+ dvδv). Za krivulji na sferi je nazadnje:
cosα= cos2vduδu+ dvδv
√cos2vdu2+ dv2·√
cos2v δu2+δv2.
Iskana loksodroma naj ima diferenciale d, poldnevnik pa δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu= 0 in izraz za kot α se poenostavi:
cosα= dv
√cos2vdu2+ dv2.
Dobljeno diferencialno enačbo preoblikujemo, tako da najprej zapišemo 1
cos2α = 1 + tg2α= 1 + du dv
!2
cos2v,
iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo du
dv
!2
cos2v = tg2α,
ki razpade na dve:
du
dv cosv = tgα, du
dv cosv =−tgα.
Ločimo spremenljivki:
du= tgα dv
cosv, du= tg(−α) dv cosv.
Dovolj je obravnavati primer α > 0. Loksodrome tedaj potekajo v smeri severovzhoda proti severnemu polu oziroma proti jugozahodu proti južnemu (slika 21). Ko namreč malo povečamo u, se malo poveča tudi v. To je desnosučna loksodroma. Levosučno loksodromo dobimo, če α zamenjamo z
−α.
Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še začetni pogoj. Krivulja naj poteka skozi točko na sferi, ki ustreza parametroma u0 in v0. Z integracijo dobimo
u−u0 = tgα
Z v v0
dν
cosν = tgα(ln tg(v/2 +π/4)−ln tg(v0/2 +π/4))
ali
u=u0+ tgα ln tg(v/2 +π/4) tg(v0/2 +π/4).
Za loksodromo, ki poteka skozi točko (a,0,0), vzamemo u0 = v0 = 0 in dobimo
u= tgα ln tg(v/2 +π/4).
Enačba take loksodrome v parametrični obliki je torej:
~
r(v) =a(cos(tgα ln tg(v/2 +π/4)),sin(tgα ln tg(v/2 +π/4)),sinv).
Pri istem α dobimo vse loksodrome z zasukom slednje okoli osi z. Ko v →
±π/2, se loksodroma spiralasto ovija okoli polov. Kotu u tukaj dovolimo vse realne vrednosti, ne le tiste med −π inπ, da se loksodroma lepo zvezno nadaljuje v obe smeri.
Slika 21: Loksodroma.
V rešitvi nastopa funkcija v 7→ ln tg(v/2 + π/4), definirana na intervalu (−π/2, π/2). Ni sicer takoj razvidno, da je to liha funkcija. Poskusimo dokazati:
ln tg(−v/2 +π/4) = ln ctg(π/2−(π/4−v/2)) = ln ctg(v/2 +π/4) =
= ln(1/tg(v/2 +π/4) =−ln tg(v/2 +π/4).
