Ploskve in krivulje v prostoru z anaglifnimi slikami

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO’KA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

MATIC PRIMOšIƒ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO’KA FAKULTETA

’tudijski program: Matematika in tehnika

Ploskve in krivulje v prostoru z anaglifnimi slikami

DIPLOMSKO DELO

Mentor: dr. Marko Razpet Kandidat: Matic Primoºi£

Ljubljana, februar, 2015

Zahvala

Naprej se zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu za potrpeºljivost in po- mo£ pri izdelavi diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi druºini in prijateljem za vso pomo£ in £as, ki smo ga skupaj preºiveli.

Za vse podarjeno pa se ²e posebej zahvaljujem Manci, predvsem za zadnje, najlep²e darilo.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Anaglifne slike 2

2.1 Stereoskopija . . . 2

2.2 Anagli . . . 2

3 GeoGebra 5.0 5 4 Koordinatni sistem v prostoru 8 5 Ploskve v prostoru 11 5.1 Ravnine v prostoru . . . 11

5.2 Sfera . . . 12

5.3 Elipsoid . . . 18

5.4 Torus . . . 23

6 Krivulje v prostoru 26 6.1 Vija£nica . . . 26

6.2 Stoºnice . . . 36

6.2.1 Kroºnica . . . 37

6.2.2 Elipsa . . . 39

6.2.3 Parabola . . . 44

6.2.4 Hiperbola . . . 46

6.3 Krivulje na sferi . . . 51

6.4 Krivulje na torusu . . . 55

7 Uporaba anaglifnih slik v osnovni ²oli 60

8 Zaklju£ek 61

Povzetek

V diplomskem delu so na kratko predstavljene anaglifne slike, ki so enosta- ven na£in prikaza tridimezionalnih slik, in ra£unalni²ki program GeoGebra, ki to metodo uporablja za tridimenzionalno geometrijo. Nato so obravnavane ploskve in krivulje v prostoru, predvsem iz vidika diferencialne geometrije.

Obravnavi so dodane anaglifne slike, ki s svojim vtisom trirazseºnosti pripo- morejo k bolj²i predstavi obravnavane tematike.

Klju£ne besede: anaglifne slike, diferencialna geometrija, ravnine v pro- storu, sfera, elipsoid, torus, vija£nica, stoºnice, krivulje na sferi, krivulje na torusu.

MSC(2010): 53A04, 53A05.

Surfaces and curves in space with anaglyph pic- tures

Abstract

In this diploma thesis anaglyph pictures are briey presented. Those are a simple way to show three dimensional pictures. Anaglyph method is used by computer program GeoGebra for three dimensional geometry. Then curves and surfaces in space are studied, mostly from the point of diferential geo- metry. For a better representation of the studied subject, analgyph pictures are added.

Key words: anaglyph pictures, diferential geometry, planes in space, sphere, ellipsoid, torus, helix, conics, curves on sphere, curves on torus.

MSC(2010): 53A04, 53A05.

1 Uvod

3D-tehnologija je ºe precej raz²irjena. Uporablja se na primer za tridimenzi- onalno tiskanje predmetov ali za bolj zabavi²£no usmerjeno prikazovanje tri- dimenzionalnih slik in posnetkov. To tehnologijo bi lahko s pridom uporabili tudi v izobraºevanju. Matematika se med drugim ukvarja tudi s tridimen- zionalnim prostorom. Dvodimenzionalne predstavitve elementov v takem prostoru so pogosto zadovoljive, ve£krat pa premalo nazorno pokaºejo svoje sporo£ilo. Po na²em mnenju bi lahko to teºavo v veliki meri odpravili ºe z uporabo preproste tehnologije anaglifnih slik, s katero bi elemente iz tri- dimenzionalnega prostora tudi predstavili v takem prostoru. Z anaglifnimi slikami v splo²nem ne dobimo najbolj kvalitetnih tridimenzionalnih predsta- vitev. Obi£ajno se pojavljajo teºave pri posnemanju pravih barv, problem je tudi v tem, da dolo£ene informacije doseºejo oko, ki teh informacij ne bi smelo videti. Vseeno pa je za prikaz enostavnih motivov kvaliteta zadovo- ljiva. Za zaznavanje trodimenzionalnosti anaglifnih slik uporabnik potrebuje dve delujo£i o£esi, medtem ko naj barvna slepota ne bi nujno onemogo£ila efekta, rezultat naj bi bil odvisen tudi od vrste barvne slepote.

V diplomskem delu je tehnologija anaglifnih slik na kratko predstavljena.

Sledi ji predstavitev ra£unalni²kega programa za geometrijo in algebro, v katerega je vklju£eno prikazovanje tridimenzionalnih slik s prej omenjeno tehnologijo. Temu sledi geometrija v prostoru, najprej koordinatni sistem kot njeno izhodi²£e, nato pa ploskve in krivulje v prostoru.

2 Anaglifne slike

2.1 Stereoskopija

Stereoskopija je tehnika, ki omogo£a prostorsko gledanje. S pomo£jo prikaza dveh dvodimenzionalnih slik, ki sta namenjeni vsaka enemu o£esu, ustvarja iluzijo trodimenzionalnega prostora [19]. Poznamo ve£ razli£nih na£inov ste- reoskopije. Ena od pasivnih oblik uporablja anaglifno metodo, pri kateri od prikazanih dveh slik z vsakim o£esom gledamo samo eno. To se doseºe z dolo£enimi barvami slik in barvnimi ltri v o£alih. Ta metoda je najbolj enostavna in tudi najmanj kvalitetna. Druga oblika uporablja polarizacijski pristop. Pri tem gre za uporabo o£al z dvema razli£no polariziranima l- troma, ki sta zdruºljiva z zaslonom. Zaslon oddaja vodoravno in navpi£no polarizirano svetlobo, vsak od ltrov v o£alih pa prepu²£a samo eno obliko valovanja. Aktivna oblika stereoskopije deluje tako, da prikazovalnik izme- ni£no prikazuje slike za eno in drugo oko. Ob tem so potrebna posebna o£ala, ki obi£ajno vsebujejo teko£e kristale, ki prepu²£ajo svetlobo samo do tistega o£esa, za katerega je v tistem trenutku prikazana slika na zaslonu. O£ala tako prepre£ijo, da bi z levim o£esom videli, kar je bilo namenjeno desnemu o£esu in obratno [16].

2.2 Anagli

Anagli so, kljub temu da so zelo malo poznani, v resnici ºe precej stari.

Z njimi so se za£eli ukvarjati ºe v petdesetih letih 19. stoletja; v Nem£iji Wilhelm Rollmann [1], v Franciji pa Joseph D'Almeida [11]. Anaglifna slika nastane tako, da zdruºimo dva komplementarna izvle£ka. Postopek teme- lji na trikromati£nem zaznavanju barv, kar pa temelji na osnovnih barvah:

modri, rde£i in zeleni. Pri tem o£esi ne smeta hkrati videti iste barvne kom- ponente, da ne prihaja do podvajanja. Obstaja ve£ vrst anaglifov, saj je za njihov nastanek in ogled moºna uporaba razli£nih barvnih kombinacij. Naj- pogostej²a barvna kombinacija je rde£a-cian, ki jo je uvedel Stephen Gibson

v sedemdesetih letih 20. stoletja. Poznamo pa ²e kombinacije rde£a-zelena, rde£a-modra, temno rde£a-cian, zelena-magenta, magenta-cian . . . [1]

Za izdelavo anaglifa potrebujemo dve sliki iste scene, in sicer iz gledi²£ obeh o£es. Ob izdelavi anaglifa iz fotograj moramo isto sceno fotograrati dva- krat z okoli 60 mm zamika. Na ta na£in dobimo lo£ena pogleda levega in desnega o£esa. Za obe podobi, ki jima re£emo stereopar, izdelamo barvne izvle£ke (slika, ki vsebuje dolo£en barvni kanal) in ju zdruºimo ter tako do- bimo anaglif. Ko ga pogledamo z ustreznimi o£ali, vsako oko vidi le njemu namenjeno podobo. Do tega pride, ker barvna ltra v o£alih spremenita barve, na primer barva x skozi lter x barve izgleda bela, komplementarna barva pa £rna. Ti lo£eno zaznani podobi pa zdruºijo moºgani (ta pojav se imenuje binokularna fuzija), kar privede do prostorske zaznave [1]. Seveda je pomembno, da sta barvna izvle£ka prilagojena o£alom. To pomeni, da mo- ramo ob uporabi o£al z npr. rde£im in cian ltrom stereoparu, namenjenemu desnemu o£esu, pustiti rde£ barvni kanal, stereoparu, namenjenemu levemu o£esu, pa modrega in zelenega (velja za sivinski anaglif). Pri tem velja, da je globinska postavitev predmetov na anaglifni sliki dolo£ena z medsebojnima legama rde£e in cian (ali kak²ne druge barve, odvisno od barvne kombinacije) slike. ƒe se sliki prekrivata, predmet vidimo v ravnini, na kateri je anaglif prikazan, £e je cian slika zamaknjena v levo, predmet vidimo za ravnino, £e pa je cian slika zamaknjena v desno, pa predmet vidimo pred ravnino [15].

Odvisnost globinske zaznave od poloºaja stereoparov je prikazana na sliki 1.

Odvisno od ohranitve barvnih kanalov anaglif, gledan skozi anaglifna o£ala, lahko vsebuje razli£ne barve. Za pravi anaglif levemu stereoparu pustimo rde£ barvni kanal, desnemu pa modrega. Rezultat je temen, s slabo repro- dukcijo barv. Pri sivinskem anaglifu levemu stereoparu ohranimo rde£ kanal, desnemu pa zelenega in modrega; rezultat tega je popolna eliminacija barv.

Pri barvnem anaglifu s popolno reprodukcijo barv levemu paru ohranimo samo rde£o komponento rde£ega kanala, desnemu pa modro komponento

Slika 1: Globinska zaznava predmetov [15]

modrega kanala in zeleno komponento zelenega kanala. Polbarvni anaglif, ki delno reproducira barve, ampak je manj mote£ za ogled, je sestavljen iz levega stereopara z rde£im kanalom vseh treh komponent in desnega stere- opara, ki je enak kot pri barvnem anaglifu. Poznamo ²e Duboisov anaglif, optimiziran anaglif . . . [1]

3 GeoGebra 5.0

GeoGebra je program za dinami£no geometrijo in algebro. V nasprotju s prej²njo razli£ico GeoGebra 4, ki je omogo£ala geometrijo in algebro v rav- nini, nova razli£ica GeoGebra 5.0 omogo£a tudi delo v tridimenzionalnem prostoru. Program je na voljo za prenos na [13].

Osnovni izgled gra£nega vmesnika za delo s 3D geometrijo je sestavljen iz menijske vrstice, orodne vrstice, algebskega okna, 3D pogleda in vnosne vrstice (slika 2).

Slika 2: Gra£ni vmesnik programa Geogebra

V menijski vrstici so moºnosti za upravljanje z datotekami in za razne na- stavitve (videz, pisava, ozna£evanje . . . ).

V orodni vrstici si od leve proti desni sledijo orodja za:

• premikanje,

• to£ke, prese£i²£a, sredi²£a,

• premice, daljice, poltrake, vektorje,

• vzporednice, pravokotnice,

• mnogokotnike,

• kroºnice,

• prese£i²£a ploskev,

• ravnine,

• piramide, prizme, stoºce, valje, kocke,

• sfere,

• kote, razdaljo, plo²£ino, prostornino,

• zrcaljenje, vrtenje, raztege in premike,

• tekst,

• prilagajanje prikaza,

• spreminjanje pogleda na objekt.

V algebrskem oknu so prikazana dolo£ila za vse narisane objekte (koordinate to£k, ena£be krivulj in ploskev).

V 3D pogledu so prikazani objekti, v njem s pomo£jo orodij ustvarjamo nove objekte in jih prilagajamo, spreminjamo. Na voljo so tudi nastavitve, s

katerimi dolo£amo prikaz koordinatih osi, ravnine Oxy, mreºe in pogleda na sliko. Zadnja nastavitev, ki je za nas najbolj zanimiva, pa omogo£a izbiro projekcije. Na voljo so pravokotna, perspektivna in po²evna projekcija ter anaglifna slika, s katero si lahko objekte ogledamo v treh dimenzijah. S to moºnostjo so bile narejene anaglifne slike, ki so prikazane v tem delu. Za njihov ogled so potrebna anaglifna o£ala z rde£im in cian ltrom (slika 3).

Slika 3: Rde£a-cian anaglifna o£ala

Vnosna vrstica omogo£a drug na£in ustvarjanja objektov. Namesto da objekt z orodjem postavimo v risalno polje, v vnosno vrstico vpi²emo algebrski opis objekta.

Ve£ o GeoGebri 5.0 najdete v uporabni²kem priro£niku na [14].

4 Koordinatni sistem v prostoru

Pravokotni kartezi£ni koordinatni sistem v prostoru je dolo£en s tremi pa- roma pravokotnimi ravninami Oyz, Ozx in Oxy. Preseki parov teh ravnin so tri paroma pravokotne premice, na katerih leºijo koordinatne osi. Os x imenujemo abscisna os, os yordinatna os, osz pa aplikatna os. Osi se sekajo v izhodi²£u, ki ga ozna£imo s £rko O (slika 4).

Slika 4: Pravokotni kartezi£ni koordinatni sistem v prostoru

Izhodi²£e razdeli osi na po dva poltrakova, in sicer pozitivnega in negativnega.

Pozitivni del osi je v koordinatnem sistemu ozna£en s pu²£ico. Koordinatne ravnine razdelijo cel prostor na osem delov, ki jih imenujemo oktanti. Po- ljubna to£ka T v prostoru je enoli£no dolo£ena s koordinatami x, y in z, kjer absolutna vrednost koordinate pomeni razdaljo to£ke od koordinatnih ravnin, predznak pa pove, ali se to£ka pravokotno projicira na pozitiven ali

negativen del ustrezne osi. Absolutna vrednost koordinatexpomeni razdaljo to£ke od ravnine Oyz, absolutna vrednost koordinate y razdaljo od ravnine Ozxin absolutna vrednost koordinate z razdaljo od ravnineOxy. Za vse ko- ordinate velja, da so pozitivne, £e so na tisti strani ravnine, od katere razdaljo predstavljajo, kamor kaºe pozitivni del osi. To pomeni, da je koordinata x pozitivna, £e je to£ka na isti strani ravnineOyz kot pozitivni del osix. Koor- dinate podane to£keT lahko dobimo tako, da skozi to£ko postavimo ravnine, vzporedne koordinatnim ravninam. Prese£i²£a teh ravnin in koordinatnih osi x,y inz so to£keA(a,0,0),B(0, b,0) inC(0,0, c). Koordinate ustrezajo dolºini daljic med izhodi²£emO in prese£i²£i: x=|OA|, y =|OB|, z =|OC|, kjer je predznak pozitiven, £e je prese£i²£e na pozitivni strani osi, in negati- ven, £e je prese£i²£e na negativni strani osi.

Slika 5: To£ka kot presek ravnin (anaglif za ogled so potrebna rde£e-cian 3D o£ala)

Obratno pa ob poznavanju koordinat to£ke T lahko poi²£emo to to£ko tako, da na osi, v smeri, ki ustreza predznaku koordinate, in razdalji, ki ustreza absolutni vrednosti koordinate, postavimo ravnine, vzporedne koordinatnim.

Presek vseh treh ravnin je iskana to£ka T. To£koT s koordinatamix,y, inz ozna£imo sT(x, y, z)[10]. To£ka kot presek ravnin, vzporednih koordinatnim ravninam, je prikazana na sliki 5.

5 Ploskve v prostoru

5.1 Ravnine v prostoru

Ravnina v prostoru je lahko podana na ve£ na£inov. Eden od njih je s to£ko T₀(x₀, y₀, z₀), ki leºi v ravnini Σ, in z normalo ~n na ravnino Σ. To£ki T₀ priredimo krajevni vektor r~₀, poljubni to£ki T(x, y, z) pa krajevni vektor ~r. Ker je normala~n pravokotna na ravnino, to£kaT leºi v ravnini Σ takrat, ko je vektor~r−~r₀ pravokoten na normalo. To pomeni, da mora veljati naslednja relacija s skalarnim produktom [4]:

(~r−~r₀)·~n= 0.

Dobljena ena£ba je vektorska ena£ba ravnine. Vzemimo, da je ~n = (a, b, c), in vstavimo vektorje po komponentah v zgornjo ena£bo. Dobimo:

(x−x0, y−y0, z−z0)·(a, b, c) = 0,

(x−x₀)a+ (y−y₀)b+ (z−z₀)c= 0,

ax+by+cy−(ax₀+by₀+cz₀) = 0.

Izraz−(ax₀+by₀+cz₀)vzamemo zadin tako dobimo splo²no ena£bo ravnine:

ax+by+cz+d= 0.

Poleg omenjenega na£ina je lahko ravnina podana ²e s premico in to£ko, ki ne leºi na tej premici, s tremi nekolinearnimi to£kami, z dvema sekajo£ima se premicama ali z dvema neidenti£nima vzporednima premicama.

5.2 Sfera

Sfera je ploskev 2. reda, ki jo sestavlja mnoºica to£k T(x, y, z) v prostoru, ki so za polmer r oddaljene od sredi²£aS(x₀, y₀, z₀) [3].

Slika 6: Sfera (anaglif)

Z obrazcem za razdaljo med to£kamaT₁(x₁, y₁, z₁)inT₂(x₂, y₂, z₂)v prostoru [2], to se pravi

d=p

(x2−x1)²+ (y2−y1)²+ (z2−z1)²,

lahko iz zgornjega pogoja hitro pridemo do ena£be sfere. Poi²£emo razdaljo med poljubno to£ko na sferi in njenim sredi²£em, za katero pa vemo, da je enaka r:

d(S, T) =p

(x−x0)²+ (y−y0)²+ (z−z0)² =r.

Relacijo ²e kvadriramo in dobimo ena£bo sfere s sredi²£em S(x₀, y₀, z₀) in polmerom r:

(x−x₀)²+ (y−y₀)²+ (z−z₀)² =r².

V parametri£ni obliki lahko sfero opi²emo z ena£bami [2]:

x=x₀+rcosusinv, y=y₀+rsinusinv,

z =z0+rcosv, kjer u te£e od 0 do 2π,v pa od 0 do π.

Sfero lahko dobimo tudi z rotacijo kroºnice okoli njenega premera za kotπ ali kot rotacijo polovice kroºnice za kot 2π. S slednjim primerom si pomagamo pri izra£unu povr²ine sfere. Povr²ino vrtenine, ki nastane s parametri£no podano krivuljo, izra£unamo po formuli

P = 2π Z b

a

y(t)p

˙

x(t)²+ ˙y(t)²dt.

Za sfero, ki jo dobimo tako, da polovico kroºnice, ki leºi na pozitivni strani osi y, z ena£bo:

r(t) = (rcost, rsint), 0≤t≤π, zavrtimo okoli osi x, izra£unamo povr²ino tako:

P = 2π Z π

0

rsintp

r²sin²t+r²cos²tdt=

= 2π Z π

0

r²sintdt =

= 2πr²(−cost)|^π₀ =

= 4πr². Povr²ina sfere s polmerom r je 4πr².

Izra£unajmo povr²ino sfere ²e na drug, splo²nej²i na£in, za katerega ploskev ni nujno vrtenina. Za parametri£no podano ploskev ~r = ~r(u, v) diferencial povr²ine ploskve izra£unamo z izrazom [2]

dP =√

EG−F²dudv,

kjer so E, F in G koecienti prve fundamentalne forme ploskve, denirani kot:

E = ∂~r

∂u · ∂~r

∂u, F = ∂~r

∂u · ∂~r

∂v, G= ∂~r

∂v · ∂~r

∂v.

Za ploskev, podano v eksplicitni oblikiz =f(x, y), vzamemo parametrizacijo

~

r(x, y) = (x, y, f(x, y)) in dobimo [5]:

dS=q

1 +z_x²+z_y²dxdy.

Za za£etek zapi²imo vektorsko ena£bo sfere s sredi²£em v izhodi²£u in izra-

£unajmo parcialna odvoda vektorja

~r= (rcosusinv, rsinusinv, rcosv), 0≤u≤2π,0≤v ≤π:

∂~r

∂~u = (−rsinusinv, rcosusinv,0),

∂~r

∂~v = (rcosucosv, rsinucosv,−rsinv).

Nadaljujmo z izra£unom koecientov E, F inG:

E =r²sin²usin²v+r²cos²usin²v =

=r²sin²v(sin²u+ cos²u) =

=r²sin²v,

F =−r²sinusinvcosucosv+r²cosusinvsinucosv = 0,

G=r²cos²ucos²v+r²sin²ucos²v+r²sin²v = r²cos²v(cos²u+ sin²u) +r²sin²v =

r²cos²v +r²sin²v =

=r². Povr²ino izra£unamo z naslednjim integralom:

P = Z 2π

0

du Z π

0

√

EG−F²dv =

= Z 2π

0

du Z π

0

p

r⁴sin²vdv =

=r² Z 2π

0

du Z π

0

sinvdv =

=r² Z 2π

0

(−cosv)|^π₀ du=

= 2r² Z 2π

0

du=

= 2r²u|^2π₀ =

= 4πr².

Rezultat za povr²ino sfere je seveda isti kot pri prej²njem izra£unu: P = 4πr². Tudi pri prostornini krogle, ki jo sfera omejuje, si lahko pomagamo z dej- stvom, da je sfera vrtenina. Formula za prostornino vrtenine je naslednja:

V =π Z b

a

y(t)² x(t) dt.˙

Poizkusimo pa raje na drug na£in. Poglejmo kroglo v smeri osizin si izberimo neki ksenz ter poglejmo, kak²en je tam prerez krogle. Ker jez ksen, lahko ena£bo sfere preuredimo takole:

x²+y² =r²−z².

Iz tega lahko vidimo, da so prerezi krogi s polmerom √

r²−z². Sedaj lahko izra£unamo prostornino krogle tako, da te prereze integriramo:

V = Z b

a

S(z) dz =

= Z r

−r

π√

r²−z²2

dz =

= 2π Z r

0

r²−z² dz=

= 2π

r²z−z³ 3

r

0

=

= 2π

r³− r³ 3

=

= 4πr³ 3 .

Prostornina krogle, ki jo omejuje sfera s polmerom r, je ^4πr₃³. Nadaljujmo z zapisom normale in tangentne ravnine na sfero.

Pri iskanju normale si pomagamo z gradientom. Za funkcijo F(x, y, z) je gradient v to£ki (a, b, c) deniran kot:

gradF(a, b, c) = ∇F(a, b, c) = (∂F

∂x(a, b, c),∂F

∂y(a, b, c),∂F

∂z(a, b, c)).

V to£ki (a, b, c), kjer je F diferenciabilna in je njen gradient razli£en od 0, je gradient pravokoten na nivojsko ploskev funkcije F in kaºe v smeri najhi- trej²ega nara²£anja funkcije F v to£ki(a, b, c) [3].

Tangentna ravnina ploskve v to£ki T je ravnina, v kateri leºijo tangente na vse krivulje, ki leºijo na ploskvi, v to£kiT. Tangentna ravnina ne obstaja v to£kah, kjer je gradient enak 0 (takim to£kam re£emo stacionarne oziroma singularne to£ke), kjer pa obstaja, pa je pravokotna na gradient. Tangentna ravnina na ploskev z ena£bo F(x, y, z) = 0 v to£ki (a, b, c)ima ena£bo [2]:

∂F

∂x(a, b, c)(x−a) + ∂F

∂y(a, b, c)(y−b) + ∂F

∂z(a, b, c)(z−c) = 0.

Izra£unajmo normalo in tangentno ravnino za sferoS₁:F(x, y, z) = x²+y²+ z²−25 = 0 v to£ki A(0,3,4).

Z izra£unom enostavnih parcialnih odvodov dobimo:

gradF = (2x,2y,2z).

Normala na sferoS₁ v to£ki(0,3,4)je vektor(0,6,8)oziroma vektor(0,3,4). Za tangentno ravnino uporabimo izra£unano normalo in dobimo:

0(x−0) + 3(y−3) + 4(z−4) = 0, 3y−9 + 4z−16 = 0.

Tangenta ravnina na sfero S1 v to£ki A(0,3,4) ima ena£bo 3y+ 4z = 25.

Slika 7: Normala in tangentna ravnina na sfero (anaglif)

5.3 Elipsoid

Elipsoid je ploskev 2. reda, ki je dolo£ena z ena£bo (x−x₀)²

a² + (y−y₀)²

b² +(z−z₀)² c² = 1,

kjer je S(x₀, y₀, z₀) sredi²£e elipsoida in so a, b in c njegove polosi [2]. V parametri£ni obliki istemu elipsoidu pripadajo naslednje ena£be:

x=x₀+acosusinv, y =y₀+bsinusinv,

z =z0+ccosv, kjer u te£e od 0 do 2π,v pa od 0 do π.

Slika 8: Troosni elipsoid (anaglif)

Glede na polosi a, bin clo£imo naslednje posebne primere elipsoida:

• a=b=c:sfera, ki smo jo spoznali v prej²njem poglavju,

• a6=b, a6=c, b6=c: troosni elipsoid (slika 8),

• a=b > c:splo²£eni rotacijski elipsoid (slika 9 levo),

• a=b < c:raztegnjeni rotacijski elipsoid (slika 9 desno).

Slika 9: Splo²£eni (levo) in raztegnjeni (desno) rotacijski elipsoid (anaglif)

Za izra£un prostornine telesa, ki ga omejuje elipsoid, si oglejmo prerez elip- soida pri nekem ksnem x. Za izbran x, za katerega velja 0< x < a, lahko preuredimo ena£bo elipsoida v naslednjo obliko:

y² b² +z²

c² = 1−x² a².

Ena£bo delimo z izrazom na desni strani enakosti in dobimo:

y² b²(1− x²

a²)

+ z² c²(1− x²

a²)

= 1.

Ta ena£ba dolo£a elipso v ravnini yz s polosema b r

1−x² a² in c

r 1−x²

a². Plo²£ina te elipse je S(x) =πbc(1− ^x_a²2). Z integracijo po x bomo zbrali vse take plo²£ine in tako dobili prostornino elipsoida:

V = Z a

−a

S(x) dx=

= 2πbc Z a

0

1− x²

a²

dx=

= 2πbc

x− x³ 3a²

a

0

=

= 2πbc

a− a³ 3a²

=

= 4πabc 3 .

Prostornina telesa, ki ga omejuje elipsoid s polosmi a, bin c, je ^4πabc₃ .

Povr²ino splo²£enega rotacijskega elipsoida (a = b > c) izra£unamo s po- mo£jo formule

P = 2πa²(1 + 1−e²

e ar the), kjer je e² = 1− ^c_a²2.

Povr²ino raztegnjenega rotacijskega elipsoida (a = b < c) izra£unamo s po- mo£jo formule

P = 2πa²(1 + c

aearcsine), kjer je e² = 1− ^a_c2².

Formula za izra£un povr²ine troosnega elipsoida je [17]

P = 2π(c²+ ab

sinφ(E(φ, k) sin²φ+F(φ, k) cos²φ)),

kjer velja [17]

a≥b ≥c, cosφ= c

a, k² = a²(b²−c²) b²(a²−c²), in je

E(φ, k) = Z φ

0

p1−k²sin²u du, 0< k <1 nepopoln elipti£ni integral druge vrste in

F(φ, k) = Z φ

0

du p1−k²sin²u

, 0< k <1

nepopoln elipti£ni integral prve vrste [18]. Pribliºek povr²ine lahko izra£u- namo po naslednji formuli [17]:

P ≈4π

a^pb^p+a^pc^p+b^pc^p 3

¹_p

, kjer je p= 1,6075.

Poglejmo si ²e normalo in tangentno ravnino na elipsoid E₁: F(x, y, z) =

x²

4 + ^y₁₆² + ^z₃₆² = 1 v to£kiT₁(³₂,√ 3,3).

Normalo poi²£emo s pomo£jo gradienta, tega pa dobimo s parcialnim od- vajanjem funkcije F(x, y, z). Dobimo:

grad F = (2x a²,2y

b²,2z c²) =

= (2x 4 ,2y

16,2z 36).

V to£ki T₁ pa dobimo:

grad F(3 2,√

3,3) = (3 4,2√

3 16 , 6

36).

Normala na elipsoid E₁ v to£kiT₁ je vektor (³₄,

√3 8 ,¹₆). Tangentno ravnino pa dobimo tako:

3

4(x−3 2) +

√3

8 (y−√ 3) + 1

6(z−3) = 0,

3 4x− 9

8 +

√3 8 y−3

8 +1 6z− 1

2 = 0, 3

4x+

√3 8 y+1

6z = 16 8 , 18x+ 3√

3y+ 4z = 48.

Tangentna ravnina na elipsoidE₁v to£kiT₁ima ena£bo18x+3√

3y+4z = 48.

5.4 Torus

Torus je ploskev, ki jo dobimo, £e kroºnico s polmerom b > 0 zavrtimo za polni kot okrog premice, ki leºi v ravnini te kroºnice. Pri tem naj bo premica, ki je os torusa, od sredi²£a kroºnice oddaljena za a > 0. Sredi²£e kroºnice med vrtenjem opi²e kroºnico s polmerom a, ki ji re£emo sredi²£nica torusa.

Sredi²£e torusa pa je v sredi²£u sredi²£nice.

Postavimo torus tako, da leºi njegova sredi²£nica v ravnini Oxy, njegova os pa je os z. Njegovo sredi²£e je tedaj v koordinatnem izhodi²£u, pripada pa mu ena£ba

(x² +y²+z²+a²−b²)² = 4a²(x²+y²), oziroma v parametri£ni obliki ena£be

x= (a+bcosv) cosu, y= (a+bcosv) sinu,

z =bsinv, kjer je −π < u ≤π in−π < v ≤π [7].

Glede na razmerje a :b lo£imo tri oblike torusa. ƒe je a > b, dobimo kroºni torus (slika 10), ki ima okoli svojega sredi²£a luknjo. S pomo£jo Guldinovih pravil hitro izra£unamo njegovo povr²ino in prostornino. Povr²ino kroºnega torusa dobimo kot produkt obsega kroºnice, ki jo vrtimo, in poti, ki jo opravi njeno teºi²£e:

P = 2πb·2πa= 4π²ab.

Prostornino polnega kroºnega torusa pa dobimo kot produkt plo²£ine kroga in poti, ki jo opravi njegovo teºi²£e:

V =πb²·2πa= 2π²ab².

ƒe je a = b, dobimo rogati torus (slika 11), ki nima luknje. Za povr²ino

Slika 10: Kroºni torus (anaglif)

rogatega torusa in prostornino polnega rogatega torusa dobimo:

P = 2πa·2πa= 4π²a², V =πa²·2πa= 2π²a³.

Slika 11: Rogati torus (anaglif)

Pri a < b pa dobimo vretenasti torus (slika 12), ki seka sam sebe.

Slika 12: Vretenasti torus (anaglif)

6 Krivulje v prostoru

Krivulje v prostoru so lahko podane v parametri£ni obliki ali kot presek dveh ploskev [2]. Oglejmo si najprej primer prvega na£ina, nato pa ²e drugega.

6.1 Vija£nica

Vija£nica K v parametri£ni obliki je dana z relacijo

~r(t) = (acost, asint, bt).

Pri temapredstavlja polmer valja, na katerega je vija£nica navita,bpa pred- stavlja hitrost vzpenjanja vija£nice. Ob spremembi t za 2π vija£nica opi²e en zavoj, ob tem se dvigne za 2πb. Konstanti a inb sta pozitivni.

Oglejmo si vija£nico, ki jo opisuje naslednji sistem ena£b:

x= 4 cost, y= 4 sint, z =t, t ∈[−2π,4π].

V vektorski obliki jo lahko zapi²emo kot ~r(t) = (4 cost,4 sint, t). Dobljena vija£nica ima polmer 4 in se po vi²ini razteza od z =−2π do 4π, naredi pa 3 zavoje (slika 13).

Za dano vija£nico bomo izra£unali dolºino, posebne vektorje in ravnine nanjo ter njeno ukrivljenost.

Za£nimo z dolºino, ki jo izra£unamo po formuli s(K) =

Z t2

t1

|~r(t)|˙ dt.

Izra£unajmo odvod vektorja~r(t) in nato ²e njegovo dolºino:

~r(t) = (−a˙ sint, acost, b),

Slika 13: Vija£nica (anaglif)

|~r(t)|˙ =p

a²sin²t+a²cos²t+b² =√

a²+b². To sedaj vstavimo le ²e v formulo za dolºino:

s(K) = Z t2

t1

√

a²+b²dt=

=√

a²+b²(t2−t1).

V na²em primeru je s(K) = 6π√ 17.

Vija£nica na danem intervalu je dolga 6π√ 17.

Za nadaljevanje ²e enkrat zapi²imo prvi odvod vektorja ~r(t) in mu dodajmo

²e drugega in tretjega:

~r(t) = (−a˙ sint, acost, b),

~¨

r(t) = (−acost,−asint,0), ...~r(t) = (asint,−acost,0).

Tangenta je limitna lega sekante M N, ko gre to£ka N → M [2]. Tangenta je dolo£ena z vektorjem T~(t), ki je enotski vektor, ki kaºe v smeri krivulje v to£ki t, izra£unamo pa ga po formuli:

T~(t) =

~˙ r(t)

|~r(t)|˙ . Za vija£nico dobimo:

T~(t) = (−asint, acost, b)

√

a²sin²t+a²cos²t+b² =

= (−asint, acost, b)

√a²+b² , za na²o vija£nico pa

T~(t) = (−4 sint,4 cost,1)

√17 . Tangentni vektor na vija£nico je T~(t) = (−^√4

17sint,^√4

17cost,^√1

17).

Vektor binormale je enotski vektor, ki je pravokoten na glavno normalo in tangento, usmerjen tako, da vektorji T , ~~ N in B~ tvorijo desnosu£no ortonor- mirano bazo [2]. Vektor binormale izra£unamo po formuli:

B(t) =~

~r(t)˙ ×~r(t)¨

|~r(t)˙ ×~r(t)|¨ . Izra£unajmo najprej vektor~b:

~b= ˙~r(t)×~r(t) =¨

= (absint,−abcost, a²sint+a²cost) =

=a(bsint,−bcost, a).

Potrebujemo ²e njegovo dolºino:

|~b|=|~r(t)˙ ×~r(t)|¨ =

=p

a²b²sin²t+a²b²cos²t+a⁴ =

=√

a²b²+a⁴ =

=a√

a²+b². Vektor binormale je:

B(t) =~ (bsint,−bcost, a)

√a²+b² , za na²o vija£nico pa:

B(t) =~ (sint,−cost,4)

√17 . Vektor binormale na na²o vija£nico je B(t) = (~ ^√sint

17,−^{cos√ t}

17,^√4

17).

Vektor glavne normale je enotski vektor, ki je pravokoten na tangento in kaºe v smeri njenega spreminjanja [9]. Vektor glavne normale izra£unamo po formuli:

N~(t) = ~b(t)×~r(t)˙

|~b(t)×~r(t)|˙ . Za£nimo z vektorjem ~n:

~

n =~b(t)×~r(t) =˙

= (absint,−abcost, a²)×(−asint, acost, b) =

= (−ab²cost−a³cost,−a³sint−ab²sint, a²bsintcost−a²bsintcost) =

= ((−ab² −a³) cost,(−a³−ab²) sint,0) =

=−a(a²+b²)(cost,sint,0).

Potrebujemo ²e dolºino vektorja ~n:

|~n|=| −a(a²+b²)||(cost,sint,0)|=

=a(a²+b²).

Za vektor glavne normale dobimo:

N~ = −a(a²+b²)(cost,sint,0) a(a²+b²) =

=−(cost,sint,0).

Vektor glavne normale na vija£nico je N~(t) = (−cost,−sint,0).

Zapi²imo sedaj vektorje glavne normale, binormale in tangente na vija£nico v to£ki, kjer je t=π:

~

r(π) = (4 cosπ,4 sinπ, π) = (−4,0, π)→A(−4,0, π), N(π) = (−~ cosπ,−sinπ,0) = (1,0,0),

B(π) = (~ sinπ

√17,−cosπ

√17, 4

√17) = (0, 1

√17, 4

√17), T~(π) = (− 4

√17sinπ, 4

√17cosπ, 1

√17) = (0,− 4

√17, 1

√17).

Na sliki 14 so zaradi preglednosti prikazani trikratniki vektorjev B, ~~ N in T~ v to£ki A(−4,0, π).

Vektorji tangente, glavne normale in binormale sestavljajo ortonormirano bazo (T~(t₀), ~N(t₀), ~B(t₀)), ki jo imenujemo Frenetova baza krivulje v to£ki t₀.

Nadaljujmo z zapisom pritisnjene, normalne in rektikacijske ravnine na vi- ja£nico v to£ki A(−4,0, π)oziroma pri t=π.

Slika 14: Posebni vektorji vija£nice (anaglif)

Pritisnjena ravnina na krivuljo v dani to£ki je ravnina, ki vsebuje tangento in glavno normalo ter je pravokotna na binormalo v dani to£ki [2]. Dolo£ena je z ena£bo:

(~r−~r(t0))·~b(t0) = 0.

Za izbrano vija£nico dobimo:

((x, y, z)−(−4,0, π))·(sinπ,−cosπ,4) = 0, (x+ 4, y, z−π)·(0,1,4) = 0,

y+ 4z−4π = 0.

Pritisnjena ravnina na vija£nico v to£ki A(−4,0, π) ima ena£bo y+ 4z−4π= 0.

Normalna ravnina krivulje v to£ki t₀ je ravnina, ki gre skozi to£ko t₀ in je pravokotna na tangento v to£kit₀. V njej leºita glavna normala in binormala na krivuljo v dani to£ki [2]. Normalna ravnina je dolo£ena z ena£bo:

(~r−~r(t₀))·~r(t˙ ₀) = 0.

Vstavimo podatke vija£nice in dobimo:

((x, y, z)−(−4,0, π))·(−4 sinπ,4 cosπ,1) = 0, (x+ 4, y, z−π)·(0,−4,1) = 0,

−4y+z−π = 0.

Normalna ravnina na vija£nico v to£ki A(−4,0, π) ima ena£bo

−4y+z−π= 0.

Rektikacijska ravnina vsebuje tangento in binormalo ter je pravokotna na glavno normalo [2]. Dolo£ena je z ena£bo:

(~r−~r(t₀))·~n(t₀) = 0.

Za izbrano vija£nico dobimo:

((x, y, z)−(−4,0, π))·(−68 cos(π),−68 sinπ,0) = 0, (x+ 4, y, z−π)·(68,0,0) = 0,

68(x+ 4) = 0, x=−4.

Rektikacijska ravnina na vija£nico v to£ki A(−4,0, π) ima ena£bo x=−4. Pritisnjena, normalna in rektikacijska ravnina na vija£nico v to£ki A so prikazane na sliki 15.

Slika 15: Posebne ravnine na vija£nico

Obravnavo vija£nice zaklju£imo z izra£unom njene ukrivljenosti. Fleksijsko ukrivljenost κ, ki predstavlja upognjenost oziroma odstopanje od ravnosti premice, izra£unamo po obrazcu [9]:

κ= |~r˙×~r|¨

|~r|˙ ³ . Za vija£nico dobimo:

κ= |(−asint, acost, b)×(−acost,−asint,0)|

| −asint, acost, b|³ =

= |(absint,−abcost, a²sin²t+a²cos²t)|

√

a²sin²t+a²cos²t+b²³

=

=

√

a²b²sin²t+a²b²cos²t+a⁴

√a²+b²³

=

=

√a²b²+a⁴

√a²+b²³

=

= a√

a²+b²

√a²+b²³

=

= a

a²+b². Za na²o vija£nico je

κ= 4

4²+ 1² = 4 17.

Fleksijska ukrivljenost vija£nice ni odvisna od izbrane to£ke in je povsod

κ= a

a²+b².

Torzijsko ukrivljenost τ, ki nam pove, kako ostro krivulja zavija iz svoje pritisnjene ravnine [9], izra£unamo po obrazcu [5]:

τ = ( ˙~r×~r)¨ ·...

~ r

|~r˙×~r|¨² .

Pomagamo si z izra£uni, ki smo jih naredili pri binormali, in dobimo:

τ = (absint,−abcost, a²)·(asint,−acost,0)

√a²b²+a⁴²

=

= a²bsin²t+a²bcos²t a²b²+a⁴ =

= a²b

a²(b²+a²) =

= b

a²+b².

Za na²o vija£nico dobimo

τ = 1

4²+ 1² = 1 17.

Tudi torzijska ukrivljenost vija£nice ni odvisna od izbrane to£ke, ampak je povsod τ = b

a²+b².

6.2 Stoºnice

Stoºnice so krivulje, ki jih dobimo tako, da presekamo dvojni kroºni stoºec z ravnino, ki pa ne sme potekati skozi vrh stoºca. Z razli£nimi koti, pod katerimi ravnina seka stoºec, lahko dobimo kroºnico, elipso, parabolo in hi- perbolo, ki jih obravnavamo kot ravninske krivulje [3]. Dvojnemu kroºnemu stoºcu pripada naslednja ena£ba:

x² a² +y²

a² − z² c² = 0.

Tak stoºec seka ravnina z =cv kroºnici s polmerom a.

Slika 16: Stoºec (anaglif)

Oglejmo si nastanek omenjenih krivulj na konkretnem stoºcu (slika 16) S₁ z ena£bo

x² 25+ y²

25 = z² 64.

Prerez tega stoºca z ravnino, vzporedno ravniniOxy na vi²ini±8, je kroºnica s polmerom 5.

6.2.1 Kroºnica

Kroºnica je mnoºica to£k v ravnini, ki leºijo na enaki oddaljenosti od izbrane to£ke te ravnine. Izbrani to£ki re£emo sredi²£e kroºnice. Ozna£imo sredi²£e s S(p, q) in poljubno to£ko s T(x, y), ki je od sredi²£a oddaljena za r (slika 17).

Slika 17: Kroºnica

V obrazec za razdaljo d med dvema to£kama T₁(x₁, y₁) in T₂(x₂, y₂), ki se glasi d = p

(x₂−x₁) + (y₂−y₁) [2], vstavimo izbrane podatke in dobimo razdaljo med to£kama S inT:

d=p

(x−p)²+ (y−q)² =r.

Relacijo ²e kvadriramo in dobimo ena£bo kroºnice, ki ji ustrezajo tiste to£ke T(x, y), ki so za polmerr oddaljene od sredi²£aS:

(x−p)²+ (y−q)² =r².

Kot presek stoºca in ravnine pa kroºnico dobimo, ko je ta ravnina vzporedna z osnovno ploskvijo stoºca [8].

Presekajmo stoºecS₁ s slike 16, ki ga opisuje ena£ba ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄², z ravnino z = 4.

Presek (slika 18) poi²£emo kot re²itev, ki ustreza ena£bi ravnine in ena£bi stoºca hkrati. V ena£bo stoºca vstavimo z= 4:

x² 25+ y²

25 = 16 64. S kratkim izra£unom dobimo:

x²+y² = (5 2)²,

kar res ustreza ena£bi kroºnice s sredi²£em S(0,0)in polmerom r= ⁵₂. Kroºnica s polmerom r ima obseg o = 2πr, krog, ki ga omejuje, pa plo²£ino S =πr².

Slika 18: Kroºnica kot presek stoºca in ravnine (anaglif) 6.2.2 Elipsa

Elipsa je mnoºica to£k v ravnini, katerih vsota razdalj do dveh danih to£k, ki jima re£emo gori²£i, je konstantna [2]. Vsota teh razdalj je 2a.

Kot stoºnico elipso dobimo tako, da stoºec presekamo z ravnino pod kotom, ki je manj²i od naklonskega kota stranice stoºca [8] (slika 27). Na sliki 19 je prikazana elipsa kot presek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravnine 2x+ 3z = 18.

Slika 19: Elipsa kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo sredi²£e elipse v koordinatno izhodi²£e, tako da imata gori²£i ko- ordinati F₁(−c,0) in F₂(c,0). Ozna£imo: r₁ = |F₁T|, r₂ = |F₂T|, kjer je F to£ka v ravnini.

Denicija elipse je r₁+r₂ = 2a. Razdalji r₁ in r₂ s pomo£jo Pitagorovega izreka (slika 20) zapi²emo kot

r1 =p

(x+c)²+y² in r2 =p

(x−c)²+y².

Slika 20: Izpeljava ena£be elipse Denicijo elipse preoblikujemo v

p(x+c)² +y²+p

(x−c)²+y² = 2a.

Nadaljujemo:

x²+ 2xc+c²+y²+ 2p

(x+c)²+y²p

(x−c)²+y²+x²+c²−2xc+y² = 4a², x²+y²+c²+p

(x²+ 2xc+c²+y²)(x²−2xc+c² +y²) = 2a². Ozna£imo x²+y²+c² =K in preuredimo:

p(K+ 2xc)(K−2xc) = 2a²−K, K²−4x²c² = 4a⁴−4a²K +K²,

a²K−a⁴−x²c² = 0,

a²x²+a²y²+a²c²−a⁴−x²c² = 0, izpostavimo skupne faktorje:

x²(a²−c²) +a²y² −a²(a²−c²) = 0.

Ozna£imo a² −c² =b² in dobimo:

x²b²+a²y² −a²b² = 0,

x²b²+a²y² =a²b², nazadnje dobimo

x² a² +y²

b² = 1,

kar je ena£ba elipse s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u [8].

ƒe sredi²£e elipse premaknemo iz koordinatnega izhodi²£a, ji pripada ena£ba (x−p)²

a² +(y−q)² b² = 1, oziroma v parametri£ni obliki, ena£bi

x=p+acost, y=q+bsint,

kjer je t ∈ [0,2π], S(p, q) sredi²£e elipse, a in b pa ozna£ujeta elipsini polosi [2].

Slika 21: Elipsa

Na sliki 21 je elipsa s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u in polosema a in

b. To£keA, B, C inD so temena, daljicaAC je velika os in daljicaBD mala os elipse, to£ki F₁ inF₂ sta gori²£i. ƒe je a > b, sta gori²£i od sredi²£a elipse oddaljeni za c=√

a²−b², £e je a < b, pa za c=√

b² −a². Vsota razdalj od to£k na elipsi do gori²£ je2a. Zaa > bsta gori²£i na osix, za a< bpa na osiy. Plo²£ina elipse s polosema a in b je S = πab, njen obseg pa o = 4aE(e), kjer je

E(e) = E(e,π 2) =

Z ^π₂

0

p1−k²sin²u du

popolni elipti£ni integral druge vrste [18]. Pribliºni formuli za obseg elipse sta [2]

o ≈π

1,5(a+b)−√ ab

in o≈π(a+b)

64−3

a−b a+b

4

64−16

a−b a+b

2.

6.2.3 Parabola

Parabola je mnoºica vseh tistih to£k v ravnini, za katere sta razdalji od dane to£ke (gori²£a) in dane premice (vodnice) enaki [2].

Kot stoºnico dobimo parabolo tako, da stoºec presekamo z ravnino, ki ima enak naklonski kot kot stranica stoºca [8] (slika 27). Parabola, kot presek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravnine −8x+ 5z = 25, je prikazana na sliki 22.

Slika 22: Parabola kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo parabolo v koordinatni sistem tako, da ima premica vodnica ena£bo x= −^p₂, gori²£e pa koordinatiF(^p₂,0). Teme parabole je tako v ko-

ordinatnem izhodi²£u. S pomo£jo denicije parabole poi²£imo njeno ena£bo.

Razdalja med to£ko T(x, y) na paraboli in vodnico je x+ ^p₂, razdalja med to£koT in gori²£emF pa jep

(x− ^p₂)²+y². Po deniciji parabole sta ti dve razdalji enaki, zato velja:

(x+ p

2)² = (x−p

2)²+y², x²+px+ p²

4 =x²−px+p² 4 +y².

Nazadnje dobimo ena£bo parabole s temenom v koordinatnem izhodi²£u:

y² = 2px.

Slika 23: Parabola

ƒe teme parabole prestavimo v to£koS(m, n), se njena ena£ba glasi(y−n)² = 2p(x−m).

6.2.4 Hiperbola

Hiperbola je mnoºica vseh to£k v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh danih to£k (gori²£) konstantna. Absolutna vrednost razlike razdalj je enaka 2a [2].

Hiperbolo dobimo tako, da stoºec presekamo z ravnino pod kotom, ki je ve£ji od naklonskega kota stranice stoºca [12] (slika 27). Hiperbola kot pre- sek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravninex+ 2y= 3 je prikazana na sliki 24.

Slika 24: Hiperbola kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo sredi²£e hiperbole v koordinatno izhodi²£e, gori²£i naj imata ko- ordinati F₁(−c,0) in F₂(c,0). Ozna£imo: r₁ = |F₁T|, r₂ = |F₂T|, kjer je F poljubna to£ka v ravnini. Denicija hiperbole je |r₁ − r₂| = 2a. Vze-

Slika 25: Izpeljava ena£be hiperbole

mimo da je r₁ > r₂, nato pa z uporabo Pitagorovega izreka denicijo lahko preoblikujemo v:

p(c+x)²+y²−p

(x−c)²+y² = 2a.

Nadaljujemo:

c²+ 2cx+x²+y²−2p

(c+x)²+y²p

(x−c)²+y²+x²+c²−2xc+y² = 4a², x²+y²+c² −p

(c²+ 2cx+x² +y²)(x²−2xc+c²+y²) = 2a². Ozna£imo x²+y²+c² =K in preuredimo:

−p

(K+ 2cx)(K−2cx) = 2a²−K, K²−4c²x² = 4a⁴−4a²K +K²,

a²K−a⁴−c²x² = 0,

a²x²+a²y²+a²c²−a⁴−x²c² = 0,

ena£bo mnoºimo z −1 in izpostavimo skupne faktorje:

x²(c²−a²)−a²y²−a²(c²−a²) = 0.

Ozna£imo c²−a² =b² in dobimo:

x²b²−a²y²−a²b² = 0, x²b² −a²y² =a²b².

Nazadnje dobimo ena£bo hiperbole s sredi²£em v koordinatenm izhodi²£u [8]:

x² a² − y²

b² = 1.

ƒe sredi²£e hiperbole premaknemo v to£ko S(m, n), je njena ena£ba (x−m)²

a² − (y−n)² b² = 1.

Na sliki 26 je prikazana hiperbola s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u.

To£kiF₁(−c,0)inF₂(c,0)sta gori²£i hiperbole, to£kiA(a,0)inB(−a,0)sta temeni hiperbole. DaljicaAB z dolºino2aje realna os, daljicaCD z dolºino 2bpa imaginarna os hiperbole. Pri tem jeclinearna ekscentri£nost hiperbole, zveza med njo in polosema hiperbole je c² =a² +b². Premici y = ±^b_ax sta njeni asimptoti, h katerima se vedno bolj pribliºujeta veji hiperbole, ko se oddaljujeta v neskon£nost. To£ke na desni veji hiperbole izpolnjujejo pogoj r₁−r₂ = 2a, to£ke na levi veji pa r₂ −r₁ = 2a.

Slika 26: Hiperbola

Na sliki 27 so skupaj prikazane stoºnice, ki jih dobimo s presekom stoºca in ravnin pod razli£nimi koti. Za kroºnico mora biti ravnina vzporedna osnovni ploskvi stoºca. Za parabolo mora biti ravnina vzporedna stranici stoºca.

Elipso dobimo, £e je naklonski kot ravnine ve£ji od tistega, pri katerem do- bimo kroºnico, in manj²i od tistega, pri katerem dobimo parabolo. Hiperbolo dobimo, £e je naklonski kot ravnine ve£ji od tistega, pri katerem dobimo pa- rabolo.

Slika 27: Stoºnice

6.3 Krivulje na sferi

Kot smo zapisali zgoraj, lahko sfero opi²emo s parametri£nimi ena£bami:

x=x0+rcosusinv, y=y₀+rsinusinv,

z =z₀+rcosv, kjer u te£e od 0 do 2π,v pa od 0 do π.

Na enostaven na£in lahko na sferi najdemo dve vrsti kroºnic. Postavimo enotsko sfero v izhodi²£e, nato pa parameterv ksirajmo v to£ki v njegovem intervalu. Dobimo krivuljo z ena£bo

~r(u) = (cosusinv₀,sinusinv₀,cosv₀), 0≤v₀ ≤π.

Ta kroºnica je vzporednik na sferi, dobimo jo lahko tudi kot presek sfere z ravnino, ki je vzporedna z ravnino 0xy. Pri v₀ = ^π₂ dobimo ekvator sfere, ki je od vzporednikov edina njena glavna kroºnica. Pri v = 0in v =π dobimo pola sfere.

Namesto v sedaj ksirajmo parameteruna njemu ustreznem intervalu. Kri- vulja

~

r(v) = (cosu₀sinv,sinu₀sinv,cosv), 0≤u₀ <2π

je kroºnica, ki jo dobimo kot presek sfere z ravninami, ki potekajo skozi oba pola. Te kroºnice so poseben primer glavnih kroºnic. Polovice teh kroºnic so poldnevniki, ki so dolo£eni z ena£bo

~

r(v) = (cosu₀sinv,sinu₀sinv,cosv), 0≤u₀ < π.

Vzporedniki in poldnevniki tvorijo krivo£rtni koordinatni sistem na sferi (slika 28) [6]. V splo²nem so glavne kroºnice na sferi preseki sfere z rav- ninami skozi sredi²£e sfere.

Preprost na£in za iskanje malo bolj razgibanih krivulj na sferi je nadomestitev

Slika 28: Vzporedniki in poldnevniki na sferi (anaglif) parametrov u inv z razli£nima funkcijama enega novega parametra t. Pri tem si lahko pomagamo z GeoGebro. Poskusimo z zamenjavo u → at in v → bt za t ∈ [0, cπ]. Za a, b in c v GeoGebri izdelamo drsnike, nato pa vstavimo krivuljo z ena£bo

K₁:~r(t) = (cosatsinbt,sinatsinbt,cosbt), 0≤t ≤c π.

Nato s premikanjem drsnikov spreminjamo ²tevilaa, bincter tako poi²£emo zanimivo obliko krivulje K₁. Pri a = 2.1, b = 1.8 in c= 10 dobimo krivuljo

K₁ (slika 29) z ena£bo

K₁:~r(t) = (cos(2.1t) sin(1.8t),sin(2.1t) sin(1.8t),cos(1.8t)), 0≤t ≤10π.

Slika 29: Krivulja K1 na sferi (anaglif)

Izra£unov dolºin krivulj ter posebnih vektorjev in ravnin nanje za krivuljo K₁ in ostale krivulje ne bomo naredili, saj analiti£ne metode ne zadostujejo, ampak bi morali uporabiti numeri£ne metode.

Za novo krivuljo nadomestimo parametra u in v z u = at in v = sinbt na intervalu t∈[0, c π]. Pri iskanju primernih a, bin csi zopet pomagamo z GeoGebro. Na sliki 30 je krivulja

K₂:~r(t) = (cos(2t) sin(sin 5t),sin(2t) sin(sin 5t),cos(sin 5t)), 0≤t≤2π.

Slika 30: Krivulja K₂ na sferi (anaglif)

6.4 Krivulje na torusu

Torus parametri£no zapi²emo kot:

~r(u, v) = ((a+bcosv) cosu,(a+bcosv) sinu, bsinv),

−π < u≤π,−π < v≤π.

ƒe v tej ena£bi ksiramo u na pripadajo£em intervalu, dobimo poldnevnik na torusu:

~

r(v) = ((a+bcosv) cosu₀,(a+bcosv) sinu₀, bsinv), −π < v ≤π.

S ksiranjem parametrav na njemu pripadajo£em intervalu pa dobimo vzpo- rednike na torusu:

~r(u) = ((a+bcosv₀) cosu,(a+bcosv₀) sinu, bsinv₀), −π < u≤π.

Mreºa poldnevnikov in vzporednikov na kroºnem torusu je prikazana na sliki 31.

Naslednje krivulje na torusu bomo poiskali z nadomestitvijo parametrov u in v iz ena£be torusa s funkcijama novega parametra t. Pri tem si bomo pomagali z GeoGebro. Torus naj bo pri tem dolo£en z a = 2.9in b= 1.6. Pri u= 10t in v =t dobimo krivuljo K₃ (slika 32) z ena£bo:

K₃:~r(t) = ((2.9 + 1.6 cost) cos 10t,(2.9 + 1.6 cost) sin 10t,1.6 sint),

−π < t≤π.

Slika 31: Mreºa poldnevnikov in vzporednikov na kroºnem torusu (anaglif)

Slika 32: Krivulja K₃ na torusu (anaglif)

Pri u=t inv =πsin 10t dobimo krivuljo K₄ (slika 33) z ena£bo:

K₄:~r(t) = ((2.9 + 1.6 cos(πsin 10t)) cost,(2.9 + 1.6 cos(πsin 10t)) sint, 1.6 sin(πsin 10t)), −π < t≤π.

Slika 33: Krivulja K₄ na torusu (anaglif) Pri u=t inv = ³₂t³ ima krivulja K5 (slika 34) ena£bo:

K₅:~r(t) =

(2.9 + 1.6 cos3

2t³) cost,(2.9 + 1.6 cos3

2t³) sint,1.6 sin3 2t³

,

−π < t≤π.

Z odvisnostjo parametrov u inv [7]:

u= 2btanα

c (arctan(µtan(v

2)) +kπ)

Slika 34: Krivulja K₅ na torusu (anaglif)

dobimo dele loksodrome na torusu. Pri tem loksodroma seka poldnevnike pod kotom α,c=√

a²−b² inµ=q

a−b

a+b. Loksodroma je krivulja na torusu, ki seka vse njegove poldnevnike pod stalnim kotom.

Na torusu z a = 5 in b = 3 s sestavo ²tirih nesklenjenih krivulj, ki jih dobimo z nadomestitvami parametrov:

u_k = 3 tan^π₄

2 (arctan(1 2tan t

2) +kπ), v =t,

kjer za k iz£rpamo mnoºico {1,2,3,4}, dobimo loksodromo K₆ z ena£bo:

K₆:r~_k(t) = ((5 + 3 cost) cos(3

2(arctan(1 2tan t

2) +kπ)), (5 + 3 cost) sin(3

2(arctan(1 2tan t

2) +kπ)), 3 sint), k ∈ {1,2,3,4},

ki ²tirikrat obkroºi sredi²£nico in trikrat os torusa, poldnevnike pa seka pod kotom ^π₄.

Slika 35: LoksodromaK₆ na torusu (anaglif)

7 Uporaba anaglifnih slik v osnovni ²oli

Anaglifne slike bi lahko uporabili pri pouku matematike v osnovni ²oli. Vklju-

£ili bi jih lahko pri temah stereometrije, kjer bi, skupaj s zi£nimi modeli, u£encem nazorno prikazale telesa v prostoru. ƒeprav je mogo£e z anaglifnimi slikami dobro predstaviti trirazseºni predmet, se nam vseeno zdi, da jih lahko v polni meri izkoristimo ²ele v povezavi z ra£unalni²kim programom za di- nami£no geometrijo v prostoru, kot je na primer GeoGebra 5.0. Na ta na£in lahko telesa in ostale elemente v prostoru opazujemo iz razli£nih smeri, kar zagotovo pripomore k bolj²i predstavi. Druga pomembna pozitivna lastnost dinami£ne geometrije pa je moºnost spremljanja, kako spremembe posame- znega dela vplivajo na celoto.

Z GeoGebro 5.0 in anaglifnimi slikami bi si lahko na primer ogledali pra- vokotne trikotnike v piramidi (slika 36).

Slika 36: Zna£ilni pravokotni trikotniki v ²tiristani piramidi (anaglif)

8 Zaklju£ek

V diplomskem delu smo predstavili anaglifne slike. Obravnava ploskev in krivulj v prostoru v nadaljevanju dela se nam z uporabo anaglifnih slik, ki ustvarjajo iluzijo tridimenzionalnega prostora, zdi bolje predstavljena in ra- zumljiva, kot £e bi jo podkrepili s tradicionalnimi dvodimenzionalnimi pred- stavitvami.

Obravnavo ploskev smo izvedli na primerih sfere, torusa in elipsoida. Iz- ra£unali smo njihove prostornine, povr²ine, normale in tangentne ravnine.

Obravnavo krivulj smo naredili na primeru vija£nice. Izra£unali smo njeno dolºino, vektorje tangente, glavne normale in binormale, pritisnjeno, nor- malno in rektikacijsko ravnino ter eksijsko in torzijsko ukrivljenost.

Kot primer preseka dveh ploskev smo si ogledali stoºnice, nato pa smo poi- skali ²e nekaj krivulj na sferi in torusu.

Literatura

[1] Ahtik, J. (2011). Tehnike upodabljanja anaglifnih slik za uporabo v ume- tnosti: magistrsko delo, Ljubljana, Narovoslovnotehni²ka fakulteta.

[2] Bron²tejn, I. N. in ostali (2009). Matemati£ni priro£nik, Ljubljana, Teh- ni²ka zaloºba Slovenije.

[3] Larson, R. in ostali (2002). Calculus with Analytic Geometry, Boston, New York, Houghton Miin Company.

[4] Malni£, A. (2007). Geometrijski vektorji in analiti£na geometrija, ²tu- dijsko gradivo, Ljubljana.

[5] Mencinger, M. in ostali (2008). Zbirka re²enih nalog iz Matematike II, Maribor, Fakulteta za gradbeni²tvo, Univerza v Mariboru.

[6] Razpet, M. (2013). Loksodroma, ’tudijsko gradivo, Ljubljana.

[7] Razpet, M. (2013). Loksodroma na svitku, ’tudijsko gradivo, Ljubljana.

[8] Rugelj, M. in ostali (2003). Spatium, Matematika za 3. letnik gimnazij, Ljubljana, Modrijan.

[9] ’tamcar, N. (2012). Totalna ukrivljenost krivulj v prostoru in Fáry- Milnorjev izrek, diplomsko delo, Ljubljana, Pedago²ka fakulteta.

[10] Vidav, I. (1994). Vi²ja matematika I, Ljubljana, DMFA.

[11] Anaglyph 3D Know-How by Fred Wilder,

http://stcroixstudios.com/wilder/anaglyph/whatsanaglyph.html, 23.

12. 2013.

[12] Conic Sections,

http://sta.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/conics/sections.htm, 15. 10.

2014.