b) x + 5, 25 &minus

Celotno besedilo

(1)Zbirka nalog za srednje šole: MATEMATIKA A. Cokan, I. Štalec: ZAPOREDJA, DIFERENCIALNI IN INTEGRALNI RAČUN Poglavje I.: ZAPOREDJA Točka 2: Aritmetično in geometrijsko zaporedje. A Aritmetično zaporedje Stran 8, naloga 2. Za kateri x je dano zaporedje aritmetično?. 3a x − , a 2 2 c) log 2, log(2 x − 1), log(2 x + 3). b) x + 5, 25 − x, 30 + 2 x. ND A. a) a + x,. RAZLAGA: Preden se lotim te naloge moram najprej vedeti vsaj dve definciji: kaj je zaporedje in kdaj je zaporedje aritmetično.. NA. Def.: Zaporedje je funkcija, ki preslika množico naravnih števil ℕ v množico realnih števil ℝ: f: ℕ → ℝ ℕ= {1,2,3...} Zaporedje je naravna funkcija realne spremenljivke f: n a a n. a n = f (n). ali. Ker je ℕ ⊂ ℝ je graf zaporedje a n = f (n) podmnožica grafa realne funkcije realne. ITA. sprememnljivke a n = f (n) Graf zaporedja se imenuje DISKRETNA množica točk. Primer: ZAPOREDJE ali NARAVNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE. f: ℝ → ℝ. TC. f: ℕ → ℝ. 1 an = n ali. f ( n) =. REALNE FUNKCIJE REALNE SPREMENLJIVKE. 1 n. y=. 1 x. ali f ( x) =. 1 x. SA. Narišem graf obeh funkcij:. 1 1 1 n=1;. a 2 = 2 1 n=3; a3 = 3 1 n=4; a 4 = 4 n=1; a1 =. n=n;. an =. 1. člen zaporeja. Ta funkcija je racionalna funkcija.. 2. člen zaporeja. Poiščem jih ni Ničle: Pole: x=0 Asimptote: y os Točko: T(1, 1). 3. člen zaporedja 4. člen zaporedja. 1 splošni člen zaporedja n. (glej nalogo iz racionalnih funkcij).

(2) Oba grafa narišem v isti koordinatni sistem.. R y= 2. 1 n. 1 1/3. -2. 1/2 1/4. 1. -1. 2. 3. 4. N. R. NA. -1. ND A. a n=. ITA. Vidim, kako malo je zelenih križcev na modrem grafu. Zeleni križci predstavljajo graf zaporedja in vidim, da vse slike ležijo na grafu pripadajoče realne funkcije. Sedaj pa narišem graf zaporedja še posebej:. a1 = 1 1 2 1 a3 = 3 1 a4 = 4. R. a2 =. 1 n. 1/3. 1/2. a. 1/4. SA. an =. TC. .... 1. 1. 2. 3. 4. 5. N. Def.: Zaporedje a n je aritmetično, kadar je razlika sosednjih zaporednih točk konstantna. Naj bodo a1 , a 2 , a3 , ... a n , a n +1 členi zaporedja. Da bo to zaporedje aritmetično, mora veljati. a n +1 − a n = konstanta in jo označim z d (kot diferenca). Torej:. a n +1 − a n = d.

(3) Velja tudi, da je a 2 − a1 = a3 − a 2 (= d ) , kar uporabim pri nalogi, kjer so podani trije členi in je potrebno izračunati neznanko. To je tudi naša naloga. REŠITEV:. 3a x − , a 2 2. 2 a) a + x,. tako, da bo zaporedje aritmetično. ND A. x=. a1 = a + x 3a x a2 = − 2 2 a3 = a. Ker je zanano, da ti trije členi tvorijo aritmetično zaporedje (AZ), lahko uporabim formulo iz razlage:. NA. a 2 − a1 = a3 − a 2. ITA. 3a x ⎛ 3a x ⎞ − − (a + x) = a − ⎜ − ⎟ in rešim enačbo 2 2 ⎝ 2 2⎠ 3a x 3a x − −a−x =a− + / .2 2 2 2 2 3a − x − 2a − 2 x = 2a − 3a + x a − 3x = −a + x + 4 x = +2a / : 2. TC. 2x = a a x= 2. Členi a1 , a 2 , a3 tvorijo torej aritmetično zaporedje AZ za x = Zapišem še člene:. a 3a = 2 2 3a x 3a a 6a − a 5a a2 = − = − = = 2 2 2 4 4 4 a3 = a. SA. a1 = a + x = a +. Izračunam tudi d:. d =a−. 5a 5a 3a a = − =− 4 4 2 4. a . 2.

(4) 2 b) x + 5, 25 − x, 30 + 2 x. x=. tako, da bo zaporedje aritmetično. Označim:. a1 = x + 5 a 2 = 25 − x. in uporabim formulo iz razlage:. a 2 − a1 = a3 − a 2 25 − x − ( x + 5) = 30 + 2 x − (25 − x) 25 − x − x − 5 = 30 + 2 x − 25 + x 20 − 2 x = 5 + 3x. Izpišem še člene:. a1 = 3 + 5 = 8. a 2 = 25 − 3 = 22 a3 = 30 + 6 = 36 in izračunam diferenco d:. ITA. d = 36 − 22 = 22 − 8 = 14. NA. − 5 x = −15 x=3. 2 c) log 2, log(2 x − 1), log(2 x + 3). x=. tako, da bo zaporedje aritmetično. TC. Označim:. a1 = log 2. ND A. a3 = 30 + 2 x. a 2 = log(2 x − 1). a3 = log(2 x + 3). in ponovim pravila za računanje z logaritmi. SA. log a x + log a y = log a ( x y ). ⎛ x⎞ log a x − log a y = log a ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠ n log a x = n log a x log a 1 = 0. log a a = 1 ter uporabim formulo iz razlage:. a 2 − a1 = a3 − a 2.

(5) (. ). (. ). (. ). log 2 x − 1 − log 2 = log 2 x + 3 − log 2 x − 1 2 +3 2 −1 / anti log = log x 2 2 −1 2x −1 2x + 3 = x 2 2 −1 x x 2 −1 2 −1 = 2 2x + 3 x. x. log. )(. ) (. ). 22x − 2. 2 x + 1 = 2.2 x + 6 22x − 2. 2 x + 1 − 2.2 x − 6 = 0 22x − 4. 2 x − 5 = 0. ND A. (. Vpeljem novo neznanko (glej eksponentne enačbe). 2x = t t 2 − 4t − 5 = 0. (t − 5)(t + 1) = 0. t1 = 5. t 2 = −1. 2 x = 5 / log10. To enačbo rešim z logaritmiranjem pri osnovi 10:. log 5 log 2. SA. x=. TC. log 2 x = log 5 x log 2 = log 5. 2 x = −1. ITA. in vstavim v 2 x = t :. NA. Rešim po Viètu:. Ni rešitve, ker je 2 x > 0 , kar vidim tudi iz grafa funkcije f ( x) = 2 x in g ( x) = −1 ..

(6)