Matematika 1 6. vaja B. Jurˇciˇc Zlobec

(1)

Matematika 1

6. vaja

B. Jurˇciˇc Zlobec¹

1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija

Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2010

(2)

Odvod funkcije Diferencial in ekstremalni problemi Grafi Funkcij

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f (x ) ni odvedljiva.

f(x) =signx.

Funkcija toˇckix =0 ni zvezna.

limx%0f(x) =−1, lim_x&0f(x) =1 inf(0) =0.

Leva limita se ne ujema z desno limito in funkcijsko vrednostjo v toˇcki 0.

Ker funkcija ni zvezna v toˇcki 0 sledi, da tudi ni odvedljiva v tej toˇcki. Povsod drugod je odvod enak 0.

(3)

Graf funkcije f (x )

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(4)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) =|x|.

Funkcija je povsod zvezna.

Odvodf⁰(x) =

(−1,x <0 1,x >0

Leva in desna limita odvoda v toˇcki 0 sta razliˇcni−1 in 1.

Od tod sledi, da funkcija v toˇcki 0 ni odvedljiva.

Lahko piˇsemof⁰(x) =signx zax 6=0.

(5)

Graf funkcije f (x )

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(6)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) =x|x|.

Funkcija je povsod zvezna.

Funkcijo lahko zapiˇsemo tudi takole: f(x) =x²signx.

Odvodf⁰(x) =2xsignx =2|x|zax 6=0.

Leva in desna limita odvoda v toˇcki 0 sta enaki 0.

Limita odvoda obstaja, ker je funkcija v tej toˇcki zvezna, je tudi odvedljiva.

Odvod jef⁰(x) =2|x|za vsex ∈R.

(7)

Graf funkcije f (x )

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(8)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) = q

x²(1+x).

Funkcija je definirana in zvezna na[−1,∞).

Funkcijo lahko zapiˇsemo takolef(x) =|x|√ 1+x. Odvodf⁰(x) =signx√

1+x+ ₂^√^|x_1+x^| →

lim_x%0f⁰(x) =−1 in lim_x&0f⁰(x) =1. Limita odvoda v toˇckix =0 ne obstaja.

Funkcija vx =0 ni odvedljiva.

Ker je lim_x&−1f⁰(x) =∞sledi, da funkcija ni odvedljiva tudi v toˇckix =−1.

(9)

Graf funkcije f (x )

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

(10)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) =p

|1− |x||.

Funkcija je definirana in zvezna povsod.

Odvodf⁰(x) = ^sign^x

2√

1−|x|.

Limita odvoda v toˇckahx =±1 gre v neskonˇcno, zato v teh dveh toˇckah ni odvedljiva.

V toˇcki niˇc pa je leva limita odvoda enaka−¹₂, desna limita pa ¹₂, ker sta limiti razliˇcni funkcija ni odvedljiva v toˇcki x =0.

(11)

Graf funkcije f (x )

-4 -2 2 4

0.5 1.0 1.5

(12)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) =arcsin 2x 1+x².

Funkcija je povsod definirana in zvezna.

Odvodf⁰(x) =

√

(1−x²)² (1−x²)(1+x²) → f⁰(x) = ^sign(1−x_1+x2 ²⁾.

Leva in desna limita odvoda v toˇckahx =±1 se

razlikujeta, zato funkcija v teh dveh toˇckah ni odvedljiva.

(13)

Graf funkcije f (x )

-4 -2 2 4

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

(14)

Poiˇsˇci toˇcke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.

f(x) =arctgx −1 x +1.

Funkcija je definirana in zvezna povsod razen v toˇcki x =1.

Leva in desna limita v toˇckix =1→ lim_x%1f(x) =−^π₂ in lim_x&1f(x) = ^π₂ Odvodf⁰(x) = _1+x¹2

Leva in desna limita odvoda v toˇckix =1 se ne razlikujeta, vendar funkcija ni odvedljiva, ker ni zvezna v tej toˇcki.

(15)

Graf funkcije f (x )

-4 -2 2 4

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

(16)

S pomoˇcjo diferenciala doloˇci pribliˇzno vrednost √ 80.

1

√ 80=9

q80 81 =9

q

1−₈₁¹.

2 Upoˇstevamo, da jef(x₀+h)≈f(x₀) +f⁰(x₀)h, ˇce je

|h|<<1.

3 V naˇsem primeru jef(x) =√

x,x₀=1 inh=−₈₁¹.

4

q

1− ₈₁¹ ≈√

1−¹₂₈₁¹ =0.993827.

5

√80≈9×0.993827=8.94444.

6 Pet decimalnih mest prave vrednosti je 8.94427.

(17)

Kolika je relativna sprememba prostornine krogle, ˇce se polmer podaljˇsa za 1.2 %.

Prostornina krogle jeV = ^4πr₃³. Spremenljivi koliˇcini staV inr.

Logaritmiramo gornjo enaˇcbo in poiˇsˇcemo diferencial obeh strani enaˇcbe.

lnV =ln⁴₃+3 lnr → ^dV_V =3^dr_r .

Ce je relativna sprememba polmeraˇ ^dr_r =0.012 je

dV

V =0.036 oziroma 3.6%.

(18)

Doloˇci s pomoˇcjo diferencialov pribliˇzno spremembo povrˇsine kvadrata, s stranicama:

a=4 inb =3, ˇce se stranicaapoveˇca za 0.02 in stranicabpa zmanjˇsa za 0.025.

Povrˇsina kvadrataS=a b.

Poiˇsˇcimo diferencialdS= (da)b+a(db).

Od tod sledi, da jedS=3 0.02−4 0.023.

Pribliˇzna sprememba povrˇsine jedS=−0.032

(19)

V lik, ki ga omejujeta graf funkcije f (x ) in abscisna os

vˇcrtaj pravokotnik s, stranicami vzporednimi koordinatnim osem tako, da bo ploˇsˇcina najveˇcja.f(x) =1−x².

Ploˇsˇcina je enakaS(x) =x(1−x²), kjer jex ∈[0,1].

Reˇsimo enaˇcboS⁰(x) =0, oziroma 1−3x²=0 in dobimo x = ^√¹

3.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(20)

Doloˇci ˇstevilo x > 0 tako, da bo vsota x +

¹_x

najmanjˇsa.

f(x) =x +¹_x.

f⁰(x) =1−_x¹₂ →f⁰(x) =0→x =±1.

Vzamemo pozitivno reˇsitevx =1 in doloˇcimo naravo stacionarne toˇcke s pomoˇcjo drugega odvoda.

f⁰⁰(x) = _x²3, vx =1 jef⁰⁰(1) =2.

Od tod sledi, da v toˇckix =1 funkcija doseˇze minimum.

(21)

Kako visoko nad sredino okrogle mize s polmerom R moramo postaviti toˇckasto svetilo, da bo rob najbolje osvetljen.

Osvetljenost je premo sorazmerna z sinusom vpadnega kota in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje od svetila.

S(h) = _R^sin₂_+h^α₂ →α=arctg_R^h, kjer jehviˇsina svetila.

S(h) = √ ^h

(R²+h²)³ → S⁰(H) = √^R²^−2h²

(R²+h²)⁵ → S⁰(h) =0→h= ^√^R .

(22)

Slika k gornji nalogi

Α

h

R

(23)

Poiˇsˇci toˇcko grafa funkcije f (x ), ki je najbliˇzja toˇcki T .

f(x) = 1

2(1−x²), T = (2,1).

Skozi toˇckoT poloˇzimo normalo na graff(x).

Smerni koeficientk =−_f0(x¹0). Enaˇcba normaley −1= _x¹

0(x−2).

Poiˇsˇcimo preseˇciˇsˇce normale z grafomf(x).

1

2(1−x₀²)−1= 1

x₀(x₀−2)

Absciso preseˇciˇsˇca normale z grafom funkcijef(x)je x₀=1.

(24)

Slika k prejˇsnji nalogi.

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

(25)

Grafiˇcni prikaz kompozicije funkcij

fHxL

gHxL

gHfHxLL

y=x

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(26)

Nariˇsi graf funkcije f (x )

f(x) =x²e^−x.

Niˇcla vx₀=0 drugega reda. Limita limx→∞ x² e^x =0.

Odvodf⁰(x) =−4e^−xx(x−2)ima dve niˇcli vx₀=0 in x₁=2.

Drugi odvodf⁰⁰(x) =4e^−x(x²−4x +2)ima dve niˇcli v x_2,3=2±√

2.

Toˇckix_0,1sta stacionarni,x₀minimumx₁maksimum medtem, ko stax_2,3prevojni toˇcki.

Na(−∞,x₀)in(x₁,∞)funkcija pada,f⁰(x)<0, na(x₀,x₁) funkcija naraˇsˇcaf⁰(x)>0.

Na(−∞,x )in(x ,∞)je funkcija konveksnaf⁰⁰(x)>0, na

(27)

-1 1 2 3 4 5 6

-1 1 2 3

(28)

Nariˇsi graf funkcije f (x )

f(x) = 2x 1+x².

Toˇckax0=0 je niˇcla prvega reda. Limita limx→∞ 2x 1+x² =0.

Odvodf⁰(x) =−2^(x_(1+x^−1)(x+1)₂₎₂ ima dve niˇcli vx₁=−1 in x₂=1.

Drugi odvodf⁰⁰(x) =4^x_(1+x^(x²⁻³⁾₂₎₃ ima tri niˇcle vx_3,4=±√ 3 in x₀=0.

Toˇckix_1,2sta stacionarni,x₁minimumx₂maksimum medtem, ko sox_3,4inx₀prevojne toˇcke.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)funkcija pada,f⁰(x)<0, na(x₁,x₂) funkcija naraˇsˇcaf⁰(x)>0.

(29)

Graf funkcije f (x )

-4 -2 2 4

-2 -1 1 2

(30)

Nariˇsi graf funkcije f (x )

f(x) = x² 1+x².

Niˇcla vx₀=0 drugega reda. Limita limx→∞ 2x 1+x² =1.

Odvodf⁰(x) =−2_(1+x^2x₂

)² ima eno niˇclo vx₀=0.

Drugi odvodf⁰⁰(x) =−2_(1+x^3x²⁻¹₂₎₃ dve niˇcli vx_1,2=±^√¹

3. Toˇckax₀je stacionarna v njej funkcija zavzame minimum medtem, ko stax_1,2prevojni toˇcki.

Na(−∞,x₀)funkcija pada,f⁰(x)<0, na(x₀,∞)funkcija naraˇsˇcaf⁰(x)>0.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)je funkcija konkavnaf⁰⁰(x)<0, na

(31)

Graf funkcije f (x )

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5 0.5 1.0 1.5

(32)

Nariˇsi graf funkcije f (x )

f(x) = x³−5x x²+1 .

Niˇcla vx₀=0 prvega reda. Poˇsevna asimptotay =x.

Odvodf⁰(x) = ^x⁴_(1+x^−8x2²)⁻⁵² je enak niˇc vx_1,2=±p

−4+√ 21.

f⁰⁰(x) =−12^x(x²⁻³⁾

(1+x²)³ ima tri niˇcle vx_3,4=±√

3 inx₀=0.

Toˇckix_1,2sta stacionarni,x₁maksimumx₂minimum medtem, ko sox_3,4inx₀prevojne toˇcke.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)funkcija naraˇsˇca,f⁰(x)>0, na (x₁,x₂)funkcija padaf⁰(x)<0.

Na(−∞,x₃)in(x₀,x₄)je funkcija konveksnaf⁰⁰(x)>0, na

(33)

-6 -4 -2 2 4 6

(34)

Nariˇsi graf kodra Marie Gaetane Agnesi

_x2^8a+4a³ ²

f(x) = 1 x²+1.

Niˇcel in polov nima. limx→∞ 1 1+x² =0 Odvodf⁰(x) = _(1+x^−2x2)² je enak niˇc vx₀=0.

f⁰⁰(x) =2^−1+3x_(1+x2)²³ ima dve niˇcli vx_1,2=±^√¹

3.

V toˇckix₀doseˇze maksimum medtem, ko stax_1,2prevojni toˇcki.

Na(−∞,x₀)funkcija naraˇsˇca,f⁰(x)>0, na(x₀,∞) funkcija padaf⁰(x)<0.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)je funkcija konveksnaf⁰⁰(x)>0, na

(35)

-3 -2 -1 1 2 3 -0.5

0.5 1.0 1.5

(36)

Nariˇsi graf Gaussove funkcije f (x )

f(x) =e^−2x².

Odvodf⁰(x) =4xe^−2x² je enak niˇc vx₀=0.

f⁰⁰(x) =4(2x²−1)e^−2x² ima dve niˇcli vx_1,2=±¹₂.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)je funkcija konveksnaf⁰⁰(x)>0, na (x₁,x₂)je funkcija konkavnaf⁰⁰(x)<0.

(37)

-2 -1 1 2 0.5

1.0 1.5

(38)

Nariˇsi graf Gaussove funkcije f (x )

f(x) =e⁻^x

2 2.

Odvodf⁰(x) =xe^−x²^/2je enak niˇc vx0=0.

f⁰⁰(x) = (x²−1)e^−2x² ima dve niˇcli vx_1,2=±1.

Na(−∞,x₁)in(x₂,∞)je funkcija konveksnaf⁰⁰(x)>0, na (x1,x2)je funkcija konkavnaf⁰⁰(x)<0.

(39)

-2 -1 1 2 0.5

1.0 1.5

(40)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) =x^x.

Funkcija je definirana zax >0.

x&0limx^x =1← lim

x&0xlogx =0.

Odvodf⁰(x) =x^x(1+logx)←(logf(x))⁰= (xlogx)⁰. Stacionarna toˇcka 1+logx =0→x = ¹_e.

Funkcija padax ∈(0,¹_e)←f⁰(x)<0.

Funkcija naraˇsˇcax ∈(¹_e,∞)←f⁰(x)>0.

Drugi odvodf⁰⁰(x) =x^x (1+logx)²+ ¹_x

>0, funkcija je konveksna.

(41)

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

(42)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) =x+sinx.

(43)

-4 -2 2 4 6

-4 -2 2 4

(44)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) =xsinx.

(45)

5 10 15

-15 -10 -5 5 10 15

(46)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) = sinx x .

Funkcija ni definirana vx =0.

Obstaja limita lim_x→0^sin_x^x =1.

Graf funkcije poteka med hiperbolamay =±¹_x. Zax_k = ^π₂ +2kπ se dotika hiperbole ¹_x.

Zax_k =−^π₂+2kπse dotika hiperbole−¹_x. Odvodf⁰(x) = ^x^cos_x^x−sin2 ^x je enak niˇc ˇce je xcosx−sinx =0 oziroma tgx =x. Enaˇcba je transcendentna.

(47)

-15 -10 -5 5 10 15

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(48)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) = sin(πx) πx .

(49)

-15 -10 -5 5 10 15

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(50)

Nariˇsi graf funkcije f (x ).

f(x) =e^−x/4sinx.

(51)

2 4 6 8 10 12 14

-1.0 -0.5 0.5 1.0