DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

LIDIJA GAČNIK

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA RAZREDNI POUK

RAZISKUJEMO POLOVICO DIPLOMSKO DELO

Mentorica:

dr. Tatjana Hodnik Čadež, izr. prof. za didaktiko matematike Lidija Gačnik

Somentorica:

dr. Vida Manfreda Kolar, asist. za didaktiko matematike

Ljubljana, januar 2013

ZAHVALA

Uspeh ni ključ do sreče, sreča je ključ do uspeha. Če imaš rad to, kar delaš, boš uspešen.

(Albert Schweitzer)

Zahvaljujem se mentorici dr. Tatjani Hodnik Čadež in somentorici dr. Vidi Manfredi Kolar za vso strokovno pomoč in dostopnost pri nastajanju diplomskega dela.

Rada bi se zahvalila ravnateljicama, učiteljicam in učencem Osnovne šole Mirna in Osnovne šole dr. Pavla Lunačka Šentrupert, ki so mi omogočili zbiranje rezultatov za eksperimentalni del.

Zahvaljujem se vsem domačim, najboljšemu stričku in prijateljem, ki so mi v času študija stali ob strani.

Matjaž, iskrena hvala za vse spodbudne besede in objeme, ki me opogumljajo.

Diplomsko delo posvečam svoji mami in očetu. Hvala za vsa vajina odrekanja v času mojega šolanja, potrpljenje in ljubezen.

POVZETEK

Diplomsko delo z naslovom Raziskujemo polovico sestavljajo tri ključna poglavja:

matematični problemi, geoplošča in deli celote. Matematični problemi pri učencih spodbujajo mišljenje in jih pripravljajo na reševanje vsakodnevnih problemskih situacij, zato bi jih morali učitelji bolj pogosto uporabljati in z njimi nadomestiti reševanje rutinskih nalog. Za reševanje problemov lahko uporabimo različne didaktične pripomočke, eden izmed njih je tudi geoplošča. Z njeno uporabo lahko pouk popestrimo in učencem omogočimo, da si lažje oblikujejo predstave in si snov hitreje zapomnijo. Matematične probleme na geoplošči lahko oblikujemo pri različnih vsebinah iz učnega načrta (npr. pri simetriji, dolžini, črtah), med drugim tudi pri vsebini o delih celote. Tako kot drugod tudi pri vsebini o delih celote učenci v 1. triletju spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Ob njih ponovijo in obnovijo že znane pojme in razčistijo tiste predstave, ki niso najbolj jasne.

Kasneje sledi postopen prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis.

V empiričnem delu smo združili vsa tri ključna poglavja teoretičnega dela tako, da smo učencem zastavili problemsko situacijo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike – deli celote: kako geoploščo na čim več različnih načinov razdeliti na polovico. V raziskavi je sodelovalo 54 učencev iz 3., 4. in 5. razreda. Ugotavljamo, da spol ne vpliva na uspešnost reševanja problema; da so rešitve učencev 3. razreda najenostavnejše, učencev 5.

razreda pa bolj kompleksne – medtem ko učenci 3. razreda pojem polovice povezujejo predvsem s skladnostjo obeh delov, pa se učenci 5. razreda že zavedajo, da je pomembno, da sta polovici ploskovno enako veliki, pa čeprav nista nujno skladni; da so učenci uspešnejši pri prepoznavanju kot pri oblikovanju rešitev in da so učenci 3. razreda našli najmanj rešitev, učenci 5. razreda pa največ.

KLJUČNE BESEDE:

matematični problem, geoplošča, deli celote, polovica

INVESTIGATING A HALF

The diploma paper Investigating a Half consists of three key chapters: mathematical problems, a geoboard and parts of a whole. Mathematical problems encourage thinking in students and prepare them for solving everyday problem situations, that is why teachers should use them more frequently and as a replacement for routine exercises. Different didactic tools can be used to solve problems, one of them being a geoboard. It can be used to make classes more interesting and enable pupils to form their perceptions and remember the subject easier. It is possible to create mathematical problems on a geoboard in connection with different topics from the curriculum (e.g. symmetry, length, lines), also with parts of a whole.

As with other topics, pupils in the first triad learn about parts of a whole and new terms through activities. This helps them to revise already known terms and clear up those perceptions that might not have been completely understood. This is followed by a gradual transition to concrete models, diagrams and putting down symbols.

In the empirical part we joined all three key chapters of the theoretical part so that the pupils were given a problem situation on a geoboard. The problem was from arithmetic – parts of a whole: how to divide the geoboard in half in as many ways as possible. The survey included 54 pupils from the third, fourth and the fifth grade. We conclude that gender has no influence on solving the problem successfully; that solutions provided by the pupils from the third grade are simpler and those from the fifth grade more complex – while the former pupils relate the concept of a half with the congruence of both parts, the latter, older pupils are already aware that the areas of the halves need to be of the same size, while they need not be necessarily congruent; that pupils are more successful in recognising than forming solutions and that students form the third grade found the least solutions and the ones from the fifth grade the most.

KEY WORDS:

mathematical problem, geoboard, parts of a whole, a half

KAZALO

1 UVOD... 1

2 MATEMATIČNI PROBLEM ... 2

2.1 VRSTE MATEMATIČNIH PROBLEMOV ...6

2.1.1 Mialaretova kategorizacija ...6

2.1.2 Frobischerjeva kategorizacija problemov...8

2.1.3 Primerjava Mialaretove in Frobischerjeve kategorizacije problemov ... 13

2.2 REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV ... 14

2.2.1 Faze reševanja problemov ... 15

2.3 DEJAVNIKI RAZUMEVANJA MATEMATIČNEGA PROBLEMA PRI UČENCIH ... 22

3 GEOPLOŠČA... 26

3.1 OPREDELITEV GEOPLOŠČE ... 26

3.2 IZDELAVA GEOPLOŠČE ... 28

3.3 UPORABA GEOPLOŠČE ... 31

3.4 GEOPLOŠČA IN UČNI NAČRT ... 34

4 DELI CELOTE ... 37

4.1 KOMPONENTE PRISTOPA ZA POUČEVANJE DELOV CELOTE ... 37

4.2 DELI CELOTE IN UČNI NAČRT ... 40

4.3 PRIMERJAVA CILJEV OD 3. DO 5. RAZREDA ... 42

4.4 PRIMERI NALOG. ... 44

5 EMPIRIČNI DEL ... 52

5.1 OPREDELITEV PROBLEMA ... 52

5.1.1 Raziskovalna vprašanja ... 52

5.1.2 Raziskovalne hipoteze ... 53

5.2 METODOLOGIJA RAZISKOVANJA ... 53

5.2.1 Raziskovalna metoda... 53

5.2.2 Raziskovalni vzorec ... 53

5.2.3 Instrumentarij ... 54

5.2.4 Postopki zbiranja podatkov ... 54

5.3 REZULTATI IN INTERPRETACIJA ... 55

5.3.1 Klasifikacija rešitev ... 55

5.3.2 Analiza rešitev 1. naloge ... 59

5.3.3 Analiza rešitev 2. naloge ... 74

5.3.4 Primerjava rešitev 1. in 2. naloge... 80

5.3.5 Analiza rezultatov glede na spol ... 83

5.4 POVZETEK UGOTOVITEV ... 93

6 ZAKLJUČEK ... 95

7 LITERATURA ... 97

8 PRILOGE ... 99

1

1 UVOD

Teoretični del diplomskega dela zajema tri ključna poglavja. Prvo se nanaša na matematične probleme, ki so pomemben element poučevanja matematike, saj z njimi spodbujamo mišljenje in pripravljamo učence na reševanje problemskih situacij, ki so sestavni del vsakdanjega življenja. V tem delu so predstavljeni sestavni deli problema, vrste matematičnih problemov, faze reševanja problemov in dejavniki, ki vplivajo na reševanje problemov. Eden izmed didaktičnih pripomočkov, ki jih lahko uporabimo za problemski pristop k poučevanju matematike, je geoplošča, na katero se navezuje drugo ključno poglavje. V njem je predstavljeno, kaj je geoplošča, kdo jo je oblikoval, kako jo lahko izdelamo, kako se uporablja in kakšno vlogo ima v učnem načrtu. Zadnji del teoretičnega dela pa se nanaša na dele celote, s katerimi se vsakodnevno srečujemo, le da se tega pogosto ne zavedamo. Predstavljene so komponente znanja delov celote, vsebovanost delov celot v učnem načrtu in primeri nalog te vsebine za 3., 4. in 5. razred. Prikazana je tudi primerjava ciljev od 3. do 5. razreda – kateri cilji se v učnem načrtu pri vsebini deli celote iz razreda v razred ponavljajo in kako se nadgrajujejo.

Vsa tri ključna poglavja teoretičnega dela združimo v empiričnem delu, kjer raziščemo rešitve učencev 3., 4. in 5. razreda, katerim smo zastavili problemsko nalogo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike – deli celote: kako geoploščo na čim več različnih načinov razdeliti na polovico. Namen raziskave je ugotoviti, koliko različnih pravilnih rešitev dobijo učenci v 3., 4. in 5. razredu, kako široko razumejo pojem polovice v posameznem razredu, ali spol vpliva na uspešnost reševanja problema in pri čem so učenci uspešnejši – pri oblikovanju ali pri prepoznavanju rešitev.

2

2 MATEMATIČNI PROBLEM

Polya pravi, da poučevanje ni znanost. Je umetnost (Turunen, 2010, str. 121). Ljudje se na vsakem koraku srečujemo s problemi različnih vrst. Nekateri imajo probleme pri učenju, drugi s sošolci, starši, sodelavci … Skratka, imamo jih prav vsi. Šola pa je institucija, ki naj bi učence s posredovanim znanjem in vzgojnimi elementi pripravila na življenje. In ker so problemi del življenja, je torej naloga šole, da učence pripravi tudi na reševanje le-teh. Eden izmed načinov, kako lahko to doseže, je tudi reševanje matematičnih problemov. Po Polyi (1969) je temeljni cilj poučevanja matematike v vsakem učencu, kolikor je to le mogoče, razviti dobre miselne navade, s katerimi se lahko soočijo z vsako vrsto problemov (Turunen, 2010).

V učnem načrtu za matematiko (2011) je navedeno, da je matematika eden od temeljnih predmetov v osnovni šoli. Srečujemo jo na večini področij človekovega življenja. Njena prisotnost je na drugih predmetnih področjih vedno manj opazna, saj se skriva v tehnologiji, zato je zgolj rutinsko obvladovanje računskih postopkov pri določenih dejavnostih vse manj pomembno. Tako prihaja v ospredje razumevanje, medpredmetno povezovanje in uporaba matematičnega znanja ter zmožnost reševanja problemov. Oziroma kot pravi Cotič (2001), da matematike ne učimo samo zaradi števil in številskih operacij, ampak predvsem zaradi reševanja problemov.

Kot temeljni predmet v osnovni šoli matematika razvija matematično kompetenco, to je sposobnost uporabe matematičnega načina razmišljanja za reševanje različnih matematičnih problemov in problemov iz vsakdanjega življenja (Žakelj, 2011).

Z matematičnimi problemi so se ukvarjali že številni strokovnjaki, vendar ne poznamo neke splošne definicije matematičnega problema. Pri nas se s tovrstnimi problemi veliko ukvarja Cotič, ki pravi, da je v slovenski pedagoški znanosti problem definiran kot pretežno subjektivna pojmovna kategorija. V psihologiji govorijo o t.i. »problemskem prostoru«, to je o problemu, kakršnega vidi reševalec v sebi in se z njim identificira največkrat z namenom, da ga reši. Da je »nekaj« lahko problem, ne zadostuje le to dejansko »nekaj« (objekt), temveč mora biti pogojeno tudi s subjektivnim odnosom do tega objekta (Cotič, 1999).

3

Polya (1971) pravi, da bi problem načeloma lahko obstajal brez razmišljanja, vendar pa velja, da je njegov obstoj pravzaprav rezultat razmišljanja. O čem bi sploh razmišljali, če ne bi imeli problemov, ki jih želimo rešiti (Ambrus, 2010)?

Za problem so tipične naslednje ZNAČILNOSTI:

1. nerešena problemska situacija, 2. subjektivna pomembnost situacije,

3. neobvladovanje situacije le z obstoječim predznanjem in izkušnjami,

4. občutek subjektivne spoznavne konfliktnosti, ki teži k rešitvi problema (Strmčnik, 1991, v Cotič, 1999).

»Reševanje problemov je iskanje odgovorov na situacijo, ki je edinstvena in je zato posameznik ne more rešiti zgolj na osnovi spomina oz. obstoječega predznanja in osebnih izkušenj, temveč z miselnimi postopki. Problem je torej neželeno stanje napetosti, radovednosti, ki je notranje ali zunanje spodbujeno (Cencič, 1995, str. 101).« Jaušovec (1991) opisuje, da se posamezniku problem pojavi takrat, ko se znajde v notranjem ali zunanjem stanju, ki mu ne ustreza, vendar ne razpolaga s sredstvi, da bi ga spremenil in s tem dosegel želeni cilj.

Večina literature navaja, da je vsak problem sestavljen iz treh delov, ki jih različno poimenujejo. Frobischer (1996) te tri komponente opredeli kot: nezaželeno začetno stanje, zaželeno končno stanje in ovira, ki preprečuje prehod začetnega v želeno končno stanje.

Sestavni deli vsakega problema so torej:

1. ZAČETNO STANJE

ali situacija, v kateri je dana vsebina problema z ustreznimi podatki in informacijami, 2. CILJ,

ki ga mora reševalec doseči,

4 3. POT

od začetnega stanja ali situacije do cilja, ki jo mora reševalec poiskati, da reši problem.

DIAGRAM 1: Komponente matematičnega problema (Frobischer, 1996)

Cotič (1999) loči med dvema matematičnima problemoma: problemom – vajo in problemom:

1. PROBLEM – VAJA

Pot od začetnega stanja do želenega cilja je tukaj znana. Cilj se lahko doseže z že obstoječim predznanjem in izkušnjami, saj reševalec že pozna strategijo reševanja.

2. PROBLEM

Pot od začetnega stanja do cilja v tem primeru ni znana. Reševalec nima na razpolago ne postopka ne algoritma, ki bi ga zagotovo pripeljala do rešitve problema.

Ista situacija je tako za nekoga lahko problem, za drugega pa le problem – vaja.

CILJ ZAČETNO

STANJE

POT

5

PROBLEM – VAJA: PROBLEM:

DIAGRAM 2: Razlika med problemom in problemom – vajo (prirejeno po Cotič, 1999)

Primer: Matjažu, Roku in Tini je teta podarila 18 bombonov, ki so si jih pravično razdelili.

Koliko bombonov je dobil Matjaž?

DIAGRAM 3: Prikaz vseh treh komponent matematičnega problema s konkretnim primerom

ZAČETNO STANJE:

Imamo 18 bombonov, ki si jih trije pravično razdelijo.

Izračunaj, koliko bombonov dobi eden izmed njih.

CILJ: Izračunano število bombonov, ki jih je dobil

Matjaž.

POT: 18 delimo s tri.

ZAČETNO STANJE

ZAČETNO STANJE

pot JE znana

CILJ CILJ

pot NI znana

6

Za učenca, ki je že osvojil deljenje s tri, je pot do cilja znana in zanj to ni več problem, ampak problem – vaja. Za mlajšega učenca, pri katerem deljenje šele uvajamo in ki še ne pozna pravil oz. postopka deljenja, pa je ta naloga problem, saj je ne more rešiti le na osnovi spomina, temveč mora pri reševanju uporabiti miselne postopke.

Za učenca, ki je deljenje s tri že osvojil, je torej zgornja naloga problem – vaja. Če nalogo le malce preoblikujemo, tudi zanj postane problem:

Matjažu, Roku in Tini je teta podarila bombone. Bili so različne barve – 6 jih je bilo roza, 2 sta bila modra, 4 zeleni, trije beli in trije rumeni. Razdelili so si jih tako, da je vsak izmed njih dobil enako število bombonov. Koliko bombonov je dobil Matjaž?

2.1 VRSTE MATEMATIČNIH PROBLEMOV

Matematičnih problemov je več vrst. Opredelimo jih lahko glede na pot in cilj. Glede na to klasifikacijo v matematično-didaktični literaturi največkrat zasledimo tri kategorije problemov. Podrobneje bom opisala Mialaretovo in Frobischerjevo kategorizacijo problemov, ki imata veliko skupnega.

2.1.1 MIALARETOVA KATEGORIZACIJA

Cotič (1999) opisuje, da Mialaret loči med vodenimi, nevodenimi in nepopolnimi problemi:

 VODENI problemi:

Pri vodenih problemih tekst že določa vrstni red reševanja. Najbolj preprost primer vodenega problema je problem, ki se ga reši samo z eno operacijo, in ga Mialaret poimenuje enostavni vodeni problem.

7 PRIMER:

Mojca ima 7 znamk, njena prijateljica Tanja pa jih ima 4. Koliko znamk imata Mojca in Tanja skupaj?

Vodeni problemi so lahko tudi sestavljeni.

PRIMER:

Petri je oče kupil 20 novih barvic. Doma je imela še 15 starih, 10 pa jih ji je podaril brat Marko. Vse skupaj je spravila v puščico. Prvi teden jih je v šoli izgubila 7, 6 pa jih je podarila sošolki, ki jih sploh ni imela. Koliko barvic ji je še ostalo?

Učitelji velikokrat mislijo, da je učenec, ki je sposoben rešiti preprost vodeni problem, zmožen rešiti tudi sestavljen vodeni problem, vendar to ne drži. Sestavljene probleme je potrebno razstaviti na podprobleme. Pri tem je nujno, da se učencu postavljajo vprašanja. Tako se problemu zmanjša zahtevnost in učenci na razredni stopnji ga lažje rešijo.

 NEVODENI problemi

Pri teh problemih iz teksta ni razviden postopek, s katerim se naloga lahko reši.

Učenec mora sam odkriti pot oziroma poti, s katerimi bo dosegel cilj, ki je v tekstu določen. Ti problemi so zahtevnejši od vodenih problemov, saj je pri njih potrebno več miselnih naporov.

PRIMER:

Nastja je privarčevala 280 evrov. Kupiti si želi 3 majice, vsaka stane 12 evrov.

Potrebuje še hlače, ki stanejo 43 evrov, čevlje, ki so 21 evrov dražji od hlač, in plašč, ki stane 5 evrov več kot hlače in čevlji skupaj. Ali ima Nastja dovolj denarja, da si kupi vse, kar potrebuje?

8

 NEPOPOLNI problemi

Te vrste problemi so predstavljeni s takimi situacijami, pri katerih sta odprta tako pot do cilja kot cilj sam. Pri takih problemih je toliko različnih poti in ciljev, kolikor je učencev oziroma skupin učencev, če poteka reševanje problemov v skupini. Lahko se tudi zgodi, da ista skupina učencev poišče več različnih rešitev istega problema.

PRIMER:

Sestavite nalogo za obseg, pri kateri si bo reševalec lahko pomagal z geoploščo.

2.1.2 FROBISCHERJEVA KATEGORIZACIJA PROBLEMOV

Frobischer (Cotič, 1999) loči med tremi vrstami matematičnih problemov: problemi z zaprto potjo in zaprtim ciljem, problemi z odprto potjo in zaprtim ciljem ter problemi z odprto potjo in odprtim ciljem.

 Problemi z ZAPRTO POTJO in ZAPRTIM CILJEM

DIAGRAM 4: Prikaz problema z zaprto potjo in zaprtim ciljem ZAČETNO

STANJE

ZAPRTA POT

ZAPRT CILJ

9

PRIMER: Lucija je napihnila 11 balonov. Trije baloni so se predrli. Koliko napihnjenih balonov ji je še ostalo?

Začetno stanje je 11 balonov, od tega trije predrti. Potrebno je izračunati, koliko napihnjenih balonov je še ostalo Luciji. Cilj je zaprt, saj je jasno določen; edina rešitev naloge je 8 balonov. Prav tako je zaprta pot, s katero dosežemo cilj, saj je strategija reševanja znana – do odgovora pridemo le tako, da 11-im balonom, ki jih imamo na začetku, odštejemo tri, ki so se predrli.

Pri reševanju teh problemov ugotovimo, ali učenec razume osnovne matematične pojme in postopke, ki jih hkrati tudi utrdimo in ponovimo. Zaradi tega naj bi se učenci najprej srečali s takimi problemi in šele kasneje naj bi sledilo uvajanje v naslednjo kategorijo problemov.

 Problemi z ODPRTO POTJO in ZAPRTIM CILJEM

DIAGRAM 5: Prikaz problema z odprto potjo in zaprtim ciljem ZAČETNO

STANJE

ODPRTA POT

ZAPRT CILJ

10

PRIMER: Na geoplošči 3 x 3 oblikuj čim več različnih pravokotnikov.

Začetno stanje je geoplošča 3 x 3 in različni pravokotniki. Cilj je zaprt, ker je jasno opredeljen: učenec mora poiskati/oblikovati toliko različnih pravokotnikov, kot jih je, oziroma toliko, kot misli, da jih je. Učenec mora sam poiskati strategijo reševanja, zato je pot odprta. Nekateri učenci ne izberejo nobene strategije in iščejo različne pravokotnike zgolj slučajno. Nekateri pa imajo že sistematičen pristop pri oblikovanju rešitev.

Da postanejo učenci pri teh vrstah problemov sposobni izbirati in izpeljati primerno strategijo, potrebujejo veliko nasvetov in izkušenj. Šele nato ga uvedemo v tretjo kategorijo problemov, kjer sta pot in cilj odprta.

 Problemi z ODPRTO POTJO in ODPRTIM CILJEM

DIAGRAM 6: Prikaz problema z odprto potjo in odprtim ciljem ZAČETNO

STANJE

ODPRTA POT

ODPRT CILJ

11 PRIMER: Raziskuj polovice na geoplošči 5 x 5.

Ta problem se zelo razlikuje od prejšnjih dveh in od problemov, ki jih običajno dajemo učencem pri pouku matematike na razredni stopnji. Podano je le začetno stanje: različne polovice na geoplošči 5x5. Pot je odprta, saj si mora učenec sam poiskati strategijo reševanja. Tudi cilj je odprt, kar pomeni, da si ga mora učenec postaviti sam in nato raziskati situacijo, ki si jo je zastavil. Problem z odprto potjo in odprtim ciljem bi lahko poimenovali problem – raziskava, saj učenec pri reševanju problema raziskuje – izbira si cilje (npr. Koliko različnih polovic dobimo, če geoploščo 5 x 5 razdelimo z eno ravno črto?), ki jih nato poskuša doseči. Z določitvijo cilja se raziskovanje problema z odprto potjo in odprtim ciljem spremeni v oblikovanje novih problemov: problemov z zaprto potjo in zaprtim ciljem in problemov z odprto potjo in zaprtim ciljem.

Osnovni namen takih problemov ni v razumevanju pojmov, ponavljanju snovi in različnih postopkov kot pri prvi in drugi kategoriji problemov, ampak v pridobivanju znanj o obravnavanju problemskih situacij. Predvsem skušamo učenca naučiti samostojnega razmišljanja v novih situacijah.

12

Povzemimo sedaj še enkrat z diagramom Frobischerjevo kategorizacijo problemov (Frobischer, 1994), ki jo je še dopolnila Hodnik (1995).

PROBLEMI

1. Problemi z ZAPRTO potjo in ZAPRTIM ciljem.

2. Problemi z ODPRTO potjo.

in ZAPRTIM ciljem.

3. Problemi z ODPRTO potjo in ODPRTIM ciljem.

REŠEVANJE

KONVERGENTNA AKTIVNOST IŠČEMO POT DO

CILJA

RAZISKOVANJE DIVERGENTNA

AKTIVNOST Izberemo si CILJ in

RAZISKUJEMO situacijo.

13

2.1.3 PRIMERJAVA MIALARETOVE IN FROBISCHERJEVE KATEGORIZACIJE PROBLEMOV

Če primerjamo Mialaretovo in Frobischerjevo kategorizacijo problemov, opazimo da sta si zelo podobni. Enakost pri obeh avtorjih lahko opazimo pri prvi in drugi kategoriji problemov.

Pri tretji kategoriji problemov pa bi lahko rekli, da so Mialaretovi nepopolni problemi »prava podmnožica« Frobischerjevih problemov z odprto potjo in odprtim ciljem. Pri nepopolnih problemih namreč Mialaret navaja le probleme, ki so vsebinsko vezani na učenčevo življenje in ne na matematične vsebine, medtem ko Frobischer navaja tako ene kot druge (Cotič, 1999).

PROBLEMI

KATEGORIJE MIALARET FROBISCHER

I. vodeni problemi = problemi z zaprto potjo in

zaprtim ciljem

II. nevodeni problemi = problemi z odprto potjo in

zaprtim ciljem

III. nepopolni problemi U problemi z odprto potjo in

odprtim ciljem

TABELA 1: Primerjava Mialaretove in Frobischerjeve kategorizacije problemov (Cotič, 1999)

14

2.2 REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV

Polya, eden največjih didaktikov matematike, ki se je ukvarjal s strategijo reševanja matematičnih problemov, je zapisal: »Rešiti problem pomeni poiskati izhod iz določene težave: poiskati pot, ki pelje do zastavljenega cilja, kateri ni takoj dosegljiv. Reševanje problemov je specifična dejavnost razuma, razum pa je specifičen samo za človeka: torej je reševanje problemov osnovna človeška aktivnost« (Polya, 1971, v Cotič, 1999, str. 6).

S tem ko učimo učenca reševati in raziskovati probleme, ga pravzaprav učimo misliti. Tako kot ne obstajajo neke splošno veljavne zakonitosti in metode za učenje mišljenja pri posamezniku, tako ne obstajajo tudi vedno natančno določene in učinkovite metode za reševanje problemov (Cotič, Hodnik, 1995).

Rutinske naloge so neizogiben in nujno potreben del pri poučevanju matematike. Poleg rutinskih nalog pa je prav tako zelo pomembno, da učence navajamo tudi na druge vrste problemov. Polya je poučevanje samo mehaničnega izvajanja rutinskih matematičnih operacij primerjal s kuharsko knjigo. Trdil je, da je tako poučevanje precej pod nivojem kuharske knjige, ker kuharski recepti marsikaj prepustijo kuharjevi fantaziji in presoji, medtem ko matematični recepti ničesar (Cotič, 1999).

Cotič (1995) pa pri reševanju problemov pri matematiki na razredni stopnji opazi sledeče:

»problemi« se rešujejo predvsem zato, da se z njimi utrjujejo računske operacije. Moralo bi biti obratno: otroke bi morali učiti raznih matematičnih znanj, da bodo z njihovo pomočjo lahko reševali čim različnejše življenjske probleme.

Lee (2006) izpostavi še en element, ki je pomemben pri reševanju problemov – ozračje v razredu. Voditi mora k odprtemu razmišljanju, ki spodbuja matematično diskusijo, pri kateri lahko učenci razmišljajo in izražajo svoje ideje. Pri tem je potrebno izpostaviti, da se ni potrebno bati »napačnih« odgovorov, saj včasih z njihovo pomočjo pridemo do pravilne rešitve (Turunen, 2010).

Pri reševanju matematičnih problemov je pomembnih več elementov. Prvi je, da učitelj učencu ponudi nalogo, ki mu predstavlja matematični problem, in ga motivira za reševanje.

Učitelj mora biti pripravljen z zanimanjem sprejeti rešene naloge. Učenec mora zaznati, da

15

učitelju ni vseeno, ali bo nalogo rešil ali ne. Veliko učencev namreč potrebuje podporo učitelja. Učitelj naj nato učenčevo delo ovrednoti. Lee (2006) pravi, da efektivna povratna informacija pomaga učencu bolje razumeti, kako napredovati pri svojem učenju in mu omogoča, da istočasno razmišlja in govori o nalogah, ki jih opravlja. Učitelj mora učencu posredovati povratno informacijo in ga opogumiti za nadaljnje delo. Zadnje, kar je zelo pomembno, je diskusija, ki ji je potrebno nameniti dovolj časa. Nujno je, da učitelj svoje učence in njihove matematične sposobnosti pri tem dobro pozna (povzeto po: Turunen, 2010).

2.2.1 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV

Langus Kržič (2006) v svojem magistrskem delu povzame štiri faze reševanja problemov, ki jih je opredelil Polya (1984):

 razumevanje problema,

 zamisel načrta za rešitev problema,

 realizacija načrta,

 analiza reševanja.

16

Spodnji diagram prikazuje faze reševanja problema po Polyi (1984).

DIAGRAM 7: Faze reševanja problema (prirejeno po Cotič, 1999)

1. RAZUMEVANJE PROBLEMA

Pomembno je, da učenci razumejo problemsko situacijo. To lahko dosežejo s pomočjo konkretnega materiala, z grafičnim prikazom, z dramatizacijo ali pripovedjo. Učitelj mora učence navajati na uporabo vseh naštetih strategij, saj je pomembno, da učenci situacijo doživijo in tako matematični problem rešujejo bolj osebno. Ni dovolj le razumevanje problema, potrebna je tudi želja po tem, da se problem reši. Učenje reševanja problemov je namreč privzgajanje volje. Ko učenci rešujejo probleme, ki niso preveč enostavni zanje, se učijo vztrajati kljub neuspehu, zadovoljni so tudi z majhnim napredkom in iščejo idejo, na katero se osredotočijo, kolikor morejo. Prav zato je pomembno, da so problemi dobro izbrani.

Ne smejo biti pretežki niti preveč enostavni. Biti morajo zanimivi ter življenjsko in privlačno MATEMATIČNI

PROBLEM

RAZUMEVANJE PROBLEMA

PRIPRAVA NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA URESNIČITEV

NAČRTA ANALIZA REŠITVE,

PREGLED OPRAVLJENE POTI

17

predstavljeni, da pritegnejo učenčevo pozornost. Dobro je, da učenci problem obnovijo s svojimi besedami in določijo ključne dele naloge (neznanko, podatke, pogoje) (Langus Kržič, 2006).

Pri razumevanju problema in problemske situacije so pomembna vprašanja, s katerimi vzpostavimo odnos med danimi podatki.

Učitelj lahko pomaga učencem s sledečimi vprašanji:

 Po čem nas sprašuje naloga oz. kaj želimo izvedeti?

 Kateri podatki so dani?

 Ali je morda kateri izmed podatkov odveč?

2. ZAMISEL NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA

Ta faza je pri reševanju problema najpomembnejša. Pot do načrta je lahko postopna in dolga, lahko pa se zamisel za načrt pojavi nenadoma kot preblisk. Učitelj naj učence s primernimi vprašanji nevsiljivo usmerja, da sami pridejo na tako misel oz. preblisk. Pri iskanju strategije reševanja učencem pomaga njihovo matematično predznanje ali izkušnje z reševanjem podobnih problemov (Langus Kržič, 2006).

Pri izdelavi načrta je dobro, da jih učitelj spodbuja in usmerja z vprašanji:

 Ali ste že kdaj reševali podobno nalogo?

 Ali se spomnite, kako ste se lotili reševanja?

 Ali lahko tudi to nalogo rešimo na enak način?

 Kateri podatki so v nalogi pomembni?

18 3. REALIZACIJA NAČRTA

Naloga učitelja je, da učence navadi na izdelavo načrta reševanja, ki ga morajo uresničiti in pri tem prikazati postopek reševanja z risbo. Učenci morajo načrt reševanja razumeti in ga med reševanjem ne smejo pozabiti. Preveriti morajo vsako zaporedno stopnjo in biti morajo prepričani, da je potek reševanja pravilen (Langus Kržič, 2006).

Učitelj jih pri tem z vprašanji usmerja k razmišljanju:

 Ste dobro razmisli, kako si bodo sledile stopnje reševanja naloge?

 Ste prepričani, da je vsaka stopnja načrta pravilna?

 Kako veste, da je pravilna?

4. ANALIZA REŠEVANJA, PREGLED OPRAVLJENE POTI

Ta faza je bistvenega pomena za popolnejše razumevanje problema in za odpravljanje napak, ki so se morda pojavile med reševanjem. Predvsem pa je pomembna zato, ker se v tej fazi učenci naučijo kritične analize dobljenega rezultata. Učitelj učence spodbuja k razmišljanju o morebitnih drugih poteh reševanja problema in o tem, kako bi se dalo dobljeni rezultat preveriti in s tem dokazati pravilnost izbire strategij reševanja. S tem, ko učenci ponovno preverjajo poti, po katerih so prišli do rezultata, si utrjujejo znanje in razvijajo sposobnosti za reševanje problemov. Morajo pa se zavedati, da pri vsakem problemu vedno ostane še kaj, kar bi lahko izboljšali oz. izpopolnili, če drugega ne, vsaj razumevanje samega problema.

Učitelj mora navajati učence na razmišljanje o tem, da so matematični problemi povezani med seboj in še z marsičim drugim in niso le sami sebi namen (Langus Kržič, 2006).

Učitelj lahko učence spodbudi, da sami oblikujejo probleme, pri katerih bi lahko ponovno izkoristili uporabljeni postopek ali uporabili dobljeni rezultat:

 Lahko preskusite dobljeni rezultat?

 Ali lahko preverite pot reševanja?

19

 Ali lahko dobite rezultat tudi po drugi poti?

 Ali lahko uporabite pot reševanja te naloge pri reševanju kakšnega drugega problema?

Učitelji bi se morali zavedati, da ni dovolj, da učencem strategije reševanja različnih matematičnih problemov le prikažejo ali da jih le enkrat z njimi uporabljajo. Matematične probleme je potrebno z učenci neprestano uriti.

Analizirajmo matematični problem glede na zgoraj omenjene štiri faze reševanja problemov, ki jih je opredelil Polya.

PROBLEM:

Damjana, Lucija, Polona in Tjaša so najboljše prijateljice. Damjana je starejša od svojega brata, stara je 8 let. Lucija je 5 let mlajša kot Polona in Damjana skupaj. Tjaša je 2 leti starejša od Damjane, Polona pa je tri leta mlajša od Tjaše. Koliko so stare vse štiri prijateljice skupaj?

RAZUMEVANJE PROBLEMA:

Učenec mora problem najprej razumeti. Problemsko situacijo lahko v tem primeru približamo s konkretnim materialom (uporabimo slike 4-ih deklet).

Učencem lahko pomagamo razumeti problem s sledečimi vprašanji:

 Po čem nas sprašuje naloga oz. kaj želimo izvedeti?

 Kaj lahko iz besedila razberemo o Damjanini starosti?

 Ali nam podatek, da je Damjana starejša od svojega brata, kaj koristi ali je odveč oz. je nepomemben?

 Kaj lahko iz besedila razberemo o Lucijini, Tjašini in Polonini starosti?

20 ZAMISEL NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA:

Pri izdelavi načrta lahko učitelj usmerja z naslednjimi vprašanji:

 Za katero Damjanino prijateljico bi lahko najhitreje ugotovili, koliko je stara?

 Starost katere prijateljice bomo poskušali ugotoviti potem, ko bomo vedeli, koliko let ima Tjaša?

 Ali bomo tako ugotovili starost vseh prijateljic?

 Kateri prijateljici moramo še določiti starost?

 Zakaj bomo šele na koncu ugotavljali Lucijino starost, če pa je bila omenjena že na začetku naloge?

Primer uporabne skice načrta za rešitev problema:

SLIKA 1: Skica načrta za rešitev problema REALIZACIJA NAČRTA:

Učence je potrebno spodbujati, da si pri reševanju pomagajo z risbo. Razumeti morajo načrt in preverjati pravilnost vsake zaporedne stopnje. Učitelj jih lahko usmerja z naslednjimi vprašanji:

 Ste dobro razmisli, kako si bodo sledile stopnje reševanja naloge – kaj boste izračunali na začetku, kaj na koncu?

21

 Ali ste prepričani, da ste v skico pravilno vnesli vse pomembne podatke o starosti Damjane, Lucije, Polone in Tjaše?

Postopek reševanja problema:

Izhajali bomo iz podatka o Damjanini starosti, ki je edini znani podatek:

DAMJANA: 8 let

Vemo, da je Tjaša dve leti starejša od Damjane, torej: TJAŠA: 8 let + 2 leti = 10 let.

Ker sedaj vemo, koliko je stara Tjaša, lahko določimo starost Polone, ki je od nje tri leta mlajša: POLONA: 10 let – 3 leta = 7 let.

In šele nazadnje lahko določimo starost Lucije, za katero smo potrebovali podatek o Polonini starosti: LUCIJA: 7 let + 8 let – 5 let = 10 let.

Sedaj lahko seštejemo, koliko so stare vse štiri prijateljice skupaj:

8 let + 10 let + 7 let + 10 let = 35 let.

Vse štiri prijateljice so skupaj stare 35 let.

ANALIZA REŠEVANJA, PREGLED OPRAVLJENE POTI:

Pri tej fazi reševanja problema učenci utrjujejo svoja znanja in razvijajo sposobnosti za reševanje problemov. Potrebno je poudariti, da pri vsakem problemu ostane še kaj, kar bi lahko izboljšali, če drugega ne, pa razumevanje samega problema:

 Kako veste, da ste pravilno izračunali starost Tjaše, Polone in Lucije?

 Ali ste pravilno sešteli starost vseh štirih prijateljic skupaj?

Preizkus dobljenega rezultata:

DAMJANA: Ima 8 let.

TJAŠA: Je stara 10 let, ker je 2 leti starejša od Damjane, ki ima 8 let.

POLONA: Ima 7 let, ker je 3 leta mlajša od Tjaše, ki je stara 10 let.

22

LUCIJA: Je stara 10 let, saj je 5 let mlajša kot Damjana in Polona skupaj. Damjana ima 8, Polona 7 let. Če njuna leta seštejemo, dobimo 15. Od tega odštejemo še 5 let in dobimo starost Lucije – 10 let.

2.3 DEJAVNIKI RAZUMEVANJA MATEMATIČNEGA PROBLEMA PRI UČENCIH

Cotič (2001) opisuje naslednje glavne dejavnike, ki vplivajo na razumevanje problemov:

 OBLIKE PREDSTAVITVE

Učenci bolje razumejo problem, če uporabimo dramatizacijo, pripoved in konkretno gradivo. Raziskave kažejo, da učenci s pomočjo konkretnega gradiva probleme bolje rešujejo kot brez njega.

PRIMER: Matjaž, Blaž in Patricija so na tleh našli 18 frnikol, ki so si jih pravično razdelili. Koliko frnikol je dobil vsak?

Učencem, ki jim zgornja naloga predstavlja problem, priložimo frnikole, ki so jim lahko v veliko pomoč pri reševanju, saj si z njimi približajo situacijo in tako problem lažje in hitreje rešijo.

 JEZIK

Učenec mora jezik, ki se uporablja v problemu, razumeti. Razlog, da učenec ne reši določenega problema, ni nujno samo v tem, da ga ne razume v matematičnem smislu ali pa da je zanj miselno prezahteven. Lahko se zgodi, da učenec ne razume jezika besedila in zato problema ne more rešiti. Torej moramo paziti, da je jezik, ki ga uporabljamo, jasen, natančen in preprost ter povezan tako z izkušnjami kot z jezikovnimi kompetencami učenca.

PRIMER 1: Določi razliko števil 10 in 8.

23

Razlog, da učenec ne reši zgornjega problema, še ne pomeni, da je zanj miselno prezahteven. Učenec lahko sicer zna izračunati:

10 – 8 = 2

Težava je lahko v tem, da učenec ne razume matematičnega jezika, torej ne pozna matematičnega izraza »razlika«, zato problema ne zna rešiti. Ker pa mu je izraz razlika domač iz vsakdanjega pogovornega jezika, lahko opazi razliko v zapisu števil – 10 je dvomestno, število 8 pa enomestno število.

PRIMER 2: Koliko nog imata skupaj mravlja in pajek?

V primeru, da učenec ne reši zgornjega problema, še ne pomeni, da je zanj miselno prezahteven oz. da ga ne razume v matematičnem smislu. Učenec lahko sicer zna izračunati:

6 + 8 = 14 ali 2 x 3 + 2 x 4 = 14

Problem mu lahko v tem primeru predstavlja jezik. Ne razume oz. ne ve, da ima mravlja 6 in pajek 8 nog. Nima torej potrebnega znanja oz. informacij, da bi rešil problem.

 VRSTNI RED INFORMACIJ

Vrstni red informacij v problemu velikokrat povzroči, da se učenec pri reševanju problema znajde v težavah. Pri vodenih problemih določa vrstni red reševanja že sam tekst, zato so taki problemi za učence lažji, medtem ko pri nevodenih problemih postopek reševanja ni pokazan v tekstu danega problema in morajo učenci sami odkriti pravilno pot za dosego cilja.

PRIMER:

 Vodeni problem – ZNAN VRSTNI RED:

Teja ima 3 zelene, 4 rdeče in 3 rumene gumice. Koliko gumic ima Teja?

 Nevodeni problem – VRSTNI RED NI ZNAN:

Anja ima v svoji sobi 3 police za knjige. Na prvi polici ima 4 knjige manj kot na tretji. Na tretji polici ima 2 več kot na drugi. Na drugi polici ima zloženih 17 knjig. Koliko knjig ima Anja na vseh treh policah skupaj?

24

 ŠTEVILSKI PODATKI

Številski podatki lahko olajšajo ali otežijo reševanje matematičnega problema. V začetku šolanja je pomembno, ali je število, ki nastopa v matematičnem problemu, zapisano s številko ali besedo. Pri zapisu z besedo imajo namreč otroci težave pri reševanju. Zmede jih lahko tudi vrstni red informacij in podatkov v problemu.

Učenci uspešneje rešujejo probleme z »manjšimi« števili. To pa seveda ne pomeni, da mu ne smemo ponuditi problemov z večjimi števili, ko je intelektualno dovolj zrel.

25

Dejavnike, ki vplivajo na razumevanje problema, lahko prikažemo tudi s spodnjim diagramom:

DIAGRAM 8: Dejavniki, ki vplivajo na razumevanje problema (Cotič, 2001, str. 27)

V teoretičnem delu poglavja o matematičnih problemih sledita še dva, in sicer o geoplošči in delih celote. To so tri področja, na katerih temelji tudi naš empirični del, kjer smo učencem pri vsebini delov celote zastavili matematični problem na geoplošči.

ŠTEVILSKI PODATKI OBLIKA

PREDSTAVITVE

JEZIK VRSTNI RED

INFORMACIJ

konkretna

vodeni problemi nevodeni problemi

velikost števil

vrstni red števil v besedilu

zapis števil

s številko

z besedo odnos z

vsakdanjim jezikom

uporabljeno besedišče

DEJAVNIKI, ki vplivajo na razumevanje problema

s konkretnim gradivom

verbalna

vizualna

formulacija besedila abstraktna

26

3 GEOPLOŠČA

SLIKA 2: Geoplošča (vir: www.wikipedia.org)

Geoploščo je izumil angleški matematik Caleb Gattegno (1911–1988), ki je bil rojen v Aleksandriji v Egiptu. Napisal je več diplomskih del in doktoratov. Bil je učitelj matematike v Aleksandriji, ustanovil je Center za znanost in tehniko, Mednarodno komisijo za študije in napredke v matematiki ter združenje ATAM (Združenje za pomoč pri učnih težavah pri matematiki). Kasneje se je združenje preimenovalo v Združenje učiteljev matematike.

Med letoma 1944 in 1988 je objavil skoraj 120 knjig in 500 člankov v znanstvenih in ostalih revijah. Ustvaril je pedagoške pripomočke za poučevanje branja (Besede v barvah), tujih jezikov (Tiha pot) in matematike (Številke v barvah). Zato da bi pri učencih razvil matematično razmišljanje skozi raziskovanje matematičnih problemov, pa je izumil geoploščo (wikipedia.org).

3.1 OPREDELITEV GEOPLOŠČE

Geoplošča je matematični didaktični pripomoček. Sestavljena je iz določenega števila čepkov, pritrjenih v podlago, ki je lahko lesena ali plastična. Čepki so lahko pritrjeni v obliki kvadrata (čepki 3 × 3, 4 × 4 ali 5 × 5), tako da je na eni geoplošči število čepkov 9, 16 ali 25, ali v obliki kroga. Čepkov je lahko tudi več.

27

SLIKA 3: Geoplošča (9 čepkov) SLIKA 4: Geoplošča (25 čepkov)

(vir: www.wikipedia.org) (vir: www.mcruffy.com)

Slika 5: Geoplošča s čepki v obliki kroga (vir: www.krisbell.com)

Za oblikovanje geometrijskih oblik in matematičnih problemov na geoplošči se uporabljajo gumijaste elastike, ki se jih napenja okoli čepkov geoplošče. Dvodimenzionalno geometrijsko obliko iz plošče je mogoče prerisati na papir s pikicami, ki označujejo čepke na geoplošči (wikipedia.org).

28 3.2 IZDELAVA GEOPLOŠČE

Za izdelavo geoplošče sem uporabila naslednje pripomočke in orodja:

 leseno ploščo (vezano furnirno ploščo) dimenzije 20 × 20 cm,

 brusni papir,

 žeblje,

 svinčnik,

 ravnilo,

 kladivo,

 akrilne barve in čopiče.

SLIKA 6: Orodja in pripomočki, ki sem jih uporabila za izdelavo geoplošče

Ploščo debeline 1 cm sem najprej odžagala na mere 20 × 20 cm. Odžagane robove sem površinsko obdelala z brusilnim papirjem.

Na pripravljeno ploščo sem na sredino narisala kvadrat dimenzije 16 × 16 cm.

29

SLIKA 7: Postopek izdelave geoplošče

S pestrimi akrilnimi barvami sem pobarvala celotno površino plošče (kvadrat z eno in ostalo z drugo barvo).

SLIKA 8: Postopek izdelave geoplošče

30

Ko se je barva posušila, sem znotraj kvadrata narisala 16 manjših kvadratov dimenzije 4 × 4 cm.

SLIKA 9: Postopek izdelave geoplošče

Kjer se črte sekajo, sem s kladivom pritrdila žeblje. Za eno geoploščo sem torej potrebovala 25 žebljev.

SLIKA 10: Postopek izdelave geoplošče

31

SLIKA 11: Geoplošča – končni izdelek

3.3 UPORABA GEOPLOŠČE

Manfreda Kolar in Hodnik Čadež (2010) izpostavita dva načina, kako lahko učitelji uporabljajo nov didaktični material oz. kako se lahko nanj odzovejo. Svoje poučevanje lahko prilagodijo glede na didaktični material ali obratno – didaktični material prilagodijo glede na svoj način poučevanja. Učitelji matematike ne sprejmejo z lahkoto novega didaktičnega materiala v svojo prakso poučevanja. Običajno ga prilagodijo ciljem, ki jih skušajo doseči – torej prilagodijo uporabo didaktičnega materiala v svoj ustaljen pristop učenja matematike.

Avtorici s tega vidika opišeta dva možna odziva na nov didaktični material. Geoplošča se torej v razredu lahko uporablja na dva načina:

1. NAČIN UPORABE GEOPLOŠČE

 Učitelj prilagodi nov didaktični material na obstoječe okoliščine:

Geoplošča je uporabljena za dosego učnih ciljev iz učnega načrta, ki so bili v preteklosti prav tako doseženi, vendar z uporabo drugih didaktičnih materialov.

Učni cilj ''učenci oblikujejo trikotnik'' je lahko dosežen z risanjem oblike, z izrezom iz papirja ali uporabo novega didaktičnega materiala – geoplošče.

32

Na ta način ne vplivamo na razvoj novega učnega cilja, vendar okrepimo obstoječega z uporabo novega didaktičnega materiala.

2. NAČIN UPORABE GEOPLOŠČE

 Učitelj se prilagodi novemu didaktičnemu materialu:

Učitelj uporabi dodatne možnosti in uporabi novi didaktični material za reševanje problemov. Učenci lahko raziskujejo, koliko različnih trikotnikov je možno tvoriti na 3 x 3 geoplošči. Predstavitev pojma mnogokotnika je torej obogatena z aktivnostjo, ki ne bi bila mogoča brez uporabe didaktičnega materiala.

Takšna prilagoditev učenja novemu didaktičnemu materialu je mogoča le v primeru, da so učitelji odprti za nove ideje in nove problemsko-orientirane pristope pri učenju matematike.

Avtorici povzameta, da je prilagoditev novemu didaktičnemu materialu smiselna pod določenimi pogoji. Učitelj mora biti odprt za uporabo novih stvari z namenom izboljšanja poučevanja in učenja matematike.

Geoploščo lahko uporabljamo tako pri rednem pouku kot tudi pri dodatnih in dopolnilnih dejavnostih. Za naloge na geoplošči potrebujemo elastične gumice različnih velikosti, ki jih napenjamo okoli žebljičkov.

PRIMERI NALOG:

I. UČITELJ PRILAGODI NOV DIDAKTIČNI MATERIAL NA OBSTOJEČE OKOLIŠČINE

1. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj:

a) največji možni trikotnik in b) najmanjši možni pravokotnik.

33

2. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj najmanjši možni kvadrat:

a) spodaj desno in b) zgoraj levo.

3. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj največji možni pravokotnik in izračunaj njegov obseg in ploščino. Razdalja med dvema žebljičkoma predstavlja 10 cm.

II. UČITELJ SE PRILAGODI NOVEMU DIDAKTIČNEMU MATERIALU

1. Geoploščo razdeli na polovico. Na eni polovici oblikuj lik, nato pa s sosedom zamenjaj geoploščo. Oblikuj drugo polovico geoplošče tako, da bo lik simetričen. Oba narišeta simetrične like.

2. Na geoplošči prikaži:

a) čim daljšo lomljeno črto (naj se ne seka), b) 5 ravnih črt, ki se ne sekajo.

34 3. Oblikuj sledeče like na geoploščo.

a) b) c)

Zapiši, koliko stranic imajo liki:

a) __________ b) ___________ c) ____________

4. Na geoplošči 5 x5 poišči čim več različnih:

a) kvadratov, b) pravokotnikov, c) trikotnikov.

3.4 GEOPLOŠČA IN UČNI NAČRT

V učnem načrtu (2011) je geoplošča omenjena enkrat, in sicer pri didaktičnih priporočilih.

Predlagana je kot didaktično sredstvo v prvem in drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju.

V treh naključno izbranih delovnih zvezkih za matematiko za 3., 4., in 5. razred sem preverila prisotnost nalog iz geoplošče.

35 3. RAZRED:

Pregledala sem delovni zvezek Tretji koraki v matematiko 3 1. del (2012). Našla nisem nobene naloge, kjer bi bila prisotna geoplošča.

4. RAZRED:

Pregledala sem delovni zvezek Svet matematičnih čudes 4, 2. del (2012). Zasledila sem eno nalogo, kjer je omenjena geoplošča. Naloga je na strani 23 pri temi obdelava podatkov in sklopu prikazi:

Izpolni preglednico.

Lik Št. oglišč Št. stranic Ime lika

A 4

B 6

C 3

Č 8

Na vsaki sliki geoplošče nariši ustrezen lik.

LIK A LIK B LIK C LIK Č

36 5. RAZRED:

Pregledala sem delovni zvezek Svet matematičnih čudes 5, 1. del (2011). Zasledila sem eno nalogo, kjer je prisotna geoplošča. Navedena je na strani 39 pri temi geometrija sklop geometrijska telesa in liki:

Na slike geoplošč nariši po 4 različne like:

a) trikotnike

b) štirikotnike

c) petkotnike

Če povzamemo: trije naključno izbrani delovni zvezki skupaj vsebujejo le 2 nalogi, pri katerih je prisotna geoplošča. Menim, da je to zelo malo in da ta podatek ni ravno spodbuden za vključitev omenjenega didaktičnega pripomočka v pouk matematike. Tukaj je pomembna vloga učitelja. Le-ta se mora potruditi in za učence sestaviti tudi takšne naloge, ki vključujejo uporabo didaktičnih pripomočkov oz. geoplošče.

37

4 DELI CELOTE

Deli celote so del našega vsakdanjega življenja. S tem pojmom se pogosto srečujemo, le da se tega ne zavedamo. Velikokrat se znajdemo v situaciji, kjer je potrebno kaj pravično razdeliti na več enakih delov (bombone, čokolado, denar, zemljišča …).

Z uvajanjem pojma deli celote pričnemo v 2. razredu. Znanje se nato iz razreda v razred nadgrajuje.

Tako kot drugod tudi pri vsebini o delih celote učenci v 1. triletju spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Ob njih učenci ponovijo in obnovijo že znane pojme in razčistijo tiste predstave, ki niso najbolj jasne. Kasneje sledi postopen prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis, kar je podrobneje razloženo v nadaljevanju. Tako kot pri ostalih vsebinah iz učnega načrta lahko učitelj tudi pri tej oblikuje zanimive matematične probleme. Eden od načinov problemskega pristopa k obravnavanju delov celote je tudi geoplošča.

4.1 KOMPONENTE PRISTOPA ZA POUČEVANJE DELOV CELOTE

Payne (1993) meni, da znanje o delih celote sestoji iz naslednjih komponent, ki jih mora učenec usvojiti in med seboj povezati:

 KONKRETNI MATERIAL

Učenci se pogosto srečujejo z deli celote. Pride do situacij, ko si morajo nekaj (lahko je to čokolada, pica, torta idr.) pravično razdeliti s sestro, bratom, prijateljem … Znanje o delih celote mora izhajati iz praktičnih izkušenj učenca. Temeljiti mora na konkretnih predmetih, s katerimi se srečuje v vsakdanjem življenju. S pomočjo konkretnega materiala učenec oblikuje prave predstave, saj take predmete lahko prime in si jih ogleduje.

38

 MATEMATIČNI POJMI IN TERMINOLOGIJA

Delo s konkretnim materialom nadgradimo s spoznavanjem matematičnih pojmov in terminologije s tega področja:

 CELOTA

Da si učenci pojem celota lažje predstavljajo, ga vpeljemo s konkretnim materialom (npr. s čokolado). Cela čokolada predstavlja celoto. Če čokolado odlomimo, jo razdelimo na različne dele celote. Preko razlage in pogovora učenci spoznajo, da je lahko celota nekaj velikega ali majhnega. Spodaj imamo majhno in veliko čokolado. Vsaka zase predstavlja celoto.

 PRAVIČNA DELITEV IN POIMENOVANJE DELA CELOTE

Pojem polovica je v vsakdanji uporabi večkrat napačno uporabljen (npr. Ti si že včeraj dobil čokolado, tako da dobiš danes manjšo polovico, Blaž pa dobi večjo.). Učenci morajo spoznati, da je delitev pravična le takrat, ko celoto razdelimo na dva oz. na več enakih delov.

SLIKA 12: Primer različno velikih celot

SLIKA 13: Nepravična in pravična delitev na dva enaka dela

39

Priporočena je ponazoritev delov celot s pomočjo trakov, ki pomagajo pri primerjanju in poimenovanju delov celote. Učencem razložimo, da imena izvirajo iz števila, ki celoto deli (npr. če je celota razdeljena na tri enake dele, se del celote imenuje tretjina). Pri tem moramo učence opozoriti na pojma polovica in četrtina, ki nista direktno izpeljana iz imena.

 KONKRETNI MODELI

Realne predmete postopoma zamenjamo s konkretnimi modeli, ki so njihova reprezentacija (npr. geoplošča; karton, razdeljen na enake dele idr.). Z njimi si lahko učenci lažje predstavljajo jabolko, pico, čokolado, … Učenci z njihovo pomočjo lažje razumejo in oblikujejo predstave o deljenju celote na enake dele.

 DIAGRAMI

Naslednja komponenta uvajanja delov celote so diagrami, ki so abstraktnejši od konkretnih modelov. Učenci morajo najprej usvojiti branje in risanje le-teh, zato na začetku potrebujejo veliko pomoči. Pri njihovem spoznavanju je nujno potrebno povezovanje tako s konkretnim materialom kot tudi s konkretnimi modeli.

SLIKA 14: Geoplošča – konkretni model

40

Na začetni stopnji ponudimo učencu diagrame, ki so razdeljeni na enake dele celote. Zahtevnost kasneje stopnjujemo tako, da ponudimo celoto, razdeljeno na različne dele. Učenec mora ugotoviti, kolikšen del celote predstavlja posamezni del.

 SIMBOLI

Ko so vse ostale komponente že zelo dobro usvojene, vpeljemo zadnjo – simbolno raven uvajanja delov celote. Učenci morajo tako do te faze že znati poimenovati dele celote, z njimi šteti in jih primerjati. Z zapisom s simbolom se deli celote preimenujejo v ulomek.

Kolikšen del celote je pobarvan?

4.2 DELI CELOTE IN UČNI NAČRT

V učnem načrtu (2011) zasledimo dele celote v sklopu racionalnih števil pri temi aritmetika in algebra. Učenci se z vsebino o delih celote srečajo v drugem razredu. Za ta razred je naveden

Leja Nadja Janja Tanja

Aljaž Marko Tine Žiga

SLIKA 15: Celota je razdeljena na enake dele

SLIKA 16: Celota je razdeljena na različne dele

polovica

41

cilj, da učenci prepoznajo, opišejo in poimenujejo polovico, tretjino in četrtino na konkretnih primerih (torta, čokolada idr.).

V nadaljevanju so našteti cilji, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v posameznih razredih. Učni načrt deli cilje na obvezne in izbirne. Obvezni cilji so namenjeni vsem učencem, saj njihovo doseganje predstavlja splošno izobrazbo ob zaključku osnovnošolskega izobraževanja. Izbirne cilje izbira učitelj glede na zmožnosti in interese učencev. Namenjeni so poglabljanju in dodajanju znanja. V zapisu ti dve vrsti ciljev ločimo tako, da so obvezni cilji zapisani pokončno, izbirni pa ležeče.

1. Učni načrt matematike predpisuje naslednje cilje, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v 3. razredu:

 prepoznajo celoto in dele celote na modelu in sliki,

 delijo celoto na enake dele (na modelu in sliki),

 poimenujejo del celote (iz konkretnih primerov) in ga zapišejo v obliki ulomka (npr.

četrtina, ; polovica, ).

V didaktičnih priporočilih je zapisano, naj dele celote obravnavamo samo na konkretni in slikovni ravni.

2. Za 4. razred predpisuje učni načrt matematike naslednje cilje, ki naj bi jih dosegli učenci pri vsebini o delih celote:

 na modelu in sliki delijo celoto na enake dele (polovica, tretjina ipd.),

 zapišejo dele celote z ulomkom (npr. , , ipd.),

 na modelu in sliki določijo celoto, če je dan del celote,

 izračunajo vrednost enega dela celote, če je znana celota (npr. od 18 = __ ),

 določijo vrednost celote, če je znan njen del (npr. od __ = 5),

 na modelih in na sliki prepoznajo ekvivalentne zapise delov celote (npr. = );

42

V didaktičnih priporočilih je zapisano, da imajo sprva »ulomki« samo imenovalec ena (1), od tod pa se napreduje do desetiških ulomkov.

3. Učni načrt matematike predpisuje naslednje cilje, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v 5. razredu:

 določijo, kolikšen del celote prikazuje dana slika ali model,

 grafično ali z modelom ponazorijo dele celote,

 izračunajo del od celote (npr. od 15 = ___),

 uporabijo strategijo računanja z deli celote pri reševanju besedilnih nalog,

 na modelu in na sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote, in jih zapišejo v matematični obliki (npr. ena torta in pol: 1 ; dve jabolki in četrt 2 ),

 s pomočjo modelov in slike seštevajo in odštevajo dele celote.

V didaktičnih priporočilih je zapisano, da je »računanje« z deli celote v 5. razredu le na konkretni in slikovni ravni. V tem razredu je predlagano seštevanje in odštevanje enakih delov celote, pri čemer moramo biti pozorni na ekvivalentne zapise delov celote (npr. od torte smo pojedli ostale so nam oziroma torte).

4.3 PRIMERJAVA CILJEV OD 3. DO 5.

V spodnji tabeli je prikazano, kateri cilji se v učnem načrtu pri vsebini deli celote iz razreda v razred ponavljajo in kako se nadgrajujejo. Predstavljeni so vsi cilji – tako obvezni kot tudi izbirni (le-te prepoznamo po tem, da imajo poleg številke zraven še zvezdico).

V tabeli so cilji oštevilčeni. Posamezne števke predstavljajo naslednje cilje:

Učenci:

1 => prepoznajo celoto in dele celote;

2 => delijo celoto na enake dele;

3 => poimenujejo del celote in ga zapišejo v obliki ulomka;

43 4 => določijo celoto, če je dan del celote;

5 => izračunajo vrednost dela celote, če je znana celota;

6 => določijo vrednost celote, če je znan njen del;

*7 => na modelih in na sliki prepoznajo ekvivalentne zapise delov celote;

8 => uporabijo strategijo računanja z deli celote pri reševanju besedilnih nalog;

*9 => na modelih in na sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote in jih zapišejo v matematični obliki;

*10 => s pomočjo modelov in slike seštevajo in odštevajo dele celote.

CILJ RAZRED

1 2 3 4 5 6 7

*

8 9

*

10

*

3. R X X X

4. R X X X X X X

5. R X X X X X X

TABELA 2: Primerjava ciljev iz učnega načrta od 3. do 5. razreda pri vsebini deli celote

ANALIZA TABELE

Cilja, ki se pojavljata v vseh treh razredih, sta navedena pod št. 2 in 3. Učenci morajo od 3. do 5. razreda torej znati deliti celoto na enake dele ter poimenovati del celote in ga zapisati z ulomkom. Seveda se težavnost nalog za doseganje teh dveh ciljev iz razreda v razred stopnjuje. V 3. razredu so naloge podkrepljene s konkretnimi primeri, učenci zapisujejo enostavne ulomke, ki predstavljajo le en del celote ( , …). V 4. razredu iz konkretnih primerov preidemo na modele in slike, tudi zapisovanje ulomkov postane zahtevnejše, saj le-ti ne predstavljajo več samo le enega dela celote ( , , …). V 5. razredu ponazorijo dele celote z modelom ali grafično, ulomki se lahko iz prejšnjega razreda nadgradijo z izbirnim

44

ciljem, ki je zapisan pod št. 9 (na modelu in sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote, in jih zapišejo v matematični obliki; npr. 2 ).

Iz tabele je razvidno, da se cilj št. 5 pojavi tako v 4. kot tudi v 5. razredu. V obeh razredih morajo znati učenci izračunati vrednost dela celote, če je znana celota. V četrtem razredu računajo vrednost le enega dela celote (npr. od 20 = ___), v petem pa tudi vrednost več delov celote (npr. od 24 = ___).

Ostalih 7 ciljev se pojavi le v določenem razredu. Cilj št. 1 le v tretjem, cilja št. 4 in 5 ter izbirni cilj št. 7 le v četrtem in cilj št. 8 in izbirna cilja št. 9 in 10 le v petem razredu.

Sicer se predvideva, da vse, kar učenec osvoji v 3. razredu, nadgrajuje. Gre le za zapise ciljev.

4.4 PRIMERI NALOG

Spodaj so prikazani primeri in analize nalog iz vsebine deli celote za 3., 4. in 5. razred, ki sem jih za 3. in 5. razred oblikovala sama. Primere nalog za 4. razred sem deloma povzela iz učbenika in delovnega zvezka (Svet matematičnih čudes 4, 2012).

3. RAZRED

1. Poveži like z napisanim delom celote, ki ga prikazujejo.

TRETJINA

ČETRTINA ŠESTINA

45

2. Sestre Nina, Nastja in Nataša bodo skupaj pojedle čokolado. Pravično si jo bodo razdelile.

Z rdečo barvo pobarvaj, kolikšen del čokolade bo dobila Nina, z oranžno bravo Nastjin delež in z modro barvo delež čokolade, ki pripada Nataši. Napiši odgovor.

O: _________________________________________________________________________

3. Dopolni.

ANALIZA NALOG

Pri prvi nalogi je potrebno prepoznati del celote na sliki in ga povezati z ustreznim izrazom.

Druga naloga od učenca zahteva, da deli celoto na tri enake dele. Pri tretji nalogi mora učenec poimenovati del celote oziroma ga zapisati v obliki ulomka. Pri vseh treh nalogah si še vedno pomaga s konkretnimi in slikovnimi prikazi. Nivo zahtevnosti se od prve do tretje naloge stopnjuje. Pri prvi nalogi mora učenec del celote le prepoznati, pri drugi mora celoto deliti,

osmina

46

kar je miselno zahtevnejše od prve naloge. Najzahtevnejša je zadnja naloga, kjer mora učenec samostojno poimenovati del celote ali ga zapisati z ulomkom.

4. RAZRED

Primeri nalog (1., 2., 3. in 5.) so iz učbenika in delovnega zvezka (Svet matematičnih čudes 4, 2012):

1. Pobarvaj dele celote.

47 2. V okence vpiši, kolikšen delež celote je pobarvan.

3. Narisana je 1/3 vseh znamk v Majinem albumu. Koliko znamk je v Majinem albumu?

Doriši znamke v album.

O: _________________________________________________________________________

4. Izračunaj vrednost dela celote.

od 32 = od 64 = od 54 =

48

5. Poveži. Bodi pozoren/-a, ali lahko kateri slikovni prikaz dela celote povežeš z več kot enim simbolnim zapisom.

ANALIZA NALOG

Prvi dve nalogi sta podobni nalogam, ki so prikazane za tretji razred. Zahtevnejše so v tem pogledu, da se v števcu ulomka ne pojavlja le število ena. Na modelu delijo celoto na enake dele in zapišejo dele celote z ulomkom. Pri tretji nalogi je na sliki dan del celote, učenci pa morajo določiti celoto. Ta naloga še vedno temelji na konkretnih predstavah, saj si učenci pomagajo tako, da dorišejo znamke. Naslednja naloga je zahtevnejša, saj ni podkrepljena z realnimi predmeti iz vsakdanjega življenja. Pri 4. nalogi gre torej zgolj za izračun. Podano imamo celoto in del celote, katere vrednost je potrebno izračunati (učenec izhaja iz računske operacije deljenja). Pri zadnji nalogi učenci povezujejo slikovni prikaz s simbolnim zapisom delov celote. Naloga je zahtevnejša, problemskost se kaže v tem, da se lahko nekatere slikovne prikaze poveže z več kot enim simbolnim zapisom. Učenci pri tej nalogi prepoznavajo ekvivalentne zapise delov celote. Tudi pri teh primerih nalog se torej težavnost iz naloge v nalogo stopnjuje.

49 5. RAZRED

1. Zapiši, kolikšen del celote je pobarvan.

________________ ________________ ________________

2. Pobarvaj kroge tako, da bo tretjina zelenih, četrtina rdečih in šestina modrih.

Zelenih krogov je ________.

Rdečih krogov je _________.

Modrih krogov je _________.

Nepobarvanih krogov je ________.

3. Izračunaj:

od 36 = _____ od 12 = ______ od 21 = ______

od 32 = ______ od 39 = ______ od 45 = ______

50

4. Anja je stara 8 let. To je dedkove starosti. Koliko je star njen dedek?

O: ___________________________________________________________________

5. V matematični obliki zapiši, kolikšen del celote je pobarvan.

_________________ _________________ _________________

6. Seštej rdeči in modri del celote.

+ =

51 ANALIZA NALOG

Pri prvih dveh nalogah gre za ponovitev znanja, ki so ga učenci usvojili že v prejšnjih razredih. Tudi tretja naloga je na prvi pogled podobnega tipa kot 4. naloga za 4. razred.

Razlikuje se v tem, da se v števcu ulomka, ki je podan, ne pojavlja več le število 1. Naloga je zahtevnejša, saj mora učenec tu združiti dve računski operaciji. Najprej mora uporabiti računsko operacijo deljenja in nato še množenja ( npr. od 36 = ___ bo izračunal tako, da bo najprej 36 delil s 4; količnik bo zmnožil s 3 in tako dobil želeni rezultat). Pri četrti nalogi imamo besedilno nalogo, pri kateri je potrebno uporabiti strategijo računanja z deli celote.

Problemskost naloge se kaže v tem, da mora učenec iz besedila izpisati pomembne podatke, nato pravilno oblikovati in izračunati račun. Zadnji dve nalogi sta zahtevnejši in na tej razvojni stopnji učencu predstavljata problem, saj se s podobnimi nalogami srečajo šele v 6.

razredu (lahko ju uporabimo kot dodatni nalogi). Pri 5. nalogi se kaže problemskost v tem, da mora učenec na sliki prepoznati dele celote, ki so večji od celote, in jih zapisati v matematični obliki (npr. 1 ). Pri zadnji nalogi s pomočjo slike seštevajo dele celote.

52

5 EMPIRIČNI DEL

5.1 OPREDELITEV PROBLEMA

Ljudje se na vsakem koraku srečujemo s problemi različnih vrst. Nekateri imajo probleme pri učenju, drugi s sošolci, starši, sodelavci … Skratka, imamo jih prav vsi. Šola pa je institucija, ki naj bi učence s posredovanim znanjem in vzgojnimi elementi pripravila na življenje. In ker so problemi del življenja, je torej naloga šole, da učence pripravi tudi na reševanje le-teh.

Tudi deli celote nam pogosto predstavljajo problem, le da se tega ne zavedamo. Velikokrat se znajdemo v situaciji, kjer je potrebno kaj pravično razdeliti na več enakih delov (npr.

bombone, čokolado, denar, zemljišča …). Z uvajanjem pojma deli celote sicer pričnemo v 2.

razredu. V prvem triletju učenci spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Kasneje sledi prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis. Eden izmed načinov problemskega pristopa k obravnavanju vsebine deli celote je geoplošča.

Učencem smo zastavili problemsko situacijo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike – deli celote. Zanimalo nas je, v čem se razlikujejo rešitve istega matematičnega problema na geoplošči pri učencih 3., 4. in 5. razreda.

5.1.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA

Zastavili smo si naslednja raziskovalna vprašanja:

 Koliko različnih pravilnih rešitev pri reševanju matematičnega problema na geoplošči bodo dobili učenci v 3., 4. in 5. razredu?

 Kako široko razumejo pojem polovice učenci v 3., 4. in 5. razredu?

 Ali spol vpliva na uspešnost reševanja problema?

 Ali so učenci uspešnejši pri prepoznavanju ali pri oblikovanju rešitev problema?