INDIJSKA MATEMATIKA

Univerza v Ljubljani Pedagoˇska fakulteta

Oddelek za matematiko in raˇcunalniˇstvo Katedra za algebro in analizo

Marko Razpet

INDIJSKA MATEMATIKA

Studijsko gradivoˇ Zgodovina matematike

Ljubljana, marec 2015

Vsebina

Predgovor 3

1 Sanskrt in devanagari 7

2 Sanskrtska abeceda 12

3 ˇStevke in glavni ˇstevniki 13

4 Zaˇcetki indijske matematike 14

5 Doktrine 16

6 Indijski Elementi 18

7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu 22

8 Ne gre brez skrivnosti 27

9 Obiˇcajno raˇcunanje 30

10 Teˇzave s ˇstirikotniki 31

11 Neporoˇcena hˇci je dala delu ime 38

12 Jugozahod Indije se prebuja 40

Za konec 42

Literatura in spletni viri 44

Predgovor

Ko omenjamo indijsko matematiko, se po navadi najprej spomnimo na ˇstevilke.

Obiˇcajno uporabljamo arabske ˇstevilke, redko rimske. Slednje imajo pravilno ime, saj so se pred dva tisoˇc leti razˇsirile hkrati s ˇsirjenjem rimske drˇzave.

Pri arabskih ˇstevilkah, ki so se uveljavile veliko kasneje, pa pripomnimo, da pravzaprav niso arabske in da so nastale v Indiji. Pravijo, da so jih arabski trgovci spoznali v Indiji, odkrili njihovo praktiˇcnost v zapisu in raˇcunanju z njimi ter jih postopoma s ˇsirjenjem islama posredovali vse do Maroka in Pirenejskega polotoka. Zato bi upraviˇceno morali govoriti o indijskih ali pa vsaj o indijsko-arabskih ali arabsko-indijskih ˇstevilkah.

Oblike desetih znakov, to je ˇstevk ali cifer, s katerimi zapisujemo ˇstevilke, so se s ˇcasom spreminjale. Ponekod ˇse dandanes uporabljajo drugaˇcne zapise ˇstevk kot mi. Nekaj primerov je zbranih v spodnji tabeli.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 obiˇcajno

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^arabsko 0 1 2 3 R S T 7 8 9 ^urdu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sanskrt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kakorkoli ˇze je, sama oblika ˇstevk niti ni tako pomembna kot dejstvo, da lahko vsako naravno ˇstevilo zapiˇsemo zgolj z desetimi ˇstevkami, kar so ugotovili v Indiji, kjer so vpeljali tudi mestni zapis ˇstevil. Prav tako je pomembno, da so v Indiji vpeljali niˇclo, v sanskrtu ´s¯unya, kar izgovarjamo ˇsunja, v pisavi devanagari, s katero piˇsemo sanskrt, pa fy. Pomeni pa prazen. Naˇs znak za niˇclo je 0, sanskrtski 0, arabski pa

0

^{. Dolgo ˇcasa je}

trajalo, da so matematiki spoznali, da je niˇc sploh ˇstevilo. Razlogi, da niˇc

ne more biti ˇstevilo, so bili filozofske in religiozne narave. Sklepali so nekako takole: ˇcim zapiˇsemo neki znak za niˇc, to nekaj je, torej ni niˇc. Ravno v Indiji se je najbolj utrdilo mnenje, da je treba uvesti znak za niˇc. Prav tako so indijski matematiki prvi uvideli, da niˇc je ˇstevilo. Vpeljali so tudi negativna ˇstevila.

Slika 1: Indijska podcelina.

Ne smemo pa trditi, da so samo v Indiji poznali mestni zapis ˇstevil. Ba- bilonci so ga tudi uporabljali. Namesto 10 ˇstevk kot Indijci so jih uporabljali kar 59: za vsako ˇstevilo od 1 do 59 po enega, in to v klinopisni pisavi. Vsaka babilonska ˇstevka je bila logiˇcno zapisana z manjˇsimi znaki za ena in deset.

Namesto niˇcle pa so uporabljali prazen prostor, kar je lahko prinaˇsalo ne- sporazume ali celo zlorabe. ˇZe v ˇcasu zatona babilonske civilizacije so uvedli znak za niˇc, tako da so ˇstevila lahko zapisovali s ˇsestdesetimi znaki. Ba- bilonski znak za niˇc ni bil niti malo podoben indijskemu oziroma arabskemu.

Sestavljale so ga tri vzporedne poˇsevne ˇcrtice, zgoraj krepkeje zakljuˇcene.

Predvsem pa je igral vlogo zapolnjevalca prostora in ga niso imeli za ˇstevilo.

Pomembno pa je, da so Babilonci poznali ˇsestdesetiˇske ulomke, podobno kot mi desetiˇske, da lahko piˇsemo decimalna ˇstevila.

Stari Grki so ˇstevila zapisovali s ˇcrkami svojega alfabeta. Aleksandrijski uˇcenjak Klavdij Ptolemaj (90–168), Κλαύδιος Πτολεμαῖος, je v svojem zna- menitem Almagestu uporablja babilonski sistem, samo namesto klinopisnih ˇstevk, ki oznaˇcujejo ˇstevila od 1 do 59, je uporabljal ustrezni grˇski ˇcrkovni zapis ˇstevil: α, β, γ, . . . ,νζ, νη, νθ. Navadno tem znakom dodajamo zgoraj ˇse ˇ

crtico, da se razloˇcujejo od obiˇcajnih ˇcrk, na primerνθʹza 59. Ptolemaj teh ˇ

crtic v tabelah ne uporablja, ker so nepotrebne, saj se ve, da gre za ˇstevila.

Ustrezno babilonskemu simbolu za niˇc je Ptolemaj uporabljal ˇcrko omikron (O), kar je prva ˇcrka grˇske besedeοὐδέν, kar pomeni niˇc.

Ko se je indijsko-arabski mestni desetiˇski sistem ˇze krepko uveljavil, so ga sprejeli tudi bizantinski trgovci, le za ˇstevke 1,2,3,4,5,6,7,8,9 so uporab- ljali stare grˇske ˇcrkovne ˇstevilke α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ. Namesto οὐδέν, niˇc, niso uporabljali omikronaο, ki je nekoˇc oznaˇceval ˇstevilo 70, ampak poseben znak, podoben h

. ˇStevilo 2015 so zapisali v obliki β h αε.

Prej omenjena besedacifraje arabskega izvora, ki je priˇsla v Evropo sku- paj z arabskimi ˇstevilkami, med katerimi je tudi znak za niˇc, po arabsko

Q ®’Ë@

, kar izgovarjamoas-sifr. Tako je arabska beseda za niˇc postala izraz za vse ˇstevke pri Nemcih, ki so zaˇceli v tem smislu uporabljati besedo Ziffer in od njih je k nam priˇsla besedacifra. Iz iste arabske besede je nastala ˇseˇsifra, v francoˇsˇcini chiffre, v angleˇsˇcini cipher, v ruˇsˇcini xifr, kar uporabljamo v zvezi s tajnimi pisavami. Iz njih se je razvila nova znanost, kriptografija, ki se ukvarja s tem, kako zapisati informacijo, da je ne more ravno vsakdo prebrati, ampak samo tisti, kateremu je namenjena. Tako se eni trudijo, kako informacijo ˇcim bolj uˇcinkovito ˇsifrirati, drugi pa, kako jo deˇsifrirati. Beseda kriptografija je sestavljena iz dveh grˇskih elementov: κρυπτός pomeni skrit, tajen, skriven,γράφωpa med drugimpiˇsem, zapiˇsem. Nemci so razvili slavni ˇsifrirni stroj Enigma. Ime izhaja iz grˇske besedeαἴνιγμα, kar pomeni uganka, zagonetka. Kljub zagonetnosti Enigme je le-ta med drugo svetovno vojno padla zahvaljujoˇc poljskim in angleˇskim matematikom ter napaki nekega nemˇskega operaterja. Morda se je vojna v Evropi tudi zato prej konˇcala.

Iznajdba desetiˇskega sistema in mestnega zapisa na tleh Indije se nam ne zdi niˇc ˇcudnega. Enostavno reˇceno, potreba po zapisu velikanskih ˇstevil, ki se pojavljajo v indijskih svetih spisih, Vedah, kar pomeni znanje, veda, je narekovala uvedbo mestnega zapisa. V starodavnih Vedah se omenja na primer ˇcasovni cikel satja juga, v sanskrtus(y yg, ki traja 1 728 000 let. V ˇsoli smo se uˇcili o indijskih epih Mahabharata, ki jo sestavlja okoli 100 000 dvojnih verzov, tako da sta Iliada in Odisejapravi pritlikavki v primerjavi z njo, in Ramajana, ki je pribliˇzno ˇstirikrat manj obseˇzna. Teˇzko bi zapisali taka ˇstevila brez desetiˇskega sistema.

Osnova deset se je uveljavila v ˇstevilskem sistemu zaradi desetih prstov, ki jih imamo ljudje na obeh rokah. V Mezopotamiji so za osnovo vzeli ˇstevilo ˇsestdeset, verjetno zato, ker ima veliko veˇc deliteljev kot deset. Sicer pa vemo, da je osnova ˇstevilskega sistema lahko katerokoli naravno ˇstevilob >1. Vsako realno ˇstevilo x lahko zapiˇsemo v obliki

x=±anbⁿ+. . .+a1b+a0+a−1b⁻¹+a−2b⁻²+. . . ,

pri ˇcemer jen naravno ˇstevilo, a_k naravna ˇstevila, ˇstevke, med vkljuˇcno 0 in vkljuˇcno b−1 in a_n>0. Vseh ˇstevk je toˇcno b.

Na indijski podcelini od nekdaj ˇzivi veliko ˇstevilo ljudstev, ki govorijo razliˇcne jezike in uporabljajo razliˇcne pisave. Tako kot v Mezopotamiji in Egiptu se je tudi tu, ob velikih rekah, na primer Indu, Gangesu in Brahma- putri, civilizacija ˇze zelo zgodaj lepo razvijala, kar kaˇzejo okoli ˇstiri tisoˇc let stari ostanki mest Mohendˇzo-daro inHarappa v sedanjem Pakistanu ter DelhiinPataliputrav danaˇsnji Indiji. Med izkopaninami ni sicer predmetov, ki bi neposredno dokazovali prisotnost matematike v tistih davnih ˇcasih, toda posredno lahko sklepamo, da so dobro obvladali geometrijo, ˇstevila, tehtanje in merjenje, sicer ne bi mogli narediti tako popolnih objektov: stavb, ulic, kanalizacije in namakalnih sistemov. Nekaj matematike se je ohranilo v ved- skih besedilih. Od nekdaj so v Indiji gradili sakralne objekte, pri ˇcemer je bilo treba dobro poznati geometrijo in raˇcunstvo. Prav tako kot druga kulturna stara ljudstva pa so postavili tudi astronomijo na zavidljivo raven.

Ljubljana, marca 2015 Dr. Marko Razpet

1 Sanskrt in devanagari

Sanskrt je starodavni jezik indijske podceline. Uvrˇsˇcajo ga med klasiˇcne jezike, podobno kot latinˇsˇcino in grˇsˇcino. Govori ga zelo malo ljudi glede na veˇc kot milijardo ljudi, ki ˇzive v tistem delu sveta, je pa neobhodno potreben za razumevanje, na primer Ved, epov Ramajana in Mahabharata ter zgodnjih matematiˇcnih spisov. Dandanes se sanskrt najveˇc uporablja v hindijskih verskih obredih, ceremonijah, himnah in mantrah. Za zapis sanskrtskih besedil so nekoˇc uporabljali razliˇcne pisave, od katerih se je ˇse najbolj ustalil devanagari, tudi samo nagari, ki ga nekateri ˇzivi jeziki na indijski podcelini uporabljajo ˇse danes, na primerhindijski jezik. Devanagari pozna samo eno vrsto ˇcrk, medtem ko moderni evropski jeziki poznajo velike in male ˇcrke. Bere se ga z leve proti desni in od zgoraj navzdol. Sanskrt pa ima ednino, dvojino in mnoˇzino.

Seveda so na razliˇcne naˇcine poskuˇsali devanagari preˇcrkovati v latinico.

Obstaja veˇc sistemov, na primer IAST – International Alphabet of San- skrit Transliteration, kar pomeni mednarodna abeceda za preˇcrkovanje san- skrta. Pisanje sanskrtskih in hindijskih besed v slovenˇsˇcini narekuje sloven- ski pravopis (SP). Njegova slabost je v tem, da nekatere ˇcrke, ki oznaˇcujejo podobne, toda razliˇcne glasove, meˇce v en koˇs. Zato bomo v zapisih pogosto uporabljali standard IAST. Za ponazoritev si oglejmo nekaj znanih besed iz sanskrta. Po vrsti si sledijo slovenˇsˇcina, IAST (namerno piˇsemo z malimi ˇ

crkami, ker velike lahko pomenijo nekaj drugega) in devanagari:

Veda – veda – vd

Sanskrt – sam. skr.tam –s\-k tm^

Ramajana – r¯am¯aya.na – rAmAyZ

Mahabharata – mah¯abh¯arata – mhABArt Ganges – Ganga – gam. g¯a – g\gA

Brahmaputra – brahmaputra –b}hmp/

Ind – sindhu – EsD

L^ATEX je raˇcunalniˇski sistem za stavljenje besedil, zlasti matematiˇcnih. Vˇcasih ˇ

zelimo zapisati kakˇsno grˇsko, arabsko ali rusko besedo. Zadnje ˇcase s tem ni

teˇzav, ker L^ATEX in druge sorodnike TEX-a podpirajo paketi, ki to omogoˇcajo.

Obiˇcajno so ti paketi opremljeni tudi s priroˇcniki za uporabo.

Za pisanje v devanagariju zadoˇsˇca polna verzija MikTeX-a, ki vsebuje vse potrebne fonte in paketdevanagari.sty. Besede v devanagariju pripra- vimo v datoteki s konˇcnico dn, na primer vaja.dn, nakar jo predprocesi- ramo s programom devnag.exe, ki ga poiˇsˇcemo na medmreˇzju in names- timo na svoj raˇcunalnik. Kot rezultat dobimo datoteko s konˇcnico tex, v naˇsem primeru vaja.tex. V njej so zapisane besede tako, da jih razumejo ukazi v paketudevanagari.sty, ki ga v glavni datoteki pokliˇcemo z ukazom

\usepackage{devanagari}.

V datoteki vaja.dn moramo preˇcrkovati sanskrtske besede po sistemu Velthuis, ki je podoben sistemu IAST. Frans Velthuis je avtor svojega preˇcr- kovanja, ki je opisano v priroˇcniku [9]. Na levi strani spodaj je primer vsebine datotekevaja.dn, na desni pavaja.tex, iz katere besede prenesemo v glavno datoteko. Ta mora na zaˇcetku, pred klicem paketa devanagari.sty, imeti zapisan ukaz \def\DevnagVersion{2.15}.

vaja.dn

\def\DevnagVersion{2.15}

{\dn devanaagarii}

{\dn sa.msk.rtam}

vaja.tex

\def\DevnagVersion{2.15}

{\dn d\?vnAgrF}

{\dn s\2-\9{k}t\qq{m}}

Druga dva ukaza v vaja.texnam oblikujeta besedi vnAgrFd ins\-k tm^.

V nadaljevanju bomo na primerih sanskrtskih ˇcrk videli, kaj je treba napisati v datoteko s konˇcnico dn, da dobimo pravilen izpis. Obstajajo ˇse nekatere podrobnosti, ki jih poznajo sanskrt in drugi indijski jeziki. Opisane so v [9]. ˇSe najmanj zapleten je izpis sanskrtskih ˇstevil. Primer. Ukaza {\dn\dnnum{2015}} in {\dnbombay\dnnum{2015}} nam izpiˇseta 2015, ozi- roma 2015, to je obakrat 2015.

Devanagari pozna veliko ligatur, spojenih ˇcrk, zlasti soglasnikov. Imamo jih tudi v latinˇsˇcini: æ, œ, Æ, Œ. ˇCe napiˇsemo{\dn ga"ngaa}, dobimoggA,

z {\dn ga"n{}gaa} pa gR^ gA, druga pisava za Ganges. V devanagariju so ligature zelo pogoste. Separatorja {} in + prideta sem ter tja v L^ATEX-u v poˇstev, ko je treba loˇciti dve ˇcrki. Na primer med samoglasnikoma, ki bi sicer oznaˇcevala dvoglasnik: {\dn pra{}uga} daprug, {\dn prauga} paprOg.

Samoglasniki

Samoglasniki v sanskrtu so kratki in dolgi, kar oznaˇcujejo razliˇcne ˇcrke.

Kjerkoli se v nadaljevanju omenja ukaz za L^ATEX, pomeni, da ga je treba vpisati v datoteko dn, ki jo obdela predprocesor devnag.exe. Vˇcasih je za dolge samoglasnike ugodneje uporabiti velike ˇcrke. Primer{\dn kaii} nam da k{i, {\dn kaI} oziroma {\dn ka{}ii}pa kI.

Enostavni samoglasniki

Sansk. a aA i I u U 

IAST a ¯a i ¯ı u ¯u r. ¯r. l.

L^ATEX a aa i ii u uu .r .R .l

SP a a i i u u r r l

Dvoglasniki

Sansk. e e ao aO

IAST e ai o au

L^ATEX e ai o au

SP e aj o av

Samoglasniˇski modifikaciji Sansk. a\ a,

IAST am. ah.

L^ATEX a.m a.h SP

Soglasniki

Soglasnike v sanskrtu delimo glede na tehniko njihove izgovorjave na ve- lare, palatale, retroflekse, dentale, labiale, polvokale in sibilante. Tem se pridruˇzuje ˇse aspirant. Predstavljamo jih v loˇcenih tabelah.

Velari

Sansk. k K g G R

IAST ka kha ga gha ˙na L^ATEX ka kha ga gha "na

SP ka kha ga gha na

Palatali

Sansk. c C я J

IAST ca cha ja jha na˜ L^ATEX ca cha ja jha ~na SP ˇca ˇca dˇza dˇzha nja Retrofleksi

Sansk. V W X Y Z

IAST t.a t.ha d.a d.ha n.a L^ATEX .ta .tha .da .dha .na

SP ta tha da dha na

Dentali

Sansk. t T d D n

IAST ta tha da dha na L^ATEX ta tha da dha na

SP ta tha da dha na

Labiali

Sansk. p P b B m

IAST pa pha ba bha ma L^ATEX pa pha ba bha ma

SP pa pha ba bha ma

Polvokali

Sansk. y r l v

IAST ya ra la va

L^ATEX ya ra la va

SP ja ra la va

Sibilanti

Sansk. f q s

IAST ´sa s.a sa L^ATEX "sa .sa sa

SP ˇsa ˇsa sa

Aspirant Sansk. h

IAST ha

L^ATEX ha

SP ha

Retrofleks – Vede Sansk.

IAST L^ATEX La

SP la

Sanskrtske ˇcrke lahko razvrstimo v tem vrstnem redu ˇse v abecedo, ki pa pravzaprav ni ustrezna beseda, ker se ne zaˇcne s ˇcrkami a, b, c, d kot latin-

ska. Tudi beseda alfabet ni ustrezna, ˇse najbolje bi bilo reˇci varnamala – varn.am¯al¯a – vZmAlA.

Nekateri dodajajo med samoglasnike tudi ˇcrko, v IAST ¯l., ki jo v L^ATEX- u doseˇzemo z .L. Ustreza daljˇsi varianti predhodne ˇcrke .

Devanagari pozna ˇse nekaj loˇcil in bralnih znamenj. Znak ।, danda, oznaˇcuje zarezo v stavku, navadno na koncu polkitice, znak ॥, dvojna danda, pa veliko zarezo oziroma konec kitice. V L^ATEX-u ju doseˇzemo z|oziroma||.

Izpust zaˇcetnega a doseˇzemo z avagraho _, v L^ATEX-u .a. Vˇcasih sreˇcamo anunasiko ali ˇcandrabindu , v LaTeX-u / in ˇse nekatere druge potrebne znake: ^ ,, , , .

Nekatere ˇcrke devanagarija so razliˇcne. Namestoavidimo tudia, name- sto Jtudi J in J, ˇcrko Z nadomesti tudi Z, ˇcrko l piˇsejo nekateri kot l. Prav tako sta dve obliki ˇstevilke 5, to sta 5 in5, pa tudi dve obliki ˇstevilke 8, in sicer 8 in8.

Zapisani samoglasniki lahko stojijo na zaˇcetku besed. ˇCe samoglasnik sliˇsimo za soglasnikom, ga ne piˇsemo, ker je ˇze zapopaden v le-tem. Posebni dodatki povedo, kateri samoglasnik je za soglasnikom. Vzemimo primer k, ki se bere kot kas kratkim a. Zapis kA se bere kotk¯a z dolgima. Sledijo Ek – ki, kF – k¯ı, k – ku, k – k¯u, k – kr., k – k¯r., k – kl., k – ke, k{ – kai, ko – ko, kO – kau. ˇCrtica nad samoglasnikom pomeni, da je le-ta dolg. Vedno so dolgie, o, ai, au. Vse pa ne gre po tem kopitu, ker devanagari pozna ligature, tako da se ˇcrke malo zlijejo. Tako imamo na primer: r –ra, z– ru, ! – r¯u.

Nekaj besed: E/– tri– tri, /pA E/t – trita – tretji, /pA –trap¯a – sram.

Znak virama ^ na koncu besede pove, da se samoglasnika, ki je sicer del soglasnika, ne izgovarja, na primervAk^ –v¯ak –glas. Brez virame bi namreˇc brali v¯aka. Beseda ekAEkn^ –ek¯akin – pomenisam.

Anunasika (iz nAEskA– n¯asik¯a – nos) ali ˇcandrabindu oznaˇcuje nosno izgovorjavo, kakrˇsno poznajo Francozi. Primera: klF, a.

Ce nekaj sanskrtskih besed, ki so po izgovorjavi ali pomenu podobneˇ naˇsim: aE`n,vEhn – agni, vahni – ogenj, -myt – smayate – smejati, sFdEt – s¯ıdati– sedeti, df– de´sa – deˇzela, ptEt– patati– padati, plvt–plavate – plavati, ddAEt – dad¯ati – dati,b}vFEt– brav¯ıti– praviti.

2 Sanskrtska abeceda

Sanskrtska abeceda je urejen sestav simbolov – ˇcrk. Sluˇzi tudi za leksikograf- sko ureditev sanskrtskih besed, na primer v slovarjih. Gre pa takole:

a a aA ¯ a i i I ¯ı u u U u ¯ r. ¯r.  l.

e e e ai ao o aO au a\ m . a, h.

k ka K kha g ga G gha R ˙na c ca C cha я ja J jha na ˜ V t.a W t.ha X d.a Y d.ha Z n.a t ta T tha d da D dha n na p pa P pha b ba B bha m ma y ya r ra l la v va

f ´sa q s.a s sa h ha

Crke, ki spadajo skupaj, so v tej abecedi v isti vrstici. Najprej je zapisanaˇ v devanagariju, nato pa v sistemu IAST. Ligature soglasnikov so pogoste.

Primer: s spajanjem ˇcrk k inr nastane ‡, ˇcrkir in y pa dasta y. Seveda so tule ˇcrke samo ene oblike. Obstajajo tudi drugaˇcne. Besedo sanskrtlahko piˇsemo na primer kot

s\-k tm^, s\-k tm^, s\-k tm^, s\-k tm^.

Lahko spreminjamo tudi velikost ˇcrk:

s\-k tm^, s\-k tm^, s\-k tm^, s\-k tm^.

3 Stevke in glavni ˇ ˇ stevniki

Za matematike so zanimive sanskrtske ˇstevke in besede za glavne ˇstevnike.

Nekateri so kar podobne naˇsim. Kot je razvidno iz tabele, obstajata dve varianti zapisa ˇstevk za 5 in 8. V petem stolpcu je zapis IAST, v ˇsestem pa izgovorjava.

ˇStevilke ˇStevniki 0 0 0 fy ´s¯unya ˇsunja

1 1 1 ek eka eka

2 2 2 Edv dvi dvi

3 3 3 E/ tri tri

4 4 4 ctr^ catur ˇcatur 5 5 5 pcn^ pa˜ncan panjˇcan 6 6 6 qq^ s.as. ˇsaˇs 7 7 7 sptn^ saptan saptan 8 8 8 a£n^ as.t.an aˇstan

9 9 9 nvn^ navan navan

10 10 10 dfn^ da´san daˇsan

Besede za zgornje glavne ˇstevnike so vzete iz [11]. Najdemo pa tudi nekoliko drugaˇcne zapise le-teh. Veˇcmestna ˇstevila se v sanskrtu piˇsejo v obiˇcajnem vrstnem redu. Od desne proti levi si sledijo enice, desetice, stotice, tisoˇcice itd. ˇStevnik dvajset je v sanskrtu vim. ´sati, Ev\fEt. Tako kot v roman- skih jezikih, na primer v latinˇsˇcini, italijanˇsˇcini, francoˇsˇcini, je beseda za dvajset izjema glede na desetkratnike, ki sledijo. Tako kot v slovenˇsˇcini in nemˇsˇcini se tudi v sanskrtu v dvomestnih ˇstevilih postavlja enice pred dese- tice: f¨unfundzwanzig, petindvajset je pa˜ncavim. ´sati, pcEv\fEt. ˇStevnik sto je v sanskrtu´sata,ft.

4 Zaˇ cetki indijske matematike

V ˇcasih, ko so v Egiptu gradili velike piramide (okoli 2650 pne.), se je v dolini Inda razvila civilizacija z visoko kulturo, kot priˇcajo izkopanine v Mohendˇzo- daru in Harappi. Niso pa naˇsli neposrednih dokazov, kako je bilo tam z matematiko. Imeli pa so sistem mer in uteˇzi ter neke vrste desetiˇski ˇstevilski sistem. Gospodarji in ljudstva so se menjavali, uporabljali so se razliˇcni jeziki in dialekti, zaradi ˇcesar je teˇzko slediti razvoju matematike. Znanje se je prenaˇsalo z ustnim izroˇcilom. ˇSele Vede, pisane v sanskrtu, nam dajejo nekaj podatkov o najzgodnejˇsi stari indijski matematiki.

Vede so v glavnem religiozna besedila, ki omenjajo velika ˇstevila in de- setiˇski ˇstevilski sistem. Veliko pozornosti posveˇcajo razseˇznostim, oblikam in razmerjem zidakov, ki so jih uporabljali za zidanje oltarjev. Tudi Indijci so poznali harpedonapte, napenjalce vrvi, ki so izvajali geometrijske meritve, ki so potekale po doloˇcenih pravilih, lahko bi rekli po obredih. Zato ima zgodnja indijska matematika pravi obredni znaˇcaj. Teˇzko je reˇci, koliko sta v tistih ˇcasih na indijsko vplivali egipˇcanska in kitajska matematika.

Vsako zbirko pravil za delo z merilno vrvjo so imenovaliˇsulba-sutra. San- skrta beseda ˇsulba ali ˇsulva pomeni merilna vrv, beseda sutra pa zbirka pravil, sploˇsnih resnic ali naˇcel. Morda je bolj znana kama-sutra, ki obrav- nava ljubezenske zadeve, in kot beseda tudi vsebuje izraz sutra. Beseda kama pomeniljubezen. Besede zapiˇsimo ˇse v standardu IAST in devanagari:

ˇsulba – ´sulba – fSb, ˇsulva – ´sulva – fSv, sutra – s¯utra – s/, ˇsulba-sutra – ´sulbas¯utra – fSbs/, kama – k¯ama – kAm, kama-sutra – k¯amas¯utra – kAms/.

ˇSulba-sutre so napisane v verzih. V njih se omenjajo osebe Baudha- jana – baudh¯ayana – bODAyn, Manava – m¯anava – mAnv, Katjajana – k¯aty¯ayana – kA(yAyn in Apastamba – ¯apastam. ba – aAp-t\b. Slednji je od vseh teh najbolj znan. ˇZiveli naj bi v prvi polovici prvega tisoˇcletja pred naˇsim ˇstetjem. Poznali so konstrukcijo pravega kota z uporabo pitagorejskih trojic (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17) in (12,35,37). Morda je imela tu svoj vpliv matematika Mezopotamije. Apastamba je v bistvu poznal Pitagorov izrek, saj je vedel, da je kvadrat diagonale pravokotnika enak vsoti kvadra-

tov njegovih stranic. Znali so tudi pretvoriti pravokotnik v ploˇsˇcinsko enak kvadrat. Oblikovali so tudi pravila za pretvarjanje ravnih ˇcrt v krive in obratno. Samo ugibamo lahko, koliko ˇcasa so nastajale ˇsulba-sutre in ˇce so imele kako povezavo z egipˇcanskim zemljemerstvom in grˇskim problemom podvojitve podstavka oltarja v obliki kocke.

Pretvorba pravokotnika s stranicama a in b, kjer je a > b, v ploˇsˇcinsko enak kvadrat je pri Indijcih dejansko temeljil na enakosti

a+b 2

!2

− a−b 2

!2

=ab.

Brez teˇzav se namreˇc da konstruirati tak pravokoten trikotnik, ki ima eno kateto enako (a−b)/2 in hipotenuzo enako (a+b)/2. Kvadrat druge katete c je potem ravno leva stran zgornje enakosti, tako da je c² = ab. Kvadrat s stranico cima potem enako ploˇsˇcino kot pravokotnik s stranicamaa in b.

Kot pribliˇzek ˇstevila √

2 so uporabljali 1 + 1

3+ 1

3·4− 1

3·4·34 = 577

408 ≈1.4142, za ˇstevilo π pa slabe pribliˇzke: 3, 3.004, 3.08831, 3.08833, 3.125.

Davno, v 4. stoletju pred naˇsim ˇstetjem, je ˇzivel v Indiji jezikoslovec Panini – p¯an. ini – pAEZEn, ki se je ukvarjal, kot bi danes rekli, s formalno logiko. Napisal je eno prvih slovnic v osmih poglavjih za sanskrt. Vsebuje skoraj 4000 pravil. Imenuje se Aˇstadhjaji – as.t.¯adhy¯ay¯ı– a£A@yAyF. Nje- gova slovnica je postala zanimiva za moderno raˇcunalniˇsko jezikoslovje, ker je uvedel simbole in z njimi operiral. Imajo ga za utemeljitelja klasiˇcnega sanskrta.

Indijski strokovnjak za metriko v poeziji Pingala – pi ˙ngala – EpR^ gl, ki se je tudi ukvarjal z matematiko, podobno kotGiuseppe Tartini(1692–1770), naj bi v 3. stoletju pred naˇsim ˇstetjem odkril binomske koeficiente in Pascalov trikotnik. Kdaj toˇcno je ˇzivel Pingala, ni znano. Binomskim koeficientom je dal danaˇsnjo obliko ⁿ_kˇsele Andreas von Ettingshausen (1796–1878). Et- tingshausen je bil doktorski mentor Joˇzefu Stefanu (1835–1893). Pascalov trikotnik je dobil ime po Blaisu Pascalu (1623–1662). Pingala se je zanimal

za zaporedja dolgih in kratkih zlogov v besedilu z danim ˇstevilom zlogov.

Ce je enim priredil vrednost 1, drugim pa 0, pomeni, da je dejansko de-ˇ lal z binarnim ˇstevilskim sistemom. Njegovo glavno delo je Chandahˇsastra –ˇ chandah. ´s¯astra–Cd,fA-/, ena najzgodnejˇsih razprav o metriki v poeziji. V 10. stoletju je namreˇcHalajudha – hal¯ayudha–hlAyDkomentiral Pingalovo delo in priˇsel do sklepa, da je Pingala poznal Pascalov trikotnik, meru pras- tara – meru prast¯ara – mz pr-tAr, in celo Fibonaccijeva ˇstevila, matrameru – m¯atr¯ameru – mA/Amz. Vsi zgodovinarji pa se s Halajudho popolnoma ne strinjajo.

5 Doktrine

Vede sicer omenjajo aritmetiˇcna in geometrijska zaporedja, s katerimi naj bi se v Indiji ukvarjali ˇze okoli leta 2000 pne., vendar pisnih virov o tem ne poznamo. Pravijo, da je ˇze v ˇsulba-sutrah zaznati elemente neizmerljivosti dolˇzin daljic. Teˇzko pa je za staro indijsko matematiko reˇci, katere teme v njej prevladujejo, kot lahko na primer za staro grˇsko trdimo, da je zelo geometrijska. Stara indijska matematika je zelo prepletena z religijo, folkloro in filozofijo.

Zagotovo pa je v Indiji obdobju ˇsulba-sutr sledilo obdobje, v katerem so prevladovale siddhante. Beseda siddhanta – siddh¯anta – EsdAt je teˇzko prevedljiva. Lahko bi bila to doktrina, tradicija, princip, pravilo, teorija, dogma, aksiom, uˇcenje, konˇcni sklep, reˇsitev ali razprava. Ne motimo se, da gre konkretno za astronomske razprave, pisane v verzih. Indijski mate- matik, astronom in astrolog Varahamihira (505–587) – var¯ahamihira –vrA- hEmEhr je siddhante zbral in uredil. Pet siddhant je zbral v delu z naslovom Panˇca-siddhantika – pa˜ncasiddh¯antik¯a – pcEsdAEtkA. Seveda veliko indij- skih uˇcenjakov zagovarja njihovo originalnost.

Pauliˇsa-siddhanta – pauli´sasiddh¯anta – pOElfEsdAt je nastala okoli leta 380, ime pa je dobila po astrologu Pavlu iz Aleksandrije. Tako trdi perzijski matematik Al Biruni (973–1048), v arabˇsˇcini

ù

KðQJ.Ë@

. Vsestranski Al Biruni je poleg matematike, fizike, naravoslovja in astronomije obvladal

ˇse zgodovino, kronologijo in veˇc jezikov, tudi sanskrt in grˇsˇcino. Al Biruni opozarja na grˇski izvor ali pa vsaj na velik grˇski vpliv na to delo. Najdejo se namreˇc v podrobnostih podobnosti s Ptolemajevimi deli. Za ˇstevilo π navajajo nepravi ulomek 3 177/1250, Ptolemaj pa v ˇsestdesetiˇskem sistemu 3; 8 30, kar je 3 17/120.

Navedimo ˇse preostale ˇstiri siddhante. Surja-siddhanta – s¯uryasiddh¯anta – syEsdAt je nastala okoli leta 400 in je v celoti ohranjena. Po navadi Surja-siddhanta prevajajo kot Sonˇcev sistem. Beseda Surja – s¯urya – sy v sanskrtu namreˇc pomenisonce, pa tudi bog sonca, v Vedah vˇcasih hˇci sonca.

Paitamaha-siddhanta – pait¯amahasiddh¯anta–p{tAmhEsdAtje zelo stara in zaradi nizke tehniˇcne razvitosti v ˇcasu njenega nastajanja ˇse zelo ne- natanˇcna. Obravnava astronomska vpraˇsanja, na primer pojavljanje letnih ˇ

casov.

Vasiˇstha-siddhanta – v¯asis.t.hasiddh¯anta– vAEs¤EsdAt je dobila ime po enem od sedmih indijskih svetih modrecev – saptars.i – sptEq. Ta beseda se uporablja tudi za sedem zvezd v ozvezdju Velikega voza. Vasiˇstha-siddhanta je ena najstarejˇsih indijskih astronomskih razprav. Vsebuje tudi algoritme za raˇcunanje koledarjev. Al Biruni jo pripisuje astronomu Viˇsnu ˇCandri – vis.n.ucandra – Ev Zcdý.

Romaka-siddhanta – romakasiddh¯anta–romkEsdAtje dobesednoRim- ska siddhanta. Pri tem je miˇsljeno Vzhodno rimsko cesarstvo, Bizantin- sko cesarstvo, kjer so uporabljali grˇski jezik, skratka Zahod z indijskega vidika. Rimska siddhanta vkljuˇcuje nekatera znanja s podroˇcja matematike, astronomije in astrologije, ki jih je poznal vzhodni del nekdaj mogoˇcnega Rimskega cesarstva.

Raˇcunati je treba tudi na to, da so siddhantam v toku zgodovine tudi marsikaj dodali ali da se je kaj izgubilo. Bistveni napredek v siddhantah, zaradi ˇcesar Indijci zagovarjajo njihovo originalnost, je zamenjava Ptolema- jeve tetive, ki v krogu pripada srediˇsˇcnemu kotu, s poltetivo, ki ustreza polovici srediˇsˇcnega kota ali kar obodnemu kotu. S tem so Indijci vpe- ljali skoraj tako funkcijo sinus, kot jo poznamo danes. Bil pa je odvisen od polmera r kroga, v katerem so risali tetivo oziroma poltetivo. Koliko nekih

dolˇzinskih enot so vzeli za polmer r? Veˇc o tem bo povedanega v nadalje- vanju. Teˇzava je bila v tem, da so kote merili v nedolˇzinskih enotah, stopinjah in njihovih delih. Namesto kota so zaˇceli uporabljati ustrezen kroˇzni lok pri danem polmeru r kroga. Zato je bilo potrebno celoten kroˇzni lok razdeliti na primerno ˇstevilo enako dolgih delov. To pa gre tem natanˇcneje, ˇcim bolj natanˇcno poznamo ˇsteviloπ. V obdobju siddhant so izboljˇsali pribliˇzek ˇstevila π na√

10≈3.1622.

6 Indijski Elementi

Okoli leta 500 je v Indiji nastalo znano, v verzih pisano delo Arjabhatija – ¯aryabhat.¯ıya – aAyBVFy. Pokriva matematiko in astronomijo. Delo je napisal eden najbolj znanih indijskih matematikov Arjabhata (476–550)–

¯aryabhat.a – aAyBV. Tako kot je Evklid (365–275 pne.) – Εὐκλείδης nekoˇc zbral vse znanje matematike na grˇskem podroˇcju v svojihElementih–Στοιχεῖα, je Arjabhata zbral dotakratno indijsko znanje matematike in astronomije v Arjabhatiji. Morda so Indijci zaradi nje nekoliko zanemarili nekatere starejˇse matematike in njihova dela, ki so se poveˇcini izgubila. Glavna raz- lika med Evklidovimi Elementi in Arjabhatijo je v strukturi dela. Evklidov pristop je sistematiˇcen in metodiˇcen, vsebuje aksiome, definicije, izreke, leme z dokazi, Arjabhatija pa je veˇcinoma opisno delo, zbirka pravil za raˇcunanje in doloˇcanje ploˇsˇcin ter prostornin, brez sledi deduktivne metode.

Pribliˇzno tretjino Arjabhatije pokriva matematika v verzih, ganitapada – gan. itap¯ada – gEZtpAd. Na zaˇcetku so navedena nekatera imena potenc ˇstevila 10 in navodila za raˇcunanje kvadratnih ter kubiˇcnih korenov naravnih ˇstevil. Sledijo navodila za izraˇcun ploˇsˇcin in prostornin. V starih ˇcasih niso poznali formul in matematiˇcnih znakov, zato so vsa navodila izrazili z besedami naravnega jezika. Za ploˇsˇcino trikotnika je v Arjabhatiji naveden pravilen postopek, presenetljivo pa ne za prostornino piramide. Za slednjo pravi navodilo, da je treba pomnoˇziti ploˇsˇcino osnovne ploskve s poloviˇcno dolˇzino viˇsine. Za primerjavo: Egipˇcani so poznali pravilen postopek. Tudi za prostornino krogle je naveden napaˇcen postopek. Po teh navodilih je pros-

tornina krogle enaka produktu ploˇsˇcine glavnega krogelnega kroga in kvadrat- nega korena te ploˇsˇcine, to se pravi, da je prostornina krogle s polmerom r enaka πr²√

πr² = π√

πr³, kar pa je daleˇc od pravilnega rezultata. Za raˇcunanje ploˇsˇcine ˇstirikotnikov je navedenih nekaj pravilnih, pa tudi precej nepravilnih postopkov. Paˇc pa je primer za obseg kroga kar natanˇcen. Ob- seg kroga s premerom 20 000 je pribliˇzno 104·8 + 62 000. Iz tega dobimo π ≈62 832/20 000 = 31 416/10 000 = 3.1416.

Arjabhatija obravnava tudi aritmetiˇcno zaporedje s pravilom za izraˇcun vsote prvih nekaj njenih ˇclenov in pravilom za izraˇcun ˇstevila ˇclenov arit- metiˇcnega zaporedja pri njeni znani vsoti, razliki in prvem ˇclenu. Problem zahteva reˇsevanje kvadratne enaˇcbe. Pri znani razlikid in prvem ˇclenua₁ je namreˇc n-ti ˇclen aritmetiˇcnega zaporedja: a_n = a₁+ (n−1)d. Vsota prvih n ˇclenov je potem

S_n=a₁+ (a₁+d) + (a₁+ 2d) +. . .+ (a₁+ (n−1)d) = na₁+n(n−1)d

2 .

Sledi kvadratna enaˇcba za n:

dn²+ (2a₁−d)n−2S_n= 0.

Njena reˇsitev je

n= d−2a₁+^q(2a₁−d)²+ 8dS_n

2d =

q8dS_n+ (2a₁−d)²−2a₁

d + 1

2 ,

kar je v Arjabhatiji pravilno opisano z besedami. Za ponazoritev, kako je to ˇslo, navedimo prevod besedila.

Pomnoˇzi vsoto ˇclenov zaporedja z osemkratno razliko, priˇstej kvadrat razlike dvakratnika prvega ˇclena in razlike, povleci iz tega kvadratni koren, odˇstej dvakratnik prvega ˇclena, deli z razliko, priˇstej ena in deli z dve. Rezultat je ˇstevilo ˇclenov.

V zvezi z obrestno-obrestnim raˇcunom najdemo v Arjabhatiji tudi primere geometrijskega zaporedja. Na slikovit naˇcin obravnava tudi sklepni raˇcun

oziroma po naˇse reˇsevanje enaˇcbe a/b =c/x. Zaradi dobrih in slabih strani Arjabhatije jo je Al Biruni oznaˇcil kot meˇsanico prodnikov in dragocenih kristalov.

Tematika druge polovice Arjabhatije sta ˇcas in sferna trigonometrija.

Tukaj mrgoli desetiˇsko zapisanih ˇstevil. Mestni zapis ˇstevil so poznali ˇze v Mezopotamiji, kjer so se muˇcili s ˇsestdesetiˇskim ˇstevilskim sistemom in 59 simbolom proti koncu babilonskega obdobja, ko je Aleksander Makedonski (356–323 pne.) sesul tamkajˇsnje vladavine, dodali ˇse znak za niˇclo. Alek- sander je prodrl leta 326 pne. s svojo vojsko do Inda, kjer je imel nemalo teˇzav z Indijci in svojimi, nakar se je nekako vrnil v Mezopotamijo in umrl v Babilonu. Najstarejˇsi zapisi ˇstevil s ˇcrticami so bili znani tudi Indijcem, kar izpriˇcujejo zapisi v Mohendˇzo-daru. Pojavljali so se tudi zapisi ˇstevil s ˇ

crkami, kar nas spominja na atiˇski, akrofoniˇcni ˇstevilski sistem na Grˇskem. V ˇ

casu indijskega kralja Aˇsoke (304–232 pne.) so uporabljali tak ˇcrkoven zapis ˇstevil. Aˇsoka – a´soka – afok je vladal obseˇznemu imperiju, ki je segal od Afganistana do Asama, na severu do Himalaje, na jugu pa do Kerale. Aˇsoka je dal postaviti po vseh veˇcjih mestih stebre z vklesanimi ˇstevkami. Atiˇski akrofoniˇcni ˇstevilski sistem je uporabljal ˇcrke za nekaj glavnih ˇstevil: Ι – 1, Π – 5 – πέντε, Δ – 10 – δέκα, Η – 100 – ἑκατόν, Χ – 1000 – χίλιοι, Μ – 10000 – μύριον. Indijci so pisali ˇstevilke podobno. Njihove so znane v pisavi kharoˇsthi – kharos.t.h¯ı – Kro¤F, ki ima posebne znake za 4, 10, 20 in 100.

Postopoma so uvedli ˇcrkovni zapis ˇstevil, podobno kot Grki, verjetno pod njihovim vplivom. Uporabljali so pisavo Brahmi – br¯ahm¯ı–b}AhmF. Pisava je nastala v 3. stoletju pred naˇsim ˇstetjem in so jo uporabljali vse do 5. stoletja naˇsega ˇstetja.

Za prehod na mestni desetiˇski sistem sta bila potrebna dva koraka. Naj- prej spoznanje, da devet ˇstevk zadoˇsˇca tudi za zapis deset, sto, tisoˇc, . . . krat- nikov. Ni znano, kdaj toˇcno se je to zares zgodilo in zakaj. Znano pa je, da se je to zgodilo v Indiji. Tako imenovane indijske ˇstevilke so morda nastale pod vplivom babilonskega mestnega zapisa. Moˇzno pa je, da so na Indijce pri tem vplivali Kitajci, ki so tiste ˇcase ˇze poznali nekakˇsen mestni zapis.

Obstaja celo domneva, da so mestni desetiˇski zapis odkrili aleksandrijski

uˇcenjaki in da se je potem razˇsiril proti Indiji. Podobno kot Grki so pisali tudi ulomke, niso pa uvedli desetiˇskih ulomkov po zgledu Babiloncev, ki so poznali ˇsestdesetiˇske ulomke.

Prvi je indijske ˇstevilke omenjal leta 662 sirijski ˇskof Severus Sebokht (575–667). Bizantinski cesar Justinjan (482–565) je leta 529 ukinil Platonovo akademijo v Atenah, ustanovljeno leta 387 pred naˇsim ˇstetjem. Nekateri uˇcenjaki so se zato preselili v Sirijo, kjer so ustanovili grˇske ˇsole. V Siriji je Sebokht sreˇcal Indijce, ki so ga seznanili z njihovimi natanˇcnimi astronom- skimi raziskavami in raˇcunskimi metodami, ki so bile nekaj veˇc kot le opiso- vanje. Raˇcunanje pa je bilo izvedeno z devetimi indijskimi ˇstevkami. Te so bile tisti ˇcas ˇze kar stare, saj so na neki ploˇsˇci iz leta 595 odkrili z indijskimi ˇstevkami zapisano leto 346.

Drugi korak do popolnosti indijskega mestnega desetiˇskega ˇstevilskega sistema pa je bila vpeljava znaka za niˇc. Dolgo ˇcasa so namesto zapisa niˇcle puˇsˇcali kar prazen prostor. Nedvomno uporabo znaka za niˇc izpriˇcuje neki napis ˇsele iz leta 876. Morda uporaba niˇcle izvira iz grˇskega sveta, saj je Klavdij Ptolemaj v svojem Almagestu v tabelah uporabljal znak za niˇc. Skratka, ˇstevilo indijskih ˇstevk so zaokroˇzili na deset in z njimi so lahko zapisali vsako naravno ˇstevilo in ulomke. Indijske ˇstevke se po obliki razlikujejo od ˇcrk. So pa spreminjale obliko v ˇcasu in prostoru. Indijski naˇcin zapisovanja ˇstevil je nedvomno velik napredek v razvoju matematike. Z njimi z lahkoto zapiˇsemo vsako ˇstevilo, hitro se jih nauˇcimo seˇstevati, odˇstevati in mnoˇziti. Deljenje in korenjenje je nekoliko teˇzje, a pravi mojstri so nekoˇc tudi to znali.

V Bizantinskem cesarstvu pa so do propada Konstantinopla leta 1453 uporabljali za desetiˇske ˇstevke kar nekdanje ˇcrkovne simbole α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ za 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, za niˇclo pa so uporabljali znak, podoben h

. Naslednji velik indijski prispevek v matematiki je uvedba sinusne funkcije namesto grˇskih tetiv v krogu. Prve znane tabele za sinus zasledimo v sid- dhantah in Arjabhatiji. Tabele so izraˇcunane za kote, pravzaprav loke od 3 3/4^◦ do 90^◦ s korakom 3 3/4^◦, to je 24 lokov. Pri tem je uporabljena tudi neka rekurzijska formula. Za polmerrkroga je izbrano ˇstevilo 3 438, za obseg

pa 360·60 = 21 600. Vsaki kotni stopinji ustreza s tem lok, ki ima dolˇzino 60 enot. S tem naj bi bila lok in sinus izraˇzena v istih enotah. Pribliˇzek za ˇstevilo π je potemtakem 21 600/6 876 = 600/191 = 3.1414. V neki drugi situaciji Arjabhata uporablja za π pribliˇzek √

10.

Lok, ki ustreza kotu 3 3/4^◦, je pri zgornjih podatkih enak 60·3.75 = 225. Tetiva pa meri po naˇsem tedaj rsin 3.75^◦ = 3 438 sin(3.75π/180) = 224.855958, kar je pribliˇzno 225. Arjabhata je vedel, da je sinus majhnega loka kar ta lok. ˇCe Arjabhatov sinus oznaˇcimo s Sin, kar pomeni Sinα = rsinα, insn= Sin(n·3.75^◦) za 1≤n ≤24, potem je njegov rezultat okroglo s₁ = Sin 3.75^◦ = 225. ˇCe oznaˇcimo ˇse

S_n= Sin(1·3.75^◦) + Sin(1·3.75^◦) +. . .+ Sin(n·3.75^◦),

potem lahko omenjeno rekurzijsko formulo v Aryabhatiji zapiˇsemo kots_n+1 = s₁+s_n−S_n/s₁. Ni znano, kako so jo dobili. Preizkusimo:

s₂ = 2s₁−1 = 2·225−1 = 449.

Toˇcna vrednost je s₂ = Sin(7.5^◦) = 3438 sin(2·3.75π/180) = 448.7490488.

Podobno dobimo

s₃ =s₂+s₁−S₂/s₁ = 449 + 225−(449 + 225)/225≈671,

toˇcna vrednost pa jes₃ = Sin(11.25^◦) = 3438 sin(3·3.75π/180) = 670.7205270.

Tako si lahko ustvarimo vtis o natanˇcnosti tabel v Arjabhatiji.

7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu

Sestdesetiˇski ˇstevilski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj, aleksan-ˇ drijski matematik, astronom, astrolog in geograf. Napisal je za tiste ˇcase ve- liko del, ki so bila ˇse veˇc stoletij pomembna za islamsko in evropsko znanost.

Njegovo najpomembnejˇse delo je Matematiˇcna razprava, po grˇsko Μαθη- ματικὴ σύνταξις, ki je postalo zaradi svoje popolnosti znano tudi kot Ve- lika razprava, v grˇsˇcini ῾Η μεγάλη σύνταξις, in celo Najveˇcja razprava, ῾Η

μεγίστη σύνταξις. Arabski prevod ima zato naslov

ù

¢‚j.ÒË@

, kar beremo al-madˇzisti, iz grˇskega ˇzenskega superlativa μεγίστη, kar pomeni najveˇcja, prevod iz arabˇsˇcine v latinˇsˇcino paAlmagest. Ptolemaju gre velika zasluga, da je za veˇc kot tisoˇc let postavil geocentriˇcni svetovni sistem, vse do ˇcasov Nikolaja Kopernika (1473–1543).

Almagest med drugim vsebuje tabele dolˇzin tetiv, ki ustrezajo v krogu s polmeromr= 60 enot, imenovanihdelov, v grˇsˇciniτμήματα, izbranim lokom, ki ustrezajo srediˇsˇcnim kotom α. Pri srediˇsˇcnem kotu α je tedaj tetiva AB dolga 2rsinα/2.

Loki so v tabelah zapisani z grˇskimi ˇcrkovnimi ˇstevilkami, ustrezne tetive pa v ˇsestdesetiˇskem ˇstevilskem sistemu, tudi z grˇskimi ˇstevilkami. Za polovico je uporabljen znak ^{6 0}. Tabele vsebujejo tetive za vse kroˇzne loke v stopin- jah, od 1/2^◦ do 180^◦ s korakom 1/2^◦. Tetive so izraˇcunane s celim delom ter dvema seksagezimalama natanˇcno. Dodani so ˇse stolpci za interpolacijo tetiv vmesnih lokov. Za niˇclo sluˇzi ˇcrka omikron (O), kar je prva ˇcrka grˇske besede οὐδέν, ki pomeni niˇc. Nad stolpcem za loke piˇse περιφερειῶν, nad tetivami εὐθειῶν, nad interpolacijskim pomagalom pa ἑξηκοστῶν. To so mnoˇzinski rodilniki besed περιφέρεια, obod, krog, εὐθεῖα, ravna ˇcrta, ἑξη- κοστά, ˇsestdesetinka, minuta.

Slika 2: Tetiva, lok in ustrezni srediˇsˇcni kot.

Z vpeljavo funkcije crd, ki srediˇsˇcnemu kotuαoziroma kroˇznemu lokuAB v krogu s polmerom r priredi tetivo AB (slika 2), lahko zapiˇsemo |AB| =

crdα= 2rsinα/2. Potem je crd(180^◦−α) = 2rcosα/2 in enakost, analogna enakosti sin²α+ cos²α= 1, se glasi:

crd²α+ crd²(180^◦−α) = 4r².

Enakost lahko vidimo tudi kot posledico Pitagorovega in Talesovega izreka (slika 3). Pitagora s Samosa (570–495 pne.) – Πυθαγόρας ὁ Σάμιος in Tales iz Mileta (624–546 pne.) –Θαλῆς ὁ Μιλήσιοςsta bila znana starogrˇska mate- matika in filozofa. Ime funkcije crd izhaja iz grˇske besede χορδή, kar je

Slika 3: Tetivi suplementarnih srediˇsˇcnih kotov.

ˇ

crevo oziroma struna iz ˇcrev. Tetiva je namreˇc videti kot struna, napeta na kroˇzni lok. Funkcija crd je dolgo sluˇzila namesto sinusa, ki je priˇsel, kot bomo videli, iz Indije. V Indiji in tudi drugje ˇse dolgo niso delali z enotskim krogom. Za polmer r so v zgodovini jemali razliˇcno ˇstevilo nekih dolˇzinskih enot. Arjabhata je na primer vzel r= 3 438, Ptolemaj pa r = 60. V Panˇca- siddhantiki jer= 120. Sinus kota je v sodobni matematiki v enotskem krogu dolˇzina poloviˇcne tetive, ki ustreza poloviˇcnemu srediˇsˇcnemu kotu cele tetive.

V Indiji so priˇsli do zakljuˇcka, da je bolje vpeljati funkcijo, ki polovici srediˇsˇcnega kota priredi polovico tetive, poltetivo. Arjabhata imenuje polte- tivo v sanskrtuardha-dˇzja – ardha-jy¯a, v pisavi devanagariaD>yA. Postopo- ma so besedo skrajˇsali kar v dˇzja – jy¯a –>yA, pa tudi vdˇziva – j¯ıv¯a –яFvA, kar je nekdo zameˇsal z dˇziba – j¯ıb¯a – яFbA. Oboje se piˇse zelo podobno.

Arabci, ki ne piˇsejo samoglasnikov razen morda neke dodatne znake pod in

nad soglasniki, so prevzeli oznakodˇzbin zapisali

I . k.

. Evropejci preberejo to kot dˇzaib,

I . Jk.

, kar pomeni ˇzep, zaliv, in prevedejo v sinus(Gerardo iz Cre- mone (1104–1187)). Ta izraz za trigonometriˇcno funkcijo sinus je v veljavi ˇse danes. Nekateri narodi uporabljajo svoje izraze, na primer sine Angleˇzi, seno Italijani, ˇSpanci in Portugalci,sin¨usTurki.

...

......................................................................................................................................................................................................................

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

........

........

........

......

......

......

......

......

......

......

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. ....

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

jy¯a

kojy¯a, kot.i-jy¯a utkrama-jy¯a, ´sara lok – c¯apa

ϑ polmer – vy¯as¯ardha

Slika 4: Trigonometriˇcne funkcije.

Polmer r kroga je v sanskrtu vjasardha – vy¯as¯ardha – &yAsAD, kroˇzni lok pa ˇcapa – c¯apa – cAp. ˇCe je indijski sinus dˇzja – jy¯a, je indijski kosinus koti-dˇzja – kot.i-jy¯a ali kodˇzja – kojy¯a, koEV>yA ali ko>yA. Radij, zmanjˇsan za kosinus kota, so imenovali utrakrama-dˇzja – utkrama-jy¯a aliˇsara – ´sara, u(‡m>yA alifr.

Ce indijski sinus in kosinus spet oznaˇˇ cimo s Sin in Cos, potem lahko zapiˇsemo Sinϑ=rsinϑ, Cosϑ =rcosϑ. Osnovna zveza med njima pa je

Sin²ϑ+ Cos²ϑ=r².

Kotna funkcija sinus versus, obrnjeni sinus, v oznakah vers, ki se pa zelo redko uporablja, je definirana s formulo versϑ = 1− cosϑ. ˇCe analogno Sinϑ in Cosϑ vpeljemo Versϑ = rversϑ, potem je indijska utkrama-dˇzja kota ϑ preprosto kar Versϑ.

Pri indijski trigonometriji ne moremo kar tako mimo matematika in as- tronoma Bhaskare Starejˇsega (600–680). Komentiral je Arjabhatijo in v zvezi z njo napisal dve siddhanti: Maha-bhaskarija – mah¯abh¯askar¯ıya – mhABA-krFy in Laghu-bhaskarija – laghubh¯askar¯ıya – lGBA-krFy. V prvi je z besedami opisal zelo dober racionalni pribliˇzek za sinusno funkcijo, ki bi ga danes zapisali v obliki

sin(πx)≈ 16x(1−x)

5−4x(1−x), 0≤x≤1.

Ni znano, kako je avtor priˇsel do te formule. S sodobnimi pripomoˇcki lahko ugotovimo, da je najveˇcje odstopanje desne strani v zgornji aproksimaciji od funkcije sin(πx) pri x= 0.064 inx= 0.936, in sicer za 0.0016, kar je izredno malo. Pri x= 0,1/6,1/2,5/6,1 pa se leva in desna stran celo ujemata (slika 5).

Slika 5: Odstopanja Bhaskarove aproksimacije.

Bhaskara Starejˇsi je postavil tudi vpraˇsanje, ki vodi do Pellove enaˇcbe.

Povej, matematik, kateri kvadrat, pomnoˇzen z osem in poveˇcan za ena, da nov kvadrat.

Ce je stari kvadratˇ y², novi pa x², potem iˇsˇcemo taki naravni ˇstevili xin y, da velja 8y² + 1 = x², kar je Pellova enaˇcba x² −8y² = 1. Eno reˇsitev hitro uganemo: (x, y) = (3,1). Ni pa to edina reˇsitev. Tudi (x, y) = (17,6) je reˇsitev, pa tudi (x, y) = (99,35). Reˇsitev je neˇsteto. Kako se jih dobi, bomo spoznali v nadaljevanju.

8 Ne gre brez skrivnosti

Leta 1881 so v bliˇzini vasi Bakhˇsali – bakh´s¯al¯ı – bHfAlF blizu Peˇsavarja (v paˇstanskem jeziku

Pñ ‚...K

, v jeziku urdu

PðA ‚

, v sanskrtu Puruˇsapura – purus.apura – pzqpr) v danaˇsnjem Pakistanu naˇsli matematiˇcno besedilo, napisano na brezovem lubju. Precej listov je vzel zob ˇcasa, 70 pa je do- bro ohranjenih in znanstveniki so se jih lotili preuˇcevati z veliko vnemo.

Napisani so v neki meˇsanici prakrta in sanskrta. Dokumentu se je prijelo ime Bakhˇsalijski rokopis. Hitro se je izkazalo, da je to pravzaprav priroˇcnik matematiˇcnih pravil in primerov nazornih nalog z reˇsitvami. V glavnem pokriva aritmetiko in algebro, vsebuje pa tudi naloge iz geometrije vkljuˇcno z raˇcunanjem ploˇsˇcin in prostornin. Nikakor pa ˇse niso uspeli ugotoviti, kdaj je rokopis nastal. Verjetno je bil napisan v ˇcasu od 3. do 11. stoletja na podlagi ˇse starejˇsih rokopisov. V Bakhˇsalijskem rokopisu je uporabljenih 10 ˇstevk, vkljuˇcno z niˇclo, ˇstevila, tudi ˇstevci in imenovalci ulomkov, so za- pisana v desetiˇskem sistemu. Uporabljeni so posebni znaki oziroma okrajˇsave za nekatere raˇcunske operacije.

Bakhˇsalijski rokopis so zaˇceli ˇstudirati takoj po odkritju, ga obravnavali po matematiˇcnih konferencah in objavljali ˇclanke v zvezi z njim. Danes ga hrani knjiˇznica Bodleian Library v Oxfordu.

Posebno je zanimiv postopek korenjenja ˇstevil. Sicer rokopis govori samo o postopku korenjenja naravnih ˇstevil, ki pripelje do zaporednih racionalnih pribliˇzkov. Je pa pravilen za vsa pozitivna realna ˇstevila, njegova odlika pa je hitrost konvergence zaporedja pribliˇzkov. Denimo, da bi radi izraˇcunali√

aza pozitivno ˇstevilo a. Za prvi pribliˇzek x₀ vzamemo ˇstevilo, katerega kvadrat je zelo blizu a. Nato izraˇcunamo pomoˇzno ˇstevilo y₀ = (a −x²₀)/(2x₀) in naslednji pribliˇzekx₁ za√

apo formuli: x₁ =x₀+y₀−y²₀/(2(x₀+y₀)).Potem postopek ponovimo tako, da za nov pribliˇzek vzamemo x1. Postopek po- navljamo toliko ˇcasa, kolikor je potrebno za predpisano natanˇcnost. Delamo skratka s sistemom rekurzij:

y_n = a−x²_n

2x_n , x_n+1 =x_n+y_n− y_n² 2(x_n+y_n).

Izkaˇze se, da je

n→∞lim x_n=√ a, lim

n→∞y_n= 0.

Iz besedila ni razvidno, kako so do rekurzij priˇsli. Za ilustracijo izraˇcunajmo

√2 po tem postopku, tako da vzamemo a= 2. Naj bo x₀ = 1. Dobimo:

y₀ = 1

2, x₁ = 17

12, y₁ =− 1

408, x₂ = 665857 470832, y₂ =− 1

627013566048, x₃ = 1572584048032918633353217 1111984844349868137938112. Da bi laˇze kontrolirali toˇcnost, zapiˇsimo pribliˇzke in √

2 na 50 decimalk:

x₁ = 1.41666666666666666666666666666666666666666666666666, x₂ = 1.41421356237468991062629557889013491011655962211574, x₃ = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537723,

√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694.

Opazimo, da se x₁ ujema s pravo vrednostjo na 2, x₂ na 11 in x₃ na 47 decimalkah. Na vsakem koraku iteracije dobimo pribliˇzno 4-krat veˇc toˇcnih decimalk.

Bakhˇsalijski rokopis navaja zanimive naloge, ki vodijo do linearnih enaˇcb.

Te imajo eno samo reˇsitev ali pa tudi veˇc. Oglejmo si primer.

Oseba A ima sedem ˇzrebcev, oseba B devet kobil, oseba C pa deset kamel. Vsak da dve ˇzivali ostalima dvema, tako da so potem vsi enako bogati. Najdi vrednost vsake ˇzivali posebej in vrednosti vseh ˇzivali skupaj za vsakega lastnika posebej.

Reˇsimo to nalogo! Vsak ˇzrebec naj stane x₁, vsaka kobila x₂ in vsaka kamela x₃ dinarjev. Po predaji ˇzivali je oseba A imela 5 ˇzrebcev, eno kobilo in eno kamelo, vse skupaj v vrednosti 5x1 +x2 +x3 dinarjev. Oseba B je imela 7 kobil, enega ˇzrebca in eno kamelo, kar je bilo vredno x₁ + 7x₂ +x₃ dinarjev, oseba C pa je na koncu imela 8 kamel, enega ˇzrebca in eno kobilo v skupni vrednosti x₁ +x₂ + 8x₃ dinarjev. Ker vemo, da so bili potem vsi

enako bogati, denimo da je bilo premoˇzenje v teh ˇzivalih za vsako omenjeno osebo vredno v celih ˇstevilih cdinarjev, velja sistem diofantskih enaˇcb:

5x₁+x₂+x₃ = c, x₁+ 7x₂+x₃ = c, x₁+x₂+ 8x₃ = c.

Z odˇstevanjem prve in druge, prve in tretje ter druge in tretje enaˇcbe tega sistema, krajˇsanjem in preurejanjem dobimo nove enaˇcbe:

2x₁ = 3x₂, 4x₂ = 7x₃, 6x₂ = 7x₃.

Leva stran nove prve enaˇcbe je deljiva s ˇstevilom 2, ki je tuje 3, zato mora x₂ biti deljivo z 2. To pomeni, da lahko zapiˇsemo x₂ = 2`, kjer je ` celo ˇstevilo. Zato je x1 = 3`. Nato dobimo iz nove druge enaˇcbe 7x3 = 12`, kar pa pomeni, da je ` deljiv s 7 in ga lahko zapiˇsemo kot ` = 7m, kjer je m celo ˇstevilo. Tako imamo x₁ = 21m, x₂ = 14m in x₃ = 12m. Ker je 6x₂−7x₃ = 6·14m−7·12m= 0, je izpolnjena tudi nova tretja enaˇcba. Vsaka oseba ima torej ˇzivalsko premoˇzenje v vrednosti c= 131m dinarjev. ˇZrebci so po 21m dinarjev, kobile po 14m dinarjev in kamele po 12m dinarjev. Pri tem jem naravno ˇstevilo. Reˇsitev je torej neˇsteto. Rokopis navaja samo eno:

x₁ = 42, x₂ = 28, x₃ = 24, c= 262. Dobimo jo iz naˇsega rezultata za m= 2.

Naslednja naloga v Bakhˇsalijskem rokopisu se glasi:

Paˇza sta kraljeva streˇznika. Prvi od njiju zasluˇzi 13/6 dinarjev na dan, drugi pa 3/2 dinarjev na dan. Prvi dolguje drugemu 10 dinarjev. Kdaj bosta imela enako vsoto denarja?

Kako reˇsimo to nalogo? Naj bo xˇstevilo dni, po katerih bosta oba paˇza imela enako vsoto denarja. Potem mora veljati enaˇcba

13

6 x−10 = 3

2x+ 10.

Ce jo na obeh straneh pomnoˇˇ zimo s 6, dobimo:

13x−60 = 9x+ 60 =⇒4x= 120 =⇒x= 30.

Po 30 dneh bosta paˇza imela enaki vsoti denarja.

9 Obiˇ cajno raˇ cunanje

Indijska trigonometrija je bila pod vplivom grˇske, obiˇcajna geometrija pa se v Indiji ni razvijala tako kot na Grˇskem. Tudi s krivuljami se niso ukvarjali razen s kroˇznico. Kitajci in Indijci so stoˇznice kar nekako spregledali. Najbolj so se posvetili ˇstevilom, aritmetiˇcnim operacijam in enaˇcbam. Mestni zapis pa je lahko nevaren, saj se hitro najde goljuf, ki zapiˇse kako ˇstevko pred ali za ˇstevilom in ga s tem poveˇca. Zato so dodali kakˇsen dodaten znak, ki je oznaˇceval zaˇcetek in konec zapisanega ˇstevila. To velja ˇse danes. Ni odveˇc, da vˇcasih ˇstevila zapisujemo ˇse z besedami.

Pri raˇcunanju so v starih ˇcasih pisali po ploˇsˇcah, enakomerno potresenih z drobnim peskom ali moko. V bistvu ˇstevila ˇse danes seˇstevamo in mnoˇzimo tako kot nekoˇc Indijci. Seˇstevanje ni delalo teˇzav, za mnoˇzenje pa so uporabili tabelo, v katero so vpisovali delne produkte in jih v predpisanem zaporedju seˇsteli s prehodom ˇcez desetice.

..................................................................................................................

..................................................................................................................

.........................................................

.........................................................

6

5

←−65 365

↓

3 6 5

1 3 3

1 3 2

8 6 0

5 0 5

2 3

7 2 5

Slika 6: Mnoˇzenje.

Za zmnoˇzek trimestnega in dvomestnega ˇstevilo nariˇsemo kvadratno mreˇzo 3×2, vsak kvadrat pa razdelimo po diagonali v smeri .. Trimestno ˇstevilo zapiˇsemo nad tabelo, dvomestno pa na desni strani tabele (slika 6). Nato vpiˇsemo v vsak kvadrat delni produkt ˇstevila zgoraj in na desni strani. Enice vpiˇsemo pod diagonalo, desetice pa nad njo. Nato v smeri . seˇstejemo vsa

dobljena ˇstevila v tabeli, in sicer od desne proti levi. Upoˇstevamo prehod ˇcez deset, ˇce je treba. Delne vsote piˇsemo pod tabelo in ob njeni levi strani s tem dobimo vse ˇstevke iskanega produkta. S tem smo izraˇcunali: 365·65 = 23 725.

Tako lahko zmnoˇzimo poljubni ˇstevili, le tabela je lahko drugih dimenzij. Or- ganizacija mnoˇzenja je lahko tudi drugaˇcna od opisane.

Pisno deljenje dolgih ˇstevil je bilo vedno mukotrpno, tako kot danes.

So pa vsi, Grki, Indijci in Kitajci, poznali pravilo devetice pri preverjanju pravilnosti rezultata. Ni znano, kdo je to pravilo prvi odkril. Ve pa se, da je prek Arabcev v 11. stoletju priˇslo v sploˇsno rabo.

Preverimo raˇcun 365· 65 = 23 725. ˇStevilska vsota prvega faktorja je 3 + 6 + 5 = 14, ki po deljenju z 9 da ostanek 5. ˇStevilska vsota drugega faktorja je 6 + 5 = 11, ki po deljenju z 9 da ostanek 2. ˇStevilska vsota produkta je 2 + 3 + 7 + 2 + 5 = 19, ki po deljenju z 9 da ostanek 1. Produkt ostankov faktorjev je 5·2 = 10, ki po deljenju z 9 tudi da ostanek 1. Torej je produkt danih ˇstevil pravilen.

10 Teˇ zave s ˇ stirikotniki

Teˇzave z indijsko matematiko so kronoloˇske narave. Tako kot je teˇzko dati- rati nastanek neke fotografije in doloˇciti osebe na njej, ˇce nanjo nihˇce ni dodal datuma in imena ljudi, je tudi teˇzko ugotavljanje nastanka indijskih matematiˇcnih rokopisov. Tako je tudi teˇzko ugotoviti, kdo je nekaj prvi od- kril. Pri Arjabhati, na primer, je treba biti previden, ker se je v 10. stoletju pojavil ˇse en Arjabhata (Mlajˇsi) (920–1000). Indijski avtorji le redko citirajo svoje predhodnike. Vˇcasih se delajo preseneˇcene, da so odkrili nekaj novega, ˇ

ceprav je bilo ˇze znano sto let prej. Brahmagupta(598–668) –brahmagupta– b}hmgpt, ki je ˇzivel v osrednji Indiji, ima nekaj skupnega z Arjabhato, ki je ˇzivel v vzhodni Indiji. Brahmagupta omenja za ˇsteviloπdva pribliˇzka, 3 in√

10, ki sta slabˇsa kot Arjabhatova. Najboljˇse Brahmaguptovo delo v trigonometriji je Brahmasphuta siddhanta – br¯ahmasphut.asiddh¯anta – b}Ahm-pVEsdAt iz leta 628. Pisana je ˇslokah, indijskih verzih (ˇsloka – ´sloka – lok). Za polmer trigonometriˇcnega kroga vzamer = 3270 enot. Knjiga vsebuje ˇse dele z arit-

metiko, algebro, geometrijo in teorijo ˇstevil. Brahmagupta je bil prvi, ki je priznal, da je niˇc ˇstevilo. Knjiga je bila okoli leta 770 prevedena v arabˇsˇcino z naslovomZidˇz as sinhind al kabir–

QJ.ºË@ Y Jë Y J‚Ë@ i.K P

, na kratkoSindhind.

S tem je bil Zahod ˇse bolj seznanjen z indijsko trigonometrijo, desetiˇskim sis- temom in matematiko sploh.

Brahmagupta je poznal parametrizacijo pitagorejskih trojic (a, b, c), kar danes zapiˇsemo s formulami

a= 2mn, b=m² −n², c=m² +n²,

kjer sta m in n naravni ˇstevili in m > n. Vedel je tudi, da pri znani kateti a pravokotnega trikotnika lahko racionalno izrazimo s parametrom m drugo kateto in hipotenuzo. Z naˇsimi oznakami:

b= 1 2

a² m −m

!

, c= 1 2

a² m +m

!

.

S tema formulama dobimo pravokotne trikotnike z racionalnimi stranicami, ˇ

ce izbiramo a in m med pozitivnimi racionalnimi ˇstevili in je a > m. Nista pa niˇc novega, ker sta samo modifikaciji prejˇsnjih (v slednjih pomnoˇzimo vse tri stranice z 2m in a zamenjamo z n). Prav tako je naˇsel postopek, kako pri znani hipotenuzicpravokotnega trikotnika najdemo racionalna izraza za kateti. V naˇsi pisavi:

a= 2mnc

m²+n², b= c(m² −n²) m²+n² .

Raznostraniˇcne trikotnike z racionalnimi stranicami a, b, c, racionalnim ob- segom o, racionalno ploˇsˇcino p, racionalnimi viˇsinami v_a, v_b, v_c in racional- nimi polmeri oˇcrtanih in vˇcrtanih krogov, r in %, po Brahmagupti dobimo, ˇ

ce izrazimo stranice s formulami a= 1

2 x²

p −p+ x² q −q

!

, b= 1 2

x² p +p

!

, c= 1 2

x² q +q

!

,

pri ˇcemer so x, p, q pozitivna racionalna ˇstevila in x > √

pq. Skrben raˇcun nam res da same racionalne izraze v spremenljivkah p, q, x:

o= x²(p+q)

pq , p= x(x²−pq)(p+q)

4pq ,