Izpitne teze iz Uvoda v teoretiˇcno fiziko
Na vpraˇsanja odgovarjajte kratko in se drˇzite zgolj tega, po ˇcemer se vpraˇsuje. Ne poz- abite definirati vseh koliˇcin in simbolov, ki jih uporabljate v odgovorih! Izpeljava mora vsebovati vse pomembne korake od prvega do zadnjega.
Prvi del:
1. Iz drugega Newtonovovega zakona izpelji Lagrangeovo funkcijo za toˇckast delece v zunanjem polju.
2. Iz Hamiltonovega principa izpelji Euler - Lagrangeove enaˇcbe gibanja za en sam toˇckast delec.
3. Iz ˇcasovno homogene Lagrangeove funkcije izpelji uztrezni ohranitveni zakon (prvi teorem E. Noetherjeve).
4. Iz ˇprostorsko homogene Lagrangeove funkcije izpelji uztrezni ohranitveni zakon (prvi teorem E. Noetherjeve).
5. Iz ˇprostorsko izotropne Lagrangeove funkcije izpelji uztrezni ohranitveni zakon (prvi teorem E. Noetherjeve).
6. vpelji posploˇsene koordinate v Lagrangeovo funkcijo in pokaˇzi, da se oblika Euler - Lagrangeove enaˇcbe ne spremeni.
7. Zapiˇsi Lagrangeovo funkcijo za Keplerjev problem in izpelji ustrezne gibalne (Euler - Lagrangeove) enaˇcbe.
8. Iz Euler - Lagrangeovih enaˇcb za Keplerjev problem izpelji ohranjevanje celotne energije delca. Zapiˇsi jo!
9. Izpelji enaˇcbo tira pri Keplerjevem problemu.
10. Vpelji Hamiltonovo funkcijo kot Legendrovo transformacijo Lagrangeove funkcije.
11. Izpelji Hamiltonove enaˇcbe gibanja.
12. Izpelji Hamiltonovo funkcijo za toˇckast delec v zunanjem polju.
13. Izpelji Hamiltonove enaˇcbe iz Hamiltonovega naˇcela najmanjˇse nuje.
14. Izpelji Hamiltonove enaˇcbe za Keplerjev problem.
15. Vpelji Poissonove oklepaje in izpelji Hamiltonobve enaˇcbe v obliki, ki vsebuje Pois- sonove oklepaje.
16. Kaj so to kanoniˇcne transformacije in kako se izraˇza Lagrangeova funkcija v starih
17. Izpelji, da je gibanje kanoniˇcna transformacija.
18. Izraˇcunaj nujo za prosti delec.
19. Izpelji Liouvilleov teorem.
20. Izpelji Euler - Lagrangeove enaˇcbe za sistem sklopljinih harmonskih oscilatorjev in zapiˇsi njihove reˇsitve. izpelji ˇcasovni odvod poljubnega ˇcasovno spremenljivega vektorja v enakomerno vrteˇcem se koordinatnem sistemu.
21. Izpelji vse tri sistemske pospeˇske v kroˇzeˇcem koordinatnem sistemu.
22. S pomoˇcjo Lagrangeove funkcije za kroˇzenje izpelji gibalno enaqˇcbo kroˇzeˇcega delca.
23. Opiˇsi in nariˇsi pomike, ki ustrezajo Eulerjevim kotom.
24. Zapiˇsi kotno hitrost vrtenja s pomoˇcjo ˇcasovnih odvodov Eulerjevih kotov in ko- mentiraj rezultat s shematsko sliko.
25. Izpelji gibalno enaˇcbo za togo telo v koordinatnem sistemu, ki miruje.
26. Izpelji gibalno enaˇcbo za togo telo v koordinatnem sistemu, ki se vrti skupaj s telesom (Eulerjeve enaˇcbe vrtenja).
27. Zapiˇsi Eulerjeve enaˇcbe vrtenja za telo, ki ima dve lastni vrednosti tenzorja vztra- jnostnega momenta enaki.
28. Zapiˇsi Lagrangeovo funkcijo teˇzke simetriˇcne vrtavke in jo komentiraj.
29. Zapiˇsi Euler - Lagrangeove enaˇcbe za teˇko simetriˇcno vrtavko.
30. Izpelji enega od integralov gibanja Euler - Lagrangeovih enaˇcb teˇzke simetriˇcne vrtavke.
31. Izpelji kotno hitrost poˇcasne precesije teˇzke simetriˇcne vrtavke.
32. Izpelji kotno hitrost hitre precesije teˇzke simetriˇcne vrtavke. vpelji tenzor deforma- cvije skozi metriˇcni tenzor pred in po deformacijo.
33. Izpelji zvezo med tenzorjem deformacije in vektorjem deformacije v sploˇsnem nelin- earnem primeru.
34. Pokaˇzi in izpelji kakˇsen je fizikalni pomen diagonalnih ˇclenov tenzorja deformacije.
35. Pokaˇzi in izpelji kakˇsen je fizikalni pomen nediagonalnih ˇclenov tenzorja deformacije.
36. Zapiˇsi Lagrangeovo funkcijo deformiranega izotropnega in homogenega zveznega telesa.
2
37. Izpelji Euler - Lagrangeove enaˇcbe za deformirano izotropno homogeno zvezno telo in vpelji tenzor napetosti.
38. Pokaˇzi, da je tenzor napetosti v zvezi s povrˇsinakimi silami deformiranega zveznega telesa.
39. Zapiˇsi skalarne invariante drugega reda tenzorja deformacije in od tod ustrezno Lagrangeovo funkcijo deformiranega izotropnega zveznega telesa.
40. Iz oblike Lagrangeove funkcije za izotropno zvezno telo izpelji Hookeov zakon.
41. Izpelji inverzno obliko Hookeovega zakona.
42. Izpelji zvezo med izotropno stisljivostjo in obema Lamejevima elastiˇcnima konstan- tama.
43. Iz Hookeovega zakona zpelji vse neniˇcelne komponente tenzorja deformacije za Pois- sonov problem.
44. Kako je definirano Poissonovo razmerje in kako se izraˇza z Lamjevima elastiˇcnima konstantama?
45. Iz Cauchyjeve enaˇcbe in Hookeovega zakona izpelji Navierovo enaˇcbo za deformaci- jski vektor.
46. Izpelji kakˇsne so sploˇsne lastnosti reˇsitev Navierove enaˇcbe.
Drugi del:
1. S pomoˇcjo Eulerjeve identitete izpelji kontinuitetno enˇcbo za tekoˇcino.
2. Izpelji Kelvinov teorem za cirkulacijo idealne tekoˇcine.
3. Izpelji Helmholtzevo enaˇcbo za vrtinˇcnost idealne tekoˇcine.
4. Izpelji Helmholtzev teorem za vrtinˇcnost idealne tekoˇcine.
5. Izpelji Biot-Savartov zakon za idealne tekoˇcine in od tod hitrostno polje vrtinˇcne niti.
6. Izpelji Bernoullijevo enaˇcno za potencialni tok idealne tekoˇcine
7. Zapiˇsi hitrostni potencial pri idelaznem obtekanju krogle in od tod izraˇcunaj hitrostno polje.
8. Pokazˇzi, da je pri idealnem obtekanju krogle sila upora na kroglo enaka niˇc.
9. Zapiˇsi osnovne enaˇcbe za dvodimenzionalni potencialni tok nestisljive tekoˇcine.
10. Pokaˇzi, da je sistem dvodimenzionalnih vrtincev Hamiltonov sistem.
11. Izpejli hitrost von Karmanove vrtinˇcne steze.
12. Zapiˇsi hitrostni potencial in tokovno funkcijo za obtekanje valja s cirkulacijo.
13. Izpelji hitrostno polje za obtekanje valja s cirkulacijo.
14. Izpelji teorem Kutta - ˇZukovski.
15. Zapiˇsi transformaicjo ˇZukovskega in pokaˇzi, da v limitnem primeru pretransformira krog v daljico.
16. Izpelji Kuttin pogoj in od tod dinamiˇcni vzgon na krilo.
17. Izpelji Lagrangeovo funkcijo za nabit delec v zunanjem elektromagnetnem polju.
18. Izpelji, da je elektrimagnetno polje invariantno na umritveno transformacijo.
19. Izpelji Hamiltonovo funkcijo za delec v zunanjem elektromagnetnem polju.
20. Izpelji Schwartzschildovo invarianto za zvezno porazdeljene izvore elektromagnet- nega polja.
21. Iz akcije elektromagnetneg apolja in njegovih izvorov izpelji s pomoˇcjo Euler- La- grangeovih enaˇcb Maxwellove neˇcbe polja.
22. Zapiˇsi Maxwellove enaˇcbe polja in pokaˇzi, da velja kontinuitetna enaˇcba za naboj.
4
23. Zapiˇsi osnovne enaˇcbe elektrostatike in od tod izpelji elektrostatski potencial za poljubno porazdelitev naboja.
24. Izpelji energijo delca v elektrostatskem polju.
25. Izpelji izraz za tenzor napetosti elektrostatskega polja.
26. Izpelji izraz za silo med dvema enakima nabojema s pomoˇcjo tenzorja napetosti elektriˇcnega polja.
27. Izpelji multipolen razvoj elektrostatskega polja.
28. Izpelji izraz za elektriˇcno polje dipolnega izvora.
29. Zapiˇsi osnovne enaˇcbe magnetostatike in od tod izpelji vektorski potencial poljubne porazdelitve gostote toka.
30. Izpelji energijo delca v magnetostatskem polju.
31. Izpelji multipolen razvoj magnetostatskega polja.
32. Izpelji izraz za magnetno polje magnetnega dipola.
33. lzpelji zakon o ohranjevanju energije elektromagnetnega polja.
34. Izpelji zakon o ohranjevanju gibalne koliˇcine elektromagnetnega polja.
35. Vpelji elektriˇcno polje v snovi.
36. Vpelji magnetno polje v snovi.
37. Izpelji robne pogoje Maxwellovih enaˇcb polja.
Tretji del:
1. Opiˇsi interferenˇcni poskus in na njegovi osnovi vpelji verjetnostno amplitudo!
2. Zapiˇsi in komentiraj oba Feynmanova postulata.
3. Iz Feynmanovega postulata izpelji Hamiltonov princip za klasiˇcni delec.
4. Izpelji in komentiraj osnovno konvolucijsko lastnost verjetnostne amplitude.
5. Kakˇsna je verjetnostna amplituda za isti ˇcas?
6. Izpelji verjetnostno amplitudo prostega delca.
7. Izpelji verjetnostno gostoto prostega delca in jo komentiraj.
8. Iz verjetnostne amplitude za proste delec izpelji de Brogliejevo enaˇcbo.
9. Iz Iz verjetnostne amplitude za proste delec izpelji Planck - Einsteinovo enaˇcbo.
10. Vpelji valovno funkcijo s pomoˇcjo verjetnostne amplitude.
11. Izpelji Schr¨odingerjevo enaˇcbo za valovno funkcijo.
12. Iz Schr¨odingerjeve enaˇcbe izpelji valovno funkcijo za valovni paket.
13. Izpelji Heisenbergovo naˇcelo za Gaussov valovni paket.
14. Opiˇsi in nariˇsi ˇcasovno evolucijo Gaussovega valovnega paketa.
15. Vpelji operator gibalne koliˇcine in definiraj njegovo priˇcakovano vrednost.
16. Izpelji Heisenbergovo enaˇcbo gibanja za poljuben operator.
17. Izpelji Ehrenfestov teorem za operator gibalne koliˇcine in koordinate.
18. Zapiˇsi in komenbtiraj Heisenbergovo naˇcelo nedoloˇcenosti za poljubna dva opera- torja v primeru, da je njun komutator enak ali pa razliˇcen od niˇc.
19. Ali v kvantnio mehaniki obstaja absolutno mirovanje? Kdaj (ne) obstaja?
20. Kaj je to minimalni valovni paket? Kaj opisuje?
21. Kakˇsna je verjetnostna gostota minimalnega valovnega paketa.
22. Kakˇsna je reˇsitev ˇcasovno neodvisne Schr¨odingerjeve eneˇcbe.
23. Izpelji kako se propagator izraˇza z lastnimi funkcijami Hamiltonovega operatorja.
24. Zapiˇsi propagator harmonskega oscilatorja zgolj s klasiˇcimi koliˇcinami.
6
25. Ali se da poljuben operator zapisati zgolj s klasiˇcnimi koliˇcinami?
26. Zapiˇsi propagator harmonskega oscilatorja kot razvoj po lastnih energijah.
27. Kakˇsne so lastne energije harmonskega oscilatorja v kvantni mehaniki? Zakaj v najniˇzjem energijskem stanju lastna energija ni enaka niˇc?
28. Opiˇsi oscilirajoˇci valovni paket. Katera je njegova najpomembnejˇsa lastnost? V ˇcem se ralikuje od prostega valovnega paketa?
29. Pokaˇzi, da se da EM polje v vakuumu zapisati kot sistem harmonskih oscilatorjev.
30. Izpelji Hamiltovo funkcijo sistema harmonskih oscilatorjev EM polja.
31. Kako kvantiziramo EM polje v vakuumu?
32. Kaj je to Casimirjev efekt in posledica ˇcesa je?
33. Izpelji Casimirjevo energijo in jo komentiraj.
Cetrti del:ˇ
1. Kako je definirana temeperatura pri mikrokanoniˇcnem ansamblu in kaj pomeni?
2. Definiraj kvazistatiˇcno delo pri termodinamski spremembi in navedi primer.
3. Napiˇsi definicijo tlaka, kemijskega potenciala in inverzne temperature za mikrokanoniˇcni ansambel s pomoˇcjo ˇstevila stanj (U,V,N).
4. Izpelji ˇstevilo stanj idealnega plina v neskonˇcni jami v odvisnosti od energije za mikrokanoniˇcni ansambel.
5. Iz ˇstevila stanj idealnega plina v neskonˇcni jami izpelji enaˇcbo stanja.
6. Izpelji Boltzmannovo porazdelitev v kanoniˇcnem ansamblu.
7. Izpelji zvezo med prosto energijo in entropijo pri kanoniˇcnem ansamblu.
8. Zapiˇsi statistiˇcno vsoto za kanoniˇcni ansambel s pomoˇcjo vsote po energijskih nivojih in s pomoˇcjo vsote po stanjih.
9. Kako je definirana (Helmholtzova) prosta energija in od katerih spremenljivk je odvisna?
10. Kako se (Helmholtzova) prosta energija zapiˇse z notranjo energijo in entropijo?
11. Zapiˇsi in izpelji entropijo, notranjo energijo, tlak in kemijski potencial z odvodi
12. Zapiˇsi entropijo z vsoto po verjetnostih stanj v kanoniˇcnem ansamblu.
13. Izpelji tlak idealnega plina v kanoniˇcnem ansamblu.
14. Izpelji entropijo in kemijski potencial idealnega plina v kanoniˇcnem ansamblu.
15. Kolikˇsne so fluktuacije notranje energije pri kanoniˇcnem ansamblu.
16. V mikrokanoniˇcnem ansamblu je notranja energija, torej povpreˇcna energija, U = U(S,V,N), funkcija entropije, volumna in ˇstevila delcev. Na kakˇsen naˇcin lahko vpeljemo funkcijo stanja, ki pa bo funkcija spremenljivk temperatura, volumen in ˇstevilo delcev F = F(T,V,N).
17. Kakˇsne morajo biti v termodinamskem ravnovesju funkcije S (entropija), F (Helmholt- zova prosta energija) ali G (Gibbsova prosta entalpija).
18. Izpelji statistiˇcno vsoto za velekanoniˇcni ansambel.
19. Zapiˇsi Gibbsovo prosto energijo za velekan velekanoniˇcni ansambel in povej od ka- terih spremenljivk je odvisna.
20. Izpelji Gibbsovo formulo za entropijo velekanoniˇcnega ansambla.
21. Pokaˇzi, da so razliˇcni ansambli povezani preko Legendrovih transformacij in zapiˇsi te transformacije za mikro, vele in kanoniˇcni ansambel.
22. IZpelji zvezo med Gibbsovo in Helmholtzevo prosto energijo.
23. Ipelji in komentiraj Gibbs - Duhemovo enaˇcbo.
24. Izpelji velekanoniˇcno statistiˇcno vsoto in enaˇcbo stanja za idealni plin.
25. Kolikˇsne so fluktuacije notranje energije in ˇstevila delcev pri velekanoniˇcnem ansam- blu.
26. Izpelji eno od Maxwellovih termodinamskih enaˇcb.
27. Zapiˇsi lastno energijo prostega elektromagnetnega polja kot funkcijo valovnega vek- torja.
28. Izpelji prosto energijo elektromagnetnega polja ˇcrnega telesa in od tod termiˇcni spekter elektromagnetnega valovanja.
29. Izpelji Stefanov zakon.
30. Izpelji kako vsoto po vseh valovnih vektorjih spremenimo v integral po velikosti valovnega vektorja.
31. Kaj je Debyejev pribliˇzek in kakˇsna funkcija temperature je gostota notranje energije mreˇznih nihanj kriostala pri zelo nizki temperaturi.
8
32. Kaj je to Dulong Petitov zakon.
33. Kako definiramo gostotni operator in kateri enaˇcbi zadoˇsˇca.
34. Zapiˇsi in izpelji Blochovo enaˇcbo.
35. Kakˇsna zveza povezuje kvantni propagator delca in njegovo gostotno matriko v r reprezentaciji.
36. Kako se gostotna matrika zapiˇse s pomoˇcjo Feynmanovega integrala. pelji gostotno matriko v klasiˇcni limiti.
