Laboratorijske vaje Matematika 4
4. Vaja parcialne diferencialne enaˇcbe
B. Jurˇciˇc Zlobec1
1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija
Matematika 4 FE, Ljubljana, 17. april 2013
Sploˇsni primer
S pomoˇcjo ukaza DSolve, reˇsi parcialno diferencialno enaˇcbo
∂2u
∂x2 +∂u
∂x == 0.
DSolve[D[u[x,y],{x,2}]+D[u[x,y],x]==0,u[x,y],{x,y}]
Out[]={{u[x, y] -> -E^(-x) C[1][y] + C[2][y]}}
Robni problem
Reˇsi naslednji robni problem
∂2u
∂2x +∂u
∂x == 0, u(0,y) =y2, u(1,y) = 3y.
DSolve[{D[u[x,y],{x,2}]+D[u[x,y],x]==0,
u[0, y] == y^2, u[1, y] == 3 y},u[x,y],{x,y}]
Out[]={{u[x, y] -> (E^{-x} y (-3 E + 3 E^(1 + x) + E y - E^x y))/(-1 + E)}}
Zaˇ cetni problem
Reˇsi zaˇcetni problem
∂2u
∂x2 +∂u
∂x == 0, u(0,y) =y, ∂u
∂x (0,y)
=y2 DSolve[{D[u[x,y],{x,2}]+D[u[x,y],x] == 0,
u[0, y] == y, (D[u[x, y],x]/.x->0) == y^2}, u[x,y],{x,y}]
Out[]={{u[x, y] -> E^(-x) y (E^x - y + E^x y)}}
Parcialne diferencialne enaˇ cbe
Reˇsi naslednjo parcialno diferencialno enaˇcbo
∂2u
∂x∂y + 2∂u
∂x == 0, u(0,y) = 1 + 2y, ∂u
∂x (x,0)
=x DSolve[{D[v[x,y],y] + 2v[x,y] == 0, v[x,0] == x},
v[x, y], {x, y}]
DSolve[{D[u[x,y],x] == v[x,y]/.%, u[0,y] == 1 + 2y}, u[x, y], {x, y}]
Out[]={{v[x, y] -> E^(-2 y) x}}
Out[]={{u[x, y] -> 1/2 E^(-2 y) (2 E^(2 y) +
Loˇ cljive spremenljivke
Poiˇsˇci reˇsitev diferencialne enaˇcbe, ki ima loˇceni spremenljivki.
∂U(x,t)
∂x = ∂U(x,t)
∂t
Zapiˇsemo U(x,t) =X(x)T(t) in vstavimo v enaˇcbo.
DobimoX0(x)T(t) =X(x)T0(t).
Delimo enaˇcbo z X(x)T(t) in dobimo XT(t)(x) = TT(t)0(t). Leva stran je odvisna od x, desna je odvisna odt.
To je mogoˇce le ˇce je XX(x)(x) =k in TT(t)0(t) =k, kjer je k poljubna konstanta.
Reˇsimo X(x) =Aekx in T(t) =Bekt.
Reˇsitev jeU(x,t) =Cek(x+y), kjer stak in C poljubni konstanti.
Loˇ cljive spremenljivke
Poiˇsˇci tiste reˇsitve, ki imajo loˇcene spremenljivke
x2∂U(x,t)
∂x =t∂U(x,t)
∂t U[x_,t_] = X[x] T[t];
{x^2 D[U[x, t], x], t D[U[x, t], t]}
%/U[x,t]//Flatten Map[# == k &, %]
MapThread[DSolve[#1,#2,#3]&,{%,{X[x],T[t]},{x,t}}]
%//Flatten
U[x_, t_] = X[x] T[t] /. % /. C[1]^2 -> K
Loˇ cene spremenljivke
Poiˇsˇci omejene reˇsitve, ki imajo loˇcene spremenljivke
∂2U(x,t)
∂x2 = 1 c2
∂2U(x,t)
∂t2 U[x_,t_] = X[x] T[t];
{D[U[x, t], {x, 2}], 1/c^2*D[U[x, t], {t, 2}]}
%/U[x, t]// Flatten Map[# == -omega^2 &, %]
MapThread[DSolve[#1,#2,#3]&,{%,{X[x],T[t]},{x,t}}]
%//Flatten
{X[x] -> C[1] Cos[omega x] + C[2] Sin[omega x], T[t] -> C[1] Cos[c omega t] + C[2] Sin[c omega t]}
