Matematika 2

Matematika 2

Gregor Dolinar

Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani

28. maj 2014

Diferencialne enaˇ cbe viˇsjega reda

Spomnimo se, da je diferencialna enaˇcban-tega reda diferencialna enaˇcba oblike

F(x,y,y⁰,y⁰⁰, . . . ,y⁽ⁿ⁾) = 0, sploˇsna reˇsitev diferencialne enaˇcbe n-tega pa je

y =y(x,C1,C2, . . . ,Cn).

V reˇsitvi nastopan konstant, ki jih doloˇcimo s pomoˇcjo

I n zaˇcetnih pogojev

y(x0) =y0,y⁰(x0) =y1, . . . ,y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) =yn−1 I n robnih pogojev

Reˇsevanje diferencialnih enaˇcb viˇsjega reda je zelo zahteven problem.

Zato se bomo pri obravnavanju diferencialnih enaˇcb viˇsjega reda omejili na linearne diferencialne enaˇcbe.

Linearne diferencialne enaˇ cbe viˇsjega reda

Definicija

Linearna diferencialna enaˇcban-tega reda je diferencialna enaˇcba oblike

y⁽ⁿ⁾(x) +fn−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +. . .+f1(x)y⁰(x) +f0(x)y(x) =r(x).

Linearna diferencialna enaˇcba drugega reda, ko je torejn = 2, je diferencialna enaˇcba oblike

y⁰⁰(x) +f(x)y⁰(x) +g(x)y(x) =r(x).

Oglejmo si najprej homogeno linearno diferencialno enaˇcbo drugega reda, torej diferencialno enaˇcbo oblike

y⁰⁰(x) +f(x)y⁰(x) +g(x)y(x) = 0. (1) Trditev

Denimo, da sta y₁ in y₂ reˇsitvi homogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda (1). Potem je tudi vsaka linearna kombinacija funkcij y₁ in y₂, torej funkcija

y(x) =C1y1(x) +C2y2(x), C1,C2 poljubni konstanti, prav tako reˇsitev diferencialne enaˇcbe (1).

Dokaz

Naj bosta y1 in y2 reˇsitvi homogene LDE drugega reda y⁰⁰(x) +f(x)y⁰(x) +g(x)y(x) = 0 in naj bo

y(x) =C1y1(x) +C2y2(x).

Potem je

(C₁y₁(x) +C₂y₂(x))⁰⁰+f(x)(C₁y₁(x) +C₂y₂(x))⁰ +g(x)(C₁y₁(x) +C₂y₂(x))

=C₁(y₁⁰⁰(x) +f(x)y₁⁰(x) +g(x)y₁(x)) +C2(y₂⁰⁰(x) +f(x)y₂⁰(x) +g(x)y2(x))

= 0

Ce jeˇ y₁ reˇsitev homogene LDE, potem smo pokazali, da je npr.

y₁+y₁= 2y₁ tudi reˇsitev.

Ta reˇsitev ni bistveno drugaˇcna od reˇsitvey1. Definicija

Funkcijiy₁ in y₂ stalinearno odvisni, ˇce obstaja neka konstanta C, tako da je

y₂(x) =Cy₁(x) za vsakx iz definicijskega obmoˇcja funkcije y₁. Ce kvocientˇ

y1

y2

ni kostantna funkcija, potem sta funkcijiy1 iny2 linearno nedovisni.

Primer

I

y₁(x) = sinxcosx, y₂(x) = sinx

I

y1(x) = sinxcosx, y2(x) = sin(2x)

Pri ugotavljanju linearne odvisnosti funkcijy₁ in y₂ si lahko pomagamo zdeterminanto Wronskega

W(y₁,y₂)(x) =

y1(x) y2(x) y₁⁰(x) y₂⁰(x) .

Ce je determinanta Wronskega enaka niˇˇ c za vsakx iz nekega obmoˇcja, potem sta funkciji linearno odvisni.

Ce je determinanta Wronskega razliˇˇ cna od niˇc za nek x, potem sta funkciji linearno neodvisni.

Determinanto Wronskega lahko posploˇsimo tudi na veˇc funkcij.

Primer

Preverimo linearno odvisnost funkcij ˇse z determinanto Wronskega.

I

y1(x) = sinxcosx, y2(x) = sinx

I

y₁(x) = sinxcosx, y₂(x) = sin(2x)

Izrek Funkcija

y(x) =C₁y₁(x) +C₂y₂(x) je sploˇsna reˇsitev diferencialne enaˇcbe

y⁰⁰(x) +f(x)y⁰(x) +g(x)y(x) = 0. (2) natanko tedaj, ko sta y₁ in y₂ linearno nedovisni reˇsitvi

diferencialne enaˇcbe (2).

Opomba

Ce dobimo sploˇsno reˇsitev DE, potem smo dobili vse reˇsitve DE.ˇ Ce hoˇˇ cemo torej poiskati vse reˇsitve diferencialne enaˇcbe (2), potem moramo poiskati dve linearno neodvisni reˇsitviy₁ in y₂,

Pri linearnih diferencialnih enaˇcbah drugega reda se bomo omejili na dva tipa diferencialnih enaˇcb:

I Linearna diferencialna enaˇcba s konstantnimi koeficienti

I Eulerjeva diferencialna enaˇcba

Definicija

Diferencialna enaˇcba oblike

y⁰⁰(x) +ay⁰(x) +by(x) =r(x),

pri ˇcemer sta a,b ∈Rkonstanti, se imenuje linearna diferencialna enaˇcba s konstantnimi koeficienti.

Zapisana diferencialna enaˇcba je homogena, ˇce jer(x) = 0 za vsak x.

Reˇsitev homogene diferencialne enaˇcbe s konstantnimi koeficienti y⁰⁰(x) +ay⁰(x) +by(x) = 0

iˇsˇcemo z nastavkom

y(x) =e^λx.

Potem jey⁰(x) =λe^λx in y⁰⁰(x) =λ²e^λx, torej λ²e^λx +aλe^λx+be^λx = 0.

Enakost krajˇsamo ze^λx in dobimo karakteristiˇcno enaˇcbo λ²+aλ+b = 0.

Ce je konstantaˇ λreˇsitev karakteristiˇcne enaˇcbe

λ²+aλ+b = 0, potem je funkcija

y(x) =e^λx reˇsitev diferencialne enaˇcbe

y⁰⁰(x) +ay⁰(x) +by(x) = 0.

Kvadratna enaˇcba ima lahko:

I dve razliˇcni realni reˇsitvi

I dve razliˇcni konjugirani kompleksni reˇsitvi

I eno realno reˇsitev

Karakteristiˇcna enaˇcba ima dve razliˇcni realni reˇsitviλ₁, λ₂ ∈R, λ1 6=λ2.

Potem stae^λ1x in e^λ2x linearno neodvisni reˇsitvi, saj e^λ1x

e^λ2x =e^(λ1−λ2)x ni konstantna funkcija.

Sploˇsna reˇsitev homogene LDE s konstantnimi koeficienti je potem y(x) =C1e^λ1x+C2e^λ2x.

Karakteristiˇcna enaˇcba ima dve razliˇcni kompleksni reˇsitvi λ₁, λ₂ ∈C,λ₁ =p+iq 6=λ₂ =p−iq.

Spomnimo se, da je

eiqx = cos(qx) +isin(qx).

Potem je

C₁e^(p+iq)x +C₂e^(p−iq)x

=e^px(C1eiqx +C2e⁻iqx)

=e^px(C1(cos(qx) +isin(qx)) +C2(cos(qx)−isin(qx)))

=e^px(cos(qx)(C₁+C₂) + sin(qx)i(C₁−C₂))

Sploˇsna reˇsitev homogene LDE s konstantnimi koeficienti je potem y(x) =e^px(D cos(qx) +D sin(qx)).

Karakteristiˇcna enaˇcba ima eno realno reˇsitev λ∈R. Izkaˇze se, da je druga linearno neodvisna reˇsitevxe^λx. Oˇcitno stae^λx in xe^λx linearno neodvisni funkciji.

Preverimo, da jexe^λx res reˇsitev DE.

Sploˇsna reˇsitev homogene LDE s konstantnimi koeficienti je potem y(x) =C1e^λx+C2xe^λx.

Primer

y⁰⁰+y⁰−2y = 0

Primer

y⁰⁰+y⁰+ 4y = 0

Primer

y⁰⁰−2y⁰+y = 0