1. Pokaˇzite, da je rekurzivno podano zaporedje a

(1)

PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA NALOGA TO ˇCKE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

SKUPAJ

3. kolokvij iz predmeta

OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE

20.3.2006

Toˇ ckovanje: 20+15+10+30+10+20=105

1. Pokaˇzite, da je rekurzivno podano zaporedje a

₁

= √

6, a

_n+1

= √

6 + a

_n

naraˇsˇcajoˇce in navzgor omejeno s 3. Utemeljite konvergenco in doloˇcite limito.

2. Z uporabo Leibnizovega kriterija za konvergenco vrst pokaˇzite, da je vrsta P

^∞

n=1

(−1)

ⁿ⁻¹ ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₄n

konvergentna. Izraˇcunajte njeno tretjo delno vsoto s

3

in ocenite |s − s

3

|. Preverite, ˇce je vrsta tudi absolutno konvergentna.

3. S pomoˇcjo odvoda pokaˇzite, da za vsak x ≥ 0 velja 1 + x + x

²

2 ≤ e

^x

4. Naj bo

f (x) = x + 1 x

²

Za funkcijo f doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje, niˇcle, pole, obnaˇsanje na robu definicijskega obmoˇcja, asimptoto, stacionarne toˇcke, intervale naraˇsˇcanja in padanja, prevoje, intervale konvek- snosti in konkavnosti ter ˇcimbolj natanˇcno nariˇsite njen graf.

5. Doloˇcite parametra a in b tako, da bo funkcija

f (x) =

 



 

b(

^√^1−x−1_x

) x < 0

a x = 0

xe^x−sin(2x)

xcosx

x > 0

zvezna.

6. S pomoˇcjo Taylorjevega polinoma reda 4 pribliˇzno izraˇcunajte vrednost izraza sin 0.3. Ocenite napako, ki jo pri tem zagreˇsite.

1

(2)

REˇSITVE 1. naloga:

Naraˇsˇcanje in omejenost pokaˇzemo s popolno indukcijo. Ker je zaporedje naraˇsˇcajoˇce in navzgor omejeno, je konver- gentno. Limita zaporedja je enaka 3.

2. naloga:

Oznaˇcimo an = (−1)ⁿ⁻¹ ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₄n incn =|an|= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₄n . Ker je limn→∞cn = 0 in zaporedje (cn) monotono padajoˇce, je po Leibnizovem kriteriju vrsta konvergentna.

Njena tretja delna vsota jes3= ₁₆⁵ in |s−s3|< cn+1= ₆₄⁵. Ker je limn→∞|^aⁿ⁺¹_a

n |=¹₄, je vrsta tudi absolutno konvergentna.

3. naloga:

Naj bo f(x) =e^x−1−x−^x₂². Izraˇcunamof⁰(x) in f⁰⁰(x).

Ker je f⁰⁰(x)≥0, jef⁰(x) je naraˇsˇcajoˇca. Ker je poleg tegaf⁰(0) = 0, jef⁰(0)≥0 zax≥0.

Ker je f⁰(x)≥0, jef(x) naraˇsˇcajoˇca. Ker je tudif(0) = 0, jef(x)≥0 zax≥0.

4. naloga:

Df =R\ {0}, f ima niˇclo v x=−1 in dvojni pol vx= 0. Funkcija ima asimptoto y(x) = 0, limx&0f(x) =∞in limx%0f(x) =∞. Odvodf je f⁰(x) =−^x+2_x3 , lokalni minimum ima vx=−2 in naraˇsˇca na intervalu (−2,0). Drugi odvod jef⁰⁰(x) =^2(x+3)_x4 , torej ima prevoj v toˇckix=−3 in je konveksna na intervalih (−3,0) in (0,∞). Graf funkcije:

-6 -4 -2 2 4

1 2 3 4 x+1

x²

5. naloga:

Funkcija bo v zvezna vx= 0, ˇce bo leva limita limx%0b(^√^1−x−1_x ) =−^b₂ enaka desni limiti limx&0xe^x−sin(2x)

xcosx =−1 in funkcijski vrednosti f(0) =a. Temu pogoju je zadoˇsˇceno, ˇce jea=−1 inb= 2.

6. naloga:

Taylorjev polinom reda 4 za funcijo sinxje enakT4(x; 0) =x−^x₆³. Torej je sin 0.3≈0.2955. Napako lahko ocenimo

2