UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
DIPLOMSKO DELO
KATJA STOJNŠEK
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Študijski program: Matematika in tehnika
Hipopeda in njej sorodne krivulje
DIPLOMSKO DELO
Mentor: Kandidatka:
izr. prof. dr. Marko Razpet Katja Stojnšek
Ljubljana, maj, 2015
Zahvala
Ko hodiš, pojdi zmeraj do konca.
Spomladi do rožne cvetice, poleti do zrele pšenice, jeseni do polne police, pozimi do snežne kraljice, v knjigi do zadnje vrstice, v življenju do prave resnice, v sebi do rdečice čez eno in drugo lice.
A če ne prideš ne prvič, ne drugič do krova in pravega kova, poskusi: vnovič in zopet in znova. (Tone Pavček)
Prva zahvala gre mojemu mentorju, prof. dr. Marku Razpetu, ki mi je pomagal in svetoval pri nastanku mojega diplomskega dela. Vedno je našel čas in prave besede, ki so mi omogočile strokovno in tudi osebno rast. Iskrena vam hvala za ves trud in čas, ki ste mi ga namenili, kajti z vašim znanjem in pomočjo je nastalo pričujoče delo. Zahvala gre tudi vsem ostalim profesorjem na fakulteti.
Zahvalila bi se rada svoji družini in sorodnikom, še posebej mami in očetu, ki sta mi omogočila študij in mi z vso ljubeznijo in potrpljenjem stala ob strani ne samo med študijem, temveč na vsakem koraku življenja. Mama, oče, brat, Helena, Kaja hvala, ker ste verjeli vame in me podpirali na vse načine in pri vsem, kar mi je življenje dalo. Zaradi vas sem postala to, kar sem.
Hvala tudi Jerneju Prahu in njegovi družini za vso moralno podporo med študijem.
Zahvaliti se moram še svojim sošolkam, še prav posebej Nataliji Naglič Pungaršek, Sonji Lahajner, Neli Markočič in Ani Malavašič, ki so mi med študijem vedno priskočile na pomoč.
Pri zahvalah ne smem pozabiti dobrih prijateljic, ki so mnogokrat na- šle spodbudne besede, ustrezno rešitev in topla dejanja, ki so pripomogla k zaključku mojega študija.
Program dela
V diplomskem delu poiščite povezave med nožiščnimi krivuljami elipse in hiperbole, Boothovimi lemniskatami, Proklovo hipopedo in Perzejevimi kri- vuljami.
Ljubljana, september 2014.
Mentor:
dr. Marko Razpet
Povzetek
V diplomskem delu je predstavljena ravninska krivulja hipopeda in njej soro- dne krivulje, ki nastanejo na različne načine. Hipopeda je algebrska krivulja 4. stopnje. Pogosteje jo poznamo kot Proklovo hipopedo, poimenovano po Proklu, ki jo je prvi raziskoval. Poznana je tudi kot Boothova lemniskata, ker je dobila ime po J. Boothu. Hipopeda je tudi presek torusa s tangentno rav- nino, ki je vzporedna osi rotacijske simetrije. Te krivulje so poseben primer Perzejevih krivulj. Oblika krivulje je odvisna od kraja, kjer je torus presekan.
Lahko je eliptična Boothova lemniskata, hiperbolična Boothova lemniskata, krivulja v obliki osmice ali Bernoullijeva lemniskata. Cilj diplomskega dela je čim bolj izčrpna obravnava lastnosti hipopede in njej sorodnih krivulj s številnimi prikazi slik tudi v 3D-pogledu, pri katerih so seveda dobrodošla 3D-očala. V zaključku so predstavljene ključne povezave obravnavanih kri- vulj in možnosti obravnave le-teh v osnovni in srednji šoli. Predstavljene so možnosti obravnave z uporabo programa dinamične geometrije GeoGebra, in to ne le v dvo-, ampak tudi v tridimenzionalnem prostoru. Ker je ta novost programa zelo sveža, je lahko toliko bolj zanimiva uporaba pri pouku.
Ključne besede: stožnice, ravninske krivulje, nožiščne krivulje, hipopeda, lemniskata, krivulje v prostoru, središčni razteg, Cassinijevi ovali.
Hippopede and its related curves Abstract
The thesis presents a plane curve, called hippopede, and its related curves which can arise in different ways. Hippopede is a plane algebraic quartic curve. It is often known as the hippopede of Proclus, named after Proclus, who was the first to study it, and also the curve of Booth because of work done on it by J. Booth. Hippopede is the intersection of a torus with one of its tangent planes, which is a plane parallel to its rotational symmetry axis.
These curves, named as Perseus curves or spiric sections, were first described by the ancient Greek geometer Perseus. The shape of the curve depends on the point where the torus is cut. It may bee an elliptical lemniscate of Booth, a hyperbolic lemniscate of Booth, a figure eight curve or a lemniscate of Bernoulli.
The aim of the thesis is to examine of the hippopede and its related plane curves by demonstration with pictures, sometimes in 3D; in that case 3D glasses are naturally welcome.
In the conclusion, the key links of dealt curves are presented and as well options for discussion of this subject matter in primary and secondary school. Possibilities of using the program of dynamic geometry GeoGebra in two- and in three-dimensional space are also presented. Because it is still a fresh innovation the use of this program in class can provide very interesting lessons.
Keywords: conic section, plane curve, pedal curve, hippopede, lemniscate, space curves, homothetic transformation, Cassini’s ovals.
MSC (2010): 53A04.
Kazalo
1 Uvod 1
2 Koordinatni sistem 2
2.1 Kartezični pravokotni koordinatni sistem . . . 2
2.2 Polarni koordinatni sistem . . . 3
3 Krivulje v ravnini 5 3.1 Enačba in načini definiranja krivulje . . . 8
3.2 Od stožnice do krivulje višjega reda . . . 9
3.2.1 Krožnica . . . 10
3.2.2 Konstrukcija Proklove hipopede . . . 11
3.2.3 Elipsa . . . 13
3.2.4 Nožiščna krivulja elipse . . . 14
3.2.5 Hiperbola . . . 19
3.2.6 Nožiščna krivulja hiperbole . . . 20
3.3 Krivulje 4. reda . . . 24
3.3.1 Hipopeda . . . 24
3.3.2 Proklova hipopeda . . . 25
3.3.3 Boothova lemniskata . . . 28
3.3.4 Podoida . . . 32
3.3.5 Bernoullijeva lemniskata . . . 34
4 Koordinatni sistem v prostoru 38 4.1 Enačba ravnine v prostoru . . . 40
4.2 Krivulje v prostoru in splošna enačba . . . 40
4.3 Enačba sfere . . . 41
4.4 Torus . . . 42
4.5 Perzejeve krivulje . . . 44
5 Primerjava krivulj 47 5.1 Proklova hipopeda in podoida elipse . . . 48
5.2 Proklova hipopeda in podoida hiperbole . . . 50
5.3 Proklova hipopeda in nožiščna krivulja enakoosne hiperbole . 51 5.4 Perzejeve in ostale krivulje . . . 52
5.4.1 Sorodnost s Proklovo hipopedo . . . 54
5.4.2 Sorodnost z eliptično Boothovo lemniskato . . . 55
5.4.3 Sorodnost s hiperbolično Boothovo lemniskato . . . 56
5.4.4 Sorodnost z Bernoullijevo lemniskato . . . 57
5.5 Ploščine likov, omejenih s krivuljami . . . 58
6 Uporaba v šoli 61
7 Zaključek 62
Slike
1 Kartezični pravokotni koordinatni sistem . . . 2
2 Polarni koordinati . . . 3
3 Pretvorba koordinat . . . 4
4 Krivulja kot presek ploskve z ravnino in 3D prikazom . . . 5
5 Nastanek elipse . . . 6
6 Nastanek verižnice . . . 6
7 Projekcija vijačnice na ravnino . . . 6
8 Dva načina nastanka traktrise . . . 7
9 Pascalov polž . . . 7
10 Descartesov list . . . 7
11 Preseki krožnega stožca in ravnine . . . 9
12 Krožnica s središčem v koordinatnem izhodišču . . . 10
13 Tetiva krožnice . . . 11
14 Proklova hipopeda . . . 12
15 Različne oblike Proklove hipopede . . . 13
16 Načrtovanje elipse v središčni legi . . . 14
17 Nožiščna krivulja elipse . . . 15
18 Konstrukcija nožiščne krivulje elipse . . . 16
19 Različne oblike nožiščnih krivulj elipse . . . 19
20 Načrtovanje hiperbole v središčni legi . . . 20
21 Nožiščna krivulja hiperbole . . . 21
22 Konstrukcija nožiščne krivulje hiperbole . . . 21
23 Različne oblike nožiščnih krivulj hiperbole . . . 23
24 Proklos . . . 25
25 Proklovo delo . . . 26
26 Komentarji . . . 27
27 Pripomoček za upočasnjevanje konja . . . 28
28 James Booth . . . 29
29 Boothovo delo . . . 31
30 Središčni razteg . . . 32
31 Podoida elipse . . . 33
32 Jacob Bernoulli . . . 34
33 Bernoullijeva lemniskata kot nožiščna krivulja enakoosne hi- perbole . . . 35
34 Bernoullijeva lemniskata . . . 36
35 Prostorski koordinatni sistem . . . 38
36 Prostorski koordinatni sistem v ravnini . . . 39
37 Sfera . . . 41
38 Nastanek torusa . . . 42
39 Oblike torusa v odvisnosti od razmerja med a in b . . . 43
40 Tloris preseka torusa in ravnine y=c . . . 44
41 Presek torusa z ravnino . . . 45
42 Perzejeve krivulje z a= 1.5, b= 1 in različnec . . . 46
43 Proklova hipopeda in podoida elipse . . . 49
44 Proklova hipopeda in podoida hiperbole . . . 50
45 Proklova hipopeda in nožiščna krivulja enakoosne hiperbole . 51 46 Perzejeve krivulje v odvisnosti od parametra c . . . 52
47 Perzejeve krivulje na krožnem in vretenastem torusu . . . 54
48 Perzejeva krivulja in Proklova hipopeda . . . 55
49 Perzejeva krivulja in eliptična Boothova lemniskata . . . 56
50 Perzejeva krivulja in hiperbolična Boothova lemniskata . . . . 57
51 Perzejeva krivulja in Bernoullijeva lemniskata . . . 58
1 Uvod
V diplomskem delu je predstavljena pot od nastanka krivulj pa vse do ugo- tovitev sorodnosti med obravnavanimi krivuljami. Najprej sta predstavljena kartezični pravokotni koordinatni sistem in polarni koordinatni sistem. V naslednjem poglavju so opisane krivulje v ravnini, načini nastanka krivulj v zgodovini, kako so jih določali, opisovali, enačbe in načini definiranja krivulj, podroben opis nekaterih stožnic in pot od teh do novonastalih krivulj višjega reda. Sledi opis vsake od nastalih krivulj 4. reda in zgodovinski pregled av- torjev, po katerih so krivulje poimenovane. Potem preidemo na koordinatni sistem v prostoru, kjer opišemo ravnino in nato še načine zapisov enačb kri- vulj v prostoru, enačbo sfere in opis nastanka torusa ter pot do Perzejevih krivulj. V predzadnjem delu obravnavamo primerjavo vseh prej omenjenih krivulj med seboj, tako slikovno kot računsko, v zadnjem delu pa uporabo hipopede v osnovni in srednji šoli s pomočjo programa GeoGebra. Prika- zane so konstrukcije hipopede s pomočjo programa za dinamično geometrijo GeoGebra ter primer obravnavanja krivulje na učencem razumljiv način. Na koncu je podan zaključek s strnjenimi ugotovitvami diplomskega dela. Di- plomsko delo je namenjeno uporabi v višjih letnikih srednjih šol, študentom in vsem, ki jih tema zanima.
2 Koordinatni sistem
Ravninski koordinatni sistem obravnava analitična geometrija v ravnini in je matematično orodje, ki omogoča, da točke in druge geometrijske objekte zapišemo s števili ali koordinatami. Poznamo več vrst koordinatnih siste- mov, vendar v tem diplomskem delu obravnavamo samo kartezični, polarni in sferni koordinatni sistem.
2.1 Kartezični pravokotni koordinatni sistem
Kartezični pravokotni koordinatni sistem določata med seboj pravokotni pre- mici, koordinatni osi. Njuno presečišče je izhodišče koordinatnega sistema na vsaki od teh premic in hkrati izhodišče koordinatnega sistema v ravnini, ki jo določata. Eno premico imenujemo abscisna os ali os x, drugo pa or- dinatna os ali os y. Vsaka točka P v ravnini je določena z urejenim parom realnih števil (x, y), kjer jexprva koordinata ali abscisa točkeP,y pa druga koordinata ali ordinata točke P. Ordinatna in abscisna os razdelita ravnino na 4kvadrante [1].
Slika 1: Kartezični pravokotni koordinatni sistem
2.2 Polarni koordinatni sistem
Polarni koordinatni sistem je ravninski koordinatni sistem, ki ga uporabljamo kot alternativo kartezičnemu in je osnova za cilindrični in sferni koordinatni sistem v prostoru.
Slika 2: Polarni koordinati
Polarni koordinati točke P na sliki 2 predstavljata polmer r in polarni kot ϕ. Polmer r je razdalja točke P od podane izhodiščne točke O, ki jo imenujemo pol ali koordinatno izhodišče, polarni kotϕpa je kot med premico OP in podano orientirano premico, ki gre skozi pol in jo imenujemopolarna os. Polarni kot je pozitiven, če je merjen od polarne osi v nasprotni smeri vrtenja urnega kazalca, in negativen v smeri gibanja urinega kazalca [14].
Iz polarnih koordinat točke P lahko izračunamo njeni kartezični koordinati x in y z zvezama:
x=rcosϕ, y =rsinϕ. (1)
Če poznamo kartezični koordinati, pa lahko dobimo polarni koordinati s po- močjo zvez:
r=qx2+y2, (2)
Slika 3: Pretvorba koordinat tgϕ= y
x. (3)
Iz zgornje enačbe dobimo polarni kot ϕs pomočjo funkcije arcus tangens
ϕ= arctgy
x+kπ, (4)
kjer je k odvisen od tega, v katerem kvadrantu leži točka P [14].
3 Krivulje v ravnini
Če sledimo zgodovini matematike, najdemo več načinov, kako priti do kri- vulj. Pojem krivulje se je skozi zgodovino spreminjal in prilagajal potrebam.
Krivulje v matematiki se definirajo različno. Poznamo preme in krive črte, bodisi v ravnini kot ravninske krivulje, bodisi v prostoru kot prostorske kri- vulje. Ravninske krivulje so na primer premica, stožnice, lemniskate, spirale, fraktali, srčnica, verižnica, trizob, Pascalov polž, štiriperesna deteljica in druge. Mi bomo v nadaljevanju obravnavali algebrske krivulje, ki jih lahko opišemo v kartezičnih koordinatah kot ničle polinoma dveh spremenljivk z realnimi koeficienti. Kadar pa krivulja ni algebrska, je transcendentna (več v [5, 15, 16]).
1. Krivulja nastane kot presek ploskve z ravnino. Tako nastanejo stožnice kot preseki stožčaste ploskve z ravnino. Z ravninskimi preseki dobimo tudi Perzejeve krivulje.
Slika 4: Krivulja kot presek ploskve z ravnino in 3D prikazom
2. Krivulja kot geometrijsko mesto točk z dano lastnostjo. Že od starih Grkov so z lastnostmi definirane stožnice, na primer elipsa, ki je ge- ometrijsko mesto vseh tistih točk v ravnini, katerih vsota razdalj od dveh izbranih točk te ravnine je stalna.
Slika 5: Nastanek elipse
3. Krivulja kot tir točke, ki se giblje po danem zakonu, torej kinematično dana krivulja. Lahko pa tudi drugače, na primer verižnica.
Slika 6: Nastanek verižnice
4. Krivulja nastane kot projekcija dobro znanih prostorskih krivulj na ravnino, na primer vijačnica.
Slika 7: Projekcija vijačnice na ravnino
5. Krivulja je lahko podana s predpisanimi, tako imenovanimi diferenci- alnimi lastnostmi, kar pomeni, da v njeni diferencialni enačbi nasto- pata poleg koordinat x in y tudi njuna diferenciala dx in dy. Pri- mer take krivulje je traktrisa, ki ima stalno dolžino odseka tangente
od dotikališča do izbrane premice. V parametrični obliki ima enačbi x=a(ln(tan(2t)) + cos(t)), y=asin(t), kjer je 0< t <2π [17].
Slika 8: Dva načina nastanka traktrise [18]
6. Krivulja nastane kot transformacija vnaprej izbrane znane krivulje, na primer Pascalov polž, ki je nožiščna krivulja krožnice.
Slika 9: Pascalov polž
7. Krivulja je lahko podana analitično, kar pomeni, da je v naprej dana implicitno, eksplicitno, parametrično ali polarno. V tem primeru sku- šamo odkriti čim več njenih lastnosti. Tak primer je Descartesov list f(x) =x3+y3−3axy= 0, ki je podan v implicitni obliki.
Slika 10: Descartesov list
3.1 Enačba in načini definiranja krivulje
Krivulja v ravnini je določena z enačbo F(x, y) = 0, ki opisuje zvezo med kartezičnima koordinatama x in y točk na krivulji. Koordinati poljubne točke P na tej krivulji zadoščata enačbi in obratno, vsaka točka, katere koordinati zadoščata tej enačbi, leži na krivulji. Če nobena točka v ravnini ne zadošča enačbiF(x, y) = 0, potem krivulja, določena s to enačbo, ne obstaja.
Če je F(x, y) polinom, imenujemo krivuljo, določeno z enačbo F(x, y) = 0, algebrska krivulja, stopnji polinoma pa pravimo red krivulje [2].
Ravninsko krivuljo lahko definiramo z enačbo v eni od naslednjih oblik:
1. V kartezičnih koordinatah:
• v eksplicitni obliki: y=f(x),x∈[a, b], kjer jef zvezno odvedljiva funkcija, na primer y=ax2+bx+c, kjer so a, b, c realna števila.
• v implicitni obliki: F(x, y) = 0, kjer je F(x, y) zvezna funkcija z zveznima parcialnima odvodoma Fx inFy. Primer: enačba elipse F(x, y) =b2x2+a2y2−a2b2 = 0.
• v parametrični obliki: x = x(t), y = y(t), kjer sta x in y zvezno odvedljivi funkciji, definirani na intervalu[α, β], za kateri je v vseh točkah intervala [α, β] vsaj eden od odvodov teh funkcij različen od 0. Primer: parametrični enačbi elipse x = acost, y = bsint, ko gre t od 0do 2π.
2. V polarnih koordinatah: r = f(ϕ) oziroma r = r(ϕ), kjer je r ≥ 0.
Primer: r= 1 + sin(ϕ) za0≤ϕ≤2π.
3.2 Od stožnice do krivulje višjega reda
Stožnice so krivulje drugega reda in nastanejo, če presekamo dvojni krožni stožec z ravnino. Preseki so krožnica, elipsa, hiperbola in parabola. Nasta- nejo tako, da stožec presekamo z ravnino pod različnimi koti.
Slika 11: Preseki krožnega stožca in ravnine
Splošna enačba krivulje drugega reda v kartezičnih koordinatah je:
ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f = 0. (5) Enačba stožnice v polarnih koordinatah vsebuje goriščni parameter p in ek- scentričnost ε, s katerima dobimo vse krivulje drugega reda v obliki
r= p
1 +εcosϕ. (6)
Ta enačba pomeni krožnico za ε = 0, elipso za 0< ε <1, parabolo za ε = 1 in hiperbolo za ε >1 [2, 32].
3.2.1 Krožnica
V evklidski geometriji sta krožnica poleg premice edini krivulji, priznani kot konstrukcijska elementa. Ljudem je znana že iz sive davnine.
Slika 12: Krožnica s središčem v koordinatnem izhodišču
Krožnica je geometrijsko mesto vseh točk v ravnini, ki imajo enako oddalje- nost r od izbrane točkeS te ravnine. TočkaS jesredišče ali center, r pa je polmer ali radij krožnice [1].
Narišemo jo v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy tako, da središče S postavimo kar v koordinatno izhodišče O in zarišemo krožnico s polmerom r. Izberemo točko T na krožnici in označimo njeni koordinati z x in y. To točkoT projiciramo pravokotno na koordinatni osi in dobimo točkiT1(x,0)in T2(0, y). Iz slike je razvidno, da dobimo pravokotni trikotnik ST1T, njegova hipotenuza jer, kateti pa sta|x|in|y|. Tako po Pitagorovem izreku pridemo do enačbe krožnice v središčni legi (več o tem v [5]):
x2+y2 =r2. (7)
Enačba krožnice v parametrični obliki je
x=rcosϕ, y =rsinϕ. (8)
3.2.2 Konstrukcija Proklove hipopede
Slika 13: Tetiva krožnice
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy narišemo krožnico x2 +y2 = R2. Zaradi boljše preglednosti narišemo le os x, torej brez vidne osi y. Na osi x v notranjosti krožnice izberemo točko E z absciso mR, kjer je m2 < 1. Na sliki 13 je −1 < m < 0. Skozi točko E načrtamo premico z naklonskim kotom ϕ, ki seka krožnico v točkah A in B, ter izračunamo dolžino p tetive AB. Konstruiramo premico skozi točko B in središče O krožnice. Premica seka krožnico še v točki D, skozi katero potegnemo k osi x vzporednico, ki seka premico skozi A in B v točki C. Nastali trikotnik DBA je pravokoten, trikotnikaCDB inEOB pa sta si podobna. Razmerja njunih stranic so lepo razvidna, saj je ena od stranic večjega trikotnika 2R, manjšega pa R, torej 2 : 1. Zato je |CD|= 2|EO|= 2mR.
V pravokotnem trikotniku CDA lahko izračunamo sinus kota ϕ z njemu nasproti ležečo kateto |AD| in hipotenuzo |CD| in dobimo:
sinϕ= |AD|
|CD|. (9)
Iz te zveze dobimo
|AD|=|CD|sinϕ= 2mRsinϕ.
Po Pitagorovem izreku je potem
p2 =|AB|2 =|DB|2− |AD|2,
p2 = 4R2−4R2m2sin2ϕ= 4R21−m2sin2ϕ.
Slika 14: Proklova hipopeda
Sedaj, ko imamo dolžino tetive AB skozi točko E, lahko definiramo krivuljo v polarni obliki:
r2 = 4R21−m2sin2ϕ. (10) Do posamezne točke T na krivulji pridemo tako, da konstruiramo paralelo- gram AOT B in s tem vzporedno prenesemo dolžino tetive iz središča kro- žnice, kakor kaže slika 14. Stranica OT ima torej enak naklonski kot ϕ kakor tetiva AB in pri tem je p=|OT|=|AB|=r. Ko spreminjamo kot ϕ, točka T zariše Proklovo hipopedo [11]. Na sliki 15 si lahko ogledamo različno nastale oblike Proklove hipopede v odvisnosti od parametra m.
Slika 15: Različne oblike Proklove hipopede 3.2.3 Elipsa
Elipsa je množica točk T(x, y) v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh izbranih točk F1(−e,0) inF2(e,0)konstantna:
|T F1|+|T F2|=r1+r2 = 2a. (11) Enačba elipse v središčni legi je:
x2 a2 +y2
b2 = 1. (12)
Pri tem sta a, e ∈ R in a > e >0 ter b2 = a2−e2. Povejmo, kaj so polosi elipse:
• če je a > b, je|OA|=a velika polos, na kateri sta gorišči,|OB|=b pa mala polos. Gorišči elipse sta točki F1(−e,0) inF2(e,0).
Slika 16: Načrtovanje elipse v središčni legi
• če je a < b, je b velika polos, na kateri sta gorišči, a pa mala polos.
Gorišči elipse sta točki F1(0,−e)in F2(0, e).
Linearna ekscentričnost elipse e = |OF1| = |OF2| je polovična razdalja med goriščemaF1inF2,e=√
a2−b2, kar je razdalja gorišč elipse od njenega središča O(0,0).
Numerična ekscentričnost elipseε= ae <1meri sploščenost elipse. Čim večji je ε, tem bolj je elipsa sploščena. Točke A(a,0), A0(−a,0), B(0, b) in B0(0,−b)so temena elipse [1].
3.2.4 Nožiščna krivulja elipse
Iz dobro znane ravninske krivulje Klahko na različne načine naredimo nove krivulje, recimo zraztegi inzrcaljenji. Obstajajo tudi bolj zapleteni postopki pridobivanja krivulj, med katere spada nastanek tako imenovanenožiščneali pedalne krivulje.
Do nožiščne krivulje K0 dane ravninske krivuljeKpridemo tako, da v ravnini te krivulje izberemo točko P (pol), nato jo pravokotno projiciramo na vse prej določene tangente krivulje K. Množica vseh nožišč N, to je presečišč pravokotnic skozi P na vse tangente krivuljeK, je nožiščna krivulja krivulje K glede na pol P [5].
Na sliki 17 vidimo nožiščno krivuljo elipse glede na njeno središče, kjer je njena oblika odvisna od velikosti parametrov a in b.
Slika 17: Nožiščna krivulja elipse
Nožiščna krivuljadane ravninske krivuljeKje po definiciji glede na izbrano točkoP nova krivuljaK0, ki jo sestavljajo nožišča točkeP na vseh tangentah krivulje K.
Izračunajmo nožiščno krivuljo elipse, glede na njeno središče. Elipsa ima v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo x2/a2+y2/b2 = 1, v kateri sta a in b polosi elipse.
Vzamemo, da je a > b >0in za lažje računanje enačbo elipse preoblikujemo v parametrično obliko:
x=acost, y =bsint, 0≤t≤2π. (13)
Slika 18: Konstrukcija nožiščne krivulje elipse
V temenih elipse v A je t= 0, v A0 je t=π, v B je t= π2 in v B0 je t= 3π2 . Za tangento na elipso izračunamo strmino k v poljubni točki T, ki ustreza parametru t elipse:
k = dy dx = y˙
˙
x =−bcost asint =−b
actgt. (14)
Enačbo tangente elipse v točkiT (x0, y0)dobimo tako, da v obrazec za enačbo tangente
y−y0 =f0(x0) (x−x0), (15) vstavimo izračunan smerni koeficient k in koordinate točkeT(acost, bsint):
y−bsint =k(x−acost),
y=−b
axctgt+bcos2t
sint +bsint, aysint =−bxcost+abcos2t+absin2t,
aysint+bxcost=abcos2t+ sin2t,
bxcost+aysint =ab. (16)
Pravokotnica na tangento (normala) ima smerni koeficient knormale=− 1
ktangente (17)
in jo dobimo z enačbo
y−y0 =−1
k (x−x0).
Ker jo potegnemo skozi točkoO(0,0), kar predstavlja središče elipse, dobimo y−0 = − 1
−bacossintt (x−0)
ter po preureditvi
axsint−bycost= 0. (18)
Sedaj dobljenim premicam (16) in (18) poiščemo presečišča, ki pa predsta- vljajo naša nožišča točke O, in slednje opišejo nožiščno krivuljo:
x= ab2cost
b2cos2t+a2sin2t, y = a2bsint b2cos2t+a2sin2t.
To sta parametrični enačbi iskane krivulje. Če enačbi (16) in (18) uredimo v sistem
bxcost+aysint=ab
−bycost+axsint= 0 in dobimo po Cramerjevem pravilu:
cost=
ab, ay 0, ax
bx, ay
−by, ax
,
sint=
bx, ab
−by,0
bx, ay
−by, ax
,
sint= by
x2+y2, cost= ax x2+y2, nato pa z znano enakostjo
sin2t+ cos2t= 1 (19) pridemo do relacije
sin2t+ cos2t= ( by
x2+y2)2+ ( ax
x2+y2)2 = 1
in po preureditvi je pred nami enačba nožiščne krivulje elipse glede na O:
(x2 +y2)2 =a2x2+b2y2. (20)
Spodaj na sliki 19 vidimo različne nožiščne krivulje elipse v odvisnosti od velikosti b, kjer je a konstanten.
Če jeb= 0ina >0nastaneta dve krožnici, ko seb >0veča protia, nastajajo ostale krivulje in za a=b dobimo eno krožnico [11].
Slika 19: Različne oblike nožiščnih krivulj elipse 3.2.5 Hiperbola
Hiperbolaje množica točkT(x, y)v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh izbranih točk F1(−e,0) inF2(e,0)konstantna:
||T F1| − |T F2||=|r1−r2|= 2a. (21)
Enačba hiperbole v središčni legi s temenoma na abscisni osi je:
x2 a2 − y2
b2 = 1, (22)
kjer sta a, e∈R in0< a < eter e2 =a2+b2.
Hiperbola ima dve veji. Za prvo je r2−r1 = 2a, za drugo pa r1−r2 = 2a.
Polosi: Število a je realna polos, število b pa imaginarna polos hiperbole.
Slika 20: Načrtovanje hiperbole v središčni legi Gorišči hiperbole: F1(−e,0)in F2(e,0).
Temeni hiperbole: T1(−a,0)in T2(a,0).
Linearna ekscentričnost hiperbole e = |OF1| = |OF2| je polovična raz- dalja med goriščema F1 in F2.
Numerična ekscentričnost hiperbole je ε= ea >1.
Asimptoti hiperbole sta premici ay =±bx [1].
3.2.6 Nožiščna krivulja hiperbole
Nožiščna krivulja hiperbole nastane na podoben način kot pri elipsi. Njeni parametrizirani enačbi sta
x=±acht, y =bsht, −∞< t <∞, (23) v katerih nastopata hiperboličnacosinus insinus. Predznak+velja za desno,
− pa za levo vejo hiperbole. V nadaljevanju bomo izvedli račune samo za desno vejo. Za levo vejo potekajo analogno.
Slika 21: Nožiščna krivulja hiperbole
Ti dve hiperbolični funkciji vpeljemo podobno kot ustrezni trigonometrični funkciji, le da si pomagamo s hiperbolo. Lahko pa ju kar definiramo: cht= (exp(t) + exp(−t))/2,sht = (exp(t)−exp(−t))/2.
Ena izmed osnovnih zvez med tema dvema hiperboličnima funkcijama je
ch2t−sh2t= 1. (24)
Slika 22: Konstrukcija nožiščne krivulje hiperbole
Po enakem postopku kot pri elipsi pridemo do smernega koeficienta tangente na hiperbolo:
k = dy dx = y˙
˙
x = (bsht)0
(acht)0 = bcht asht = b
actht.
Funkcija ctht = cht/sht je hiperbolični kotangens. Po enačbi za tangento na hiperbolo, to je
y−bsht= bcht
asht(x−acht), dobimo
bxcht−aysht =ab (25)
in še pravokotnico nanjo skozi središče O y−0 =−asht
bcht (x−0), kar nam da enačbo normale:
bycht+axsht= 0. (26)
Sedaj (25) in (26) uredimo v sistem enačb bxcht−aysht =ab
bycht+axsht = 0 iz katerega izrazimo po Cramerjevem pravilu
cht=
ab,−ay 0, ax
bx,−ay by, ax
,
sht=
bx, ab by,0
bx,−ay by, ax
,
sht=− by
x2+y2, cht= ax x2+y2. Po zvezi (24), to se pravi
ch2t−sh2t= ax x2+y2
!2
− − by x2+y2
!2
= 1,
dobimo po preoblikovanju enačbo nožiščne krivulje hiperbole glede na O:
x2+y22 =a2x2−b2y2. (27)
Spodaj na sliki 23 vidimo različne nožiščne krivulje hiperbole glede na njeno središče v odvisnosti od velikosti b, kjer je a konstanten.
Slika 23: Različne oblike nožiščnih krivulj hiperbole
Če je b = 0 in a > 0, nastaneta dve krožnici, ko se b > 0 veča proti a, nastajajo ostale krivulje in za a = b dobimo posebno krivuljo, ki jo bomo tudi kasneje obravnavali. Ko parametraa inb sovpadata, pomeni, da imamo enakoosno hiperbolo. Vse te novonastale krivulje imajo tudi druga imena, ki jih bomo bolje spoznali v naslednjem poglavju [11].
3.3 Krivulje 4. reda
Krivulje četrtega reda je v zgodovini klasificiralo kar nekaj matematikov.
Eden od njih je bil Waring (1792), ki je krivulje razdelil na 12 razredov in so vsebovali84551krivulj specialnih oblik. Euler in Cramer sta krivulje razdelila v 9 kategorij po razporedu njihovih neizmerno oddaljenih točk. Plücker je razdelil krivulje te skupine na152oblik in za vsako o teh oblik dobil kanonsko enačbo. Kasneje po dolgem času je bila Eulerjeva in Cramerjeva klasifikacija zamenjana z drugo, ki je bila osnovana glede na naravo in število izoliranih točk, in sicer na 4skupine. Potem zasledimo še eno na koncu19.stoletja, ko so Cayley, Zeuthen in Crone izpostavili36tipov teh krivulj, razporejenih v13 skupin. Študirali so nekatere lastnosti krivulj4.reda in jih nato poimenovali:
racionalne, eliptične in bicirkularne krivulje [7].
V splošnem so določene z enačbo
Ax4+By4+Cx3y+Dx2y2+Exy3+F x3+Gy3+ (28) +Hx2y+Ixy2+J x2+Ky2+Lxy+M x+N y+P = 0,
ki vsebujejo 15 konstant. Spoznali bomo Proklovo hipopedo, eliptično Bo- othoovo lemniskato, hiperbolično Boothovo lemniskato ter Bernoullijevo le- mniskato, ki so vse krivulje 4. reda. Nastanejo pa, kot že vemo, iz prej obravnavanih krivulj.
3.3.1 Hipopeda
Samostojna besedahipopedase v tiskani literaturi zelo redko pojavi ali skoraj ne, a vendar izvemo, da je grškega izvora: prvi del besede pride izἵππος,konj, drugi del paπέδη,veriga, spona, okov, nožna veriga. Nekatere besede grškega izvora, ki se začnejo s hipo, pa vseeno ne predstavljajo vedno zveze s konjem.
To so na primer hipocikloida, hipoteza, hipotenuza.
Hipopeda je ravninska krivulja, določena z enačbo
(x2+y2)2 =cx2+dy2, (29)
kjer sta parametra c > 0 in c > d. Je bicirkularna racionalna algebrska krivulja četrte stopnje.
Proklova hipopeda je tudi Boothova lemniskata. Je ravninska krivulja četrte stopnje, ki jo bomo podrobneje spoznali v naslednjem poglavju [2, 11, 19].
3.3.2 Proklova hipopeda
Proklova hipopeda je poimenovana po starogrškem matematiku in filozofu Proklu. Nastane pri krožnici slika 15, ko s tetivo krožnice, ki je v eni točki v krogu fiksirana, z njenim krajiščem krožimo po krožnici in hkrati se ta dolžina tetive spreminja in vzporedno projicira iz središča. Tako nastane nova krivulja, imenovana Proklova hipopeda z enačbo
(x2+y2)2 = 4R2x2+ (1−m2)y2, (30) ki smo jo dobili s preoblikovanjem enačbe (10). V nadaljevanju bomo za m dovoljevali poljubne realne vrednosti.
Proklos, starogrško Πρόκλος ὁ Διάδοχος, Próklos ho Diádohos, ki je bil grški filozof neoplatonist in matematik, rojen 8. februarja 411 (5. stoletje našega štetja) v Konstantinopolisu (sedaj Istanbul, Turčija), umrl pa je 17.
aprila 485 v Atenah v Grčiji [10].
Slika 24: Proklos [22]
Bil je zadnji pomemben poganski znanstvenik, izhajal je iz bogate družine, otroštvo in mladost je preživel v Likiji (Lycia) v mestu Xantos na jugozahodu
Turčije, kjer je tudi obiskoval gimnazijo. Študirat je odšel v Aleksandrijo, in sicer najprej govorništvo, da bi kot njegov oče postal odvetnik, a si je v času, ko je delal v Konstantinopolisu, zaželel študija filozofije. Vrnil se je v Aleksandrijo in študiral Aristotela in matematiko. V tem mestu se nam je rodil zelo pomemben znani grški matematik Evklid in v antiki naj bi bila tam tudi tedaj največja knjižnica na svetu. Aleksandrija je bila veliko mesto že v antičnih časih in glavno morsko pristanišče v Egiptu ob Sredozemskem morju. Imenuje se po Aleksandru Velikem, ki je ob zasedbi Egipta leta 332 pr. n. št. kraj, kjer je od 16. stoletja pr. n. št. stalo mesto Rakotis, izbral za prestolnico. Leta 431 se je Proklos preselil v Atene, dve leti študiral na znameniti filozofski šoli, ki jo je 800 let prej ustanovil Platon. Vodja akade- mije je bil Sirijan, ki je s Proklom zelo dobro sodeloval, nakar je po njegovi smrti slednji postal predstojnik, poimenovan Diadoh, kar pomeni naslednik Platonove akademije, in ohranil ta položaj do svoje smrti. Njegova dela iz področja matematike so bili komentarji k prvi knjigi Evklidovih elementov ter Ptolemajevemu in Apolonijevemu delu o cilindrični vijačnici.
Slika 25: Proklovo delo [21]
Druga Proklova dela so komentarji, ki se tičejo Platona in Aristotela, meta- fizične razprave o raznih vidikih filozofije (metafizike, teologije, psihologije, fizike, etike) in hvalnice. Komentatorji so bili v tistem času zelo dobrodošli, saj so s tem ohranili znanja in knjige predhodnikov, ki so bili avtorji teh knjig [23, 25].
Slika 26: Komentarji [24]
Enačba Proklove hipopede v polarnih koordinatah je, kot smo videli:
r2 = 4R21−m2sin2ϕ.
Do implicitne enačbe Proklove hipopede pridemo z zvezama (1) [38].
3.3.3 Boothova lemniskata
Beseda lemniskata predstavlja v algebrski geometriji katerokoli krivuljo, ki ima obliko osmice ali znaka ∞, kar predstavlja znak za neskončnost. Ime izvira iz latinščine „lemniscatus“, kar pomeni okrašen s trakovi, v grščini λημνίσκος: volneni trak, s kakršnim so zmagovalcu na glavo privezali lovorov venec. Lemniskata nas spominja na grški otok Lemnos, grško Λῆμνος, ki se nahaja v severnem delu Egejskega morja in morda izvira s tega otoka, beseda je poznana tudi v anatomiji človeka kot lemniscus medialis [11, 26].
Boothova lemniskata spada v konec 17. stoletja, poznana pa je bila že v 5.
stoletju Proklu, ki jo je obravnaval kot presek torusa z ravnino, vzporedno osi torusa. Ti preseki vsebujejo po enega ali dva ovala. Če je ravnina tan- gentna na notranji površini torusa, pa dobimo presek v obliki števila osem, kar Proklos poimenuje po pripomočku za upočasnjevanje konja, to se pravi hipopeda. Na sliki spodaj vidimo, da se ta pripomoček še danes uporablja, Angleži mu pravijo a horse fetter ali figure eight hobble.
Slika 27: Pripomoček za upočasnjevanje konja [34, 35]
James Booth (1806–1879) je bil matematik in pedagog, rojen v Lavaghu na Irskem. Študiral je matematiko na kolidžu Trinity v Dublinu (ustano- vljenem leta 1592), takrat zelo cenjeni instituciji, ki je imela velik ugled med drugimi univerzami v Evropi, še posebej na področju matematike in astrono- mije. Zanimivo je, da je že takrat imela zelo dobro zasnovan izpitni sistem, ki je posledično precej vplival na Jamesa Bootha pri njegovem delu na ustanovi Society of Arts. Irska se je v takratnih časih ponašala s številnimi izjemnimi posamezniki, ki so veliko prispevali k astronomiji, inženirstvu, matematiki in
fiziki. Zaradi omejenih možnosti na Irskem se jih je veliko moralo izseliti v Anglijo ali Ameriko. S svojimi znatnimi talenti so tako v znanstvenem smislu obogatili dežele, kamor so se priselili. Booth se je izselil v Veliko Britanijo,
Slika 28: James Booth [28]
pri čemer je Irsko zapustil nekoliko razočaran, ker neupravičeno ni dobil šti- pendije na kolidžu Trinity. Prepričan je bil, da za svoje matematično delo ni dobil takšnega priznanja, kot bi si ga upravičeno zaslužil. Po enem letu je bil imenovan za predstojnika in profesorja matematike na kolidžu v Bristolu.
Pozneje je kolidž zapustil in prevzel delovno mesto pomočnika ravnatelja v instituciji Liverpool Collegiate, kjer je nadaljeval svoje matematične razi- skave in poučevanje. V času delovanja v Liverpoolu je leta 1844 postal član literarnega in filozofskega društva, leta 1846 pa njegov predsednik. V tem času je veliko potoval v London in predaval na Kraljevem društvu (Royal Society). Na podlagi tega in tudi drugih matematičnih raziskav o stožnicah in koordinatni geometriji je leta 1846prejel štipendijo društva. Leta 1848 je Booth zapustil Liverpool in odšel v London, kjer je postal aktiven član usta-
nove Society of Arts. Sodeloval je tudi pri ustanovitvi inštituta mehanike v Wandsworthu leta 1853.
James Booth se je v viktorijanskih časih uveljavil kot propagator pri- ljubljenih univerzalnih izpitov. Posvečen je bil za duhovnika Anglikanske cerkve, vendar, čeprav je bil globoko veren človek, v tem poklicu ni veliko dosegel. Njegova zapuščina je bila zelo povezana z delom, ki ga je opravil v okviru Society of Arts, s tehničnim izobraževanjem in izpiti, ki jih je uvedel.
Ta ustanova je bila ustanovljena leta 1754. Booth je zelo verjel v načela pro- ste trgovine in konkurenčnosti, zato je želel ta načela prenesti tudi v izpitni sistem. Tako je imel ključno vlogo pri uvajanju javnih izpitnih preverjanj na tej ustanovi in je bil bolj kot kdor koli drug zaslužen, da se je ustanova Society of Arts uveljavila kot izpitna ustanova. Priljubljenost izpitov se je večala in tako je nastal izpitni sistem, kot ga poznamo danes. Za razvoj izpi- tov so bili tako v veliki meri zaslužni James Booth, ustanova Society of Arts in nekaj drugih navdušencev. Izpiti te ustanove so pozneje imeli pomemben vpliv na razvoj izpitnega sistema na univerzah Oxford in Cambridge. Žal so se pozneje njegovi odnosi z ustanovo Society of Arts poslabšali in ustanovo je zapustil s slabim občutkom. Na žalost je umrl kot rahlo zagrenjen človek, z močnim slabim občutkom, da ni prejel priznanja, ki bi si ga zaslužil kot pe- dagog in matematik. Tukaj je mogoče opaziti veliko podobnost z življenjem Charlesa Babbagea, ki se je prav tako v svojem času počutil premalo cenje- nega. Vendar zdaj zgodovina priznava Bootha kot najpomembnejšo osebnost pri ustvarjanju angleškega izpitnega sistema in tudi kot izjemnega pionirja na področju tehničnega izobraževanja in "razširjevalca uporabnih znanj".
Napisal je veliko matematičnih člankov, ki so bili potem skupaj z dodatki objavljeni v dveh delih, in sicer razpravo o nekaterih novih geometrijskih metodah (slika 29). Snov se nanaša na tangencialne in nožiščne koordinate, recipročne polare, trigonometrijo parabole, geometrijsko poreklo logaritmov, geometrijske lastnosti eliptičnih integralov in stožnice [29, 31].
Slika 29: Boothovo delo1873 [31]
Enačba Boothove lemniskate v pravokotnih kartezičnih koordinatah je:
(x2+y2)2−(2m2+n)x2−(2m2−n)y2 = 0 (31) Oblika krivulje se s parametroma m in n spreminja. Če je |n| < 2m2 do- bimo Boothovo eliptično lemniskato, ki ima izolirano točko v O. Če pa je
|n| >2m2, dobimo Boothovo hiperbolično lemniskato, ki ima v točki O sa- mopresečišče.
1. Eliptična Boothova lemniskata nastane kot nožiščna krivulja elipse z enačbo(20)in si jo lahko pogledamo na sliki 19. Njena enačba v polarni obliki je:
r2 =a2cos2ϕ+b2sin2ϕ. (32) Ploščina lika, ki ga omejuje eliptična Boothova lemniskata, je
S = π 2
a2+b2. (33) 2. Hiperbolična Boothova lemniskata nastane kot nožiščna krivulja hiper- bole z enačbo(27) in si jo lahko pogledamo na sliki 21. Polarna oblika enačbe je:
r2 =a2cos2ϕ−b2sin2ϕ. (34) Ploščina lika, ki ga omejuje hiperbolična Boothova lemniskata, je
S = (a2−b2) arctga
b +ab. (35)
Boothova lemniskata je tudi poseben primer Perzejeve krivulje [7, 30].
3.3.4 Podoida
Podoidaje krivulja, ki nastane ssrediščnim raztegom nožiščne krivulje glede na pol za faktor 2.
Središčni raztegali homotetija je geometrijska preslikava, ki ohranja obliko množice (lika, telesa), spremeni pa njeno velikost. Razteg je podan s sredi- ščem v točki O in s koeficientom raztega (število k 6= 0). Kot kaže slika 30, točko N preslikamo v točko P po naslednjih pravilih:
• P leži na isti premici kotO in N,
• razdalja med O inP je |k|-krat tolikšna kot razdalja medO inN,
• če jek pozitiven, ležiP na isti strani (na istem poltraku) kot N; če jek negativen, pa leži P na nasprotni strani (na nasprotnem poltraku) kot N.
Slika 30: Središčni razteg
Če s središčnim raztegom preslikamo neko geometrijsko množico točk (lik ali telo), dobimo za rezultat množico, ki je podobna prvotni, zato rečemo, da je središčni razteg podobnostna preslikava.
Podoida je torej novo nastala ravninska krivulja, ki je v enostavnem odnosu z nožiščno krivuljo prej podane krivulje K. Je geometrijsko mesto točk P,
simetričnih neki zadani točki O, v odnosu na tangente dane krivuljeK. Ta- kšno ime za krivuljo se redko uporablja, če pa že, jo uporabi Savelov v [7].
Besedapodoida izhaja iz rodilnikaποδός grškega samostalnika πούς, kar po- meni noga, in dopolnila ειδής, kar pomeni v obliki (namreč tistega, kar stoji pred tem dopolnilom), in prihaja iz besede εἶδος, kar pomeni oblika.
Slika 31: Podoida elipse
Podoido elipse xa22 + yb22 = 1, kjer sta a in b polosi elipse in kjer je a > b >0, glede na njeno središče dobimo iz nožiščne krivulje elipse (20) z raztegom, torej s transformacijo x→ x2 , y→ y2:
x2+y22 = 4(a2x2+b2y2). (36)
Podoida elipse glede na njeno središče je torej eliptična Boothova lemniskata.
Njena enačba v polarni obliki je
r2 = 4a21−ε2sin2ϕ (37) in je razložena v naslednjem poglavju [7, 11, 36].
3.3.5 Bernoullijeva lemniskata
Bernoullijeva lemniskata je ena izmed najpomembnejših krivulj 4. reda. Ta krivulja ima vrsto izvirnih geometrijskih in mehanskih lastnosti. Z njo so v zgodovini matematike povezana mnoga pomembna teorijska odkritja, ime pa je dobila po Jakobu Bernoulliju.
Slika 32: Jacob Bernoulli [39]
Jacob Bernoulli (1654–1705) je bil švicarski matematik, rojen v mate- matični družini v Baslu. Krivuljo in njeno enačbo je prvi opisal leta 1694 kot modifikacijo elipse v reviji "Acta Eruditorum". Bil je starejši Johannov brat, svoje življenje posvetil znanosti in matematiki, poučeval je na Univerzi v Baslu in leta 1687 postal profesor matematike. Dokazal je tudi, da har- monična vrsta divergira, naučil se je infinitezimalnega računa od Leibniza, kar predstavlja področje matematične analize, ki se ukvarja z limito funkcije, odvodom, integralom, funkcijsko vrsto kot računanje z neskončno majhnimi količinami. Prvi je uporabil izraz integral, študiral visečo mrežo, verižnico in izohrono. Bil je zgodnji uporabnik polarnih koordinat. Napisal je dela o transcendentnih krivuljah, o izoperimetričnem problemu, prvi učbenik infi- nitezimalnega računa, razširil je tudi uporabo novega računa v geometriji in bil predhodnik statistike. Njegovo odlično delo Ars Conjectandi, na sliki 32,
iz leta 1713 predstavlja pionirsko delo iz teorije verjetnosti. V letu 1694 pa je kot modifikacijo elipse (namesto vsote pri elipsi je vzel produkt razdalj od dveh fiksnih točk) prvi opisal po njem imenovano lemniskato [33, 40].
V nadaljevanju so predstavljene nekatere možnosti izmed mnogih, iz katerih lahko nastane Bernoullijeva lemniskata.
• Bernoullijeva lemniskata je podoida enakoosne hiperbole in nožiščna krivulja enakoosne hiperbole x2 − y2 = a2 glede na njeno središče.
Enačbi njene podoide in nožiščne krivulje sta
(x2+y2)2 = 4a2(x2−y2) (38) in
(x2+y2)2 =a2(x2−y2)
Slika 33: Bernoullijeva lemniskata kot nožiščna krivulja enakoosne hiperbole
• Bernoullijeva lemniskata nastane kot geometrijsko mesto točk P, kate- rih produkt razdalj od dveh točkF1 inF2, ki sta na razdalji2c, je enak
kvadratu polovice te razdalje:
|P F1| · |P F2|=
"
|F1F2| 2
#2
=c2. To je poseben primer Cassinijevega ovala, za katerega je
|P F1| · |P F2|=a2
Njegova enačba v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy je (x2+y2)2 −2c2(x2−y2)−(a4−c4) = 0.
Pri tem sta gorišči F1(−c,0) in F1(c,0). Če izberemo c = a, dobimo Bernoullijevo lemniskato
(x2+y2)2 = 2a2(x2−y2).
Slika 34: Bernoullijeva lemniskata
• Bernoullijeva lemniskata je inverz enakoosne hiperbole.
• Bernoullijeva lemniskata spada v družino sinusoidnih spiral z enačbo rn =Ancosnϕ. Za parameter n = 2 namreč dobimo enačbo Bernoul- lijeve lemniskate v polarnih koordinatah
r2 =A2cos 2ϕ. (39)
• Bernoullijeva lemniskata nastane kot cisoida dveh krožnic.
• Bernoullijeva lemniskata nastane s presekom torusa in ravnine, kar je opisano v poglavju o Perzejevih krivuljah. (Na strani 47 poglej navo- dila, kako narisati tako lemniskato.)
Parametrična oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je x= a√
2 cost
sin2t+ 1, y= a√
2 costsint
sin2t+ 1 , 0≤t≤2π.
Bernoullijeva lemniskata je uporabljena pri železnici za blag prehod proge iz levega v desni ovinek ali obratno [5, 7, 33, 37, 41].
4 Koordinatni sistem v prostoru
Pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru sestavljajo tri med seboj v isti točki sekajoče se pravokotne premice, ki jih imenujemo abscisna os (prva vodoravna os ali os x),ordinatna os (druga vodoravna os ali osy) in aplikatna os (navpična os ali os z). Presečišče osi koordinatnega sistema je točka, ki jo imenujemo koordinatno izhodišče. Točkam na koordinatnih oseh priredimo realna števila. Pri tem praviloma uporabimo za vse tri osi isto dolžinsko enoto. Koordinatni sistem, ki ima enako velike enote, imenujemo standardni koordinatni sistem. Vse formule, ki jih bomo spoznali v nadalje- vanju, veljajo samo, če so enote v vseh smereh (vodoravno, navpično in tudi poševno) enako velike. Zato le izjemoma uporabljamo nestandardni koordi- natni sistem, ki ima različno velike enote. Prostorski koordinatni sistem s tremi pravokotnimi osmi je odkril René Descartes – Renatus Cartesius.
Slika 35: Prostorski koordinatni sistem
Glavni namen koordinatnega sistema je podajanje točk s števili ali drugače, da poljubni točki P določimo koordinate točke (zapis: P(x, y, z)). To so števila, ki nam povedo, kje ležijo pravokotne projekcije točke P na koordi- natne osi. Koordinate se imenujejo abscisa točke P (koordinata x točke P),
ordinata točke P (koordinata y točke P) in aplikata točke P (koordinata z točke P). Koordinate enolično natančno določajo lego točke P v prostoru.
Tako poljubni točki P iz prostora priredimo točno eno trojico realnih števil (x, y, z), poljubni trojici realnih števil(x, y, z) pa priredimo točno eno točko P v prostoru. Zato pravimo, da je prostor enak kartezičnemu produktu R×R×R oziroma R3.
Prostorskega koordinatnega sistema ne moremo narisati v ravnini brez po- pačenja. Pri tem ponavadi narišemo eno od osi poševno, kot vidimo na sliki 36, in si lahko predstavljamo, da ta os ponazarja smer »navznoter« (v papir, v tablo, v zaslon) oziroma »navzven« (ven iz papirja, iz table, iz zaslona).
Slika 36: Prostorski koordinatni sistem v ravnini
Dejstvo je, da živimo v tridimenzionalnem evklidskem prostoru in k temu že danes pripomore računalništvo, da lahko objekte konstruiramo in prikažemo v 3D tehnologiji [2, 42].
4.1 Enačba ravnine v prostoru
Vsaka linearna enačba koordinatx,yinz določa neko ravnino in obratno, po- ljubno ravnino lahko opišemo z enačbo prve stopnje. Splošna enačba ravnine v implicitni obliki se glasi
Ax+By+Cz+D= 0. (40)
Pri tem so A, B, C in D konstante, toda A, B in C ne smejo biti hkrati enake 0 [2].
4.2 Krivulje v prostoru in splošna enačba
Krivulje v prostoru R3 lahko analitično opišemo na tri načine:
• eksplicitno z y = f(x), z = g(x), za x ∈ [a, b], kjer sta f in g zve- zno odvedljivi funkciji. Ko spremenljivka x teče po intervalu, točka (x, f(x), g(x))opiše krivuljo.
• implicitno, kjer sta F in G zvezno diferenciabilni funkciji treh spre- menljivk, definirani na neki okolici točke (a, b, c), kjer jeF(a, b, c) = 0, G(a, b, c) = 0 in
∂F
∂y(a, b, c) ∂F∂z(a, b, c)
∂G
∂y(a, b, c) ∂G∂z(a, b, c)
6= 0.
• parametrično, kjer so x, y inz zvezno odvedljive funkcije, definirane na intervalu [α, β] in kjer je v točkah tega intervala [α, β]vsaj eden od odvodov teh funkcij različen od 0. Potem namx=x(t)iny=y(t) ter z =z(t),t ∈[α, β], podaja krivuljo v R3. Običajno jo zapišemo kot
~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t∈[α, β].
Krivulje v prostoru so na primer vijačnica, Evdoksova hipopeda, Vivianijeva krivulja, Seiffertova in Slinkyjeva spirala, loksodroma in še mnogo drugih [2, 43, 44].
4.3 Enačba sfere
Sfera je v matematiki površje krogle, torej dvorazsežna mnogoterost (plo- skev), vložena v trirazsežni prostor. Sfero si lahko predstavljamo kot milni mehurček ali žogo, torej kot nekaj votlega.
Še točneje je sfera množica točk v trirazsežnem evklidskem prostoru, ki ležijo na razdalji rod nepomične točke tega prostora. Pri tem jerpozitivno realno število, ki se imenuje polmer dane sfere.
Slika 37: Sfera
V koordinatni geometriji je sfera s središčem(x0, y0, z0)in polmeromr mno- žica vseh takšnih točk (x, y, z), da velja
(x−x0)2+ (y−y0)2+ (z−z0)2 =r2. (41) Točke na sferi s polmerom r in središčem v izhodišču lahko parametriziramo
x=rsinθcosφ, (42)
y=rsinθsinφ, z =rcosθ, kjer teče (0≤θ ≤π) in(0≤φ <2π) [45].
4.4 Torus
Torus ali svitek je ploskev, ki nastane z vrtenjem krožnice okrog osi, ki leži v isti ravnini kot krožnica.
Slika 38: Nastanek torusa
Torus lahko definiramo v parametrični obliki:
x(u, v) = (a+bcosv) cosu, (43) y(u, v) = (a+bcosv) sinu,
z(u, v) =bsinv.
Pri tem sta u, v parametra v intervalu [0,2π), a = R razdalja od središča cevi torusa do središča torusa in b = r polmer cevi torusa, kot vidimo na sliki 38. Razdalji a inb imenujemo tudi veliki in mali polmer. Na sliki 39 pa vidimo, da je oblika torusa odvisna od razmerja b/a. Če je a > b, ima torus luknjo. Tedaj ga imenujemo krožni torus. Če je a=b, se ta luknja zapre in ploskev imenujemo rogati torus. Če pa je a < b, pa torus seka sam sebe in se imenuje vretenasti torus.
Slika 39: Oblike torusa v odvisnosti od razmerja med a inb
Implicitna enačba torusa v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu je
a−qx2+y2
2
+z2 =b2. (44)
S kvadriranjem odpravimo korene:
x2+y2−2a
q
x2+y2+a2 =b2−z2, x2+y2+a2−(b2−z2) = 2aqx2+y2, (x2 +y2+a2−b2+z2)2 = 4a2(x2+y2).
Dobili smo enačbo torusa v implicitni obliki. Vidimo, da je torus algebrska ploskev 4. stopnje:
x2+y2+z2+a2−b22 = 4a2x2+y2. (45) Pri konstantnemuv enačbi(43)dobimo poldnevnike na torusu, pri konstan- tnem v pa vzporednike. Poldnevniki in vzporedniki na torusu se sekajo pod pravim kotom. Pri a=b se vsi poldnevniki dotikajo osi torusa [2, 11, 46].
4.5 Perzejeve krivulje
Obravnavali bomo krivulje, ki so ime dobile po starogrškem učenjaku in geometru iz 2. stoletja pr. n. št. Perzeju, ki naj bi jih takrat raziskoval.
Izumil je preseke torusa, čemur po angleško pravimo spiric sections. Perzejeve krivulje nastanejo s preseki torusa z ravnino, vzporedno z osjo danega torusa.
O Perzejevem življenju in delu je napisano zelo malo in še to, kar je, so le omembe Prokla in Geminusa, originalnih njegovih zapiskov ni. Torus je Perzej poimenovalspejra(σπεῖρα), Angleži pa Perzejevi krivulji pravijospiric section [5, 47, 48, 49].
Slika 40: Tloris preseka torusa in ravnine y=c
Najlažje pridemo do enačbe Perzejeve krivulje tako, da torus(45) presekamo z ravnino y = c, ki je vzporedna z osjo torusa (slika 40). Pri tem je 0 ≤
|c| ≤ a+b, saj je v nasprotnem primeru presek ravnine in torusa prazen.
Če je c = 0, primer ni zanimiv, ker je Perzejeva krivulja tedaj unija dveh krožnic. Tudi primerc=a+b, ko je Perzejeva krivulja le točka, ni zanimivo.
Pri presekih torusa z ravnino y = c dobimo krivulje, ki jih s pravokotno projekcijo preslikamo na ravnino Oxz in dobimo enačbo
x2+z2+c2+a2−b22 = 4a2x2+c2.
