POMEN POLDIREKTNEGA PRODUKTA V TEORIJI GRUP

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇCEVANJE, PREDMETNO POU ˇCEVANJE

LUCIJA ˇ ZNIDARI ˇ C

POMEN POLDIREKTNEGA PRODUKTA V TEORIJI GRUP

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA 2015

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇCEVANJE, PREDMETNO POU ˇCEVANJE

LUCIJA ˇ ZNIDARI ˇ C

POMEN POLDIREKTNEGA PRODUKTA V TEORIJI GRUP

MAGISTRSKO DELO

MENTOR: doc. dr. PRIMOˇ Z ˇ SPARL

LJUBLJANA 2015

Hvala, da si mi dal ljubezen do matematike in me nauˇcil vztrajati do zadnje poteze. Pozdrav med zvezde.

Mentorju, doc. dr. Primoˇzu ˇSparlu

Hvala, da ste me zopet vzeli pod svoje okrilje, za vso potrpeˇzljivost, skrb, ˇcas ter strokovno pomoˇc pri nastajanju magistrskega dela.

Mojim

Hvala za spodbudo in razumevanje ter tisoˇckrat hvala, da ste verjeli vame ta- krat, ko jaz nisem. Brez vas mi ne bi uspelo.

Se posebej se zahvaljujem starˇˇ sema za vso podporo in zaupanje, ki sta mi ga namenila v ˇcasu ˇstudija.

Poldirektni produkt grup je posploˇsitev direktnega produkta, ki omogoˇca kon- strukcije precej veˇcjega nabora grup, kot pa jih lahko iz standardnih druˇzin grup konstruiramo z direktnim produktom.

Magistrsko delo je naravno nadaljevanje avtoriˇcinega diplomskega dela Poldi- rektni produkt grup. V njem smo vpeljali pojem poldirektnega produkta in ga predstavili na konkretnih primerih, predvsem poldirektnih produktov cikliˇcnih grup. Dokazali smo nekaj zanimivih rezultatov, ki pa so obenem odprli tudi vrsto vpraˇsanj in moˇznosti za nadaljnji ˇstudij omenjene konstrukcije.

V magistrskem delu raziskujemo pomen poldirektnega produkta v teoriji grup in tudi v ˇsirˇsem kontekstu, na primer pri ˇstudiju simetrij kombinatoriˇcnih objektov, kot so grafi. Zanima nas, kako poznavanje poldirektnega produkta dopolni znanje o grupah, ki ga daje zgolj poznavanje direktnega produkta in osnovnih standardnih druˇzin grup. Najpomembnejˇse vpraˇsanje, ki si ga za- stavimo, je razdeljeno na dva dela. Po eni strani nas zanima, koliko grup, ki se jih iz manjˇsih grup ne da konstruirati le s pomoˇcjo direktnega produkta grup, lahko dobimo kot poldirektni produkt manjˇsih grup. Po drugi strani nas zanima, kolikˇsen deleˇz grup s poldirektnim produktom in poznavanjem osnovnih konceptov teorije grup ne zajamemo. Obravnavamo izomorfnost pol- direktnih produktov, pri ˇcemer se osredotoˇcimo na poldirektne produkte, pri katerih v vlogi tako imenovanega komplementa edinke nastopa cikliˇcna grupa.

Pokaˇzemo, da so grupe specifiˇcnih redov (npr. produkt dveh praˇstevil) ve- dno poldirektni produkti. Na konkretnem primeru demonstriramo, kako za nek red, za katerega vemo, da so vse grupe tega reda poldirektni produkti, poiˇsˇcemo vse grupe tega reda. Osvetlimo pojem spletnega produkta, ki je poseben primer poldirektnega produkta, in ilustriramo, kje se te konstrukcije pojavljajo tudi izven teorije grup, na primer v teoriji grafov.

Glavni namen omenjenega diplomskega dela in tega magistrskega dela je po- dati ˇsirˇsi vpogled v konstrukcijo poldirektnega produkta ter poiskati konkretne zglede uporabe tako v teoriji grup kot tudi izven okvirov abstraktne algebre.

Poldirektni produkt je predstavljen na nivoju, ki je primeren za tiste, ki jim osnovni pojmi teorije grup niso tuji, vendar se s poldirektnimi produkti ˇsele spoznavajo.

MSC (2010) klasifikacija: 20D40, 20D45, 20E22

Kljuˇcne besede: direktni produkt grup, poldirektni produkt grup, spletni produkt grup, izomorfnost grup, simetrije

The semidirect product of groups is a generalization of the direct product con- struction and provides a much larger collection of groups than one is able to obtain only by constructing new groups as direct products of groups that be- long to the well-known standard group families.

This MSc thesis is a continuation of the study initiated by the author’s Ba- chelor’s thesis entitled Semidirect product of groups, which introduced the semidirect product of groups and provided various examples, mostly of semi- direct products of cyclic groups. Some interesting results were proved, which however gave rise to several questions and possibilities for further research.

The MSc thesis investigates the relevance of the semidirect product of groups, mostly in group theory, but also in a wider context, e.g. in the field of discrete mathematics, where symmetries of combinatorial objects such as graphs are investigated. We are interested in the question how the knowledge on this con- struction complements the knowledge on groups, which is obtained only from direct products and basic standard group families. One of the most important questions that we investigate is how many groups, that cannot be constructed as direct products of smaller groups, can be obtained using semidirect pro- ducts. On the other hand, we are also interested in the question of how many groups cannot be constructed using semidirect products. We investigate iso- morphisms of semidirect products, where a cyclic group takes the place of the so-called complement of the normal group. We show that all groups of specific orders (e.g. the product of two prime numbers) are semidirect products. We use a concrete example to demonstrate how to find all groups of a given order if we know that all groups of this order are semidirect products. Finally, we discuss the wreath product, a special case of a semidirect product, and we give examples of where else it is possible to find these constructions beyond group theory, for example in graph theory.

The major objective of this thesis is to provide a detailed insight into the construction of the semidirect product and to find concrete examples of its application in both group theory and further, beyond the borders of abstract algebra. The semidirect product of groups is presented in a way suitable for those familiar with basic notions of group theory, yet still in need of an intro- duction to semidirect products.

MSC (2010) classification: 20D40, 20D45, 20E22

Key words: direct product of groups, semidirect product of groups, wreath product of groups, group isomorphisms, symmetries

1 Uvod 1

2 Teoretiˇcna izhodiˇsˇca 5

2.1 Osnovni rezultati teorije grup . . . 6

2.2 Poldirektni produkt grup . . . 15

2.3 Rezultati o poldirektnem produktu . . . 16

3 Izomorfnost poldirektnih produktov 19 4 Grupe specifiˇcnih redov 23 4.1 Grupe reda pq in pq² . . . 23

4.2 Grupe reda pq³ . . . 26

4.3 Grupe reda pqⁿ . . . 28

4.4 Grupe reda p²q² . . . 28

4.5 Grupe reda pqr . . . 30

4.6 Grupe reda p³ . . . 31

4.7 Grupe reda 40 . . . 36

5 Grupe majhnih redov 41 5.1 Grupe do vkljuˇcno reda 60 . . . 42

5.2 Grupe do reda 60, ki niso poldirektni produkti . . . 45

5.3 Grupe viˇsjih redov . . . 46

6 Spletni produkt grup 49 6.1 Definicija spletnega produkta . . . 49

6.2 Spletni produkt v teoriji grafov . . . 51

6.3 Grupa Rubikove kocke . . . 56

7 Zakljuˇcek 59

Literatura 61

3.1 Poldirektni produkti Z9oψ Z6. . . 21

4.1 Zaporedja redov grup reda 40. . . 40

5.1 Redi grup od 61 do 200, ki jih s teoretiˇcnimi rezultati ne zajamemo. 47

Slike

6.1 Leksikografski produkt P₄[C₃] . . . 52

6.2 Leksikografski produkt C₆[N₂] . . . 55

6.3 Oznaˇcena mreˇza Rubikove kocke . . . 57

Uvod

Tema, ki jo obravnavamo v tem magistrskem delu, sodi na podroˇcje teorije grup, ki nadalje sodi na podroˇcje abstraktne algebre. Kot v [8] navaja Klei- ner, se je teorija grup zaˇcela razvijati konec 18. stoletja. Takrat se je algebra v veliki meri ukvarjala s preuˇcevanjem reˇsitev polinomskih enaˇcb, v 20. sto- letju pa so njen predmet prouˇcevanja postali abstraktni aksiomatski sistemi.

Prehod med tako imenovano klasiˇcno algebro polinomskih enaˇcb in moderno algebro aksiomatskih sistemov se je zgodil v 19. stoletju. Poleg teorije grup, ki prouˇcuje abstraktne algebrske strukture imenovane grupe, so se pojavile tudi druge abstraktne strukture, kot so kolobarji, polja in vektorski prostori.

Razvoj teh struktur je potekal soˇcasno in se je vˇcasih prepletal s teorijo grup.

Razvoj teorije grup je temeljil na ˇstirih izhodiˇsˇcnih podroˇcjih; klasiˇcna algebra, teorija ˇstevil, geometrija in analiza. Iz klasiˇcne algebre se je kasneje razvila teorija permutacijskih grup, teorija ˇstevil je vodila do razvoja teorije abelskih grup, geometrija in analiza pa sta botrovali teoriji transformacijskih grup. V zaˇcetku 19. stoletja je E. Galois, med drugim, prvi vpeljal pojem grupe v po- dobnem smislu, kot ga poznamo danes. Mnogi ga tako zaradi signifikantnosti njegovega dela imenujejo za iznajditelja teorije grup. A. Cauchy se je ukvar- jal predvsem s permutacijskimi grupami. Uvedel je velik del terminologije in rezultatov na tem podroˇcju, kot jih poznamo danes, poleg tega pa je obrav- naval tudi osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produkt. Teorija grup se je zaradi razliˇcnega obsega izhodiˇsˇcnih virov v zaˇcetnih obdobjih razvijala na konkretnih primerih in kot del razliˇcnih ˇstudij, ki so poˇcasi teˇzile k abstrakciji pojmov in se zdruˇzevale znotraj abstraktnega koncepta grupe. Leta 1854 je A.

Cayley podal prvo abstraktno definicijo konˇcne grupe, leta 1887 pa je zastavil tudi sploˇsen problem klasifikacije vseh grup danega reda in pokazal, da je vsaka konˇcna grupa izomorfna permutacijski grupi. Konec 19. stoletja se je koncept abstraktne grupe hitro razˇsiril. Tako so bili koncepti in rezultati, ki so bili do tedaj predstavljeni na konkretnih grupah, izoblikovani in na novo dokazani na abstraktnem nivoju. Pojavile so se ˇstudije, ki so izvirale in temeljile na abstrakciji in se okoli leta 1880 zdruˇzile znotraj abstraktnega koncepta grupe.

Rojstvo abstraktne teorije grup, ki se je utrdila v naslednjih ˇstiridesetih letih, so zaznamovale prve monografije iz tega podroˇcja, ki so izˇsle v zaˇcetku 20.

stoletja. Konec tega obdobja, okoli leta 1920, se je teorija grup usmerila v 1

veˇc razliˇcnih podroˇcij, kot jih poznamo danes (teorija konˇcnih grup, kombina- toriˇcna in geometrijska teorija grup, teorija neskonˇcnih grup, topoloˇska teorija grup, itd.) [8]. H. Zassenhaus je po zaslugah I. Schurja v letih 1937 in 1958 predstavil Schur-Zassenhausov izrek. Le-ta podaja zadostni pogoj za obstoj poldirektnega produkta grup, ki ga bomo spoznali v nadaljevanju.

Abstraktne grupe so zelo raznolike in jih je neskonˇcno mnogo, zato se tekom raziskovanja teorije grup postavljajo ˇstevilna vpraˇsanja. Tako nas na primer v prvi vrsti zanima, v katerih lastnostih se grupe med seboj razlikujejo, koliko je grup danega reda, kako iz znanih grup konstruirati nove, kako prepoznati dano grupo, kako ugotoviti, kdaj sta dve grupi v bistvu enaki, in podobno. Grupe so tako zanimive ˇze same po sebi, pomembne pa so tudi zaradi njihovega pomena v drugih vejah matematike in celo izven nje. Namreˇc, rezultati teorije grup se odraˇzajo pri ˇstudiju kompleksnejˇsih algebrskih struktur in navsezadnje izven meja same algebre, na primer v teoriji grafov, topologiji, teoriji ˇstevil itd. [3], [4], [9].

V okviru dodiplomskega ˇstudija smo spoznali osnove teorije grup. Ogledali smo si nekatere standardne druˇzine grup, kot so cikliˇcne grupe, diedrske grupe, simetriˇcne grupe itd., ter baziˇcno konstrukcijo grup, imenovano direktni pro- dukt grup, ki pa zajame le majhen del bogate zbirke grup [12]. Kmalu smo namreˇc ugotovili, da obstajajo grupe, ki jih iz omenjenih osnovnih druˇzin grup le z direktnim produktom ni moˇc dobiti. Na tem mestu se je tedaj pojavilo vpraˇsanje, ali je te grupe mogoˇce dobiti s kakˇsno drugo konstrukcijo. V ˇcem se te grupe razlikujejo od tistih, ki jih ˇze poznamo in kako jih konstruirati?

V ˇzelji, da bi znali najti in doloˇciti kar se da mnogo grup, se matematiki s problemom klasifikacije konˇcnih grup ukvarjajo ˇze zelo dolgo. Ta problem je v bistvu eden najveˇcjih izzivov v teoriji grup. Pomembno prelomnico je doˇzivel februarja 1981, ko je Daniel Gorenstein oznanil, da je klasifikacija konˇcnih enostavnih grup konˇcana. Omenjena klasifikacija je bila eden izmed najbolj nenavadnih izrekov, kar jih je matematika doˇzivela, in mnogo ljudi je bilo skeptiˇcnih glede rezultata. Razlog za to tiˇci v kontroverzni naravi njenega do- kaza, ki zajema ˇcez 10000 strani in je razprˇsen v veˇc kot 500 ˇclankih, napisanih s strani veˇc kot 100 avtorjev iz vsega sveta. Tako je bil ta dokaz oznaˇcen za najbolj obseˇznega v zgodovini. ˇCez ˇcas se je izkazalo, da so imeli skeptiki prav.

Matematiki so namreˇc kmalu ugotovili, da so nekateri deli dokaza nekorektni.

Tako je Gorenstein skupaj z Lyonsem in Solomonom zaˇcel (GLS) program v ˇzelji, da bi poenostavili velike dele dokaza, dokaz uredili, ga v celoti zapisali na enem mestu in odpravili pomanjkljivosti. Zadnjo in najveˇcjo pomanjkljivost v dokazu sta leta 2004, po sedmih letih prizadevanj, odpravila Michael Aschba- cher in Stephen Smith in tako je danes potrjeno, da je klasifikacija konˇcnih enostavnih grup konˇcana [1], [15].

Problem klasifikacije vseh grup do nekega danega reda je torej v sploˇsnem iz- redno zahteven. Kljub temu smo se mu zmoˇzni precej pribliˇzati, ˇce poznamo

in razumemo konstrukcije, ki omogoˇcajo, da iz ˇze znanih grup dobimo nove.

V diplomskem delu [13] smo s tem namenom predstavili poldirektni produkt grup, ki je posploˇsitev direktnega produkta in omogoˇca konstrukcijo grup, ki niti ne pripadajo nobeni omenjeni standardni druˇzini grup niti jih ni mogoˇce iz takˇsnih grup konstruirati z direktnim produktom.

Poldirektni produkt je abstrakten koncept, ki se ga na dodiplomskem ˇstudiju praviloma ne obravnava. Razumevanje le-tega namreˇc zahteva dobro poznava- nje osnov teorije grup, poznavanje notranje strukture grup, njihovega delovanja na mnoˇzicah in grupah in celo njihovih grup avtomorfizmov. Zaradi obseˇznosti obravnavane tematike smo tako v diplomskem delu uspeli zgolj vpeljati in spo- znati poldirektni produkt ter ga predstaviti na nekaj konkretnih primerih. S tem smo postavili temelje za nadaljnje raziskovanje, saj se je v okviru diplom- skega dela poleg doprinosa zanimivih rezultatov odprlo tudi kar nekaj vpraˇsanj in moˇznosti za nadaljnji ˇstudij omenjene konstrukcije in njenega pomena v te- oriji grup in ˇsirˇse.

V tem magistrskem delu obravnavamo pomen poldirektnega produkta, pred- vsem v teoriji grup, pa tudi v ˇsirˇsem kontekstu, na primer pri ˇstudiju simetrij matematiˇcnih objektov kot so grafi. Odgovorimo na nekatera vpraˇsanja, ki so se pojavila tekom raziskovanja v okviru diplomskega dela in skuˇsamo ilustrirati doprinos omenjene konstrukcije.

V drugem poglavju tako najprej na kratko obnovimo obravnavo iz diplom- skega dela. Vpeljemo nekatere osnovne pojme teorije grup, ki bodo kljuˇcnega pomena za nadaljnje raziskovanje, definiramo poldirektni produkt ter podamo prve zanimive rezultate o tej konstrukciji. V nadaljevanju obravnavamo izo- morfnost poldirektnih produktov in podamo zadostni kriterij za izomorfnost poldirektnih produktov, pri ˇcemer se osredotoˇcimo na poldirektne produkte cikliˇcnih grup, za katere podamo tudi konkreten zgled. V ˇcetrtem poglavju obravnavamo rezultate, ki omogoˇcijo klasifikacijo grup redov doloˇcenih poseb- nih oblik. Tako na primer dokaˇzemo, da so vse grupe nekaterih specifiˇcnih redov (npr. produkt treh praˇstevil) poldirektni produkti. Ugotovitve v zvezi z grupami specifiˇcnih redov v zadnjem razdelku poglavja apliciramo na primeru grup reda 40. Peto poglavje je namenjeno klasifikaciji grup do vkljuˇcno reda 60.

Tako najprej doloˇcimo vse rede grup do vkljuˇcno 60, za katere znamo vse grupe teh redov dobiti zgolj s pomoˇcjo poldirektnega produkta. Raziˇsˇcemo, za katera naravna ˇstevila obstajajo grupe tega reda, ki jih s poldirektnim produktom ni moˇc dobiti in podamo prezentacije vseh takˇsnih grup, pri ˇcemer si pomagamo s programskima orodjema Magma [2] in GAP [14]. To poglavje tako zaobjame pomen poldirektnega produkta v teoriji grup v smislu, da ugotovimo, kolikˇsen deleˇz grup je takˇsnih, ki jih lahko dobimo kot poldirektni produkt in kako poznavanje te konstrukcije dopolni znanje o grupah, ki ga podaja poznavanje zgolj direktnega produkta in osnovnih standardnih druˇzin grup. V ˇsestem po- glavju obravnavamo poseben primer poldirektnega produkta, imenovan spletni produkt, in navsezadnje prikaˇzemo relevantnost te konstrukcije tudi v teoriji

grafov in na Rubikovi kocki.

Pri raziskovanju v tem magistrskem delu se opremo predvsem na tujo literaturo in zapiske predavanj, ki so nastali tekom dodiplomskega ˇstudija, pomagamo pa si tudi z ˇze omenjenima programskima orodjema Magma in GAP. Literatura, ki bi obravnavala poldirektni produkt na naˇcin, ki omogoˇca celosten pregled nad to konstrukcijo, poda konkretne zglede uporabe in pribliˇza pomen pol- direktnega produkta ˇsirˇsi publiki, namreˇc v naˇsem prostoru praktiˇcno ˇse ne obstaja, ˇceprav se signifikantnost te teme odraˇza na razliˇcnih podroˇcjih mate- matike.

Tako je eden glavnih skupnih ciljev diplomskega dela in tega magistrskega dela predstaviti poldirektni produkt na nivoju, ki je primeren za tiste, ki jim osnovni pojmi teorije grup niso tuji, vendar se s poldirektnimi produkti ˇsele spozna- vajo in se bodisi tekom ˇstudija bodisi v okviru raziskovalnega dela sreˇcujejo s teorijo grup in njihovo uporabo pri ˇstudiju simetrij raznih objektov, na primer simetrijo teles ali grafov.

Teoretiˇ cna izhodiˇ sˇ ca

Poldirektni produkt grup je konstrukcija grup, s katero je moˇc dobiti vrsto grup, ki ne pripadajo kakˇsni standardni druˇzini grup in jih ni mogoˇce dobiti z direktnim produktom le-teh. V diplomskem delu [13], na katerem temelji naˇsa obravnava in raziskovanje pomena poldirektnega produkta grup, smo najprej spoznali osnovne pojme teorije grup, predstavili nekatere standardne druˇzine grup in si pobliˇze ogledali strukturo grupe skozi njene podgrupe. Vpeljali smo direktni produkt grup, osnovno konstrukcijo, ki omogoˇca, da iz ˇze znanih grup zgradimo nove. Z namenom, da bi znali povedati, kdaj sta dve na videz razliˇcni grupi v bistvu enaki, smo se posvetili tudi izomorfizmom in avtomorfizmom grup, ki v poldirektnem produktu grup igrajo zelo pomembno vlogo. Vpeljali smo pojem delovanja grup, kjer je pri delovanju grupe same nase za nas naj- bolj pomembno tako imenovano delovanje s konjugiranjem, kljuˇcnega pomena pa je tudi naravno levo delovanje ene grupe na drugi. S pomoˇcjo omenje- nih kljuˇcnih pojmov smo tako v diplomskem delu uspeli definirati poldirektni produkt grup in pokazati, na kakˇsen naˇcin se le-ta razlikuje od direktnega pro- dukta. Da bi to novo konstrukcijo ˇcim bolje razumeli, smo prikazali konkretno uporabo poldirektnega produkta, pri ˇcemer smo se osredotoˇcili na poldirektni produkt cikliˇcnih grup. Tako smo najprej ugotovili, kdaj je o poldirektnem produktu cikliˇcnih grup sploh smiselno govoriti, ter da lahko tudi diedrsko grupo vidimo kot poldirektni produkt cikliˇcnih grup. Podali smo tri obˇsirno razdelane zglede, skozi katere smo nakazali, da poldirektni produkt bistveno dopolni nabor grup, ki smo jih poznali do tedaj, in da lahko razliˇcni poldirek- tni produkti predstavljajo isto grupo. Ilustrirali smo tudi, kako se poldirektni produkt cikliˇcnih grup pojavlja v teoriji grafov. Kot smo ˇze omenili, so se tekom raziskovanja v okviru diplomskega dela pojavila razliˇcna raziskovalna vpraˇsanja, na katera bomo sedaj odgovorili.

Teoretiˇcna izhodiˇsˇca magistrskega dela tako v glavnem izhajajo iz omenjenega diplomskega dela. V tem poglavju so zato predstavljeni najpomembnejˇsi re- zultati diplomskega dela, ki so kljuˇcni za nadaljnje raziskovanje. Pri tem bomo privzeli, da so osnovni pojmi teorije grup, sploˇsno znani izreki (kot je na pri- mer Lagrangeev izrek) in rezultati, dokazani v diplomskem delu, bralcu znani (ˇceprav bomo nekatere najpomembnejˇse kljub vsemu navedli). Poleg omenje-

5

nega v tem poglavju vpeljemo tudi nekaj novih pojmov in dodatnih orodij, kot so na primer sploˇsno znani izreki Sylowa. Obravnavana snov tega poglavja je povzeta po [3], [4], [9], [10] in [13]. Pri tem bomo dokaze nekaterih izrekov in trditev izpustili, bralca pa vabimo, da si o njih veˇc prebere samostojno.

2.1 Osnovni rezultati teorije grup

V tem razdelku bomo podali osnovne rezultate teorije grup, ki so kljuˇcnega pomena za razumevanje poldirektnega produkta in nadaljnje raziskovanje nje- govega pomena v teoriji grup. Pri tem bomo privzeli, da bralec pozna pojme, kot so grupa (in z njimi povezani red grupe, inverzni elementi, generatorji grupe ipd.), pozna najosnovnejˇse standardne druˇzine grup (cikliˇcna grupa, diedrska grupa, simetriˇcna grupa), pa pojem podgrupe (odseki po podgrupi, kvocien- tna mnoˇzica), edinke, osnovno terminologijo preslikav grup (homomorfizmi in njihova jedra ter slike, izomorfizmi, avtomorfizmi grup), pozna pa tudi pojem delovanja grupe na mnoˇzici in najosnovnejˇsa dejstva v zvezi z njim. Tako se bomo na tem mestu spomnili le nekaj najpomembnejˇsih pojmov in izpostavili zgolj kljuˇcne trditve in izreke, ki zadevajo navedene temelje. Pri tem bomo do- kaze omenjenega izpustili. Bralca vabimo, da svoje znanje, ˇce je to potrebno, obnovi s pomoˇcjo diplomskega dela [13], kjer bo naˇsel tudi podrobno razlago in utemeljitve veˇcine omenjenih trditev in izrekov.

Poleg naˇstetega bomo vpeljali ˇse pojemp-grupe, izreke Sylowa in njihove posle- dice, s katerimi bomo v kasnejˇsih poglavjih zmoˇzni detektirati, ali dana grupa izpolnjuje kriterije, ki zagotavljajo, da je dana grupa poldirektni produkt. Sle- dnje je povzeto po [3].

Grupo dandanes obiˇcajno definiramo povsem abstraktno, pri ˇcemer izhajamo iz mnoˇzice elementov in dvoˇclene operacije na tej mnoˇzici. Spomnimo se, da o grupi govorimo, kadar je omenjena operacija asociativna, v grupi obstaja na- tanko en nevtralni element in poleg tega velja ˇse, da za vsak element grupe v njej obstaja tudi njegov enoliˇcno doloˇcen inverzni element. O konˇcni grupi go- vorimo, kadar je mnoˇzica elementov, ki tvori grupo, konˇcna, velikost te mnoˇzice pa je potem red obravnavane grupe.

Grupo lahko predstavimo tudi na naˇcin, da podamo njeno prezentacijo. To po- meni, da doloˇcimo mnoˇzico generatorjevS tako, da lahko vsak element grupe zapiˇsemo kot produkt potenc enega ali veˇc generatorjev in njihovih inverzov.

Poleg tega podamo ˇse relacije med generatorji, ki tvorijo mnoˇzico R. Tedaj grupo G opiˇsemo kot G=hS | Ri. Grupo, ki je generirana s konˇcno mnoˇzico generatorjev in konˇcno mnoˇzico relacij, imenujemokonˇcno prezentirana grupa.

Oglejmo si nekaj primerov.

(Multiplikativno pisano) cikliˇcno grupo C_n lahko opiˇsemo kot C_n =ha | aⁿ = 1i, kjer je 1 nevtralni element v grupi. Spomnimo, da cikliˇcno grupo reda n z aditivno pisano operacijo oznaˇcimo z Zn.

Za diedrsko grupo obiˇcajno pravimo, da jo tvorijo rotacije in zrcaljenja pra-

vilnih mnogokotnikov. Z ustrezno prezentacijo pa na primer diedrsko grupo reda 10 zapiˇsemo kot D₅ =hr, z|r⁵ =z² = 1, zrz =r⁻¹i. Pri tem si lahko mi- slimo, daroznaˇcuje rotacijo za 72^◦,z pa zrcaljenje ˇcez simetralo skozi izbrano ogliˇsˇce.

Za vsako grupo pa lahko podamo tudi njeno permutacijsko reprezentacijo.

Malce ohlapno povedano to pomeni, da grupo opiˇsemo kot grupo permutacij elementov, ki jo tvorijo, to je, predstavimo jo kot podgrupo ustrezne sime- triˇcne grupe S_n (da to res lahko storimo, zagotavlja Cayleyev izrek, ki pa ga v tem magistrskem delu ne bomo eksplicitno navajali). Pojem permutacijske reprezentacije bomo natanˇcno definirali kasneje. GrupoD₄ lahko predstavimo kot podgrupo simetriˇcne grupeS₄, ki jo generirata elementa (1 2 3 4) in (1 3), torej D₄ =h(1 2 3 4),(1 3)i.

Bralca opomnimo, da bomo za nevtralni element grupe v nadaljevanju upora- bljali bodisi oznako 1 bodisi oznako e.

Spomnimo se sedaj, da vsaka grupa vsebuje podgrupe, torej podmnoˇzice ele- mentov, ki za podedovano operacijo grupe same zase tvorijo grupo in da lahko za vsako pogrupo v dani grupi tvorimo mnoˇzico vseh levih (desnih) odsekov.

Definicija. Mnoˇzico vseh levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H imenujemo kvocientna mnoˇzica in jo oznaˇcimo z G/H. Kardinalnost mnoˇzice G/H oznaˇcimo z [G:H] in ji reˇcemo tudi indekspodgrupe H v grupi G.

V konˇcnih grupah velja naslednji dobro znani izrek, ki med drugim pove tudi, da red vsakega elementa v konˇcni grupi deli red grupe.

Izrek 2.1 (Lagrangeev izrek) Naj bo G konˇcna grupa in H njena podgrupa.

Tedaj velja, da red H deli red G in da je [G:H] = |G|

|H|.

Trditev 2.2 Naj bo G konˇcna cikliˇcna grupa. Tedaj v G za vsak delitelj |G|

obstaja natanko ena podgrupa tega reda, ki je cikliˇcna.

Nekatere podgrupe imajo ˇse posebej lepe lastnosti. Ene izmed takˇsnih so podgrupe edinke (spomnimo se, da kadar je podgrupa H edinka v grupi G, to oznaˇcimo s HEG), v nadaljevanju pa bomo definirali ˇse centralizator in normalizator podgrupe ter center grupe.

Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Mnoˇzico C_H(K) = {h ∈ H | hkh⁻¹ = k, ∀ k ∈ K} imenujemo centralizator podgrupe K v podgrupi H. Kadar je H = G, je C_G(K) mnoˇzica tistih elementov iz G, ki komutirajo z vsakim elementom iz K. ˇCe je ˇse K =G, gre torej za elemente grupe G, ki komutirajo z vsemi elementi v G. Med drugim torej to pomeni, da v mnoˇzici

C_G(G) vsi elementi med seboj komutirajo. Centralizator C_G(G) imenujemo center grupe G in ga posebej oznaˇcimo kot Z(G). Torej,

Z(G) = {g ∈G| gx=xg, ∀x∈G}.

Definicija. Naj bo H ≤G. MnoˇzicoN_G(H) ={g ∈G| gHg⁻¹ =H}, kjer je gHg⁻¹ ={ghg⁻¹ | h∈H}, imenujemonormalizator podgrupe H v grupi G.

Opomba. Z(G) in N_G(H) sta podgrupi grupe G, neposredno iz definicije pa sledi tudi, da je Z(G) celo edinka grupe G in da je center Z(G) enak kar celi grupi G natanko tedaj, ko je G komutativna grupa. Po drugi strani je normalizatorN_G(H) podgrupeH v Genak kar celi grupiG natanko tedaj, ko je H edinka grupe G.

Podajmo sedaj ˇse naslednji dobro znan rezultat o centru grupe redapⁿ. Izrek 2.3 Naj bo G grupa reda pⁿ, kjer je p poljubno praˇstevilo in n ∈ N. Tedaj ima grupa G netrivialen center Z(G).

Trditev 2.4 Konˇcna grupa G je komutativna natanko tedaj, ko je kvocientna grupa G/Z(G) cikliˇcna.

Dokaz: Ce je grupaˇ G komutativna, je Z(G) =G, torej je G/Z(G)∼=Z1. Denimo sedaj, da je G/Z(G) cikliˇcna grupa. Tedaj obstaja a ∈ G tako, da haZ(G)i= G/Z(G). Naj bo g poljuben element grupe G. Tedaj je gZ(G) = (aZ(G))ⁿ = aⁿZ(G). Po drugi strani velja gZ(G) = aⁿZ(G) natanko tedaj, ko je (aⁿ)⁻¹g ∈Z(G). Torej obstaja nek z ∈Z(G) tako, da je (aⁿ)⁻¹g =z in od tod sledi, da je poljuben elementg ∈ G oblike aⁿz, kjer sta seveda n ∈ N inz ∈Z(G) naˇceloma odvisna od g.

Naj bosta sedaj g₁, g₂ ∈ G. Tedaj je g₁ = aⁿ¹z₁ in g₂ = aⁿ²z₂, kjer sta z₁, z₂ ∈Z(G). Pokaˇzimo, da g₁ in g₂ komutirata. Velja

g₁g₂ = aⁿ¹z₁aⁿ²z₂

= aⁿ¹aⁿ²z₁z₂

= aⁿ¹⁺ⁿ²z₂z₁

= aⁿ²aⁿ¹z₂z₁

= aⁿ²z2aⁿ¹z1

= g2g1.

Torej poljubna dva elementa v grupiGkomutirata, zato jeGres komutativna

grupa.

Kadar grupa vsebuje dve podgrupi, recimo H in K, lahko o mnoˇzici HK = {hk | h∈H, k ∈K} vseh produktov po enega elementa izH in iz K povemo naslednje.

Trditev 2.5 ([13], Trditve 2.9, 2.10 in 2.11) Naj bosta H in K podgrupi konˇcne grupe G. Potem je

|HK|= |H||K|

|H∩K|.

HK je podgrupa grupe G natanko tedaj, ko velja HK = KH. ˇCe je K EG, je HK ≤G za vsak H ≤G.

Naslednji izrek govori o obstoju podgrupe praˇstevilskega reda v dani grupi.

Izrek 2.6 (Cauchyjev izrek). Naj boG konˇcna grupa in naj bop praˇstevilo, ki deli njen red. Tedaj v G obstaja element reda p, poslediˇcno pa G vsebuje tudi podgrupo reda p.

Vpeljimo sedaj pojem p-grupe.

Definicija. Naj bo G grupa in p praˇstevilo.

1. Grupa redapⁿ, kjer je n≥1, je p-grupa. Vsaka podgrupa grupeG, ki je sama zase p-grupa, jep-podgrupa grupe G.

2. ˇCe je Ggrupa reda pⁿm, n≥1 in p ne delim, potem podgrupi reda pⁿ v G pravimo p-Sylowka grupe G.

3. Poljubno p-Sylowko v G oznaˇcimo s Sylp(G), ˇstevilo p-Sylowk v G pa z n_p(G), oziroma kar z n_p, kadar je jasno, za katero grupo gre.

V naslednjih poglavjih bomo prouˇcevali grupe doloˇcenih specifiˇcnih redov in pokazali, da so takˇsne grupe vedno poldirektni produkti manjˇsih grup. Nasle- dnji izrek podaja tri izreke Sylowa, ki nam bodo pri tem v veliko pomoˇc.

Izrek 2.7 (Izreki Sylowa.) Naj bo G grupa reda pⁿm, kjer je p praˇstevilo, n ≥1 in p ne deli m.

1. V G za vsak 1 ≤ k ≤ n obstaja podgrupa reda p^k, velja pa tudi, da je vsaka podgrupa reda p^k, kjer je 1≤k < n, edinka v neki podgrupi grupe G reda p^k+1.

2. Za poljubni p-Sylowki H₁ in H₂ obstaja g ∈G, tako da je H₂ =gH₁g⁻¹. 3. Za ˇstevilo p-Sylowk v G velja n_p ≡1 (mod p) in n_p = [G: N_G(H)], kjer

je H poljubna p-Sylowka grupe G. Poslediˇcno n_p deli m.

Opomba. V nadaljevanju bomo posamezno toˇcko zgornjega izreka 2.7 imeno- vali ustrezni izrek Sylowa. Tako bomo na primer pod 1. izrek Sylowa razumeli 1. toˇcko tega izreka.

Posledica 2.8 Naj bo G poljubna grupa reda pⁿm, kjer je p praˇstevilo, n ≥1 in p ne deli m in naj bo H poljubna p-Sylowka grupe G. Potem so naslednje trditve ekvivalentne.

1. H je edina p-Sylowka grupe G, to je n_p = 1.

2. HEG.

3. Poljubna podgrupa, generirana z elementi, katerih redi so potence praˇstevila p, je p-grupa. To je, ˇce je X poljubna mnoˇzica elementov iz G, tako da za vsak x∈X obstaja 0≤k ≤n, da je |x|=p^k, potem je hXi p-grupa.

Dokaz:

1.⇒2.

Ce jeˇ H edinap-Sylowka grupe G, potem je gHg⁻¹ =H za vsak g ∈G, saj je gHg⁻¹ podgrupa grupe G za vsak g ∈ G in |gHg⁻¹| =|H|. Od tod sledi, da je HEG.

2.⇒1.

Naj boHEG inK poljubnap-Sylowka grupe G. Po 2. izreku Sylowa obstaja g ∈G, da je K =gHg⁻¹. Ker jeH edinka v G, je gHg⁻¹ =H, zato K =H, torej jeH edina p-Sylowka grupe G.

1.⇒3.

Predpostavimo, da je H edina p-Sylowka grupe G in naj bo X kot v formu- laciji posledice. Ker po Lagrangeevem izreku poljuben x ∈ X generira neko p-podgrupo grupe G, po 1. izreku Sylowa pa je vsaka p-podgrupa grupe G vsebovana v kakˇsni p-Sylowki, sledi, da je X ⊆H in zato hXi ≤H, od koder potem sledi, da jehXi p-grupa.

3.⇒1.

Naj boXunija vsehp-Sylowk grupeG. Po Lagrangeevem izreku je red poljub- nega elementa mnoˇzice X potenca praˇstevilapin tako je hXipo predpostavki p-grupa. ˇCe jeH poljubnap-Sylowka, potem jeH podgrupap-grupehXi. Ker je H p-podgrupa maksimalnega reda v G, je H =hXi in tako je to kar edina

p-Sylowka v G.

Eno najpomembnejˇsih vpraˇsanj, ki se poraja brˇz, ko pobliˇze spoznamo struk- turo grup, je, kako iz grup, ki jih ˇze poznamo, konstruirati nove. Osnovna konstrukcija grup je njihov direktni produkt, ki ga predstavljamo v nadaljeva- nju.

Trditev 2.9 Naj bosta (G, ?) in (H,•) grupi. Mnoˇzica urejenih parov kar- teziˇcnega produktaG×H ={(g, h)|g ∈G, h∈H}je za operacijo(g₁, h₁)(g₂, h₂)

= (g₁ ? g₂, h₁•h₂) grupa.

Definicija. Grupo iz trditve 2.9 imenujemodirektni produktgrupe Gin grupe H in ga oznaˇcimo z G×H.

Trditev 2.10 Naj bosta H in K podgrupi grupe G tako, da velja 1. HEG in K EG,

2. H∩K ={e}.

3. HK =G

Tedaj je grupa G izomorfna grupi H×K.

Opomba. V nadaljevanju bomo za podgrupi H in K grupe G s trivialnim presekom, za kateri bo veljalo HK =G, rekli, da je H komplement podgrupe K v grupi G, oziroma da jeK komplementpodgrupe H v grupi G.

Oglejmo si nekaj najpomembnejˇsih rezultatov o komutativnih grupah.

Trditev 2.11 Naj bodoG₁, G₂, . . . , G_ngrupe. Direktni produkt G₁×G₂×. . .×

G_nje komutativna grupa natanko tedaj, kadar je komutativna vsaka izmed grup G₁, G₂, . . . , G_n.

Izrek 2.12 (Klasifikacija konˇcnih komutativnih grup) Naj bo G komutativna grupa reda n, kjer je n ∈ N. Tedaj obstajajo (ne nujno paroma razliˇcna) praˇstevila p₁, p₂, . . . , p_i in naravna ˇstevila n₁, n₂, . . . , n_i, tako, da velja n = pⁿ₁¹pⁿ₂². . . pⁿ_iⁱ in da je G∼=Zpⁿ₁¹ ×Zpⁿ₂² × · · · ×Zpⁿⁱ_i .

Trditev 2.13 Za vsako praˇstevilo p obstaja, do izomorfizma natanˇcno, na- tanko ena grupa reda p, ki je izomorfna cikliˇcni grupi Z^p.

Dokaz: Naj bo G grupa reda p. Po Lagrangeevem izreku je vsak element v G (razen identitete) reda p, torej je G cikliˇcna in zato G∼=Zp. Trditev 2.14 Vsaka grupa reda p², kjer je p praˇstevilo, je komutativna in izomorfna bodisi grupi Zp² bodisi grupi Zp×Zp.

Dokaz: Naj bo G grupa reda p², kjer je p poljubno praˇstevilo. Oglejmo si njen center Z(G). Ker je Z(G) podgrupa grupe G, po Lagrangeevem izreku velja, da je |Z(G)| = {1, p, p²}. G je p-grupa, zato po izreku 2.3 sledi, da je

|Z(G)| > 1. Torej je Z(G) bodisi reda p bodisi reda p². V primeru, da je

|Z(G)| = p², je G = Z(G), torej je G komutativna grupa. Denimo, da je

|Z(G)| =p. Tedaj je |G/Z(G)| = p, torej je G/Z(G) po trditvi 2.13 cikliˇcna grupa. Od tod po trditvi 2.4 sledi, da je v tem primeruG komutativna grupa, kar je nemogoˇce, saj je tedaj |Z(G)| = p². Vidimo, da je G res komutativna grupa in je po izreku 2.12 izomorfna bodisi grupi Zp² bodisi grupiZ^p×Z^p. Namenimo sedaj nekaj besed preslikavam grup.

Definicija. Naj bosta (G, ?) in (H,◦) grupi. Preslikavoψ :G→H, za katero velja

ψ(x ? y) = ψ(x)◦ψ(y) za vse x, y∈G,

imenujemo homomorfizem grup. (Ker pri sploˇsnih grupah znak za operacijo obiˇcajno spuˇsˇcamo, se zgornja enakost prevede v ψ(xy) = ψ(x)ψ(y).) Jedro homomorfizmaψ (oznakaKer(ψ)) je mnoˇzicaKer(ψ) ={g ∈G|ψ(g) = e_H}, mnoˇzico Im(ψ) = {h ∈ H | h = ψ(g) za nek g ∈ G} pa imenujemo slika homomorfizma ψ (oznaka Im(ψ)).

Naslednji izrek, ki govori o homomorfizmih grup, je znan tudi pod imenom 1.

izrek o izomorfizmu.

Izrek 2.15 (Izrek o izomorfizmu). Naj bo ψ : G → H homomorfizem grup.

Potem je G/Ker(ψ)∼=Im(ψ).

Spomnimo se, da je mnoˇzica vseh bijektivnih homomorfizmov dane grupe nase (torej njenih avtomorfizmov), skupaj z operacijo kompozituma, grupa, ki jo imenujemo grupa avtomorfizmov dane grupe. Doloˇcanje grup avtomorfizmov je v sploˇsnem zelo zahtevno, zato bomo v nadaljevanju podali le nekaj re- zultatov o grupah avtomorfizmov komutativnih grup. V ta namen se najprej spomnimo Eulerjeve funkcije.

Naj bo n poljubno naravno ˇstevilo. Tedaj Eulerjeva funkcija ϕ(n) oznaˇcuje ˇstevilo naravnih ˇstevil, ki so manjˇsa od naravnega ˇstevila n in njemu tuja.

Dobro znano je, da velja

ϕ(n) =n(1−p⁻¹₁ )(1−p⁻¹₂ )· · ·(1−p⁻¹_k ), kjer sop₁, p₂, . . . , p_k vsi razliˇcni praˇstevilski delitelji ˇstevila n.

Trditev 2.16 ([13], Trditev 3.6) Grupa avtomorfizmov cikliˇcne grupeZⁿje izomorfna multiplikativni grupi Z^?n redaϕ(n), kjer je ϕEulerjeva funkcija.

Opomba. Iz trditve 2.16 torej sledi, da je grupa avtomorfizmov cikliˇcne grupe Zn komutativna grupa.

Trditev 2.17 Naj bo G cikliˇcna grupa reda p², kjer je p poljubno praˇstevilo.

Tedaj je |Aut(G)|=p(p−1).

Dokaz: Ker sta poljubni cikliˇcni grupi istega reda izomorfni, velja G ∼= Zp². Tedaj po trditvi 2.16 velja, da je Aut(G) ∼= Z^?_p², ki je reda ϕ(p²). Torej je

|Aut(G)|=p²(1−¹_p) =p(p−1) in trditev sledi.

Trditev 2.18 Naj bo p praˇstevilo. Tedaj je |Aut(Zp×Zp)|= (p²−1)(p²−p).

Dokaz: Naj bostaainbgeneratorja grup redaptako, da jeZp×Zp =hai×hbi.

Ker jeZp×Zp komutativna grupa redap², v kateri je vsak netrivialen element redap, je jasno, da jo generirata poljubna netrivialna elementa, ki ne pripadata isti podgrupi reda p. ˇCe ˇzelimo ugotoviti, kakˇsen je red grupe Aut(Zp×Zp), moramo torej preˇsteti vse pare (g₁, g₂) elementov g₁, g₂ ∈ Zp ×Zp, kjer je

|g₁| = |g₂| = p in g₂ ∈ hg/ ₁i. Pri tem bo ustrezni avtomorfizem a preslikal v g₁, b pa v g₂. Ker grupa Zp ×Zp vsebuje p² −1 elementov reda p, lahko z elementi Aut(Zp ×Zp) a preslikamo v katerega koli izmed njih. Denimo, da je g₁ element reda p. Zanima nas ˇstevilo elementov g₂, za katere velja, da je

|g₂|=ping₂ ∈ hg/ ₁i. Vsakg₁ generira grupo redap, torej lahko zag₂ vzamemo poljubnega od preostalihp²−pelementov. Ker je moˇznosti za izbiro elementa g₁ natanko p²−1, moˇznosti za izbiro generatorja komplementa grupehg₁i pa p²−p, je red grupe Aut(Zp×Zp) enak (p²−1)(p² −p).

Oglejmo si sedaj delovanja grup.

Definicija: DelovanjegrupeGna mnoˇzici Aje preslikava·:G×A→A(kjer namesto·(g, a) piˇsemo g·a), ki zadoˇsˇca naslednjima pogojema:

1. e·a=a za vsak a∈A,

2. g1·(g2·a) = (g1g2)·a za vsak g1, g2 ∈G in vsak a∈A.

Dogovor. Bralca opomnimo, da tako definirano delovanje imenujemo levo delovanjegrupe na mnoˇzici in da sicer v sploˇsnem obstaja tudi desno delovanje.

Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju, kadar bomo govorili o delovanju, imeli v mislih levo delovanje grupe na mnoˇzici.

Trditev 2.19 ([13], Trditev 4.1) Naj grupa Gdeluje na mnoˇzici A. Potem za vsak g ∈G velja:

1. preslikava σ_g :A→A, kjer je σ_g(a) =g·a, je bijekcija in

2. preslikavaψ :G→SA, definirana kotψ(g) = σg, je homomorfizem grup.

Definicija. Naj grupa G deluje na mnoˇzici A. Homomorfizem ψ iz zgornje trditve 2.19, ki slika iz G v grupo S_A tako, da g 7→ σ_g, imenujemo permuta- cijska reprezentacija grupe G doloˇcena z levim delovanjem G naA. Pravimo, da dano delovanje grupe G na mnoˇzici A porodi pripadajoˇco permutacijsko reprezentacijo grupeG. Kadar permutacijsko reprezentacijo Gdoloˇca naravno delovanje grupe G na sebi z mnoˇzenjem z leve, jo imenujemo leva regularna reprezentacija (tudi leva regularna upodobitev) grupeG.

Definicija. Pravimo, da je delovanje grupe G na neprazni mnoˇzici A tran- zitivno, kadar za poljubna elementa a, b ∈ A obstaja g ∈ G tako, da velja b =g·a.

Grupe lahko delujejo tudi same nase. Primer takˇsnega delovanja smo ome- nili ˇze zgoraj (leva regularna reprezentacija grupe), niˇc manj pa ni pomembno delovanje grupe na sebi s konjugiranjem.

Izrek 2.20 ([13], Izrek 4.4) Naj bo N edinka in H podgrupa grupe G. Te- daj H naravno deluje na N s konjugiranjem, kjer za vsak h ∈ H in n ∈ N definiramo

h·n =hnh⁻¹.

Za vsak h∈H je konjugiranje s h avtomorfizem edinke N in tako nam to de- lovanje porodi homomorfizem iz podgrupe H v grupo Aut(N)z jedrom C_H(N).

Nadalje je kvocientna grupa H/CH(N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N).

Naslednje delovanje grupe na grupi je v poldirektnih produktih bistvenega pomena.

Trditev 2.21 ([13], Trditev 4.5) Naj bosta H in N grupi in naj bo ψ : H → Aut(N) homomorfizem grup. Tedaj lahko definiramo delovanje H na N s predpisom h·n= (ψ(h))(n) za vsak h∈H, n∈N.

Definicija. Delovanje iz trditve 2.21 imenujemonaravno levo delovanjegrupe H na grupi N, porojeno s homomorfizmom ψ.

Oglejmo si sedaj za konec tega razdelka ˇse trditev, ki nam bo v naslednjih poglavjih v pomoˇc pri iskanju edink v konˇcnih grupah.

Trditev 2.22 Ce jeˇ G konˇcna grupa in jep najmanjˇse praˇstevilo, ki deli njen red, potem je vsaka njena podgrupa indeksa p edinka v G.

Dokaz: Predpostavimo, da je H ≤ G in [G : H] = p, kjer je p najmanjˇse praˇstevilo, ki deli|G|. Naj bo π_H permutacijska reprezentacija grupe G, ki jo porodi mnoˇzenje z leve na mnoˇzici levih odsekov grupe Gpo podgrupi H, naj bo K jedro te reprezentacije, to je K =Ker(π_H), in naj bo [H :K] = k (ker mora vsak element v jedru fiksirati trivialni odsekH, je jasno, da je K ≤H).

Potem je [G:K] = [G:H][H :K] =pk. Ker je ˇstevilo levih odsekov grupeG po podgrupiH enakop, je kvocientna mnoˇzicaG/K, po Izreku o izomorfizmu, izomorfna podgrupi grupeS_p. Ker je|S_p|=p!, po Lagrangeevem izreku sledi, da|G/K| =pk deli p!. Torej k| ^p!_p = (p−1)!. Ker so vsi praˇstevilski delitelji (p−1)! manjˇsi od p in ker smo predpostavili, da je p najmanjˇse praˇstevilo, ki deli red grupe G, je edina moˇznost k = 1, od koder sledi H = K in zato

HEG.

Zgornja trditev med drugim implicira tudi dobro znano dejstvo, da je vsaka podgrupa indeksa 2 edinka v dani grupi.

Posledica 2.23 Naj bo G grupa in H ≤ G podgrupa indeksa 2. Tedaj je HEG.

2.2 Poldirektni produkt grup

Omenili smo ˇze, da je poldirektni produkt posploˇsitev direktnega produkta grup, sedaj pa namenimo besedo sami konstrukciji. V tem razdelku se bomo tako najprej spomnili, kako je definiran tako imenovani zunanji poldirektni pro- dukt, to je, kako iz dveh danih grup konstruiramo njun poldirektni produkt.

Nadalje si bomo ogledali tudi, kdaj je dana grupa izomorfna poldirektnemu produktu, torej, kdaj govorimo o tako imenovanem notranjem poldirektnem produktu. Zunanji in notranji poldirektni produkt sta v sploˇsnem ekvivalen- tna, gre le za dva razliˇcna zorna kota. Razlika je tudi v notaciji, saj elemente zunanjega poldirektnega produkta obiˇcajno piˇsemo kot urejene pare (n, h), ele- mente notranjega poldirektnega produkta pa kot produkte nh, kjer je n ∈N inh∈H. Vsebina tega razdelka je povzeta po [13], kjer so podani tudi dokazi in teoretiˇcna izhodiˇsˇca omenjenih izrekov.

Naslednji izrek v resnici na nek naˇcin podaja definicijo zunanjega poldirek- tnega produkta. Oglejmo si torej, kdaj in kako lahko, kadar imamo dani dve grupi, konstruiramo njun poldirektni produkt.

Izrek 2.24 ([13], Izrek 5.1) Naj bosta N in H grupi in ψ homomorfizem grup, ki slika iz grupe H v grupo Aut(N) avtomorfizmov grupe N. Naj · oznaˇcuje naravno levo delovanje grupe H na grupi N, porojeno s ψ. Naj bo G mnoˇzica urejenih parov (n, h), kjer je n ∈ N in h ∈ H, to je G= N ×H.

Definirajmo operacijo mnoˇzenja v G takole:

(n₁, h₁)(n₂, h₂) = (n₁ (h₁ ·n₂), h₁h₂).

Potem velja:

1. G je za definirano operacijo mnoˇzenja grupa reda |G|=|N||H|.

2. Mnoˇzici Ne = {(n, e) | n ∈ N} in He = {(e, h) | h ∈ H} sta podgrupi grupe G. Preslikavi n 7→ (n, e) za n ∈ N in h 7→ (e, h) za h ∈ H sta izomorfizma teh podgrup z grupama N in H, to je N ∼=Ne in H ∼=H.e 3. Ne EG in Ne∩He ={(e, e)}.

4. Za vsak n˜ = (n, e) ∈ Ne in ˜h = (e, h) ∈ He velja h˜˜n˜h⁻¹ = (h·n, e) = ((ψ(h))(n), e).

Definicija. Naj bosta N in H grupi in naj bo ψ homomorfizem iz grupe H v grupo Aut(N). Grupo G, kot smo jo opisali v izreku 2.24, imenujemo (zu- nanji) poldirektni produkt grup N inH, doloˇcen s ψ. Oznaˇcimo ga z N o^ψH (kadar ni nevarnosti, da bi priˇslo do zmede, ga oznaˇcimo kar z N oH).

Pogosto nas zanima, ali je dana grupa poldirektni produkt grup (pri ˇcemer seveda s tem mislimo na poldirektni produkt, pri katerem nobena od nasto- pajoˇcih grup N in H ni trivialna). V naslednjih poglavjih bomo najprej za

grupe specifiˇcnih redov in nato ˇse za vse grupe do vkljuˇcno reda 60 raziskali, katere izmed njih so poldirektni produkti. Ugotovitve in rezultati, ki jih bomo podali, v osnovi temeljijo na naslednjem izreku, saj le-ta, skupaj z izrekom 2.24, podaja kriterije, ki doloˇcajo, kdaj je dana grupa poldirektni produkt.

Izrek 2.25 ([13], Izrek 5.2) Naj bo G grupa in naj bosta N ter H njeni podgrupi tako, da velja:

1. N EG in 2. |N ∩H|= 1.

Naj bo ψ : H → Aut(N) homomorfizem grup, ki je definiran tako, da pre- slika element h ∈ H v avtomorfizem grupe N, podan z levim konjugiranjem h na N, to je (ψ(h))(n) = hnh⁻¹. Potem je N H podgrupa grupe G in velja N H ∼= N o^ψ H. ˇCe je torej G = N H, je G (notranji) poldirektni produkt N in H.

2.3 Rezultati o poldirektnem produktu

Ze v diplomskem delu [13] smo pokazali nekaj zanimivih rezultatov v zvezi sˇ poldirektnimi produkti, pri ˇcemer smo v glavnem govorili o cikliˇcnih grupah. V tem razdelku bomo predstavili najpomembnejˇse od teh. Podali bomo trditev, ki pove, na kak naˇcin je poldirektni produkt posploˇsitev direktnega produkta.

Poleg tega bomo na konkretnih primerih pokazali, da se da vˇcasih dano grupo predstaviti z razliˇcnimi poldirektnimi produkti in dodali ˇse nekaj zanimivih posledic, ki izhajajo iz definicije poldirektnega produkta.

Oglejmo si najprej, kdaj je poldirektni produkt grup izomorfen direktnemu produktu istih dveh grup.

Trditev 2.26 ([13], Trditev 5.3) Na bostaN inHgrupi inψ :H →Aut(N) homomorfizem grup. Potem so naslednje trditve ekvivalentne.

1. Identiˇcna preslikava med N oψ H in N ×H je izomorfizem grup.

2. ψ je trivialni homomorfizem.

3. He EN oψ H, kjer je He ={(e, h) | h∈H}.

Definicija. Poldirektni produkt grup, pri katerem velja ena in zato vse tri toˇcke zgornje trditve 2.26, imenujemotrivialni poldirektni produkt, za vse ostale pa reˇcemo, da sonetrivialni poldirektni produkti.

Izrek 2.27 GrupaGje netrivialni poldirektni produkt dveh grup natanko tedaj, ko vsebuje edinkoN in podgrupoH, ki ni njena edinka tako, da veljaN∩H= 1 in N H =G.

Dokaz: Izreka 2.24 in 2.25 povesta, da je grupa G poldirektni produkt dveh grup natanko tedaj, kadar vsebuje edinko N in podgrupo H, ki zadoˇsˇcata kriterijem izreka 2.25, poleg tega pa velja ˇse N H =G. Po trditvi 2.26 sledi, da je G netrivialni poldirektni produkt natanko tedaj, kadar podgrupa H ni

edinka v G.

Ko prepoznavamo, ali je dana grupa netrivialni poldirektni produkt, je torej bistvenega pomena 3.toˇcka zgornje trditve. Najveˇckrat se namreˇc sklicujemo na dejstvo, da je poldirektni produkt posploˇsitev direktnega produkta v smislu, da se tako rekoˇc omili kriterij, ki v direktnem produktu po trditvi 2.10 zahteva, da sta obe podgrupi, ki ga tvorita, edinki.

Ravno netrivialni poldirektni produkti so tisti, ki resniˇcno odraˇzajo pomen poldirektnega produkta, saj lahko z njimi tvorimo grupe, ki jih z direktnim produktom ne dobimo.

Posledica 2.28 Netrivialni poldirektni produkt dveh grup je nekomutativna grupa.

Naslednja trditev podaja potreben in zadosten kriterij za konstrukcijo netri- vialnega poldirektnega produkta dveh cikliˇcnih grup.

Trditev 2.29 ([13], Trditev 6.1) Naj bosta n, m ∈N. Tedaj obstaja netri- vialni poldirektni produkt Zⁿo Z^m natanko tedaj, ko je D(m, ϕ(n))>1.

Oglejmo si sedaj nekaj zanimivih rezultatov v zvezi s poldirektnim produktom, ki povedo, da so pripadnice nekaterih standardnih druˇzin grup poldirektni produkti, pripadnice drugih pa ne.

Trditev 2.30 Naj bo p poljubno praˇstevilo in G grupa reda p. Tedaj G ni izomorfna poldirektnemu produktu dveh netrivialnih grup.

Dokaz: Cikliˇcna grupa G reda p po Lagrangeevem izreku ne vsebuje dveh netrivialnih podgrup s trivialnim presekom, zatoGpo izreku 2.27 ni izomorfna

poldirektnemu produktu dveh netrivialnih grup.

Trditev 2.31 Cikliˇcne grupe reda pⁿ, kjer je p poljubno praˇstevilo in n ∈ N, ni moˇc dobiti kot poldirektni produkt dveh grup.

Dokaz: Naj bo G cikliˇcna grupa reda pⁿ. Tedaj v G po trditvi 2.2 za vsak k, kjer je 1 ≤ k ≤ n, obstaja natanko ena podgrupa, ki je izomorfna Zp^k. Denimo, da sta N in H dve netrivialni podgrupi grupe G. Ker je vsaka od njiju netrivialna p-grupa, po Cauchyevem izreku vsaka od njiju vsebuje neko podgrupo reda p. Ker vsaka cikliˇcna grupa, katere red je deljiv s p, vsebuje natanko eno podgrupo redap, morata ti dve podgrupi reda psovpadati. Zato imata N in H netrivialen presek in po izreku 2.27 grupa G ni poldirektni

produkt grup.

Trditev 2.32 ([13], Trditev 6.2) Naj bo n ≥ 3 in ψ : Z2 → Aut(Zn) tisti homomorfizem grup, za katerega je (ψ(1))(i) = −i za vsak i ∈ Zn. Potem je poldirektni produkt Zⁿo^ψZ² izomorfen grupi D_n.

Trditev 2.33 Grupa S_n, kjer je n ≥ 3, je izomorfna netrivialnemu poldirek- tnemu produktu A_no Z2.

Dokaz: S_nvsebuje podgrupo vseh sodih permutacijA_n, ki je indeksa 2 in zato po posledici 2.23 edinka vS_n. Prav tako pa vsebuje tudi podgrupo h(1 2)i, ki je izomorfnaZ². Ker je presek grup An inh(1 2)i oˇcitno trivialen, je po izreku 2.25S_n izomorfna (netrivialnemu) poldirektnemu produktuA_n inZ2 (ker jen

vsaj 3, je jasno, dah(1 2)i ni edinka v S_n).

Oglejmo si sedaj nekaj zgledov poldirektnih produktov.

Zgled. Direktni produkt D4 × Z⁷ = hr, z, a | r⁴ = z² = a⁷ = 1, zrz = r⁻¹, ara⁻¹ = r, aza⁻¹ = zi lahko predstavimo tudi kot poldirektni produkt Z4o Z14 =hb, c| b⁴ =c¹⁴ = 1, cbc⁻¹ =b⁻¹i. Pri tem smo vzelib =r inc=az.

Zgled. Grupa S₄ je izomorfna grupi A₄ o Z2 (po trditvi 2.33) pa tudi grupi (Z2×Z2)oS₃. Grupa S₄ namreˇc vsebuje edinko reda 4, ki je izomorfna grupi (Z² ×Z²), in ima s podgrupo grupe S4, ki je izomorfna grupi S3, trivialen presek. Po izreku 2.25 je torejS₄ poldirektni produkt (Z2×Z2)oS₃.

Definicija. Grupa G je enostavna grupa, ˇce je |G| >1 in velja, da sta edini edinki v G trivialna podgrupa in G.

Trditev 2.34 Enostavne grupe ni moˇc konstruirati s poldirektnim produktom dveh netrivialnih grup.

Dokaz: Po definiciji enostavna grupa ne vsebuje nobene prave netrivialne edinke, zato trditev sledi neposredno po izreku 2.25.

Izomorfnost poldirektnih produktov

Tekom raziskovanja poldirektnih produktov cikliˇcnih grup v okviru diplom- skega dela [13] se je pri obravnavi konkretnih primerov izkazalo, da so nekateri poldirektni produkti, ki se razlikujejo le v homomorfizmu, ki slika iz

”kom- plementa“ H v grupo avtomorfizmov

”edinke“ Aut(N), izomorfni. Tako sta na primer dva razliˇcna homomorfizma ψ₂ : 1 7→ 2 in ψ₅ : 1 7→ 8, kjer gre za homomorfizma iz grupe Z4 v grupo avtomorfizmov Aut(Z15) = Z^?15 ∼= Z8, ki sta seveda natanko doloˇcena s sliko generatorja 1 grupeZ⁴, porodila isto grupo Z15oψZ4. Ugotovimo, da sta v tem primeru 2 in 8 ravno inverzna elementa v grupiAut(Z15). V tem poglavju bomo pokazali, da to ni sluˇcaj. V sploˇsnem je sicer vpraˇsanje o izomorfnosti dveh poldirektnih produktov zelo zahtevno. V nadaljevanju bomo zato raziskali le izomorfnost poldirektnih produktov dveh grup, kjer v vlogi komplementa nastopa neka cikliˇcna grupa, ˇse posebej pa se bomo posvetili primeru, ko sta cikliˇcni grupi tako edinka kot tudi njen komple- ment. Navedli bomo tudi konkreten zgled. Vsebina tega poglavja je povzeta po [3], [13] in [20].

Izrek 3.1 Naj bo H cikliˇcna grupa in N poljubna grupa in naj bosta ψ₁, ψ₂ : H →Aut(N) takˇsna homomorfizma, da sta ψ₁(H) in ψ₂(H) konjugirani pod- grupi vAut(N). Tedaj sta poldirektna produktaNoψ1H inNoψ2H izomorfna.

Dokaz: Po predpostavki obstajaφ ∈Aut(N) tako, da jeφψ₁(H)φ⁻¹ =ψ₂(H), to je, za nek a ∈ Z, ki je tuj z redom cikliˇcne grupe H (od koder sledi, da obstaja a⁰ ∈ Z, da je aa⁰ ≡ 1 mod |H|) velja φψ₁(h)φ⁻¹ = ψ₂(h)^a za vsak h∈H. Pokaˇzimo, da je preslikavaτ :Noψ1H →Noψ2H, podana z (n, h)7→

(φ(n), h^a), izomorfizem grup. Prepriˇcajmo se sedaj, da je τ izomorfizem grup.

Naj bosta (n₁, h₁),(n₂, h₂)∈N oψ1 H. τ je homomorfizem, saj je τ(n₁, h₁)τ(n₂, h₂) = (φ(n₁), h^a₁)(φ(n₂), h^a₂)

= (φ(n₁)(ψ₂(h^a₁))(φ(n₂)), h^a₁h^a₂)

= (φ(n1)(φψ1(h1)φ⁻¹)(φ(n2)),(h1h2)^a)

= (φ(n₁)φ((ψ₁(h₁))(n₂)),(h₁h₂)^a)

= (φ(n₁(ψ₁(h₁))(n₂)),(h₁h₂)^a) 19

= τ(n₁(ψ₁(h₁))(n₂), h₁h₂)

= τ((n₁, h₁)(n₂, h₂)).

τ je bijekcija z inverzno preslikavo τ⁻¹ : (n, h) 7→ (φ⁻¹(n), h^a0), kjer je a⁰ iz zgornje trditve, saj velja

(τ◦τ⁻¹)(n, h) = τ(τ⁻¹(n, h))

= τ((φ⁻¹(n), h^a0))

= (φ(φ⁻¹(n)),(h^a0)^a)

= (n, h)

= (φ⁻¹(φ(n)),(h^a)^a0)

= τ⁻¹(φ(n), h^a)

= τ⁻¹(τ(n, h)

= (τ⁻¹◦τ)(n, h).

Torej jeτ izomorfizem grup in zato N oψ1 H ∼=N oψ2 H.

Sedaj se je smiselno vpraˇsati, kaj izrek 3.1 pove v primeru, ko je tudiN cikliˇcna grupa. V tem primeru je Aut(N) komutativna grupa in je zato vsaka njena podgrupa edinka. Od tod sledi, da sta dve podgrupi konjugirani natanko tedaj, ko sta enaki.

Posledica 3.2 Naj bosta H in N cikliˇcni grupi ter ψ₁, ψ₂ : H → Aut(N) takˇsna homomorfizma, da je ψ1(H) = ψ2(H). Tedaj sta poldirektna produkta Noψ1 H in N oψ2 H izomorfna, to je, N oψ1 H ∼=N oψ2 H.

Dokaz: Ce jeˇ ψ1(H) = ψ2(H), je pogoj o konjugiranosti iz izreka 3.1 izpol- njen, zato sta poldirektna produktaN oψ1 H in Noψ2 H izomorfna.

Zgled. Oglejmo si poldirektne produkte grup Z⁹ in Z⁶ oblike Z⁹o^ψZ⁶. Naj bo ψ : Z6 → Aut(Z9) homomorfizem grup. Ker je po trditvi 2.16 Aut(Z9) ∼= Z^?9 = {1,2,4,5,7,8} ∼= Z6 in ker redi vseh elementov te grupe delijo red generatorja grupeZ⁶, lahko generator 1 ∈Z⁶ preslikamo v katerega koli izmed njih. Obstaja torej ˇsest homomorfizmovψ, in sicer

ψ₁ : 17→1 ⇒ ψ₁(j) = 1⇒j·i=i ψ₂ : 17→2 ⇒ ψ₂(j) = 2^j ⇒j·i= 2^ji ψ₃ : 17→4 ⇒ ψ₃(j) = 4^j ⇒j·i= 4^ji

ψ₄ : 17→5 ⇒ ψ₄(j) = 5^j = (−4)^j ⇒j·i= 5^ji= (−4)^ji ψ5 : 17→7 ⇒ ψ5(j) = 7^j = (−2)^j ⇒j·i= 7^ji= (−2)^ji ψ₆ : 17→8 ⇒ ψ₆(j) = 8^j = (−1)^j ⇒j·i= 8^ji= (−1)^ji za vsakj ∈Z⁶ in vsak i∈Z⁹.

Ker sta 2 in 5 ∈ Aut(Z9) inverzna elementa, sta po posledici 3.2 poldirektna produktaZ9oψ2Z6 inZ9oψ4Z6 izomorfna. Prav tako sta vAut(Z9) inverzna

elementa 4 in 7, zato sta izomorfni tudi grupiZ9oψ3Z6inZ9oψ5Z6. S pomoˇcjo Magme dobimo zaporedja redov grup oblikeZ9oψZ6, ki so prikazana v spodnji tabeli. Ugotovimo, da so zaporedja redov grup, ki jih generirajo homomorfizmi ψ₁, ψ₃ in ψ₅, identiˇcna, enako pa velja tudi za zaporedja redov grup, ki so ge- nerirana s homomorfizmi ψ₂, ψ₄ in ψ₆. Po posledici 3.2 vemo, da obstajajo najveˇc ˇstirje neizomorfni poldirektni produkti, ki jih porodijo homomorfizmi ψ : Z6 → Aut(Z9). Poldirektni produkt Z9 oψ1 Z6 je po trditvi 2.26 direktni produkt in zato komutativna grupa, torej je po posledici 2.28 neizomorfna gru- pam, ki jih dobimo z ostalimi homomorfizmiψ_i. Prepriˇcati se moramo le ˇse, da sta neizomorfni tudi grupiZ9oψ2Z6 inZ9oψ6Z6. To lahko ugotovimo tako, da doloˇcimo centra obeh grup. Ni se teˇzko prepriˇcati, da je center prve grupe, ki jo lahko predstavimo tudi kot ha, b| a⁹ =b⁶ = 1, bab⁻¹ =a²i, trivialen, center druge grupe, ki jo lahko predstavimo tudi kotha, b|a⁹ =b⁶ = 1, bab⁻¹ =a⁻¹i, pa je reda 3. Gre namreˇc za podgrupo hb²i. Obstajajo torej natanko ˇstirje neizomorfni poldirektni produkti oblike Z⁹o^ψZ⁶.

Grupa / Red elta. 1 2 3 6 9 18 27 54 Z9oψ1 Z6 1 1 8 8 18 18 0 0 Z9oψ2 Z6 1 9 8 18 18 0 0 0 Z⁹o^ψ3 Z⁶ 1 1 8 8 18 18 0 0 Z9oψ4 Z6 1 9 8 18 18 0 0 0 Z9oψ5 Z6 1 1 8 8 18 18 0 0 Z9oψ6 Z6 1 9 8 18 18 0 0 0

Tabela 3.1: Poldirektni produktiZ9oψ Z6.

Za konec tega razdelka podajmo ˇse rezultat, ki podaja zadosten pogoj, da sta dva poldirektna produkta v sploˇsnem izomorfna. Naslednja lema je povzeta po [20]. Dokaz bomo na tem mestu izpustili, bralca pa vabimo, da si ga ogleda samostojno.

Lema 3.3 Naj bostaψ₁, ψ₂ :H →Aut(N)homomorfizma inρ∈Aut(H), φ∈ Aut(N) avtomorfizma tako, da velja ψ₂ =τ_φ◦ψ₁◦ρ, kjer je τ_φ konjugiranje s φ v Aut(N). Tedaj velja

N o^ψ1 H ∼=N o^ψ2 H.

Grupe specifiˇ cnih redov

Eden izmed ciljev, ki smo si jih zadali na zaˇcetku pisanja magistrskega dela, je ugotoviti, kakˇsen je pomen poldirektnega produkta, kadar imamo v mislih klasifikacijo konˇcnih grup, torej ko se spraˇsujemo, kolikˇsen deleˇz grup lahko predstavimo kot poldirektni produkt nekih manjˇsih grup. V ta namen bomo v tem poglavju raziskali, kaj lahko povemo o strukturi grup doloˇcenih redov po- sebnih oblik. Prouˇcevanje posameznih redov grup bi bilo namreˇc zelo zamudno, zato je smiselno, da veˇcji nabor redov grup, ki jih ˇzelimo preuˇciti, sistematiˇcno zdruˇzimo in rede grup klasificiramo glede na prafaktorje, ki jih tvorijo. V tem poglavju bomo s pomoˇcjo izrekov Sylowa, Cauchyjevega izreka in nekaj dru- gih sploˇsno znanih rezultatov raziskali, kakˇsna je struktura grup, katerih redi imajo doloˇceno posebno obliko. Pokazali bomo, da vse grupe obravnavanih redov vsebujejo vsaj eno edinko in eno podgrupo, ki je njen komplement, od koder bo po kriteriju, ki ga podaja izrek o notranjem poldirektnem produktu sledilo, da je dana grupa zagotovo poldirektni produkt nekih manjˇsih grup.

V zadnjem razdelku tega poglavja bomo posebej obravnavali grupe reda 40.

Tako bomo na konkretnem primeru pokazali, kako za nek doloˇcen red, za ka- terega vemo, da je zagotovo vse grupe tega reda moˇc dobiti kot poldirektni produkt manjˇsih grup, ugotovimo, koliko je grup tega reda in katere grupe kon- kretno to so. Za vsako grupo reda 40 bomo tako podali tudi njeno prezentacijo.

Vsebina tega poglavja je povzeta po [3], [6] in [16].

4.1 Grupe reda pq in pq

Ze v drugem poglavju smo videli, da grupe praˇstevilskega reda niso poldirek-ˇ tni produkti, saj sploh ne vsebujejo pravih netrivialnih podgrup. Naslednja skupina, ki je smiselna za obravnavo, so grupe, katerih red je produkt dveh praˇstevil, le-tem pa sledijo grupe, katerih red je produkt treh praˇstevil. Pri tem se bomo najprej posvetili primeru, ko se eno izmed praˇstevil ponovi. Za zaˇcetek si oglejmo konkreten zgled.

Zgled. Naj bo G poljubna grupa reda 39. Prepriˇcajmo se, da je G poldi- rektni produkt dveh manjˇsih grup. Ker je |G| = 39 = 3·13, po 3. izreku Sylowa Gvsebuje 13-Sylowko (oznaˇcimo jo z N), ki je edinka, saj mora veljati

23