POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

LUCIJA ˇ ZNIDARI ˇ C

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

Univerzitetni ˇstudijski program 1. stopnje: Dvopredmetni uˇcitelj

LUCIJA ˇ ZNIDARI ˇ C

MENTOR: doc. dr. PRIMOˇ Z ˇ SPARL

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA 2014

Mentorju doc. dr. Primoˇzu ˇSparlu

Hvala za vodenje, dragocene nasvete in strokovno pomoˇc pri nastajanju diplomskega dela.

Druˇzini in prijateljem

Hvala za vso podporo in razumevanje v ˇcasu ˇstudija.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Grupe 3

2.1 Osnovni pojmi . . . 3 2.2 Podgrupe . . . 5 2.3 Direktni produkt . . . 8

3 Preslikave grup 10

3.1 Homomorfizmi . . . 10 3.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi . . . 11

4 Delovanje grup 14

4.1 Delovanje . . . 14 4.2 Delovanje grupe na grupah . . . 15

5 Poldirektni produkt grup 18

5.1 Zunanji poldirektni produkt . . . 18 5.2 Notranji poldirektni produkt . . . 21 5.3 Direktni in poldirektni produkt . . . 22

6 Poldirektni produkt cikliˇcnih grup 24

7 Zakljuˇcek 33

Literatura 34

Tabele

6.1 Zaporedja redov grup Z8oψZ10. . . 27

6.2 Zaporedja redov nekomutativnih grup reda 80. . . 28

6.3 Zaporedja redov grup Z15oψ Z4. . . 29

6.4 Zaporedja redov grup Z15oψ Z2. . . 30

Slike

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo konstrukcijo grup, imenovano poldirektni produkt grup. Gre za posploˇsitev direktnega produkta, ki omogoˇca konstruk- cije precej veˇcjega nabora grup.

Poiˇsˇcemo kriterij, kdaj je dana grupa poldirektni produkt grup, in prikaˇzemo razliko med direktnim in poldirektnim produktom. Ogledamo si konkretne zglede poldirektnih produktov grup, osredotoˇcimo se predvsem na poldirektne produkte cikliˇcnih grup. Pokaˇzemo tudi, da se poldirektni produkti pojavljajo kot grupe simetrij kombinatoriˇcnih objektov, kot so grafi in da je lahko dana grupa izomorfna veˇcim poldirektnim produktom.

MSC (2010) klasifikacija: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25

Kljuˇcne besede: grupa, cikliˇcna grupa, direktni produkt grup, poldirektni produkt grup

Abstract

In this BSc thesis we consider a construction of groups called semidirect pro- duct, which is a generalization of direct products. Semidirect products provide a much larger collection of groups than direct products.

We find a criterion, which enables us to determine whether a group is iso- morphic to a semidirect product and discuss the difference between direct and semidirect products. We construct various examples of semidirect products and in particular semidirect products of cyclic groups. We exemplify that se- midirect group products also take a role as symmetry groups of combinatorial objects such as graphs.

MSC (2010) classification: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25

Key words: group, cyclic group, direct product of groups, semidirect product of groups

Poglavje 1 Uvod

Teorija grup je del abstraktne algebre, ki se ukvarja s prouˇcevanjem algebrskih struktur, imenovanih grupe. O grupi govorimo, kadar imamo mnoˇzico elemen- tov in na njej definirano dvoˇcleno operacijo, ki ustreza doloˇcenim lastnostim.

Grupe so zanimive ˇze same po sebi, pomembne so pa tudi zato, ker so sestavni del bolj kompleksnih algebrskih struktur, kot so kolobarji, polja, vektorski pro- stori, algebre, itd. Njeni rezultati segajo tudi izven okvirov algebre, saj lahko na primer z grupami opiˇsemo tudi simetrije razliˇcnih matematiˇcnih struktur, kot so geometrijski objekti ali grafi, pojavlja pa se tudi na podroˇcju topolo- gije, teorije ˇstevil, itd. ˇStudij teorije grup je zaradi tega ˇse posebej zanimiv, saj le-ta na abstraktnem nivoju zdruˇzi razliˇcne veje matematike.

Grupe so tako ene izmed najpomembnejˇsih abstraktnih algebrskih struktur.

Pri njihovem prouˇcevanju nas zanimajo njihove lastnosti in struktura. Mate- matiki se ˇze precej ˇcasa ukvarjajo s problemom, kako klasificirati vse konˇcne grupe, klasifikacija enostavnih konˇcnih grup pa je danes ˇze kompletna, kar po- meni, da poznamo vse enostavne grupe, iz katerih lahko konstruiramo konˇcne grupe [1]. Ta problem je torej precej zahteven, zato se vˇcasih zadovoljimo ˇze s tem, da znamo iz ˇze znanih grup na nek naˇcin konstruirati nove. Baziˇcna konstrukcija grup izhaja iz njihovega direktnega produkta, ki zajame le oˇzji del bogate zbirke grup. V diplomskem delu bomo zato predstavili poldirektni produkt grup, ki je posploˇsitev direktnega produkta in omogoˇca konstrukcijo cele vrste novih grup, poiskali bomo kriterij za ugotavljanje, kdaj je moˇc neko dano grupo dobiti kot poldirektni produkt dveh manjˇsih grup. Nadalje bomo pokazali razliko med direktnim in poldirektnim produktom in si ogledali kon- kretne zglede poldirektnih produktov, ki bodo povzeli njegovo bistvo.

Struktura diplomskega dela temelji na petih pomembnejˇsih sklopih, ki zaob- jamejo njegovo bistvo. V drugem poglavju tako najprej na kratko definiramo osnovne pojme teorije grup, spoznamo strukturo grup ter njihov direktni pro- dukt in s tem postavimo temelje, na katerih bomo gradili novo konstrukcijo grup. Nadalje si v tretjem poglavju ogledamo pojem homomorfizma, izomor- fizma in avtomorfizma grup. Predvsem slednji so izjemnega pomena za poldi- rektni produkt grup. V ˇcetrtem poglavju se posvetimo delovanjem grup.

1

2 POGLAVJE 1. UVOD V petem poglavju nato vpeljemo pojem poldirektnega produkta in poiˇsˇcemo kriterij za ugotavljanje, kdaj je neka grupa izomorfna poldirektnemu produktu dveh manjˇsih grup. V ˇsestem poglavju poldirektni produkt grup podrobneje predstavimo na manjˇsi mnoˇzici grup, to so cikliˇcne grupe, in pokaˇzemo konkre- tne zglede poldirektnih produktov cikliˇcnih grup ter njihovo uporabo v teoriji grafov.

Poglavje 2 Grupe

Raznolikost grup se odraˇza skozi njihovo strukturo in baziˇcne lastnosti. V ˇ

zelji, da bi jih karseda dobro spoznali, bomo najprej definirali osnovne pojme, ki doloˇcajo te abstraktne algebrske strukture in predstavili njihove kljuˇcne znaˇcilnosti. Spoznali bomo pojem podgrupe in edinke ter predstavili nekaj rezultatov, ki bodo bistveni pri razumevanju poldirektnega produkta grup.

Na koncu tega poglavja bomo predstavili tudi osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produkt grup. Trditve in izreke, ki so morda manj znani, bomo dokazali, standardne osnovne rezultate pa bomo prepustili bralcu. Snov tega razdelka, kot tudi vseh ostalih, je povzeta po [3],[4], [7].

2.1 Osnovni pojmi

Sodobni pristop k abstraktni algebri se priˇcne z abstraktno definicijo grupe.

Definicija. Grupa je urejeni par (G, ?), kjer je G neprazna mnoˇzica in ? bi- narna (dvoˇclena) operacija na G, to je,g₁? g₂ ∈Gza vsakg₁, g₂ ∈G, ˇce velja:

1. operacija? je asociativnana G, to je:

(g₁? g₂)? g₃ =g₁?(g₂? g₃) za vsak g₁, g₂, g₃ ∈G, 2. obstajanevtralni element e∈G tako, da:

g ? e=e ? g=g za vsak g ∈G,

3. za vsak g ∈G obstaja inverz g⁰ ∈G tako, da:

g ? g⁰ =g⁰? g =e.

Ce je dodatno operacijaˇ ? komutativna, to je, ˇce za vsaka g₁, g₂ ∈ G velja g₁ ? g₂ =g₂? g₁, pravimo, da je grupa (G, ?)komutativna.

Opomba. Red grupe Gje kardinalno ˇstevilo mnoˇzice Gin ga oznaˇcimo z |G|.

Kadar je Gkonˇcna mnoˇzica, je (G, ?) konˇcna grupa. Obiˇcajno bomo namesto (G, ?), ˇce ne bo moˇznosti za nesporazum, govorili kar o grupiG. Tudi namesto g₁ ? g₂ bomo obiˇcajno pisali kar g₁g₂.

3

4 POGLAVJE 2. GRUPE Trditev 2.1 Naj bo G grupa. Tedaj velja:

1. v G obstaja natanko en nevtralni element e∈G, 2. za vsak g ∈G obstaja natanko en inverzg⁰ ∈G, 3. (g⁰)⁰ =g za vsak g ∈G,

4. (g₁g₂)⁰ = (g₂)⁰(g₁)⁰,

5. v G veljata pravili krajˇsanja z leve in z desne, to je:

g₁g₂ =g₁g₃ ⇒ g₂ =g₃ in

g₂g₁ =g₃g₁ ⇒ g₂ =g₃ za vsak g₁, g₂, g₃ ∈G.

Lahko se torej dogovorimo, da bomo enoliˇcno doloˇceni inverz elementa g v G oznaˇcili z g⁻¹, enoliˇcno doloˇceni nevtralni element grupe G pa z e. Ka- dar bomo govorili o veˇc grupah hkrati, bomo nevtralnemu elementu dodali ˇse oznako grupe tako, da bo na primer nevtralni element grupe G imel oznako e_G, nevtralni element grupe H pa oznako e_H.

Definicija. Naj boSpodmnoˇzica grupeGtako, da lahko vsakg ∈Gzapiˇsemo kot konˇcni produkt elementov iz S in njihovih inverzov. Potem pravimo, da je S mnoˇzica generatorjev grupe G, ali drugaˇce, da S generira G, in piˇsemo G=hSi.

Definicija. Naj bo G grupa in g ∈ G. Red elementa g je najmanjˇse naravno ˇstevilo n (ˇce obstaja) tako, da veljagⁿ =e. Oznaˇcimo ga z |g| in pravimo, da je g element reda n. Kadar takˇsno naravno ˇstevilon ne obstaja, pravimo, da je g neskonˇcnega reda, kar oznaˇcimo z |g|=∞.

Definicija. Naj bo G grupa. ˇCe obstaja g ∈ G, za katerega velja hgi = G, pravimo, da jeGcikliˇcna grupa. Konˇcno cikliˇcno grupo redan oznaˇcimo sC_n. Trditev 2.2 Naj boC_n cikliˇcna grupa reda n ing ∈C_n. ˇCe jeC_n=hgi, torej g je element reda n, potem za poljuben r velja, da je C_n =hg^ri natanko tedaj, ko je D(n, r) = 1, to je, ko je g^r redan.

Eulerjeva funkcijaϕ(n) nam da ˇstevilo naravnih ˇstevil, ki so manjˇsa od narav- nega ˇstevila n in njemu tuja. Velja

ϕ(n) =n(1−p⁻¹₁ )(1−p⁻¹₂ )· · ·(1−p⁻¹_k ),

kjer so p₁, p₂, . . . , p_k vsi razliˇcni praˇstevilski delitelji ˇstevila n, to je n = p^r₁¹p^r₂². . . p^r_k^k, za r₁, r₂, . . . , r_k∈N.

Zgled. Grupa Z^∗n je mnoˇzica vseh elementov iz Zn, ki so tuji z n, operacija v grupi pa je mnoˇzenje po modulu n. Red te grupe jeϕ(n).

2.2. PODGRUPE 5

Zgled. Oglejmo si sedaj nekaj osnovnih standardnih druˇzin grup.

Cikliˇcna grupa Zn

Zn je komutativna grupa, katere elementi so ostanki pri deljenju z n, ki jih seˇstevamo po modulun. Red grupe Zⁿ je n.

Tako na primer v grupi Z7 ={0,1,2,3,4,5,6} velja 5 + 4 = 2.

Doloˇcili smo, da cikliˇcno grupo reda n oznaˇcimo s C_n, vendar na tem me- stu uporabljamo drugaˇcno oznako, saj je tokrat operacija v grupi seˇstevanje, v abstraktni cikliˇcni pa je operacija multiplikativna. Kar se tiˇce same strukture grupe pa gre za eno in isto grupo.

Simetriˇcna grupa S_A

S_A je mnoˇzica vseh permutacij (bijekcij nase) mnoˇzice A. Kadar je A = {1,2,3, . . . , n}, simetriˇcno grupo mnoˇzice Aoznaˇcimo s S_n. Operacija v grupi je seveda komponiranje preslikav. Grupa S_n je reda n!.

Tako je na primer S₃ = {id,(12),(13),(23),(123),(132)}. Dogovorimo se, da preslikave vedno komponiramo iz desne proti levi. Tako je na primer (123)(23) = (12).

Diedrska grupa D_n

Diedrsko grupo D_n tvorijo vse simetrije pravilnega n-kotnika, to so rotacije in zrcaljenja, in kompozitumi le-teh. Grupa D_n je podmnoˇzica simetriˇcne grupe S_n in je reda 2n. Najznaˇcilnejˇsa prezentacija diedrske grupe je

D_n=hr, z | rⁿ =z² =e, zrz⁻¹ =r⁻¹i.

Grupo D4 lahko zato predstavimo kot D4 = hr, z | r⁴ = z² = e, zrz⁻¹ = r⁻¹i, torej D₄ = {e, r, r², r³, z, zr, zr², zr³}, kjer na primer velja (zr)(zr²) = (r³z)(zr²) = (r³zzr²) =r⁵ =r.

Bralca opozorimo, da je nevtralni element v grupiZnenak 0, nevtralni element grupe S_n, torej identiˇcno preslikavo, pa najveˇckrat oznaˇcimo zid.

2.2 Podgrupe

Vsaka grupa je v prvi vrsti mnoˇzica, zato vsebuje razliˇcne podmnoˇzice elemen- tov. V tem razdelku bomo spoznali podmnoˇzice grup, ki imajo ˇse posebej lepe znaˇcilnosti in sicer, da so tudi same zase grupe. Ugotovili bomo, kdaj je neka podmnoˇzica podgrupa in spoznali nekatere pomembne posebne podgrupe, ki jih lahko najdemo v grupi.

6 POGLAVJE 2. GRUPE Definicija. Naj bo G grupa in H njena neprazna podmnoˇzica. Potem je H podgrupagrupeG, kar oznaˇcimo sH ≤G, ˇce je grupa za podedovano operacijo izG.

Trditev 2.3 Neprazna podmnoˇzica H grupe G je njena podgrupa natanko te- daj, kadar za vsak h₁, h₂ ∈H velja h₁h⁻¹₂ ∈H.

Definicija. Naj bo G grupa, H njena podgrupa in g ∈ G. Mnoˇzico gH = {gh | h ∈ H} imenujemo levi odsek grupe G po podgrupi H. Podobno je Hg = {hg | h ∈ H} desni odsek grupe G po podgrupi H. Mnoˇzico vseh levih (desnih) odsekov grupeGpo podgrupiH imenujemokvocientna mnoˇzica.

Oznaˇcimo jo zG/H. Njeno kardinalnost, torej ˇstevilo levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H, oznaˇcimo z [G:H].

Izrek 2.4 (Lagrangeev izrek) Naj bo G konˇcna grupa in H njena podgrupa.

Tedaj velja, da red H deli red G in da je [G:H] = |G|

|H|.

Posledica 2.5 Naj bo G konˇcna grupa in x∈ G. Potem red elementa x deli red grupe G. Nadalje veljax^|G|=e za vsak x∈G.

Izrek 2.6 (Cauchyjev izrek). Naj bo G konˇcna grupa in naj bo p praˇstevilo, ki deli njen red. Tedaj v G obstaja element reda p.

Trditev 2.7 Naj bo H podgrupa grupe G in naj bosta g1, g2 ∈ G. Mnoˇzica vseh levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H tvori particijo mnoˇzice G.

Nadalje je g₁H = g₂H natanko tedaj, ko je g⁻¹₁ g₂ ∈ H. V tem primeru sta g1 in g2 predstavnika istega odseka. Dva leva (desna) odseka sta bodisi enaka bodisi disjunktna.

Definicija. Naj bosta H inK podgrupi grupe G. Definiramo C_H(K) = {h∈H | hkh⁻¹ =k, ∀ k ∈K}.

Mnoˇzico C_H(K) imenujemo centralizator podgrupe K v podgrupi H. Kadar je H=G, je

C_G(K) = {g ∈G| gkg⁻¹ =k, ∀ k∈K}.

Ker lahko pogoj gkg⁻¹ = k prevedemo na gk = kg, je C_G(K) mnoˇzica tistih elementov izG, ki komutirajo z vsakim elementom izK. Kadar je tudiK =G, mnoˇzico C_G(G) imenujemo center grupe G in jo posebej oznaˇcimo kot Z(G).

Torej,

Z(G) ={g ∈G | gx=xg, ∀x∈G}

je mnoˇzica vseh elementov izG, ki komutirajo z vsemi elementi v G.

Center grupe,Z(G), je podgrupa grupeG, v kar se bo bralec zlahka prepriˇcal.

ˇSe veˇc, kadar jeG komutativna, je Z(G) = G.

2.2. PODGRUPE 7

Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Mnoˇzico N_G(H) definiramo kot N_G(H) = {g ∈ G | gHg⁻¹ = H}, kjer je gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H} in jo imenujemo normalizatorpodgrupe H v grupi G.

Bralec se bo prepriˇcal, da je tudi normalizator podgrupe, N_G(H), podgrupa grupe G.

Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Kadar za vsak g ∈ G velja gHg⁻¹ = H, to je, ko velja N_G(H) = G, podgrupo H imenujemo edinka grupe G in piˇsemo HEG.

Trditev 2.8 Naj bo N podgrupa grupe G. Naslednje trditve so ekvivalentne.

1. N EG

2. gN =N g za vsak g ∈G

3. G/N je grupa za operacijo g₁N g₂N =g₁g₂N, kjer g₁, g₂ ∈G

Oglejmo si sedaj, kaj lahko povemo o mnoˇzici, ki sestoji iz vseh produktov po dveh elementov dveh podgrup poljubne konˇcne grupe.

Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupeG. Oznaˇcimo HK ={hk | h∈H, k ∈K}.

Trditev 2.9 Naj bosta H in K konˇcni podgrupi grupe G. Potem velja

|HK|= |H||K|

|H∩K|.

Dokaz: HK je unija levih odsekov grupe G po podgrupi K, namreˇc HK =

∪h∈H hK. Ker vsak odsek po K vsebuje |K| elementov, lahko ugotovimo, kolikˇsno je ˇstevilo razliˇcnih levih odsekov oblike hK, h∈H. Torej:

h₁K =h₂K ⇔h⁻¹₂ h₁ ∈H∩K ⇔h₁(H∩K) =h₂(H∩K).

Poslediˇcno je ˇstevilo razliˇcnih odsekov oblike hK enako ˇstevilu razliˇcnih odse- kov h(H∩K) za h ∈ H. Po Lagrangeevem izreku je to ˇstevilo enako _|H∩K|^|H| . ZatoHK sestavlja _|H∩K|^|H| razliˇcnih odsekov grupeGpo podgrupiK (reda|K|)

in trditev sledi.

Trditev 2.10 Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Velja HK ≤ G natanko tedaj, ko HK =KH.

8 POGLAVJE 2. GRUPE Dokaz: Denimo najprej, da velja HK = KH in naj bosta a, b ∈ HK.

Pokaˇzimo, da velja ab⁻¹ ∈ HK in s tem poslediˇcno, HK ≤ G (po trditvi 2.3). Naj bo a = h₁k₁ in b = h₂k₂, za neke h₁, h₂ ∈ H, k₁, k₂ ∈ K. Torej je b⁻¹ =k⁻¹₂ h⁻¹₂ in zato ab⁻¹ =h₁k₁k⁻¹₂ h⁻¹₂ .

Oznaˇcimok₃ =k₁k₂⁻¹ ∈K inh₃ =h⁻¹₂ ∈H. Torej ab⁻¹ =h₁k₃h₃. Po predpo- stavki veljaHK =KH in tako je k₃h₃ =h₄k₄ za nekah₄ ∈H, k₄ ∈K. Torej ab⁻¹ = h₁h₄k₄ in ker je h₁h₄ ∈ H, k₄ ∈ K, vidimo, da res velja ab⁻¹ ∈ HK, kot smo ˇzeleli.

Pokaˇzimo sedaj ˇse obrat. Predpostavimo, da je HK ≤G. Ker velja tudi K ≤ HK in H ≤ HK, zaradi zaprtosti podgrupe za operacijo velja KH ⊆ HK.

Naj bo hk ∈ HK. Ker je HK po predpostavki podgrupa grupe G, lahko piˇsemohk =a⁻¹ za nek a∈HK. ˇCe jea=h₁k₁, potem

hk = (h₁k₁)⁻¹ =k⁻¹h⁻¹ ∈KH,

od koder sledi HK ⊆KH in zato res HK =KH.

Trditev 2.11 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H ≤NG(K). Potem je HK podgrupa grupe G. ˇCe je torej KEG, je HK ≤G za vsak H ≤G.

Dokaz: Pokaˇzimo, da velja HK = KH. Naj bo h ∈ H in k ∈ K. Ker je H ≤N_G(K), velja hkh⁻¹ ∈ K, zato hk = (hkh⁻¹)h∈KH, torej HK ⊆KH.

Podobno jekh=h(h⁻¹kh)∈HK, zato KH ⊆HK.

SlediHK =KH. ˇCe jeK EG, potem velja NG(K) =G in trditev sledi.

Trditev 2.12 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H ∩K ={e}. Potem lahko vsak element mnoˇzice HK na enoliˇcen naˇcin zapiˇsemo kot produkt hk, kjer jeh ∈H in k ∈K.

Dokaz: Naj bosta h1, h2 ∈ H in k1, k2 ∈ K. Ce veljaˇ h1k1 = h2k2, je h⁻¹₂ h₁ =k₂k⁻¹₁ ∈H∩K. Po predpostavki je torej h₂ =h₁ in k₂ =k₁.

2.3 Direktni produkt grup

Sedaj, ko smo definirali osnovne pojme in lastnosti grup, se brˇz vpraˇsamo, ali lahko iz ˇze znanih grup konstruiramo nove. Odgovor je seveda da. V tem razdelku tako predstavimo osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produkt grup, ki je prvi bistveni korak k razumevanju poldirektnega produkta.

Trditev 2.13 Naj bosta (G, ?) in (H,•) grupi. Mnoˇzica urejenih parov kar- teziˇcnega produktaG×H ={(g, h)|g ∈G, h∈H}je za operacijo(g1, h1)(g2, h2)

= (g₁ ? g₂, h₁•h₂) grupa.

Definicija. Naj bosta G in H grupi. Grupo, kot smo jo opisali v zgornji trditvi, imenujemo direktni produkt grupe G in grupe H in ga oznaˇcimo z G×H.

2.3. DIREKTNI PRODUKT 9 Trditev 2.14 Naj bodoG₁, G₂, . . . G_nkonˇcne grupe. Potem je direktni produkt G₁×G₂× · · · ×G_n grupa reda |G₁||G₂| · · · |G_n|.

Trditev 2.15 Naj bosta H in K podgrupi grupe G tako, da velja 1. HEG in K EG,

2. H∩K =e.

Tedaj je grupa HK izomorfna grupi H×K.

Opomba. Pojem izomorfizma bomo definirali v naslednjem poglavju. Neko- liko poenostavljeno povedano gre, do poimenovanja natanˇcno, za eno in isto grupo.

Definicija. Naj bosta H in K edinki grupe G s trivialnim presekom. Tedaj grupo HK imenujemonotranji direktni produkt grupH inK, grupi H×K pa pravimo zunanji direktni produkt grup H in K.

Opomba. Kadar govorimo o zunanjem direktnem produktu, mislimo grupo, ki jo konstruiramo iz dveh danih (znanih) grup, medtem ko z notranjim di- rektnim produktom ugotovimo, da je naˇsa grupa izomorfna grupi, ki jo lahko konstruiramo kot direktni produkt. Razlika med zunanjim in notranjim direk- tnim produktom je sicer le v notaciji. Elementi notranjega direktnega produkta so tako oblikehk, medtem ko elemente zunanjega direktnega produkta piˇsemo kot urejene pare (h,k), kjer je h∈H,k ∈K.

Zgled. Oglejmo si direktni produkt grup D₄ in Z³, torej D₄×Z³.

Grupa D₄×Z3 vsebuje 24 elementov oblike (zⁱr^j, k), kjer je i∈ {0,1}, j ∈Z4

ink∈Z3. Na prvi komponenti urejenega para imamo tako vse elemente grupe D₄, na drugi komponenti pa vse elemente grupe Z³. Nevtralni element grupe je (e,0). Operaciji iz grup D₄ in Z3 se v grupoD₄×Z3 “preneseta” po kom- ponentah. Tako je na primer (zr,2)(zr²,0) = (zrzr²,2 + 0) = (r,2).

Poglavje 3

Preslikave grup

Pri prouˇcevanju grup se takoj, ko jih bolje spoznamo, vpraˇsamo, kdaj reˇci, da sta dve na videz razliˇcni grupi pravzaprav enaki. V tem poglavju bomo spoznali razliˇcne preslikave grup ter definirali, kdaj sta za nas dve grupi enaki.

Zanimale nas bodo tudi tovrstne preslikave grup samih nase, saj le-te, kot se bo izkazalo, zase tvorijo novo grupo, ki bo v nadaljevanju za nas igrala pomembno vlogo.

3.1 Homomorfizmi grup

Definicija. Naj bosta (G, ?) in (H,◦) grupi. Preslikavoψ :G→H, za katero velja

ψ(x ? y) = ψ(x)◦ψ(y) za vse x, y∈G, imenujemohomomorfizem grup.

V skladu z naˇsim dogovorom, da pri sploˇsnih grupah znak za operacijo spuˇsˇcamo, se enakost iz zgornje definicije prevede v

ψ(xy) = ψ(x)ψ(y).

Definicija. Naj bo ψ :G →H homomorfizem grup. Jedro homomorfizma ψ (oznakaKer(ψ)) je mnoˇzica Ker(ψ) ={g ∈G | ψ(g) =e_H}. Slika homomor- fizma ψ (oznaka Im(ψ)) je mnoˇzica Im(ψ) = {h ∈H | h =ψ(g) za nek g ∈ G}.

Trditev 3.1 Naj bosta G in H grupi in ψ : G → H homomorfizem grup.

Tedaj velja naslednje:

1. ψ(eG) = eH,

2. ψ(g⁻¹) = ψ(g)⁻¹ za vsak g ∈G, 3. ψ(gⁿ) =ψ(g)ⁿ za vsak n∈Z, 4. Ker(ψ)EG in Im(ψ)≤H.

10

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 11 Trditev 3.2 Naj bosta G in H grupi. Potem je preslikava ψ : G → H, za katero velja ψ(g) =e_H za vsak g ∈G, homomorfizem grup.

Opomba. Homomorfizem, kot smo ga opisali v zgornji trditvi, imenujemo trivialni homomorfizem grup.

Trditev 3.3 Naj bo ψ : G →H homomorfizem grup. ˇCe je x ∈ G konˇcnega reda, potem je tudi ψ(x) konˇcnega reda in red elementa ψ(x) ∈ H deli red elementa x.

Dokaz: Naj bo |x| = r. Potem je x^r = e, od koder po trditvi 3.1 sledi ψ(x)^r = ψ(x^r) = ψ(e) = e. Torej je tudi ψ(x) konˇcnega reda in po posledici 2.5 deli red elementax.

3.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi grup

Kot smo ˇze omenili, se brˇz, ko grupe bolje spoznamo, vpraˇsamo, kdaj reˇci, da sta dve na videz razliˇcni grupi pravzaprav enaki. To doloˇca pojem izomorfizma grup.

Definicija. Naj bosta G in H grupi. Preslikava ψ : G → H je izomorfizem grup, kadar velja:

1. ψ je homomorfizem grup, to je, ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) za vsak x, y ∈Gin 2. ψ je bijekcija.

Opomba. Kadar obstaja izomorfizem grupψ :G→H, pravimo, da sta grupi G in H izomorfni, kar oznaˇcimo z G ∼= H. Grupe najveˇckat prouˇcujemo do izomorfizma natanˇcno.

Izrek 3.4 (Izrek o izomorfizmu). Naj bo ψ : G → H homomorfizem grup.

Potem je G/Ker(ψ)∼=Im(ψ).

Oglejmo si sedaj posebno vrsto izomorfizmov grup, namreˇc takˇsnih, ko izo- morfizem preslika grupo samo nase.

Definicija. Naj bo G grupa. Izomorfizem ψ : G → G, ki preslika grupo G samo vase, imenujemo avtomorfizem grupe G.

Trditev 3.5 Mnoˇzica vseh avtomorfizmov grupe G, Aut(G), je za operacijo kompozituma preslikav grupa.

Definicija. Grupo, opisano v zgornji trditvi, imenujemogrupa avtomorfizmov grupe G.

Dokaz: Ker je vsak avtomorfizem grupe Gbijekcija na G, gre za permutacije na G, torej je Aut(G) podmnoˇzica simetriˇcne grupe S_G. Zato je dovolj pre- veriti, da je Aut(G) ≤ S_G. Naj bosta ψ, φ : G → G avtomorfizma grupe G.

12 POGLAVJE 3. PRESLIKAVE GRUP Jasno je, da je kompozitum bijekcij bijekcija, zato je tudiψ◦φ bijekcija. Ker za vsakg, h∈G velja

(ψ◦φ)(gh) = ψ(φ(gh))

= ψ(φ(g)φ(h))

= ψ(φ(g))ψ(φ(h))

= (ψ◦φ)(g)(ψ◦φ)(h),

jeψ◦φhomomorfizem grupeG. Torej je tudiψ◦φavtomorfizem grupeG. Ker jeψ avtomorfizem, je tudi bijekcija in zato obstaja inverzna preslikavaψ⁻¹, ki je ravno tako bijekcija. Prepriˇcati se moramo le ˇse, da je ψ⁻¹ homomorfizem, in s tem avtomorfizem grupe G. Naj bosta x, y ∈ G, za katera velja, da je x=ψ⁻¹(g) in y =ψ⁻¹(h) za poljubna elementag, h∈ G. Od tod sledi, da je ψ(x) =g in ψ(y) =h. Torejψ⁻¹(gh) =ψ⁻¹(ψ(x)ψ(y)) =ψ⁻¹(ψ(xy)) = xy= ψ⁻¹(g)ψ⁻¹(h), od koder sledi, da je ψ⁻¹ ∈Aut(G).

Za konec tega razdelka si oglejmo za nas ˇse posebej zanimiv primer grupe av- tomorfizmov.

Trditev 3.6 Grupa avtomorfizmov cikliˇcne grupe Zn je izomorfna multiplika- tivni grupi Z^∗n redaϕ(n), kjer je ϕEulerjeva funkcija.

Dokaz: Naj bo ψ ∈ Aut(Zn). Tedaj je ψ(1) = a za nek a ∈ Zn. Ker je ψ homomorfizem, velja

ψ(i) =ψ(1) +ψ(1) +· · ·+ψ(1)

| {z }

i

=ia.

Torej je avtomorfizemψz vrednostjoψ(1) natanko doloˇcen. Ker jeψ avtomor- fizem, po trditvi 3.1 ohranja rede elementov, torej je|1|=|ψ(1)|=n. Tako je hψ(1)i =Zn, od koder po trditvi 2.2 sledi D(ψ(1), n) = 1 in zato ψ(1) ∈ Z^∗n. Pokaˇzimo, da je τ : Aut(Zn)→Z^∗n, kjer je τ(ψ) = ψ(1), izomorfizem grup. τ je homomorfizem grup, saj zaψ, φ∈Aut(Zn), kjerψ(1) =a inφ(1) =b, velja

τ(ψ◦φ) = (ψ ◦φ)(1)

= ψ(φ(1))

= ψ(b)

= ψ(1) +ψ(1) +. . . ψ(1)

| {z }

b

= ab

= ψ(1)φ(1)

= τ(ψ)τ(φ).

Preslikavaτ je injektivna, kajti

τ(ψ) =τ(φ) ⇒ ψ(1) =φ(1)

⇒ ψ(i) = iψ(1) =iφ(1) =φ(i)

⇒ ψ =φ.

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 13 Pokaˇzimo sedaj ˇse, da je τ tudi surjektivna preslikava. Naj boa∈Z^∗n. Defini- rajmo ψ :Zn →Zn tako, da velja i 7→ai in pokaˇzimo, da je ψ avtomorfizem.

ψ(i+j) =a(i+j) = ai+aj =ψ(i) +psi(j), torej je ψ homomorfizem grup.

Da je ψ injektiven, sledi iz dejstva D(a, n) = 1. Torej je ψ tudi surjektiven in zato ψ ∈ Aut(Zn). Ker je τ(ψ) = a, je τ surjektivna preslikava in trditev

sledi.

Poglavje 4

Delovanje grup

Grupe lahko manipulirajo z razliˇcnimi mnoˇzicami. Manipulaciji, ki poteka pod doloˇcenimi pogoji, pravimo delovanje. V drugem poglavju smo ˇze omenili, da diedrsko grupoD_n tvorijo simetrije pravilnegan-kotnika. Z drugimi besedami povedano, grupa D_n deluje na pravilni n-kotnik tako, da vsak element grupe premika njegova vozliˇsˇca in s tem implicira simetrije. V tem razdelku bomo delovanje grup spoznali v spoˇsnem. Nadalje si bomo ogledali tudi, na kakˇsen naˇcin lahko grupa naravno deluje sama na sebi, obravnavali pa bomo tudi pomemben zgled delovanja ene grupe na drugi, ki bo igralo kljuˇcno vlogo v naslednjem poglavju.

4.1 Delovanje

Definicija: Delovanjegrupe Gna mnoˇziciA je preslikava·:G×A →A (kjer namesto·(g, a) piˇsemo g·a), ki zadoˇsˇca naslednjima pogojema:

1. e·a=a za vsak a∈A,

2. g₁·(g₂·a) = (g₁g₂)·a za vsakg₁, g₂ ∈G in vsaka∈A.

Opomba. Bralca velja opomniti, da je delovanje, kot smo ga opisali zgoraj, v bistvu levo delovanje grupe na mnoˇzici. Grupa lahko na neki mnoˇzici deluje tudi z desne strani, kar imenujemo desno delovanje grupe in ga definiramo podobno kot levo delovanje. Mi se bomo v nadaljevanju opredelili na levo delovanje.

Trditev 4.1 Naj grupa G deluje na mnoˇzici A. Potem za vsak g ∈G velja:

1. preslikava σ_g :A →A, kjer je σ_g(a) = g·a, je bijekcija in

2. preslikavaψ :G→S_A, definirana kot ψ(g) =σ_g, je homomorfizem grup.

14

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 15 Dokaz: Da se prepriˇcamo, da jeσ_gbijekcija mnoˇziceA, je dovolj, ˇce pokaˇzemo, da ima preslikava obojestranski inverz σ_g⁻¹. Za vsak a∈A velja

(σ_g⁻¹ ◦σ_g)(a) = σ_g⁻¹(σ_g(a))

= g⁻¹·(g·a)

= (g⁻¹g)·a

= e·a=a.

Vidimo, da je (σ_g⁻¹◦σg) trivialna preslikavaA →A. Ker je g poljuben, lahko vlogi g ing⁻¹ zamenjamo in se tako zlahka prepriˇcamo, da je tudi (σ_g◦σ_g⁻¹) trivialna preslikava naA. Sledi, da imaσ_gobojestranski inverz, zato je bijekcija naA.

Oglejmo si sedaj ˇse preslikavo ψ : G → S_A, kjer je ψ(g) = σ_g. Po prvi toˇcki je σ_g ∈ S_A. Pokaˇzimo, da je ψ homomorfizem grup, to je, da velja ψ(g1g2) = ψ(g1)◦ψ(g2). Pri tem se spomnimo, da je operacija v grupi SA

komponiranje preslikav.

Torej za vsaka ∈A velja

(ψ(g1g2))(a) = σg1g2(a)

= (g₁g₂)·a

= g₁·(g₂ ·a)

= σ_g1(σ_g2(a))

= (σ_g1 ◦σ_g2)(a)

= (ψ(g₁)◦ψ(g₂))(a).

Torej je ψ res homomorfizem grup.

Trditev 4.2 Preslikava G×A → A, definirana kot g ·a = a za vsak g ∈ G, a∈A, je delovanje grupe G na mnoˇzici A.

Da je tako definirana preslikava res delovanje, se bo prepriˇcal bralec sam.

Definicija. Naj grupa G deluje na neprazni mnoˇzici A tako, da g·a =a za vsak g ∈ G, a ∈A. Takˇsno delovanje imenujemo trivialno delovanje, oziroma pravimo, da Gna A deluje trivialno.

4.2 Delovanje grupe na grupah

Grupa lahko podobno kot na poljubno mnoˇzico, naravno deluje tudi sama nase. Eno izmed takˇsnih delovanj je konjugiranje v grupi, ki si ga bomo sedaj pobliˇze ogledali.

Trditev 4.3 Naj bo G grupa. Konjugiranje v G je delovanje grupe G same nase. To je, ˇce za vsak g, a∈G definiramog·a=gag⁻¹, smo s tem definirali delovanje grupe G na mnoˇzici G.

16 POGLAVJE 4. DELOVANJE GRUP Dokaz: Prepriˇcajmo se, da predpis g·a = gag⁻¹ res doloˇca delovanje grupe Gna mnoˇzici G. Velja

e·a=eae⁻¹ =a in

g1·(g2·a) = g1·(g2ag₂⁻¹) =g1(g2ag⁻¹₂ )g⁻¹₁ = (g1g2)a(g1g2)⁻¹ = (g1g2)·a

za vsakg1, g2, a∈G in trditev sledi.

Izrek 4.4 Naj bo N edinka in H podgrupa grupe G. Tedaj H naravno deluje na N s konjugiranjem, kjer za vsak h ∈H in n ∈N definiramo

h·n =hnh⁻¹.

Za vsak h∈H je konjugiranje s h avtomorfizem edinke N in tako nam to de- lovanje porodi homomorfizem iz podgrupe H v grupo Aut(N)z jedrom C_H(N).

Nadalje je kvocientna grupa G/C_H(N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N).

Dokaz: Ker je N edinka v grupi G, je h·n ∈ N za vsak h ∈ H, n ∈ N. Da zgornji predpis definira delovanje podgrupe H na edinki N, se sedaj dokaˇze povsem podobno, kot v dokazu trditve 4.3. Po trditvi 4.1 je preslikava σ_h : N → N, kjer je σh(n) =h·n, bijekcija. Vsak σh je homomorfizem N → N, saj za vsakn₁, n₂ ∈N velja

σ_h(n₁n₂) = h(n₁n₂)h⁻¹

= hn₁(h⁻¹h)n₂h⁻¹

= (hn₁h⁻¹)(hn₂h⁻¹)

= σ_h(n₁)σ_h(n₂).

Torej je σh avtomorfizem edinke N. Po trditvi 4.1 je ψ : H → SN, definiran kot ψ(h) = σ_h, homomorfizem grup. Po prejˇsnji opazki je slika preslikave ψ vsebovana v podgrupi Aut(N) grupe S_N. Konˇcno,

Ker(ψ) = {h∈H | σ_h =id}

= {h∈H | hnh⁻¹ =n ∀n ∈N}

= C_H(N).

Po izreku o izomorfizmu potem neposredno sledi, da je kvocientna grupa

G/C_H(N) izomorfna podgrupi grupeAut(N).

Zgled. Naj bo N = hri E D₉ = hr, z | r⁹ = z² = e, zrz⁻¹ = r⁻¹i in H=hr³, zi ≤D₉. Oglejmo si delovanje podgrupe H na edinkoN s konjugira- njem, to jeh·n =hnh⁻¹ za vsakh∈H, n∈N. To delovanje nam po trditvi 4.4 doloˇca homomorfizem iz H v grupo Aut(N), oznaˇcimo ga s ψ. Ker je N ∼= C₉, je Aut(N) ∼= Z^∗9 ∼= Z6. Jedro homomorfizma ψ : H → Aut(N) je C_H(N) = {h ∈ H | hnh⁻¹ = n ∀n ∈ N} = {e, r³, r⁶}. Potem je H/C_H(N) = {C_H(N), zC_H(N)} ∼= Z2. Res, vsak h ∈ C_H(N) na N deluje trivialno in zato ψ(n) = n za vsak n ∈N. Vsak h ∈ zC_H(N) = {z, zr³, zr⁶}

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 17 pa deluje na N tako, da hnh⁻¹ =n⁻¹ in zatoψ(n) =n⁻¹ za vsak n∈N. Naslednja trditev je za nas najpomembnejˇsi rezultat tega poglavja, saj je bi- stvenega pomena za razumevanje poldirektnega produkta grup, ki ga bomo spoznali v naslednjem poglavju.

Trditev 4.5 Naj bosta H in N grupi in naj bo ψ : H → Aut(N) homomor- fizem grup. Tedaj lahko definiramo delovanje H na N s predpisom h·n = (ψ(h))(n) za vsak h∈H, n∈N.

Dokaz: Ker je ψ homomorfizem grup, je h ·n = (ψ(h))(n) ∈ N. Nadalje je po trditvi 3.1 e ·n = (ψ(e))(n) = n za vsak n ∈ N. Ker velja ˇse, da je h1 ·(h2 ·n) = h1 ·((ψ(h2))(n)) = (ψ(h1))((ψ(h2))(n)) = ((ψ(h1)ψ(h2))(n) = ((ψ(h₁h₂))(n) = (h₁h₂)·n za vsakh₁, h₂ ∈H in vsak n∈N, je to res delova-

nje.

Definicija. V primeru iz trditve 4.5 bomo rekli, da gre za naravno levo delo- vanje grupe H na grupi N.

Zgled. Oglejmo si sedaj naravno levo delovanje grupeZ4 na grupi Z3.

Naj bo ψ : Z4 → Aut(Z3) homomorfizem grup. Tedaj lahko definiramo de- lovanje grupe Z⁴ na grupi Z³ s predpisom j ·i = (ψ(j))(i) za vsak j ∈ Z⁴, i ∈ Z3. Po trditvi 3.6 vemo, da je Aut(Z3) ∼= Z^∗3 ∼= Z2. Edini netrivialni homomorfizemψ je tedaj podan s predpisom (ψ(j))(i) = (−1)^j·i, pripadajoˇce naravno delovanje Z⁴ naZ³ pa je j·i= (−1)^ji.

Poglavje 5

Poldirektni produkt grup

Spoznali smo ˇze najosnovnejˇso konstrukcijo grup, ki iz danih grup konstruira nove, namreˇc direktni produkt, vendar nam ta ˇse zdaleˇc ne omogoˇca ˇsirˇsega vpogleda v celotno zbirko grup. Poldirektni produkt grup je posploˇsitev direk- tnega produkta in nam omogoˇca konstrukcijo grup, ki jih zgolj s konstrukcijo direktnega produkta ne dobimo. V tem poglavju bomo tako najprej predstavili zunanji poldirektni produkt grup, katerega izhodiˇsˇce sta dve dani grupi, iz ka- terih konstruiramo novo grupo, nato pa bomo besedo namenili ˇse notranjemu poldirektnemu produktu, ki nam v bistvu pove, kdaj je dana grupa poldirektni produkt dveh grup. V sploˇsnem sta notranji in zunanji produkt ekvivalentna, velja namreˇc podobno kot smo omenili ˇze pri direktnem produktu, in ju lahko skupaj poimenujemo poldirektni produkt grup. Na koncu tega poglavja bomo pokazali tudi, kakˇsna je razlika med direktnim in poldirektnim produktom grup.

5.1 Zunanji poldirektni produkt grup

Oglejmo si najprej, kako iz dveh danih grup konstruiramo njun poldirektni produkt.

Izrek 5.1 Naj bosta N in H grupi in ψ homomorfizem grup, ki slika iz grupe H v grupo Aut(N) avtomorfizmov grupe N. Naj · oznaˇcuje naravno levo de- lovanje grupe H na grupi N, doloˇceno s ψ. Naj bo G mnoˇzica urejenih parov (n, h), kjer je n ∈ N in h ∈ H, to je G = N ×H. Definirajmo operacijo mnoˇzenja v G takole:

(n₁, h₁)(n₂, h₂) = (n₁ (h₁·n₂), h₁h₂).

Potem velja:

1. G je za definirano operacijo mnoˇzenja grupa reda |G|=|N||H|.

2. Mnoˇzici Ne = {(n, e) | n ∈ N} in He = {(e, h) | h ∈ H} sta podgrupi grupe G. Preslikavi n 7→ (n, e) za n ∈ N in h 7→ (e, h) za h ∈ H sta izomorfizma teh podgrup z grupama N in H, to je N ∼=Ne in H ∼=H.e

18

5.1. ZUNANJI POLDIREKTNI PRODUKT 19 3. Ne EG in Ne∩He ={(e, e)}.

4. Za vsak n˜ = (n, e) ∈ Ne in ˜h = (e, h) ∈ He velja h˜˜n˜h⁻¹ = (h·n, e) = ((ψ(h))(n), e).

Dokaz:

Najprej pokaˇzimo, da jeGza dano operacijo mnoˇzenja, pri ˇcemer upoˇstevamo, da· oznaˇcuje levo delovanje grupe H na grupi N, doloˇceno s ψ, res grupa.

Grupa Gje zaprta za dano operacijo, saj za poljubna (n₁, h₁) in (n₂, h₂) velja (n1, h1)(n2, h2) = (n1 (h1·n2), h1h2) = (n1((ψ(h1))(n2)), h1h2)∈N ×H, ker je ((ψ(h₁))(n₂))∈N inh₁h₂ ∈H.

Operacija je asociativna:

Za poljubne (n₁, h₁),(n₂, h₂),(n₃, h₃)∈G velja sledeˇce:

((n₁, h₁)(n₂, h₂))(n₃, h₃) = (n₁(h₁·n₂), h₁h₂)(n₃, h₃)

= (n₁(h₁·n₂)((h₁h₂)·n₃), h₁h₂h₃)

= (n₁(h₁·n₂)(h₁·(h₂·n₃)), h₁h₂h₃)

= (n₁((ψ(h₁))(n₂)((ψ(h₁))(h₂·n₃))), h₁h₂h₃)

= (n1((ψ(h1))(n2(h2·n3))), h1h2h3)

= (n₁(h₁·(n₂(h₂·n₃))), h₁h₂h₃)

(n₁, h₁)((n₂, h₂)(n₃, h₃)) = (n₁, h₁)(n₂(h₂·n₃), h₂h₃)

= (n₁(h₁·(n₂(h₂·n₃))), h₁h₂h₃) Sledi: ((n1, h1)(n2, h2))(n3, h3) = (n1, h1)((n2, h2)(n3, h3)).

Obstoj nevtralnega elementa v G:

Za vsak (n, h)∈Gvelja:

(n, h)(e, e) = (n(h·e), he) = (n(ψ(h))(e), h) = (ne, h) = (n, h) (e, e)(n, h) = (e(e·n), eh) = (en, h) = (n, h)

Sledi, da je (e, e)∈G nevtralni element v G.

Obstoj inverznih elementov v G:

Za vsak element (n, h)∈Gobstaja njegov obrat (n, h)⁻¹ ∈G, kjer je (n, h)⁻¹ = (h⁻¹·n⁻¹, h⁻¹), saj

(n, h)(h⁻¹·n⁻¹, h⁻¹) = (n(h·(h⁻¹·n⁻¹)), hh⁻¹)

= (n((hh⁻¹)·n⁻¹)), e)

= (n(e·n⁻¹)), e)

= (nn⁻¹, e)

= (e, e)

20 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP in

(h⁻¹·n⁻¹, h⁻¹)(n, h) = ((h⁻¹·n⁻¹)(h⁻¹·n), h⁻¹h)

= ((ψ(h⁻¹))(n⁻¹n), e)

= ((ψ(h⁻¹))(e), e)

= (e, e)

Torej je (n, h)⁻¹ = (h⁻¹·n⁻¹, h⁻¹)∈G res obrat za (n, h)∈G.

Pokazali smo, da jeGza definirano operacijo res grupa. Da velja|G|=|N||G|

sledi neposredno izG=N ×H. S tem je prva toˇcka dokazana.

Za vsaka (n₁, e),(n₂, e)∈Ne in (e, h₁),(e, h₂)∈He velja

(n₁, e)(n₂, e) = (n₁(e·n₂), ee) = (n₁n₂, e)∈Ne (e, h₁)(e, h₂) = (e(h₁·e), h₁h₂) = (e, h₁h₂)∈H.e

Tako vidimo, da je oˇcitno, da staNe inHe podgrupi grupeGin da sta preslikavi n7→(n, e) za n ∈N inh7→(e, h) za h∈H izomorfizma grup.

Trivialnost preseka Ne ∩He sledi neposredno iz definicije (Ne = {(n, e) | n ∈ N} in He = {(e, h) | h ∈ H}). Oglejmo si sedaj, ˇcemu je enak produkt (e, h)(n, e)(e, h)⁻¹, kjer (n, e)∈Ne in (e, h),(e, h)⁻¹ = (e, h⁻¹)∈H.e

(e, h)(n, e)(e, h)⁻¹ = (h·n, h)(e, h⁻¹)

= ((h·n)(h·e), hh⁻¹)

= (h·n, e)

= ((ψ(h))(n), e)∈N .˜

Pokazali smo, da je He ≤ NG(Ne). Hkrati vemo, da velja G = NeHe in Ne ≤ N_G(Ne). Torej jeN_G(Ne) =G in zato je NeEG.

Definicija. Naj bosta N inH grupi in naj bo ψ homomorfizem iz grupeH v grupoAut(N). GrupoG, kot smo jo opisali v izreku 5.1, imenujemo(zunanji) poldirektni produktgrup N inH, doloˇcen s ψ. Oznaˇcimo ga z Noψ H (kadar ni nevarnosti, da bi priˇslo do zmede, ga oznaˇcimo kar z N oH).

Zgled. Oglejmo si poldirektni produkt grupZ3oψZ4, kjer je ediniψnetrivialni homomorfizem iz zgleda v razdelku 4.2. Dobimo torej grupo reda 12, ki ni komutativna, saj na primer (1,1)(1,2) = (1 + (−1),3) = (0,3) 6= (2,3) = (1,2)(1,1). Po izreku 5.1 iz [8] sledi, da je Z3oψ Z4 izomorfna grupi T.

5.2. NOTRANJI POLDIREKTNI PRODUKT 21

5.2 Notranji poldirektni produkt grup

V prejˇsnjem razdelku smo videli, kako iz danih grup konstruiramo njun pol- direktni produkt, sedaj pa nas zanima ˇse, kako ugotovimo, ali je dana grupa izomorfna kakˇsnemu poldirektnemu produktu.

Izrek 5.2 Naj bo G grupa in naj bostaN ter H njeni podgrupi tako, da velja:

1. N EG in 2. N ∩H = 1.

Naj bo ψ : H → Aut(N) homomorfizem grup, ki je definiran tako, da pre- slika element h ∈ H v avtomorfizem grupe N, podan z levim konjugiranjem h na N, to je (ψ(h))(n) = hnh⁻¹. Potem je N H podgrupa grupe G in velja N H ∼= N oϕH. ˇCe je torej G= N H, je G (notranji) poldirektni produkt N in H.

Dokaz: Po izreku 5.1 lahko formiramo poldirektni produktNoψH. Po trditvi 2.11 je N H ≤G. Pokaˇzimo, da sta grupiN H inN oψ H izomorfni.

Ker je N ∩H = 1, lahko, po trditvi 2.12, vsak element grupe N H zapiˇsemo na en sam naˇcin v obliki nh, kjer je n ∈ N in h ∈ H. Torej obstaja naravna bijekcija, oznaˇcimo jo sτ, medN H in zbirko urejenih parov (n, h)∈NoψH, podana z nh7→(n, h) tako, da lahko N vidimo kot mnoˇzico elementov oblike (n, e) in H kot mnoˇzico elementov oblike (e, h). Prepriˇcajmo se, da je bijekcija τ : N H → N oψ H homomorfizem grup (torej izomorfizem grup). Naj bosta n1h1, n2h2 ∈N H. Tedaj njun produkt v Gzapiˇsemo kot

(n1h1)(n2h2) = n1h1n2(h⁻¹₁ h1)h2

= n₁(h₁n₂h⁻¹₁ )h₁h₂

= n₃h₃,

kjer jen₃ =n₁(h₁n₂h⁻¹₁ ) inh₃ =h₁h₂. Ker jeNEG, veljah₁n₂h⁻¹₁ ∈N, zato n3 ∈ N in h3 ∈ H. Upoˇstevamo, da ψ doloˇca levo delovanje H na N, to je, h·n =hnh⁻¹, od koder sledi

(n₁h₁)(n₂h₂) = (n₁(h₁·n₂))(h₁h₂).

S tem smo pokazali, da je omenjena bijekcija τ homomorfizem, saj τ((n₁h₁)(n₂h₂)) = τ((n₁(h₁·n₂))(h₁h₂))

= (n₁(h₁·n₂), h₁h₂)

= (n₁, h₁)(n₂, h₂)

= τ(n1h1)τ(n2h2).

Sledi N H ∼=N o^ψH.

22 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP Zgled. Oglejmo si sedaj grupo A₄.

Bralec bo preveril, da jeN ={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} ∼=Z2×Z2 edinka v A₄. Ker je H = h(123)i ∼= Z³, je po Lagrangevem izreku N ∩H = {id} in po trditvi 2.9 je A₄ =N H. Po izreku 5.2 sledi, da jeA₄ ∼= (Z2×Z2)o Z3.

5.3 Direktni in poldirektni produkt grup

V tem razdelku bomo razreˇsili vpraˇsanje o tem, kdaj je poldirektni produkt dveh grup kar njun direktni produkt.

Trditev 5.3 Na bostaN inH grupi inψ :H →Aut(N)homomorfizem grup.

Potem so naslednje trditve ekvivalentne.

1. Identiˇcna preslikava med N oψ H in N ×H je izomorfizem grup.

2. ψ je trivialni homomorfizem.

3. He EN o^ψ H, kjer je He ={(e, h) | h∈H}.

Dokaz:

1.⇒2.

Po definiciji je operacija v grupiN oψ H enaka

(n₁, h₁)(n₂, h₂) = (n₁(h₁·n₂), h₁h₂)

za vsakn₁, n₂ ∈N in vsakh₁, h₂ ∈H. Po predpostavki 1. velja (n₁, h₁)(n₂, h₂) = (n₁n₂, h₁h₂),

zato (n₁(h₁ ·n₂), h₁h₂) = (n₁n₂, h₁h₂), od koder sledi, da velja h₁ ·n₂ = n₂ za vsak n₂ ∈ N in vsak h₁ ∈ H. Torej H deluje na N trivialno, od koder neposredno sledi2.

2.⇒3.

Ce jeˇ ψ trivialni homomorfizem, potem je delovanjeH na N trivialno in tako po definiciji mnoˇzenja v NoψH elementi podgrupNe ={(n, e)|n ∈N}inHe med seboj komutirajo. TakoNe oˇcitno normaliziraH, od kodere HeEN oψH.

3.⇒1.

Po predpostavki jeHe EN oψH. Element ˜nh˜˜n⁻¹ je po definiciji enak

(n(ψ(h))(n⁻¹), h), po drugi strani pa je to v He (ker je slednja edinka). Tako mora biti ˜n˜h˜n⁻¹ enako (e, h) = ˜h, to je, ˜h in ˜n komutirata. Zato je operacija v poldirektnem produktu enaka operaciji v direktnem produktu grupN inH.

Od tod sledi 1., s ˇcimer je trditev dokazana.

Definicija. Poldirektni produkt grup, pri katerem velja ena in zato vse tri toˇcka zgornje trditve 5.3, imenujemo trivialni poldirektni produkt, za vse ostale pa reˇcemo, da sonetrivialni poldirektni produkti.

Posledica 5.4 Netrivialni poldirektni produkt dveh grup je nekomutativna grupa.

5.3. DIREKTNI IN POLDIREKTNI PRODUKT 23 Dokaz: Naj bosta N, H grupi in N oψ H njun poldirektni produkt, kjer je ψ :H →Aut(N) nek netrivialni homomorfizem grup. ˇCe je Noψ H komuta- tivna grupa, potem so vse njene podgrupe edinke, torej je tudi He edinka. Po trditvi 5.3 sledi, da je ψ trivialni homomorfizem grup, kar je v protislovju s

predpostavko.

Zgled. Edini poldirektni produkt grup (Z² ×Z²)o Z⁵ je direktni produkt (Z2×Z2)×Z5. Bralec bo preveril, da je namreˇcAut(Z2×Z2)∼=S₃, po izreku o izomorfizmu pa ne obstaja noben netrivialni homomorfizem, ki slika iz Z5 v S₃.

Poglavje 6

Poldirektni produkt cikliˇ cnih grup

V tem poglavju, katerega glavni cilj je prikazati konkretno uporabo poldi- rektnega produkta, se bomo v celoti posvetili poldirektnemu produktu dveh cikliˇcnih grup. Pokazali bomo, kako ˇze s pomoˇcjo poldirektnega produkta cikliˇcnih grup najdemo nove grupe, ki ne pripadajo kakˇsni osnovni standar- dni druˇzini grup ali direktnemu produktu in jih hkrati ne moremo dobiti kot direktni produkt takˇsnih grup. Spoznali bomo, kdaj je poldirektni produkt grup izomorfen diedrski grupi, predstavili pa bomo tudi, kako lahko poldirek- tni produkt nastopa kot grupa simetrij objekta. Za zaˇcetek si oglejmo, kakˇsni so potrebni pogoji, da lahko iz dveh cikliˇcnih grup kot poldirektni produkt konstruiramo neko nekomutativno grupo.

Trditev 6.1 Naj bostan, m∈N. Tedaj obstaja netrivialni poldirektni produkt Zⁿo Z^m natanko tedaj, ko je D(m, ϕ(n))>1.

Dokaz: Po trditvi 5.3 obstaja netrivialni poldirektni produktZnoZmnatanko tedaj, ko obstaja netrivialni homomorfizem grup ψ : Z^m → Aut(Zⁿ). Naj bo xgenerator grupe Zm.

Predpostavimo najprej, da je ψ : Zm → Aut(Zn) netrivialni homomorfizem.

Potem velja ψ(x) 6= 1_Aut(Zn) in poslediˇcno |ψ(x)| > 1. Ker je ψ homomorfi- zem grup, po trditvi 3.3,|ψ(x)|deli |x|. Hkrati po Lagrangeevem izreku velja, da |ψ(x)| deli |Aut(Zn)|. Zaradi hxi = Zm, je |x| = m. Po trditvi 3.6 je

|Aut(Zⁿ)| = ϕ(n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija. Torej |ψ(x)| > 1 deli m in ϕ(n), od koder sledi D(m, ϕ(n))>1.

Obratno sedaj predpostavimo, da velja D(m, ϕ(n)) > 1. Potem obstaja praˇstevilop, ki deli D(m, ϕ(n))>1. Poslediˇcno pdeli m (torej pdeli |Zm|) in p deli ϕ(n) (torej p deli |Aut(Zn)|). Po Cauchyjevem izreku tedaj v Aut(Zn) obstaja element α, ki je reda p. Torej obstaja netrivialni homomorfizem grup ψ : Zm → Aut(Zn) tako, da ψ : 17→ α. Po izreku o izomorfizmu sledi, da je Zm/Ker(ψ)∼= Zp. Ker(ψ) je tedaj seveda cikliˇcna podgrupa reda m/p, ki je

edinka grupeZm.

24

25 Trditev 6.2 Naj bo n ≥ 3 in ψ : Z2 → Aut(Zn) tisti homomorfizem grup, za katerega je (ψ(1))(i) = −i za vsak i ∈ Zn. Potem je poldirektni produkt Zⁿo^ψ Z² izomorfen grupi D_n.

Dokaz: Naj bo hriED_n edinka indeksa 2 in hzi ≤D_n podgrupa reda 2. Po- tem je hri ∼=Zn inhzi ∼=Z2. Po izreku 5.2 sledi, da je D_n ∼=ZnoψZ2. Ker je zrz =r⁻¹, konjugiranje z elementi iz hzi na hri oˇcitno porodi homomorfizem

iz trditve.

V naslednjem zgledu bomo pokazali konkretno konstrukcijo poldirektnega pro- dukta dveh cikliˇcnih grup in nato primerjali na novo dobljene grupe z ˇze zna- nimi nekomutativnimi grupami ter ugotovili, kako ˇze poldirektni produkt dveh cikliˇcnih grup razˇsiri zbirko grup, ki smo jo do sedaj poznali.

Zgled. Oglejmo si vse moˇzne poldirektne produkte grup Z8 in Z10 oblike Z⁸o^ψ Z¹⁰.

Naj boψ :Z10 →Aut(Z8) homomorfizem grup. Najprej ugotovimo, kakˇsen je lahko ψ, zato nas v prvi vrsti zanima, kam lahko preslikamo elemente grupe Z¹⁰, to je, kaj je ψ(1). Po trditvi 3.6 je Aut(Z⁸) ∼= Z^∗8 = {1,3,5,7}, torej ta grupa vsebuje en element reda 1 in tri elemente reda 2. Ker redi vseh elemen- tov iz Aut(Z8) delijo red generatorja grupe Z10, lahko 1 ∈ Z10 preslikamo v katerega koli izmed njih. Od tod ni teˇzko videti, kako Z¹⁰ deluje na Z⁸. V skladu z zapisanim obstajajo ˇstirje homomorfizmi ψ, in sicer

ψ₁ : 17→1 ⇒ ψ₁(j) = 1 ⇒j ·i=i ψ₂ : 17→3 ⇒ ψ₂(j) = 3^j ⇒j·i= 3^ji

ψ3 : 17→5 ⇒ ψ3(j) = 5^j = (−3)^j ⇒j·i= 5^ji= (−3)^ji ψ₄ : 17→7 ⇒ ψ₄(j) = 7^j = (−1)^j ⇒j·i= 7^ji= (−1)^ji

za vsak j ∈Z10 in vsaki ∈Z8. Poglejmo sedaj, kakˇsna je struktura poldirek- tnih produktov, ki jih porodijo posamezni homomorfizmi.

Naj bosta (i, j),(k, l) ∈ Z8oψ Z10, kjer je i, k ∈ Z8 in j, l ∈ Z10. Operacija v Z8oψ Z10, je tedaj

(i, j)(k, l) = (i+ (j ·k), j+l) in

(j·k) = ψ(j)k.

Ze zgoraj smo ugotovili, da jeˇ ψ1 trivialni homomorfizem, zato po trditvi 5.3 velja Z8 oψ1 Z10∼=Z8×Z10.

Ostali homomorfizmi so netrivialni, zato za vsakega pogledamo, koliko elemen- tov posameznega reda grupaZ⁸o^ψZ¹⁰ vsebuje in nato preverimo, ali je morda izomorfna kakˇsni ˇze znani grupi. Ker bomo pri vsaki grupi prouˇcevali rede elementov, si je najprej smiselno ogledati, kakˇsna je, v skladu z delovanjemψ, potenca posameznega elementa (i, j)∈Z⁸o^ψ Z¹⁰.

(i, j)² = (i, j)(i, j) = (i+ψ(j)i,2j)

26 POGLAVJE 6. POLDIREKTNI PRODUKT CIKLI ˇCNIH GRUP (i, j)³ = (i+ψ(j)i,2j)(i, j) = (i+ψ(j)i+ψ(j)²i,3j)

...

(i, j)^m = (i(

m−1

X

s=0

ψ(j)^s), mj)

Poglejmo sedaj strukture preostalih grup oblike Z⁸o^ψZ¹⁰.

Ker je |Z8 oψ Z10| = 80, so moˇzni redi elementov 1,2,4,5,8,10,16,20,40 in 80.

Z8oψ2 Z10

Elementi reda 2:

(i, j)² = (i(1 + 3^j),2j) = (0,0)⇔i(1 + 3^j)≡0(mod 8)∧2j ≡0(mod 10)

⇒j ∈ {0,5}

j = 0 ⇒ 2i≡0(mod 8)⇒i∈ {0,4}

j = 5 ⇒ 4i≡0(mod 8)⇒i∈ {0,2,4,6}

Torej dobimo 5 elementov reda 2, ki jih doloˇcajo pari (i, j)∈ {(4,0),(0,5), (2,5),(4,5)(6,5)}. (i, j) = (0,0) je seveda reda 1.

Elementi reda 4:

(i, j)⁴ = (0,0)⇔i(1 + 3^j + 3^2j+ 3^3j)≡0(mod 8) ∧ 4j ≡0(mod 10)

⇒j ∈ {0,5}

j = 0 ⇒ i4≡0(mod8)⇒i∈ {0,2,4,6}

j = 5 ⇒ i(1 + 3⁵+ 3¹⁰+ 3¹⁵)≡0(mod 8)⇒i∈Z8

Bralca spomnimo, da si lahko pri raˇcunanju potenc pomaga z Eulerjevim iz- rekom, ki pravi, da je za tuji si ˇstevili n∈N ina∈Z, a^ϕ(n) ≡1 (mod n), kjer je ϕEulerjeva funkcija.

Tem pogojem ustreza 12 elementov, ki pa niso vsi reda 4. Namreˇc, element (0,0) je, kot ˇze vemo, reda 1. Podobno smo ˇze ugotovili, da so elementi (4,0),(0,5),(2,5),(4,5),(6,5) reda 2. Torej dobimo 6 elementov reda 4, to so (2,0),(6,0),(1,5),(3,5),(5,5),(7,5).

Elementi reda 5:

(i, j)⁵ = (0,0)⇔i(1 + 3^j+ 3^2j+ 3^3j + 3^4j)≡0(mod8) ∧ 5j ≡0(mod 10)

⇒j ∈ {0,2,4,6,8}

j = 0 ⇒ i5≡0(mod8)⇒i= 0

j = 2 ⇒ i(1 + 3²+ 3⁴+ 3⁶+ 3⁸)≡i5≡0(mod 8)⇒i= 0 j = 4 ⇒ i(1 + 3²+ 3⁸+ 3¹²+ 3¹⁶)≡i5≡0(mod8)⇒i= 0 j = 6 ⇒ i(1 + 3²+ 3¹²+ 3¹⁸+ 3²⁴)≡i5≡0(mod 8)⇒i= 0 j = 8 ⇒ i(1 + 3²+ 3¹⁶+ 3²⁴+ 3³²)≡i5≡0(mod 8)⇒i= 0

27 Po podobnem premisleku kot prej dobimo 4 elemente reda 5 in sicer (0,2),(0,4), (0,6) in (0,8).

Na enak naˇcin izraˇcunamo rede preostalih elementov v grupi Z8 oψ2 Z10. Raˇcunanje redov elementov v grupahZ8oψ3Z10inZ8oψ4Z10se od pokazanega bistveno ne razlikuje. Upoˇstevati je potrebno le, kakˇsno delovanje porodita ho- morfizma ψ₃ inψ₄.

Tako je potenca posameznega elementa v Z8oψ3 Z10 enaka (i, j)^m = (i(

m−1

X

s=0

5^sj), mj), v grupi Z8oψ4 Z10 pa

(i, j)^m = (i(

m−1

X

s=0

7^sj), mj).

Stevilo elementov po posameznih redih za vsako grupo predstavimo v spodnjiˇ tabeli.

Grupa \ Red elta. 1 2 4 5 8 10 16 20 40 Z8×Z10 1 3 4 4 8 12 16 32 Z8oψ2 Z10 1 5 6 4 4 20 24 16 Z⁸o^ψ3 Z¹⁰ 1 3 4 4 8 12 16 32 Z8oψ4 Z10 1 9 2 4 4 36 8 16

Tabela 6.1: Zaporedja redov grup Z8 oψZ10.

Primerjajmo sedaj zaporedja redov netrivialnih poldirektnih produktovZ8oψ

Z¹⁰ z zaporedji redov, nam doslej ˇze znanih nekomutativnih grup reda 80, ki so podana v naslednji tabeli.