UČNI LIST – Odvod – 2 1)

UČNI LIST – Odvod – 2

1) Izračunaj odvod sestavljene funkcije:

a) ^{f x}

 

^sin



^x35x24



^{d) f x}

^{ }

^{tan 4x}

b) ^{f x}

 

^ln



^x23x7



^{e) f x}

^{ }

^3cosx

c) ^{f x}

 

^{cos lnx f) f x}

 

^{ln cos 7}



^x25x1



2) Poišči enačbo normale na funkcijo ^{f x}

 

^{ln 2}



^x5



v točki z absciso 3.

3) Napiši enačbo tangente na funkcijo ^{f x}

 

^x2ln



^x3



v točki z absciso –2.

4) Izračunaj enačbo tangente in normale na funkcijo ^{f x}

 

^{ x3 ln 4}



^x5



v točki z absciso –1.

5) Poišči lokalne ekstreme polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x39x224x17}

b) ^{p x}

 

^{x33x224x7}

c) ^{p x}

 

^{x37x215x9}

d) ^{p x}

 

^{x32x24x8}

e) ^{p x}

 

^{ 16}



^{3x44x312x2}



6) Poišči lokalne ekstreme funkcije:

a)

 

^{2 4 4}

3

x x

f x x

 

  c)

 

^{2 6 9}

2

x x

f x x

 

 

b)

 

²2

2 1

2

x x

f x x x

 

   d)

 

^{4 2 12 9}

8 3

x x

f x x

 

 

7) Poišči lokalne ekstreme funkcije:

a)

 

^{2 2 1}

2

x x

f x x

 

  c)

 

² ₂^{4 4}

1

x x

f x x

 

 

b)

 

2²

5 6

5 4

x x

f x x x

 

   d)

 

²2

2 3

2 8

x x

f x x x

 

  

8) Določi ekstrem funkcije ^{f x}

 

^{ln 3}



^xx2



^.

9) Poišči ekstrem funkcije ^{f x}

 

^ex22x.

10) Določi intervale naraščanja in padanja polinoma ^{p x}

 

^x33x2.

11) Določi intervale naraščanja in padanja polinoma ^{p x}

 

^{x36x29x3.}

12) Poišči lokalne ekstreme in določi interval konkavnosti polinoma ^{p x}

 

^{x39x224x16.}

13) Poišči lokalne ekstreme in določi interval konveksnosti polinoma ^{p x}

 

^{x314x260x72.}

14) Iz enega metra žice naredimo žični model kvadra s kvadratno osnovno ploskvijo. Določi dolžino stranic kvadra tako, da bo prostornina kvadra največja.

15) Kateri od vseh pokončnih krožnih valjev s površino plašča 36 cm ² ima največji obseg osnega preseka?

16) Analiziraj polinom ^{p x}

 

^{x34x25x2} in nariši njegov graf.

17) Analiziraj polinom ^{p x}

 

^{x34x23x18} in nariši njegov graf.

18) Analiziraj funkcijo

 

^{2 2 1}

3

x x

f x x

 

  in nariši njen graf.

19) Analiziraj funkcijo

 

^{2 4 4}

1

x x

f x x

 

   in nariši njen graf.

20) Analiziraj funkcijo

 

²2

2 1

6

x x

f x x x

 

   in nariši njen graf.

21) Analiziraj funkcijo

 

^{4 2 12 9}

4 6

x x

f x x

 

  in nariši njen graf.

22) Analiziraj funkcijo ^{f x}

 

^ln



^{ x2 2x3}



in nariši njen graf.

23) Analiziraj funkcijo ^{f x}

 

^{cos2xcosx} in nariši njen graf.

24) Izračunaj vrednost odvoda krivulje y²x y² 3x 1 0 v točki ^T

 

^{2,5 .}

25) Določi točko na dani krivulji in poišči enačbo tangente na krivuljo v tej točki:

a) ^{4x22y2 38, A x}



^{ 0, 1}



b) ^{x2y24x y 100, B x}



^{0, 2}



26) Določi točko z ordinato 1 na krivulji x²2xy3y² 5 in izračunaj enačbo tangente na krivuljo v tej točki.

27) Določi točko z absciso 2 in negativno ordinato na krivulji x²y²6x 7 0in izračunaj enačbo normale na krivuljo v tej točki.

28) Poišči presečišče krivulj x²y² 5 in x²3y² 7 ter izračunaj presečni kot.

29) Izračunaj presečišče krivulj 3x²5y²3 in 2x²3y²59 ter določi presečni kot.

30) Oceni s pomočjo odvoda (na štiri decimalke):

a) ³ 27,5 c) sin 32 

b) ⁴16,5 d) cos59 

REŠITVE UČNEGA LISTA – Odvod – 2

1) a) ^f

 

^{x cos}



^{x35x2 4}

 

^3x210x



b)

 

₂^{2 3}

3 7

f x x

x x

  

  c) ^f

 

^{x sin lnx}

   x

d)

 

¹₂ ^{4 ln 4}

cos 4

x

f x  x  e) ^f

 

^{x 3cosxln 3 }



^sinx



f) ^f

 

^{x }_{cos 7}



_x²¹_5x1



^{ }



^{sin 7}



^x25x1

 

^

^

^14x5

^

2) T

 

3,0 , y ¹2x³2

3) ^T



^{2,0 ,}



^y4x8

4) T



1,0 ,



y  4x 4, y ¹4x¹4

5) a) Lok. min. T1



 2, 3 , lok. maks.



T2



4,1



b) Lok. min. T1



4, 73 , lok. maks. 



T2



2,35



c) Lok. min. T1

 

3,0 , lok. maks. T2



⁵3,³²27



d) Lok. min. T1



²3,²⁵⁶27



, lok. maks. T2



2,0



e) Lok. min. T1



 2, ¹⁶3



in T2



1,⁵6



, lok. maks. T3

 

0,0 6) a) Lok. min. T1



2,0 , lok. maks.



T2



 4, 4



b) Lok. min. T1

 

5,⁸9 , lok. maks. T2

 

1,0 c) Lok. min. T1

 

3,0 , lok. maks. T2



1, 4



d) Lok. min. T1

 

³2,0 , lok. maks. T2



 ⁹4, ¹⁵4



7) a) Lok. min. T1



5,12 , lok. maks.



T2



1,0



b) Lok. maks. T1

 

⁵2,¹9

c) Lok. min. T1



2,0 , lok. maks.



T2



 ¹2, 3



d) Lok. maks. T2

 

1,⁴9

8) Glob. maks. T1



³2,ln⁹4



9) Glob. min. T1

 

1,¹_e

10) Polinom narašča na intervalih



 , 2 in 0,

 





, pada pa na



2,0



.

11) Polinom narašča na intervalih



^{,1 in 3,}

 





, pada pa na 1,3

 

. 12) Lok. min. T1



4,0 , lok. maks.



T2



 2, 4 , konkaven je na

 

 3,



. 13) Lok. min. T1

 

6,0 , lok. maks. T2



¹⁰3,²⁵⁶27



, konveksen je na



,¹⁴3



. 14) a v ₁₂¹ m (Ta kvader je kocka!)

15) r3 cm o, _op36 cm

16) N: x1,21, x32; lok. min. T1



⁵3,27⁴



, lok. maks. T2

 

1,0 ; D_f Z_f   



,



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

17) N: x1,2 3, x32; lok. min. T1



¹3,⁵⁰⁰27



, lok. maks. T2



3,0 ;



D_f Z_f   



,



-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7-6 -5 -4-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

18) N: x1,21; : P x3; D_f  



,3

 

 3,



; Ak: y x 1; P_Ak: ;  Z_f  



,0

 

 8,



   

1 2

Lok. min. T 5,8 , lok. maks. T 1,0

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x y

19) N: x1,2 2; : P x1; D_f    



,1

 

1,



; Ak: y  x 5; P_Ak: 



, 12

 

0,



; Lok. min. 1



2,0 , lok. maks.



2



4, 12



Zf      T  T 

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

x y

20) N: x1,2 1; : P x1 2, x23; D_f     



, 2

 

2,3

 

 3,



; Ak: y1; P_Ak: x ⁷3



,0

 

¹⁶25,



; lok. min. 1



¹¹3,¹⁶25



, lok. maks. 2



1,0



Zf     T  T 

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

21) N: x1,2 ³2; : P x ³2; D_f  



,³2

 

 ³2,



; Ak: y x ⁹2; P_Ak: 



,0

 

12,



; Lok. min. 1



⁹2,12 , lok. maks.



2



³2,0



Zf     T T 

-12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

x y

22) N: x1 1 3, x2  1 3; : P x1 1, x2 3; D_f  



1,3 ;



Z_f  



,ln 4



 

Glob. maks. T1 1,ln 4

-1 1 2 3 4

-2 -1 1 2

x y

23) N: x1 ^2 2k, x2  2k; D_f   



,



; Z_f  



¹4, 2





^{2 1}

 

^{4 1}



1 3 4 2 3 4

Glob. min. T ^ 2k, in T ^ 2k,

   

3 4

Glob. maks. T 2k, 2 in lok. maks. T 2k,0

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

24) y  ²³₆

25) a) ^A



^{3, 1 , }



^y6x19

b) B



2, 2 ,



y ⁸3x¹⁰3

26) T1

 

2,1 , y3x5; T2



4,1 ,



y 7³x⁵7

27) ^T



^{2, 1 , }



^{y x 3}

28) ^P



^{ 2, 1 ,}



^{ 29 45}

29) ^P



^{ 4, 3 ,}



^{ 80 18}

30) a) 3,0185 b) 2,0156 c) 0,5302 d) 0,5151