UČNI LIST – Polinomi – 2 1)

UČNI LIST – Polinomi – 2

1) Določi neznani koeficient tako, da bo imel polinom zahtevano ničlo:

a) ^{p x}

 

^{x32x218x}



^{a50 ,}



^x4

b) ^{p x}

 

^x3



^a3



^{x211x10, x 2}

2) Določi neznana koeficienta a in b tako, da bo imel polinom zahtevani ničli:

a) p x

 

x⁴3x³ax²bx30, x1 2 in x23 b) p x

 

x³



a1



x²  x



b 2 ,



x12 in x23

3) Določi koeficienta a in b tako, da bo imel polinom p x

 

x³ax²bx6 ničlo x1 2, pri deljenju s polinomom



^x1



pa dobimo ostanek –12.

4) Izračunaj vse ničle simetričnega polinoma ^{p x}

 

^{24x450x3173x250x24.}

5) Reši enačbo:

3 4 2 7

3^{x x x} 0,037

6) Poišči polinom tretje stopnje z vodilnim koeficientom –6 in ničlami x₁1, x₂ ¹₂ in x₃ 2. 7) Poišči polinom 3. stopnje z ničlami x₁ 1, x₂¹₃ in x₃3, če gre njegov graf skozi točko



^{1, 8}



A  .

8) Poišči polinom četrte stopnje z ničlami x₁ 2, x₂ 1, x₃1 in x₄2, če gre njegov graf skozi

točko ^A

 

^{0,8 .}

9) Poišči simetrični polinom pete stopnje, ki ima ničli x₁ 3 in x₂2, če gre njegov graf skozi



^{1, 32}



A  .

10) Izračunaj presečišča premice in polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x4x33x214x34, y3x4}

b) ^{p x}

 

^{2x3x22x5, y4x6}

11) Izračunaj presečišči dveh polinomov:

a) ^{p x}

 

^{3x39x25x2, q x}

 

^{2x22x5}

b) ^{p x}

 

^{2x34x2 x 3, q x}

 

^{5x24x5}

12) Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x37x214x8 c) p x}

 

^{x3x28x12}

b) ^{p x}

 

^{  x3 3x2 x 3 d) p x}

 

^{  x3 x24x4}

13) Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x34x2 x 6 c) p x}

 

^{x37x215x9}

b) ^{p x}

 

^{6x37x21 d) p x}

 

^{x37x6}

14) Zapišite vse ničle polinoma p(x)x(x1)²(2x1)(5x2)².

15) Zapiši ničle, začetno vrednost in nariši graf polinoma:

a) p

  

x  x1



x2



x3



c) p

  

x  x1

 

² x2



²

b) p

  

x  x1

 

² 5x2



d) p

 

x x³



x1

 

² x3



³

16) Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x3x25x3 c) p x}

 

^{x35x27x3}

b) ^{p x}

 

^{x35x23x9 d) p x}

 

^{x39x224x16}

17) Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:

a) ^{p x}

 

^{x43x33x211x6 c) p x}

 

^{x42x23}

b) ^{p x}

 

^{x42x34x28x d)} p

 

x ³x⁴ ³

18) Dan je polinom ^{p x}

 

^{x36x29x4}. Poišči njegove ničle, nato pa izračunaj presečišča s premico y4x4. Nariši graf polinoma in premico!

19) a) Iz grafa polinoma 3. stopnje ugotovi, kje ima ničle in kolikšna je začetna vrednost.

Kolikšna je vrednost polinoma pri x 1? Poišči tudi enačbo tega polinoma.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x y

b) Iz grafa polinoma četrte stopnje ugotovi, kje ima ničle in kolikšna je začetna vrednost.

Kolikšna je vrednost polinoma pri x1? Določi še enačbo tega polinoma.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

20) Reši neenačbe:

a) x³6x²11x 6 0 c) x³3x² 4 0 b)  x³ 2x²5x 6 0 d) x³5x²9x450 21) Reši neenačbe:

a) x³9x²26x240 c) 3x³11x²5x30

b) 2x⁵12x⁴16x³12x²18x0 d) 3x⁵5x⁴7x³9x²4x40

REŠITVE UČNEGA LISTA – Polinomi – 2

1) a) a 10 b) a 4 2) a) a1, b7

b) a 5, b8 3) a0, b 7

4) x₁ 4, x₂ ¹₄, x₃²₃, x₄ ³₂ 5) x₁1, x₂ 1, x₃ 4

6) ^{p x}

 

^{ 6x39x29x6}

7) ^{p x}

 

^{3x37x27x3}

8) ^{p x}

 

^{2x410x28}

9) ^{p x}

 

^{6x511x433x333x211x6}

10) a) P1

 

3,5 , P2



 2, 10



b) P1



1,10 ,



P2



1, 2 ,



P3



¹2, 4



11) a) P1

 

1,9 , P2



3,17 ,



P3



¹3,⁴¹9



b) P1



1,6 ,



P2



2,33 ,



P3



¹2,¹⁷4



12) a) N: x₁ 1, x₂ 2, x₃ 4, p

 

0 8

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

b) N: x₁ 1, x₂1, x₃ 3, ^p

 

^{0 3}

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1 1 2 3

x y

c) N: x₁ 3, x_2,32, p

 

0 12

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

x y

d) N: x₁ 2, x₂ 1, x₃2, p

 

0 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1 1 2 3 4 5 6

x y

13) a) N: x₁ 1, x₂2, x₃3, p

 

0 6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 1 2 3 4 5 6

x y

b) N: x₁ 1, x₂ ¹₂, x₃¹₃, p

 

0 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 1 2 3

x y

c) N: x₁1, x_2,33, p

 

⁰ ⁹

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

d) N: x₁ 3, x₂1, x₃2, p

 

0 6

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x y

14) x₁ 0, x_2,3 1, x₄ ₂¹ , x_5,6 ₅²

15) a) N^:x1^1,x2 ^2, x3 ^3, p

 

⁰ ⁶

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

b) ^{: 1,} 5^,

 

^{0 2}

2 3 2

,

1  x  p 

x N

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2

x y

c) N:x_1,2 1,x_3,4 2, p

 

0 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

x y

d) N^:x1,2,3,4,5 ^0,x6 ^1, x7,8,9 ^2,p

 

⁰ ⁰

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3 4

x y

16) a) N: x_1,2 1, x₃3, p

 

0 3

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

x y

b) N: x₁ 1, x_2,33, p

 

0 9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x y

c) N: x_1,2 1, x₃ 3, p

 

0 3

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

d) N: x₁1, x_2,34, ^p

 

^{0 16}

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 1 2 3 4

x y

17) a) N: x₁ 2, x_2,31, x₄ 3, p

 

0 6

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

x y

b) N: x_1,2 2, x₃0, x₄2, p

 

0 0

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

c) N: x₁  3, x₂ 3, p

 

⁰ ³

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

d) N:x₁ 1,x₂ 1, p

 

0 3

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

18) x1,21, x34, P1



0, 4 , 



P2

  

1,0 , P3 5,16



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-5 -4 -3 -2 -1 1

x y

19) a) b)

 

 

1

1 2 2 3

3 2

: 2, , 2; 0 4

1,9 ; ( ) 2 8 4

N x x x f

A p x x x x

    

    

 

 

3

1,2 3 2 4

4 3 2

: 1, , 2; 0 6

1, 4 ; ( ) 2 3 6 5 6

N x x x f

B p x x x x x

     

      

20) a) ^{x  }



^,1

  

^2,3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

b) ^{x }



^2,1

 

^{ 3,}



-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

c) ^{x   }

 

²



^1,



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 1 2

x y

d) ^{x    }



^{, 5}

 

^3,3



-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

21) a) ^x

   

^{2,3  4,}

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 1 2 3 4

x y

b) x



,1

  

 0.1

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x y

c)



^,³







^1,₃¹



-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

d)



2,1







₃²,



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3 4 5

x y