MagistrskodeloMENTOR:izr.prof.dr.SašoGrozdanovLjubljana,2022 LASTNOSTIMAGNETNEGAPOLJAVKVARK-GLUONSKIPLAZMIPRITRKIHTEŽKIHIONOV NinaBavdaž UNIVERZAVLJUBLJANIFAKULTETAZAMATEMATIKOINFIZIKOODDELEKZAFIZIKOFIZIKA–ASTRONOMIJA

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO

FIZIKA – ASTRONOMIJA

Nina Bavdaž

LASTNOSTI MAGNETNEGA POLJA V KVARK-GLUONSKI PLAZMI PRI TRKIH

TEŽKIH IONOV

Magistrsko delo

MENTOR: izr. prof. dr. Sašo Grozdanov

Ljubljana, 2022

Zahvala

Najprej bi se rada zahvalila mentorju profesorju dr. Sašu Grozdanovu za vse nasvete in vodenje pri pisanju magistrskega dela.

Zahvalila bi se tudi svoji družini za podporo in spodbudo pri pisanju magistrskega dela.

Lastnosti magnetnega polja v kvark-gluonski plazmi pri trkih težkih ionov

Izvleček

V hadronskih trkalnikih, kot je Veliki hadronski trkalnik v Cernu, lahko v zadnjih dveh desetletjih s trki težkih ionov poustvarijo plazmo elementarnih delcev, imeno- vano kvark-gluonska plazma, ki jo je vsebovalo vesolje le nekaj milijonink sekunde po velikem poku. Pri necentralnem trku ionov se v središču plazme ustvari izjemno močno magnetno polje, ki je pravokotno na ravnino trka kvark-gluonske plazme.

Prav tako je možno, da se po trku v plazmi zaradi kiralnega magnetnega efekta inducira magnetno polje tudi v drugih smereh. S pomočjo magnetohidrodinamike, ki preučuje obnašanje električno prevodne tekočine v magnetnem polju, bomo izra- čunali velikost magnetnega polja v različnih smereh, kako hitro to magnetno polje razpada in kako dolgo obstane v tej plazmi. Na koncu je prikazano tudi, kako je to magnetno polje odvisno od električne prevodnosti in kiralne magnetne prevodnosti.

Ključne besede: Kvark-gluonska plazma, magnetohidrodinamika, elekt rična prevodnost, kiralni magnetni efekt, kiralna anomalija

Properties of magnetic field in quark-gluon plasma in heavy ion collisions

Abstract

In hadron colliders, such as at the Large Hadron Collider in CERN, heavy-ion col- lision experiments have over the past two decades been able to create a plasma of elementary particles called the quark-gluon plasma. This type of plasma filled the universe just a few millionths of a second after the big bang. In an off-central heavy-ion collision, an extremely strong magnetic field is created in the center of the plasma. This strong magnetic field is initially perpendicular to the plane of the quark-gluon plasma collision. However, due to the chiral magnetic effect, it is possi- ble that after the collision, magnetic field is also induced in other directions. Using magnetohydrodynamics, which is a theory that studies the behavior of an electri- cally conductive fluid in a magnetic field, we calculate the magnitude of the magnetic field in different directions, estimate how quickly the field decays, and thereby un- derstand how long appreciable magnetic fields persist in the plasma. Moreover, we also show how this magnetic field depends on the electrical conductivity and the chiral magnetic conductivity.

Keywords: Quark-gluon plasma, magnetohydrodynamics, electrical con- ductivity, chiral magnetic effect, chiral anomaly

Kazalo

1 Uvod . . . 11

2 Osnove magnetohidrodinamike . . . 15

2.1 Spremenljivke in konstante . . . 15

2.2 Idealna magnetohidrodinamika . . . 16

2.3 Disipativna magnetohidrodinamika . . . 17

2.4 Relativistična magnetohidrodinamika . . . 18

2.5 Splošna limita magnetohidrodinamike . . . 19

2.5.1 Idealna magnetohidrodinamika . . . 20

2.5.2 Disipativna magnetohidrodinamika . . . 23

2.5.3 Magnetohidrodinamika pri temperaturi nič . . . 24

3 Magnetohidrodinamika v trkalnikih težkih ionov . . . 27

3.1 Kvark-gluonska plazma . . . 27

3.2 Trk . . . 28

3.3 Parameter udarca . . . 29

3.4 Elektromagnetno polje . . . 29

4 Magnetno polje v kvark-gluonski plazmi z električno prevodnostjo 33 4.1 Električna prevodnost . . . 33

4.2 Izračun magnetnega polja . . . 33

4.2.1 By pri v=1 . . . 36

4.2.2 By pri v ̸=1 . . . 37

4.2.3 Integracija . . . 38

5 Magnetno polje v kvark-gluonski plazmi z električno in s kiralno magnetno prevodnostjo . . . 43

5.1 Kiralna anomalija . . . 43

5.2 Kiralni magnetni efekt . . . 46

5.3 Izračun magnetnega polja s kiralnim magnet nim učinkom . . . 48

5.4 Oscilacije . . . 50

5.5 Maksimalno magnetno polje . . . 53

5.6 Stabilnost magnetnega polja . . . 56

6 Zaključek . . . 59

Literatura . . . 61

Dodatek A Maksimalno magnetno polje – slike . . . 65

Poglavje 1 Uvod

Magnetohidrodinamika [1] je teorija makroskopskega transporta plazme ali na splošno katere koli električno prevodne tekočine v prisotnosti dinamičnih elektro- magnetnih polj. Temeljni koncept magnetohidrodinamike je, da lahko magnetna polja sprožijo tokove v gibljivih prevodnih tekočinah, kar pa ustvari sile na tekočino in spremeni samo magnetno polje. Niz enačb, ki opisujejo magnetohidrodinamiko, so kombinacija Navier-Stokesovih enačb dinamične tekočine in osnovnih Maxwello- vih enačb elektromagnetizma. Magnetohidrodinamika je sestavljena iz treh besed, in sicer iz besede magneto, kar pomeni magnetno, hidro, kar pomeni tekočina in dinamika, kar pomeni premikanje nekega predmeta s silo. Besedo magnetohidro- dinamika je prvi uporabil švedski fizik Hannes Alfven [2] leta 1942, ko je opisal magnetohidrodinamske valove, ki so bolj znani kot Alfvenovi valovi¹.

Magnetizem najdemo po vsem vesolju. Znano je, da magnetna polja obstajajo v planetih, zvezdah, akrecijskih diskih, medzvezdnem mediju, galaksijah in v ak- tivnih galaktičnih jedrih. Ta magnetna polja pogosto nastanejo in obstanejo z magnetohidrodinamskim delovanjem. V mnogih primerih pa je magnetno polje dinamično prevladujoče, kar določa evolucijo predmeta. Teme, ki se preučujejo v okviru magnetohidrodinamike, vključujejo tipične računske astrofizikalne teme, kot so magneto-konvekcija, turbulenca itd [2]. Magnetohidrodinamika se uporablja tudi za proučevanje magnetnega obnašanja plazme pri trkih težkih ionov, kjer nastanejo zelo močna elektromagnetna polja, kar bo tudi glavna tema tega magistrskega dela.

Le nekaj mikrosekund po velikem poku je bilo vesolje sestavljeno iz elementarnih delcev, imenovanih kvarki in gluoni. V tem času sta bili temperatura in gostota previsoki, da bi lahko nastali protoni, nevtroni ali drugi hadroni. Posledično je bilo vesolje v tem času polno kvark-gluonske plazme [3]. To je stanje jedrske snovi, ki ob- staja pri izredno visoki temperaturi in gostoti, ko sestavljena stanja hadroni izgubijo svojo identiteto in se raztopijo v juho svojih sestavin kvarkov in gluonov. Obstoj te nove faze snovi je bil predlagan sredi sedemdesetih let [4], le deset let po rojstvu kvarkovskega modela hadronov [5] in dve leti po tem, ko je bilo ugotovljeno, da Ne- abelova teorija polja med kvarkovnimi silami, imenovana kvantna kromodinamika², napoveduje njihovo oslabitev na kratkih razdaljah, tako imenovano asimptotsko svo- bodo [7], [8]. Taka plazma se lahko danes ustvari v pospeševalnikih ionov.

1Za to je bila podeljena tudi Nobelova nagrada leta 1970 [2].

2Kvantna kromodinamika je teorija močne jedrske sile, ki veže protone in nevtrone v jedra [6].

Pri trkih težkih ionov nastane kvark-gluonska plazma, kar nam omogoči dosto- pen laboratorij za proučevanje te plazme. Ko je doseženo lokalno toplotno ravno- vesje in se ta pogoj ohranja, je mogoče prostorsko-časovni razvoj razsutega sis- tema opisati z uporabo makroskopske teorije, kot je relativistična hidrodinamika.

Izkazala se je kot odlično orodje za modeliranje dinamičnega razvoja kvark-gluonske plazme in raziskovanje njenih lastnosti. Kljub velikemu uspehu je bilo ugotovljeno, da ena od temeljnih zahtev za uporabo hidrodinamike morda ne bo v celoti izpol- njena, zlasti v zgodnjih časih po trku. To se je rešilo z dodajanjem manjkajoče komponente: magnetnega polja [9], [10]. Uporaba magnetohidrodinamike pri trkih težkih ionov odpira novo možnost za raziskovanje elektromagnetnih lastnosti kvark- gluonske plazme.

Simetrije in njihovi pripadajoči ohranitveni zakoni igrajo pomembno vlogo pri opisu fundamentalnih sil v naravi [11]. Še posebej so ti ohranitveni zakoni pomembni pri določanju dolgočasovnih, makroskopskih procesov, kot je hidrodinamika. Lahko se zgodi, da določen ohranitveni zakon, ki je veljaven v klasični teoriji, odpove v kvantizirani teoriji. Takrat govorimo o anomaliji [12]. Osnova kvantne teorije polja oziroma umeritvene teorije je princip umeritvene simetrije. V tem primeru ano- malija signalizira porušitev umeritvene simetrije in posledično poruši konsistentnost kvantne teorije. Takšni anomaliji se lahko sicer izognemo, kar pa vodi do močne omejitve fizikalne vsebine teorije.

Drugi tip anomalij so anomalije, povezane z globalnimi simetrijami. Standardni primer v relativistični kvantni teoriji polja, ki v nerelativistični fiziki nima neposred- nega nasprotja, je prisotnost trikotniških anomalij [13]. Ko tako teorijo postavimo v zunanja umeritvena polja, sklopljena s tokovi, nekateri tokovi ne bodo več ohranjeni.

Prisotnost teh kvantnih trikotnih anomalij vodi do pomembnih modifikacij v enač- bah hidrodinamike. Taka teorija je še vedno konsistentna, le ohranitveni zakoni so spremenjeni. Na primer, v vročem in gostem mediju se kvantne anomalije izražajo makroskopsko. Ta sprememba bi morala biti pomembna v številnih fizikalnih situ- acijah, vključno s kvark-gluonsko plazmo, kjer je mogoče zanemariti majhne mase kvarka u in d. To je mogoče razložiti s kiralno simetrijo.

Kiralna simetrija [14] je invariantnost brezmasnega Diracovega delovanja pri kiral- nih rotacijah [15], kar pomeni, da so Diracovi fermioni brez mase. Trenutno vemo, da so mase kvarkov končne, toda v primerjavi s hadronskimi masami sta masi dveh najlažjih kvarkov (u in d) zelo majhni, tako da se lahko kiralna simetrija šteje za približno simetrijo močnih interakcij. Masivni fermioni ne kažejo kiralne simetrije, saj masni izraz v Lagrangianu eksplicitno lomi to simetrijo. Kralni magnetni efekt je separacija električnega naboja vzdolž magnetnega polja ob prisotnosti kiralnega neravnovesja [16], [17]. Ta efekt so že opazili v sistemih kondenzirane snovi [18], česar pa ne moremo reči za relativistične trke težkih ionov.

Trenutno lastnosti kvark-gluonske plazme preučujejo v dveh ionskih trkalnikih: v Velikem hadronskem trkalniku v Cernu in v Relativističnem trkalniku težkih ionov nacionalnega laboratorija Brookhaven. V teh trkalnikih nastanejo izredno močna magnetna polja, ki so generirana v začetnih fazah trka. Razlog, zakaj lahko trki težkih ionov generirajo magnetno polje, je preprost: jedra so pozitivno nabita in ko

se premikajo, ustvarjajo električne tokove, ki posledično inducirajo magnetna polja.

V necentralnih trkih težkih ionov dve jedri trčita in deli jedra, ki ne sodelujejo v trku (gledalci), generirajo izjemno močna magnetna polja [19]. Ta magnetna polja so ocenjena na velikost eB∼10¹⁴T - 10¹⁵ T [20], [21] in so največja, ki jih poznamo v vesolju³. Magnetna polja pri teh trkih razpadejo zelo hitro s časom. Večja, kot je energija trka, hitreje bo magnetno polje razpadlo. Pomembno vlogo pri trkih težkih ionov igrata električna prevodnost in kiralna magnetna prevodnost [16]. V primeru, ko imamo prisotni kiralni magnetni efekt, dobimo magnetno polje v vseh smereh in ne samo v eni smeri kot v primeru, če omenjeni efekt ni prisoten. Izkaže se tudi, da so močna magnetna polja prisotna že zelo zgodaj po trku in se le približno tretjina maksimalnega magnetnega polja ohrani, ko preidejo v fazo kvark-gluonske plazme.

Tudi v fazi kvark-gluonske plazme ta magnetna polja hitro razpadejo in se ob koncu te faze zmanjšajo za dva reda velikosti. Trenutno še ni jasno, kako velik vpliv imajo res ta magnetna polja na kvark-gluonsko plazmo, je pa to področje aktivnega razi- skovanja.

Struktura magistrskega dela je naslednja: osnove magnetohidrodinamike so opi- sane v poglavju 2. Najprej je opisana posebna limita magnetohidrodinamike, za opis katere uporabimo navadne globalne simetrije, medtem ko pa za opis splošne limite magnetohidrodinamike uporabimo generalizirane globalne simetrije. Pri tr- kih težkih ionov nastanejo močna elektromagnetna polja in magnetohidrodinamika predstavlja odlično orodje za opis teh polj v kvark-gluonski plazmi. Kako in pod kakšnimi pogoji nastanejo ta polja, je predstavljeno v poglavju 3. V poglavju 4 je prikaz izračuna magnetnega polja, če je prisotna samo konstantna električna prevodnost. Magnetno polje je prisotno samo v smeri, ki je pravokotno na rav- nino trka. V zadnjih nekaj letih je bila predstavljena ideja, da zunanje magnetno polje povzroči kiralno anomalijo in posledično je pri trkih težkih ionov prisoten kiralni magnetni efekt. Kako se spremeni rezultat magnetnega polja v tem primeru, v katerih smereh sedaj dobimo magnetno polje in kako močno je to magnetno polje, je predstavljeno v poglavju 5.

3V zgodnjem vesolju je bilo možno, da so se generirala še močnejša magnetna polja preko elektrošibkega faznega prehoda [22].

Poglavje 2

Osnove magnetohidrodinamike

Idealna magnetohidrodinamika je limitni režim, kar pomeni da zanemarimo vse disipativne procese, kot so končna viskoznost, električna upornost in toplotna prevodnost ter predpostavimo izotropni tlak. Ohranjanje magnetnega toka je neposredno povezano s popolno prevodnostjo. Tako kot v običajni mehaniki tekočin tudi idealne tekočine ne ponujajo celotne zgodbe, ampak jih je potrebno dopolniti z upoštevanjem disipativnih učinkov v mejnih plasteh, ki se običajno pojavijo, čeprav je koeficient disipacije lahko zelo majhen. Veliko vlogo pri razumevanju dinamike ultrarelativističnih trkov težkih ionov igra tudi relativistična dinamika tekočin.

Najprej bo predstavljena posebna limita magnetohidrodinamike, kjer prevladujejo navadne globalne simetrije, ki delujejo na lokalne operatorje, nabita stanja pa so delci. Za splošno razumevanje magnetohidrodinamike je potrebno vključiti disku- sijo posplošenih globalnih simetrij, kjer imamo nabite operatorje, ki so na primer Wilsonove linije, nabiti objekti pa so strune, membrane, domenske stene, itd. Take simetrije so lahko sklopljene s klasičnimi polji ozadja in so lahko umerjene s sešteva- njem po teh klasičnih poljih. V našem primeru bodo te strune magnetne silnice [23].

2.1 Spremenljivke in konstante

Preden nadaljujemo je koristno izraziti in pojasniti nekaj spremenljivk in konstant.

V tej magisterski nalogi izberemo sistem naravnih enot, v katerih so konstante ℏ = c = 1. Največkrat je uporabljen v fiziki visokih energij. Posledično so masa, gibalna količina in energija v enotah GeV in enotah dolžine in časa v GeV⁻¹. V tem primeru bo lažje delati z bolj preprostimi enotami, in sicer s Fermijevo dolžino, ki je

• 1 fermi = 1 fm = 10⁻¹⁵ m = 5.07 GeV⁻¹ = 3.33 ×10⁻²³ s

• 1 fm⁻¹ = 197 MeV.

Za enote magnetnega polja se uporablja Tesla (T), v nadaljevanju pa bomo moč magnetnega polja izrazili v fm⁻². Povezava med T in fm⁻² se izrazi preko količine Gauss (G)

• 1 T = 10⁴ G

• 1 G = 1.95 ×10⁻²⁰ GeV⁻²

• 1 fm⁻² = 1.99× 10¹⁸ G.

Metrika gµν bo imela naslednjo signaturo (−, +, +, +).

2.2 Idealna magnetohidrodinamika

Enačbe idealne magnetohidrodinamike opišejo gibanje popolnoma prevodne tekočine, ki interagira z magnetnim poljem. Iz tega razloga moramo združiti Maxwellove enačbe z enačbami plinske dinamike (v tem primeru so vsi disipativni procesi zanemarjeni) in zagotoviti enačbe, ki opisujejo interakcijo [2].

Prva enačba idealne magnetohidrodinamike je kontinuitetna enačba

∂ρ

∂t +∇ ·(ρv) = 0, (2.1)

kjer je ρ gostota plazme in v hitrost plazme. Enačba nam pove, da snov ni niti ustvarjena niti uničena. Parcialni odvod se nanaša na spremembo gostote na posa- mezni točki v prostoru, divergenca masnega toka pa pove, koliko plazme vstopa in izstopa iz regije.

Druga enačba je enačba gibanja elementa tekočine ali Eulerjeva enačba ob priso- tnosti Lorentzove sile

ρ [∂v

∂t + (v· ∇)v ]

=−∇P +j ×B, (2.2)

kjer je P termodinamični tlak, B magnetno polje in j gostota električnega toka.

Tretja enačba v najpreprostejšem adiabatskem primeru je enačba energije d

dt (P

ρ^γ )

= 0, (2.3)

kjer je γ razmerje specifičnih toplot ^C_C^p_v, katerega vrednost je običajno ⁵₃. V čisti vodikovi plazmi je enačba za tlak enaka

P = 2k_B

m_pρT, (2.4)

kjer je m_p masa protona in k_B je Boltzmannova konstanta.

Enačbo za magnetno polje dobimo iz Maxwellove enačbe. Začnemo z Ohmovim zakonom

j =σE^′, (2.5)

kjer je σ električna prevodnost in E^′ je električno polje, ki ga izkusi plazemski element v svojem mirujočem okviru. Ko se plazma giblje (glede na zunanje magnetno polje) s hitrostjo v, je Lorentzova transformacija

E^′ =E+v×B. (2.6)

2.3. Disipativna magnetohidrodinamika

V primeru idealne prevodnosti, σ→ ∞, enačbo (2.6) prepišemo v

E =−v×B. (2.7)

Z izračunom rotorja električnega poljaE in uporabo Faradayevega zakona

∇ ×E =−∂B

∂t (2.8)

lahko izključimo električno polje in dobimo četrto enačbo magnetohidrodinamike, ki je indukcijska enačba

∂B

∂t =∇ ×(v×B) (2.9)

in opisuje pojav magnetnega dinama.

Enačbe magnetohidrodinamike lahko zaključimo tako, daj izrazimo skozi magnetno polje ob upoštevanju Maxwellove enačbe,

∇ ×B− ∂E

∂t =µ₀j. (2.10)

Zaradi enačbe (2.6) lahko električno polje zapišemo kotE ∼V0B, kjer jeV0 značilna hitrost procesa. Kadar je proces nerelativističen, je prvi izraz veliko večji od drugega in dobimo

j = 1

µ₀∇ ×B. (2.11)

Magnetno polje mora izpolnjevati tudi pogoj ∇ ·B = 0, kar pomeni, da magnetni monopoli ne obstajajo [24].

2.3 Disipativna magnetohidrodinamika

V primeru disipativne magnetohidrodinamike je set enačb ρ∂v

∂t +ρ(v· ∇)v =−∇P − 1

µ₀B×(∇ ×B) +F, (2.12)

∂B

∂t =∇ ×(v×B) +η∇²B, (2.13)

∂ρ

∂t +∇(ρv) = 0, (2.14)

ρ^γ γ−1

d dt

( p ρ^γ

)

=−L. (2.15)

L je funkcija izgube ali pridobitve energije, parameterη predstavlja magnetno difu- zivnost, ki je povezana z električno prevodnostjoσ,

η= 1

µ0σ. (2.16)

Zunanjo silo označujemo s F in deluje na enoto prostornine plazme. Na primer, zunanja sila gravitacije in viskoznosti je lahko enaka

F =−ρg+νρ [

∇²v+1

3∇(∇ ·v) ]

, (2.17)

kjer je g gravitacijski pospešek, ν pa koeficient kinematične viskoznosti [2], [25].

2.4 Relativistična magnetohidrodinamika

Maxwellove enačbe

Elektromagnetno polje je v celoti opisano s Faradayevim elektromagnetnim tenzor- skim poljem F^µν z upoštevanjem Maxwellovih enačb

∇_νF^µν = 4πJ^µ, (2.18)

∇^∗_νF^µν = 0, (2.19)

kjer je ∇ kovariantni odvod, J^µ je nabiti četverec in ^∗F^µν dualni elektromagnetni tenzor polja, definiran preko relacije

∗F^µν = 1

2ϵ^µνγρF_γρ, (2.20)

kjer je ϵ_µνγρ Levi-Civita tenzor.

Magnetno polje B^α in električno poljeE^α sta izražena s četvercem hitrosti u

B^α=^∗F^αβu_β, (2.21)

E^α =F^αβu_β. (2.22)

Četverec toka J^µ izrazimo kot

J^µ =qu^µ+σF^µνuν, (2.23)

kjer je q ustrezna gostota naboja in σ je električna prevodnost. Če je tekočina popolni prevodnik (v primeru idealne magnetohidrodinamike), potem velja σ→ ∞. Če želimo ohraniti končni tok, je nujno potrebno uveljaviti F^µνuν = 0. V tem primeru lahko zapišemo elektromagnetni tenzor z magnetnim poljem b^µ

F^νσ =ϵ^αµνσb_αu_µ (2.24)

in dualnost tega izraza je

∗F^µν =b^µu^ν −b^νu^µ. (2.25) Na koncu dobimo Maxwellovo enačbo, ki je v obliki

∇^∗_νF^µν = 1

√−g∂_ν(√

−g(b^µu^ν −b^νu^µ))

= 0, (2.26)

kjer je g determinanta metrike g_µν [26], [27].

Ohranitvene enačbe

Enačbe za gostoto mase ρ, specifično notranjo energijo ϵ in tri vektor hitrosti vⁱ lahko izračunamo iz ohranitve barionskega števila

∇_ν(ρu^ν) = 0, (2.27)

ohranitve tenzorja energije in gibalne količine

∇νT^µν = 0, (2.28)

2.5. Splošna limita magnetohidrodinamike

ter iz enačbe stanja, ki povezuje tlak p z masno gostoto ρ in s specifično termalno energijo ϵ.

Tenzor energije in gibalne količine T^µν lahko razdelimo na dva dela: en del je za tekočino T_tekočina^µν in drugi del je za elektromagnetno polje T_em^µν. Za idealno tekočino je tenzor energije in gibalne količine

T_tekočina^µν =ρhu^µu^ν +pg^µν, h= 1 +ϵ+ p

ρ, (2.29)

kjer je h specifična relativistična entalpija in tenzor energije in gibalne količine za elektromagnetno polje je

T_em^µν = 1 4π

(

F^µ_γF^νγ− 1

4g^µνFγδF^γδ )

. (2.30)

Z uporabo definicije magnetnega polja b, lahko zapišemo tenzor energije in gibalne količine za elektromagnetno polje kot

T_em^µν = (

u^µu^ν +1 2g^µν

)

b²−b^µb^ν. (2.31)

Skupni tenzor energije in gibalne količine je T^µν =(

ρh+b²)

u^µu^ν + (

p+ 1 2b²

)

g^µν −b^µb^ν. (2.32) Kot lahko vidimo zgoraj, Maxwellove enačbe in konzervativne enačbe opisujejo med- sebojno interakcijo pretoka tekočine in magnetnega polja [26], [27].

2.5 Splošna limita magnetohidrodinamike

Te simetrije prinesejo tok oblike 2-formaJ^µν, katere s Hodgeovo zvezdo integriramo preko kodimenzionalne-2 površine, da dobimo ohranjen naboj

Q=

∫

S

⋆J. (2.33)

Ohranjen naboj Q si lahko predstavljamo kot štetje strun. Strune se ne končajo v prostoru ali času in integral čez kodimenzionalno-2 površino je dovolj, da zajamemo vse te strune. To je prikazano tudi na sliki (2.1). Ti objekti so nabiti pod simetrijo oblike 1-forma in so enodimenzionalni objekti, kot so Wilsonove ali ’t Hooftove linije.

V primeru elektromagnetizma je tok oblike 2-forma podan z J^µν = 1

2ϵ^µνρσF_ρσ (2.34)

in strune, ki jih štejemo so linije magnetnega polja. To podpoglavje je v celoti povzeto po [28].

Slika 2.1: Integracija čez kodimenzionalno-2 površinoS šteje število strun, ki jo le-te prečkajo v določenem času.

2.5.1 Idealna magnetohidrodinamika

V tem primeru hidrodinamična teorija opiše dinamiko počasi razvijajočih ohranjenih nabojev, ki sta tenzor energije in gibalne količine T^µν ter tenzor antisimetričnega toka J^µν.

Sklopitev z zunanjimi izvori

Najprej poglejmo, kaj se zgodi, če sklopimo sistem z zunanjim izvorom. Toka defi- niramo kot

T^µν(x) = 2

√−g δS

δg_µν(x), (2.35)

J^µν(x) = 2

√−g δS

δb_µν(x), (2.36)

kjer je metrikag_µν zunanji izvor za tenzor energije in gibalne količineT^µνter umerit- veno polje izvora bµν sklopimo z antisimetričnim tokom J^µν, tako da deformiramo mikroskopsko akcijo na masni lupini S₀

S[b] =S₀+ ∆S[b], (2.37)

kjer je

∆S[b] =

∫

d⁴x√

−gb_µνJ^µν. (2.38)

Z zahtevo invariance te akcije pod umeritveno simetrijo δ_Λb =dΛ, kjer je Λ umerit- veni parameter, dobimo rezultat

∇µJ^µν = 0. (2.39)

Če zahtevamo invarianco pod infinitezimalnim difeomorfizmom, ki deluje na izvor kot Liejev odvod, dobimo neohranjen tenzor energije in gibalne količine v prisotnosti

2.5. Splošna limita magnetohidrodinamike

izvora

∇_µT^µν =H_ρσ^ν J^ρσ, (2.40)

kjer je H = db. Člen na desni strani nam pove, da zunanji izvor deluje na sistem.

Spremenljivko b si lahko predstavljamo kot kemični potencial µ za naboj J^ti. De- jansko magnetno polje, ki ga ustvari ta kemični potencial v z smeri, je kontroliran s termodinamično funkcijo; susceptibilnostjo za ohranjeno gostoto naboja J^tz.

Kot primer si lahko predstavljamo elektrodinamično teorijo, ki je sklopljena s takim zunanjim poljem. Tok zapišemo kot

J^µν =ϵ^µνρσ∂_ρA_σ, (2.41)

kjer je A umeritveni potencial elektrodinamike. Akcija sklopite je

∆S[b] =

∫

d⁴x√

−gA_σj_zunanji^σ (2.42)

ter zunanji tok

j_zunanji^σ =ϵ^µνρσ∂_ρb_µν. (2.43) Moč polja H, povezanega z b, lahko interpretiramo kot zunanji električni nabolj gostote ozadja, na katera se sistem odziva.

Tenzor energije in gibalne količine ter tok

Poglejmo si idealno hidrodinamiko pri temperaturi različni od 0. Matrika gostote toplotnega ravnovesja je podana z

ρ(T, µ) = exp (

−1

T(H−µQ) )

, (2.44)

kjer je µ kemični potencial, ki je povezan z nabojem oblike 2-forma, in Q šteje šte- vilo črt polja, ki v vsakem trenutku prečkajo določeno površino S, zato se zaradi deformacij površina v prostoru in času ne spremeni.

Sedaj zapišimo tenzor energije in gibalne količine

T₍₀₎^µν = (ϵ+p)u^µu^ν +pg^µν −µρh^µh^ν (2.45) ter tok

J₍₀₎^µν = 2ρu^[µh^ν], (2.46) kjer je p tlak, ρ ohranjena gostota toka, u^µ hitrost tekočine in h^µ je smer v smeri črt polja. Zau^µ in h^µ veljajo naslednje lastnosti

u_µu^µ =−1, h_µh^µ= 1, h_µu^µ= 0. (2.47) Enačbi (2.45) in (2.46) zadoščata ohranitvenim enačbam v idealni limiti

∇_µT₍₀₎^µν = 0, ∇_µJ₍₀₎^µν = 0. (2.48) Koristno je tudi vzeti projektor na 2 dimenzionalni podprostor, ki je ortogonalen na u inh

∆^µν =g^µν+u^µu^ν −h^µh^ν, (2.49)

kjer je sled ∆^µ_µ=2. Kot vidimo, nimamo mešanja med u in h, kar lahko odstra- nimo brez izgube splošnosti z Lorentzovim potiskom v (u, h) ravnini. Prisotnost člena h^µh^ν v tenzorju energije in gibalne količine predstavlja napetost v polju črt.

Koeficient v ravnovesju je člen µρ. Termodinamika je določena s eno enačbo stanja in to je tlak kot funkcija temperature in kemičnega potenciala p(T, µ). Relevantne termodinamične relacije so

ϵ+p=T s+µρ, dp=sdT +ρdµ, (2.50) kjer je s gostota entropije.

Hidrodinamika je teorija, ki opisuje sistem, ki je v lokalnem termalnem ravnovesju, globalno pa je lahko daleč od ravnovesja. V tem primeru termodinamične stopnje svobode postanejo hidrodinamična polja, odvisna od prostora in časa. Stopnje svo- bode sta vektorjau^µ,h^µin skalarja µinT. Dobimo sedem stopenj svobode. Enačbi gibanja sta ohranjeni enačbi (2.39) in (2.40). Ker je J antisimetričen, ena od enačb za ohranitev J ne vsebuje časovnega odvoda in je konstantna pri začetnih pogojih.

To omejitev dosledno širijo preostale enačbe gibanja, s čimer učinkovito ostane šest enačb za šest spremenljivk. Dobimo zaprt sistem.

Če pomnožimo u^µ z enačbo (2.45) in uporabimo termodinamične relacije, dobimo u_ν∇_µT^µν =−T∇_µ(su^µ)−µ∂_µ(ρu^µ)−µρ(u_ν∇_µh^ν)h^µ = 0 (2.51) in če pomnožimo h^µ z enačbo (2.46), dobimo

h_ν∇_µJ^µν =∇_µ(ρu^µ)−ρh^µ(∇_µu^νh_ν) = 0. (2.52) Enačbo (2.52) vstavimo v (2.51), člen ∇µu^νhν izenačimo z 0 in dobimo

∇_µ(su^µ) = 0. (2.53)

Vidimo, da je lokalna entropija ohranjena.

Sedaj si poglejmo še Eulerjeve enačbe za gibanje tekočine v vzporedni in pravo- kotni smeri glede na polje ozadja

h_ν[(ϵ+p)u^µ∇_µu^ν +∇^νp]− ∇_µ(µρh^µ) = 0, (2.54)

∆_νσ[(ϵ+p)u^µ∇_µu^ν +∇^νp−µρh^µ∇_µh^ν] = 0. (2.55) Evolucija magnetnega polja je podana s projekcijo ohranjene enačbe za J^µν

∆νσ(u^µ∇µu^ν −h^µ∇µu^ν) = 0. (2.56) Enačba pove, da transverzalni del magnetnega polja kaže v smeri Liejevega odvoda s hitrostjo tekočine. To je najbolj splošen sistem, ki ima simetrije Maxwellove elekt- rodinamike sklopljene z nabito snovjo.

2.5. Splošna limita magnetohidrodinamike

2.5.2 Disipativna magnetohidrodinamika

Določimo lahko tudi prvi red tenzorja energije in gibalne količine ter toka

T^µν =T₍₀₎^µν+T₍₁₎^µν..., (2.57) J^µν =J₍₀₎^µν+J₍₁₎^µν..., (2.58) kjer sta T₍₀₎^µν in J₍₀₎^µν določena iz idealne magnetohidrodinamike. Sedaj pa moramo določiti poporavke prvega reda za hitrost in magnetno polje. Te popravke bomo parametrizirali s transportnimi koeficienti, kot sta viskoznost in upornost.

Najbolj splošni obliki prvega reda tenzorja in toka sta

T₍₁₎^µν =δϵu^µu^ν +δf∆^µν+δτ h^µh^ν + 2l^(µh^ν)+ 2k^(µu^ν)+t^µν, (2.59) J₍₁₎^µν = 2δρu^[µh^ν]+ 2m^[µh^ν]+ 2n^[µu^ν]+s^µν, (2.60) kjer so k^µ, l^µ, m^µ in n^µ transverzalni vektorji, ki so ortogonalni na u^µ in h^µ, t^µ je transverzalen, brezsleden in simetričen tenzor in s^µ je transverzalen, antisimetričen tenzor. Vsako polje je lahko infinitezimalno redefinirano kotu^µ(x)→u^µ(x)+δu^µ(x). Tok in tenzor energije in gibalne količine morata ostati invariantna pod to operacijo in taka redefinicija spremeni funkcionalno obliko razmerja med tokovi in spremen- ljivkami tekočine.

Uporabimo skalarno redefinicijo µ in T, da nastavimo δρ = δϵ = 0 in vektorsko redefinicijo u^µ in h^µ, da nastavimo n^µ=k^µ = 0. Dobimo bolj preprosta izraza

T₍₁₎^µν =δf∆^µν +δτ h^µh^ν + 2l^(µh^ν)+t^µν, (2.61) J₍₁₎^µν = 2m^[µh^ν]+s^µν. (2.62) Poglejmo si kakšen izraz dobimo za entropijo toka S^µ. S pomočjo termodinamične relacije dobimo kovariantni izraz

T S^µ=su^µ−T^µνu^ν −µJ^µνh_ν, (2.63) kar je ekvivalentno toku entropije

S^µ =su^µ− 1

TT₍₁₎^µνu^ν − µ

TJ₍₁₎^µνh_ν. (2.64) Dobljeno entropijo toka sedaj pomnožimo z divergenco, uporabimo enačbi (2.40) in (2.39) in dobimo

∇_µS^µ=− [

T₍₁₎^µν∇_µ(uν

T )

+J₍₁₎^µν (

∇_µ (hνµ

T )

+u_σH_µν^σ T

)]

. (2.65) Vidimo, da entropija ni več ohranjena. Drugi zakon termodinamike pravi, da mora entropija vedno naraščati, zato mora biti desna stran enačbe pozitivno definitna kvadratna forma za vse možne pretoke tekočin.

Transportni koeficient r_||,⊥ lahko interpretiramo kot električno upornost vzporedno in pravokotno na magnetno polje. Električno polje je definirano kot moč elektromag- netnega polja E^µ=F^µνuν. Z uporabo enačbe (2.34) dobimo

E_µ =−1

2ϵ_µνρσu^νJ^ρσ =−1

2ϵ_µνρσu^ν(

2m^[ρh^σ]+s^ρσ+...)

. (2.66)

Upornost je definirana kot električni tok oblike 1-forma, ki je posledica zunanjega električnega polja. Opisani formalizem študira tok oblike 2-forme kot posledica J^µν v teoriji polja z akcijo S[b], ki je deformiran s fiksnim zunanjim poljem izvora. S pomočjo Legendrejeve transformacije poiščemo analogno kvantno efektivno akcijo Γ[¯J], ki je funkcija toka oblike 2-forma ¯J

Γ[¯J] =S[b]−

∫

d⁴x√

−gb_µν¯J^µν. (2.67)

S[b] definiramo kot akcijo na masni lupini v prisotnosti izvora polja b. Definirajmo sedaj električni tok oblike 2-forma

¯j^µ(x) = δΓ[¯J]

δA¯_µ(x) =−ϵ^µνρσδ_νb_ρσ. (2.68) V primerjavi z zunanjim fiksnim izvorom, ki je definiram z enačbo (2.43) imamo tukaj negativni predznak, to je posledica Legendrove transformacije in razlike, če imamo fiksni zunanji tok ali pa če imamo tokovni odziv.

Določimo sedaj povezavo med električnim poljem in tokom oblike 1-forma. Pred- stavljajmo si statičen in homogen pretok tekočine z

u^ν(x) = δ_t^µ, h^ν(x) =δ^µ_z, (2.69) v prisotnosti homogenega in časovno odvisnega izvora polja b_xy(t) in b_xz(t). Potem lahko iz enačbe (2.68) polje b interpretiramo kot odziv električnega toka¯j^z =−2˙bxy

in ¯j^y = 2˙b_xz . V enačbo (2.66) vstavimo disipativne popravke in dobimo izraza za električno polje

E_z =r||¯j^z, E_y =r⊥¯j^y. (2.70) r||,⊥ sta anizotropni upornosti.

V hidrodinamiki tekočin z anomalnimi globalnimi simetrijami drugi zakon zahteva dodatni člen pri entropijskem toku. To sčasoma povzroči dodatne transportne koe- ficiente, ki ustrezajo kiralnemu magnetnemu efektu.

2.5.3 Magnetohidrodinamika pri temperaturi nič

Generalizirana magnetohidrodinamika omogoča, da vzamemo limitoT = 0, medtem ko pri standardnem formalizmu tega ne moremo narediti. V tem primeru nimamo disipativnih procesov. To vodi v dolgotrajna vzbujanja, ki niso nujno posledica ohranitvenih zakonov in posledično so prisotne brezmasne ekcitacije, ki morajo biti vključene v opis teh sistemov.

2.5. Splošna limita magnetohidrodinamike

Pri T ̸= 0 in µ = 0 je prisoten vzorec zloma simetrije iz SO(3,1) → SO(3). Pri µ̸= 0 je zlomljenih več simetrij; prisotnost zunanjega magnetnega polja vodi do iz- bire prednostne prostorske smeri, ki posledično zlomi Lorentzovo simetrijo (SO(3,1)

→SO(2)). PriT = 0 obstaja samo antisimetrični tenzor v ozadju, ki je odgovoren za magnetno polje. Ta konfiguracija je invariantna pod Lorentzovim potiskom vzdolž linij magnetnega polja. V temu primeru se zlomi simetrija SO(3,1) → SO(1,1)× SO(2).

Poglavje 3

Magnetohidrodinamika v trkalnikih težkih ionov

Trk dveh ultrarelativističnih težkih ionov povzroči nastanek majhne količine nove snovi, imenovane kvark-gluonska plazma. Ta izredno vroča snov z visoko gostoto je sestavljena iz prostih kvarkov, antikvarkov in gluonov, ki so med seboj močno pove- zani in tvorijo medij z lastnostmi tekočine. Življenjska doba kvark-gluonske plazme, preden se veže v hadrone, je približno 10⁻²⁴, zato z detektorji lahko merijo le delce, ki nastanejo iz kvark-gluonske plazme, ne pa tudi samega medija, zaradi česar je analiza kvark-gluonske plazme zelo zapletena. V teh trkih bi morala biti prisotna velika elektromagnetna polja, ki vplivajo na razvoj te plazme. Njegove lastnosti se večinoma določajo s preučevanjem toplotnih fotonov, curka ali eliptičnim tokom.

Študija kvark-gluonske plazme v laboratoriju je tudi edini eksperimentalno dosto- pen pristop za izboljšanje razumevanja zgodnjega vesolja, ko je bilo vesolje staro le nekaj mikrosekund [2], [9], [24].

3.1 Kvark-gluonska plazma

Kvark-gluonska plazma je stanje ekstremno goste snovi, ki je sestavljena iz pro- stih kvarkov in gluonov. Le nekaj mikrosekund po velikem poku je bilo vesolje sestavljeno iz te plazme. S širjenjem in hlajenjem vesolja so iz kvark-gluonske plazme nastali hadroni, predvsem protoni in nevtroni, ki so kasneje tvorili atomsko jedro. Plazme ne moremo opazovati v naravi, vendar trkalniki težkih delcev ponujajo izjemen vpogled v to zanimivo snov [9].

Kvark-gluonsko plazmo proučuje kvantna kromodinamika. Opisuje močne interak- cije kvarkov in gluonov. Ti delci so gradniki hadronov. Kvarki so delci s spinom

1

2, ki nosijo barvni¹ in električni naboj, ki pa ni cel, temveč je za u, c in t kvarke +²₃e ter za d, s, b kvarke -¹₃e. Nosilci barvne interakcije so gluoni, brezmasni delci s spinom 1 in imajo podobno vlogo kot fotoni v kvantni elektrodinamiki. Kvarki in antikvarki tvorijo mezone in barione ter so vezani z gluoni. Moč močne sile se zmanjšuje z zmanjšanjem razdalje in povečuje z naraščajočo razdaljo med kvarki.

1Barvni naboj je značilnost kvarkov in gluonov in ima podoben pomen kot električni naboj v kvantni elektrodinamiki. Poznamo tri oblike pojavljanja barvnega naboja, ki jih imamo za analogne trem barvam: rdeča, modra in zelena [30].

Takšno obnašanje močne sile je nasprotno elektromagnetizmu in gravitaciji. Pove- zava med dvema kvarkoma se z razdaljo povečuje, tako da je ustvarjanje novega para kvarkov iz vakuuma ugodnejše od izolacije kvarka in antikvarka, če ločimo par kvarkov in antikvarkov. Ti pojavi so znani kot zaprtost kvarkov, to pomeni, da kvarki so omejeni na hadrone in v naravi ne morejo obstajati samostojno. Kvantna kromodinamika ima posebno lastnost, ki se imenuje asimptotska svoboda. Velikost sklopitvene konstante močne sile pada z naraščajočo energijo. Samostojni kvarki še nikoli niso bili opaženi pri normalni temperaturi in gostoti energije. Če se gostota energije in temperatura sistema dovolj povečata, se običajna jedrska snov (protoni in nevtroni) razgradi v morje prostih kvarkov in gluonov. To se zgodi nad kritično temperaturo,T_c, ki je približno 175 MeV glede na kvantno kromodinamiko na mreži² [30], [31], [32].

3.2 Trk

Za razliko od končnih produktov, ki jih lahko merimo, je faza kvark-gluonske plazme nemerljiva [9], [31]. Da bi si lažje predstavljali, kaj se dogaja pri trku težkih ionov, lahko razdelimo potek trka na šest stopenj:

• Začetno stanje: Dve jedri pospešujeta in se v obliki ploščatih kapljic gibljeta eden proti drugemu zaradi Lorentzove sile. To je mogoče razložiti z Gubserjevim tokom³.

• Termalizacija – hidrodinamizacija: Dve ploščati kapljici trčita in večina interakcij kvarkov, antikvarkov in gluonov je mehka. To pomeni, da izgu- bijo nekaj energije, vendar vsebujejo malo prečnega prenosa gibalne količine (njihova začetna pot se ne spremeni veliko). Sistem se približuje toplotnemu ravnovesju.

• Kvark-gluonska plazma: Ko trčita jedri, je majhen del partonov⁴, ki trčijo vključen v močne perturbativne interakcije. To vodi do proizvodnje partonov z velikim prečnim zagonom.

• Hadronizacija: Energijska gostota in temperatura snovi se neprestano zmanj- šujeta, dokler interakcija med partoni ni dovolj močna, da partone spremeni v hadrone – curke številnih delcev v smeri potovanja začetnega kvarka.

• Hadronski plin: Hadroni kažejo kolektivno vedenje, čeprav so šibko povezani.

Sistem je v ravnovesju in se obnaša kot razredčen plin.

• Zamrznitev: Ko skupna gostota energije pade pod gostoto energije znotraj posameznega hadrona (približno 500 MeV/fm³), se lokalna termizacija prekine in kvark-gluonska plazma razpade v gosto meglo hadronov. Interakcija med hadroni postane šibka in povprečna prosta pot hadronov je večja od velikosti sistema.

2Kvantna kromodinamika na mreži je neperturbativni pristop k reševanju kvatne kromodina- mike, teorije kvarkov in gluonov [29].

3Gubserjev model opisuje simetrične sisteme, ki se v prečni ravnini azimutno razširijo in pove- čajo nespremenljivo vzdolžno širitev (SO(1,1)×SO(3)×Z2) [33].

4Parton je katerikoli osnovni delec, ki sestavlja hadrone.

3.3. Parameter udarca

Stopnje trka delcev so prikazane tudi na sliki (3.1).

Slika 3.1: Slika prikazuje različne stopnje trka težkih delcev.

3.3 Parameter udarca

Pomembno vlogo pri trkih težkih ionov igra parameter udarca, ki ga označujemo z b. Predstavlja prečno razdaljo med središčema mase obeh jeder in določa velikost prekrivajočega se območja med dvema jedroma, ki trčita. Na sliki (3.2) je prikazana ilustracija takega trka. Ko je parameter udarca majhen, je trk skoraj osrednji.

V tem primeru imajo partoni z visoko prečno gibalno količino daljše poti znotraj kvark-gluonske plazme. V povprečju izgubijo več energije in ponavadi dosežejo tudi največjo gostoto energije. Trk z velikim parametrom trka ima majhno območje prekrivanja. Deli vpadnih jeder, ki ne trčijo, že zelo zgodaj ustvarijo magnetno polje v območju trka. V skrajni meji težki ioni preidejo eden drugega, toda Lorentzov disk elektromagnetnih polj okoli njih še vedno deluje [34].

3.4 Elektromagnetno polje

Potek trka je zelo dobro znan in prisotnost zgodnjega magnetnega polja ima lahko opazne posledice na gibanje nabitih delcev v končnem stanju, ki jih vidimo v detektorjih. Raziskati je mogoče izvor indukcije električnih tokov, ki jih nosijo nabiti kvarki in antikvarki v kvark-gluonski plazmi in kasneje nabiti hadroni. Iz- vor teh nabitih tokov je dvojen. Prvič, zaradi premikajočih se gledalcev obstaja elektromagnetno polje. Ti gibljivi nabiti gledalci ustvarjajo magnetno polje in ko se odmaknejo od kvark-gluonske plazme, se njihovo elektromagnetno polje zelo zniža.

Zaradi tega se elektromagnetno polje spreminja v času. Spreminjajoče se magnetno

Slika 3.2: Slika prikazuje geometrijo trka delcev.

polje povzroči električno polje zaradi Faradayevega zakona, to pa proizvede elek- trični tok v prevodnem mediju. Drugič, Lorentzova sila, F =qE+qv×B, sproži Hallov pojav. Ta sila je pravokotna na vzdolžno hitrost in magnetno polje. Hallov učinek se pojavi, ker so nabiti delci različnih znakov usmerjeni na nasprotne strani, kar pa ustvari drugo električno polje. Skupni električni tok je vsota tokov zaradi Faradayevega in Hallovega pojava.

Hitrost v, ki vsebuje prispevek elektromagnetnega polja pridobimo z Lorentzovim pospeševanjem lokalnega okvira za tekočine v mirujočem stanju, v katerem velja u^′µ = 0. Da dobimo hitrost zaradi elektromagnetnega poljav^′, je treba rešiti enačbo gibanja

mdv^′

dt =qv^′×B^′+qE^′−µmv^′ = 0, (3.1) pri čemer jeµkoeficient upora, kar pomeni, da zadnji člen opisuje uporno silo na ele- ment tekočine z maso m, na katerega deluje elektromagnetna sila. Koeficient upora µ je izbran iz N = 4 supersimetrične Yang-Mills teorije [35], [36], ki je natančno znana le za težke kvarke

µm= π√ λ

2 T², (3.2)

kjer je λ = g²Nc ’t Hooft sklopitev, g je umeritvena sklopitev in Nc je število barv. Za lažji izračun magnetnih polj se lahko predpostavi, da je µm konstanta pri T = 1.5T_c, kjer je T_c ∼ 170MeV temperatura prehoda hadronov v kvark-gluonsko plazmo.

Enačbo (3.1) je mogoče rešiti za u kvarke in d antikvarke. Posledično dobimo pozi- tivno nabite delce. Dve najdeni hitrosti povprečimo, da dobimo končno hitrost. Pri negativno nabitih delcih se uporabljajo antikvarki u in kvarki d. Gostota delcev za u in d kvarke in antikvarke je enaka, zato je mogoče zanemariti kemijske potenciale za barionsko število ali izospin. Za negativne delce bo značilno −v^′. Ko rešimo to

3.4. Elektromagnetno polje

enačbo, jo tranformiramo nazaj v prvotni okvir z vključitvijo u_µ in dobimo končni četverec hitrosti V_µ. Četverec hitrosti V^µ vsebuje tako hitrost pozitivno (ali nega- tivno) nabitih delcev zaradi elektromagnetnih učinkov in veliko večjo, od naboja neodvisno hitrost zaradi ekspanzije plazme [31], [37].

Poglavje 4

Magnetno polje v kvark-gluonski plazmi z električno prevodnostjo

4.1 Električna prevodnost

Električna prevodnost [38], ki jo označujemo zσ, je ključna količina za razumevanje vedenja in lastnosti močno interagirajoče snovi. Igra pomembno vlogo pri hidrodina- mičnem razvoju snovi, ki nastane pri trkih s težkimi ioni. Od električne prevodnosti je odvisno v kolikšni meri bo električno polje vplivalo na medij. Posledično nastane zelo močen električni tok. Za izračun električne prevodnosti je priročno, da vza- memo konstantno vrednost, saj v tem primeru lahko dobimo analitične rešitve.

Eksperimentalne meritve električne prevodnosti snovi, ki nastane v trkih težkih del- cev, niso možne. Njene informacije lahko pridobimo iz parametrov toka, ki je merjen v teh eksperimentih. Uporabljenih je bilo veliko teoretičnih pristopov za izračun le-te. Eden izmed teh pristopov je preko kvantne kromodinamike na mreži. Rezul- tati izračunov so prikazani v obliki C⁻¹emσ/T, kjer je C⁻¹em =(₄

9 +¹₉ + ¹₉)

e²=0.061 za tri okuse¹ kvantne kromodinamike. Pri temperaturi T=1.5Tc je vrednost C_em⁻¹ med 0.2 in 0.4 [39], [40]. Kot v članku [29] si izberemo za nadaljnji izračun vrednost σ= 0.023fm⁻¹, ki ustreza C⁻¹emσ/T= 0.3 pri T=1.5Tc.

4.2 Izračun magnetnega polja

Preden se spustimo v sam izračun magnetnega polja, si poglejmo še koordinatni sistem, ki bo uporabljen v nadaljevanju. Zaradi postavitve detektorja je upo- rabno, da ne merimo običajne gibalne količine, ampak merimo transverzalno gibalno količino². Gibalna količina kaže v smeri transverzalne ravnine, ki je ortogonalna na ravnino trka (zˆ), se pravi v smeri xy ravnine. Azimutalni kot (ϕ) je definiran kot kot v transverzalni raznini. Koordinata x^⊥ je ekvivalentna √

x²+y² v kartezičnih ko- ordinatah. Psevdohitrost (η) je prostorska koordinata, ki opisuje kot delca glede na ravnino trka. Hitrost (Y) ni koordinata, ampak je alternativni način za opis hitrosti.

1Izraz okus se nanaša na različne vrste osnovnih delcev. Poznamo šest okusov kvarkov in šest okusov leptonov.

2Transverzalna gibalna količina je posledica trka in za to vsebuje vse informacije o trku.

prevodnostjo

Nabiti ioni (gledalci) pri necentralnem trku povzročijo nastanek magnetnega po- lja. Elektromagnetno polje v kvark-gluonski plazmi dobimo iz Maxwellovih enačb in z uporabo Ohmovega zakona. Maxwellove enačbe zapišemo v obliki

∇ ×E=−∂B

∂t , (4.1)

∇ ·B = 0, (4.2)

∇ ·E =eδ(z−vt)δ(x_⊥−x^′_⊥), (4.3) kjer za gibajočo se gostoto naboja uporabimo Diracovo delta funkcijo. Prva delta funkcija označuje smer v katero se delec giblje, se pravi v zˆ smer. Druga delta funkcija pa predstavlja pozicijo v transverzalni ravnini, ki jo označimo z x⊥ in označuje smer parametra udarca. Torej gostoto električnega toka za točkasti delec z nabojem e, ki se giblje v smeri +z s konstantno hitrostjo v, zapišemo kot

j =evzδ(zˆ −vt)δ(b). (4.4) Zadnja Maxwellova enačba je

∇ ×B=−∂E

∂t +σE+evˆzδ(z−vt)δ(x⊥−x^′_⊥). (4.5) Enačbo (4.5) pomnožimo z×∇in dobimo valovno enačbo drugega reda za magnetno polje

∇²B− ∂²B

∂t² −σ∂B

∂t =−ev∇ ×[ˆzδ(z−vt)δ(b)]. (4.6) Namesto x_⊥−x^′_⊥ lahko pišemo b. Reševanja valovne enačbe se lotimo preko Gree- novih funkcij [41], ki jih uporabimo, če imamo linearne diferencialne enačbe, kot so to v našem primeru. Greenovo funkcijo definiramo

LG(x) =δ(x−s), (4.7)

kjer je L linearni diferencialni operator in G(x) je funkcija, ki bi jo radi poznali.

Greenovo funkcijo primerjamo z nastavkom

Lu(x) =f(x), (4.8)

integriramo in dobimo Lu(x) =

∫

LG(x, s)f(s)ds=L [∫

G(x, s)f(s)ds ]

(4.9) Linearni diferencialni operator Ldeluje na x. Sedaj se lahko znebimo diferencialnih operatorjev in dobimo rešitev za u(x)

u(x) =

∫

G(x, s)f(s)ds. (4.10)

Operator L je transverzalno invarianten, zato lahko G(x, s) prepišemo v G(x−s). Namesto u(x) zapišemo B(z,b, z) inf(s)se prepiše v

f(z^′,b^′, t^′) =−ev∇ ×(ˆzδ(z^′−vt^′)δ(b^′)). (4.11)

4.2. Izračun magnetnega polja

Dobimo izraz za magnetno polje B(z,b, t) =

∫ dz^′

∫ d²b^′

∫

dt^′G(z−z^′,b−b^′, t−t^′)ev∇ ×[ˆzδ(z−vt)δ(b)]. (4.12) Greenova funkcija mora zadostiti linearnemu diferencialnemu operatorju iz enačbe (4.6)

∇²G_f − ∂²G_f

∂t² −σ∂G_f

∂t =−δ(z−z^′)δ(b−b^′)δ(t−t^′). (4.13) Za rešitev zgornje Greenove enačbe bomo uporabili tri Fourierove transformacije, ki so

F_zG(z,b, t, z^′,b^′, t^′) =

∫ ∞

−∞

G(k_z,b, t, z^′,b^′, t^′)e^ikzzdz, (4.14) FbG(z,b, t, z^′,b^′, t^′) =

∫ ∞

−∞

G(z,k⊥, t, z^′,b^′, t^′)eⁱk⊥·bd²b, (4.15) F_tG(z,b, ω, z^′,b^′, t^′) =

∫ ∞

−∞

G(k_z,b, t, z^′,b^′, t^′)e^ikzzdz. (4.16) Leva stran enačbe (4.13) se nato prepiše v

F(t,x) =

∫ ∞

−∞

dωd³k

(2π)⁴ e^−iωt+ik^·xF(ω,k) (4.17) in dobimo

∇²G_f − ∂²Gf

∂t² −σ∂Gf

∂t =−(k_⊥² +k²_z)G_f +ω²G_f +iωσG_f. (4.18) Desno stran enačbe izračunamo preko nastavka

F(δ(x−x_o)) =

∫ ∞

−∞

e^−ikxδ(x−x_o)δx =e^−ikxo, (4.19) da dobimo

(k_⊥² +k_z²)G_f −ω²G_f −iωσG_f +σ_χik×G_f =e^−ikzz′e^−ik⊥·b^′e^−iky·y^′e^−iωt′. (4.20) Iz enačbe (4.20) izrazimo G_f

G_f(k_z, k⊥, ω) = e^−ikzz′e^−ik⊥·b^′e^−iωt′

k_⊥² +k²_z−ω²−iωσ. (4.21) V naslednjem koraku naredimo inverzno Fourierovo transformacijo in dobimo nazaj originalno Greenovo funkcijo

G_g(z−z^′,b−b^′, t−t^′) =

∫∞

−∞

dz

2πe^{ikz(z−z′)}∫∞

−∞

d²k⊥

(2π)²e^ik⊥(b⁻b^′)∫∞

−∞

dω

2πe^{−iω(t−t′)}

k_⊥² +k²_z−ω²−iωσ . (4.22) Preden dobljeno rešitev vstavimo v enačbo (4.12) za magnetno polje, naredimo še križni produkt v Furierovi sliki

∇ ×[ˆzδ(z−vt)δ(b)]→δ(z−vt)δ(b)ik×z,ˆ (4.23)

prevodnostjo

kjer je k =k_zzˆ+k⊥, ∂_t→iω,∇ →ik, ter uporabimo izraz

∫ ∞

−∞

dt^′e^{it′(ω−kzv)} = 2πδ(ω−k_zv). (4.24) Izraz za magnetno polje je

B(z,b,y, t) =

= 2πev

∫ ∞

−∞

dz 2πe^ikzz

∫ ∞

−∞

d²k⊥

(2π)²e^ik⊥b∫ ∞

−∞

dω

2πe^−iωt· (ik×z)δ(ωˆ −k_zv)

k²_⊥+k_z²−ω²−iωσ. (4.25) Od tukaj naprej je priročno poiskati izraze za By, Bx in Bz. Ostali komponenti razen By sta irelevantni, saj je Bz=0. Posledično bomo od tukaj naprej računali samo komponento B_y. To naredimo s pomočjo skalarnega produkta

(k⊥×z)ˆ ·yˆ=−k⊥cosϕ (4.26) in integracijo čez k_z. Dobimo magnetno polje v y smeri

B_y =eˆy

∫ ∫ 1 (2π)²

−ik⊥cosϕ

(^ω_v)²+k⊥−ω²−iσωe^{−ibk⊥cosϕ}e^iω(zv−t)d²k⊥dω, (4.27) kjer je d²k^⊥ = k^⊥ dk^⊥ dϕ. Izraz s pomočjo spodnjih relacij

∫ 2π 0

−ik⊥cosϕe^{−ibk⊥cosϕ}dϕ= d db

∫ 2π 0

e^{−ibk⊥cosϕ}dϕ, (4.28)

∫ 2π 0

e^−izcosϕdϕ= 2πJ_o(z), d

dbJ_o(bk⊥) = 2πk⊥J₁(bk⊥), α_em = e²

4π (4.29) preoblikujemo v primernejšo obliko

eBy = α_em π yˆ

∫ ∞ 0

dk⊥

∫ ∞

−∞

dω J₁(bk_⊥)

(^ω_v)²+k⊥−ω²−iσωe^iω(zv−t). (4.30) Na tej točki smo zaključili z reševanjem Greenovih funkcij in začnemo z reševa- njem dokončnega izraza za B_y. Najprej si bomo pogledali, kakšen izraz dobimo, če določimo hitrost na vrednost 1 in nato še, kakšen je rezultat, če je hitrost različna od 1.

4.2.1 B

pri v=1

Najprej bomo rešili enačbo z aproksimacijo, kjer je v = 1, kar pomeni da se izraz (4.30) preoblikuje v

eB_y = α_em π yˆ

∫ ∞ 0

dk⊥

∫ ∞

−∞

dω J₁(bk⊥)

k_⊥−iσωe^iω(z−t). (4.31) Začnemo z reševanjem integrala za ω. To naredimo s pomočjo kompleksne analize in sicer z izrekom o residuih. Integral funkcije čez zaprto krivuljo je

∮

γ

f(z)dz = 2πi∑

Res(f, a_k), (4.32)

4.2. Izračun magnetnega polja

kjer γ predstavlja pozitivno orientirano zaprto krivuljo in a_k pole funkcije. Edini pol je pri ω= ^k_iσ², kar vstavimo v enačbo (4.32) in dobimo

∫ e^iω(z−t) iω

(_k2

⊥

iσ −ω

)dω = 2πi∑ Res

(

f, a_k = k_⊥² iσ

)

. (4.33)

Residum je

Res (

f, a_k = k_⊥² iσ

)

= 1 iωe⁻

k2

⊥ σ (t−z)

. (4.34)

Integral za ω zapišemo kot

∫ eⁱω(z−t)

k²_⊥−iωσdω = 2π ω e⁻

k2

⊥ σ (t−z)

, (4.35)

kar potem vodi do naslednjega izraza eB_y = 2αem

σ yˆ

∫ ∞ 0

J₁(bk⊥)e⁻

k2

⊥ σ (t−z)

k_⊥²dk⊥. (4.36) Integral rešimo analitično in dobimo rezultat

eB_y = αembσ 2(t−z)²e^{− b}

2σ

4(t−z). (4.37)

4.2.2 B

pri v ̸= 1

Vrnimo se nazaj k izrazu (4.30). V temu primeru izračun postane bolj zapleten, vendar pa z uporabo istih metod kot v prvem primeru, in sicer z uporabo izreka o residuih, pridemo do rezultata. Ničla tega izraza pri hitrosti, ki je različna od ena je

ω± = iωγ²v² 2

( 1±

(

1 + 4k_⊥² σ²γ²v²

)¹₂)

, (4.38)

kjer je γ = ^√_1−v¹ ₂. Izberemo si ω−. S pomočjo izreka o residuih integriramo čez ω in dobimo

I =

∫ ∞ 0

dk_⊥

∫ ∞

−∞

dω J₁(bk⊥)k_⊥²

(^ω_v)²+k⊥−ω²−iσωe^iω(zv−t) (4.39) v katerega nato vstavimo ničlo (4.38) in dobimo

I = 2π

∫ ∞ 0

dk⊥

J1(bk⊥)k_⊥²e^{−|ω−|(t−zv)} σ(

1 + _σ2^4kγ^⊥22v²

) . (4.40)

Nadaljujemo s transformacijo koordinat

u= (

1 + 4k²_⊥ σ²γ²v²

)¹₂

. (4.41)