−= 82 2713 = = 74 = 65 = 13

Celotno besedilo

(1)Zbirka nalog za srednje šole: MATEMATIKA D. Grašek, M. Kožar, A. Tiegl: ELEMENTARNE FUNKCIJE, KOMPLEKSNA ŠTEVILA Poglavje VII.:Eksponentna funkcija. x. c) 3. 3 x −7 2. č) 2. x −1. ⎛5⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝4⎠. d) 2 = −8 x. e) 9. =4 0 ,8 x. −3 x. c) 85− x = 7 x−5. 1 = 27. ⎛9⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠. x +3. =1. č) 4 2 x−3 = 7 x−1,5. 5. 64 = 125. ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠. x +3. 2. −7 x +12. =1. 2. −8 x +12. =1. d) 2 x e) 5 x. NA. 27 ⎛ 2 ⎞ c) =⎜ ⎟ 8 ⎝3⎠ 1 č) 3−x = 27. 23a) 8 x = 1 b) 3 x−1 = 1. ND A. Str. 53 in 54, Naloge 16, 17, 22, 23 Reši enačbe: 16a) 4 x = 16 17a) 41−5 x = 64 22a) 2 x−2 = 52− x b) 5 x−4 = 6 x−4 b) 5− x = 125 b) 16 2 x+1 = 32. Str.55, Nal. 31 Ugotovi približno rešitev enačb z grafom. Poskusi določiti točne rešitve, če to 31 a) 3. = 5,. b) 2. x −3. =1. ⎛1⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝3⎠. x +3. =2. č) 5 x = 7. ITA. gre.. −x. Enačbe eksponentne Pomni. TC. Rešiti moramo eksponentne enačbe to so enačbe z neznanko v eksponentu. V osnovi poznamo tri tipe eksponentnih enačb: (1) a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) (pri enakih osnovah izenačimo eksponent) (Pri enakih eksponentih izenačim eksponent z 0). (3) a f ( x ) = b ⇔ log a f ( x ) = log b. (osnovi sta različni in eksponenta sta različna, tedaj enačbo logaritmiramo pri najbolj ugodni osnovi). SA. (2) a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ f ( x) = 0.

(2) Rešitev 16a) 4 x = 16. 16b) 5− x = 125. 5 − x = 5 3 (1) −x=3 x = −3. 4 x = 4 2 (zapišem z x=2. isto osnovo) (po (1)). Enačbo bi lahko zapisali z osnovo 2:. 27 ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ 16c) 8 ⎝3⎠. x. 33 ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ 23 ⎝ 3 ⎠. x. 3. 22x = 24 2 x = 4 (po 2)) x=2. 2 . Pri tem 3 n −n ⎛a⎞ ⎛b⎞ uporabimo pravilo ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝a⎠ Spravimo na isto osnovo:. 1 27 1 3− x = 3 3 −x 3 = 3 −3 − x = −3 x=3. NA. −3. d) 2 x = −8. 16č) 3−x =. TC. ITA. Enačba nima rešitve. SA. 17a) 41−5 x = 64. 41−5 x = 43 (po (1)) 1 − 5x = 3 − 5x = 2 2 x=− 5. x. ND A. ⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝3⎠. ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ −3= x x = −3. x. (po (1)). Spomnimo se, da je f ( x) = 2 x vedno pozitivna, t.j. njen graf leži v celoti nad x osjo.. f ( x) = 2 x x 0 1 -1. y. y 1 2 1/2. 2 x 1x x 0 1. -8. f ( x) = 2 x x. f ( x ) = −8. Vidimo, da se grafa f ( x) = 2 x in f ( x) = −8 , nikjer ne sekata. Iz tega sklepam, da naša enačba nima rešitve.. 17b) 16 2 x+1 = 32. (2 ). 4 2 x +1. =2 2 = 25 8x + 4 = 5 8x = 1 1 x= 8 8 x+ 4. 5. 17c) 3. 3 x −7 2 3 x −7. =. 1 27. 3 2 = 3−3 (po (1)) 3x − 7 = −3 / .2 2 3 x − 7 = −6 3x = 1 1 x= 3.

(3) 17č) 2 x−1 = 45. ⎛5⎞ ⎝4⎠. 0 ,8 x. =. 17d) ⎜ ⎟. 2 =2 x − 1 = 10 x = 11. 10. 64 125. 8x. (3 ). 2 −3 x. 3 ⎛ 5 ⎞ 10 4 ⎜ ⎟ = 3 5 ⎝4⎠. ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠. 4x 5. 4x. ⎛4⎞ =⎜ ⎟ ⎝5⎠. −3. 2x. ⎛ 1000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 125 ⎠. = 27. 2x. NA. = 128. = 27. TC. 82 x = 27. 26 x = 27 (po (10)). SA. 6x = 7 7 1 x = =1 6 6. ⎛1⎞ =⎜ 3⎟ ⎝3 ⎠. x +3. 3−6 x = (3−3 ) − 6 x = −3 x − 9 − 3 x = −9 x=3. ( 128 = 4.32 = 2 2 25 = 2 7 ). ITA. ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 125 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1000 ⎠. 2x. x +3. x +3. 3. ⎛5⎞ 5 ⎛5⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ (1) ⎝4⎠ ⎝4⎠ 4x = −3 / .5 5 4 x = −15 15 3 x = − = −3 4 4 ⎛ 1 ⎞ 17f) ⎜ ⎟ ⎝ 0,125 ⎠. ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 27 ⎠. 17e) 9 −3 x = ⎜. ND A. x −1.

(4) 22a) 2 x−2 = 52− x Ker ne morem enačbe zapisati z isto osnovo, poskusim pokazati, da je eksponent na levi enak eksponentu na desni. 22b) 5 x−4 = 6 x−4. x−4=0 x=4. 2 x − 2 = 5 − ( −2 + x ) 2 x −2 = (5 −1 ). x−2. ⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝5⎠. x−2. Eksponenta sta enaka, zato ju. ND A. 2. x−2. po (2) izenačin z 0.. x−2=0 x=2. 22c) 85− x = 7 x−5. 22č) 4 2 x−3 = 7 x−1,5. 8 5− x = 7 − ( − x + 5 ). 4 2 x −3 = 7. ( ). 8 5 − x = 7 −1. 5− x. NA. 5− x = 0. −7 x +12. ITA. x=5. =1 x 2 −7 x +12 2 = 2 0 po (2). 22d) 2 x. 2. TC. x 2 − 7 x + 12 = 0 ( x − 4)( x − 3) = 0 x1 = 4. Vemo, da je a 0 = 1 . Torej lahko namesto 1 napišemo:. 1 = 2 0 = 30 = ... = b 0. 4 2 x −3 = 7 4. 2 x −3. SA. 8 x = 80 x=0. 3 2. 2 x −3 2. ⎛ 1⎞ = ⎜⎜ 7 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠. 2 x −3. ( ). 4 2 x −3 = 7 2x − 3 = 0 3 x= 2. 22e) 5 x. 5. 2. −8 x +12. x −8 x +12 2. po (2). 2 x −3. =1 = 50 po (2). x 2 − 7 x + 12 = 0 ( x − 6)( x − 2) = 0 x1 = 6. x2 = 3. 23a) 8 x = 1. x−. x2 = 2. 23b) 3 x−1 = 1. 3 x−1 = 30 x −1 = 0 x =1. ⎛9⎞ 23c) ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠. x +3. =1 x +3. ⎛9⎞ ⎛9⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ x+3= 0 x = −3. 0.

(5) Nal. 31 Ugotovi približno rešitev enačb z grafom. Poskusi določiti točne rešitve, če to gre. 31a) 3. −x. = 5,. b) 2. x −3. ⎛1⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝3⎠. =1. x +3. =2. č) 5 x = 7. Grafični enačbe rešujemo tako, da levo in desno stran vzamemo za funkcijo. Nato vsako posebej narišemo in odčitamo presečišče.. GRAFIČNO: f ( x) = 3 − x. ND A. 31a) 3− x = 5 Reši grafično in računsko. RAČUNSKO:. y. 3. 6. log 5 3. 5. g ( x) = 5. NA. 3. x=−. 2. 1 log 5 =− log 3 log 3 log 5 x ≈ −1,4307. x. -1. 1. 2. ITA. 31b) 2 x−3 = 1 GRAFIČNO:. TC. y. 3. x. x 2 0 1 1 2 -1 1/2. 2x. SA. 2. f ( x) = 2 x −3. g ( x) = 1. 1. -1.5. -1. 1 log 5 3. x=−. 1. x 0 ≈ 1,4. = log 5 5. x log 5 3 = −1 / : log 5 3. -x. -2. = 5 / log 5 po (3). −x. − x log 5 3 = 1 /( −1). 4. x 3 0 1 1 1/3 -1 3. −x. -0.5. 0.5. S(3, 1) x 1. 1.5. 2. 2.5. 3. x0. 3.5. 2 x premaknemo za 3 desno, da dobimo 2 x−3 . Odčitamo presečišče S(3, 1). x0 od presečišča je rešitev naše načbe. Navodilo: Enačbo logaritmiramo pri osnovi 5, nato pa to spremenimo na osnovo 10. Tako rešitve iz grafa preverimo tudi »računsko«.. RAČUNSKO:. 2 x−3 = 1 2 x−3 = 20 x−3= 0 x=3. po (1).

(6) ⎛1⎞ 31c) ⎜ ⎟ ⎝3⎠. x +3. =2. Reši grafično in računsko GRAFIČNO:. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠. = 2 /log po (3) logaritmiram pri osnovi 10. ⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠. x. x (1/3) 0 1 1 1/3 -1 3. x +3. ⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠. x. ND A. ⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠. RAČUNSKO:. x +3. ⎛1⎞ log⎜ ⎟ ⎝3⎠. y. 3. x +3. S. NA. 1. = log 2. ⎛1⎞ ⎛1⎞ ( x + 3) log⎜ ⎟ = log 2 / : log⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ log 2 x+3= −3 1 log 3 x ≈ −3,6309. g ( x) = 2 2. x+3. x. -4. x0. -3. -2. -1. x. 1. 2. ⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠. ITA. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ premaknemo za 3 v levo, da dobimi ⎝3⎠ x +3. . Odčitamo x0 ≈ −3,6 od. presečišča S, kar je približna rešitev naše enačbe.. TC. 31č) 5 x = 7 Reši računsko in grafično GRAFIČNO: y. 7. x. 5 x = 7 / log po(3) g ( x) = 7. 6. SA. x 5 0 1 1 5 -1 1/5. S. RAČUNSKO:. 5. 4. 3. f ( x) = 5 x. 2. 1. x -2. -1. 1. x0. 2. Odčitani x0 je rešitev naše enačbe. log 5 x = log 7 x log 5 = log 7 log 7 x= log 5 x ≈ 1,2091.

(7)