UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo
Pipeta na osnovi mehanske nestabilnosti sferičnih membran
Aljaž Pirnar
Zaključna naloga Univerzitetnega študijskega programa I. stopnje
Strojništvo - Razvojno raziskovalni program
UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo
Pipeta na osnovi mehanske nestabilnosti sferičnih membran
Aljaž Pirnar
Mentor: doc. dr. Miha Brojan
Zaključna naloga Univerzitetnega študijskega programa I. stopnje
Strojništvo - Razvojno raziskovalni program
Zahvala
Zahvaljujem se mentorju za usmerjanje pri pisanju zaključnega dela, očetu, ki me je naučil ročnih spretnosti, brez katerih ne bi mogel sam izdelati prototipa. Zahvaljujem se tudi ostalim članom družine, sorodnikom in prijateljem, ki so me spodbujali.
Izvleček
UDK 542.23:544.7:532.11(043.2) Tek. štev.: UN I/1584
Pipeta na osnovi mehanske nestabilnosti sferičnih membran
Aljaž Pirnar
Ključne besede: pipete
elastične sferične membrane tlak
stabilnost in nestabilnost povezovanje
S pomočjo gumijastih balonov smo izdelali prototip preproste pipete na osnovi mehanske nestabilnosti sferičnih membran. Na izdelanemu sistemu smo opravljali meritve in s pomočjo napisanega programa poskusili predvideti kaj se zgodi pri povezovanju večih balonov. Pipetirali smo volumne balonov, kjer pri začetnih eksperimentih nismo dobili dobrih rezultatov, to pa se je v nadaljevanju z dograditvijo in uporabo koncepta dozirnika spremenilo. Z uporabo bolj profesionalne opreme bi se lahko naš koncept preproste pipete z večjo natančnostjo uporabljal tudi v vsakdanjem življenju in industrijskem odmerjanju tekočin.
Abstract
UDC 542.23:544.7:532.11(043.2) No.: UN I/1584
Pipette based on mechanical instability of spherical membranes
Aljaž Pirnar
Key words: pipette
elastic spherical membrane pressure
stability and instability connecting
Using rubber balloons, we made a prototype of a simple pipette based on the mechanical instability of spherical membranes. We performed measurements on the fabricated system and developed computer code to predict what would happen if multiple balloons were connected. We pipetted the volumes of the balloons, initially without significant success, but that changed when we upgraded and used the new dispensing method. By using more professional equipment, our simple and robust pipette concept be used in everyday life and industrial liquid dispensing with greater precision.
Kazalo
Kazalo slik ... xi
Kazalo preglednic ... xii
Seznam uporabljenih simbolov ... xiii
1 Uvod ... 1
1.1 Problem ... 1
1.2 Cilji ... 2
2 Eksperimentalni sistem... 4
2.1 Izdelava eksperimentalnega mesta ... 4
2.2 Prve meritve ... 8
3 Teoretične osnove in pregled literature ... 10
3.1 Karakteristična krivulja ... 10
3.1.1 Gentov model ... 11
3.1.2 Vplivi poškodb in celjenj gumijastih balonov ... 12
3.2 Baloni povezani med seboj ... 13
3.3 Stabilna in nestabilna stanja ... 14
3.3.1.1 Prvi primer ... 15
3.3.1.2 Drugi primer ... 16
3.3.1.3 Tretji primer ... 17
3.3.1.4 Četrti primer ... 18
4 Rezultati ... 19
4.1 Enačba, ki najbolj opisuje eksperimentalno krivuljo ... 19
4.2 Analitične rešitve in rezultati meritev ... 20
4.2.1 Praznjenje enega balona ... 21
4.2.2 Dva povezana balona ... 22
4.2.3 Trije povezani baloni ... 23
4.3 Pipeta z dozirnikom ... 25
6 Zaključki ... 31
Literatura ... 32
Kazalo slik
Slika 1.1: Polimerne verige v nedeformiranem in deformiranem stanju [1] ... 1
Slika 1.2: Oblika krivulje tlaka v odvisnosti od prostornine in njene faze za elastično sferično membrano ... 2
Slika 1.3: Koncept eksperimenta ... 3
Slika 2.1: Nekaj uporabljenih materialov ... 5
Slika 2.2: Varjenje zapornih ventilov po MAG postopku ... 5
Slika 2.3: Ključno je tesnjenje vseh povezav, da ne pride do lekaž ... 6
Slika 2.4: Združitev cevi in elementov ... 6
Slika 2.5: Izdelava lesenih delov na kombiniranem skobeljnem stroju ... 7
Slika 2.6: Izdelana pipeta ... 7
Slika 2.7: Uporaba orodja Egg tools za izračun volumna rotacijskega telesa ... 8
Slika 2.8: Odčitavanje tlaka v balonu s pomočjo seštevanja odčitkov na merilu manometra ... 9
Slika 2.9: Graf tlaka v odvisnosti od volumna za 4 preizkušance ... 9
Slika 3.1: Rezultati Osborne-ovega eksperimenta napihovanja gumijastega balona (levo) in opičjega mehurja (desno) [3] ... 10
Slika 3.2: Teoretična krivulja 𝑝(𝑉) po Gentovem modelu ... 11
Slika 3.3: Eksperimentalno dobljen graf, ki prikazuje histerezo in neponovljivost ob ponovnih napihovanjih kot posledice poškodb in celjenj [6] ... 12
Slika 3.4: Primeri ko sta povezana balona v ravnotežnem stanju. Črni piki na grafu predstavljata njuna stanja ... 13
Slika 3.5: Stabilno in nestabilno stanje ... 14
Slika 3.6: Prvi primer, situacija je stabilna ... 15
Slika 3.7: Drugi primer, situacija je stabilna ... 16
Slika 3.8: Tretji primer, situacija je nestabilna ... 17
Slika 3.9: Četrti primer, situacija je nestabilna ... 18
Slika 4.1: Iskanje materialnih parametrov 𝐽𝑚 in 𝑐1 s poskušanjem in izris grafa ... 19
Slika 4.2: Uporaba funkcije Fit z nastavljanjem potenc in izris dobljenega grafa ... 20
Slika 4.3: Prikaz interaktivnega program ... 20
Slika 4.4: Časovno nižanje gladine vode v rezervoarju ... 21
Slika 4.5: Praznjenje enega balona eksperimentalno in analitično ... 22
Slika 4.6: Začetna in končna stanja dveh povezanih balonov eksperimentalno in analitično ... 23
Slika 4.7: Začetna in končna stanja treh povezanih balonov eksperimentalno in analitično ... 24
Slika 4.8: Prikaz principa dozirnika na 𝑝(𝑉) krivulji ... 25
Slika 4.9: Shema pipete z zalogovnikom in dozirnikom ... 26
Slika 4.10: Dodelan prototip pipete ... 26
Slika 5.1: Prikaz pričakovanega in realnega izida dveh povezanih balonov z vplivom histereze ... 30
Kazalo preglednic
Preglednica 4.1: Meritve pipetiranja volumna enega balona ... 22
Preglednica 4.2: Meritve pipetiranja volumna dveh balonov ... 23
Preglednica 4.3: Pipetiranje balona 4 pri povezavi treh balonov ... 24
Preglednica 4.4: Meritve pipetiranje ene doze ... 27
Preglednica 4.5: Meritve pipetiranja dveh doz ... 27
Preglednica 4.6: Meritve pipetiranja treh doz ... 28
Seznam uporabljenih simbolov
Oznaka Enota Pomen
𝐽𝑚 / materialni parameter
𝐿 mm dolžina
P mbar nadtlak
R mm radij
𝑄 L s-1 volumski pretok
V L volumen
𝑐1 mbar materialni parameter
d mm debelina
∆𝑝 mbar razlika tlakov
𝑟 mm trenutni radij
𝛿 / razmerje med debelino in radijem
𝜆 / razteg
𝜇 Pa s dinamična viskoznost
Indeksi
0 začetni
cev cevi
1 Uvod
1.1 Problem
V tehniki je velikokrat potrebno odmeriti točno določen volumen tekoče snovi. Ta postopek se ne uporablja le v kemiji, na kar bi najprej pomislili, vendar tudi v vsakdanjem življenju, od kavnega aparata, ki nam skuha skodelico kave, do pretakanja vina iz cisterne v steklenice.
Zato pa potrebujemo inštrument, ki nam to omogoča. V modernem času imamo kar nekaj naprav, vendar imajo mnoge tehnološko zahtevno sestavo. Tako se nam pojavi potreba in priložnost narediti sistem, ki bi bil preprost po sestavi, a bi kljub temu za naše potrebe dovolj natančno doziral tekočine.
Velikokrat smo že na rojstnodnevnih zabavah napihnili kakšen gumijast balon, nezavedajoč se njegovih karakteristik. Zanimivo je kako ga je bilo sprva težko napihniti, pozneje, ko pa se je ta povečeval, pa čedalje lažje. Vzrok za ta pojav se skriva v njegovih materialnih značilnostih, saj je guma sestavljena iz nešteto zgrbančenih polimernih verig, ki pa se ob nateznih napetostih zravnajo, kakor je tudi prikazano na sliki 1.1 [1].
Gumijasti balon, ki ga aproksimiramo z elastično sferično membrano, ima značilen graf tlaka v odvisnosti od volumna (slika 1.2). Zaradi nelinearne odvisnosti in prevojev krivulje lahko tako isti balon napihujemo in je, kljub različnemu volumnu, tlak plina, s katerim je napolnjen, isti [2]. Tako lahko med seboj povežemo več balonov in jim, z izkoriščanjem stabilnih in nestabilnih stanj, med seboj kontrolirano spreminjamo volumen. V praksi bi tako lahko zvezno spreminjanje velikosti balonov diskretizirali in jim s kontroliranim tlakom omejili volumen na želeno vrednost.
Slika 1.1: Polimerne verige v nedeformiranem in deformiranem stanju [1]
Uvod
Na sliki 1.2 so na grafu označene 3 faze, v katerih je lahko stanje gumijastega balončka.
Odseka krivulje s pozitivnim naklonom, 𝛼 in 𝛾 fazi, lahko opišemo kot stabilni fazi, medtem ko je 𝛽 faza, zaradi negativnega naklona nestabilna faza.
1.2 Cilji
V domačem okolju si bomo ustvarili eksperimentalno mesto, kjer bomo pomerili realne tlačno-volumske vrednosti več balonov. Rezultati se bodo od balona do balona verjetno razlikovali, zato pa bomo dobili širšo območje krivulje v 𝑝(𝑉) diagramu. V nadaljevanju bomo s pomočjo Gentovega modela izrisali teoretično krivuljo tlaka v odvisnosti volumna pri napihovanju balona [3]. Primerjali bomo realne in teoretične vrednosti ter poskusili s parametri teoretične krivulje doseči čim manjše razlike.
Eksperiment bomo še nadgradili tako, da bomo skupaj povezali več balonov kakor je prikazano na sliki 1.3. Tako bomo z več baloni dosegli več različnih volumnov. Končni cilj pa je, da z uporabo programa, ki ga bomo napisali, izkoristimo nestabilna stanja teh balonov na tak način, da v kontrolnem balonu dobimo želeni volumen plina, ki pa ga pretvorimo v volumen kapljevine. Tako bomo izdelali pipeto na osnovi mehanske nestabilnosti sferičnih membran.
Slika 1.2: Oblika krivulje tlaka v odvisnosti od prostornine in njene faze za elastično sferično membrano
Uvod
Slika 1.3: Koncept eksperimenta
2 Eksperimentalni sistem
V nadaljevanju bomo izdelali eksperimentalno mesto, s pomočjo katerega bomo opravili številne meritve in opazovali obnašanje gumijastih balonov pri napihovanju in spuščanju ter kaj se dogaja, ko imamo v procesu različno napihnjene balone in jih med seboj različno povezujemo.
2.1 Izdelava eksperimentalnega mesta
Imeli smo že vnaprej dobro zastavljen koncept eksperimenta, torej je bilo potrebno vse skupaj še izdelati. Ker smo imeli v domačem okolju vse potrebne pripomočke in orodja se je vse skupaj odvijalo v domači delavnici. Uporabili smo več različnih materialov:
- Vezano ploščo, smrekov les,
- okroglo železo Ø10mm, Ø14mm in Ø18mm, rebrasto železo, ploščato železo, - trdo PVC cev Ø20×3mm, križni spoj in več mehkih PVC cevi različnih dimenzij, - okroglo gumijasto cev Ø40/ Ø17mm,
- proti-povratni ventil za zračnice, - akrilno steklo in prozorno posodo, - nevtralni prozorni silikon,
- tračni meter
- in še drugi elementi za povezovanje npr. vijaki, vezice, lepilo itn.
Izdelavo eksperimenta prikazujejo slike 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6.
Eksperimentalni sistem
Slika 2.1: Nekaj uporabljenih materialov
Eksperimentalni sistem
Slika 2.3: Ključno je tesnjenje vseh povezav, da ne pride do lekaž
Eksperimentalni sistem
Slika 2.5: Izdelava lesenih delov na kombiniranem skobeljnem stroju
Eksperimentalni sistem
Slika 2.6 prikazuje končni izdelek. Na sliki je viden preprost kapljevinski manometer (levo), križ iz cevi z ventili, ki povezuje štiri balone (sredina) in pa rezervoar naše pipete napolnjen z vodo (desno spodaj).
Na tem eksperimentalnem mestu lahko torej balone napihujemo z zračnim kompresorjem in običajnim nastavkom za napihovanje zračnic ter kontroliramo tlake z odčitavanjem višine vodne gladine na manometru. Odpiramo lahko zaporne ventile in tako povezujemo balone med seboj, kar pomeni, da bo med povezanimi baloni isti zračni tlak. Desni balon na eksperimentalnem mestu je tako imenovan kontrolni in je od njega naprej speljana ozka cev, ki ob odprtju še enega zapornega ventila, vzpostavi povezavo z rezervoarjem. Tako volumen zraka iz kontrolnega balona izpodriva kapljevino v rezervoarju, to pa ujamemo v merilni valj.
2.2 Prve meritve
Vzeli smo še nenapihnjen balon, ga namestili na cev in ga najprej napihnili na tlak približno 30 mbar. Zatem smo čisto malo odprli ventil na odprti cevi, da je zrak zelo počasi iztekal iz sistema. Ko se je tlak na manometru spustil in se spet dvignil po obliki teoretične krivulje, na približno 20 mbar, smo zaradi prehitrega skoka in padca tlaka pridržali odprto cev, da smo prekinili iztok zraka. Potem smo po 2 sekundi naenkrat spuščali zrak iz sistema, dokler se ni balon spraznil. Cel proces smo snemali s kamero in ga še trikrat ponovili, s tem, da smo vsakič vzeli nov, nenapihnjen balon istega proizvajalca.
Iz posnetkov smo v enakomernih časovnih intervalih vzeli 30 slik in jih analizirali. S pomočjo merila smo v programski opremi ImageJ z orodjem »Egg tools«, ki ga je razvil Jolyon Troscianko [4], izračunali volumne balonov iz slik zraven, kakor prikazuje slika 2.7.
Slika 2.7: Uporaba orodja Egg tools za izračun volumna rotacijskega telesa
Eksperimentalni sistem
Na grafu (slika 2.9) vidimo tipične oblike karakterističnih krivulj. Vidimo tudi, da se krivulja 1. balona dokaj razlikuje od ostalih. Za to je lahko krivo kar nekaj dejavnikov, kot na primer napaka pri odčitavanju tlakov, prehitro spuščanje zraka iz sistema itd. Zaradi velikih odstopanj bomo meritve 1. balona zanemarili.
0 5 10 15 20 25 30 35
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
TLAK [mbar]
VOLUMEN [L]
1. balon 2. balon 3. balon 4. balon
Slika 2.8: Odčitavanje tlaka v balonu s pomočjo seštevanja odčitkov na merilu manometra
Slika 2.9: Graf tlaka v odvisnosti od volumna za 4 preizkušance
3 Teoretične osnove in pregled literature
3.1 Karakteristična krivulja
Z meritvami smo ugotovili, da imajo gumijasti baloni - lahko jim rečemo tudi elastične sferične membrane - karakteristično nelinearno krivuljo v obliki črke N. Prvi je ta pojav z napihovanjem elastičnih balonov in opičjih mehurjev opazil Osborne in ga leta 1909 opisal v članku. Prvi model pa je leta 1940 predlagal Mooney in poskusil opisati obliko krivulje z enačbo. Kasneje je nastalo tudi več modelov za opis krivulj. Omenili bomo Mooney model, ki je pri Osborne-ovih eksperimentih najbolje opisal obnašanje napihovanja opičjega mehurja in novejši, Gentov model, ki je najbolje opisal graf napihovanja gumijastega balona (slika 3.1) [3].
Slika 3.1: Rezultati Osborne-ovega eksperimenta napihovanja gumijastega balona (levo) in opičjega mehurja (desno) [3]
Teoretične osnove in pregled literature
3.1.1 Gentov model
Iz literature bomo zapisali enačbo krivulje po Gentovem modelu. Predpostavimo, da imamo sferično lupino, ki je iz izotropnega, hiperelastičnega in nestisljivega materiala [3]. Z 𝜆 zapišemo razmerje med novim in začetnim polmerom lupine, ki jo napihnemo in natezno deformiramo [5]:
𝜆 = 𝑟
𝑅0 . (3.1)
Po Gentovem modelu je notranji nadtlak 𝑃 zapisan v odvisnosti od 𝜆 kot [3]
𝑃(𝜆) = 4 𝑐1𝛿 (𝜆−1−𝜆−7)𝐽𝑚
(𝐽𝑚+3−𝜆−4−2𝜆2) , (3.2)
kjer je 𝛿 razmerje med debelino stene lupine 𝑑 in radijem lupine 𝑅0 v nedeformiranem stanju,
𝛿 = 𝑑
𝑅0, (3.3)
𝑐1 in 𝐽𝑚 pa sta materialna parametra. Ker pa nas navsezadnje zanima odvisnost nadtlaka v sferi od njenega volumna 𝑃(𝑉), upoštevamo, da sta 𝑉0 in 𝑉 začetni in novi volumen in lahko zapišemo izraz
𝜆 = 𝑟
𝑅 = √𝑉𝑉
0
3 . (3.4)
Vstavimo ga v enačbo (3.2) in dobimo nam uporabnejšo končno obliko enačbe krivulje po Gentovem modelu:
𝑷(𝑽) = 𝟒 𝒄𝟏𝜹 𝑱𝒎 𝑽𝟎 (𝑽𝟎𝟐−𝑽𝟐)
𝑽(𝟐 𝑽𝟐−(𝑱𝒎+𝟑)𝑽 𝟒 𝟑 𝑽𝟎
𝟐 𝟑+𝑽𝟎𝟐)
. (3.5)
Sedaj izrišemo še graf funkcije, za katerega približno vemo kako mora izgledati in podlagi tega ocenimo neznana materialna parametra, npr. 𝑐1 = 1000 𝑚𝑏𝑎𝑟 in 𝐽𝑚 = 60 (slika 3.2)
Teoretične osnove in pregled literature
3.1.2 Vplivi poškodb in celjenj gumijastih balonov
Mnoge eksperimentalne raziskave so pokazale, da je obnašanje gumijastih balonov pri napihovanju v veliki meri odvisno od predhodne uporabe, saj pride do histereze dobljenih rezultatov. Ta se pripisuje poškodbam, ki nastajajo na mikroskopskih ravneh strukture materiala. Zelo pomembno vlogo pa ima tudi celjenje teh mikro-poškodb [6].
Pri raztegovanju elastičnega gumijastega materiala so se primorane nagrbančene polimerne verige vzravnati, pri tem pa mnoge tudi počijo. Nekatere izmed počenih se ne zacelijo in druge se; nastanejo ireverzibilne in reverzibilne poškodbe. Zaradi teh pojavov se nam karakteristična krivulja tlak-volumen lahko zelo spremeni ko balon večkrat napihnemo (slika 3.3).
Kot je vidno na grafu (slika 3.3) so lahko mikro-poškodbe, ki nastanejo pri napihovanju, resna težava pri natančnem izvajanju praktičnih aplikacij. Pri eksperimentu se bomo temu izognili tako, da bomo pri vsaki meritvi vzeli nov, še neuporabljen balon.
Slika 3.3: Eksperimentalno dobljen graf, ki prikazuje histerezo in neponovljivost ob ponovnih napihovanjih kot
posledice poškodb in celjenj [6]
Teoretične osnove in pregled literature
3.2 Baloni povezani med seboj
Ko povežemo dva balona napolnjena z zrakom, imamo opravka s stabilnimi in nestabilnimi stanji. Balona sta v ravnovesju, ko sta oba napihnjena pod istim tlakom, lahko pa imata različen volumen, saj se balona nahajata vedno na karakteristični krivulji v obliki črke N.
Nekaj primerov prikazuje slika 3.4.
Ker poznamo obliko in enačbo krivulje tlačno-volumsko karakteristike naših balonov lahko napovemo kakšen volumen bi imel balon, napihnjen na določen tlak in obratno. Še več, različno napihnjenih balonov lahko med seboj združujemo ter jim napovedujemo kakšno bo končno stanje. Pri napovedovanju končnih stanj nas v analitičnih izračunih zanima volumski pretok med baloni. Balonu z višjim tlakom se volumen zmanjša, balonu z nižjim pa poveča, pri čemer upoštevamo Hagen-Poiseuille-ov zakon o padcu tlaka pri laminarnem toku fluida skozi cevi [7]:
∆𝑝 = 8𝜇𝐿𝑄
𝜋𝑅𝑐𝑒𝑣4 , (3.6)
kjer je 𝜇 dinamična viskoznost fluida, 𝐿 dolžina cevi po kateri teče tok, 𝑅 radij cevi in 𝑄 volumski pretok fluida po cevi.
Slika 3.4: Primeri ko sta povezana balona v ravnotežnem stanju. Črni piki na grafu predstavljata njuna stanja
Teoretične osnove in pregled literature
3.3 Stabilna in nestabilna stanja
Najprej definirajmo kaj pomeni stabilno stanje in kaj nestabilno. Stabilno stanje pomeni, da se sistem kljub manjši motnji vrne v začetno stanje. Ravno nasprotno pa je nestabilno stanje, ki pa ob manjši motnji išče drugo ravnovesno stanje, ki pa je lahko tudi zelo daleč od začetnega. Za lažjo interpretacijo je podana slika 3.5.
V nadaljevanju si bomo pogledali več primerov dveh povezanih balonov, ki sta lahko v različnih fazah karakteristične krivulje. Razložili bomo kaj se zgodi, ko jih poskusimo zvrniti iz začetne lege in kdaj je situacija stabilna oz. nestabilna. To je predvsem odvisno od faz, v katerih se stanja balonov nahajajo.
V nadaljevanju bomo za prikaz stanj na grafih 𝑝(𝑉) uporabili moder in oranžen balon.
Slika 3.5: Stabilno in nestabilno stanje
Teoretične osnove in pregled literature
3.3.1.1 Prvi primer
V prvem primeru glejmo sliko 3.6.
Začetno stanje
Na začetku imamo ta dva balona v ravnovesju torej imata isti tlak, njuni začetni stanji pa sta označeni s polnima pikama. Modra pika leži na krivulji s pozitivnim naklonom 𝛼, oranžna pa z negativnim 𝛽, obenem pa velja 𝜶 > 𝜷.
Vmesno stanje
V nadaljevanju modri balon stisnemo in mu zmanjšamo volumen za 𝑑𝑉, zato se oranžnemu volumen poveča za 𝑑𝑉. To vmesno stanje je prikazano s praznima pikama. Ker ima v vmesnem stanju oranžni balon večji tlak kakor moder, potuje zrak iz oranžnega v modrega.
Balona želita doseči ravnovesno stanje, zato se oranžnemu volumen zmanjša, modremu pa poveča.
Končno stanje
Balona dosežeta ravnovesno stanje v začetni točki to sta modra in oranžna polna pika.
Ugotovimo, da se je kljub manjši motnji sistem povrnil v začetno stanje in zato rečemo, da je ta situacija stabilna.
Slika 3.6: Prvi primer, situacija je stabilna
Teoretične osnove in pregled literature
3.3.1.2 Drugi primer
V drugem primeru glejmo sliko 3.7.
Začetno stanje
Spet imamo dva balona v ravnovesni legi; modra in oranžna pika. Obe piki ležita na delu krivulje s pozitivnim naklonom.
Vmesno stanje
Sedaj oranžni balon stisnemo in mu zmanjšamo volumen za 𝑑𝑉, modremu pa se volumen poveča za 𝑑𝑉, prikazano s praznima pikama. Modri balon ima sedaj večji tlak kakor oranžen in, ker želita doseči ravnovesno stanje, se modremu volumen zmanjša, oranžnemu pa poveča.
Končno stanje
Balona dosežeta ravnovesno stanje spet v začetni točki; to sta modra in oranžna polna pika.
Kljub manjši motnji se je sistem spet povrnil v začetno stanje in tudi ta situacija je stabilna.
Slika 3.7: Drugi primer, situacija je stabilna
Teoretične osnove in pregled literature
3.3.1.3 Tretji primer
V tretjem primeru glejmo sliko 3.8.
Začetno stanje
Tokrat leži modra pika na odseku krivulje z negativnim naklonom 𝛼, oranžna na odseku s pozitivnim naklonom 𝛽, velja pa 𝜶 > 𝜷.
Vmesno stanje
Modri balon stisnemo in mu zmanjšamo volumen za 𝑑𝑉, oranžnemu se volumen poveča za 𝑑𝑉, prikazano s praznima pikama. Ker je modri balon na odseku z negativnim naklonom in je 𝛼 > 𝛽 potuje hitreje po krivulji navzgor in ima višji tlak kakor oranžen. Ker ima višji tlak, začne modri balon oddajat volumen, oranžni pa se napihuje.
Končno stanje
Modri balon se prazni in oranžni napihuje toliko časa, dokler ne dosežeta končne ravnovesne lege, ki pa je sedaj nekje drugje od začetne; glej pike s črnim polnilom.
Zaradi večjega naklona negativne tangente od naklona pozitivne, se je pri manjši motnji sistem odmaknil iz začetnega stanja in pristal v drugi ravnovesni legi. Ta situacija je nestabilna.
Slika 3.8: Tretji primer, situacija je nestabilna
Teoretične osnove in pregled literature
3.3.1.4 Četrti primer
V četrtem primeru glejmo sliko 3.9.
Začetno stanje
V tem primeru ležita obe piki v isti točki in to na odseku krivulje z negativnim naklonom.
Vmesno stanje
Modri balon stisnemo in mu zmanjšamo volumen, oranžnemu se volumen poveča. Modri balon potuje po krivulji navzgor in ima višji tlak kakor oranžen, ki potuje po krivulji navzdol.
Ker ima višji tlak modri balon, začne oddajat volumen, oranžni pa se napihuje.
Končno stanje
Modri se prazni in oranžni napihuje toliko časa, dokler ne dosežeta končne ravnovesne lege, piki s črnim polnilom. Ta je spet drugje kakor začetna ravnovesna lega.
Točki sta ležali na delu krivulje z negativnim naklonom in zato je ob manjši motnji sistem spremenil ravnovesno lego. Ta situacija je tudi nestabilna.
Slika 3.9: Četrti primer, situacija je nestabilna
4 Rezultati
4.1 Enačba, ki najbolj opisuje eksperimentalno krivuljo
Ko imamo teoretični zapis enačbe po Gentovem modelu (enačba 2.5), poskusimo z njo čim bolj opisati dobljene eksperimentalne rezultate pri spuščanju balonov. To bomo dosegli s spreminjanjem materialnih parametrov. V programu Wolfram Mathematica uvozimo realne vrednosti iz Excel preglednice in jih izrišemo na grafu 𝑝(𝑉). Sedaj si še izrišemo teoretično krivuljo in s funkcijo Manipulate omogočimo, da lahko spreminjamo parametre, obenem pa se nam izrisuje krivulja. Najdemo najprimernejše koeficiente in ugotovimo, da se krivulja našim eksperimentalnim točkam ne prilega najbolje (slika 4.1).
Odločimo se, da bomo poskusili z aproksimacijo s polinomsko enačbo, ki se bolj prilega točkam. Za to uporabimo funkcijo Fit in sami določamo potence funkcije, obenem si izrisujemo graf, program pa nam izračuna koeficiente in zapiše enačbo. Tako pridemo do oranžne krivulje, ki zelo dobro opiše realno stanje eksperimenta, ter do njenega zapisa (slika
Slika 4.1: Iskanje materialnih parametrov 𝐽𝑚 in 𝑐1 s poskušanjem in izris grafa
Rezultati
V nadaljevanju bomo v preračunih raje uporabljali enačbo oranžne krivulje (slika 4.2), saj se ta bolj prilega vrednostim dobljenih eksperimentalno.
4.2 Analitične rešitve in rezultati meritev
Za napovedovanje tega, kaj se dogaja z baloni, ko jih različno napihujemo in povezujemo med sabo, napišemo program. Temelji na izračunih volumskega pretoka s pomočjo Hagen- Poiseuille-ovega zakona.
Slika 4.2: Uporaba funkcije Fit z nastavljanjem potenc in izris dobljenega grafa
Rezultati
Na sliki 4.3 je vidno kako v ustvarjeni program kot parametre nastavimo začetne volumne balonov in odpiramo ventile, ki povezujejo balone. Kot izhodno informacijo nam program izriše grafe časovnega spreminjanja volumnov balonov ter začetna in končna stanja na 𝑝(𝑉) krivulji.
Ker pa je naš cilj ustvariti pipeto, moramo vedeti, da se pri pretoku volumna 𝑉4 v rezervoar, ko odpremo ventil pipete, gladina vode skozi čas niža, izhodna cev pa je vedno na isti višini.
Zato nastaja znotraj rezervoarja pipete nadtlak. Posledično je izhodni volumen pipete 𝑉pip manjši od volumna balona 𝑉4 (slika 4.4).
Nadtlak v pipeti izračunamo po enačbi [8]
𝑝𝑛𝑎𝑑𝑡𝑙𝑎𝑘 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑉
𝑎 ∙ 𝑏, (4.1)
kjer je 𝜌 gostota kapljevine v rezervoarju, 𝑉 vstopni volumen zraka, 𝑎 in 𝑏 pa dolžini stranic rezervoarja.
4.2.1 Praznjenje enega balona
Na eksperimentalnem mestu naredimo poizkus, kjer nastavimo balon na 17,5 mbar, takrat naj bi imel volumen približno 1 L, in ga izpraznemo skozi rezervoar. Postopek naredimo petkrat in vse skupaj posnamemo s kamero. Po obdelavi videoposnetkov izrišemo točke na grafu časovnega spreminjanja volumna.
V interaktivnem programu pri zaprtih vseh ventilih razen ventila pipete nam program na grafu izriše kako bi potekalo časovno odvisno praznjenje balona 4, ko bi ga imeli
Slika 4.4: Časovno nižanje gladine vode v rezervoarju
Rezultati
Meritve pipetiranja balonov so predstavljeni v preglednici 4.1.
Preglednica 4.1: Meritve pipetiranja volumna enega balona
4.2.2 Dva povezana balona
Naredimo eksperiment, kjer dva balona različno napihnemo in ju povežemo. Enega napihnemo na volumen 0,4 L pri tlaku 23 mbar, drugega pa na 1,5 L pri tlaku 0,4 mbar.
Odpremo potrebne ventile, da med balonoma omogočimo pretok zraka in opazujemo kaj se zgodi. Postopek ponovimo še štirikrat in vsakič fotografiramo začetna in končna stanja balonov. Narišemo graf (slika 4.6), kjer s svetlejšimi pikami prikažemo naše meritve in analitično rešitev s temnejšimi. Z manjšimi pikami so označena začetna stanja, z večjimi pa končna stanja balonov.
𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 [L]
Analitično 0,88
1 0,91
2 1,22
3 0,62
4 0,91
5 0,76
Slika 4.5: Praznjenje enega balona eksperimentalno in analitično
Rezultati
Pri eksperimentu smo po združitvi dveh balonov počakali, da se je situacija ustalila in zatem smo odprli ventil pipete ter odmerili izpodrinjen volumen vode iz rezervoarja. Rezultati meritev so vidni v preglednici 4.2.
Preglednica 4.2: Meritve pipetiranja volumna dveh balonov
4.2.3 Trije povezani baloni
Sedaj bomo skupaj povezali tri različno napihnjene balone. Enega napihnemo na volumen 1,5 L pri tlaku 15,7 mbar, drugega na 0,6 L pri tlaku 20 mbar in tretjega na 5 L pri tlaku 19,5 mbar. Spet opazujemo kaj se zgodi, ko odpremo ventile. Naredimo pet poskusov in iz fotografij začetnih in končnih stanj odmerimo volumne in prikažemo naše meritve poleg analitičnega rezultata (slika 4.7). Za boljšo razvidnost nam program pri analitični rešitvi označi začetno stanje balona s številko, v končnem stanju pa ji doda opuščaj. Številka
𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 [L]
Analitično 1,66
1 1,09
2 1,02
3 0,95
4 1,55
5 1,05
Slika 4.6: Začetna in končna stanja dveh povezanih balonov eksperimentalno in analitično
Rezultati
Ker imamo rezervoar velikosti le približno 6 L ne moremo pipetirati volumnov vseh treh balonov, zato zapremo ventil pred balonom 4 in pipetiramo le njegov volumen 𝑉4. Rezultate meritev prikazuje preglednica 4.3.
Preglednica 4.3: Pipetiranje balona 4 pri povezavi treh balonov
V obeh primerih, ko imamo med seboj več povezanih balonov vidimo kako zelo se teoretične vrednosti razlikujejo od eksperimentalnih (sliki 4.6 in 4.7). Že pri nastavljanju začetnih volumnov imamo težave, saj pri določenem tlaku ne pridemo do željenega volumna balona.
Končni tlak, ko balone povežemo, pa je vedno višji kakor bi moral biti glede na volumen za karakteristično krivuljo s katero obravnavamo primere.
𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 [L]
Analitično 3,35
1 2,83
2 3,35
3 4,04
4 3,05
5 3,11
Slika 4.7: Začetna in končna stanja treh povezanih balonov eksperimentalno in analitično
Rezultati
4.3 Pipeta z dozirnikom
Domislimo se še drugačnega načina odmerjanja tekočin. Namesto, da balon 4 napihujemo na poljuben volumen, ki ga kasneje pipetiramo, naredimo, da volumen balona 4, s pomočjo ostalih treh balonov, napihnemo le največ do kritičnega tlaka in temu volumnu recimo doza.
Zato tri pomožne balone, recimo jim zalogovnik, lahko napihnemo v 𝛾 fazi tudi največ do kritičnega tlaka. Ker nismo presegli kritičnega tlaka balon 4 ne preide v nestabilno 𝛽 fazo in ostane v 𝛼 fazi pri volumnu, katerega nam določa tlak zalogovnika v 𝛾 fazi (slika 4.8).
Naš dozirnik bi bil bolj uporaben, če bi namesto ene doze imeli več balonov in tako več doz.
Tako bi bila enota naše pipete 1 doza, z uporabo večih dozirnih balonov pa bi lahko pipetirali različne volumne. Za vse to, potrebujemo naš eksperimentalni sistem dograditi. Da bi bile meritve točne in se nam tlak v zalogovniku ne bi vidno zmanjšal, ko bi odprli ventil za polnjenje doz, bi potrebovali veliko število balonov v zalogovniku. Na to moramo paziti pri nadgrajevanju našega sistema. Eksperimentalni sistem je shematično prikazan na sliki 4.9, izvedba pa na sliki 4.10.
Slika 4.8: Prikaz principa dozirnika na 𝑝(𝑉) krivulji
Rezultati
Slika 4.9: Shema pipete z zalogovnikom in dozirnikom
Rezultati
Ko smo dogradili eksperimentalni sistem, lahko začnemo z meritvami. Najprej smo pomerili pipetiranje ene doze, torej smo druga prosta konca cevi zamašili. Balone v zalogovniku smo napihnili v 𝛾 fazi na tlak 25 mbar, odprli ventile da so se uravnovesili, potem pa smo pri čisto praznem balonu v dozirniku odprli ventil med njim in zalogovnikom. Zatem smo ventil zaprli in pipetirali 1 dozo skozi rezervoar in odmerili volumen pipetirane vode.
Meritve smo opravili za tri različne balone v dozirniku, pri vsakem petkrat. Rezultati so vidni v preglednici 4.4.
Vidimo, da ima dozirni balon pri napihovanju na 25 mbar približno 0,5 dcL, kar pa se ne sklada z našimi meritvami karakteristične krivulje. Pri meritvah slednje smo opazovali vrednosti pri praznjenju balonov in ne polnjenju. Z drugega vidika pa se meritve pri enem dozirnem balonu med seboj in meritve med baloni ne razlikujejo veliko. Sedaj ponovimo postopek, le da imamo v dozirniku najprej 2 dozirna balona in potem še 3. Rezultati meritev prikazujeta preglednici 4.5 in 4.6.
Preglednica 4.5: Meritve pipetiranja dveh doz 𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 dveh doz [L]
1 0,100
2 0,102
Preglednica 4.4: Meritve pipetiranje ene doze 𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 ene doze [L]
zelen balon
1 0,046
2 0,046
3 0,047
4 0,049
5 0,049
moder balon
1 0,051
2 0,050
3 0,048
4 0,050
5 0,050
rdeč balon
1 0,050
2 0,048
3 0,052
4 0,053
5 0,052
Rezultati Preglednica 4.6: Meritve pipetiranja treh doz
𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 treh doz [L]
zelen + moder + rdeč balon
1 0,157
2 0,160
3 0,155
4 0,155
5 0,157
Z večimi dozirnimi baloni lahko pipetiramo večji volumen in iz rezultatov vidimo, da se z enim dozirnim balonom več, poveča 𝑉𝑝𝑖𝑝𝑒𝑡 za približno eno dozo. V primeru, ko pipetiramo tri doze, pa opazimo, da je volumen pipetiranja nekoliko višji od pričakovanega.
Predvidevamo, da temu je tako zaradi napake pri nastavljanju opreme, ki jo naredimo pred vsako meritvijo. Namreč, ko po predhodnem eksperimentu ponovno napolnimo rezervoar pipete, se nam vedno nekaj mililitrov tekočine nenamerno izlije iz pipete. Končni volumen pipetiranja je tako manjši kakor bi moral biti. Ta napaka se pri meritvah ene doze odraža bolj kakor pri večih dozah.
5 Diskusija
Pri prvih meritvah, kjer nas je zanimala volumsko-tlačna krivulja gumijastih balonov, smo opazili kako smo kljub istim postopkom, med sabo dobili različne vrednosti. Ker so baloni narejeni za zabavo in ne v znanstvene namene, vemo, da njihova izdelava ni bila kontrolirana dovolj, da bi bila njihova sestava povsem enaka. Zaradi tanke stene, po naših meritvah 0,22 mm, lahko že majhna razlika v strukturi povzroči opazna odstopanja. Tudi pri vseh izračunih volumna iz slik z orodjem »Egg tools« pride do napak. Pri vseh analitičnih izračunih smo v nadaljevanju uporabili krivuljo, ki je aproksimirala več naših realnih meritev. Pri meritvah eksperimenta spuščanja balonov za pridobitev krivulje, smo poskusili ustvariti čim bolj stacionarne pogoje s tem, da smo balone praznili počasi.
Merili smo časovno spreminjanje volumna balona pri praznjenju in realne vrednosti prikazali z analitično izračunanimi (slika 4.5). Čeprav je vidno, da nismo uspeli nastaviti začetnega volumna na željeni volumen 1 L, se kljub temu oblika grafov zelo dobro ujema z analitično rešitvijo. To nam pove da, ko smo pomerili lastnosti našega eksperimentalnega sistema (premere in dolžine cevi itd.), in jih uporabili enačbah, analitičen rezultat zelo dobro opisuje realno stanje. Vrednosti volumnov po pipetiranju (preglednica 4.1) se dokaj razlikujejo med seboj, tudi do 0,6 L, čemur krivdo pripišemo napakam pri izvajanju eksperimenta, predvsem pa razlikam v sestavi balonov.
Ko smo iskali ravnovesne lege sistema več balonov smo naleteli na velike odmike od pomerjene karakteristične krivulje. Že v začetku pri nastavljanju balonov na željen volumen smo se poskusili izogniti napakam tako, da balonov nismo nastavljali na volumne med 1,5 in 4,0 L kjer ima 𝑝(𝑉) krivulja manjši naklon, posledično manjšo občutljivost, kar vodi do višje verjetnosti napak pri merjenju. Kljub dobrim ujemanjem začetnih stanj je po odprtju ventilov prišlo do višjih končnih tlakov od pričakovanih. Obnašanje povezanih balonov in njihovi končni volumni se dokaj ujemajo z analitičnimi napovedmi. Vzrok za povišane končne tlake balonov predvidevamo, da leži v histerezi polnjenja in praznjenja gumijastih balonov. Ko dva balona povežemo gresta v ravnovesno stanje tako, da se eden izprazne in drug napihne.
Pri balonu, ki se napihne se tlak hitreje spreminja, 𝑝(𝑉) krivulja se zoži in posledično najdeta dva balona ravnovesno lego nekje drugje, kakor smo pričakovali. Tako situacijo nam prikazuje slika 5.1.
Diskusija
Tudi pri pipetiranju, ko smo med seboj kombinirali več balonov smo dobili dokaj velike razlike volumnov.
Napakam zaradi histereze in nestabilnemu obnašanju balonov smo se izognili z drugačnim konceptom pipete. Pipetiranje z dozirnikom nam omogoča da imamo na eni strani balone, ki se le praznejo in na drugi dozirne balone, ki se polnejo. Izognili smo se nestabilni 𝛽 fazi in zato nam manjše motnje ne spravijo sistema povezanih balonov iz željene ravnovesne lege.
Tako pri pipetiranju ene, dveh kot treh doz smo naleteli na zelo dobre rezultate kar prikazujejo preglednice 4.4, 4.5 in 4.6. Ko smo v začetku merili volumen ene doze pri 25 mbar za tri različne balone smo opazili majhne razlike med baloni, saj so različni po sestavi. Ko smo pipetirali več balonov se je volumen pipetirane tekočine večal skladno s pričakovanji. Toliko balonov kot smo uporabili v dozirniku, toliko doz smo izmerili v volumnu odmerjene tekočine. Rezultati, kot smo že povedali, so ob povečevanju števila doz višji glede na pričakovane predvsem zaradi napake, ki jo naredimo pri nastavljanju sistema pred vsako meritvijo. Pri polnjenju rezervoarja nam vedno uide nekaj mL tekočine, kar je pri meritvah manjših doz bolj opazno. V primeru, ko bi hoteli imeti več balonov v dozirniku in odmerjati več doz, bi morali imeti v zalogovniku še več balonov. Več balonov kot bi bilo v zalogovniku, točnejše bi bile naše meritve. Kljub napihovanju več doz bi se tlak povezanega sistema spremenil zanemarljivo malo.
Slika 5.1: Prikaz pričakovanega in realnega izida dveh povezanih balonov z vplivom histereze
6 Zaključki
V nalogi smo obravnavali obnašanje gumijastih balonov v stabilnih in nestabilnih stanjih.
Na izdelanem eksperimentalnem sistemu smo opravljali meritve in jih primerjali s teoretičnimi izračuni.
1) V domači delavnici smo izdelali preprost prototip pipete na osnovi mehanske nestabilnosti gumijastih balonov.
2) Izmerili smo njihovo realno karakteristično krivuljo in jo matematično opisali.
3) Opazovali smo obnašanje med seboj povezanih balonov in meritve primerjali z rezultati napisanega programa.
4) Prototip pipete smo dodelali, da smo se izognili nestabilnim fazam 𝑝(𝑉) krivulje in tako dobili zelo dobre rezultate pipetiranja z dozami.
Predlogi za nadaljnje delo
V teoriji bi se bilo potrebno bolj poglobiti v materialne lastnosti balonov kot so trganje in celjenje polimernih vezi in histereza pri polnjenju in praznjenju. Uporabiti bi morali bolj profesionalno izdelane gumijaste membrane. V nadaljnjem razvijanju preproste pipete bi se bilo verjetno potrebno osredotočiti na pipetiranje z dozami. Tako bi se izognili histerezi in nestabilnem obnašanju elastičnih lupin, lahko rečemo tudi negativni togosti. Dovršen sistem preproste pipete bi lahko uporabili v najrazličnejših situacijah, od vsakdanje rabe do odmerjanja tekočin v industriji, lahko pa bi ga tudi avtomatizirali npr. pod gladino morja s pomočjo hidrostatičnega tlaka in bibavice.
Literatura
[1] M. Anja: Stabilna stanja zaprtega sistema povezanih lupin: diplomsko delo, Ljubljana 2019
[2] Muller, I. & Struchtrup, Henning: Inflating a Rubber Balloon, Mathematics and Mechanics of Solids 7, (2002) str. 569-577.
[3] Mangan, Robert and Destrade, Michel: Gent models for the inflation of spherical balloons, International Journal of Non-Linear Mechanics 68, (2015) str. 52-58.
[4] Jolyon Troscianko's website. Dostopno na:
http://www.jolyon.co.uk/myresearch/image-analysis/egg-shape-modelling/, ogled 13. 7. 2021.
[5] Velike deformacije kroglastih, natezno obremenjenih lupin. Dostopno na:
http://lab.fs.uni-lj.si/lanem/documents/VT_LV3_predloga.pdf, ogled 13. 7. 2021.
[6] De Tommasi, Domenico and Marzano, Salvatore and Puglisi, Giuseppe and Zurlo, Giuseppe: Damage and healing effects in rubber-like balloons, International Journal of Solids and Structures 46, (2009) str. 3999-4005.
[7] Hagen-Poiseuille equation. Dostopno na:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation, ogled 20. 8.
2021
[8] B. Kraut: Krautov strojniški priročnik. Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo, 2019.
