Optiˇ cni tok za identifikacijo nihanj znotraj enega slikovnega elementa

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Optiˇ cni tok za identifikacijo nihanj znotraj enega slikovnega elementa

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Jaˇ sa ˇ Sonc

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Optiˇ cni tok za identifikacijo nihanj znotraj enega slikovnega elementa

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Jaˇ sa ˇ Sonc

Mentor: prof. dr. Janko Slaviˇ c, univ. dipl. inˇ z.

Zahvala

Rad bi se zahvalil svojemu mentorju, prof. dr. Janku Slaviˇcu, za vso pomoˇc, nasvete in ves posveˇcen ˇcas skozi celoten proces izdelave zakljuˇcne naloge. Prav tako se zahva- ljujem laboratoriju za dinamiko strojev in konstrukcij (Ladisk) za posojeno opremo in asistentu, mag. Klemnu Zaletelju, za pomoˇc pri izvedbi eksperimenta. Zahvaljujem se tudi druˇzini, ki mi je omogoˇcila ˇstudij in me tako med pisanjem zakljuˇcne naloge kot tudi celotnim ˇstudijem podpirala. Zahvala gre tudi prijateljem in Katji za vso spodbudo in motivacijo.

Izvleˇ cek

UDK 531.776:534:517.443(043.2) Tek. ˇstev.: UN I/1530

Optiˇ cni tok za identifikacijo nihanj znotraj enega slikovnega elementa

Jaˇsa ˇSonc

Kljuˇcne besede: optiˇcni tok

gradientna metoda hitra kamera nihanja

Fourierjeva transformacija lastne frekvence

razmerniki duˇsenja

V zakljuˇcni nalogi je raziskan potencial identifikacije pomikov z amplitudo niˇzjo od velikosti enega slikovnega elementa. Najprej je gradientna metoda optiˇcnega toka za identifikacijo preizkuˇsena v sintetiˇcnem okolju, nato je izveden realni preizkus s hi- tro kamero. V programskem okolju Python je razvit programski paket, s katerim so doloˇcene optimalne lokacije za identifikacijo, izmerjene lastne frekvence merjenca in njim pripadajoˇci razmerniki duˇsenja.

Abstract

UDC 531.776:534:517.443(043.2) No.: UN I/1530

Identification of subpixel vibrations using optical flow

Jaˇsa ˇSonc

Key words: optical flow

gradient-based method high-speed camera vibrations

Fourier transform eigenfrequencies damping ratios

In this final thesis, the potential of identifying displacements with an amplitude smal- ler than the size of one pixel is investigated. First, the gradient-based optical flow method for displacement identification is tested in a synthetic environment, then a real experiment with a high-speed camera is carried out. Software is developed using Python programming language and is later used for determining the optimal locations for identification and measuring eigenfrequencies and damping ratios of an object.

Kazalo

Kazalo slik . . . ix

Kazalo preglednic . . . x

Seznam uporabljenih simbolov . . . xi

Seznam uporabljenih okrajˇsav . . . xii

1 Uvod . . . 1

1.1 Ozadje problema . . . 1

1.2 Cilji naloge . . . 1

2 Teoretiˇcne osnove in pregled literature . . . 2

2.1 Mehanska nihanja . . . 2

2.1.1 Lastna nihanja – vsiljena nihanja . . . 2

2.1.2 Neduˇsena nihanja – duˇsena nihanja . . . 3

2.1.2.1 Logaritemski upad . . . 4

2.1.3 Nihanja diskretnih sistemov – nihanja zveznih sistemov . . . 6

2.2 Obdelava signalov . . . 7

2.2.1 Diskretna Fourierjeva transformacija . . . 7

2.2.2 Oknjenje . . . 8

2.2.3 Dodajanje niˇcel . . . 9

2.3 Optiˇcni tok . . . 10

2.3.1 Gradientna metoda . . . 10

2.3.2 Teoretiˇcna loˇcljivost identifikacije pomikov . . . 12

3 Sintetiˇcni eksperiment . . . 13

3.1 Vpliv ˇsuma na identifikacijo . . . 15

4 Eksperiment s hitro kamero . . . 18

4.1 Postavitev eksperimenta . . . 18

5 Razvijanje programskega paketa . . . 21

5.1 Iskanje lokacij za identifikacijo . . . 22

5.2 Doloˇcevanje pomikov . . . 23

5.3 Doloˇcevanje razmernikov duˇsenja . . . 24

6 Rezultati in diskusija . . . 27

6.1 Lokacije za identifikacijo . . . 27

6.2 Doloˇcevanje pomikov in lastnih frekvenc . . . 27

6.3 Razmerniki duˇsenja . . . 29

7 Zakljuˇcki . . . 31

Literatura . . . 32

Kazalo slik

Slika 2.1: Osnovni model neduˇsenega mehanskega oscilatorja . . . 3

Slika 2.2: Osnovni model duˇsenega mehanskega oscilatorja . . . 4

Slika 2.3: Graf nihanja s podkritiˇcnim duˇsenjem . . . 5

Slika 2.4: Primer zveznega sistema . . . 6

Slika 2.5: Razliˇcne oblike oken, N = 20 [5] . . . 9

Slika 2.6: Primer oknjenja signala s Hannovim oknom . . . 9

Slika 3.1: Pomik polja in intenziteta slikovnega elementa . . . 13

Slika 3.2: Pomik polja, izraˇcunan iz spremembe intenzitete . . . 14

Slika 3.3: Frekvenˇcni spekter pomika v vertikalni smeri . . . 15

Slika 3.4: Podobmoˇcja razliˇcnih velikosti z dodanim nakljuˇcnim ˇsumom . . . . 16

Slika 3.5: Frekvenˇcni spekter identifikacij s podobmoˇcji razliˇcnih velikosti . . . 16

Slika 4.1: Postavitev eksperimenta . . . 18

Slika 4.2: Postavitev merjenca . . . 19

Slika 5.1: Obmoˇcje zajema kamere . . . 21

Slika 5.2: Iskanje toˇck z visokim gradientom . . . 22

Slika 5.3: Opazovano podobmoˇcje za izvedbo meritve . . . 23

Slika 5.4: Pomik . . . 24

Slika 5.5: Padanje amplitude prve lastne frekvence skozi posnetek . . . 25

Slika 5.6: Vpliv Hannovega okna na identifikacijo amplitud . . . 26

Slika 6.1: Toˇcke za identifikacijo . . . 27

Slika 6.2: Primerjava identifikacije v eni in veˇc toˇckah . . . 28

Slika 6.3: Padanje amplitude posameznih lastnih frekvenc . . . 30

Kazalo preglednic

Preglednica 2.1: Tipiˇcni razmerniki duˇsenja [4] . . . 6 Preglednica 3.1: Parametri sintetiˇcnega eksperimenta . . . 14 Preglednica 3.2: Napake identifikacije pomika . . . 15 Preglednica 3.3: Sum in napake pri identifikacijah z razliˇˇ cnimi velikosti po-

dobmoˇcij . . . 17 Preglednica 6.1: Identificirane lastne frekvence . . . 28

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

m kg masa

x m pomik

ẋ m/s hitrost

x

¨ m/s² pospeˇsek

k N/m togost vzmeti

ω₀ rad/s lastna kroˇzna frekvenca

F N sila

d Ns/m faktor duˇsenja

δ / razmernik duˇsenja

∆ / logaritemski upad

n / ˇstevilo nihajev

t s ˇcas

N s perioda

F0 rad/s osnovna frekvenca

Ω₀ rad/s osnovna kroˇzna frekvenca X[k] / koeficienti spektra signala

h_d / digitalni signal

h / oknjen digitalni signal

ω[n] / okenska funkcija

a_k / koeficienti okenskih funkcij

f Hz frekvenca

f_locˇljivost Hz frekvenˇcna loˇcljivost L / dolˇzina konˇcnega signala

x(n) / osnoven signal

x

ˆ(n) / konˇcni signal

I / trenutna intenziteta slikovnega elementa I₀ / referenˇcna intenziteta slikovnega elementa

η % relativna napaka

r / vrstica matrike posnetka (ang. row) c / stolpec matrike posnetka (ang. column) Indeksi

kr kritiˇcen vz vzorˇcenje

min minimalen

Seznam uporabljenih okrajˇ sav

Okrajˇsava Pomen

2D dvodimenzionalen

FPS ˇstevilo slik na sekundo (ang. Frames per second)

SSD raˇcunalniˇski disk za shranjevanje podatkov brez premikajoˇcih delov (ang. Solid state drive)

PFV raˇcunalniˇski program za upravljanje s hitro kamero (ang. Photron Fastcam Viewer)

CIH tip datoteke s podatki o posnetku (ang. Camera Information Header)

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

Meritve vibracij so kljuˇcnega pomena pri razvoju in vzdrˇzevanju izdelkov. Z nadzoro- vanjem in zmanjˇsevanjem vibracij zagotavljamo boljˇse delovanje in daljˇso ˇzivljenjsko dobo izdelka. Pogosto se za merjenje vibracij uporabljajo piezoelektriˇcni pospeˇskomeri.

So zelo natanˇcni, njihove slabosti pa so, da lahko s svojo maso vplivajo na dinamiko izdelka, prav tako omogoˇcajo meritev le v eni toˇcki. Za meritve v veˇc toˇckah moramo uporabiti veˇc senzorjev ali pa meritev ponavljati [1]. V veˇc primerih so zato bolj pri- merne brezkontaktne metode. Pogosto gre za laserske sisteme [2], ki delujejo na osnovi Dopplerjevega efekta.

Ena izmed brezkontaktnih metod je merjenje s hitro kamero. Glavna prednost te me- tode je merjenje z izredno veliko prostorsko gostoto, saj vsak slikovni element (ang.

pixel) predstavlja potencialno merilno mesto. Metoda deluje na principu opazovanja spremembe svetlosti slikovnega elementa. Podatke analiziramo z raˇcunalniˇskim pro- gramom in iz njih doloˇcimo pomike.

1.2 Cilji naloge

V zakljuˇcni nalogi je s pomoˇcjo numeriˇcnega in realnega eksperimenta raziskan po- tencial identifikacije pomikov z amplitudo niˇzjo od velikosti enega slikovnega elementa hitre kamere. Cilji naloge so najprej s sintetiˇcnim eksperimentom znotraj programskega okolja Python preizkusiti metodo identifikacije pomikov in preuˇciti vpliv ˇsuma, nato pa opraviti realni eksperiment s hitro kamero in razviti programski paket za identifikacijo pomikov.

V naslednjem koraku pa je s pomoˇcjo programskega paketa cilj analizirati parame- tre identifikacije, doloˇciti lastne frekvence merjenca in izraˇcunati razmernike duˇsenja posameznih lastnih frekvenc.

2 Teoretiˇ cne osnove in pregled lite- rature

2.1 Mehanska nihanja

Poglavje 2.1 povzeto po [3].

Prvi pogoj za nastanek nihanja v nekem mehanskem sistemu je obstoj vraˇcajoˇce sile.

To je sila, ki se upira poveˇcevanju odmika od ravnovesne lege. Poznamo razliˇcne vrste vraˇcajoˇcih sil; lahko so sile in tudi momenti. Primer je notranja sila v vzmeti, ki se upira tako raztezanju kot stiskanju glede na neobremenjeno stanje in je posledica proˇznosti materiala. Vraˇcajoˇca sila je lahko tudi moment teˇze v primeru matematiˇcnega nihala, ki vedno nasprotuje poveˇcevanju odklona od ravnovesne lege. Pri torzijskem nihalu pa je to notranji torzijski moment gredi, ki vedno nasprotuje poveˇcevanju torzijskega zasuka.

Vsak dinamski model, s katerim popisujemo nihanje, mora imeti proˇzni element, ki shranjuje potencialno energijo in masni element, ki pri nihanju predstavlja kinetiˇcno energijo. Potencialna in kinetiˇcna energija se med nihanjem pretvarjata ena v drugo.

V skrajni legi je potencialna energija maksimalna, kinetiˇcna pa niˇcna, v ravnovesni legi pa ravno obratno. V poenostavljenem teoretiˇcnem modelu se energija lahko ohranja (prehaja iz ene oblike v drugo brez izgub), v realnosti pa imamo vedno doloˇcene izgube, ki jih pogosto ne moremo zanemariti, zato moramo takrat v dinamske modele vkljuˇciti tudi mehanizem duˇsenja oziroma disipacije energije.

2.1.1 Lastna nihanja – vsiljena nihanja

Dolastnega nihanjapride, ko sistem na zaˇcetku opazovanja postavimo v neke zaˇcetne pogoje, nato pa je sistem prepuˇsˇcen samemu sebi, da prosto niha. Zaˇcetne pogoje lahko v sistem vnesemo na razliˇcne naˇcine. Del sistema lahko izmaknemo iz ravnovesne lege in ga spustimo, da prosto niha. Lahko pa sistem v ravnovesni legi na zaˇcetku opazovanja vzbudimo z impulzno motnjo (npr. s kratkim udarcem). Tak sistem modeliramo z niˇcnimi zaˇcetnimi pomiki in hitrostmi, ki jih dobimo iz impulznega stavka. Osnovna lastnost sistemov v lastnem nihanju so njihove lastne kroˇzne frekvence in lastni vektorji.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Osnovni model mehanskega oscilatorja, ki je prikazan na sliki 2.1, je sestavljen iz brezmasne vzmeti z linearno karakteristikok in neko zaˇcetno dolˇzino ter togega telesa mase m. Ko vzmet obremenimo s teˇzo telesa mase m, se deformira do neke statiˇcne lege, ki predstavlja ravnovesno lego, okoli katere sistem niha.

Slika 2.1: Osnovni model neduˇsenega mehanskega oscilatorja 2. Newtonov zakon doloˇca gibalno enaˇcbo oscilatorja z eno prostostno stopnjo:

m x¨ +k x= 0 (2.1)

Enaˇcbo (2.1) preoblikujemo in dobimo enaˇcbo v sploˇsni obliki, pri ˇcemer je ω₀ lastna kroˇzna frekvenca sistema:

x

¨ +ω₀²x= 0 (2.2)

ω₀ =

√︃k

m (2.3)

Vsiljeno nihanje nastane, ko na nihajoˇci sistem stalno deluje ˇse zunanja sila in s tem v sistem vnaˇsa energijo. V praksi so zunanje sile lahko harmoniˇcne, periodiˇcne, aperiodiˇcne ali nakljuˇcne. Ena izmed najpogostejˇsih vzbujevalnih sil je centrifugalna sila, ki nastane zaradi masne neuravnoteˇzenosti rotorja. Kot vsiljeno nihanje lahko modeliramo tudi odziv sistemov na nihanje podlage (npr. odziv stavbe pri potresu ali odziv ˇcloveka v avtomobilu).

2.1.2 Neduˇ sena nihanja – duˇ sena nihanja

Ko lahko v nekem sistemu zavestno zanemarimo duˇsenje, govorimo o neduˇsenem nihanju. To lahko storimo, ko vemo, da mehanizmi duˇsenja v tem sistemu le malo vplivajo na lastne frekvence nihanj in zmanjˇsevanje amplitude, ˇce nihanje opazujemo v dovolj kratkih ˇcasovnih intervalih.

Priduˇsenih nihanjihgre za dinamiˇcne modele, v katerih upoˇstevamo tudi disipacijo

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Osnovni model disipacije energije vkljuˇcuje viskozno duˇsenje. V sistem poleg telesa masem in vzmeti z linearno karakteristikok dodamo ˇse duˇsilko s faktorjem duˇsenjad.

Model je prikazan na sliki 2.2.

Slika 2.2: Osnovni model duˇsenega mehanskega oscilatorja

Duˇsilka v sistemu nasprotuje gibanju s siloF, ki je sorazmerna s hitrostjo. Podana je z enaˇcbo:

F =−d ẋ (2.4)

2. Newtonov zakon doloˇca gibalno enaˇcbo za duˇsena nihanja:

m x¨ +d ẋ +k x= 0 (2.5)

Enaˇcbo (2.5) preoblikujemo in dobimo standardno obliko gibalne enaˇcbe, v kateri δ predstavlja razmernik duˇsenja, ki je dan z enaˇcbo (2.7) kot razmerje med duˇsenjem sistema in kritiˇcnim duˇsenjem, pri katerem v sistemu ne pride veˇc do prenihavanja, temveˇc le do pribliˇzevanja ravnovesni legi.

x

¨ + 2δ ω²₀ẋ +ω²₀ x= 0 (2.6)

δ= d

d_kr (2.7)

2.1.2.1 Logaritemski upad

Z logaritemskim upadom lahko doloˇcimo razmernik duˇsenja δ s padanjem amplitude pri lastnih duˇsenih nihanjih. Definiran je kot naravni logaritem razmerja dveh zapo- rednih odmikov, ki sta na ˇcasovni razdalji ene periode, ali dveh odmikov, ki sta na ˇcasovni razdaljin period. St₁ int₂ oznaˇcimo dva ˇcasovna trenutka, ki sta zamaknjena za periodo τ0d, s tn oznaˇcimo ˇcasovni trenutek, ki je od t1 zamaknjen za n period.

Logaritemski upad zapiˇsemo z enaˇcbo:

∆ =lnx(t₁)

= 1

lnx(t₁)

(2.8)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Povezava med logaritemskim upadom in razmernikom duˇsenja pa je dana z enaˇcbo:

∆ = 2πδ

√1−δ² (2.9)

Preprosta zveza med logaritemskim upadom ∆ in razmernikom duˇsenja δ je zelo po- membna pri eksperimentalnem doloˇcevanju parametrov lastnega duˇsenega nihanja. Z meritvami zaporednih amplitud lahko enostavno doloˇcimo logaritemski upad, iz njega razmernik duˇsenja in preko nihajoˇce mase tudi faktor duˇsenja d. Ce je razmernikˇ duˇsenja majhen, gre vrednost pod ulomkom v enaˇcbi (2.9) proti 1 in jo lahko poeno- stavimo v obliko:

∆≈2πδ (2.10)

Na sliki 2.3 je prikazan graf duˇsenega nihanja. ˇCrtkana krivulja, ki se dotika vrhov funkcije, je eksponentna ovojnica, dana z enaˇcbo: x(t) =e^−δω0t

Slika 2.3: Graf nihanja s podkritiˇcnim duˇsenjem

Razmerniki duˇsenja so odvisni od materialnih lastnosti in geometrije telesa ali struk- ture. Tipiˇcne vrednosti za nekatere materiale in strukture povzete po [4] so prikazane v preglednici 2.1.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Preglednica 2.1: Tipiˇcni razmerniki duˇsenja [4]

Material/struktura Razmernik duˇsenja Kovine (elastiˇcno podroˇcje) <0,01

Guma ≈0,05

Steklo 0,0003 do 0,001

Les ≈0,01

Kovinske strukture 0,02 do 0,04 Elektriˇcni daljnovodi ≈0,0004 Duˇsilci na avtomobilskem vzmetenju ≈0,3

Visoke stavbe med potresi 0,01 do 0,05

2.1.3 Nihanja diskretnih sistemov – nihanja zveznih sistemov

O nihanjih diskretnih sistemov govorimo, ko lahko sistem ponazorimo z uporabo konˇcno mnogo prostostnih stopenj. Modeliranje realnih nihajoˇcih sistemov z veˇc pro- stostnimi stopnjami pomeni razˇsiritev obravnavanja glede na sisteme z eno prostostno stopnjo. Dinamiˇcni sistem ima lahko poljubno mnogo prostostnih stopenj, ki jih mate- matiˇcno zapiˇsemo kot sistem navadnih diferencialnih enaˇcb. V praksi pri modeliranju vibracij vedno poskuˇsamo doloˇciti najmanjˇse moˇzno ˇstevilo prostostnih stopenj, ki ˇse vedno predstavlja zadovoljivo reˇsitev, saj to pomeni manjˇsi in enostavnejˇsi matematiˇcni model.

Ko v limitnem primeru ˇstevilo prostostnih stopenj sistema gre v neskonˇcnost, pa go- vorimo o nihanju zveznega sistema. Glavna lastnost zveznih sistemov je, da imajo po svoji geometriji zvezno porazdeljeno maso, togost in duˇsenje. Kot primer lahko vzamemo ˇclenkasto podprt nosilec, prikazan na sliki 2.4. Matematiˇcni model nihanja takega sistema je predstavljen s homogeno linearno parcialno diferencialno enaˇcbo s podanimi robnimi in zaˇcetnimi pogoji. Zaˇcetni pogoji se navezujejo na ˇcas, robni pa na kraj (npr. naˇcin vpetja na robovih nosilca). V primerjavi z diskretnimi sistemi lahko zveznim sistemom poleg lastnih kroˇznih frekvenc in lastnih vektorjev doloˇcimo tudi lastne oblike.

Slika 2.4: Primer zveznega sistema

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.2 Obdelava signalov

Obdelava signalov je podroˇcje, ki se osredotoˇca na analizo izmerjenih signalov. Iz podatkov merilnika poskuˇsamo dobiti uporabne in realne informacije. Pri tem upora- bljamo razliˇcne matematiˇcne pristope, s katerimi lahko spreminjamo signal. Najpogo- steje gre za digitalno procesiranje znotraj programske opreme.

V tem poglavju so predstavljena orodja za obdelavo signalov, ki so bila uporabljena pri izdelavi zakljuˇcne naloge.

2.2.1 Diskretna Fourierjeva transformacija

Pri obdelavi signalov pogosto ˇzelimo doloˇciti frekvence in amplitude nihanj. Pri nihanju z le eno frekvenco je to enostavno, saj lahko frekvenco doloˇcimo kar z deljenjem ˇcasa nihanja s ˇstevilom nihajev. V realnosti pa opazovani sistemi pogosto nihajo z veˇc frekvencami, zato moramo uporabiti Fourierjevo transformacijo.

Fourierjeva transformacija temelji na Fourierjevi vrsti, ki omogoˇca razstavljanje poljub- nega periodiˇcnega signala na veˇc periodiˇcnih funkcij (sinus, kosinus). Tako analogni kot tudi digitalni signal lahko razvijemo v Fourierjevo vrsto. Periodiˇcnemu diskretnemu signalux[n] s periodo N najprej doloˇcimo osnovno frekvenco [5]:

F₀ = 1

N (2.11)

Namesto frekvenceF₀ zapiˇsemo osnovno kroˇzno frekvenco Ω₀: Ω0 = 2πF0 = 2π

N (2.12)

Diskretni signal razvijemo v konˇcno vrsto, sestavljeno iz kompleksnih eksponentnih funkcij:

x[n] =

N−1

∑︂

k=0

X[k]e^jnkΩ0 (2.13)

Koeficienti X[k] predstavljajo spekter signala. Izraˇcunamo jih z enaˇcbo (2.14), ki predstavlja diskretno Fourierjevo transformacijo [5]:

X[k] = 1 ^N∑︂⁻¹

x[n]e^−jnkΩ0 (2.14)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.2.2 Oknjenje

Oknjenje je postopek mnoˇzenja signala z okensko funkcijo, ki ima vrednost 0 izven izbranega intervala, znotraj intervala pa je ponavadi simetriˇcna z maksimumom na sredini. Na digitalnem signalu h_d[n] izvedemo oknjenje tako, da ga pomnoˇzimo z okensko funkcijow[n] in dobimo oknjen signal h[n] [5]:

h[n] =w[n]h_d[n] (2.15)

Poznamo razliˇcne vrste okenskih funkcij.

Pravokotno okno ˇsirineN ima znotraj svojega intervala vrednost 1, izven intervala pa 0 in je ekvivalentno zajemu doloˇcenega odseka iz neskonˇcnega signala. Okenska funkcija pravokotnega okna je:

w[n] =

{︄1 ; |n| ≤N/2

0 ; |n|> N/2 (2.16)

Pri Fourierjevi transformaciji signala, ki smo ga dobili s pravokotnim oknom, se pojavi

“puˇsˇcanje” (ang. Leakage). Problematiˇcna sta zaˇcetek in konec signala, ki imata lahko vrednost izven niˇcle, kar Fourierjeva transformacija zazna kot oster preskok.

Z namenom zmanjˇsanja puˇsˇcanja se uporabljajo kosinusna okna, ki imajo na robovih postopen prehod do niˇcle. Z uporabo takˇsnega okna zmanjˇsamo ostre preskoke na zaˇcetku in koncu signala. Enaˇcba kosinusnih oken [5]:

w[n] =

K

∑︂

k=0

a_k cos(2kπn/N) ; |n| ≤ N

2 (2.17)

Z izbiro koeficientova_kdoloˇcimo obliko okna. Nekaj najbolj znanih oken, katerih oblike so prikazane na sliki 2.5:

Hannovo okno

a₀ = 1 (2.18)

Hammingovo okno a₀ = 0.54

a1 = 0.46 (2.19)

Blackmanovo okno a₀ = 0.42

a₁ = 0.5 (2.20)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

Slika 2.5: Razliˇcne oblike oken, N = 20 [5]

Na sliki 2.6 je prikazan primer oknjenja signala. Na levi sliki je zaˇcetni sinusni signal, ki ga pomnoˇzimo z okensko funkcijo, da dobimo oknjen signal, prikazan na desni sliki.

Uporabljeno je Hannovo okno.

Slika 2.6: Primer oknjenja signala s Hannovim oknom

2.2.3 Dodajanje niˇ cel

Frekvenˇcna loˇcljivost Fourierjeve transformacije je odvisna od dolˇzine signala oziroma okna (ˇstevilo toˇck N) in frekvence vzorˇcenja fvz.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Ponavadi ta loˇcljivost povsem zadoˇsˇca za frekvenˇcno analizo, saj je zajet signal pretvor- jen brez izgub in ga lahko z inverzno Fourierjevo transformacijo tudi v celoti obnovimo.

Ce pa v frekvenˇˇ cni domeni ˇzelimo bolj detajlno sliko z manjˇsim razmikom med toˇckami na frekvenˇcni osi pa lahko uporabimo dodajanje niˇcel (ang. zero padding).

Pri dodajanju niˇcel gre za postopek dodajanja niˇcelnega signala h koncu osnovnega signala x(n) v ˇcasovni domeni z namenom izboljˇsanja loˇcjivosti v frekvenˇcni domeni.

Zapiˇsemo ga lahko s sledeˇcim predpisom, pri katerem jex(n) osnovni signal, N dolˇzina osnovnega signala, L pa ˇzeljena dolˇzina signala po dodajanju niˇcel. Dobimo konˇcni signalxˆ(n) [6].

x ˆ(n) =

{︄x(n) ; 0≤n ≤N −1

0 ; N ≤n≤L−1 (2.22)

Pri tem je potrebno vedeti, da dodajanje niˇcel ne izboljˇsa realne frekvenˇcne loˇcljivosti.

Le-ta je odvisna samo od dolˇzine osnovnega (pravega) signala. V bistvu gre za in- terpolacijo; zmanjˇsa se razmik med sosednjimi toˇckami, dobimo lepˇso in bolj gladko krivuljo. To je v analizi vibracij uporabno, ko hoˇcemo razbrati detajle v bliˇzini lastnih frekvenc [6].

2.3 Optiˇ cni tok

Optiˇcni tok je porazdelitev navideznih hitrosti pomikov svetlostnih vzorcev na sliki.

Nastane zaradi relativnega premikanja objektov glede na opazovalca. Z njim lahko dobimo podatke o prostorski porazdelitvi objektov in hitrosti spremembe porazdelitve.

Optiˇcnega toka ne moremo izraˇcunati lokalno, saj je na enem mestu na voljo le ena neodvisna meritev, hitrost na dvodimenzionalni sliki pa ima dve komponenti. Zato je potrebna ena dodatna omejitev [7].

2.3.1 Gradientna metoda

Digitalna monokromatska slika je 2D-matrika slikovnih elementov, vsak izmed njih ima svojo vrednost intenzitete svetlobe I(x, y). Intenzitetno polje je lastnost povrˇsine objekta in se pri konstantni osvetlitvi ohranja (premika skupaj z objektom). Za izraˇcun pomika predpostavimo, da intenziteta posamezne toˇcke (x_j, y_k), ki se je premaknila na (xj + ∆x, yk+ ∆y) skozi ˇcas ostane konstanta [8]:

I(x_j, y_k, t) =I(x_j + ∆x, y_k+ ∆y, t+ ∆t) (2.23) Funkcijo intenzitete pomika aproksimiramo s Taylorjevo vrsto:

I(x_j+ ∆x, y_k+ ∆y, t+ ∆t) =I(x_j, y_k, t) + ∂I

∂x∆x+ ∂I

∂y∆y+∂I

∂t∆t+... (2.24)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Predpostavimo majhne premike in kratek ˇcas med zaporednimi slikami, zato lahko viˇsje odvode zanemarimo. Enaˇcbi (2.23) in (2.24) lahko zapiˇsemo kot [8]:

∂I

∂x∆x+ ∂I

∂y∆y+∂I

∂t∆t= 0 (2.25)

Za diskretne slike je parcialni odvod ∂I/∂t∆t enak spremembi intenzitete med dvema zaporednima slikama:

∂I

∂t∆t =I(x_j, y_k, t+ ∆t)−I(x_j, y_k, t) (2.26) Enaˇcbo (2.25) lahko sedaj zapiˇsemo kot:

∂I

∂x∆x+ ∂I

∂y∆y=I(xj, yk, t)−I(xj, yk, t+ ∆t) (2.27) V enaˇcbi (2.27) poznamo gradientno poljeI, imamo pa dve neznanki: ∂I/∂x in∂I/∂y, zato enaˇcbe ne moremo enoliˇcno reˇsiti. Uporabiti moramo predpostavko oziroma ome- jitev, in sicer da lahko pomike raˇcunamo le v smeri gradienta:

|∇I|∆s =I(x_j, y_k, t)−I(x_j, y_k, t+ ∆t) (2.28)

|∇I| predstavlja skalarno vrednost gradienta. Izraˇcunamo jo s parcialnimi odvodi in- tenzitete svetlobe po obeh smereh iz prve slike:

|∇I|=

√︄

∂I²

∂x +∂I²

∂y (2.29)

Prepostavimo, da so pomiki majhni in da bodo ostali znotraj obmoˇcja s konstantnim gradientom. Zato lahko namesto raˇcunanja gradienta pri vsaki sliki pomike opazujemo glede na referenˇcno sliko (prva slika ali povpreˇcje veˇc slik) tako, da primerjamo refe- renˇcno intenziteto I0(x, y) z intenziteto trenutne slike I(x, y, t) [8]. Pomik glede na referenˇcno sliko s(x_j, y_k, t) dobimo po enaˇcbi:

s(x_j, y_k, t) = I₀(x_j, y_k)−I(x_j, y_k, t)

|∇I0| , (2.30)

kjer je |∇I₀| gradient intenzitete svetlosti referenˇcne slike.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.3.2 Teoretiˇ cna loˇ cljivost identifikacije pomikov

Vibracije struktur so pogosto teˇzko vidne s prostim oˇcesom, saj imajo majhne ampli- tude in visoke frekvence. Zato je potrebna dobra loˇcljivost identifikacije (precej pod velikostjo enega slikovnega elementa). Pri snemanju z n-bitno kamero lahko glede na vse moˇzne vrednosti sivine, ki jih lahko prikaˇze kamera, doloˇcimo teoretiˇcno loˇcljivost identifikacije. Pri opazovanju posameznega slikovnega elementa z bitno globino n jo izraˇcunamo po enaˇcbi [8]:

∆x_min = 1

2ⁿ−1 (2.31)

Za 8-bitno ˇcrno-belo kamero, ki prikazuje 256 razliˇcnih vrednosti sivine, je teoretiˇcna loˇcljivost identifikacije pomika 1/255 oziroma 0,004 slikovnega elementa.

Boljˇso loˇcljivost lahko doseˇzemo z uporabo podobmoˇcja (ang. subset) sosednjih d×d slikovnih elementov, saj se vsakemu izmed njih vrednosti spreminjajo ob razliˇcnih ˇcasih [8]. Loˇcljivost identifikacije na podobmoˇcju velikosti d×d je:

∆x_min = 1

(2ⁿ−1)d (2.32)

Pri 8-bitni ˇcrno-beli kameri, se z uporabo podobmoˇcja 3×3 loˇcljivost izboljˇsa iz 0,004 na 0,0013 slikovnega elementa.

3 Sintetiˇ cni eksperiment

Potencial identifikacije pomikov znotraj enega slikovnega elementa najprej raziˇsˇcemo znotraj sintetiˇcnega (numeriˇcnega) eksperimenta v programskem okolju Python. Cilj je preveriti delovanje metode identifikacije in raziskati vpliv ˇsuma ter prednosti opazo- vanja veˇcjega ˇstevila slikovnih elementov.

Predpostavimo eksperiment z 8-bitno kamero, ki prikazuje 2⁸ = 256 razliˇcnih vrednosti intenzitete. Torej so v opazovanem obmoˇcju vrednosti med I = 0 (ˇcrna) in I = 255 (bela). Najprej generiramo obmoˇcje bele barve, v katerega se v eni smeri pomika polje ˇcrne barve. Pri tem nastane idealen rob, ki je zaradi visokega gradienta v eni smeri in niˇcelnega v drugi najuˇcinkovitejˇsi za identifikacijo pomikov. Poenostavljena metoda identifikacije pomikov predpostavlja linearno odvisnost med pomikom ˇcrnega polja v smeri gradienta intenzitete in intenziteto opazovanega slikovnega elementa, ki ga “vidi”

kamera. Iz tega sledi, da lahko v tem eksperimentu zaznamo pomike do 1/255 = 0,004 slikovnega elementa. Na sliki 3.1 je v levem stolpcu prikazan pomik ˇcrnega polja v opazovano obmoˇcje, v desnem stolpcu pa intenziteta, ki jo zazna kamera pri podanem pomiku.

Sintetiˇcni eksperiment V naslednjem koraku generiramo harmonsko gibanje ˇcrnega polja. Funkcija pomika je vsota veˇc komponent (sinusnih nihanj okoli srediˇsˇca celotnega obmoˇcja), ki imajo vsaka svojo amplitudo in frekvenco. Velikost opazovanega obmoˇcjal×l in amplitude nihanj so podane v brezdimenzijskih enotah. Uporabljeni so naslednji parametri:

Preglednica 3.1: Parametri sintetiˇcnega eksperimenta Parameter Vrednost Dolˇzina posnetka 3 s St. slik na sekundoˇ 200

Velikost polja 210×210 Amplituda 1. nihanja 50

Frekvenca 1. nihanja 5 Hz Amplituda 2. nihanja 20

Frekvenca 2. nihanja 20 Hz Amplituda 3. nihanja 5

Frekvenca 3. nihanja 30 Hz

S sintetiˇcnim eksperimentom dobimo diskretno vrsto intenzitet, kot bi jo dobili z opa- zovanjem enega slikovnega elementa na posnetku iz kamere. Z upoˇstevanjem enaˇcbe (2.30) spremembe v intenziteti delimo z vertikalnim gradientom, da dobimo pomik. Za referenˇcno sliko je bila uporabljena prva slika, ko je ˇcrno polje na sredini opazovanega obmoˇcja. Pomike skozi ˇcas prikaˇzemo na grafu:

Slika 3.2: Pomik polja, izraˇcunan iz spremembe intenzitete

Nihanje je sestavljeno iz veˇc komponent, zato nad diskretno vrsto pomikov izvedemo diskretno Fourierjevo transformacijo. V frekvenˇcni domeni lahko razberemo amplitude in frekvence posameznih komponent:

Sintetiˇcni eksperiment

Slika 3.3: Frekvenˇcni spekter pomika v vertikalni smeri

Vidimo, da je metoda identifikacije nihanj precej natanˇcna. Pojavijo se le manjˇse napake, ki pa so posledica predpostavljene bitne globine in z njo povezane loˇcljivosti ter ˇstevila slik na sekundo glede na frekvenco nihanja.

Rezultati identifikacije in relativne napake so prikazani v preglednici 3.2. Pri nihanjih z niˇzjimi frekvencami je identifikacija zelo natanˇcna, pri nihanjih z viˇsjimi frekvencami pa zaˇcne napaka naraˇsˇcati, saj frekvenca vzorˇcenja (ˇstevilo slik na sekundo) ni veˇc tolikokrat veˇcja od frekvence nihanja, zato popis sinusne krivulje ni tako natanˇcen (identifikacija ne zadane vrhov nihanja).

Preglednica 3.2: Napake identifikacije pomika

Merjena veliˇcina Prava vrednost Izmerjena vrednost η[%]

Amplituda 1. nihanja 50 49.98 0.04

Amplituda 2. nihanja 20 19.77 1.13

Amplituda 3. nihanja 5 4.79 4.2

3.1 Vpliv ˇ suma na identifikacijo

V realnem eksperimentu se na posnetku pojavi ˇsum, ki je lahko tudi veˇcji od amplitude intenzitete, ki ga povzroˇci posamezno nihanje. S sintetiˇcnim eksperimentom preverimo, ali lahko na posnetku z dodanim nakljuˇcnim ˇsumom ˇse vedno prepoznamo posamezna nihanja. Analiziramo tudi, kako opazovanje podobmoˇcja z veˇc slikovnimi elementi vpliva na pravilnost identifikacije pomikov.

Za eksperiment so bili uporabljeni isti parametri kot v primeru brez ˇsuma, podani v

Sintetiˇcni eksperiment (a) 1 slikovni element (b) podobmoˇcje 3×3 (c) podobmoˇcje 5×5

Slika 3.4: Podobmoˇcja razliˇcnih velikosti z dodanim nakljuˇcnim ˇsumom

Pomike iz podobmoˇcja z veˇc slikovnimi elementi doloˇcimo tako, da vzamemo povpreˇcno intenziteto svetlosti vseh elementov in z njo izraˇcunamo pomik po enaˇcbi (2.30). Tudi v tem primeru je za referenˇcno sliko uporabljena prva slika.

Na dobljeni diskretni vrsti pomikov izvedemo Fourierjevo transformacijo. V frekvenˇcni domeni iz grafov razberemo natanˇcnost identifikacije in povpreˇcno vrednost ˇsuma:

(a) 1 slikovni element (b) podobmoˇcje 3×3

(c) podobmoˇcje 5×5 (d) podobmoˇcje 7×7

Slika 3.5: Frekvenˇcni spekter identifikacij s podobmoˇcji razliˇcnih velikosti

Sintetiˇcni eksperiment V preglednici 3.3 so prikazane povpreˇcne vrednosti ˇsuma na frekvenˇcnem spektru iden- tifikacije z razliˇcnimi velikosti podobmoˇcij. V zadnjem stolpcu je prikazana povpreˇcna relativna napaka pri identifikaciji amplitud vseh treh nihanj.

Preglednica 3.3: ˇSum in napake pri identifikacijah z razliˇcnimi velikosti podobmoˇcij Velikost podobmoˇcja Povpreˇcna vrednost ˇsuma η[%]

1×1 2.26 17.9

3×3 0.81 4.83

5×5 0.45 3.82

7×7 0.34 3.21

Uporaba podobmoˇcja namesto posameznega slikovnega elementa se na posnetku z do- danim ˇsumom izkaˇze za zelo uporabno. Kot je razvidno na sliki 3.5, so amplitude izven frekvenc iskanih nihanj razliˇcne od 0, kar je posledica ˇsuma. ˇSum je nedeterministiˇcni signal, ki ga s povpreˇcenjem po veˇc slikovnih elementih uspeˇsno zmanjˇsamo. Identifi- kacija na enem slikovnem elementu je precej slaba, saj nihanja s frekvenco 50 Hz sploh ne moremo razbrati. Ko zaˇcnemo poveˇcevati ˇstevilo opazovanih slikovnih elementov, ˇsum bolje izloˇcimo, vidne pa so tudi viˇsje frekvence. Najveˇcje izboljˇsanje opazimo pri prehodu iz 1 slikovnega elementa na 3×3 podobmoˇcje, kasneje se ˇsum zmanjˇsuje poˇcasneje. Tudi natanˇcnost identifikacije se z veˇcanjem podobmoˇcja izboljˇsuje. Tako kot ˇsum se tudi napaka pri prehodu iz enega slikovnega elementa na podobmoˇcje 3×3 precej zmanjˇsa, pri nadaljnjem poveˇcevanju pa so vidne le manjˇse izboljˇsave.

Iz eksperimenta sklepamo, da je pri identifikaciji na posnetku s ˇsumom zelo priporoˇcljivo uporabljati vsaj podobmoˇcje velikosti 3×3. Nadaljnje veˇcanje podobmoˇcja le ˇse ne- koliko izboljˇsuje identifikacijo, medtem ko se ˇcas raˇcunanja (povpreˇcenja slikovnih ele- mentov na vsaki sliki posnetka) veˇca eksponentno. Zato je uporaba veˇcjih podobmoˇcij (7×7 ali celo veˇc) le redko smiselna, predvsem takrat, ko opazujemo nihanja z niˇzjimi frekvencami in veˇcjimi amplitudami.

4 Eksperiment s hitro kamero

Da bi metodo identifikacije pomikov preizkusili tudi v realnosti, smo izvedli eksperi- ment s hitro kamero Photron FASTCAM SA-Z. Posneli smo lastno nihanje nosilca. V nadaljevanju je opisan postopek eksperimenta.

4.1 Postavitev eksperimenta

Eksperiment je bil izveden v laboratoriju. Nosilec je bil poloˇzen na mizo, na njega je bil pritrjen pospeˇskomer. Kamera je bila pred mizo postavljena na stojalo. Na vsaki strani kamere je bil postavljen en baterijski reflektor. Za vzbuditev merjenca z impulzno motnjo smo uporabili modalno kladivo. Na del kladiva, s katerim smo udarili nosilec, je bila pritrjena ˇziˇcka, ki je ob udarcu sklenila tok in dala signal za zaˇcetek snemanja. Postavitev eksperimenta je prikazana na sliki 4.1.

Slika 4.1: Postavitev eksperimenta

Eksperiment s hitro kamero

4.2 Hitra kamera

Hitra kamera Photron FASTCAM SA-Z (tip 2100K-M) je monokromatska hitra ka- mera, ki se uporablja za znanstvene in inˇzenirske namene. Kljuˇcne lastnosti hitrih kamer so bitna globina, ˇstevilo sliˇcic na sekundo (ang. FPS, frames per second) in svetlobna obˇcutljivost senzorja. Kamera ima 12-bitno globino, obˇcutljivost senzorja do ISO 50 000 in omogoˇca 20 000 sliˇcic na sekundo pri loˇcljivosti 1024×1024 slikovnih elementov. ˇStevilo sliˇcic na sekundo je omejeno s hitrostjo zapisa podatkov na SSD disk, zato lahko pri manjˇsem obmoˇcju opazovanja slikovnih elementov doseˇzemo viˇsjo hitrost vzorˇcenja (do 2 100 000 FPS) [9].

Kamero postavimo na stojalo, jo poveˇzemo z raˇcunalnikom in izberemo primeren objek- tiv. Na raˇcunalniku s pomoˇcjo programa Photron Fastcam Viewer 4 (PFV4) upra- vljamo kamero in nastavimo obmoˇcje opazovanja. ˇZelimo, da je viden celoten nosilec in ˇcim manj okolice, ki nas ne zanima in samo poveˇcuje velikost datoteke.

4.3 Merjenec

Kot merjenec je bil uporabljen kovinski nosilec dimenzij 600×50×12 mm. Ker za identifikacijo potrebujemo visok gradient, smo na nosilec nalepili natisnjen ˇcrno-beli vzorec, generiran s programskim paketom “speckle-pattern” [10]. Odloˇcili smo se za vzorec s ˇcrtami, saj so za poenostavljeno gradientno metodo najprimernejˇse, saj imajo gradient le v eni smeri. Crte morajo biti vodoravne, smer gradienta je poslediˇˇ cno navpiˇcna, saj bomo opazovali nihanje v navpiˇcni smeri (2.30). Nosilec je bil pribliˇzno 10 cm od robov naslonjen na penaste podpore. Na sliki 4.2 je prikazan merjenec.

Eksperiment s hitro kamero

4.4 Osvetlitev

Osvetlitev merjenca je pri snemanju s hitro kamero zelo pomembna. Zaradi kratkega ˇcasa sprejema svetlobe posamezne sliˇcice lahko do senzorja pride le malo svetlobe, zato pri snemanju z visokim ˇstevilom sliˇcic na sekundo dnevna svetloba v prostoru ni dovolj.

Uporabiti moramo baterijske reflektorje. Gre za moˇcne luˇci z usmerjenim snopom, njihova kljuˇcna lastnost je poleg visoke svetlobne intenzitete tudi, da v primerjavi z navadnimi sobnimi luˇcmi precej manj utripajo. Utripanje povzroˇci napako pri meritvi, saj lahko nihanje zaradi utripanja luˇci napaˇcno identificiramo kot lastno frekvenco merjenca. Uporabili smo dva reflektorja, vsakega iz ene strani kamere, da je osvetlitev merjenca ˇcim bolj enakomerna.

Zelimo imeti dovolj svetlobe in dober kontrast ter s tem visok gradient med ˇˇ crnimi in belimi polji, vendar pa kamera ne sme dobiti preveˇc svetlobe, saj bi s tem zakrili podrobnosti v svetlejˇsih podroˇcjih. Glede na osvetlitev merjenca in ˇstevilo sliˇcic na sekundo nastavimo zaslonko na objektivu kamere. Za nastavitev zaslonke lahko upo- rabimo histogram v programu PFV4 tako, da so ˇcrna in bela polja ravno ˇse znotraj obmoˇcja zaznave kamere, saj s tem dobimo maksimalen kontrast, ki ga kamera ˇse lahko zazna.

5 Razvijanje programskega paketa

V okviru zakljuˇcne naloge je bil razvit programski paket za identifikacijo nihanj, do- stopen je na spletnem repozitoriju Github [11]. Deluje na principu poenostavljene gra- dientne metode optiˇcnega toka, ki je prilagojena za identifikacijo nihanj znotraj enega slikovnega elementa. Cilj je bil razviti paket, ki omogoˇca iskanje optimalnih lokacij za identifikacijo, raˇcunanje gradienta glede na poljubno izbrano referenco, doloˇcevanje pomikov v izbrani toˇcki ter raˇcunanje razmernika duˇsenja posameznih lastnih frekvenc.

Programski paket je bil razvit znotraj odprtokodnega programskega jezika Python [12], ki ima moˇznost uporabe namenskih knjiˇznic. Uporabljene so bile SciPy [13], ki vsebuje veliko numeriˇcnih orodij, uporabnih v znanstvene in inˇzenirske namene. Med njimi sta tudi NumPy, ki omogoˇca raˇcunanje z velikimi, veˇcdimenzionalnimi nizi in matrikami ter Matplotlib, ki je uporaben za izrisovanje in oblikovanje grafov.

Hitra kamera ustvari datoteke v formatu MRAW. Gre za nestisnjen format, v katerem so zapisane sivinske vrednosti vsakega slikovnega elementa, zato ne pride do nobenih izgub zaradi kompresije, kar je za analizo pomikov na nivoju posameznega slikovnega elementa kljuˇcnega pomena. Datoteke so poslediˇcno tudi precej velike. Posnetek, uporabljen v okviru zakljuˇcne naloge, je dolˇzine 1 sekunde, zajet s hitrostjo 50 000 sliˇcic na sekundo in velik 4.57 GB. Poleg datoteke formata MRAW imamo tudi datoteko s konˇcnico ’.cih’, ki jo ustvari program PFV4, ki ga uporabljamo za zajem posnetka.

V datoteki CIH (ang. Camera Information Header) so zapisani vsi parametri kamere in posnetka (npr. datum in ura posnetka, tip kamere, hitrost zajema, bitna globina itd.) Za branje datotek MRAW znotraj programskega okolja Python smo uporabili programski paket pyMRAW [14].

Na sliki 5.1 je prikazano obmoˇcje zajema kamere.

Slika 5.1: Obmoˇcje zajema kamere

Razvijanje programskega paketa

5.1 Iskanje lokacij za identifikacijo

Najprej smo se lotili iskanja najboljˇsih lokacij za identifikacijo pomikov. Identifikacija je najnatanˇcnejˇsa v toˇckah z visokim gradientom, zato na merjencu iˇsˇcemo toˇcke z najviˇsjimi gradienti v ˇzeljeni smeri. V primeru nosilca iˇsˇcemo gradiente v navpiˇcni smeri.

Funkcija za iskanje toˇck sprejme parametre: posnetek nosilca v obliki (t,r,c); ˇcas, vr- stica, stolpec (ang. time, row, column), zaporedno ˇstevilko slike ali veˇc zaporednih slik, na katerih se bo izraˇcunal gradient, smer raˇcunanja gradienta (navpiˇcna, horizontalna ali obe), parameter za uporabo mreˇze in ˇstevilo ˇzelenih toˇck oziroma spodnjo mejo gradienta, ki ga naj imajo najdene toˇcke. Funkcija izraˇcuna gradient na izbrani sliki v izbrani smeri. ˇCe je podano ˇstevilo ˇzelenih toˇck (npr. 100 toˇck z najviˇsjim gradien- tom), se izraˇcuna histogram intenzitet, iz katerega se doloˇci meja gradienta. Na koncu se vse toˇcke primerjajo z doloˇceno mejo in lokacije toˇck z viˇsjim gradientom se dodajo na seznam, ki ga funkcija vrne.

Osvetljava merjenca je pogosto neenakomerna. Tudi v naˇsem eksperimentu kljub dvema baterijskima reflektorjema nosilec ni bil osvetljen povsem enakomerno. Po- slediˇcno pride do zgostitve najdenih toˇck z visokim gradientom na svetlejˇsem delu nosilca, kjer je zaradi boljˇse osvetlitve viˇsji kontrast, nasprotno pa imamo na manj osvetljenih delih nosilca precej manj ali celo niˇc najdenih toˇck. Bolje je, da so najdene toˇcke porazdeljene ˇcim bolj enakomerno vzdolˇz merjenca, saj lahko s tem doloˇcamo lastne nihajne oblike merjenca. Zato mora funkcija za iskanje toˇck reˇsiti problem neenakomerne osvetlitve. To lahko storimo z uporabo mreˇze. Obmoˇcje zajema no- silca razdelimo na mreˇzo celic poljubnih velikosti in lokalno v vsaki poiˇsˇcemo toˇcko z najviˇsjim gradientom v izbrani smeri. Tako dobimo precej enakomerno porazdelitev merilnih mest po celotnem nosilcu. Vseeno pa lahko doloˇcimo spodnjo mejo gradienta, ki ga mora imeti toˇcka, da jo uporabimo za meritev. V tem primeru celice, v katerih je maksimalni gradient niˇzji od podane meje, izpustimo. Rezultat funkcije za iskanje toˇck je niz koordinat v obliki (vrstica, stolpec).

Primer iskanja toˇck z uporabo mreˇze in brez nje je prikazan na sliki 5.2. Najdene toˇcke so prikazane z rumeno barvo. Za obmoˇcje opazovanja vzamemo del nosilca. Opazimo, da so na levi sliki vse najdene toˇcke na robu obmoˇcja, saj je tam boljˇsa osvetlitev. Ko pa uporabimo mreˇzo, dobimo potencialna merilna mesta precej enakomerno porazdeljena po celotnem obmoˇcju.

(a) Brez uporabe mreˇze (b) Z uporabo mreˇze Slika 5.2: Iskanje toˇck z visokim gradientom

Razvijanje programskega paketa

5.2 Doloˇ cevanje pomikov

Izberemo eno izmed najdenih toˇck in na njej izvedemo identifikacijo pomikov. Najprej uporabimo funkcijo za pripravo matrike podobmoˇcja skozi ˇcas v obliki (t,r,c). Okoli najdene toˇcke izberemo velikost podobmoˇcja. Primer prve sliˇcice opazovanega podo- bmoˇcja velikosti 3×3, pri ˇcemer je najdena toˇcka z visokim gradientom na sredini, je prikazan na sliki 5.3.

Slika 5.3: Opazovano podobmoˇcje za izvedbo meritve

Iz vrednosti intenzitet slikovnih elementov v izbranem podobmoˇcju doloˇcimo pomike izbrane toˇcke skozi ˇcas. Za to uporabimo funkcijo, ki sprejme parametre: matriko slik podobmoˇcja v obliki (t,r,c), referenˇcno sliko za izraˇcun gradienta, smer, v kateri raˇcunamo pomike in velikost slikovnega elementa v realnosti za pretvorbo pomikov iz enote slikovnega elementa v poljubno mersko enoto (npr. mm). Funkcija vzame za- poredno ˇstevilko posamezne slike ali veˇc slik, na katerih izraˇcuna gradient v izbrani smeri. Ponavadi za referenˇcno sliko izberemo trenutek, v katerem je toˇcka ˇcim bliˇzje ravnovesni legi. To je lahko del posnetka pred udarcem ali pa povpreˇcje veˇc slik povsem na koncu posnetka (npr. zadnjih 100), v katerih toˇcka ˇze zelo malo niha. Funkcija nato povpreˇci intenzitete vseh slikovnih elementov na posamezni sliki podobmoˇcja. Te in- tenzitete primerjamo z intenziteto referenˇcne slike in izraˇcunamo pomike skozi celoten posnetek po enaˇcbi (2.30). Izraˇcunani pomiki v enoti slikovni element skozi celoten po- snetek so prikazani na sliki 5.4. Pri uporabljeni metodi predpostavimo, da se opazovana toˇcka ne bo premaknila iz obmoˇcja konstantnega gradienta. Ker gradient izraˇcunamo na centralnem slikovnem elementu podobmoˇcja, moramo na koncu preveriti, da po- miki niso veˇcji od polovice velikosti slikovnega elementa, saj takrat identifikacija ni veˇc natanˇcna, ker je opazovana toˇcka ˇze pomaknjena izven slikovnega elementa, za kate- rega smo izraˇcunali gradient. Funkcija v primeru prevelikega pomika vrne opozorilo.

V naˇsem primeru vidimo, da je maksimalni odmik pribliˇzno 0,1 slikovnega elementa, zato sklepamo, da je uporaba poenostavljene metode upraviˇcena.

Razvijanje programskega paketa

Slika 5.4: Pomik

5.3 Doloˇ cevanje razmernikov duˇ senja

V programskem paketu je tudi funkcija za doloˇcevanje razmernikov duˇsenja posame- znih lastnih frekvenc. Deluje na principu kratkih identifikacij po dolˇzini posnetka.

Pred doloˇcitvijo razmernikov duˇsenja je potrebno poznati lastne frekvence merjenca.

Funkcija sprejme argumente:

– Slike podobmoˇcja skozi ˇcas. Lahko podamo tudi veˇc podobmoˇcij, za katere lahko zaradi njihove lokacije predpostavimo, da nihajo enako in s tem izboljˇsamo meritev.

– Lastna frekvenca, katere razmernik duˇsenja iˇsˇcemo.

– Obmoˇcje nihajev, na katerih se izvedejo kratke identifikacije in dolˇzina posamezne identifikacije. Najbolje je poiskati in vzeti obmoˇcje od zaˇcetka posnetka, kjer merje- nec najbolj niha, do trenutka, ko amplituda iskane lastne frekvence postane manjˇsa od ˇsuma, saj tako zajamemo celotno nihanje in dobimo najveˇc podatkov. Dolˇzina posamezne identifikacije mora biti ˇcim krajˇsa, da imamo znotraj celotne meritve veliko kratkih identifikacij in dobro popiˇsemo padanje amplitude, hkrati pa ne pre- majhna, saj posamezne identifikacije takrat niso veˇc natanˇcne, graf amplitud ne pada enakomerno.

Funkcija glede na podane meje in dolˇzine identifikacij posnetek podobmoˇcja najprej razdeli na kratke odseke. Nato se na vsakem izmed njih izvede identifikacija. Nad vrsto pomikov, ki jo dobimo, izvedemo Fourierjevo transformacijo. Uporabimo tudi Hannovo okno, tako da s funkcijo znoraj NumPy knjiˇznice generiramo okensko funkcijo in jo z upoˇstevanjem enaˇcbe (2.15) pomnoˇzimo s signalom posamezne identifikacije. S tem zmanjˇsamo vpliv zaˇcetka signala, saj so vrednosti na zaˇcetku identifikacij nakljuˇcne (pogosto izven niˇcle). Na vsaki izmed kratkih identifikacij se na frekvenˇcni domeni odˇcita vrednost amplitude pri podani lastni frekvenci merjenca. Te amplitude skozi posnetek padajo. Z uporabo metode logaritemskega upada se po enaˇcbah (2.8) in (2.10) za vsak par dveh zaporednih meritev izraˇcuna razmernik duˇsenja, funkcija pa vrne njihovo povpreˇcje. Na tak naˇcin dobimo iz nihanja najveˇc podatkov in poslediˇcno najnatanˇcnejˇsi rezultat.

Razvijanje programskega paketa Za laˇzjo predstavo delovanja funkcije za doloˇcevanje razmernikov duˇsenja je na sliki 5.5 prikazan njen vmesni rezultat. S posamezno ˇcrto je prikazana amplituda prve lastne frekvence 176 Hz v frekvenˇcni domeni, izmerjena s kratko identifikacijo dolˇzine 20 nihajev, z zaˇcetkom na zaporednih slikah podanih v legendi. Vidimo, da amplituda v vsaki naslednji identifikaciji pada. Iz razmerij vrednosti vrhov lahko izraˇcunamo razmernik duˇsenja.

Slika 5.5: Padanje amplitude prve lastne frekvence skozi posnetek

Vpliv uporabe Hannovega okna na identificirano padanje amplitud je prikazan na sliki 5.6. Na levi sliki, ki prikazuje kratke identifikacije brez uporabe okna, vidimo, da je prisotno puˇsˇcanje signala, vrednosti izven lastne frekvence pri nekaterih identifikacijah niso enake niˇc. Ko pa uporabimo Hannovo okno, izniˇcimo vpliv robov signala in vsi identificirani vrhovi se zaˇcnejo iz amplitude niˇc, poslediˇcno je padanje amplitude skozi posnetek tudi bolj enakomerno.

Razvijanje programskega paketa

(a) Brez uporabe Hannovega okna (b) Z uporabo Hannovega okna Slika 5.6: Vpliv Hannovega okna na identifikacijo amplitud

6 Rezultati in diskusija

6.1 Lokacije za identifikacijo

Analizirali smo posnetek nosilca z razvitim programskim paketom. Naprej smo doloˇcili lokacije identifikacij. Ker je bil na nosilcu nameˇsˇcen tudi pospeˇskomer, smo identi- fikacijo s kamero izvedli pod njim, da lahko primerjamo meritve s pospeˇskomerom in kamero. V funkciji za iskanje toˇck omejimo obmoˇcje iskanja na stolpec slikovnih elementov pod srediˇsˇcem pospeˇskomera, smer gradienta nastavimo na vertikalno, za referenˇcno sliko vzamemo povpreˇcje zadnjih 100 slik, v tem primeru nismo uporabili mreˇze. Dobimo toˇcke, ki so na sliki 6.1 prikazane z rumeno barvo, svetlo obmoˇcje nad nosilcem pa je pospeˇskomer. Vidimo, da je identifikacija toˇck ustrezna. Funkcija prepozna lokacije robov vodoravnih ˇcrt v podanem obmoˇcju, ki imajo visok gradient v vertikalni smeri.

Slika 6.1: Toˇcke za identifikacijo

6.2 Doloˇ cevanje pomikov in lastnih frekvenc

Rezultati in diskusija ω₁ = 176Hz

ω₂ = 482Hz ω₃ = 941Hz ω₄ = 1552Hz ω₅ = 2305Hz

Izvedli smo identifikacijo v najdenih toˇckah na posnetku. Na sliki 6.1 vidimo, da so ˇcrte na nosilcu precej blizu skupaj, zato ne moremo uporabljati podobmoˇcij veˇcjih od 3×3, saj bi v tem primeru z enim podobmoˇcjem zajeli dva nasprotna robova in povpreˇcna intenziteta celotnega podobmoˇcja bi ob pomiku ostajala konstantna. Za natanˇcnejˇso meritev lahko zato uporabimo povpreˇcenje pomikov veˇc toˇck v istem stolpcu. V vsa- kem ˇcasovnem trenutku povpreˇcimo vrednosti pomikov v vseh izbranih toˇckah. Pri tem predpostavimo, da vse toˇcke v enem stolpcu v navpiˇcni smeri nihajo enako. Na sliki 6.2 je prikazana primerjava identifikacije na enem podobmoˇcju velikosti 3×3 in iden- tifikacije s povpreˇcenjem 6 podobmoˇcij velikosti 3×3, s srediˇsˇci v toˇckah, prikazanih na sliki 6.1.

Slika 6.2: Primerjava identifikacije v eni in veˇc toˇckah

Izkaˇze se, da nam takˇsno povpreˇcenje precej izboljˇsa meritev. Povpreˇcna amplituda ˇsuma se zmanjˇsa iz 1,8·10⁻⁴ slikovnega elementa na 6,9·10⁻⁵ slikovnega elementa, prav tako se izniˇcijo razliˇcne motnje. V preglednici 6.1 je prikazanih prvih pet lastnih frekvenc, identificiranih s pospeˇskomerom in hitro kamero.

Preglednica 6.1: Identificirane lastne frekvence

Lastna frekvenca Pospeˇskomer Hitra kamera

ω₁ 176 Hz 176 Hz

ω₂ 482 Hz 482 Hz

ω₃ 941 Hz 941 Hz

ω₄ 1552 Hz /

ω 2305 Hz /

Rezultati in diskusija Identifikacija lastnih frekvenc je pri povpreˇcenju veˇcih podobmoˇcij natanˇcna znotraj frekvenˇcne loˇcljivosti identifikacije, ki znaˇsa 1 Hz. Prve tri lastne frekvence, identifici- rane s hitro kamero, sovpadajo z meritvami pospeˇskomera. Viˇsje lastne frekvence pa v tem eksperimentu niso vidne. Razlog za to je lahko poleg ˇsuma ˇse, da smo nosilec premalo udarili in poslediˇcno viˇsje frekvence nimajo dovolj velike amplitude, da bi jih lahko zaznali. Nosilec je zanihal le do pribliˇzno 0,1 slikovnega elementa, za identifikacijo s poenostavljeno metodo pa bi lahko do 0,5 slikovnega elementa.

6.3 Razmerniki duˇ senja

Identificiranim lastnim frekvencam smo doloˇcili razmernike duˇsenja. Uporabili smo funkcijo za raˇcunanje razmernika duˇsenja z metodo logaritemskega upada, predsta- vljeno v poglavju 5.3. Amplitude, identificirane na kratkih odsekih skozi posnetek, so za vsako lastno frekvenco prikazane na sliki 6.3. Na horizontalni osi je prikazana ˇcasovna lokacija zaˇcetka kratke identifikacije v enoti ˇstevilo nihajev pripadajoˇce la- stne frekvence od zaˇcetka posnetka, na vertikalni osi pa je prikazana amplituda lastne frekvence, izmerjena na kratki identifikaciji, v enoti slikovni element.

Pri vseh frekvencah je opazna padajoˇca krivulja, kar se ujema s priˇcakovanji. Kri- vulje padanja amplitud so pri nekaterih lastnih frekvencah precej linearne, znaˇcilno logaritemsko padanje ni jasno vidno. To je najverjetneje posledica nizkega duˇsenja in kratkega ˇcasa celotne meritve, saj se v celotnem posnetku dolˇzine 1 s amplitude ne pribliˇzajo spodnji meji identifikacije (ˇsumu), prav tako se skozi posnetek ne zmanjˇsajo veliko. Najverjetneje bi bila ob daljˇsi meritvi, ali ob moˇcnejˇsem zaˇcetnem udarcu krivulja po obliki bolj podobna teoretiˇcni krivulji, prikazani na sliki 2.3.

Rezultati in diskusija

Slika 6.3: Padanje amplitude posameznih lastnih frekvenc

Iz podatkov padanja amplitude smo izraˇcunali razmernike duˇsenja za vsako identifici- rano lastno frekvenco. Dobili smo naslednje rezultate, za katere lahko glede na tabelo 2.1 sklepamo, da so v pravem velikostnem razredu:

δ_ω1 = 0.0088 δω2 = 0.0029 δ_ω3 = 0.0038

7 Zakljuˇ cki

V sklopu zakljuˇcne naloge smo:

1. V sintetiˇcnem preizkusu preverili delovanje in toˇcnost metode za identifikacijo pomikov.

2. Na sintetiˇcnem posnetku primerjali vpliv velikosti podobmoˇcja in ˇsuma na na- tanˇcnost identifikacije.

3. Razvili programski paket za iskanje lokacij, identifikacijo pomikov in doloˇcevanje razmernikov duˇsenja.

4. Izvedli eksperiment s hitro kamero in na posnetku pokazali uporabo programskega paketa; Na merjencu smo poiskali toˇcke identifikacije, mu doloˇcili lastne frekvence in razmernike duˇsenja.

5. Na realnem posnetku pokazali vpliv povpreˇcenja veˇc podobmoˇcij na ˇsum in na- tanˇcnost identifikacije.

Predlogi za nadaljnje delo

Lahko bi izvajali identifikacije v veˇc toˇckah vzdolˇz nosilca in tako doloˇcevali lastne nihajne oblike merjenca. Prav tako bi lahko v programski paket dodali ˇse kakˇsno drugo metodo za identifikacijo nihanj ali pa nadgradili obstojeˇco za raˇcunanje pomikov, veˇcjih od polovice slikovnega elementa. Razmernike duˇsenja, izmerjene s hitro kamero, bi lahko primerjali z rezultati kakˇsne druge metode.

Literatura

[1] B. J. Schwarz in M. H. Richardson, “Experimental modal analysis,”CSI Reliability week, let. 35, ˇst. 1, str. 1–12, 1999.

[2] D. S. Lezhin, S. V. Falaleev, A. I. Safin, A. M. Ulanov in D. Vergnano, “Compa- rison of different methods of non-contact vibration measurement,”Procedia Engi- neering, let. 176, str. 175–183, 2017.

[3] M. Bolteˇzar, Mehanska nihanja - 1. del. Ljubljana: Fakulteta za strojniˇstvo, 2010.

[4] L. Cremer, M. Heckl in Petersson, Structureborne Sound: Structural vibrations and sound radiation at audio frequencies, 3. izd. New York, NY: Springer, 2005.

[5] S. Tomaˇziˇc in S. Leonardis,Diskretni signali in sistemi, 2. izd. Zaloˇzba FE, 2017.

[6] K. Shin in J. Hammond,Fundamentals of Signal Processing for Sound and Vibra- tion Engineers, 1996.

[7] B. K. Horn in B. G. Schunck, “Determining optical flow,” Artificial Intelligence, let. 17, ˇst. 1, str. 185–203, 1981.

[8] J. Javh, J. Slaviˇc in M. Bolteˇzar, “The subpixel resolution of optical-flow-based modal analysis,” Mechanical Systems and Signal Processing, let. 88, 2017.

[9] FASTCAM SA-Z datasheet, Photron. Dostopno na: https://photron.com/

fastcam-sa-z-2/ [ogled: 18. 6. 2021].

[10] Ladisk, Speckle pattern, 2018. Dostopno na: https://github.com/ladisk/

speckle pattern

[11] J. ˇSonc, Izvorna koda programskega paketa. Dostopno na: https://github.com/

jasasonc/Opticni-tok-za-identifikacijo-nihanj-znotraj-enega-slikovnega-elementa [12] Python. Dostopno na: https://python.org/

[13] SciPy. Dostopno na: https://python.org/

[14] Ladisk,pyMRAW, 2017. Dostopno na: https://github.com/ladisk/pyMRAW