UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika – 1. stopnja Katarina Šipec Oktaedrske mnogoterosti Delo diplomskega seminarja Mentor: izr. prof. dr. Sašo Strle Ljubljana, 2021

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika – 1. stopnja

Katarina Šipec

Oktaedrske mnogoterosti

Delo diplomskega seminarja

Mentor: izr. prof. dr. Sašo Strle

Ljubljana, 2021

(2)

Kazalo

1. Uvod 4

Zahvala 4

2. Lepljenje mnogoterosti 4

2.1. Lepljenje 4

2.2. Mnogoterosti 8

2.3. α-homeomorfizmi 11

3. Orientacija 12

3.1. Orientacija in inducirana orientacija robu 12

3.2. Orientabilno lepljenje 13

4. V dveh dimenzijah 15

4.1. Ploskve 15

4.2. Različna in ekvivalentna lepljenja mnogokotnika 20

4.3. Nehomeomorfni α-zlepki mnogokotnika 22

5. V treh dimenzijah 23

5.1. Zlepek oktaedra in neekvivalentna lepljenja 23

5.2. Problem evklidskih okolic in prisekani oktaeder 24

5.3. Nehomeomorfne oktaedrske mnogoterosti 31

Dodatek A. Lepljenja v mnogoterosti z različnimi robovi 35

Slovar strokovnih izrazov 38

Literatura 39

(3)

Oktaedrske mnogoterosti

Povzetek

V tem delu predstavimo mnogoterosti, ki jih lahko dobimo s štirimi lepljenji po dveh lic oktaedra. Ker nastali takšni zlepki niso vedno mnogoterosti, vpeljemo pojem prisekanega oktaedra in obravnavamo lepljenja njegovih šestkotnih lic. Najprej se osredotočimo na analogna lepljenja mnogokotnikov v kompaktne sklenjene ploskve.

Nastale mnogoterosti iz prisekanega oktaedra ločimo glede na njihov rob in za vsak rob zabeležimo eno lepljenje v mnogoterost z izbranim robom.

Octahedral manifolds

Abstract

In this work, we present the manifolds that can be obtained by gluing together in pairs the faces of an octahedron. Since the resulting gluings are not always manifolds, we introduce the notion of a truncated octahedron and consider the gluings of its hexagonal faces. We first focus on analogous gluings of polygons into compact surfaces without boundary. The resulting manifolds obtained from the truncated octahedron are separated according to their boundary, and for each boundary we present one gluing into the manifold with the selected boundary.

Math. Subj. Class. (2020): 57K30, 57N16, 58K65, 58K70

Ključne besede: oktaeder, mnogoterost, lepljenje, homeomorfizem, rob, kvocientni prostor, orientacija, ploskev

Keywords: octahedron, manifold, gluing, homeomorphism, boundary, quotient space, orientation, surface

(4)

1. Uvod

En izmed načinov, da iz nekega topološkega prostora dobimo novega, je lepljenje dveh (ali več) njegovih delov. Obravnavali bomo zlepke oktaedra, ki jih dobimo tako, da v parih zlepimo po dve njegovi lici. To lahko storimo na več načinov, zanimalo pa nas bo, kakšen prostor lahko pri tem nastane. Ker je oktaeder mnogoterost, so posebej zanimiva tista lepljenja, katerih zlepek je prav tako mnogoterost. Z nekaj prilagoditvami to lahko dosežemo za vsako lepljenje.

V razdelku Lepljenje mnogoterosti vpeljemo pojma lepljenja in mnogoterosti ter natančno določimo dovoljena lepljenja – definiramo α-lepljenja daljic in mnogoko- tnikov. V razdelku Orientacija določimo orientacijo mnogokotnikov in oktaedra ter vpeljemo orientabilno lepljenje, ki zagotovi, da iz orientabilnih mnogoterosti dobimo orientabilne.

V razdelku V dveh dimenzijah posebej preštejemo vsa in neekvivalentna lepljenja mnogokotnika, pri čemer lepimo po dve njegovi stranici. Če zlepimo vse robove, dobimo sklenjene kompaktne ploskve, ki kasneje nastopajo kot komponente robu zlepka prisekanega oktaedra. S pomočjo Eulerjeve karakterisike natančno zapišemo tudi, katere mnogoterosti oziroma ploskve lahko nastanejo iz lepljenja 2k-kotnika.

V razdelku V treh dimenzijah obravnavamo še lepljenja oktaedra. Najprej prešte- jemo, koliko (neekvivalentnih) lepljenj lahko uporabimo na oktaedru, nato uteme- ljimo, zakaj dobljeni zlepek ni nujno mnogoterost. Za konec si podrobno ogledamo eno lepljenje prisekanega oktaedra in opišemo po en primer lepljenja v mnogoterost z določenim robom. Predstavimo tudi, koliko neekvivalentnih lepljenj nam da določeni rob.

Skozi delo bomo sledili [4].

Zahvala

Svojemu mentorju Sašu Strletu se zahvaljujem za smernice, razlage in večkratno ter natančno prebiranje mojih popravkov. Družini se zahvaljujem za mir, vseobse- gajočo podporo in poslušanje mojih matematičnih monologov. Hvala tudi Danielu Vitasu za vso pomoč v času celotnega študija ter Mateju Janežiču za pomoč pri slikah, uporabi L^ATEXa, mentalno podporo in dostave meka.

2. Lepljenje mnogoterosti

Ukvarjali se bomo z lepljenjem lic (mejnih ploskev) oktaedra. Kaj je lepljenje in kaj mnogoterost?

2.1. Lepljenje. Lepljenje je identifikacija izbranih točk iz nekega topološkega prostora. Točke, ki se med seboj identificirajo, bodo v zlepku predstavljale eno točko, zato se identifikacijo najlažje opiše s kvocientom po ekvivalenčni relaciji. Za iden- tificirane točke bomo rekli, da so v (ekvivalenčni) relaciji, zlepek prostora pa bo kvocientni prostor.

Definicija 2.1 (kvocientni prostor). Naj bo X topološki prostor in∼ekvivalenčna relacija na X. Kvocientna množica

X/∼ ={[x]; [x] ={y∈X; y∼x}, x∈X}

je množica vseh ekvivalenčnih razredov točk v X.

Kvocientna projekcija je preslikavaq :X →X/∼, q :x↦→[x].

(5)

Kvocientna topologija naX/∼ je množica

T ={V ⊆X/_∼; q⁻¹(V) je odprta v X}.

Kvocientni prostor prostora X je njegova kvocientna množica, opremljena s kvocientno topologijo (X/_∼,T).

Za topologijo na kvocientni množici (oziroma v kvocientnem prostoru) pravzaprav vzamemo najmočnejšo topologijo, da je kvocientna projekcija še zvezna.

Opomba 2.2. OznakoX/∼ bomo razumeli kot kvocientni topološki prostor, ne kot množico.

Zlepek topoloških prostorov bo njihov kvocient, pri katerem ekvivalenčna relacija izhaja iz neke zvezne preslikave. Če imamo zvezno preslikavo iz enega topološkega prostora v drugega, lahko vsako točko iz prvega identificiramo z njeno sliko. Če je domena naše preslikave cel prostor, primer ni zares zanimiv, ker se vse točke iz prvega prostora “zlijejo” v drugega in “izginejo”. Zato za domeno preslikave ponavadi vzamemo neko (pravo) podmnožico prvega topološkega prostora.

Definicija 2.3 (zlepek). Naj bosta X in Y disjunktna topološka prostora, A ⊆X in ϕ : A → Y zvezna preslikava. Zlepek prostorov X in Y vzdolž preslikave ϕ je kvocientni prostor

X∪_ϕY :=X∪Y /a∼ϕ(a); a∈A.

Najpogosteje bomo srečali zlepke po homeomorfizmih zaprtih podmnožic, torej ko bo množica A zaprta v prostoru X inf homeomorfizem na svojo sliko.

Za občutek si podrobno oglejmo primer lepljenja kvadratov vzdolž ene stranice.

Primer 2.4 (lepljenje dveh kvadratov). Primer lepljenja dveh topoloških prostorov vzdolž homeomorfizma je lepljenje dveh kvadratov vzdolž ene stranice. Naj bosta

X := [0,1]×[0,1]× {0} in Y := [0,1]×[0,1]× {1}

zaprta enotska kvadrata, opremljena z evklidsko topologijo. Za lažje razumevanje vpeljemo tretjo koordinato, ki loči med točkami v kvadratuXin točkami v kvadratu Y (lahko si predstavljamo, da kvadrata ležita v različnih ravninah).

Naj bo A = {(1, y,0); 0 ≤ y ≤ 1} desna stranica prvega kvadrata in preslikava ϕ :A →Y, podana s predpisom

ϕ: (1, y,0)↦→(0, y,1),

homeomorfizem med stranico A in levo stranico kvadrata Y. Za preslikavo ϕ bi lahko vzeli poljuben homeomorfizem med istima stranicama in bi dobili isti zlepek, a je izbrani homeomorfizem najenostavnejši.

X = ϕ =Y

A ϕ(A)

Slika 1. Homeomorfizem ϕ med stranicama kvadratov.

Homeomorfizem ϕ določa ekvivalenčno relacijo na X ∪Y, ki identificira vsako točkoa ∈Az njeno sliko, ostale točke kvadratov pa so vsaka v svojem ekvivalenčnem

(6)

razredu. Zapišimo razrede te relacije.

[(x, y, i)] =

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

{(x, y,0)}; i= 0 in x̸= 1 {(x, y,1)}; i= 1 in x̸= 0

{(1, y,0), (0, y,1)}; (i= 0 in x= 1) ali (i= 1 in x= 0) Zlepek X ∪_ϕY je sicer abstraktni kvocientni prostor (X ∪Y)/∼ ekvivalenčnih razredov [a] za a ∈X∪Y, a je homeomorfen pravokotniku, zato bomo zlepek rekli kar temu. Homeomorfnost dokazujemo z iskanjem homeomorfizma. S P označimo pravokotnik [0,2]×[0,1] in si oglejmo preslikavo

h: (X∪Y)/∼ →P h: [(x, y, i)]↦→(x+i, y).

Preslikava h je dobro definirana, ker je konstantna na ekvivalenčnih razredih. Res se za vsak y∈[0,1] točki (0, y,1) in (1, y,0) preslikata v isto točko v pravokotniku.

Je tudi očitno bijektivna.

Zveznost preslikave h preverimo z opazovanjem praslik odprtih okolic. Za topologijo na pravokotniku P seveda vzamemo evklidsko topologijo. Vzemimo poljubno točko x iz pravokotnika.

Če točka x ne leži na daljici {1} × [0,1], ima neko dovolj majhno (evklidsko) okolico U = B˚(x, ε) ∩P, ki te daljice ne seka. Brez škode za splošnost lahko vzamemo točko na levi strani daljice. Preveriti moramo odprtost praslike h⁻¹(U).

Ta bo po definiciji kvocientne topologije odprta natanko tedaj, ko bo odprta njena praslika s kvocientno projekcijo, torej množica q⁻¹(h⁻¹(U)). Velja

q⁻¹^(︂h⁻¹^(︂B˚(x, ε)∩P^)︂)︂=B˚^(︂q⁻¹(h⁻¹(x)), ε^)︂∩X, ki pa je po definiciji evklidske topologije na X odprta množica.

Ostane še primer, ko točko xvzamemo z daljice {1} ×[0,1]. Spet vzemimo njeno poljubno odprto okolicoU =B˚(x, ε)∩P. Podobno kot v prejšnjem primeru moramo premisliti, da je praslika q⁻¹(h⁻¹(U)) odprta v začetnem prostoru. V tem primeru je praslika okolice U sestavljena iz dveh praslik – iz tistih točk v X, ki se slikajo v levo polovico krogle U v pravokotniku P, in tistih točk v Y, ki se slikajo v njeno desno polovico. Ker sta polkrogli v prostorih X in Y odprti (torej je odprta njuna unija), je tudi v ekvivalenčnih razredih [(1, y,0)] = [(0, y,1)] preslikava h zvezna, torej je zvezna povsod.

Prostor (X∪Y)/_∼ je kot kvocient (zvezna slika) kompaktnega prostora kompakten. Torej je preslikava h zvezna preslikava, ki slika iz kompaktnega prostora v Hausdorffov prostor, zato je zaprta [3, stran 59].

Preslikava hje bijektivna, zvezna in zaprta, torej je homeomorfizem. Njen inverz h⁻¹ :P →(X∪Y)/∼ opišemo s predpisom

h⁻¹ : (x, y)↦→

⎧

⎨

⎩

[(x, y,0)]; x≤1 [(x−1, y,1)]; x≥1.

Tudi ta preslikava je dobro definirana, ker se točke s koordinato x = 1 s prvim in drugim predpisom preslikajo v isti ekvivalenčni razred.

(7)

X∪Y

(X∪Y)/_∼ P

q q ˆ

h

Ker med homeomorfnimi prostori ne ločimo, bomo kot zlepek razumeli kar pravokotnik (ki je topološko sicer disk), kot kvocientno preslikavo pa preslikavoˆ :=q h◦q.

X Y q X Y

=X∪ϕY =P

Slika 2. Lepljenje dveh kvadratov vzdolž homeomorfizma ϕ med stranicama.

Da dobimo pravokotnik, bi verjetno ugibali že na začetku, saj na to namiguje že beseda lepljenje. Vidimo, da je vse precej intuitivno. ♢ Namesto, da opazujemo dva prostora, X in Y, in preslikavo med njima, lahko rečemo, da smo lepili (nepovezan) prostorX⨿Y samega s seboj. Tudi v splošnem ni treba, da vzamemo dva različna topološka prostora. Lahko definiramo preslikavo f iz podmnožiceA⊆X nazaj v prostor X in spet definiramo ekvivalenčno relacijo, ki je porojena z zahtevo, da je vsaka točkax∈Aekvivalentna svoji sliki s preslikavo f, torejf(x). To pomeni, da nam v definiciji lepljenja ni treba zahtevati disjunktnosti prostorov.

Pri lepljenju razrede ekvivalenčne relacije preberemo iz preslikav. Ker lahko hkrati definiramo več preslikav, te hkrati porodijo več ekvivalenčnih relacij, ki jih lahko združimo v eno.

Definicija 2.5 (zlepek vzdolž več preslikav). Naj bo m ∈N naravno število, X in Y_i (ne nujno različni) topološki prostori terA_i ⊆X podmnožice prostora X za vsak i ∈ {1,2, . . . , m}. Naj bodo ϕ_i :A_i →Y_i zvezne preslikave. Zlepek prostorov X in Y_i vzdolž preslikav ϕ_i je kvocientni prostor

X∪ϕ1,ϕ2,...,ϕm

(︄_m

⋃︂

i=1

Yi

)︄

:=

(︄

X∪

(︄_m

⋃︂

i=1

Yi

)︄)︄

/∼,

kjer je∼ekvivalenčna relacija, porojena z zahtevo, da za vsaki≤m in vsakx∈A_i velja x∼ϕ_i(x).

V zgornji definiciji je ekvivalenčna relacija prebrana iz preslikav. Zaradi zahteve po ekvivalenčnosti relacije v isti ekvivalenčni razred spadajo tudi točke y_i ∈ Y_i in y_j ∈Y_j, za katere obstaja neki x∈X, da velja ϕ_i(x) = y_i in ϕ_j(x) = y_j.

Zlepek vzdolž več preslikav bi lahko dobili tudi z zaporednim upoštevanjem preslikav ϕi. To je dovolj utemeljiti za dve preslikavi, torej za ϕ₁ in ϕ₂, na končno mnogo pa posplošimo z indukcijo.

Trditev 2.6. Naj bodo X, Y₁ in Y₂ topološki prostori, A₁, A₂ ⊆ X podmnožici in ϕ₁ :A₁ →Y₁ ter ϕ₂ :A₂ →Y₂ preslikavi. Potem velja

X∪ϕ1,ϕ2 (Y₁∪Y₂) = (X∪ϕ1 Y₁)∪ϕ2 Y₂,

(8)

pri čemer v drugem primeru relacijo ∼₂, ki je porojena s preslikavo ϕ₂, razumemo kot [x]₁ ∼₂ ϕ₂(x).

Dokaz. Ekvivalenčni razredi točk so očitno v obeh primerih enaki, saj tako razumemo kvocientno projekcijo q₂. Kvocientna projekcija q iz prvega zlepka (iz definicije 2.5 vzdolž preslikav ϕ₁ in ϕ₂), kjer upoštevamo identifikacije obeh preslikav hkrati, je tako enaka kompoziciji kvocientnih projekcij, kjer zaporedno upoštevamo identifikacije ene in druge preslikave, torej velja q=q₂◦q₁.

Kaj pa topologija? V drugem primeru so odprte vse množice, katerih praslika s kvocientno projekcijo q2 je odprta v X ∪ϕ1 Y1. Odprte množice v tem prostoru pa so ravno tiste, katerih praslika s kvocientno projekcijo q₁ je odprta v začetnem prostoru. Torej so odprte množice ravno tiste, katerih praslika s kompozicijo q₂◦q₁ je odprta. To je ravno kvocientna preslikava q in res na obeh zlepkih dobimo tudi

isto topologijo. □

To pomeni, da lahko prostore najprej lepimo vzdolž ene preslikave in nato na kvo- cientu uporabimo še identifikacije druge preslikave. Še več, ker preslikavi nastopata simetrično, lahko njuni vlogi obrnemo in najprej lepimo vzdolž preslikave ϕ₂ in nato vzdolž preslikave ϕ₁. Poljubno lahko izbiramo tudi vrstni red lepljenja pri lepljenju vzdolž končno mnogo preslikav.

2.2. Mnogoterosti. Posebej zanimivi so zlepki mnogoterosti. Tu se bomo dodatno omejili tudi na to, da lepimo mnogoterosti po robovih. Videli bomo, da se v tem primeru prenesejo “lepe” lastnosti z začetnih prostorov na zlepek.

Definicija 2.7(mnogoterost).Naj bon ∈N∪{0}. Topološki prostorM jetopološka mnogoterost dimenzije n, če je 2-števen, Hausdorffov in ima vsaka točka x ∈ M neko odprto okolico, homeomorfno Rⁿ ali Rⁿ+. Tako okolico U imenujemo evklidska okolica, homeomorfizem h:U →Rⁿ pakarta.

V definiciji sta omenjeni 2-števnost in Hausdorffovost. Spomnimo se, da je to- pološki prostor X (opremljen s topologijo τ) 2-števen, če ima neko števno bazo topologije τ. Prostor X je Hausdorffov (oziroma T₂), če lahko poljubni točki ločimo z disjunktnima okolicama.

Povezani mnogoterosti dimenzije 1 rečemokrivulja, povezani mnogoterosti dimenzije 2 pa ploskev.

Ko iščemo evklidske okolice točk mnogoterosti v evklidskih prostorih (in njihovih kvocientih), ponavadi iščemo odprte krogle B˚ , za katere vemo, da so homeomorfneⁿ Rⁿ, ali polkrogle B˚ , ki so homeomorfne₊ⁿ Rⁿ+. Take okolice so lahko zelo majhne in jih je lažje najti.

Opomba 2.8. Naj bodoM mnogoterost,x∈M,U_x ⊆M evklidska okolica točkex in q kvocientna projekcija lepljenja na mnogoterostiM. Če projekcija q na množici U_x ne naredi nobenih identifikacij, je zožitev q|_U_x : U_x → q(U_x) homeomorfizem, okolicaq(U_x) pa evklidska okolica točkeq(x) v zlepkuM/∼. Res, ker je vsaka točka v svojem ekvivalenčnem razredu, so v bijektivni korespondenci, posledično pa so v bijektivni korespondenci tudi odprte množice v prostoru M in v zlepku, zato se tudi topologija ohranja.

Definicija 2.9 (notranjost in rob mnogoterosti). Točkax∈M je notranja, če ima kakšno okolico homeomorfno Rⁿ, sicer jerobna. Množico notranjih točk imenujemo notranjost mnogoterosti M in jo označimo z intM, množico robnih točk pa rob mnogoterosti M in jo označimo z ∂M.

(9)

Primer lepljenja dveh dvodimenzionalnih mnogoterosti je lepljenje dveh kvadratov vzdolž ene stranice iz primera 2.4. Tam smo zlepili dve stranici različnih kvadratov vzdolž enega homeomorfizma. Poglejmo si še primer, kjer upoštevamo dve preslikavi iz prostora vase. Po trditvi 2.6 lahko najprej upoštevamo lepljenje vzdolž ene preslikave in nato še lepljenje vzdolž druge.

Primer 2.10. Na kvadratu X = [0,1]² definiramo homeomorfizma med po dvema nasprotnima stranicamaϕ :{0}×[0,1]→ {1}×[0,1] inψ : [0,1]×{0} →[0,1]×{1}

s predpisoma

ϕ: (0, y)↦→(1, y), ψ : (x,0)↦→(x,1).

Kot v primeru 2.4 lahko premislimo, kakšni so ekvivalenčni razredi in kakšna je topologija na zlepku. Izkaže se, da je dobljeni zlepek homeomorfen torusu.

a a

b

Slika 3. Lepljenje kvadrata v torus.

Puščice na zgornji sliki označujejo le smer lepljenja (ki je sicer v našem primeru

opisana s točno izbiro homeomorfizmov). ♢

V zgornjem primeru smo naredili eno lepljenje, pri katerem smo upoštevali dva homeomorfizma. Tudi pri oktaedru bomo (hkrati ali postopoma) naredili lepljenje, pri katerem bomo upoštevali štiri homeomorfizme med po dvema licema.

Iskali bomo mnogoterosti, ki (z lepljenjem) nastanejo iz oktaedra, ki je mnogoterost. Kdaj pa je zlepek mnogoterosti res mnogoterost? V definiciji mnogoterosti sta zahtevani 2-števnost in Hausdorffovost prostora. Naslednji izrek nam pove, da sta za zlepek dveh mnogoterosti, pri čemer lepimo po zaprtih množicah, pogoja avtomatsko izpolnjena.

Izrek 2.11. Naj bosta X in Y disjunktna topološka prostora, A ⊆ X zaprta in f :A→Y zaprta vložitev (homeomorfizem na svojo sliko, ki zaprte množice preslika v zaprte). Definiramo Z :=X∪_f Y. Tedaj velja:

(1) če sta X in Y 2-števna prostora, je Z 2-števen prostor,

(2) če sta X in Y Hausdorffova prostora, je Z Hausdorffov prostor.

Dokaz. Dokazali bomo vsako točko posebej.

(1) Predpostavimo najprej, da sta prostora X in Y 2-števna, torej imata števni bazi, ki ju označimo z

B_X ={U_n; n∈N} in B_Y ={V_m; m∈N}.

Za naravni števili n inm definiramo množico

Wn,m = (Un∩A)∩f⁻¹(Vm).

(10)

Po inducirani topologiji na množicah A in f(A) (ki sta zaprta podprostora v prostorih X inY) obstajata taki odprti množici W_n,m^X ⊆X in W_n,m^Y ⊆Y, da je

W_n,m^X ∩A =W_n,m in W_n,m^Y ∩f(A) = W_n,m.

Novo bazo topologije na zlepku definiramo kot družino slik (s kvocientno projekcijo) odprtih množic v X inY, ki ne sekajo množiceA ali njene slike (s preslikavof), in slik novo sestavljenih množic W_n,m^X ⨿W_n,m^Y ;

BZ :={q(Un); Un∩A =∅} ∪

∪{q(V_m); V_m∩f(A) =∅} ∪

∪{q(W_n,m^X ⨿W_n,m^Y ); W_n,m ̸=∅}.

Elementi družine BZ so odprte množice po konstrukciji. Poleg tega lahko vsako odprto množico v (kvocientni) topologiji zlepka Z z unijo sestavimo iz elementov iz družine B_Z. Pogledamo prasliko odprte množice, ki je odprta množica v prostoru X∪Y, in to sestavimo iz baznih množic izB_X inB_Y, ki se slikajo v elemente družine B_Z. To pomeni, da je družina B_Z res baza (kvocientne) topologije na zlepku Z.

Ker je baza B_Z končna unija števnih množic, je tudi sama števna in je zlepek Z prostorov X in Y 2-števen. S tem je prva točka dokazana.

(2) Za dokaz druge točke predpostavimo, da sta prostora X in Y Hausdorffova, torej da se da vsaki dve točki ločiti z njunima disjunktnima okolicama. Izberimo poljubni točki z, w ∈ Z = X ∪_f Y. Naj bosta x in y taki točki iz X ⨿Y, da je q(x) = z inq(y) =w. Obravnavamo 3 primere:

• x, y ∈(X\A)⨿(Y\f(A)). V tem primeru ni česa dokazovati. Ker jeAzaprta množica v Hausdorffovem prostoru, lahko zaxinynajdemo disjunktni odprti okolici, ki ne sekata množice A. Sliki s kvocientno projekcijo teh dveh okolic sta torej disjunktni okolici točkz inw, saj na tem delu kvocientna projekcija ne naredi nobene dodatne identifikacije.

• x∈ X\A in y ∈A. Ker je prostor X Hausdorffov, imata v njem točki x in y disjunktni okolici. Kot v točki (1) tega dokaza dopolnimo (unija) okolico točke y v prostoru X z neko odprto okolico točke f(y) v prostoru Y, da dobimo odprto okolico točke q(y) v dobljenem zlepku Z. Analogno velja za vse primere, kjer je ena izmed točk v množici A⨿f(A), druga pa ne.

• x, y ∈ A⨿f(A). Tu lahko brez škode za splošnost predpostavimo, da sta x in y elementa množice A. Spet lahko v inducirani topologiji s prostora X v množiciA najdemo odprti okolici točk x iny in ju kot v točki (1) razširimo do disjunktnih odprtih okolic v prostoruX⨿Y. V zlepku bosta to disjunktni

odprti okolici točk z in w. □

Zahteva po zaprtosti množice A v izreku nas ne ovira. Naš cilj so lepljenja lic oktaedra. Ta so del robu, ki je vedno zaprt, in so zato zaprta. Tudi v eni dimenziji nižje bomo lepili le po robu ploskev.

Izrek velja tudi, če prostora nista disjunktna, oziroma, če lepimo dve podmnožici istega prostora. Takšno lepljenje lahko prevedemo na lepljenje vzdolž dveh preslikav.

Naj boX topološki prostor,A⊆X inϕ:A→X zaprta vložitev. Naj boZ topo- loški prostor, homeomorfen prostoru ϕ(A) (s tem je homeomorfen tudi prostoru A, ker je preslikava ϕ vložitev, torej homeomorfizem na svojo sliko), in h₁ :ϕ(A)→Z homeomorfizem. Definiramo še preslikavo h₂ : A → Z kot h₂ = h₁ ◦ϕ. Imamo dve preslikavi (h₁ in h₂) iz prostora X v neki drugi topološki prostor in zlepek

(11)

W := X ∪_h₁_,h₂ Z vzdolž dveh preslikav je dobro definiran. Po izreku 2.11 se 2- števnost in Hausdorffovost ohranjata. Okolica slike točkex izA (alif(A)) v zlepku je sestavljena iz okolice točke x, zlepljene z okolico točke ϕ(x) (ali ϕ⁻¹(x)). Ker je preslikava h₂ homeomorfizem, se prostor Z zlije v prostor X, na prostoru X pa res dobimo pričakovane identifikacije. Identificirajo se točke iz množice A s svojimi slikami s preslikavo ϕ, ostale pa so nedotaknjene, kakor se za lepljenje spodobi.

Poskrbeli smo za 2-števnost in Hausdorffovost. Pri preverjanju mnogoterosti bomo zato iskali le še evklidske okolice točk.

2.3. α-homeomorfizmi. Govorili smo o nekih preslikavah, kasneje o nekih homeomorfizmih, zdaj pa bomo natančneje določili še njihovo obliko. V našem primeru je zlepek odvisen le od tega, kam homeomorfizem preslika rob svojega definicijskega območja, zato se brez škode za splošnost lahko omejimo na linearne homeomorfizme, ki nam bodo pomagali pri modifikacijah pri lepljenju oktaedra.

Zanimali nas bodo homeomorfizmi med stranicami mnogokotnikov in homeomorfizmi med lici oktaedra, torej med daljicami in (enakostraničnimi) trikotniki. Mno- gokotnike vložimo v ravnino R², oktaeder pa v prostorR³, da si lahko pomagamo z vektorji.

Definicija 2.12 (α-homeomorfizem daljic). Naj bostaX =u₁u₂ inY =v₁v₂ daljici ter f : X → Y homeomorfizem, da velja f(u₁) = v₁ in f(u₂) = v₂. Definiramo vektorja

a=u2−u1, b =v2−v1. Homeomorfizem f je α-homeomorfizem, če za vsakt ∈[0,1] velja

f(u₁+ta) =v₁+tb.

Podobno definiramo α-homeomorfizem dveh trikotnikov.

Definicija 2.13 (α-homeomorfizem trikotnikov). Naj bosta X = △u₁u₂u₃ in Y =

△v₁v₂v₃ trikotnika ter f :X →Y homeomorfizem, da velja f(u₁) =v₁, f(u₂) =v₂ in f(u₃) = v₃. Definiramo vektorje

a₁ =u₂−u₁, b₁ =v₂−v₁, a₂ =u₃−u₁, b₂ =v₃−v₁.

Homeomorfizem f je α-homeomorfizem, če za vsaka t, s ∈ [0,1], za katera velja t+s≤1, velja

f(u₁+ta₁+sa₂) =v₁+tb₁+sb₂.

u₁ u₂

u₃

v₁ v₂

v₃

a1

a₂

b₁ b₂

Slika 4. α-homeomorfizem trikotnikov.

(12)

Iz Algebre 1 (ali kake druge linearne algebre) vemo, da lahko z linearno preslikavo preslikamo ravnino v ravnino tako, da poljubni vektor nesemo v neki drugi poljubni vektor. Če temu dodamo še translacije, dobimo afine preslikave, s pomočjo katerih lahko poljubno daljico v ravnini preslikamo v neko drugo poljubno daljico v ravnini.

Definirana α-homeomorfizma sta pravzaprav afini preslikavi – kompoziciji rotacije, raztega in translacije. Za te preslikave je značilno, da ohranjajo razmerja (s pomočjo razmerij smo sicer tudi definirali α-homeomorfizme).

Naj bodo X,Y,a,b inf kot v definiciji 2.12 in naj boε >0 majhen. Definiramo daljici X_ε in Y_ε kot daljici X in Y, katerima odrežemo majhni daljici pri obeh krajiščih (in vsaki dodamo končni točki, da res dobimo daljici);

X_ε = (u₁+εa)(u₂−εa), Y_ε = (v₁ +εb)(v₂−εb).

Potem je zaradi ohranjanja razmerij afine preslikave (α-homeomorfizma f) zožitev f|_X_ε tudi α-homeomorfizem daljic X_ε in Y_ε.

Zanimivejši je analog za α-homeomorfizme trikotnikov. Spet vzemimo predpo- stavke in oznake iz definicije 2.13 ter majhen ε > 0. Definiramo šestkotnika Xε in Yε, ki nastaneta iz trikotnikovX inY tako, da jima odrežemo majhne trikotnike pri ogliščih in jima dodamo manjkajoče daljice, da res dobimo šestkotnika.

u₁ u₂

u₃

v₁ v₂

v₃

a₁ a2

b₁ b2

Slika 5. Zožitev α-homeomorfizmov trikotnikov na šestkotnike ozi- roma α-homeomorfizem šestkotnikov.

Potem je tudi zožitevα-homeomorfizmaf|Xε homeomorfizem med šestkotnikoma X_ε in Y_ε, ki oglišča slika v oglišča in robove v robove. Tako dobljenim homeomor- fizmom bomo rekli α-homeomorfizmi šestkotnikov. Nastopali bodo pri α-lepljenjih prisekanega oktaedra.

Omejili se bomo na posebne zlepke mnogokotnikov in oktaedra, α-zlepke, ki jih dobimo z lepljenjem vzdolž α-homeomorfizmov daljic ali trikotnikov. Ideja je ista v obeh primerih, a bomo obravnavali vsako dimenzijo posebej. Zahtevali bomo tudi, da α-homeomorfizmi obračajo orientacijo.

3. Orientacija

3.1. Orientacija in inducirana orientacija robu. Lepili bomo vzdolž homeomorfizmov, ki ohranjajo razmerja –α-homeomorfizmov. Ker lahko krajišča lepljenih daljic preimenujemo (zamenjamo), med njima obstajata dva taka homeomorfizma – (usmerjeno) daljicou₁u₂zlepimo z daljicov₁v₂ali z daljicov₂v₁. Lepljenji sta očitno lepljenji med istima množicama, loči pa ju smer oziroma orientacija.

(13)

Orientacija je različno definirana za enodimenzionalne, dvodimenzionalne in tridimenzionalne mnogoterosti, a so te med seboj zelo povezane. Osredotočili se bomo na orientacije daljic, mnogokotnikov in poliedrov. Mnogoterost je orientabilna, če premore kakšno orientacijo.

Na slikah orientacijo označimo s puščicami. Uporabili bomo dvojne puščice, da jih lažje ločimo od puščic, ki predstavljajo smer lepljenja. Te smo videli že v primeru lepljenja kvadrata v torus (2.10).

Orientacija daljice je določena z urejenim parom njenih krajišč oziroma s smerjo vektorja od prvega do drugega krajišča. Daljica ima torej dve orientaciji (to velja tudi za krivulje v splošnem). Orientacijo daljice lahko razumemo tudi kot smer, v katero se premikamo.

Orientacijo mnogokotnika P_k definiramo z izbiro smeri (enotske) normale na ravnino, v kateri leži. Vsak mnogokotnik ima tako dve (nasprotni si) orientaciji. Drugi način določanja orientacije je s smerjo vrtenja mnogokotnika. Kot lahko na daljici potujemo v dve smeri, lahko mnogokotnik okoli središča vrtimo v dve smeri. Iz ene definicije dobimo drugo s pomočjo pravila “desnega vijaka”.

Rob mnogokotnika predstavljajo daljice, katerih orientacijo inducira orientacija mnogokotnika. Orientacija daljic je določena s smerjo premikanja, ko vrtimo mnogokotnik.

Slika 6. Obe orientaciji šestkotnika. Orientacija levega je dana z normalo “iz lista” oziroma pozitivno smerjo vrtenja (označeno s sre- dinsko puščico), orientacija desnega pa z normalo “v list” oziroma negativno smerjo vrtenja. Označeni sta inducirani orientaciji na da- ljicah.

Orientacijo poliedra, topološke (zaprte) krogleB³, katere rob je sestavljen iz (pra- vilnih) mnogokotnikov, definiramo s pomočjo orientacije njegovih mejnih ploskev.

Lahko ga orientiramo z zunanjo normalo. To pomeni, da je vsako njegovo lice ori- entirano z normalo, ki kaže izven poliedra. Tej nasprotna orientacija je orientacija z notranjo normalo.

Z orientacijo poliedra je naravno inducirana tudi orientacija vsakega mnogokotnika na robu.

3.2. Orientabilno lepljenje. Ko lepimo orientabilne mnogoterosti po njihovih robovih, lahko poskrbimo, da je zlepek dveh orientabilnih mnogoterosti orientabilen.

Ker bomo ploskve sestavljali le iz mnogokotnikov, bomo tudi tu privzeli, da po robovih lepimo mnogokotnike.

Definicija 3.1. Naj bosta P₁ inP₂ orientirana mnogokotnika ter E₁ ⊂P₁ in E₂ ⊂ P₂ njuni stranici, opremljeni z inducirano orientacijo. Naj bo h : E₁ → E₂ α- homeomorfizem. Inducirana orientacija naE₁določa orientacijo na slikih(E₁) =E₂. Če je ta nasprotna podedovani orientaciji na E₂, rečemo, da α-homeomorfizem h

(14)

obračaorientacijo. Lepljenju vzdolžα-homeomorfizma, ki obrača orientacijo, rečemo orientabilno lepljenje.

Z orientabilnim lepljenjem dobimo naravno orientacijo dobljenega zlepka. Z lepljenjem mnogokotnikov dobimo poliedrsko ploskev (izrek 4.3). Orientacija take ploskve je dana s skladno izbiro orientacij lepljenih mnogokotnikov, zahtevamo torej, da sta na zlepljenih robovih inducirani orientaciji mnogokotnikov nasprotni. Iz orientabilnih mnogoterosti z orientabilnimi lepljenji tako vedno dobimo orientabilno mnogoterost.

Slika 7. Orientaciji na skupni stranici sta nasprotni.

Obstajajo tudi neorientabilne (poliedrske) ploskve. Primer so projektivne ravnine in Möbiusov trak, ki ga dobimo iz kvadrata z lepljenjem dveh nasprotnih stranic vzdolž homeomorfizma, ki orientacijo ohranja (je ne obrača).

Pri primeru 2.10, kjer naredimo dve lepljenji stranic kvadrata v torus, obe lepljenji obračata orientacijo. To sedaj lahko hitro preverimo. Določimo orientacijo kvadrata in preverimo, ali sta inducirani orientaciji na njegovih identificiranih robovih res nasprotni.

a a

b

Slika 8. Dve orientabilni lepljenji kvadrata v torus.

Polieder orientiramo z zunanjo normalo. To inducira orientacijo na njegovih licih, ki sestavljajo (poliedrsko) ploskev. Ko orientabilno lepimo skladna lica, kot pri lepljenju ploskev po robu tudi pri poliedru zahtevamo, da sta orientaciji na licih nasprotni.

(15)

Slika 9. Orientabilno lepljenje trikotnikov.

Orientacijo lica lahko opišemo tudi s pomočjo orientacij njegovih stranic. Ori- entabilno lepljenje mnogokotnikov lahko zato definiramo z zahtevo, da vse zožitve lepilnega α-homeomorfizma na stranice obračajo orientacijo stranic.

4. V dveh dimenzijah

Zanimale nas bodo različne mnogoterosti, ki jih dobimo z lepljenji oktaedra. Da razumemo oktaeder, je dobro razumeti analog v eni dimenziji nižje. Lepili bomo mnogokotnike.

Definicija 4.1. Za naravno število k ≥ 2 s P_k označimo pravilni 2k-kotnik. Za k = 1 je P₁ disk, katerega rob je razdeljen na dva skladna dela.

Za poljuben k je P_k topološko pravzaprav disk, katerega rob je razdeljen na 2k delov. Za k = 2 tako dobimo kvadrat, zak = 3 pa šestkotnik.

Vemo, da sta po dve stranici mnogokotnika (različnih ali istega) homeomorfni, torej obstaja lepljenje mnogokotnika P_k vzdolž homeomorfizma stranic, ki ju identificira. Brez škode za splošnost se bomo pri vseh lepljenjih omejili naα-homeomorfizme iz definicije 2.12. Ker bomo pri lepljenju na oktaedru opazovali le en oktaeder, se bomo tudi pri mnogokotnikihP_kposvetili lepljenjem stranic le enega mnogokotnika.

Ta bodo sestavljena iz večα-lepljenj po dveh stranic. Identificirali bomo vsako stra- nico mnogokotnika in pri tem pazili na orientacijo. Analogno bo veljalo za oktaeder.

Definicija 4.2 (α-lepljenje mnogokotnika). Naj bo P_k orientiran mnogokotnik, E množica njegovih stranic in {E_i1, E_i2}^k_i=1 razbitje množice E. Naj bodo preslikave h_i : E_i1 → E_i2 α-homeomorfizmi, ki obračajo (inducirano) orientacijo. Lepljenje mnogokotnika Pk vzdolž homeomorfizmov hi imenujemo α-lepljenje mnogokotnika Pk, dobljeni zlepek pa α-zlepek.

4.1. Ploskve. Kaj dobimo, ko na mnogokotniku uporabimo α-lepljenje, torej ko v parih zα-homeomorfizmi identificiramo robove mnogokotnika? Odgovor je preprost – dobimo sklenjeno kompaktno ploskev.

Seveda zlepek povezane mnogoterosti ne more biti nepovezan. Podrobnejši dokaz je v [3]. Torej z lepljenjem enega mnogokotnika dobimo povezan prostor. Utemeljiti moramo le še, da je zlepek 2-mnogoterost.

Iskali bomo mnogoterosti, ki jih lahko dobimo z identifikacijo robov enega mnogokotnika, vseeno pa si naslednji izrek oglejmo v večji splošnosti, ker bomo srečali tudi lepljenja različnih mnogokotnikov.

(16)

Izrek 4.3. Naj bo {P_k₁, P_k₂, . . . , P_k_n} disjunktna družina mnogokotnikov v ravnini in K njihova (disjunktna) unija. Unijo K opremimo z ekvivalenčno relacijo (∼), ki z lepljenji po α-homeomorfizmih identificira nekatere pare stranic mnogokotnikov.

Potem je prostor K/∼ končna unija kompaktnih ploskev.

Dokaz. Mnogokotnike vložimo v ravnino tako, da so vse stranice vseh mnogokotnikov enako dolge. Homeomorfizmih_i med pari stranic določajo ekvivalenčno relacijo, kvocientno preslikavo, ki vsako točko preslika v njen ekvivalenčni razred, pa spet označimo s q. Z X označimo zlepek.

Ker so mnogokotniki kompaktni (zaprti in omejeni), je kot zvezna slika kompaktnega prostora tudi zlepek X kompakten.

Preverimo, da je prostor X 2-mnogoterost (unija ploskev). Izrek 2.11 nam zagotovi, da je zlepek X 2-števen in Hausdorffov, ker 2-števne Hausdorffove prostore lepimo po zaprtih množicah. Poiskati moramo še evklidsko okolico vsake točke v zlepku. Točke so treh vrst:

(1) slike točk iz notranjosti mnogokotnikov,

(2) slike točk iz notranjosti robov mnogokotnikov (kot 1-mnogoterosti), (3) slike oglišč mnogokotnikov.

Evklidske okolice bodo sestavljene iz evklidskih okolic v mnogokotnikih.

(1) Naj bo točka x ∈ intPki neka notranja točka nekega mnogokotnika. Potem obstaja neka evklidska okolicaUx =B(x, ε) točkex, ki ne seka njegovega robu. Ker v notranjosti mnogokotnika preslikavaqne naredi nobenih identifikacij, je po opombi 2.8 njena zožitevq|_U_x na okolicoU_x homeomorfizem inq(U_x) evklidska okolica točke q(x), homeomorfna R². Te točke so notranje točke zlepka X.

(2) Slike točk iz notranjosti robov so v začetnem prostoru robne točke, zato imajo poljubno majhne okolice, homeomorfneR²+. Delijo se v dve skupini. Prva skupina je skupina točk z robu mnogokotnika, ki nimajo svojega para oziroma niso “vsebovane”

v nobenem lepilnem α-homeomorfizmu. Podobno kot v primeru (1) je zožitev kvo- cientne projekcije q na majhno evklidsko okolico homeomorfizem, zato slika takšne okolice predstavlja evklidsko okolico točke v zlepku, homeomorfno R²+. Te točke so v zlepku robne točke.

Druga skupina točk iz notranjosti robov mnogokotnikov so točke iz notranjosti zlepljenih robov. Praslika točke, v katero se slika takšna točka, je sestavljena iz dveh delov. Naj bo xtočka iz notranjosti robu nekega mnogokotnikaPki. Potem obstaja neki α-homeomorfizem h_j, da točkax leži v njegovi domeni ali sliki. Brez škode za splošnost predpostavimo, da leži v domeni. Prasliko točke q(x) torej predstavljata točkix inh_j(x). Točko xsmo vzeli iz notranjosti robu, zato obstaja neka evklidska okolica U =B˚(x, ε)∩P_k_i, homeomorfna R²+, ki ne seka nobenega oglišča mnogokotnika. Kerα-homeomorfizmi ohranjajo razmerja, tudi evklidska okolica točkeh_j(x), polkrogla V = B˚(hj(x), ε)∩P_k_l, ne seka nobenega oglišča mnogokotnika. Še več, tisti točki na robu mnogokotnika P_k_i, ki sta od točke x oddaljeni za ε, se zlepita s tistima točkama na robu mnogokotnika P_k_l, ki sta za ε oddaljeni od točke h_j(x).

Evklidski polkrogliU inV se zato s kvocientno projekcijoq zlepita v kroglo s sredi- ščem v točkiq(x), ta krogla pa je iskana evklidska okolica točke q(x), homeomorfna R². Te točke so notranje točke zlepka.

(3) Oglišča mnogokotnikov se lepijo z nekimi drugimi oglišči. Podobno kot v primeru (2) poiščemo dovolj majhne odseke krogel (okolice oglišč, homeomorfne R²+, ker so oglišča del robu mnogokotnika). Naj bo xoglišče nekega mnogokotnika. Spet imamo za okolico njegove slike v zlepku dve možnosti.

(17)

x hj(x) q q(x) h_j

Slika 10. Zlepek evklidskih okolic (polkrogel) točk iz notranjosti zlepljenih robov v kroglo.

Če za vsako oglišče y, ki se zlepi z ogliščem x, velja, da sta robova, na kate- rih leži oglišče y, vsebovana v nekem lepilnem homeomorfizmu, bo slika oglišča x predstavljala notranjo točko zlepka. Okolice se lepijo podobno kot pri (2).

x

h_l(x)

h_i(x)

q q(x) h_i

h_g

h_l h_j

Slika 11. Primer lepljenja evklidskih okolic različnih oglišč, ki se zlepijo v eno točko, v evklidsko okolico, homeomorfnoR². Iz definicije α-zlepka takoj sledi, da veljah⁻¹_j (h_i(x)) =h_g(h_l(x)) za izbrano oglišče x.

Če obstaja oglišče, ki leži na neidentificiranem robu in se s kvocientno projekcijo slika v ekvivalenčni razred [x], bo ta točka robna točka zlepka, rob v okolici, homeomorfni R²+, pa bosta predstavljala nezlepljena robova mnogokotnikov, ki se “držita”

slike točke x v zlepku.

Res dobimo unijo kompaktnih ploskev. Da je unija končna, je očitno, ker lahko z zvezno preslikavo iz n mnogokotnikov dobimo največ n ploskev. □ Analogen dokaz bomo srečali v treh dimenzijah. Iskali bomo evklidske okolice točk iz zlepka (prisekanega) oktaedra, pri čemer se bomo naslonili na dobljene okolice iz dokaza prejšnjega izreka.

Ploskev kot v izreku 4.3 imenujemo poliedrska ploskev. Če je njen rob prazen, je to sklenjena poliedrska ploskev. Iz zgornjega dokaza lahko vidimo, da rob zlepka predstavljajo natanko točke z robov, ki niso zajeti v domeni/sliki nobenega lepilnega

(18)

x

h_l(x)

h_i(x)

q q(x) h_i

h_l

Slika 12. Primer lepljenja evklidskih okolic različnih oglišč, ki se zlepijo v eno točko, v evklidsko okolico, homeomorfno R²+.

α-homeomorfizma. Ti robovi se zlepijo v neke sklenjene krivulje. Rob poliedrskih ploskev je tako unija sklenjenih krivulj. Podobno bo veljalo pri prisekanem oktaedru, le da bodo tam rob tridimenzionalne mnogoterosti določale sklenjene ploskve.

Najprej se bomo omejili na en mnogokotnik, zato bomo z lepljenjem dobili natanko eno ploskev. Identificirali bomo vsak rob mnogokotnika in dobili sklenjeno poliedrsko ploskev.

Takih ploskev je malo. Najlepši primer je seveda sfera, označimo jo sS. Prej smo videli tuditorusT =S¹×S¹, pri mnogokotnikih z več robovi pa lahko nastanejo tudi torusi z “več luknjami”. V splošnem n-toruse, nT, definiramo s pomočjo povezane vsote n torusov T. ali rekurzivne formule nT = (n −1)T # T, kjer # označuje povezano vsoto.

Ideja povezane vsote je, da iz vsakega izmed torusov (n − 1)T in T izrežemo majhen topološki disk (D₁ inD2). Dobljeni ploskvi nista več sklenjeni, njuna robova pa predstavljata topološki krožnici S₁ in S₂ (ki sta hkrati robova izrezanih diskov).

Ti dve krožnici sta seveda homeomorfni, torej obstaja homeomorfizem h:S₁ →S₂, vzdolž katerega lahko “prirezana” torusa zlepimo. Zlepek

nT := (n−1)T #T := ((n−1)T \intD₁) ∪_h (T \intD₂) je torus z n luknjami.

Toruse dobimo z orientabilnimi lepljenji. Če upoštevamo še neorientabilna, lahko dobimoprojektivne ravnine, ki jih označimo z nP (tu nspet predstavlja število “po- vezanih sumandov”). Orientabilnost loči toruse od projektivnih ravnin. Naslednji izrek z Uvoda v geometrijsko topologijo pa pove, da je to vse.

Izrek 4.4 (klasifikacijski izrek za ploskve). Vsaka sklenjena kompaktna ploskev je homeomorfna eni izmed ploskev S, nT ali nP, kjer je n neko naravno število.

Z orientabilnim lepljenjem dobimo orientabilno ploskev, torej neki torus. Pri določanju njegovega rodu nam bo pomagala Eulerjeva karakteristika, ki jo lahko definiramo za poljubne ploskve, mi pa bomo predpostavili, da je ploskev nastala z α-lepljenjem mnogokotnikov.

(19)

Definicija 4.5 (Eulerjeva karakteristika). Naj bo {P_k₁, P_k₂, . . . , P_k_m} disjunktna družina mnogokotnikov, katerih vse stranice v parih zlepimo poα-homeomorfizmih.

Predpostavimo, da je nastali zlepek, označimo ga z X, povezan. Z v označimo moč slike oglišč mnogokotnikov. Eulerjeva karakteristika ploskve X je celo število

χ(X) =m−

m

∑︂

i=1

k_i+v.

Če je ploskev X orientabilna, njen rod izračunamo po formuli n(X) = 1− χ(X)

2 .

V definiciji Eulerjeve karakteristike člen ^∑︁^m_i=1k_i predstavlja število slik robov mnogokotnikov v zlepku. Res je vseh robov mnogokotnikov ^∑︁^m_i=12ki, ker pa se v zlepku po dva robova identificirata, je treba to vsoto še deliti z 2. Eulerjevo karakteristiko lahko definiramo tudi za nepovezane ploskve (definicija bi bila ista), a več vemo o 2-mnogoterosti, če poznamo vsako njeno povezano komponento posebej.

Iz Eulerjeve karakteristike lahko takoj izračunamo rod ploskve, pri nepovezanih pa je treba paziti še na število komponent.

Orientabilne kompaktne ploskve so natanko torusi nT iz diskusije pred izrekom 4.4. Rod torusa si predstavljamo kot število lukenj oziroma število torusovT, ki jih zlepimo s povezanimi vsotami.

Torusa istega rodu (torej z istima Eulerjevima karakteristikama) sta seveda homeomorfna. Če ob klasifikacijskem izreku (izrek 4.4) upoštevamo še, da je Eulerjeva karakteristika res karakteristika ploskve, torej da imata homeomorfni ploskvi isto Eulerjevo karakteristiko ([5], razdelek 15), dobimo naslednji izrek.

Izrek 4.6. Orientabilni sklenjeni kompaktni ploskvi (torusa) sta homeomorfni na- tanko tedaj, ko imata isto Eulerjevo karakteristiko.

Določanje α-zlepka mnogokotnika je tako preprosto – določiti je potrebno le nje- govo Eulerjevo karakteristiko. Vrnimo se k primeru lepljenja kvadrata v torus.

Primer 4.7. Lepljenje kvadrata definiramo z dvema α-homeomorfizmoma med po dvema nasprotnima stranicama, ki obračata orientacijo.

a a

bb

b A B

C D

Slika 13. Lepljenje kvadrata z označenimi oglišči v torus.

Preverimo, da nam Eulerjeva karakteristika res razkrije pravilni rod ploskve. Ta je pri enojnem torusu enak 1 (n = 1). Preden izračunamo Eulerjevo karakteristiko, moramo ugotoviti, v koliko ekvivalenčnih razredov (oziroma točk) se zlepijo oglišča.

Iščemo torej v. Zeleno lepljenje (a) zlepi oglišči A in B ter oglišči C in D. Rdeče lepljenje (b) nato identificira še ti dve dobljeni točki in tako se vsa oglišča zlepijo v

(20)

eno točko, torej je v = 1. Ker imamo le en mnogokotnik (m = 1) in je ta kvadrat (k₁ = 2), je Eulerjeva karakteristika dobljenega zlepka enaka

χ(X) = 1−2 + 1 = 0.

Rod ploskve je zato res

n(X) = 1− 0 2 = 1

in dobimo torus z eno luknjo. ♢

Zgornjo konstrukcijo lahko posplošimo na poljubne toruse.

Primer 4.8. Na mnogokotniku P_2n definiramo α-lepljenje, pri katerem se zlepita po dve nasprotni stranici. Kot v prejšnjem primeru preverimo, da se vsa oglišča zlepijo v eno točko (v = 1). Eulerjeva karakteristika dobljene ploskve X je zato

χ(X) = 1−2n+ 1 = 2−2n= 2(1−n)≤2 in rod

n(X) =n.

Zgornja lepljenja predstavljajo družino lepljenj “diska” v toruse s poljubnim rodom.

♢ Iz tega primera in klasifikacijskega izreka 4.4 vidimo, da je Eulerjeva karakteristika orientabilne sklenjene ploskve res vedno sodo število, manjše ali enako 2.

Pri oktaedru bomo upoštevali le lepljenja, ki obračajo orientacijo, zato se tudi pri lepljenju mnogokotnikov lahko omejimo le na takšna. Dobili bomo neko orientabilno ploskev, torej sfero S ali torusnT za neki n ∈N.

4.2. Različna in ekvivalentna lepljenja mnogokotnika. Koliko različnih ploskev lahko dobimo, če na mnogokotniku P_k uporabimo α-lepljenje? Zgornja meja bo število različnih α-lepljenj. V definiciji α-lepljenja, definicija 4.2, zahtevamo α-homeomorfizme, ki obračajo orientacijo, zato je lepljenje dveh stranic natančno določeno z izbiro para stranic. Različnihα-lepljenj mnogokotnikaP_k je tako število vseh razbitij njegovih stranic v pare.

Lema 4.9. Vseh α-lepljenj 2k-kotnika P_k je (2k−1)!!.

Preden se lotimo dokaza leme 4.9, si oglejmo idejo dokaza na primeruk = 3, torej na šestkotniku.

Primer 4.10. Naj boP₃ šestkotnik. Oštevilčimo njegove stranice od 1 do 6.

1 2 3

6 5

4

1 2 3

6 5

4

1 2 3

6 5

4

Slika 14. Primer izbire lepljenja stranic šestkotnika P₃.

Stranica s številko 1 se lahko zlepi s katerokoli izmed ostalih petih stranic. De- nimo, da je to stranica 3. Za stranico, ki se zlepi s stranico 2 (še ne-zlepljeno stranico z najmanjšim zaporednim številom), lahko izbiramo le še med tremi stranicami - 4,

(21)

5 ali 6. Denimo, da je to stranica 5. Ostaneta nam le še stranici 4 in 6, torej imamo le še eno izbiro. Različnih lepljenj je torej

5·3·1 = 15. ♢

Dokaz leme 4.9. Oštevilčimo stranice mnogokotnika. Zaradi zahteve po orientabil- nosti lepljenja je lepljenje dveh stranic enolično določeno z izbiro para stranic, zato moramo le prešteti, na koliko načinov lahko k-krat izberemo po dve stranici, da so na koncu izbrane vse stranice.

Na 2k−1 načinov lahko izberemo stranico, ki se zlepi s stranico 1. Z naslednjo najmanjše oštevilčeno stranico se zlepi ena od preostalih 2k −3 stranic, saj se ta ne more zlepiti s sabo in ne s stranico 1 ali njenim že izbranim parom. Če tako nadaljujemo, vidimo, da lahko pare izberemo na (2k−1)(2k−3)· · ·3·1 = (2k−1)!!

načinov. □

Očitno dobimo enak zlepek, če mnogokotnik P_k malo obrnemo ali prezrcalimo čez neko simetrijsko os in nato uporabimo isto lepljenje. Takemu lepljenju bomo rekliekvivalentno lepljenje. Z upoštevanjem tega lahko našo zgornjo mejo za število različnih ploskev izboljšamo.

A B C D

Slika 15. Dva para različnih a ekvivalentnih lepljenj šestkotnika. Iz lepljenja A dobimo lepljenje B z zrcaljenjem, iz lepljenja C pa lepljenje D z rotacijo.

Definicija 4.11 (ekvivalentni lepljenji mnogokotnika). Za naravno število k sta dve α-lepljenji mnogokotnika P_k ekvivalentni, če lahko eno dobimo iz drugega z delovanjem nekega elementa iz grupe simetrij D_4k mnogokotnika na mnogokotnik P_k.

Lepljenji sta neekvivalentni, če nista ekvivalentni. Število neekvivalentnih lepljenj mnogokotnika P_k označimo s τ_k.

Število τ_k očitno lahko navzgor omejimo s številom vseh lepljenj. Spodnja meja je število lepljenj, deljeno z močjo grupe simetrij. Ta premislek nas pripelje do naslednje trditve.

Trditev 4.12. Za število τ_k neekvivalentnih α-lepljenj mnogokotnika P_k velja:

(2k−1)!!

4k < τ_k ≤(2k−1)!!.

Formalen dokaz te trditve bomo izpustili. Strogost spodnje meje je posledica tega, da so nekatera lepljenja simetrična. Če na primer vzamemo lepljenje, pri katerem identificiramo po dve nasprotni stranici mnogokotnika, bomo s katerim koli zrcaljenjem ali rotacijo dobili isto lepljenje. Zaključek je trivialen.

Točno število neekvivalentnih lepljenj lahko za vsak mnogokotnik izračunamo s pomočjo Cauchy–Frobeniusove (Burnsideove) leme iz [1]. Za majhne vrednosti k je

(22)

to enostavno, splošna formula pa je precej zakomplicirana. Avtor članka [4] je spro- gramiral program v jeziku Haskell, ki za vsakk ∈Nizračuna število neekvivalentnih lepljenj mnogokotnika P_k.

Ker z ekvivalentnima lepljenjema dobimo homeomorfni ploskvi, je različnih ploskev največ toliko, kolikor je neekvivalentnih lepljenj mnogokotnika. Iz naslednje tabele je razvidno, da je to precej slaba ocena.

k 1 2 3 4 5 6

število lepljenj 1 3 15 105 945 10395 število neekvivalentnih lepljenj 1 2 5 17 79 554 število nehomeomorfnih ploskev 1 2 2 3 3 4

4.3. Nehomeomorfni α-zlepki mnogokotnika. Za boljšo oceno števila nehomeomorfnih ploskev, dobljenih z α-lepljenjem mnogokotnika, se zatečemo k Eulerjevi karakteristiki. V poglavju 4.1 smo spoznali, da je orientabilna sklenjena kompaktna ploskev natančno določena s svojo Eulerjevo karakteristiko (izrek 4.6). To velja tudi za neorientabilne, a teh ne bomo srečali.

Zgornja meja za število nehomeomorfnih ploskev bo tako število vseh mogočih dobljenih Eulerjevih karakteristik ploskev. Ker si rod lažje predstavljamo (kot število lukenj torusa), bomo hkrati obravnavali tudi tega. ZXoznačimo zlepek. Spomnimo se formul za Eulerjevo karakteristiko in rod ploskve

χ(X) = m−

m

∑︂

i=1

Ki +v, n(X) = 1− χ(X) 2 .

Opazujemo le en mnogokotnik Pk. V tem primeru je formula za Eulerjevo karakteristiko

χ(X) = 1−k+v.

Vsako lepljenje zlepi oglišča v vsaj eno točko. Od tod dobimo omejitev χ(X)≥1−k+ 1 = 2−k,

n(X)≤1− 2−k 2 = k

2.

Različnih mnogoterosti je torej lahko največ ^⌊︂^k₂^⌋︂+ 1. Enico prištejemo še za sfero, ki jo lahko razumemo kot 0T.

Preverimo, da res lahko dobimo vsak torus nT za n ≤ ^⌊︂^k₂^⌋︂. Poiščimo najprej primer lepljenja, kjer rod ploskve doseže zgornjo mejo n =^⌊︂^k₂^⌋︂. Obravnavali bomo dva primera:

k je sod. V tem primeru velja ^⌊︂^k₂^⌋︂ = ^k₂. Lepljenje mnogokotnika P_k v torus z rodom ^k₂ je lepljenje po dveh nasprotnih stranic iz primera 4.8, pri čemer je n:= ^k₂. k je lih. V tem primeru velja^⌊︂^k₂^⌋︂= ^k−1₂ . Vemo, da za mnogokotnikPk−1 obstaja lepljenje v torus, katerega rod je ^k−1₂ , ker je k−1 sodo število. Primer P_k lahko prevedemo na primer Pk−1 z identifikacijo dveh sosednjih stranic. Za lihe k bi sicer lahko vzeli lepljenje, analogno lepljenju za sode k, in identificirali po dve nasprotni stranici. V tem primeru bi se oglišča zlepila v dve točki, v vsako po k oglišč in tudi tako bi dobili ploskev z rodom ⌊^k₂⌋ = ^k−1₂ . V obravnavani konstrukciji za lihe k pa se skriva ideja prehoda na manjši mnogokotnik, s pomočjo katere bomo induktivno

(23)

Slika 16. Lepljenji mnogokotnikov za k = 4 in k = 5 v ploskvi, katerih rod je ^⌊︂^k₂^⌋︂= 2.

zaključili, da obstajajo konstrukcije lepljenj mnogokotnika P_k, s katerimi dobimo poljuben rod zlepka med 0 in ^⌊︂^k₂^⌋︂.

Obstaja le eno orientabilno lepljenje dvakotnika P₁ (diska, katerega rob razde- limo na dva enaka dela), s katerim nastane sfera. Njen rod je 0 =⌊¹₂⌋, torej trditev velja za bazo indukcije. Predpostavimo, da za naravno številom velja, da obstajajo lepljenja mnogokotnika Pm v ploskve z rodom od 0 do ⌊^m₂⌋. Preverimo, da to drži tudi za mnogokotnik P_m+1. Zgoraj smo konstruirali lepljenje mnogokotnika P_m+1 v ploskev z rodom ⌊^m+1₂ ⌋. Manjkajo še lepljenja v ploskve z rodom med 0 in⌊^m₂⌋, ki pa jih dobimo iz predpostavke, da obstajajo za mnogokotnik P_m, ker z lepljenjem dveh sosednjih stranic kot zgoraj lahko lepljenje mnogokotnika P_m+1 prevedemo na lepljenje mnogokotnika P_m.

Zaključimo lahko, da je za poljuben mnogokotnikP_kz 2k stranicami vseh lepljenj (2k−1)!!, število neekvivalentnih lepljenj lahko omejimo nad ^(2k−1)!!_4k , nehomeomorfnih mnogoterosti, ki jih dobimo z lepljenjem, pa je le ^⌊︂^k₂^⌋︂.

V dveh dimenzijah smo imeli nekaj sreče, ker je Eulerjeva karakteristika ploskev kar močno orožje za klasifikacijo zlepkov.

5. V treh dimenzijah

5.1. Zlepek oktaedra in neekvivalentna lepljenja. Z O označimo oktaeder.

Podobno kot v dveh dimenzijah bomo iskaliα-lepljenja njegovih lic, ki dajo paroma nehomeomorfne zlepke.

Definicija 5.1 (α-zlepek oktaedra). Naj bo O orientiran oktaeder, F množica njegovih lic in {Fi1, Fi2}⁴_i=1 razbitje množice F. Naj bodo hi : Fi1 → Fi2 α- homeomorfizmi, ki obračajo (inducirano) orientacijo. Lepljenje oktaedra O vzdolž homeomorfizmov h_i imenujemo α-lepljenje oktaedra O, dobljeni kvocientni prostor pa α-zlepek.

Pri lepljenju dveh lic vzdolž α-homeomorfizma imamo nekaj svobode. Ker vse točke na licu izrazimo z vektorjema, ki ju določajo njegova oglišča, poznamo α- homeomorfizem, ko poznamo slike oglišč. Da vemo, kam se slikajo ta, je zaradi bijektivne korespondence oglišč dovolj poznati sliki le dveh oglišč. Če lici opremimo z orientacijo (in ju, ker se omejimo na orientabilna lepljenja oktaedra) in zahtevamo, da lepljenje obrača orientacijo, je dovolj poznati sliko le enega oglišča. Izbrano oglišče lahko slikamo v katero koli izmed treh oglišč drugega lica, zato imamo med dvema licema natanko 3 α-homeomorfizme, ki obračajo orientacijo.

Oktaeder bomo orientabilno lepili vzdolž štirihα-homeomorfizmov med različnimi lici. Podobno kot v dveh dimenzijah lahko vse homeomorfizme upoštevamo naen- krat. Koliko različnih α-lepljenj obstaja? Da natančno določimo lepljenje, moramo