DIPLOMSKO DELO

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI

NARAVOSLOVNOTEHNIŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

ŽIGA BERTALANIČ

LJUBLJANA 2021

(2)

UNIVERZA V LJUBLJANI

NARAVOSLOVNOTEHNIŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATERIALE IN METALURGIJO

SIMULACIJA VPLIVA DISPERZOIDOV NA NORMALNO RAST ZRN S POTTSOVO MONTE

CARLO METODO

DIPLOMSKO DELO

ŽIGA BERTALANIČ

LJUBLJANA, september 2021

(3)

UNIVERSITY OF LJUBLJANA

FACULTY OF NATURAL SCIENCES AND ENGINEERING DEPARTMENT OF MATERIALS AND METALLURGY

SIMULATION OF THE INFLUENCE OF DISPERSOIDS ON NORMAL GRAIN GROWTH

USING POTTS MONTE CARLO METHOD

DIPLOMA WORK

ŽIGA BERTALANIČ

LJUBLJANA, September 2021

(4)

iv PODATKI O DIPLOMSKEM DELU

Število listov: 34 Število strani: 67 Število slik: 59 Število preglednic: 0

Število literaturnihvirov: 12 Število prilog: 1

Študijski program: Visokošolski strokovni študijski program prve stopnje Metalurške tehnologije

Komisija za zagovor diplomskega dela:

Predsednik: prof. dr. Milan Bizjak Mentor: prof. dr. Goran Kugler Član: doc. dr. David Bombač

Ljubljana, ………:

(5)

v ZAHVALA

Rad bi se zahvalil laboratoriju za preoblikovalnost kovinskih materialov za možnost opravljanja diplomske naloge v njihovem laboratoriju. Posebej bi se rad zahvalil še mentorju dr. Goranu Kuglerju za njegov pomemben doprinos h nastanku

diplome.

Rad bi se zavalil tudi moji družini, ki mi je stala ob strani v času študija in me spodbujala.

Posebej pa bi se rad zahvalil bratu Blažu za konstantno motivacijo in pomočjo v celotnem času študija, prav pa posebej v zadnjih mesecih, ko sem pisal diplomo.

(6)

vi IZVLEČEK V SLOVENSKEM JEZIKU

To delo predstavlja študijo razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn v prisotnosti disperzoidov na mezoskopski prostorski skali. Na osnovi kinetične Mote Carlo metode, ki temelji na Pottsovem modelu, je bilo razvito računalniško orodje, ki omogoča simulacije razvoja mikrostrukture v 2D. Disperzoidi so obravnavani kot inertne statične faze, ki so naključno porazdeljene po celotni simulacijski površini. Simulacije so bile izvedene za disperzoide s tremi različnimi morfologijami in primerjane med seboj ter z rezultati simulacij normalne rasti zrn brez dodanih delcev drugih faz. Opazen je močan vpliv pripenjanja dispersoidov na premikajoče se meje kristalnih zrn, kar vpliva na kinetiko razvoja mikrostruktur. Na osnovi rezultatov računalniških simulacij je bilo ugotovljeno, da se z naraščanjem koncentracije disperzoidov zmanjšujeta tako končna povprečna velikost zrn kot tudi čas, potreben za začetek pripenjanja mikrostrukture, kar se ujema z rezultati poskusov in simulacij iz znanstvene literature.

Ključne besede: Mote Carlo simulacije, Pottsov model, Razvoj mikrostrukture, Rast zrn, Delci drugih faz

ABSTRACT

This work provides a mesoscopic study of the evolution of microstructure during normal grain growth in the presence of particle dispersion. A Monte Carlo computer simulation technique based on the Potts model has been developed which allows the evolution of microstructure as a function of time to be followed in 2D. Dispersoids were modeled as inert and static phases randomly distributed over the simulation surface. Three different morphologies of dispersoids were considered and the results of the simulations were compared with the results of simulations of grain growth in the absence of particles. A strong pinning effect of dispersoids on moving grain bundles was observed. It was found that as the particle concentration increases, both the final average grain sizes and the time required for start pinning the microstructure decrease, which is consistent with the results of experiments and simulations from the literature.

Key words: Monte Carlo simulation, Potts model, Microstructure evolution, Grain growth, Second phase particles.

(7)

vii VSEBINSKO KAZALO

1. Uvod ... 1

1.1 Opis problema ... 1

2 Normalna in pretirana rast zrn ... 3

3 Metoda Monte Carlo ... 5

3.1 Isingov model ... 5

4 Pottsov model ... 6

4.1 Izračun energije v Pottsovem modelu ... 6

4.2 Primer Pottsovega modela ... 7

4.3 Pottsova Monte Carlo metoda za simulacijo razvoja mikrostrukture ... 8

4.4 Potek simulacije ... 8

4.5 Simulacije vpliva disperzioidov na normalno rast zrn ... 9

4.6 Samodejna analiza rasti mikrostrukture ... 13

4.7 Občutljivost Cannyevega algoritma za zaznavanje robov v mikrostrukturi ... 15

5 Rezultati in diskusija ... 17

5.1 Simulacija razvoja mikrostrukture brez disperzioidov ... 19

5.2 Rezultati simulacije mikrostrukture s točkastimi disperzioidi ... 24

5.3 Simulacije razvoja mikrostrukture s sferičnimi disperzioidi ... 30

5.4 Simulacije razvoja mikrostrukture s paličastimi disperzoidi ... 36

5.5 Simulacije z disperzioidi v obliki paličic večjih dolžin ... 41

6 Zaključek ... 47

7 Viri ... 48

(8)

viii SEZNAM SLIK

Slika 1: Shematski prikaz normalne in pretirane rasti zrn [5]. ... 4

Slika 2: Primeri najpogosteje uporabljenih regularnih mrež v 2D [8]. ... 6

Slika 3: 4x4 matrica [8] ... 7

Slika 4: Primer predstavitve mikrostrukture v Pottsovem modelu s trikotno mrežo [9]. ... 8

Slika 5: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi točkastimi disperzoidi. ... 10

Slika 6: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi disperzoidi sferičnih oblik: a) z radijem 1 ter b) z radijem 2. ... 10

Slika 7: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi disperzoidi v obliki paličic: a) dolžina 1, b) dolžina 4 in c) navpična postavitev. ... 11

Slika 8: Shema algoritma za simulacijo razvoja mikrostrukture s pomočjo Pottsovega Monte Carlo modela. ... 12

Slika 9: Tipična vhodna mikrostruktura, ki jo nato obdelamo s pomočjo Canny-evega algoritma. ... 13

Slika 10: Pretvorba v sivinsko sliko. ... 13

Slika 11: Obdelana slika z jasno definiranimi robovi... 14

Slika 12: Obdelana slika z ločenimi zrni. ... 14

Slika 13: Mikrostruktura za testiranje občutljivostu Cannyevega algoritma. ... 15

Slika 14: Robovi po Canny-evem algoritmu ... 15

Slika 15: Shema poteka avtomatske meritve velikosti zrn. ... 16

Slika 16: Začetna mikrostruktura. ... 17

Slika 17:Primerjava mikrostruktur za simulacije na mreži s a) 100x100 točk in b) 200x200 točk. ... 17

Slika 18:Deviacija rasti mikrostrukture ... 18

Slika 19: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase: a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS in d) 1000 MCS. ... 19

Slika 20: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa... 20

Slika 21: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS ... 21

Slika 22: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od korakov simulacije, oziroma časa. ... 21

Slika 23: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS ... 22

Slika 24:Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od korakov simulacij ... 22

Slika 25: Primerjava končnih mikrostruktur za tri različne simulacije. ... 23

Slika 26: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od korakov simulacije za tri primere enakih Monte Carlo simulacij razvoja mikrostrukture. ... 23

Slika 27: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 1%). ... 24

Slika 28:Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z 1% površinskim deležem. ... 25

Slika 29: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 3%) ... 26

Slika 30: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z 3% površinskim deležem. ... 26

Slika 31: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 5%) ... 27

Slika 32: Graf povprečne velikostii zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z 5% površinskim deležem. ... 28

(9)

ix Slika 33: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem točkastih disperzioidov. ... 28 Slika 34: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih

diperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem. ... 29 Slika 35: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (sferični disperzioidi 1%) ... 30 Slika 36: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z 1%

površinskim deležem. ... 31 Slika 37: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (sferični disperzioidi 3%) ... 32 Slika 38: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z 3% površinskim deležem. ... 32 Slika 39: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (sferični disperzioidi 5%) ... 33 Slika 40: Graf povprečne velikostii zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z 5% površinskim deležem. ... 34 Slika 41: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem sferičnih disperzioidov. ... 34 Slika 42: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih

disperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem. ... 35 Slika 43: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 2, 1%) ... 36 Slika 44: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 2, z njihovim 1% površinskim deležem. ... 37 Slika 45: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 2, 3%) ... 37 Slika 46: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 2, z njihovim 3% površinskim deležem. ... 38 Slika 47: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 2, 5%) ... 39 Slika 48: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 2, z njihovim 5% površinskim deležem. ... 39 Slika 49: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem paličastih disperzioidov velikosti 2. ... 39 Slika 50: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer paličastih

disperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem. ... 40 Slika 51: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase: a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 3, 3%) ... 41 Slika 52: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 3, z njihovim 3% površinskim deležem. ... 42 Slika 53: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 5, 3%) ... 42 Slika 54: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 5, z njihovim 3% površinskim deležem. ... 43 Slika 55 Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije s 3% deležem paličastih

disperzioidov dolžin 3 in 5. ... 43 Slika 56: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer paličastih

disperzoidov velikosti 3 in 5 ter njihovim 3% površinskim deležem... 44 Slika 57: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih morfologij disperzoidov za 1% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov. ... 45

(10)

x Slika 58: : Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih morfologij disperzoidov za 3% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov. ... 45 Slika 59: : Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih morfologij disperzoidov za 5% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov. ... 46

(11)

xi SEZNAM OKRAJŠAV IN POSEBNIH SIMBOLOV

𝜎_𝑦 Napetost tečenja

d Premer kristalnega zrna 𝑠_𝑖 Položaj v mreži

𝑠_𝑗 Položaj soseda v mreži 𝜃 Kot med zrni

𝑄_𝑣 Privotna orientacija zrna 𝑄_𝜇 Nova orientacija zrna 𝑄_𝜇* Končna orientacija zrna 𝑘𝑇_𝑠 Termalna energija sistema 𝑘_𝐵 Boltzmannova konstanta R Polmer zrn

P Verjetnost

H Energija po Hamiltonianu E Energija po Isingu

J Energija sistema

(12)

1

1. Uvod

V svetu materialov in metalurgije se nam vedno poraja eno vprašanje. Kako doseči najboljše mehanske lastnosti materiala. Boljše lastnosti pomenijo boljši material. Skozi zgodovino so se razvijale različne tehnologije in tehnike za izboljšavo lastnosti materialov in sicer je ta razvoj do uporabe mikroskopov večinoma temelji na mehanskih preizkusih. S pojavom mikroskopov in mikroskopskih tehnik pa je postala mikrostruktura, ki definira stanje materiala na prostorski skali, ki jo lahko opazujemo pod mikroskopom, osrednji pojem pri proizvodnji kovinskih materialov s poudarkom na povezavi mikrostruktura-lastnosti. Na oblikovanje mikrostrukture oziroma na njen razvoj na celotni procesni verigi izdelave kovinskih materialov najprej vplivamo s kemično sestavo materiala, nato pa s procesnimi parametri oziroma s tehnologijo. Čeprav obstajajo tudi drugi načini izdelave, večino kovinskih materialov izdelamo bodisi z livarstvom ali s preoblikovanjem. Pri prvem načinu ima izdelek tako imenovano lito strukturo, pri drugem pa lito mikrostrukturo s termomehnaskim procesiranjem v trdnem stanju nadalje predelamo tako, da dobimo preoblikovano mikrostrukturo. Predelava v trdnem stanju poteka najprej v vročem z zaporedjem deformacijskih korakov, čemur lahko sledi še predelava v hladnem in/ali toplote obdelave. Cilj je na koncu dobiti material s čim bolj drobnozrnato mikrostrukturo. Na velikost kristalnih zrn najbolj vplivajo procesi rekristalizacije ter normalne in pretirane rasti zrn. Hitrost njihove rasti je odvisna od gonilne sile za rast ter od mobilnosti velikokotnih mej in sicer nižja kot je mobilnost, manj nam bodo med posameznimi preoblikovalnimi koraki zrna zrastla. Na mobilnost močno vplivajo v matrici raztopljeni zlitinski elementi (ang. solute drag) ter drobni delci drugih faz oziroma precipitati, ki so enakomerno razporejeni po volumnu. Precipitati vplivajo na premikajoče se velikokotne meje preko tako imenovanega Zenerjevega vleka, ki zavira hitrost gibanja. Velikost Zenerjevega tlaka je v glavnem določena z deležem obliko in velikostjo precipitatov na kar lahko vplivamo s procesnimi parametri tehnologije izdelave danega materiala. Da bi lahko poiskali optimalne procesne parametre moramo seveda najprej razumeti kako so ti parametri medsebojno povezani, kar lahko naredimo bodisi z obsežnimi eksperimentalnimi študijami ali s pomočjo računalniških eksperimentov, kjer na osnovi ustreznih modelov simuliramo razvoj mikrostrukture v odvisnosti od različnih vplivnih veličin.

1.1 Opis problema

Veliko lastnosti kovinskih materialov je odvisnih od njegove mikrostrukture. Možnost ravnanja in upravljanja z le to je ključ do izboljšanja njihovih lastnosti kot so na primer: trdnost, trdota, meja tečenja, žilavost, električna prevodnost, itd. Med termomehanskim procesiranjem kovinskih materialov moramo načrtovati tehnologijo na tak način, da bomo na koncu dobili čim bolj drobnozrnato mikrostrukturo. Saj nam Hall Petch-ova enačba pove, da se trdnost materiala povečuje z manjšanjem povprečne velikosti zrn [1]:

σ

_y

= σ

₀

+ k

_y

√d

1.1

Na vrednost količine d v tej enačbi pa lahko dodatno vplivamo tudi z drobnimi delci drugih faz v mikrostrukturi, ki po eni strani ovirajo gibanje dislokacij in s tem povečujejo trdnost materiala, po drugi strani pa zavirajo gibanje velikokotnih mej med procesiranjem materiala v vročem, predvsem pri rekristalizaciji ter normalni in/ali pretirano rasti zrn, Drobnozrnata

(13)

2 mikrostruktura pa ima praviloma večjo žilavost. Da bi lahko razumeli kako vplivajo delci drugih faz na razvoj mikrostrukture se velikokrat zatečemo k računalniškim simulacijam.

Pregled znanstvene literature pokaže, da je ena izmed učinkovitih metod za simulacije razvoja mikrostrukture Pottsova Monte Carlo metoda, ki omogoča eksplicitno spremljanje rasti zrn in je dovolj robustna, da jo je mogoče na enostaven način modificirati tako, da lahko upoštevamo različne mikrostrukturne značilnosti in študiramo njihov vpliv na kinetiko razvoja mikrostrukture. Zato sem se za temo moje diplomske naloge odločil, da bom vsa ta dejstva združil ter si poskusil odgovoriti na vprašanja, kako različne oblike diperzoidov ter njihov delež v mikrostrukturi vplivajo na njen razvoj. In sicer sem nalogo omejil na študij normalne rasti zrn, ki je zelo pomemben proces, ki ga je zabeljeno kontrolirati in zato tehnologije načrtovati tako, da nam zrne med termomehanskim procesiranjem ne zrastejo preveč.

(14)

3

2 Normalna in pretirana rast zrn

Normalna rast zrn [2] je proces pri katerem večja zrna rastejo na račun manjših. Gonilna sila za normalno rast je zmanjšanje površinske energije sistema in je sorazmerna površinski energiji ter lokalni ukrivljenosti meje zrna. Kinetiko normalne rasti zrn lahko izrazimo kot

〈R〉

ⁿ

− 〈R〉

₀ⁿ

= kt,

^2.1

kjer je t čas, ⟨R⟩ predstavlja povprečni polmer zrna pri času t, ⟨R⟩₀ je povprečni polmer zrna v času t=0, n je eksponent rasti in k je kinetični koeficient, ki je eksponentno odvisen od temperature. Med normalno rastjo zrn, zrna rastejo postopno v nekakšnem procesu ki je samopodoben preko več prostorskih skal [3]. Glavne značilnosti normalne rasti zrn so naslednje:

 Enakomeren izgled mikrostrukture: tako med velikostjo posameznih zrn, kot med njihovo obliko v različnih časih ni velikih razlik.

 Skaliranje: zelo enostavna sprememba prostorske skale je po navadi dovolj, da dosežemo sovpadanje dveh porazdelitev po velikosti za dve različni poljubno oddaljeni točki v času oziroma z drugimi besedami, oblika porazdelitve po velikosti zrn je časovno invariantna, pri čemer je razmerje med premerom največjega zrna v porazdelitvi in mediano premerov približno konstatna in sicer nekje med 2,5 - 3.

 Stabilnost: to stabilnost lahko vidimo v sistemih, kjer je ta začasno porušena (npr. s pretirano rastjo zrn), saj se sistem hitro stabilizira in se zopet vzpostavi porazdelitev po velikosti zrn, ki je značilna za normalno rast zrn, ta pa se nato razvija tako, da ostaja časovno invariantna.

 Log-normalna porazdelitev: rezultati eksperimentov kažejo, da tako porazdelitev po velikosti zrn, kot tudi porazdelitev po številu ploskev posameznih zrn, zadovoljivo opišemo z log-normalno porazdelitvijo.

Včasih se zgodi, da imajo nekatere velikokotne meje mnogo večjo mobilnost od drugih in se zato mnogo hitreje gibljejo. V takšnih primerih govorimo o pretirani rasti zrn ali o sekundarni rekristalizaciji. Razlogi za večjo mobilnost nekaterih mej so lahko različni, npr. vpliv disperzoidov, ugodne medsebojne orientacije med dvema zrnoma, lokalna dislokacijska struktura, itd. Glavna razlika med normalno in pretirano rastjo kristalnih zrn je, da se v primeru normalne rasti kristalna zrna enakomerno razporejajo po kristalni mreži in rastejo enakomerno, pri pretirani rasti pa hitrost rasti kristalnih zrn ni enakomerna in so posledično v kristalni mreži vidna večja zrna, kar je shematsko prikazano na sliki 1.

(15)

4 Slika 1: Shematski prikaz normalne in pretirane rasti zrn [4].

(16)

5

3 Metoda Monte Carlo

Monte Carlo metode ali Monte Carlo simulacije so računalniški algoritmi, ki temeljijo na ponavljajoči se uporabi naključnih ali kvazinaključnih števil za vzorčenje zapletenih matematičnih in fizikalnih sistemov. Zaradi uporabe naključnih števil je dobila metoda ime po delu kneževine Monako, kjer se nahaja najbolj znana igralnica iger na srečo na svetu. Metode Monte Carlo so uporabne na mnogih področjih, na primer v fiziki, kemiji, biologiji, metalurgiji, ekonomiji, itd. Lahko pa jih uporabimo tudi za simulacije razvoja mikrostruktur med termomehanskim procesiranjem kovinskih materialov [5].

Načeloma lahko z metodami Monte Carlo rešimo vsak problem, ki ga lahko formuliramo na verjetnostni način in sicer zato, ker lahko po zakonu velikih števil pričakovano vrednost neke naključne spremenljivke aproksimiramo z njeno povprečno vrednostjo, ki jo dobimo s povprečenjem mnogih neodvisnih vzorčenj. Z večanjem števila poskusov se izboljšuje tudi natančnost aproksimacije [6].

Same metodologije uporabe teh metod se sicer med seboj lahko močno razlikujejo in so odvisne od primera do primera, vendar pa imajo vse nekaj skupnih osnovnih značilnosti, ki jih lahko v grobem razdelimo na štiri korake:

1. Najprej definiramo množico vseh možnih sprememb oziroma vnosov 2. Na osnovi dane porazdelitvene funkcije naključno generiramo te vnose

3. Z algoritmom določimo nove vrednosti vnosov glede na rezultat prejšnje točke 4. Zberemo in obdelamo rezultate

V znanosti o materialih in v metalurgiji največkrat uporabljamo tako imenovani Metropolisov algoritem, ki je v svojem bistvu zelo enostaven in zgleda takole [7]:

1. Izračunaj energijo sistema za dano začetno stanje oziroma konfiguracijo

2. V sistemu naredimo naključno spremembo, npr. naključno izberi delec in ga premakni za naključno razdaljo

3. Izračunaj spremembo energije ΔE sistema zaradi naključne spremembe 4. Če je ΔE  0 sprejmi spremembo in pojdi na točko 8

5. Če je ΔE > 0 izračunaj prehodno verjetnost p = e^−∆E/kT 6. Generiraj naključno število r ∈ [0.1]

7. Če je r  p obdrži novo stanje oziroma konfiguracijo, če ne obdrži prejšnjo nespremenjeno stanje

8. Ponavljaj točke 2 – 8 dokler ne dobiš zadostnega števila različnih konfiguracij

3.1 Isingov model

Isingov model je poseben primer enostavnega termodinamskega sistema, ki se uporablja za študij in razumevanje njegovih osnovnih lastnosti. Kljub svoji enostavnosti je njegovo obnašanje dovolj kompleksno, da omogoča uporabo na različnih področjih znanosti. Isingov model lahko definiramo v 1D, 2D ali v 3D. V vsakem primeru moramo prostor najprej diskretizirati v regularno mrežo točk. Vsaki točki nato pripišemo stanje, oziroma spin, , ki ima lahko vrednosti 1 ali -1. Povedati moramo tudi, kaj se dogaja na robu diskretiziranega prostora.

Torej definiramo robne pogoje. Na začetku simulacije predpišemo še začetni pogoj, t.j.

vsakemu mrežnemu mestu na začetku predpišemo vrednost spina 1 ali -1. Spin lahko predstavlja katerokoli fizikalno veličino, ki jo lahko predstavimo z dvema stanjema, npr.

magnetizem (pozitiven ali negativen pol), smer (gor, dol), itd. Nadalje definiramo okolico, ki pove s koliko sosednjimi mesti v mreži sodeluje dano mrežno mesto. Največkrat se zanimamo

(17)

6 samo za interakcije kratkega dosega, kjer velikokrat upoštevamo samo interakcije med najbližjimi sosedi. Med dvema mestoma z različnima spinoma je meja, ki prispeva k energiji sistema (površinska energija), vsakemu mrežnemu mestu pa lahko pripišemo tudi volumsko energijo. Celotno energijo (Hamiltonijan) takšnega sistema lahko izračunamo kot [7] [8]:

E = ∑ ∑ γ(s

_i

, s

_j

) + ∑ h

_i

(s

_i

) ,

N

i=1 Z

j=1 N

i=1

3.1

kjer je N število mrežnih mest, Z je število sosedov danega mrežnega mesta,  je površinska energija in hi volumska energija danega mrežnega mesta.

4 Pottsov model

Pottsov model je posplošitev Isingovega modela in sicer tako, da namesto samo dveh stanj, ki jih lahko predpišemo danemu mrežnemu mestu v Isingovem modelu, t.j. 1 in -1, dovolimo, da lahko  zavzame katerokoli vrednost med 1 in Q, kjer Q celo število. Ta različna števila lahko predstavljajo npr. različne orientacije kristalov, kar je zelo uporabno za simulacije na področju metalurgije, saj lahko s takšnimi različnimi orientacijami predstavimo mikrostrukturo danega materiala, ki je sestavljena iz različno orientiranih kristalnih zrn. Takšen model smo uporabili tudi v tej diplomski nalogi in sicer v 2D, kjer največkrat prostor diskretiziramo s tremi različnimi regularnimi mrežami, t.j. kvadratno, trikotno in heksagonalno, kar prikazuje slika 2.

Slika 2: Primeri najpogosteje uporabljenih regularnih mrež v 2D [8].

4.1 Izračun energije v Pottsovem modelu

Kadar izvajamo simulacije za nek fizikalni model, je zelo pomembno, da najprej ugotovimo, ali se simulirana količina med simulacijo ohranja ali ne, saj je od tega odvisno, kakšen Monte Carlo algoritem bomo izbrali za simulacijo našega sistema. Če se nam neka količina v sistemu ohranja uporabimo za simulacije Kawasakijevo dinamiko, pri kateri naključno izberemo mrežno mesto in nato še naključno izberemo soseda ter zamenjamo vrednosti spina obeh mrežnih mest. Če se količina ne ohranja, kot v primeru, ko spini predstavljajo različne orientacije mrežnih mest in želimo simulirati razvoj mikrostrukture pri normalni rasti zrn, ali pri rekristalizaciji, uporabimo Glauberjevo dinamiko, pri kateri najprej naključno izberemo mrežno mesto, nato pa naključno izberemo vrednost spina iz množice možnih vrednosti in mrežnemu mestu spremenimo spin na to vrednost. Verjetnost p, da spremembo v sistemu obdržimo v obeh primerih izračunamo po Metropolisu

(18)

7

p = { 1, ∆E ≤ 0 exp

^−∆E

k_BT

, ∆E > 0

^3.2

Ali tudi s simetrično varianto zgornje enačbe (3.2):

p(ΔE) = 1

2 {1 − tanh ( Δ E

2k

_B

T )} ,

^3.3

kjer je kB Boltzmannova konstanta in T temperatura [7].

4.2 Primer Pottsovega modela

Na sliki 3 imamo priemr 4x4 mreže z dvema vrstama elementov, črni in beli. Vsaka barva prestavlja različen spin. Obravnavamo vsak element posebej skupaj z njegovimi sosedi.

Energije definirajmo tako, da v primeru, da je sosednji element iste barve, k skupni energiji prištejemo 1. V primeru, da sta elementa različna, se energija sistema ne spremeni.

Slika 3: 4x4 matrica [8]

Najprej določimo energije posameznih elementov, torej sosednjim elementom z istim spinom določimo energijo 1, sosednjim elementom z različnim spinom določimo energijo 0.

Ko smo določili vrednosti vseh energij, jih seštejemo in tako določimo celotno energijo tega sistema (Hamiltonijan), ki za ta primer znaša H = 11.

(19)

8

4.3 Pottsova Monte Carlo metoda za simulacijo razvoja mikrostrukture

Za simulacijo razvoja mikrostrukture oziroma rasti kristalnih zrn v tem delu smo uporabili Monte Carlo Potts-ov model v dveh prostorskih dimenzijah. Kot smo že omenili, moramo prostor najprej diskretizirati, definirati okolico, robne pogoje, začetni pogoj ter predpisati dinamiko. Vsakemu mrežnemu mestu predpišemo orientacijo, za vsaki dva različna soseda pa definiramo velikost površinske energije.

Enota za čas pri simulacijah razvoja mikrostrukture se imenuje Monte Carlo korak (MCS) in je definiran kot N število poskusov spremembe rotacije v mreži, kjer je N število vseh mrežnih mest [5]. Tipični primer predstavitve mikrostrukture, oziroma različnih zrn polikristalnega materiala je prikazana na sliki 4.

Slika 4: Primer predstavitve mikrostrukture v Pottsovem modelu s trikotno mrežo [9].

4.4 Potek simulacije

Potek simulacije lahko razdelimo na pet korakov. V prvem koraku izberemo naključno mrežno mesto, ki ima dano orientacijo

Q

_μ. Ker je mrežnih mest, ki mejijo na mesta z drugačno orientacijo bistveno manj kot je mest z enakimi sosedi, obstaja velika verjetnost, da bo naš algoritem izbral mesto znotraj zrna in ne na robu. V primeru, da leži izbrano mrežno mesto na kristalni meji, se lahko izvede drugi korak, kjer izberemo novo orientacija

Q

_v, ki je drugačna, kot začetna orientacija

Q

_μ

.

Naša nova orientacija je izbrana iz vseh možnih orientacij (Q-1), kjer je Q število vseh možnih orientacij. Večina možnih sprememb orientacije bo neuspešnih, saj se bo izvedla nerealistična nukleacija.

V tretjem koraku izračunamo energijo sistema

H = J ⋅ ∑ ∑ (1 − δ

_Q_i_Q_j

)

Z

j=1 N

i=1

,

5.1

(20)

9 kjer je Z vsota po najbližjih sosedih, N je vsota po celotni mreži, Qi je orientacija mesta i in  Kroneckerjev delta, ki ima vrednost 1 kadar sta vrednosti Qi in Qj enaki, sicer pa nič. Z J smo označili površinsko energijo meje, ki smo jo postavili v naših simulacijah kar na vrednost 1. V primeru, da je orientacijska razlika med dvema sosednjima zrnoma manjša od *, ki predstavlja mejo med velikokotno in malokotno mejo, lahko površinsko energijo meje izračunamo po Read-Shockley-evi enačbi

J = { θ

θ

^∗

∙ (1 − ln θ

θ

^∗

) , if θ ≤ θ

^∗

1, if θ ≤ θ

^∗

5.2

kjer

θ

predstavlja medsebojno orientacijo med dvema mrežnima mestoma. V četrtem koraku sledi izračun razlike v energiji ΔE med starim in novim stanjem. Ker v celotni mreži pride do spremembe orientacije v posameznem koraku samo na enem mrežnem mestu, se izračun spremembe energije poenostavi v

Δ E = J ⋅ ∑ (δ

_Q_j_Q_μ

− δ

_Q_j_Q_v

) .

n n

j=1

5.3

V zadnjem, petem koraku preverimo ali bomo spremembo sprejeli, ali ne na osnovi generiranja naključnega števila r ter verjetnosti za spremembo

P = {

1, ∆E ≤ 0 exp −∆E

k

_B

T , ∆E > 0

5.4

4.5 Simulacije vpliva disperzioidov na normalno rast zrn

Študirati želimo vpliv statičnih disperzoidov, oziroma delcev drugih faz na kinetiko normalne rasti zrn. V ta namen smo razširili osnovni Pottsov model, ki je bil opisan v prejšnjem razdelku in sicer tako, da smo na določena mesta v mikrostrukturi dodali drobne delce.

Algoritem za izračun energij je podoben algoritmu osnovnemu Pottsovemu algoritmu vendar so to razliko, da so mesta na katerih so disperzoidi izključena iz obravnave. Torej, ko program izbere disperzoid, le tega preskočil in izbere drugo mrežno mesto. V nalogi smo obravnavali točkaste, okrogle ter paličaste disperzoide. Na sliki 5 vidimo tipični izgled mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti z dodanimi točkastimi disperzoidi. Opazimo, da kristalne meje neovirano rastejo do disperzoidov, potem pa rast postaja ovirana. Večja kot je koncentracija disperzioidov v mikrostrukturi, bolj intenzivno pripenjajo ti pripenjajo meje.

(21)

10 Slika 5: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi točkastimi

disperzoidi.

Pri sferičnih disperzioidih lahko poleg njihove gostote vplivamo tudi na njihov radij. Pri simulaciji sfer z večjim radijem lahko nastanejo težave, če izberemo prevelik radij, ker lahko pride do prekrivanja. Primer dveh mikrostruktur s sferičnimi disperzoidi različnih velikosti prikazuje slika 6.

a) b)

Slika 6: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi disperzoidi sferičnih oblik: a) z radijem 1 ter b) z radijem 2.

Zadnja geometrijska oblika disperzioidov so palčke. Obravnavamo lahko navpične ali vodoravne, različnih dolžin ter različno gostoto. Enako kot pri sferičnih disperzioidih tudi tu lahko pride do težav, če so palčke predolge. Primere mikrostruktur z dodanimi disperzoidi paličastih oblik prikazuje slika 7.

(22)

11 a) b) c)

Slika 7: Primer mikrostrukture pri simulaciji normalne rasti zrn z dodanimi disperzoidi v obliki paličic: a) dolžina 1, b) dolžina 4 in c) navpična postavitev.

Shematski prikaz algoritma za simulacije razvoja mikrostrukture, ki smo ga uporabili v tej diplomski nalogi prikazuje slika 8. Računalniški program, ki je implementacija tega algoritma, ki tudi omogoča vizualizacijo razvoja mikrostruktur, smo napisali v programskem jeziku Python. Prostor smo diskreditirali v 2D kvadratno mrežo, pri čemer smo večino simulacij izvedli na mreži 100X100 točk. Na vseh štirih robovih smo predpisali von Neumannov robni pogoj. Na začetku vsake simulacije smo mrežnim mestom predpisali naključno vrednost orientacij. Kot je razvidno iz slike 8, smo uporabili Glauberjevo dinamiko. Dobljene slike mikrostruktur smo analizirali s pomočjo programa za samodejno analizo slik, ki zazna meje zrn in bo opisan v naslednjem razdelku.

(23)

12 Slika 8: Shema algoritma za simulacijo razvoja mikrostrukture s pomočjo Pottsovega Monte

Carlo modela.

(24)

13

4.6 Samodejna analiza rasti mikrostrukture

Rezultati naše simulacije so različne mikrostrukture, ki jih sestavljajo kristalna zrna različnih oblik in velikosti. Pri analizi dobljenih rezultatov in njihovi interpretaciji nas zanimajo tudi velikosti posameznih zrn ter povprečne velikosti zrn za dano mikrostrukturo, v odvisnosti od časa. Do teh količin lahko pridemo na različen načine, mi smo izbrali Canny-ev algoritem za zaznavanje robov. Sam program, v katerem je implementiran ta algoritem, na začetku prebere vhodno datoteko. V našem primeru je to slika simulirane mikrostrukture po določenem času [10], kot je prikazana sliki 9.

Slika 9: Tipična vhodna mikrostruktura, ki jo nato obdelamo s pomočjo Canny-evega algoritma.

Vhodno sliko s programom spremenimo najprej v sivinsko sliko, da bo robove naših zrn lažje zaznati. To naredimo s knjižnico OpenCV [11]. Rezultat te operacije pretvorbe slike prikazuje slika 10.

Slika 10: Pretvorba v sivinsko sliko.

V naslednjem koraku se iz sivinske slike znebimo šuma in tako očistimo sliko, da bo algoritem lažje zarisal robove. Masko naredimo okoli vseh zrn, tudi tistih na robu slike. Na sivinski sliki sedaj s Canny-evim algoritmom za zaznavanje robov določimo robove. Pri tem je

(25)

14 potrebno nastaviti pragove zaznave za spodnjo in zgornjo mejo. Vrednosti pragov lahko določimo med 0 do 255. Spodnji prag nam pove, kdaj neko točko spremenimo v belo ali črno barvo. S pomočjo robov lahko izoliramo posamezna zrna za nadaljnjo obdelavo, kar prikazuje slika 11.

Slika 11: Obdelana slika z jasno definiranimi robovi.

Z zaznanimi robovi lahko sedaj določimo lastnosti zrn; v našem primeru je to površina posameznega zrna iz katere lahko nato določimo njegovo velikost. Površino določimo s štetjem slikovnih točk v posameznem zrn. Slikovnim točkam lahko nastavimo poljubno dolžino, ki jo lahko določimo sami znotraj programa. Površina je nato enaka gostoti slikovnih točk. Primer dokončno obdelane mikrostrukture je prikazan na sliki 12.

Slika 12: Obdelana slika z ločenimi zrni.

Podatke, ki jih program izračuna sedaj zapišemo v csv datoteko in jo shrani v mapo, v kateri imamo program. Te podatke uporabimo za izračun povprečne velikosti kristalnih zrn v odvisnosti od števila Monte Carlo korakov.

(26)

15

4.7 Občutljivost Cannyevega algoritma za zaznavanje robov v mikrostrukturi

V naših simulacijah lahko dobimo različne mikrostrukture, na katerih s prostim očesom težko zaznamo razlike, saj so lahko razlike v barvah zelo majhne. Za testiranje občutljivosti algoritma sem obdelal spodnjo mikrostrukturo, ki jo prikazuje slika 13.

Slika 13: Mikrostruktura za testiranje občutljivostu Cannyevega algoritma.

Na tej sliki vidimo, da je večina zrn vijolične barve in so razlike med barvami zelo majhne. Z rdečo barvo so označene kristalne meje med dvema zrnoma, ki jih težko ločimo s prostim očesom. To mikrostrukturo sem obdelal z algoritmom in preveril njegovo občutljivost.

Slika 14: Robovi po Canny-evem algoritmu

Rezultat je prikazan na sliki 14, kjer je razvidno, da je algoritem brez težav zaznal vse meje, kljub temu da so si bile barve na originalni sliki med seboj zelo podobne. Shematično je potek Canny-evega algoritma prikazan na sliki 15.

(27)

16 Slika 15: Shema poteka avtomatske meritve velikosti zrn.

(28)

17

5 Rezultati in diskusija

Za testiranje in spoznavanje s programom za simulacijo razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn smo najprej izvedli in analizirali nekaj simulacij brez dodanih disperzioidov. Pri vsaki simulaciji smo določili povprečno velikost kristalnih zrn v odvisnosti od Monte Carlo korakov (časa). Vse simulacije so bile izvedene z isto začetno mikrostrukturo, ki je prikazana na sliki 16.

Slika 16: Začetna mikrostruktura.

Vse simulacije so trajale 1000 Monte Carlo (MC) korakov, slike mikrostruktur pa smo shranili vsakih 100 MC korakov. Simulacije smo večinoma izvedli na mreži 100x100 točk.

Vendar pa so shranjene slike mikrostruktur velikosti 369 x 369 slikovnih točk, kar smo ustrezno upoštevali pri izračuni povprečij. Za vsak primer simulacije so navedeni trije različni primeri razvoja mikrostrukture.

V primeru simulacije z disperzioidi smo simulirali razvoj mikrostruktur pri različnih morfologijah in različnih koncentracijah disperzoidov. Rezultate posameznih simulacij smo prikazali tako vizualno, kot tudi na grafih odvisnosti povprečne velikosti zrn od časa.

Na sliki 17 vidimo primerjavo mikrostruktur pri dveh različnih velikostih mreže. Na sliki 17b vidimo, da je število zrn precej večje, kot na sliki 17a, ker je simulirana površina mnogo večja.

a) b)

Slika 17:Primerjava mikrostruktur za simulacije na mreži s a) 100x100 točk in b) 200x200 točk.

(29)

18 Na sliki 18 je prikazana odvisnost povprečne velikosti kristalnih zrn od časa (MCS), kjer je lepo vidna potenčna odvisnost. Da bi ocenili napako oziroma raztros vrednosti dobljenih z različnimi simulacijami, smo izvedli 10 enakih simulacij ter izračunali povprečne vrednosti in standardne odklone, ki so prikazani na tej sliki. Zgornji interval napake prikazuje njeno absolutno vrednost, ki po pričakovanju narašča z naraščanjem povprečne velikosti zrn, spodnji interval pa prikazuje relativno napako, ki pa je ves čas približno enaka. Z višanjem števila simulacij se ta napaka manjša.

Slika 18:Deviacija rasti mikrostrukture 0

10 20 30 40 50 60

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Povprečna velikost zrn /

Čas simulacije / MCS

(30)

19

5.1 Simulacija razvoja mikrostrukture brez disperzioidov

Na sliki 19 je prikazan časovni razvoj mikrostrukture pri simulacijah normalne rasti zrn brez disperzioidov. Iz simulacije je lepo razvidno, da rastejo velika zrna na račun manjših in da so najbolj stabilna zrna s šestimi stranicami. Velikost kristalnih zrn s številom korakov narašča, kar bi v praksi pomenilo, da se v takšnem materialu slabšajo njegove mehanske lastnosti. V zadnjem 1000 koraku so še vedno vidna nekatera majhna zrna, ki pa bi s

povečanjem števila MC korakov počasi izginila. Rast zrn med je na začetku simulacije mnogo hitrejša, še posebej prvih 50 korakov, nato pa se počasi zmanjšuje, kar je pričakovan rezultat.

Odvisnost povprečne velikosti zrn od števila MC korakov prikazuje slika 20.

a) b)

c) d)

Slika 19: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase: a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS in d) 1000 MCS.

(31)

20 Slika 20: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa

Za primerjavo kako se razvija mikrostruktura pri različnih simulacijah z enakimi parametri smo prikazali razvoj mikrostruktur še za dve simulaciji in sicer so rezultati podani na slikah 21 in 23. Prav tako smo za ta dva primera podali odvisnosti povprečnih velikosti zrn od časa in sicer na slikah 22 in 23. Rezultati so si zelo podobni, vendar pa kot vidimo, niso identični, kar je normalno, saj imamo opravka s simulacijami, ki temeljijo na generiranju naključnih števil in zato rezultati ne morejo biti identični.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(32)

21

a) b)

c) d)

Slika 21: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS

Slika 22: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od korakov simulacije, oziroma časa.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Povprečna velikost zrna /

(33)

22

a) b)

c) d)

Slika 23: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS

Slika 24:Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od korakov simulacij 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(34)

23 Na sliki 25 so prikazane končne mikrostrukture za vse tri zgornje primere. Vidimo, da so si mikrostrukture medsebojno podobne, niso pa identične. Tudi povprečne velikosti zrn so približno enako velike, kar se še bolje vidi iz grafa na sliki 26, ki za vse tri primere prikazuje odvisnost povprečne velikosti zrn od časa.

Slika 25: Primerjava končnih mikrostruktur za tri različne simulacije.

Slika 26: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od korakov simulacije za tri primere enakih Monte Carlo simulacij razvoja mikrostrukture.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Prva simulacija Druga simulacija Tretja simulacija

(35)

24

5.2 Rezultati simulacije mikrostrukture s točkastimi disperzioidi

Na sliki 27 so prikazani rezultati simulacije razvoja mikrostrukture z 1% površinskim deležem točkastih vključkov za štiri različne čase. Vidimo, da točkasti disperzioidi ovirajo rast kristalnih zrn, zato je skozi različne korake vidno več zrn kakor če bi simulirali brez disperzioidov. Kljub zelo nizkemu številu disperzioidov je že na oko opazna razlika mikrostruktur, če jih primerjamo z mikrostrukturami na slikah 19, 21 ter 23, še posebej to velja za končne mikrostrukture. Kljub disperzioidom določena zrna še zmeraj dosežejo precejšnjo velikost, vendar pa manjšo kot v simulacijah brez disperzioidov. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 28.

a) b)

c) d)

Slika 27: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 1%).

(36)

25 Slika 28:Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z 1%

površinskim deležem.

Slika 29 prikazuje rezultate simulacij razvoja mikrostrukture pri normalni rasti zrn s 3%

površinskimi procenti točkastih disperzioidov za štiri različne čase. Iz slik mikrostruktur takoj lahko vidimo, da pripenjanje kristalnih mej v tem primeru mnogo bolj učinkovito. Zanimivo je, da med korakom 1000 in 2000 na oko ni vidnih večjih razlik v mikrostrukturi, kar pomeni, da je rast zrn zaradi večje količine disperzioidov bistveno bolj zavirana, kot v primeru z deležem disperzoidov 1%. Tudi povprečna velikost zrn je seveda precej nižja kot pri prejšnjem primeru.

Povprečna velikost zrn je manjša, številni disperzioidi pa se v precejšnji meri nahajajo v samih zrnih.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

(37)

26

a) b)

c) d)

Slika 29: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 3%)

Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 30, kjer je lepo vidno zelo učinkovito zaviranje rasti zrn in bistveno manjša končna velikost zrn, v primerjavi z grafom na sliki 28.

Slika 30: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z 3%

0 5 10 15 20 25 30

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

(38)

27 Na sliki 31 so prikazani rezultati simulacije razvoja mikrostrukture za primer s 5%

deležem točkastih disperzioidov pri štirih različnih časih. Povprečna velikost zrn po posameznih korakih je še manjša kot pri prejšnjem primeru s 3% deležem. Vidimo, da je koncentracija disperzioidov največja na kristalnih mejah, ker le te zavirajo nadaljnjo rast zrn.

Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 32.

a) b)

c) d)

Slika 31: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 500 MCS, c) 1000 MCS, d) 2000 MCS (točkasti disperzioidi 5%)

(39)

28 Slika 32: Graf povprečne velikostii zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih diperzoidov z

5% površinskim deležem.

Na sliki 33 je prikazana primerjava vseh treh končnih mikrostruktur za simulacije s 1%, 3% in 5% deleži točkastih disperzioidov. Razvidno je, da je število zrn v mikrostrukturi z višanjem deleža disperzoidov narašča, kar pomeni da njihova povprečna velikost pada. S temi simulacijami smo pokazali, da točkasti disperzioidi vplivajo na rast kristalnih zrn. V vseh primerih je viden enak vzorec rasti; kristalne meje rastejo do disperzioidov, ti pa nato zavirajo nadaljnjo rast. Iz grafa na sliki 34 je razvidno, da večji kot je površinski delež točkastih disperzioidov, manjša bo povprečna velikost zrn. Iz grafa vidimo, da pri dovolj visokem številu korakov, je velikost zrn pri 3% in 5% zelo podobna. To pomeni, da smiselno povečevati delež precipitatov le do določenega deleža, potem pa dosežemo nasičenje. Po drugi strani pa je pri enem procentu povprečna velikost zrn mnogo višja in skoraj primerljiva z mikrostrukturami brez disperzioitov.

Slika 33: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem točkastih disperzioidov.

0 5 10 15 20 25 30

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000

(40)

29 Slika 34: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer točkastih

diperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Po vpr ečna v eli kos t zr na /

Čas simulacije / MCS

1% 3% 5%

(41)

30

5.3 Simulacije razvoja mikrostrukture s sferičnimi disperzioidi

Na sliki 35 je vidna simulacija z 1% površinskim deležem sferičnih disperzioidov pri različnih časovnih korakih. Vidimo, da je v tem primeru zelo intenzivno pripenjanje vidno že pri tako malem deležu disperzoidov, če primerjamo rezultate z rezultati za točkaste disperzoide.

V primerjavi z točkastimi disperzioidi, je površina disperzoidov večja, iz česar sledi, da je rast zrn bolj upočasnjena. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 36.

a) b)

c) d)

Slika 35: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (sferični disperzioidi 1%)

(42)

31 Slika 36: Graf povprečne rasti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z 1%

Slika 37 prikazuje rezultate simulacij s 3% deležem sferičnih disperzioidov pri različnih časovnih korakih. Zaradi velike količine sferičnih disperzioidov, je rast zrn ovirana do te meje, da imamo še vedno veliko količino zelo majhnih zrn ki med korakoma 50 in 1000 ne zrastejo skoraj nič. Pripenjanje je očitno izredno učinkovito za ta primer. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 38.

0 5 10 15 20 25 30 35

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(43)

32

a) b)

c) d)

Slika 38: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z 3% površinskim deležem.

0 5 10 15 20 25

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(44)

33 Na sliki 39 je prikazan razvoj mikrostrukture za primer s 5% sferičnih disperzioidov pri različnih časovnih korakih. Vidimo, da je celotna mikrostruktura precej zapolnjena z disperzioidi, kristalne meje so zelo majhne in povprečna velikost zrna je v primerjavi z prejšnjimi primeri še manjša. Številna zrna imajo disperzoide na samo na robovih temveč tudi znotraj zrn. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 40.

a) b)

c) d)

(45)

34 Slika 40: Graf povprečne velikostii zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih diperzoidov z

5% površinskim deležem.

Na sliki 41 je podana primerjava vseh treh končnih mikrostruktur za vse tri različne površinske deleže sferičnih disperzioidov. Iz slik je jasno vidna razlika v velikosti zrn in večanje števila zrn z večanjem deleža disperzoidov. Iz grafa 42, ki prikazuje primerjavo povprečne velikosti zrn od časa, vidimo, da je razlika vpliv povečanja deleža sferičnih delcev v mikrostrukturi izredno velik.

Slika 41: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem sferičnih disperzioidov.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(46)

35 Slika 42: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer sferičnih

disperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem.

0 5 10 15 20 25 30 35

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5% 3% 1%

(47)

36

5.4 Simulacije razvoja mikrostrukture s paličastimi disperzoidi

Naslednje simulacije, ki smo jih izvedli v okviru diplomske naloge, so simulacije razvoja mikrostrukture pri normalni rasti zrn z dodanimi disperzioidi v obliki paličic. Pri njih lahko poleg njihovega deleža nastavljamo, oziroma spreminjamo tudi njihovo dolžino. Na sliki 43 je prikazan razvoj mikrostrukture za simulacijo z disperzioidi v obliki palčk pri njihovem deležu 1%. Zaradi te posebne oblike disperzioidov, imajo vsa zrna veliko vodoravnih mej. Velikost zrn je pri majhnem številu palčk delno zavirana, vendar so še zmeraj prisotna tudi precej velika zrna, podobno kot pri točkastih disperzoidih. Med vsako izmed teh slik je lepo vidna rast zrn z manj intenzivnim oviranjem. Razlika v rasti je lepo vidna z grafa na sliki 44.

a) b)

c) d)

Slika 43: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 2, 1%)

(48)

37 Slika 44: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki

paličic velikosti 2, z njihovim 1% površinskim deležem.

Na sliki 45 je simulacija mikrostrukture s disperzioidi v obliki palčk pri treh površinskih procentih. Kristalna zrna imajo manjšo površino in njihova rast je počasnejša kot v prejšnjem primeru. Iz simulacije je razvidno, da zrna rastejo z bolj ploščatimi robovi kot pri ostalih simulacijah. Razlika v mikrostrukturi med sliko c) in d) je zelo majhna, kar se tudi vidi na grafu na sliki 46.

a) b)

c) d)

0 5 10 15 20 25 30 35

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(49)

Na sliki 47 je simulacija mikrostrukture s disperzioidi v obliki palčk pri petih površinskih procentih. Število palčk je sedaj zelo veliko in povprečna velikost zrna v mikrostrukturi je prej nizko. V primerjavi slik b) in c) vidimo, da ni prišlo do večje spremembe.

Vidna so zrna podolgovate oblike, saj zrno obkrožujejo palčke, ki silijo rast zrna v vodoravno smer.

a) b)

c) d) 0

5 10 15 20 25

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(50)

39 Slika 47: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase a)

50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 2, 5%)

Slika 48: Graf povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer diperzoidov v obliki paličic velikosti 2, z njihovim 5% površinskim deležem.

Na sliki 49 so vidne vse tri končne mikrostrukture simulirane s disperzioidi v obliki palčk. Iz mikrostruktur vidimo, da so oblike zrn podolgovate, saj se prilagajajo obliki palčk in rastejo v isto smer. Ta pojav je posebej lepo viden za primeera z 3% in 5% deležem disperzoidov. Iz grafa na sliki 50 vidimo velike razlike pri povprečni velikosti zrn. Rezultati so podobni kot pri razliki velikosti za obe prejšnji vrsti disperzioidov.

Slika 49: Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije z 1%, 3% in 5% deležem paličastih disperzioidov velikosti 2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(51)

40 Slika 50: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer paličastih

disperzoidov z njihovim 1%, 3% in 5% površinskim deležem.

0 5 10 15 20 25 30 35

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5% 3% 1%

(52)

41

5.5 Simulacije z disperzioidi v obliki paličic večjih dolžin

Poleg možnosti večanja površinskega deleža disperzoidov v obliki paličic v dani mikrostrukturi, moj program za simulacije omogoča tudi, da palčkam predpišemo dolžino. Zato smo izvedli dve seriji simulacij z dvema različnima dolžinama paličic. Na sliki 51 so prikazani rezultati simulacije z deležem paličic 3% in z njihovo dolžino 3 mrežne točke. V primerjavi z prejšnjim primerom z istim površinski deležem palčk ampak z manjšo dolžino vidimo, da je povprečna rast zrn manjša in imamo veliko število manjših zrn. Torej so daljše paličice za oviranje gibanja kristalnih mej učinkovitejše od krajših. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 52.

a) b)

c) d)

Slika 51: Simulacija razvoja mikrostrukture med normalno rastjo zrn za štiri različne čase: a) 50 MCS b) 200 MCS, c) 500 MCS, d) 1000 MCS (palčke velikosti 3, 3%)

(53)

Na sliki 53 so prikazani rezultati simulacije razvoja mikrostrukture za paličaste disperzoide dolžine 5 mrežnih mest z njihovim deležem 3%. Vidimo, da palčke zelo ovirajo rast in njihova površina pa precej omeji možni prostor kjer lahko zrna rastejo. Odvisnost povprečne velikosti zrn od časa (MCS) za ta primer prikazuje slika 54.

a) b)

c) d)

0 5 10 15 20 25

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(54)

Na sliki 55 je predstavljena primerjava končnih mikrostruktur za dolžine paličic 3 in 5 ter njihovem 3% površinskih deležem. Vidimo, da daljše paličice bolj ovirajo rast zrn, vendar pa razlika ni zelo velika, kar je razvidno tudi iz naslednje slike 56, kjer se sicer vidi, da je povprečna velikost zrn manjša za daljše paličice, vendar ne izrazito.

Slika 55 Primerjava končnih mikrostrukture za simulacije s 3% deležem paličastih disperzioidov dolžin 3 in 5.

0 5 10 15 20 25

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(55)

44 Slika 56: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer paličastih

disperzoidov velikosti 3 in 5 ter njihovim 3% površinskim deležem.

Na koncu sem rezultate večine simulacij za povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za različne oblike disperzoidov ter za njihove različne deleže še združil v tri grafe, ki prikazujejo vpliv teh parametrov na normalno rast zrn. Tako je na sliki 57 prikazana odvisnost povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa 1% delež disperzoidov in sicer za vse tri oblike disperzoidov.

Za primerjavo pa je dodana še simulacija brez dodanih disperzoidov. Iz slike vidimo, da so sferični in paličasti disperzoidi za ta primer približno enako učinkoviti pri pripenjanju kristalnih mej, oziroma pri omejevanju normalne rasti zrn in boljši od točkastih disperzoidov.

Podoben trend je viden tudi za primer z 3% deležem disperzoidov, ki je prikazan na sliki 58, t.j. sferični in paličasti disperzoidi približno enako učinkovito pripenjajo meje, pri čemer so sferični disperzoidi za odtenek učinkovitejši, kot paličasti. Manj učinkoviti so točkasti, vendar pa je razlika med simulacijami z disperziodi in simulacijo brez njih z višanjem deleža disperzoidov povečuje.

Na sliki 59 pa je prikazan še primer z 5% deležem disperzoidov, kjer zopet vidimo enako zaporedje pri učinkovitosti omejevanja rasti za različne oblike delcev in po pričakovanju večja učinkovitost v primerjavi z rezultati za 3% delež disperzoidov.

0 5 10 15 20 25

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Čas simulacije / MCS Dolžina 5 Dolžina 3

(56)

45 Slika 57: Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih

morfologij disperzoidov za 1% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov.

Slika 58: : Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih morfologij disperzoidov za 3% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Brez disp. Točke Sfere Palčke

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(57)

46 Slika 59: : Primerjava povprečne velikosti zrn v odvisnosti od časa za primer treh različnih

morfologij disperzoidov za 5% površinski delež ter simulacijo brez disperzoidov.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(58)

47

6 Zaključek

Pred začetkom izdelave pričujočega zaključnega dela sem hotel narediti program, ki bo lahko simuliral mikrostrukture. Želel sem, da bi bilo mogoče si simulirati vpliv preprostih točkastih disperzoidov na pripenjanje kristalnih zrn pri normalni rasti zrn. V okviru programiranja in izvajanja računalniških eksperimentov pa sem ugotovil, da je z malo dodatnega dela mogoče program razširiti še na disperzoide drugačnih oblik, kar sem tufi storil in naredil obsežne simulacije njihovega vpliva na kinetiko razvoja mikrostruktur. Končna verzija programa tako sedaj omogoča simulacije razvoja mikrostruktur brez disperzoidov ter s točkastimi, sferičnimi ter paličastimi disperzoidi v različnih površinskih deležih. Poleg samega programa za simulacijo mikrostruktur sem dodatno naredil program, ki iz slike mikrostrukture izračuna število zrn in njihovo površino.

Rezultati simulacij so pokazali, da predstavlja prisotnost disperzoidov v mikrostrukturi učinkovit način omejevanja rasti zrn v kovinskih materialih med njihovim termomehanskim procesiranjem. Opazili smo, da učinkovitost pripenjanja kristalnih mej, za interval spreminjanja parametrov, kije bil obravnavan v tem delu, narašča z višanjem koncentracije disperzoidov v mikrostrukturi. Prav tako je bilo ugotovljeno, da so za dano koncentracijo sferični in paličasti disperzoidi mnogo bolje omejujejo gibanje mej, kot točkasti disperzoidi. Nadalje je bilo ugotovljeno, da predstavlja Pottsova Monte Carlo metoda izredno učinkovito orodje za študij procesov ni potekajo v kovinskih materialih, saj bi bilo mogoče z nekaterimi modifikacijami študirati tudi kinetiko rekristalizacije in vpliv disperzoidov na to kinetiko.

Razviti program za simulacije razvoja mikrostrukture pa ima še precej možnosti za njegov nadaljnji razvoj, od same hitrosti poteka simulacije do vključitve disperzioidov. Ena izmed težav, ki jih ima program v trenutnem stanju je, da simulacije trajajo precej časa in da se lahko simulirajo samo določene velikosti mreže, saj ima drugače program veliko težav in simulacija traja dolgo časa. Rešitev bi bila boljša optimizacija programa, prav tako bi lahko simulacije izvajali na večjih mrežah, kar bi nam dalo bolj natančne rezultate. Disprezioidi imajo trenutno težavo, da se lahko pri naključnem izbiranju ponesreči prekrijejo. Tukaj bi želeli, da ko program izbere neko točko, ki jo določi za disperzioid, da pri večjih disperzioidih npr. palčke ali sfere, pogleda če se en disperzioid dotika drugega. V primeru da se dotikala, program poišče drugo lokacijo.

V programu za računanje števila zrn in njihovo površino so težave, če mikrostruktura vsebuje disperzioide. V tem primeru same disperziode zazna kot zrno in jih pripiše v tabelo poleg pravih zrn. Rešitev za to težavo, ki sem jo uporabil je, da se poleg slike mikrostrukture z disperzioid shrani še slika, pri kateri disperzoide zamenjamo z barvo sosednje svetlobne točke.

(59)

48

7 Viri

[1] SCHUH, C. A., NIEH, T. Hardness and abrasion resistance of nanocrystalline nickel alloys near the Hall-Petch breakdown regime. MRS Online Proceedings Library (OPL), 2002, str. 740

[2] ANDERSON, M. SROLOVITZ, D., GREST G. SAHNI, P. Computer simulation of grain growth—I. Kinetics. Acta metallurgica, 1984, Vol. 32, iss. 5, str. 783-791.

[3] BYUNG-NAM, K., HIRAGA K. in MORATA K., Kinetics of normal grain growth depending on the size distribution of small grains. Materials transactions, 2003, Vol.

44, iss. 11, str. 2239-2244.

[4] HUMPHREYS F., A unified theory of recovery, recrystallization and grain growth, based on the stability and growth of cellular microstructures—I. Acta Materialia ,1997, Vol. 45, iss. 10, str. 4231-4240.

[5] ZÖLLNER, D. in STREITENBERGER, P. Normal grain growth: Monte Carlo Potts model simulation and mean-field theory. Micro-Macro-interaction, 2008, str 3-18.

[6] LANDAU, D. in BINDER, K. A guide to Monte Carlo simulations in statistical physics. Cambridge : Cambridge University Press, 2009, str. 471.

[7] JANSSENS, K. G., RAABE, D., KOZESCHNIK E. in NESTLER B., Computational materials engineering: an introduction to microstructure evolution. London : Academic Press, 2010, str. 343.

[8] BEAUDIN, L., A Review of the Potts Model. Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal , 2007, Vol. 8, iss. 1, str. 13.

[9] ANDERSON, M., SROLOVITZ D., GREST G. in SAHNI P., Computer simulation of grain growth—II. Grain size distribution, topology, and local dynamics. Acta

metallurgica , 1984, Vol. 32, iss. 9, str. 793-802.

[10] RONG, W., LI, Z., ZHANG, W. in SUN L., An improved CANNY edge detection algorithm. IEEE international conference on mechatronics and automation, 2014, str. 577-582.

[11] G. BRADSKI in A. KAEHLER, Learning OpenCV: Computer vision with the OpenCV library. California : O'Reilly Media, Inc., 2008, str. 543.

[12] ANDERSON, M., SROLOVITZ, D., GREST G. in SAHNI, P. Srolovitz, D. J., et al.

"Computer simulation of grain growth-III. Influence of a particle dispersion. Acta metallurgica , 1984, Vol. 32, iss. 9, str. 1429-1438.