UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
ŠPELA UREVC
SIMBOLNO PRIKAZOVANJE ŠTEVIL V PREDŠOLSKEM OBDOBJU
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2015
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
ŠTUDIJSKI PROGRAM: PREDŠOLSKA VZGOJA
ŠPELA UREVC
Mentorica: izr. prof. dr. TATJANA HODNIK ČADEŽ
SIMBOLNO PRIKAZOVANJE ŠTEVIL V PREDŠOLSKEM OBDOBJU
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2015
ZAHVALA
Iskreno se zahvaljujem mentorici izr. prof. dr. Tatjani Hodnik Čadež za pomoč, strokovno usmerjanje in nenehno spodbudo pri pisanju diplomskega dela.
Prav tako se zahvaljujem svoji družini, ki mi je med študijem stala ob strani in me spodbujala, da sem prišla do želenega cilja.
Hvala vsem v Vrtcu Kekec (Enota Mojca) za pomoč in sodelovanje pri raziskovalnem delu.
Hvala tudi fantu Tomažu, prijateljem in vsem, ki so me med študijem podpirali in mi na kakršen koli način pomagali, da mi je uspelo.
Hvala!
POVZETEK
Števila so že od nekdaj prisotna v naših življenjih, saj so vse povsod okoli nas. So tudi sestavni del otrokovega življenja, saj jih vidi in posluša odrasle, kako jih uporabljamo v vsakodnevnih opravilih. Zato sem v teoretičnem delu diplomskega dela predstavila zgodovino števil, kako so šteli naši predniki, kako se je vse skupaj razvijalo in nadgrajevalo. Predstavila sem tudi začetke zapisa števil in njihovo poimenovanje. Na kratko sem opisala začetek in razvoj števila nič, Piagetovo teorijo o razvoju pojma število pri predšolskem otroku in kako je število opredeljeno v Kurikulumu za vrtce.
V empiričnem delu sem raziskovala, kako se predšolski otroci spopadajo s štetjem in zapisovanjem števil. Zanimalo me je, kako so razvite številske predstave otrok, katera števila znajo zapisati, katere zapise števil prepoznajo in katere so najpogostejše napake, ki jih delajo pri zapisovanju številk.
Rezultati raziskave so pokazali, da imajo predšolski otroci dobro razvite številske predstave.
Vsi otroci, ki so bili vključeni v raziskavo, znajo šteti do 5, kljub temu da vsi ne prepoznajo pravilnega zapisa številk in jih tudi ne znajo zapisati. Ugotovila sem, da je najpogostejša napaka, ki jo naredijo pri zapisu, zrcalni zapis številke.
Ključne besede: zgodovina števil, štetje, razvoj pojma število, številka, predšolski otrok.
ABSTRACT
Simbolic representation of numbers in preschool education
Numbers have been present in our lives since the befinning of time, as they are everywhere around us. They are also an integral part of a child's life, because he sees and hears adults use them in everyday activities. Therefore, the theoretical part of the thesis presents the history of numbers and explains how our ancestors counted and how this field developed and progressed through time. It describes the beginnings of recording and naming numbers and touches on the beginnings and evolution of the number zero, Moreover, it presentsPiaget's theory on the evolution of the concept of the number in a pre-school child and how the topi cof numbers is specified in the kindergarten curriculum.
The empirical part examines how preschool children cope with counting and writing numbers.
We wanted to know how they develop numeric conception, which numbers they are able to write and recognise, and what are the most common mistakes they make when writing numbers.
The results of the research indicate that preschool children have a well-developed numeric conception. All children who were included in the study were able to count to 5, despite the fact that not all of them could identify the correct symbol for a specific number or know how to write them. We also found that the most common mistake when writing numbers is mirror writing.
Key words: history of numbers, counting, number concept development, numerals, preschool child.
KAZALO VSEBINE
UVOD ... 1
I TEORETIČNI DEL ... 2
1 ŠTEVILA SKOZI ČAS ... 2
1.1 Začetek – preštevanje kot prirejanje ... 2
1.2 Zapis števil ... 4
1.3 Poimenovanje (izgovarjanje) števil ... 7
2 ŠTEVILO NIČ ... 10
2.1 Različne besedilne oblike števila nič ... 11
2.2 Različne simbolne oblike števila nič... 11
2.3 Razumevanje števila nič ... 12
3 PRIMERI OBLIKOVANJA DESETIŠKIH SISTEMOV V PRAKSI ... 14
3.1 Razvijanje matematičnega zapisa pri otrocih ... 14
4 RAZVOJ POJMA ŠTEVILO PRI PREDŠOLSKEM OTROKU ... 15
4.1 Piaget in pojem števila ... 15
4.1.1 Piagetova teorija spoznavnega razvoja ... 15
4.1.2 Razredna inkluzija ... 17
4.1.3 Konzervacija števila ... 17
4.1.4 Kritika Piagetove teorije spoznavnega razvoja ... 18
4.2 Načela štetja ... 19
4.2.1 Štetje je povratno enolično prirejanje ... 19
4.2.2 Naravna števila so urejena ... 19
4.2.3 Enako močnim množicam priredimo s štetjem isto število ... 19
4.2.4 Neodvisnost od vrstnega reda ... 19
4.2.5 Štejemo lahko vse, kar razločujemo ... 20
4.3 Novejše teorije o razvoju pojma število ... 20
4.3.1 Pridobivanje količinske predstave o številih ... 21
5 ŠTEVILO V KURIKULUMU ZA VRTCE ... 23
5.1 Cilji iz Kurikuluma ... 23
5.2 Primeri dejavnosti, ki jih pripisuje Kurikulum ... 24
5.2.1 Primeri dejavnosti od 1. do 3. leta ... 24
5.2.2 Primeri dejavnosti od 3. do 6. leta ... 24
6 POVZETEK TEORETIČNEGA DELA ... 25
II EMPIRIČNI DEL ... 27
7 OPREDELITEV PROBLEMA ... 27
7.1 Cilji raziskave ... 27
8 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... 27
8.1 Hipoteze ... 27
9 RAZISKOVALNA METODOLOGIJA ... 28
9.1 Raziskovalna metoda ... 28
9.2 Vzorec ... 28
9.3 Merski instrumentarij (pripomočki) ... 28
9.4 Postopek zbiranja podatkov ... 29
9.5 Obdelava podatkov ... 29
10 POTEK RAZISKOVANJA IN INTERPRETACIJA REZULTATOV ... 29
10.1 Prvi sklop nalog ... 30
10.1.1 Naloga 1 ... 30
10.1.2 Naloga 2 ... 30
10.1.3 Naloga 3 ... 31
10.1.4 Naloga 4 ... 32
10.2 Drugi sklop nalog ... 34
10.2.1 Naloga 1 ... 34
10.2.2 Naloga 2 ... 35
10.2.3 Naloga 3 ... 36
10.2.4 Naloga 4 ... 37
11 POVZETEK UGOTOVITEV... 39
12 ZAKLJUČEK ... 42
13 LITERATURA IN VIRI ... 44
KAZALO SLIK
Slika 1: Volčja kost in rovaš (Berlinghoff, 2008, str. 71) ... 3
Slika 2: Sumerski zapis števil (Knapp, 1999, str. 7) ... 4
Slika 3: Egipčanski številski hieroglifi (Berlinghoff, 2008, str. 72)... 5
Slika 4: Majevska številska pisava (Berlinghoff, 2008, str. 74) ... 5
Slika 5: Kitajski znaki za števila (Knapp, 1999, str. 8) ... 6
Slika 6: Grški zapis števil (Knapp, 1999, str. 9) ... 6
Slika 7: Hindujski simboli za števila (Knapp, 1999, str. 9) ... 7
Slika 8: Števila v jeziku Zunjev (Bentley, 2010, str. 17)... 8
Slika 9: Prvotne različice (Bentley, 2010, str. 18) ... 9
Slika 10: Primer pik, narisanih na listu ... 31
Slika 11: Pike na igralni kocki ... 31
Slika 12: Postavitev številk od 1 do 6 v pravilni vrstni red ... 32
Slika 13: Pravilna postavitev številke 0 v vrstni red ... 32
Slika 14: Tombola s številkami ... 33
Slika 15: Tombola z žogicami ... 33
Slika 16: Primer kock, narisanih na papir... 35
Slika 17: List, na katerem je le en zapis številke 1 pravilen ... 36
Slika 18: List, na katerem je le en zapis številke 4 pravilen ... 36
Slika 19: Postavitev številk v pravilni vrstni red ... 37
Slika 20: Postavitev številk v obratni vrstni red ... 37
Slika 21: Zrcalni zapis številke 5 ... 38
Slika 22: Pravilen zapis številke 3 ... 38
KAZALO GRAFOV
Graf 1: Povprečna uspešnost predšolskih otrok pri posameznih nalogah (v %) ... 34Graf 2: Povprečna uspešnost predšolskih otrok pri posameznih nalogah (v %) ... 39
1
UVOD
Števila že od nekdaj vladajo našemu svetu. Živimo s števili in govorimo o njih (Bentley, 2010). Število lahko izrazimo z besedo, da pa je število uporabno v matematiki, ga je treba zapisati s simbolom. Tem simbolom pravimo številke. Številke so torej simboli, s katerimi zapisujemo števila (Knapp, 1999).
Matematika se je začela s številom. Veliko matematikov še danes meni, da število ni le začetek matematike, temveč tudi njen najgloblji temelj (Devide, 1984).
Učenje matematike se običajno začne z učenjem o številih, saj je štetje tisto najpogostejše, kar lahko počnemo s skupino predmetov. Danes smo tako navajeni branja in zapisovanja števil, da si niti predstavljati ne moremo, kako je bilo, ko ljudje niso znali ne brati in ne pisati le-teh (Menninger, 1992).
Človeštvo se s problemom učinkovitega zapisa števil srečuje že vse od časov, ko se je začelo preštevati živino ali predmete, s katerimi se je trgovalo. Najpreprostejši način zapisa so bile zareze, pri katerih so sledili načelu prirejanja eden enemu – ena zareza za en predmet oziroma za vsako prešteto stvar (Berlinghoff, 2008).
V teoretičnem delu diplomskega dela bom predstavila začetke matematike, ki so povezani z začetkom števil. Kje so se števila prvič pojavila, kdaj in kako so se razvili simboli za številke, kot jih poznamo danes. Osredotočila se bom tudi na predšolskega otroka in kako so otroci v tem obdobju dojemljivi za številke ter njihove simbole. Predvsem me zanima, kako potekata razvoj pojma število in simbolni zapis pri predšolskih otrocih.
V empiričnem delu pa bom predstavila rezultate raziskave, ki sem jo izvedla v vrtcu s predšolskimi otroki. Raziskala sem, katera števila poznajo, katera znajo pravilno zapisati in kaj jim pri zapisu števil predstavlja največjo težavo.
2
I TEORETIČNI DEL
1 ŠTEVILA SKOZI ČAS
Nihče točno ne ve, kdaj in kako se je začela matematika. Vemo le to, da je bilo v vsaki civilizaciji, ki je razvila pisanje, prisotno tudi nekaj matematičnega znanja. Zdi se, da so imena za števila in like ter osnovne ideje o štetju in aritmetičnih operacijah povsod del skupne dediščine človeštva (Berlinghoff, 2008). Kolikor vemo, smo ljudje edina bitja na planetu, ki prepoznavajo in uporabljajo števila – smo edini, ki govorimo v jeziku števil. Nekaterih živali lahko naučimo preprostih računov in štetja, vendar jim te sposobnosti niso prirojene po naravi (Bentley, 2010). Ali to pomeni, da števila obstajajo le zaradi nas? Ali tudi števil in štetja ne bi bilo, če ne bi bilo nas? To so vprašanja, ki se mnogim znanstvenikom in raziskovalcem porajajo v mislih, vendar natančnega in pravilnega odgovora nima nihče. Menim pa, da je skozi zgodovino človeštva več kot očitno, da smo ljudje tisti, ki smo štetju in številkam dali smisel.
Matematika temelji na številih. Števila so marsikdaj zgovornejša od besed, so najbolj razširjen in najpreprostejši svetovni jezik – na svetu je veliko ljudi nepismenih, osnovno računanje pa obvlada skoraj vsak. Ker so bile številke ljudem bolj pomembne, so jih iznašli tisoč let pred pisavo (Knapp, 1999). V tem času, ko ljudje še niso iznašli pisave in še preden so poznali besede za števila, so že poznali števila. Čeprav jih niso znali poimenovati, so jih že uporabljali. Števila so potrebovala dolgo časa, da so se razvila v obliko, kakršno poznamo danes. V začetku so bila neprepoznavna in so se skozi čas spreminjala, razvijala in prerasla v trdne oblike, ki danes vladajo svetu (Bentley, 2010).
1.1 Začetek – preštevanje kot prirejanje
Tisto najpreprostejše, kar lahko počnemo s skupino predmetov, je štetje, in to je razlog, zakaj se začnemo učiti matematiko s štetjem. Da so iznašli simbole za števila, kot jih poznamo danes, je trajalo tisoče let. Sprva so ljudje uporabljali kost, po kateri so pisali s kamnom, vejo za praskanje po zemlji in kamenčke (Knapp, 1999).
3
Primitiven človek je bil prisiljen k štetju; npr. pri menjavi blaga, če je želel imeti pregled nad svojo čredo, itn. Tudi prej, ko se človek še ni ukvarjal s poljedelstvom in živinorejo, ko je živel kot lovec in nabiralec, je moral vedeti, koliko ljudi je v njegovem plemenu, kolikšnemu številu sovražnikov se lahko uprejo in podobno. Še pred nastankom posebnih imen in znamenj za števila so že preštevali s prirejanjem eden enemu. Včasih so morali nekako vedeti, koliko ovc odpeljejo čez dan na pašo in koliko jih zvečer pripeljejo nazaj v ogrado. Pomagali so si s kamenčki ali paličicami, in sicer tako, da so dali pri odhodu vsake ovce iz ograde na stran en kamenček ali paličico. Ko so bile vse ovce zunaj, so natančno vedeli, koliko jih je odšlo ven. Ko pa so se ovce vračale v ogrado, so iz prej dobljenega kupčka dali stran za vsako ovco en kamenček ali paličico. Če so porabili vse kamenčke ali paličice, so vedeli, da so se v ogrado vrnile vse ovce. Več kot očitno je, da so te metode štetja pripomogle k razvoju pojma
»abstraktno« naravno število ali, kot pravi avtor knjige Matematika skozi kulture in epohe:
»Lahko bi celo rekli, da ga neizogibno izzivajo.« (Devide, 1984, str. 20)
Enak princip štetja velja tudi za zareze na palicah ali kosteh. Toliko, kot je zarez, toliko je predmetov (Devide, 1984). Te zareze so bile najpreprostejši in najbolj primitiven način zapisa števil. Preprostost teh zarez pa je bila njihova največja slabost. Zapis uporablja le en simbol, zato so potrebne dolge vrste takšnih simbolov, če je treba zapisati celo ne preveč veliko število (Berlinghoff, 2008). Ta način zapisovanja pa so kasneje izboljšali, in sicer tako, da so prečrtali po štiri zareze s peto, kar je olajšalo preštevanje večjih števil (Knapp, 1999). Tako so nastali rovaši. To so zapisi s snopi, zarezami na palici, vozli na vrveh, ki temeljijo na principu prirejanja.
Slika 1: Volčja kost in rovaš (Berlinghoff, 2008, str. 71)
4
Najstarejši primer uporabe rovaša sega v čas paleolitika. To je približno 18 cm dolga kost mladega volka, v kateri je vrezanih 55 globokih zarez, od katerih je prvih 25 urejenih v skupine po 5. To pa ne prikazuje le temeljne narave zapisov s črtami ali zarezami, ampak tudi prednost grupiranja oznak – v skupine po pet. Vse to je nakazovalo pot k boljšemu načinu zapisovanja števil z različnimi simboli (Knapp, 1999).
1.2 Zapis števil
Civilizacija je napredovala in različne kulture so ta način zapisovanja izboljšale tako, da so si izmislile več številskih simbolov in jih kombinirale na različne načine, da bi predstavile vse večja števila (Berlinghoff, 2008). Prvi najpreprostejši domislek za zapis števil, zlasti velikih, je bil tako imenovano seštevalno zapisovanje števil. Za »izstopajoča« števila so izbrali določena znamenja, potem pa z njihovim nizanjem označevali poljubna števila. Ideja takega zapisovanja števila je, da je vrednost niza znakov enaka seštevku vrednosti vseh znamenj, ki sestavljajo niz, sledijo pa si od večjega proti manjšemu (Devide, 1984).
Prvi, ki so poskušali dobiti uporaben sistem simbolov, so bili Sumerci, ki so živeli pred približno 5000 leti. Iznašli so klinopis. Uporabljali so vzorce iz simbolov klinaste oblike.
Kamne klinaste oblike so odtisnili v mokro glino.
Slika 2: Sumerski zapis števil (Knapp, 1999, str. 7)
Na prvi pogled se mogoče zdi, da so uporabljali samo en simbol, vendar je s slike razvidno, da so za število 10 uporabili podoben simbol, ki pa je bil postavljen drugače, vodoravno (Knapp, 1999). Največja težava takega zapisa števil pri velikih številih je bila dvoumnost
5
presledka med simboli (Berlinghoff, 2008). Niso imeli posebnega znamenja za nič, ampak so to pomanjkljivost ublažili s tem, da so med skupinami vtisov puščali večji razmik (Devide, 1984). Egipčani so, približno tisoč let po Sumercih, začeli za zapisovanje števil namesto klinov uporabljati slike (Knapp, 1999). Izboljšali so zarezovanje, in sicer tako, da so uporabili več številskih simbolov in jih povezali skupaj v skupine. Simboli so bili »hieroglifski« – majhne sličice navadnih (pa tudi manj navadnih) stvari. Zapisovanje velikih števil je kljub temu zahtevalo precej dolge vrste simbolov (Berlinghoff, 2008). In ker so za to potrebovali kar nekaj časa, so jih postopoma poenostavili (Knapp, 1999).
Slika 3: Egipčanski številski hieroglifi (Berlinghoff, 2008, str. 72)
Civilizacija Majev v Srednji Ameriki je uporabljala podoben številski sestav kot Babilonci, le da njihov ni imel takšne slabosti, kot je presledek v babilonskem sestavu. Tudi Maji so uporabljali le dva osnovna simbola, piko za število ena in kratko črtico za število pet (Berlinghoff, 2008).
Slika 4: Majevska številska pisava (Berlinghoff, 2008, str. 74)
Kitajci so števila včasih zapisovali kar s črtami, vendar ti znaki niso bili primerni za seštevanje, ker ni bilo dovolj razvidno, kdaj je številka enomestna, kdaj večmestna, kdaj je napisano število nič in kdaj le presledek.
6
Slika 5: Kitajski znaki za števila (Knapp, 1999, str. 8)
Grki so za številke uporabljali nekatere črke svoje abecede, vendar je bilo težko ugotoviti, kaj je število in kaj beseda, saj so isti znaki pomenili tako črke kot številke (Knapp, 1999).
Slika 6: Grški zapis števil (Knapp, 1999, str. 9)
Vsi ti sistemi temeljijo na principu seštevanja – vrednost številke je enaka seštevku vrednosti simbola. Tudi rimske številke naj bi pripadale temu sistemu seštevanja, vendar imajo eno izboljšavo – številke so zapisovali tako, da so manjše zapisovali pred večje, kar je omogočalo odštevanje. S tem so razbili monotonijo in okorno pisanje večjih števil. Kljub temu pa je bilo računanje s temi števili težavno in naporno (Fosnot in Dolk, 2001).
7
Naša sedanja metoda zapisovanja števil je hindujsko-arabski sestav. Iznašli so ga Hindujci in ga izpopolnjevali kar nekaj časa (Berlinghoff, 2008). Za vsako od števil od ena do deset so iznašli nov simbol.
Slika 7: Hindujski simboli za števila (Knapp, 1999, str. 9)
Te simbole pa so preoblikovali Arabci in od tam so se razširile po Evropi in celem svetu. Zato jih tudi imenujemo arabske številke oziroma števke, te pa so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. V začetku je bilo številk samo 9, saj Hindujci in Arabci niso uporabljali ničle, ker si niso mogli predstavljati, zakaj bi potrebovali simbol, ki predstavlja nič. Namesto ničle so pustili samo prazen prostor, kar pa je povzročalo veliko zmede in otežilo zapisovanje števil, kot so na primer 20, 30 ali 100 (Knapp, 1999).
Nihče ne ve, zakaj so za osnovo sestava že na začetku izbrali število deset, vendar znanstveniki domnevajo, da so se za to izbiro skrivali biološki razlogi in ne logični. Vse namreč nakazuje na to, da je ta številski sestav nastal iz preštevanja na prste, zato je bilo povsem naravno, da osnova ustreza številu človeških prstov na rokah. To odraža tudi beseda, ki so jo stari Rimljani uporabljali za števko: digitus – prst (Knapp, 1999).
1.3 Poimenovanje (izgovarjanje) števil
Znaki, s katerimi danes zapisujemo števila, so se razvijali počasi, prav tako pa so se razvijali počasi tudi zvoki, ki jih izgovarjamo, ko vidimo števila. Povsem lahko je verjeti, da so jamski ljudje za števila vsaj na začetku uporabljali preproste besede, na primer za število pet: »uh, uh, uh, uh, uh«. To pa ni bil najbolj bister način izgovarjanja števil, zlasti če je bilo število veliko. Kmalu so ugotovili, da je rešitev očitna: za vsako število morajo izgovoriti drugačen zvok. Ker so znali šteti le s prsti, so bile besede, s katerimi so označevali števila, večinoma povezane s prsti (Bentley, 2010). Na primer: plemena Zulu v južni Afriki pravijo številu
»devet«: »izpusti en prst«; plemena Atapaska iz Kanade pravijo številu »devet«: »upogne se
8
en prst«. Tudi v našem jeziku najdemo ostanke imen za števila, ki kažejo na štetje s prsti;
besedi »pet« in »pest« (roka s petimi prsti) imata isti koren (Devide, 1984).
Slika 8: Števila v jeziku Zunjev (Bentley, 2010, str. 17)
Sčasoma je postalo pomembno, da števila poimenujemo s krajšimi besedami, še zlasti ko so ljudje začeli trgovati drug z drugimi. Več plamen je pred štiri tisoč leti razvilo krajše govorjene besede za števila in te tvorijo osnovo besed, ki jih še danes uporabljamo po vsej Evropi in drugod (Bentley, 2010).
9
Slika 9: Prvotne različice (Bentley, 2010, str. 18)
Štetje na prste si deli vizualno kakovost pisanja, vendar se razlikuje v svoji minljivosti, to pa ima skupnega z besedami števil. In to je tisto, kar daje številkam, ki jih štejemo na prste, njihov vmesni položaj med govorjenimi in pisanimi številkami (Menninger, 1992). Tudi primitiven človek je štel, in to lahko razberemo iz ohranjenih starih risb in reliefov. Človek je moral šteti na prste, kar počnemo še danes. Prednosti takega štetja so, da ima človek prste vedno pri roki in da imajo vsi ljudje običajno na roki enako število prstov, kar olajšuje medsebojno sporočanje rezultatov štetja. Ni si težko predstavljati, zakaj so bili prsti skozi celotno zgodovino človeštva univerzalen pripomoček pri razmišljanju o številih. Lahko jih uporabljamo po načelu prirejanja, vedno jih nosimo s seboj in z njimi je enostavno rokovati.
Kmalu pa se je pokazalo, da imajo eno pomanjkljivost – ne omogočajo trajnega zapisa informacij, in ko so ljudje začutili potrebo po shranjevanju izračunanih informacij, je nastala tudi potreba po trajnejših načinih predstavitve števila (Devide, 1984).
Raziskovalci opažajo nekatere podobnosti med otroškimi iznajdbami simbolnih zapisov in številskimi sistemi starih civilizacij. Eno izmed podobnosti z razvojem otroških sistemov označevanja vidijo pri uporabi prstov na roki, ki jih predšolski otroci sprva uporabljajo pri preštevanju predmetov. Vpliv prstov na kasnejše številske sisteme se najočitnejše odraža v tem, da je večina današnjih baznih številskih sistemov osnovanih na številih pet, deset ali dvajset. Princip prirejanja tako na nek način združuje postopek uporabe prstov, otrokove
10
začetne poskuse predstavitve števila in idejo zapisov s pomočjo zarez. Predstavlja tudi osnovo nekaterim najzgodnejšim številskim sistemom – egipčanskemu, babilonskemu in rimskemu (Devide, 1984).
2 ŠTEVILO NIČ
Ideja o ničli je otrokom težko razumljiva, saj je konceptualno drugačna od prejšnjih razvitih števil, in sicer v tem, da števila nič ne moremo povezati z resničnimi objekti, predmeti.
Velikokrat otroci napišejo številko večjo od 100 z dvema ničlama, npr. namesto 113 napišejo 10013. Ne razumejo še ničle v "vrednostnem stolpcu" (enice, desetice, stotice). To, da lahko ena številka predstavlja enice, desetice ali stotice (glede na to, kje stoji), vključuje veliko idejo o tvorjenju v eno enoto z združevanjem delov v celoto (angl. unitizing) – številka 2 predstavlja 2 enoti, a se lahko ti enoti spreminjata (lahko sta desetici, stotici ...). Desetiška enota je spremenljivka. Številka 2 predstavlja le kardinalnost enot (Fosnot in Dolk, 2001).
Za prehod od prvih števil do števila nič je človeštvo potrebovalo kar nekaj časa, saj je bilo treba o številih razmišljati kot o idejah, ki obstajajo tudi tedaj, ko ne preštevamo ničesar.
Zgodovinarji so začetke števila nič postavili v Mezopotamijo leta 1600 pred Kr. Babilonci so prazno mesto, s katerim so pokazali, da je eno mesto izpuščeno, najprej označevali s presledkom. To so kmalu nadomestili s piko, saj so bili zaradi hitrega pisanja presledki različno veliki. Z odkrivanjem ničle so nadaljevali Hindujci. Še pred letom 600 pred Kr. so poznali mestni desetiški sistem (takega, kot ga imamo še danes) in prazno mesto so označevali z majhnim krogcem. Arabci so enak krogec uporabljali za število pet, za označitev praznega mesta pa piko (Janežič, 2012).
Hindujci so do 9. stol. ugotovili še nekaj, in sicer da je odsotnost količine tudi količina sama – nič so začeli obravnavati kot število. Ničla se je do konca 18. stol. iz pripomočka za označevanje praznega mesta razvila v pravo algebrsko orodje. In s tem, ko je ničla postala število, se je v popolnosti razvil sistem mestne vrednosti, saj so tako imeli s pomočjo 10 simbolov neomejeno število možnosti za predstavljanje števil. Težava z iskanjem vedno novega znaka in imena zanj je bila rešena, saj lahko vsaka številka (vključno z ničlo) zasede katero koli mesto (Janežič, 2012).
11
Z iznajdbo števila nič in posledično sistema mestne vrednosti so olajšali vsakdanje primerjanje števil med seboj. Mnogo raziskovalcev meni, da je matematika tuji jezik, ki se ga morajo otroci naučiti, saj v matematičnem jeziku lahko iste besede pomenijo različno, odvisno od konteksta, v katerem so uporabljene. Število nič lahko izrazimo v dveh oblikah – govorjeni ali zapisani. Kontekst je lahko matematične ali družbene narave; število nič je lahko kardinalno ali ordinalno, lahko ima numerične vrednosti (število fižolov v posodi) ali le opisne (številka registrske tablice) (Janežič, 2012).
Iznajdba števila nič ima na matematiko izjemen vpliv. Šele z iznajdbo ničle je bilo mogoče neovirano seštevati, odštevati, množiti in deliti, med seboj primerjati velikost števil ...
Matematika se je z iznajdbo ničle razvila kot disciplina, hkrati pa postala tudi sestavni del drugih disciplin (Janežič, 2012).
2.1 Različne besedilne oblike števila nič
Beseda nič ima več sopomenk: ničla, nula, ničeln, ničen, nulti, ničti ... Beseda nič v stavku
»tri plus nič je tri« ima matematičen kontekst in pomeni nekaj povsem drugega kot beseda nič v reku: »O tem se povsod šušlja, čisto brez nič ne bo.« Tukaj ima beseda nič družbeni kontekst. Različno lahko uporabljamo tudi besedo nula. Stavek: »Njihova poštna številka je ena, tri, šest, nula,« (družbeni kontekst) ima precej drugačen pomen od: »Sedem minus sedem je nula.« (matematični kontekst) (Janežič, 2012).
2.2 Različne simbolne oblike števila nič
Simbolne ničle (0) lahko opazujemo na vsakem koraku, saj je drugi znak za javno stranišče 00, ob polnoči digitalna ura kaže 00:00 ali 24:00, voda zamrzne pri 0 ℃, telefonska številka vsebuje kodo 031 ali 02, registrske tablice lahko vsebujejo številko 0 itd. Otrok mora glede na zapisano prepoznati, v katerem kontekstu je zapisano število nič, kar lahko stori le z zgodnjim seznanjanjem z različnimi zvrstmi znotraj simbolnega sistema (Janežič, 2012).
12
2.3 Razumevanje števila nič
Obstajajo različne teorije o tem, kdaj je posameznik sposoben razumeti idejo števila nič.
Tukaj je le nekaj avtorjev in kratek opis njihovih teorij (Janežič, 2012):
Piaget: pravi, da koncept števila nič ni v celoti razvit, dokler ne dosežemo formalne operativne stopnje, in sicer nekje do 11. leta starosti. To je stopnja, ko miselne operacije niso več omejene s konkretnimi primeri – torej takrat, ko posameznik lahko abstraktno in hipotetično razmišlja v kontekstu jezikovnega in logičnega sistema. Pravi tudi, da je za učenje posamezne ravni znanja najprej potreben telesni razvoj;
Vigotski: razvil je idejo, da učenje predhodi in usmerja razvoj. Ključni mehanizem, ki pojasnjuje odnos med učenjem in razvojem, pa je območje bližnjega razvoja. Pravi, da otrokovo mišljenje usmerja odrasli oz. kompetentnejši sovrstnik, s tem pa aktivira kognitivne strukture, ki so sicer že razvite, vendar ne do mere, da bi jih lahko otrok samostojno uporabil;
Bruner: določil je 3 vrste reprezentacij: enaktivno, ikonično in simbolno. Njegov model ima jasno povezavo s Piagetovimi stopnjami razvoja, a se razlikuje v bistveni stvari – Brunarjev model ni tako jasno povezan z leti posameznika. Opisovane modele učenja kot odziv na novo učenje uporabljamo vsi, nekateri na višji stopnji kot drugi, vendar pa nakazujejo na to, da se mlajši otroci bolj nagibajo k enaktivnemu mišljenju;
Hughes: del poskusa predstavitve količine je namenil tudi poskusu ponazarjanja števila nič. Razumevanje števila nič je raziskoval na različne načine. Predšolske otroke in otroke prvega razreda je prosil, naj na listu pokažejo, da na mizi ni nobene kocke. Ugotovil je, da skoraj vsi otroci za ponazoritev količine uporabljajo konvencionalne simbole – tudi za predstavitev ničle uporabljajo simbol 0 in s tem predstavijo odsotnost kock. Nekaj otrok pa je uporabljalo ikonično ali piktografično predstavitev in odgovarjali so na različne načine. Nekaj jih je uporabilo simbol 0 ali pa so si izmislili svoj lastni simbol, npr. piko ali pomišljaj. Drugi so risali prazno mizo ali škatlo, tretji pa so list papirja pustili prazen.
Hughes je dobil veliko zanimivih odgovorov otrok, vendar je opazil, da se jih je veliko na zastavljeni problem predstavitve ničle odzvalo s prepadenim pogledom, saj niso razumeli, kaj želi od njih.
Zavedal se je, da je treba otrokom dati razlog za risanje oznak na papir, in zato je razvil igro s pločevinkami. Potreboval je štiri identične prazne pločevinke, ki so vsebovale različno število kock; 1, 2, 3 in 0. Otroci so si najprej ogledali določeno število kock v
13
posamezni pločevinki, nato pa jih je raziskovalec zaprl in jih med seboj premešal. Otroke je nato prosil, naj poiščejo pločevinko, ki vsebuje npr. 2 kocki. Tu so otroci ugibali.
Kmalu je raziskovalec dejavnost prekinil in jo nadgradil z idejo, da naj na papir otroci zapišejo nekaj, kar jim bo pomagalo pri vedenju, koliko kock je v posamezni pločevinki.
Ko so otroci označili pločevinke, jih je raziskovalec premešal in ponovno vprašal po pločevinki, ki ima določeno vrednost. S tem je Hughes preveril, ali jim njihove lastne oznake kakor koli pomagajo pri igranju te igre. Rezultati so pokazali, da so dve tretjini predšolskih otrok in vsak otrok v prvem razredu sposobni pokazati pravo pločevinko glede na svojo označitev. Oznake pa so bile podobne kot pri prvem poskusu;
nerazumljive, ikonične, piktografične in simbolne. Preveril je tudi, kako je s prepoznavanjem otrokovih lastnih, izmišljenih simbolov teden dni po tem, ko so si jih izmislili. Ugotovil je, da so otroci, ki so jim njihove oznake pomagale takoj po njihovem zapisu, določeno število predmetov v pločevinki na podlagi svojih oznak našli tudi teden dni pozneje, tisti pa, ki jim oznake že takoj niso pomenile ničesar, jih niso znali dešifrirati niti po tednu dni;
Catterall: ukvarjala se je s predstavami otrok o številu nič, bolj konkretno o odnosu med številom nič in drugimi števili. Otrokom (starim od 5 do 11 let) je postavila naloge, pri katerih so morali po velikosti urejati kartončke z različnimi kombinacijami števil (število nič in ulomki, decimalna števila in število nič, nekaj naravnih števil in število nič, števila od 0 do 9 ...). Rezultati so pokazali, da otroci ničli kot simbolu na številski osi pogosto pripisujejo mesto zraven številke ena, pogosto otroci ničlo ignorirajo ali pa jim je vseeno, katero mesto zasede ... Otroci so velikokrat tudi v dilemi, ali je nič celo število ali ne.
Raziskovalka je o tem opravila kratek razgovor z otroki. Ugotovila je, da otroci cela števila pojmujejo kot polna števila in ne kot delčke, kot jim to predstavljajo ulomki.
Pravijo, da so cela števila tista, ki stojijo pred ulomkom, v tem primeru pa število nič izpade kot polno število, saj otroci pravijo, da ne napišemo 012, in to zagovarjajo s tem, da cela števila lahko režemo na dele, tega pa ne moremo narediti z ničlo – ne moreš imeti polovice od nič.
14
3 PRIMERI OBLIKOVANJA DESETIŠKIH SISTEMOV V PRAKSI
Skozi stoletja se je zapis števil s simboli spreminjal in dopolnjeval, da pa bi bilo branje teh zapisov lažje, se je razvil desetiški sistem, razvile pa so se tudi številske in računske operacije.
Kot že rečeno, so včasih šteli tako, da so delali zareze na kosti in na palice, kar pa ni bilo pravo štetje, ampak le prirejanje eden enemu, kar za večja števila ni bilo primerno. Skoraj vsi zgodnji desetiški sistemi so uporabljali enice, petice, desetice, dvajsetice, kar pa sploh ni tako presenetljivo, saj so včasih šteli s prsti na rokah in nogah. Prav tako je v teh številčnih sistemih imela vrednost številk zelo majhno povezavo s položajem številk, npr. rimske številke so vedno pomenile enako vrednost ne glede na položaj, kje so bile postavljene (C je imel vedno vrednost 100).
Desetiški sistem, kot ga poznamo danes, temelji na množenju; npr. številka 2 na drugem mestu, in sicer z leve proti desni, ima vrednost 20, na tretjem mestu 200 itn. S to izboljšavo za prikaz desetic in stotic ne rabimo nobenih drugih simbolov, prav tako pa je ta izboljšava vodila v napredovanje pri seštevanju in k razvoju moderne matematike. Števke od 1 do 9 so se pojavile v Indiji v 3. stol. pred našim štetjem v napisih, simbola in ideje za nič pa takrat še niso poznali. V 12. stol. je v Evropo prišlo pisno računanje, za katerega pa danes uporabljamo izraz algoritem (Fosnot in Dolk, 2001).
3.1 Razvijanje matematičnega zapisa pri otrocih
Tako kot so se ideje o številih razvijale počasi in več let, tako so tudi zelo veliki razvojni mejniki pri matematičnem razvoju otrok. Hughes (Fosnot in Dolk, 2001) je opravil raziskavo, v kateri je otrokom, starim med 3 in 7 let, pokazal več različnih pločevink, v katerih je bilo različno število kock. Na podlagi rezultatov je ugotovil, da je otroško napredovanje vzporedno z zgodovinskim napredovanjem o zapisu števil. Veliko najmlajših otrok je naredilo samosvoje oznake brez povezave o količini. Ko se je ideja o prirejanju 1 – 1 konstruirala, so tudi otroci začeli prikazovati količino s piktografsko predstavitvijo – risali so kocke. Kasneje so se otroci posluževali ikonične predstavitve in uporabljali simbole – pike ali črte za prikaz količine. Še kasneje pa so otroci poskušali prikazati količino le z enim simbolom. Za
15
razumevanje, da označijo količino le z enim simbolom, pa potrebujejo razumevanje kardinalnosti.
Kako se pri otrocih razvija matematični zapis števil, je ugotavljala tudi učiteljica J. Weisbart (Fosnot in Dolk, 2001). Zanimalo jo je, kako bi njeni učenci predstavili količino. Otrokom je ponudila več nalog in izzivov, ki pa so se postopoma stopnjevali. Z nalogami je preverjala, kako otroci zapisujejo količino in kdaj osvojijo pojem kardinalnosti, kako seštevajo ...
Rezultati so pokazali, da se razvoj matematičnega zapisa pri otrocih razvija točno tako, kot se je skozi zgodovino – otroci najprej označijo količino s slikami predmetov, potem z ikoničnim prikazom, ki mu kasneje dodajo še številko. Počasi začnejo razvrščati po pet (prsti) in deset, nato pa količino predstavijo le s številko. Vsi rezultati raziskav, izvedenih na to temo, kažejo, da se razvoj razumevanja numeričnega sistema ujema z zgodovinskim razvojem. Tako kot so ljudje včasih postavili količino pred simbolom, tudi otroci najprej uporabljajo simbole, nato razvrščanje in šele potem številke – iz aditivnega sistema preidejo v multiplikativnega.
Glede na to, koliko let je človeštvo potrebovalo za razvoj idej o številih, smo lahko presenečeni nad otrokovo zmožnostjo matematičnega razmišljanja (Fosnot in Dolk, 2001).
4 RAZVOJ POJMA ŠTEVILO PRI PREDŠOLSKEM OTROKU
4.1 Piaget in pojem števila
4.1.1 Piagetova teorija spoznavnega razvoja
Piageta je pri proučevanju otrokovega psihološkega razvoja zanimal predvsem spoznavni razvoj, zato je bilo zanj otrokovo razumevanje matematike šele drugotnega pomena. Otrokov razvoj se po Piagetu odvija po diskretno ločenih razvojnih stopnjah, skozi katere prehaja otrok od rojstva do odraslosti. Vsaka stopnja pa je natanko opredeljena s svojimi karakteristikami (Manfreda Kolar, 2006):
senzomotorična faza (od rojstva do 18 mesecev): v tem obdobju se otrok začne zavedati samega sebe, spozna, da je ločen od okolice in da obstaja fizični svet, ki je neodvisen od njegovih aktivnosti;
16
preoperacionalna faza (od 18 mesecev do 7 let): v tem obdobju so otroci pod močnim vtisom zaznav in zlahka podležejo tistemu, kar vidijo. So še egocentrični, prav tako pa niso zmožni preprostega logičnega sklepanja. Sem sodi nesposobnost reverzibilnega mišljenja in nesposobnost decentracije, tj., ko otrok ne zmore v zavesti obdržati spremembe dveh dimenzij;
konkretno operacionalna faza (od 7 do 11 let): otrok je zmožen logičnega sklepanja o operacijah, ki so izvršene v fizičnem svetu. To je povezano z decentracijo otrokovega načina mišljenja, ki mu odpira vrata k izvajanju logičnih zaključkov. Otroci se v tej fazi začnejo zavedati reverzibilnosti pojavov iz fizičnega sveta in s tem povezane posledice, prav tako pa njihov pogled na svet ni več egocentričen. Proces razvijanja pojmov je intenziven, vzpostavljen je odnos med besedo in objektom, ki ga označuje beseda, miselna predstava pa še ni v celoti izoblikovana;
formalno operacionalna faza (od 11 leta dalje): ta faza je opredeljena s posedovanjem popolnega logičnega mišljenja. Otrok je že sposoben logično sklepati tudi v odsotnosti predmetov, razvija predstave o predstavah, razmišlja o odnosih med odnosi in o drugih abstraktnih stvareh (operacijah, razredih, pojmih), kakor tudi o svojem mišljenju. Na področju matematike se to odraža v razumevanju simbolične abstrakcije v algebri.
Po Piagetu pridobivamo izkušnje prek dejavnosti s predmeti in prek interakcij z ljudmi, pod te dejavnosti pa sodijo tako fizične (upravljanje s predmeti) kot miselne (zgolj opazovanje predmetov in sklepanje o njih) dejavnosti. S ponavljanjem ene in iste dejavnosti izluščimo tipične lastnosti obravnavanega objekta in tako se oblikujejo abstraktne strukture – sheme. Te se medsebojno usklajujejo, kombinirajo in predstavljajo osnovo za pridobivanje novih izkušenj. Piaget razlikuje med dvema vrstama izkušenj: izkušnje, ki izhajajo iz lastnosti objektov, in izkušnje, ki izhajajo iz dejavnosti na teh objektih. V slednjem primeru postanejo posamezne lastnosti objektov sčasoma nepomembne, zato lahko te aktivnosti ponotranjimo.
Tovrstnim izkušnjam bi lahko rekli logično-matematične izkušnje. Otrok pa v začetku ne more razviti logično-matematičnega sklepanja brez konkretnih izkušenj, vendar šele nato, ko ponotranjena dejanja oblikujejo sheme, lahko otrok razmišlja in sklepa brez konkretnih izkušenj (Manfreda Kolar, 2006).
Svojo teorijo o razvojnih stopnjah je Piaget podprl s številnimi raziskavami, ki jih je izvedel s pomočjo sodelavcev. Osnova teh raziskav je bila, da raziskovalec otroku predstavi določeno nalogo oziroma problem in na osnovi otrokovih odgovorov ter komentarjev sklepa o otrokovi
17
razvojni stopnji. Prehod iz preoperacionalne v konkretno operacionalno fazo je opredelil z upadanjem egocentričnosti in pridobitvijo decentracije in reverzibilnosti mišljenja. Slednji dve sposobnosti pa je uprl tudi na razumevanje pojma število, ki ga je preverjal z nalogami razredne inkluzije in konzervacije. Piaget je razvoj pojma število ugotavljal s pomočjo pojmov, ki so epistemološke narave (konzervacija, razredna inkluzija). Zato bom predstavila lastnosti preizkusov razredne inkluzije in konzervacije (Manfreda Kolar, 2006).
4.1.2 Razredna inkluzija
S preizkusom razredne inkluzije ugotavljamo otrokovo zmožnost primerjave dela s celoto.
Pred otroka postavimo skupino lesenih kock, ki so večinoma rjave barve, nekaj pa je belih.
Sledi vprašanje za otroka: »Ali je več lesenih ali je več rjavih kock?« Piaget je ugotovil, da otroci pri starosti 6 let in manj odgovarjajo, da je več rjavih kock, šele pri 7 letih pa začnejo konsistentno odgovarjati, da je več lesenih kock. Na osnovi tega preizkusa je Piaget zaključil, da na preoperacionalni stopnji otrok še ne zmore primerjati množice z njeno podmnožico.
Namesto tega otrok primerja eno podmnožico z drugo in njegova pozornost je lahko naenkrat usmerjena le na del ali na celoto, ne pa na oboje hkrati. Preizkus razredne inkluzije ni le dokaz določenih omejitev v logičnem razmišljanju preoperacionalnega otroka, pač pa je pomemben tudi za ugotavljanje otrokovega razumevanja števila. Uspeh pri reševanju preizkusa razredne inkluzije je vezal na razumevanje operacij seštevanja in odštevanja (Manfreda Kolar, 2006).
4.1.3 Konzervacija števila
Standardni preizkus konzervacije števil je sestavljen iz treh korakov.
1) Pred otroka postavimo dve vrsti predmetov, ki so v bijektivni korespondenci:
Otroka vprašamo, če je v obeh vrstah enako število predmetov. Če otrok odgovori pravilno, nadaljujemo.
18
2) Otroka opozorimo: »Glej, kaj bom sedaj naredila,« in eno vrsto pred njegovimi očmi raztegnemo tako, da se vrsti po dolžini ne ujemata več:
3) Potem ponovimo vprašanje iz prvega dela: »Ali je v obeh vrstah enako število predmetov?« Če otrok še zmeraj trdi, da je v obeh vrstah enako število predmetov, potem pravimo, da je konzerviral pojem števila.
Piaget je na osnovi dobljenih rezultatov zaključil, da otroci do 7. leta starosti še ne konzervirajo števil. Iz njihovih odgovorov lahko sklepamo, da menijo, da sprememba dolžine vrste vpliva na spremembo moči množice. Nasprotno pa otroci po 7. letu spremembe dolžine ne povezujejo več s spremembo moči množice. Piaget je nasprotujoče si odgovore na obe postavljeni vprašanji pri reševanju standardnih preizkusov konzervacije števila pripisal dvema vzrokoma, in sicer nezmožnosti decentriranja in nezmožnosti izvajanja logičnih zaključkov (Manfreda Kolar, 2006).
Piaget pripisuje v svoji razvojni teoriji pomembno vlogo ravno načelu reverzibilnosti. To je po njegovem mnenju eden glavnih pokazateljev, da je otrok dosegel stopnjo konkretno operacionalnega mišljenja (prav tam).
4.1.4 Kritika Piagetove teorije spoznavnega razvoja
Piagetovi preizkusi razredne inkluzije in konzervacije so v sedemdesetih letih izzvali številne kritike, predvsem z vidika razumevanja pojma število. Večina raziskav se je osredotočila na proučevanje nalog, ki jih je Piaget uporabil pri določevanju otrokovih razvojnih faz.
Očitajo mu (Manfreda Kolar, 2006):
da je podcenjeval sposobnost majhnih otrok,
da je zanemaril vsebinski vidik svojih nalog oziroma odnos med vsebinsko in jezikovno platjo nalog,
19
da razredna inkluzija in konzervacija števila nista relevantni za razumevanje težav, ki jih imajo otroci s šolsko matematiko,
da v svoji teoriji ni dopuščal vmesnih stanj med posameznimi razvojnimi fazami.
4.2 Načela štetja
Sam razvoj štetja je mogoče zajeti v nekaj načel, ki jih moramo upoštevati pri štetju, da naše početje zares pomeni štetje (Ferbar, 1990).
4.2.1 Štetje je povratno enolično prirejanje
Preštevalec ne sme izpustiti nobenega elementa in nobenega ne sme prešteti več kot enkrat. Še preden otroci dopolnijo 3 leta, se tega načela zavedajo, čeprav mu še niso sposobni slediti, zavedajo pa se lasne in tuje kršitve načela (Ferbar, 1990).
4.2.2 Naravna števila so urejena
Imena števil je treba vedno naštevati v enakem zaporedju. Tudi to načelo upoštevajo 3-letni otroci, čeprav si včasih izmislijo svoja zaporedja in se jih poskusijo držati, npr. ena, dva, tri, pet, enajst … (Ferbar, 1990).
4.2.3 Enako močnim množicam priredimo s štetjem isto število
To načelo je povezano s kardinalnostjo naravnih števil. Zadnje prešteto naravno število določa lastnost množice. Kardinalna števila imajo to lastnost, da pripada dvema ekvivalentnima množicama isto kardinalno število (Prijatelj, 1964, v Ferbar, 1990).
4.2.4 Neodvisnost od vrstnega reda
Število, ki ga s štetjem priredimo isti množici, je vselej isto, ne glede na vrstni red elementov preštevane množice. Otroci to načelo osvojijo pri približno 5. letih (Ferbar, 1990).
20
4.2.5 Štejemo lahko vse, kar razločujemo
Otroci se morajo naučiti, kaj je mogoče šteti. Pri 4. letih se zavedajo, da je mogoče šteti predmete, pojave in tudi manj oprijemljive stvari, kot so množice, lastnosti in znamenja. Pri štetju je mogoče vse to tudi premešati, saj razlike med lastnostmi preštevanih reči štetja ne ovirajo. Težave pri štetju se pojavijo v nasprotnem primeru, in sicer če se preštevanci med seboj premalo razlikujejo. Možnost razločevanja med preštevanci, ki je za štetje logično potrebna, ni odvisna le od lastnosti elementov preštevane množice, temveč tudi od sposobnosti preštevalca za zaznavanje razlik. Relacija, na kateri temelji štetje, je torej relacija različnosti, ugotavljanje podobnosti ali enakosti pa pri tem ni potrebna (Ferbar, 1990).
Šteje je torej sestavljena dejavnost. V otroškem razvoju lahko najdemo več dejavnosti, ki še niso štetje, saj kršijo vsaj eno načelo štetja, vendar olajšujejo učenje le-tega. To so pravljice s trikratnim ponavljanjem, zgodbe, ki so pogosto povezane s številom pet … Še bližje štetju pa so različne izštevanke in pesmice, pri katerih lahko štejemo ritmične zloge. Štetju so podobna tudi različna poimenovanja, npr. dnevi v tednu, letni časi, meseci, prsti na roki, črke v abecedi
… (Ferbar, 1990).
Otrok razvija pri svojem štetju različne strategije štetja. Šteje predmete, ki jih lahko premika (predmeti so lahko postavljeni v vrsto, krog …). Nato šteje stvari, ki se jih lahko dotakne, ne more pa jih premakniti (npr. sličice v knjigah). Kasneje šteje stvari, ki jih vidi, ne more pa se jih dotakniti (npr. oddaljene hiše). Vsakemu otroku moramo ponuditi možnost, da šteje na zgoraj naštete načine, saj si ob tem načinu postopoma pridobiva izkušnje o povratni enoličnosti in o doslednem prirejanju števil preštevancem (Žnidarič, 2010).
4.3 Novejše teorije o razvoju pojma število
Piagetov pogled na razvoj koncepta števila je sprožil val kritik in oblikovanje novih pogledov na znanje predšolskega otroka. Najočitnejše razhajanje med pogledi Piageta in drugih psihologov je štetje. Piaget v procesu razvoja pojma število ne pripisuje štetju velikega pomena, saj po njegovem mnenju v ozadju otrokovega štetja ni globljega razumevanja tega postopka. Meni, da gre le za mehanično izvajanje neke dejavnosti (Manfreda Kolar, 2006).
21
Mnogi kritiki Piagetove teorije ne morejo mimo dejstva, da otroci pogosto in spontano štejejo, zato gledajo na štetje kot na ponavljajočo se dejavnost, iz katere otrok postopno izlušči njene tipične lastnosti. Za mnoge predstavnike novih pogledov na razvoj koncepta števila je zato prav štetje najzanimivejše področje raziskovanja (Manfreda Kolar, 2006).
Razvoj pojma število pri otroku vključuje (Gelman in Gallistel, 1978, v Manfreda Kolar, 2006):
proces abstrahiranja števila iz množice preštevanih predmetov,
proces logičnega razmišljanja o številih.
4.3.1 Pridobivanje količinske predstave o številih
Mnoge raziskave so pokazale, da so predšolski otroci zmožni opredeliti moč množic, če so te dovolj majhne. Že dveletni otroci pravilno presojajo moč množic z dvema ali tremi predmeti, nekoliko starejši otroci pa tudi moč s štirimi ali petimi predmeti. Descoeudres in Beckman (1921; 1924, v Manfreda Kolar, 2006) sta ugotovila, da uspešnost otrok med tretjim in četrtim letom starosti pri določanju moči množice upada z naraščanjem števila predmetov. Po njunem mnenju otroci vsa večja števila opredeljujejo kot »veliko« in jih ne razlikujejo več med sabo.
Raziskovalci so odkrili dejstvo, da lahko majhni otroci pravilno presojajo velikost množice le, če so števila majhna, kar pa je nekatere psihologe navedlo k misli, da je otrokovo dojemanje pojma število intuitivno oziroma zaznavno. To pa naj bi pomenilo, da otrok direktno, brez predhodnega preštevanja, prepozna določena števila, pri tem pa ga usmerja nek notranji zaznavni mehanizem – neposredna notranja zaznava.
Primer iz raziskave (Manfreda, 2000, v Manfreda Kolar, 2006) pa priča o uporabi neposrednega zaznavnega mehanizma tudi pri množicah, ki vsebujejo več kot tri predmete.
Rezultat pri nalogah s konkretnim primerom je pokazal, da petletni otroci prepoznajo vzorec množice štirih predmetov, nekaj otrok pa je nalogo rešilo s pomočjo štetja. Nasprotno pa je pri besedilnih nalogah z enako vsebino in številčnimi podatki le en otrok odgovoril takoj in pravilno. Mehanizem prepoznavanja vzorcev je torej pogojen tako z velikostjo množice kot tudi z načinom njene predstavitve. Meja, do katere otrok še neposredno zaznava moči konkretno predstavljenih množic, je višja od meje, do katere prepozna vzorec v svoji mentalni sliki dogajanja (Manfreda Kolar, 2006).
22
Največje število predmetov, ki jih preštejemo brez dejanskega štetja, je število pet – ne samo za otroke, temveč tudi za odrasle. Vendar je mogoče to število predmetov povečati, če so ti urejeni v neke smiselne vzorce (Way, 2014).
S tem spoznanjem pa se pojavita novi vprašanji:
1. Ali potemtakem otroci ne preštevajo majhnih množic?
2. Ali otroci majhna števila prej ponotranjijo, kot jih začnejo šteti?
Beckman (1924, v Manfreda Kolar, 2006) je prvi domneval, da majhni otroci najprej štejejo majhne množice in šele nato ponotranjijo vzorce teh množic. Skliceval se je na dejstvo, da mlajši otroci glasno štejejo, ko morajo določiti moč majhnih množic, to glasno štetje pa s starostjo upada. Njegovo razmišljanje podpirajo tudi druge raziskave in primeri, ki dokazujejo, da otroci najprej štejejo majhne množice in šele v kasnejšem razvojnem obdobju štetje nadomestijo z bolj učinkovitim načinom določanja števila predmetov, ki temelji na prepoznavanju številskih vzorcev (Manfreda Kolar, 2006).
V kolikšni meri pa je občutek za števila prirojen in v kolikšni meri naučen? Zdi se, da so naši možgani že od rojstva »opremljeni« z osnovnim občutkom za števila. To, da smo sposobni dojemati števila v našem okolju, je bilo velikega pomena za preživetje. Pri živalih je ta
»mehanizem« omejen na majhna števila. Matematični nivo, ki smo ga ljudje dosegli, je v veliki meri odvisen od tega, da smo razvili simbole in imena za števila. Otroci, tako kot odrasli in živali, so zelo točni pri majhnih številih. Piaget je bil mnenja, da se otroci rodijo brez razumevanja številčnosti. Zgodnja Piagetova raziskovanja so opisala otrokovo pomanjkanje razumevanja številčnosti kot slabo predstavo o količinski predstavi števil.
Sistem govorjenih številk vpliva na otrokovo kognitivno razumevanje številk. Hitrost, s katero lahko govorimo številke, prav tako vpliva na otrokov spomin o številkah. Pomembno je, da se otroci najprej naučijo besed za števila (ena, dva, tri …) in jim nato dodajajo njihov kognitivni koncept. Čeprav otroci pri 3. letih razumejo osnovne principe štetja, so Piagetove raziskave pokazale, da se strokovnost štetja in občutek za števila pojavita šele pri 8. letih. Zdi se, da prirojen primitiven mehanizem za razumevanje številk in štetja rabi konstantno izpopolnitev skozi prakso in izkušnje. Minsky (1985, v Marmasse, Bletsas in Marti, 2000) navaja, da imajo mlajši otroci ustrezno znanje o količini in številkah, ampak nimajo še dovolj izkušenj (Marmasse, Bletsas in Marti, 2000).
23
5 ŠTEVILO V KURIKULUMU ZA VRTCE
Vsak otrok se v svojem vsakdanjem življenju že zelo zgodaj sreča z matematiko – ko ima npr.
pregled nad svojimi igračami, jih prešteva, meri, pomerja, prikazuje s simboli, jih poimenuje in »prešteje«, se o njih pogovarja (Kurikulum za vrtce, 1999).
Področje matematike v Kurikulumu zajema najrazličnejše dejavnosti v vrtcu, ki otroka spodbujajo, da v igri in vsakodnevnih opravilih pridobiva matematične izkušnje. V Kurikulumu je navedenih kar nekaj dejavnosti, ki so povezane s številom, npr. otrok opazuje, kje vse se pojavijo številke (na igračah, hišne številke in podobno), opazuje datum in dan na koledarju, se igra s koledarjem … (Kurikulum za vrtce, 1999).
Odrasli imajo pri matematičnih dejavnostih zelo pomembno vlogo, saj morajo iskati zvezo med matematiko in vsakdanjim življenjem otroka. Opazovati morajo otroka in mu v primernem trenutku pomagati razširiti matematično znanje. Zavedati se moramo, da sta števila in štetje dve ločeni znanji. Števila so osnova, brez katere ni mogoče niti osnovna komunikacija z otroki. Z otrokom se morajo veliko pogovarjati, pri tem pa uporabljati čim več matematičnih izrazov (npr. dva čevlja, pet prstov, štiri kolesa …). Odrasli najbolje pomagajo otroku, če uporabljajo števila v vprašanjih otrok, čim pogosteje omenjajo številske vzorce v vsakdanjem pogovoru. Izgovarjati je treba vsa števila, tudi če jih je več in če štetje ni namenjeno otroku. Pri mlajših otroci je pri štetju koristno uporabljati prste, tako da otrok vidi in ponavlja (Kurikulum za vrtce, 1999).
Pri štetju se moramo odrasli zavedati, da samo s štetjem otrok ne usvoji pojma števila. Tudi če otrok zna šteti zelo daleč od 1, morda še ne zna ob štetju kazati predmetov, ki jih šteje. Z razvrščanjem 1 – 1 se otrok približa razumevanju pojma števila. V vrtcu moramo bit pozorni tudi na to, da je vsak otrok pohvaljen, ne glede na to, da je na matematičnem področju eden bolj uspešen kot drugi (Kurikulum za vrtce, 1999).
5.1 Cilji iz Kurikuluma
Cilji iz Kurikuluma so naslednji (Kurikulum za vrtce, 1999):
otrok rabi imena za števila,
24
otrok od poimenovanja posamičnih predmetov postopno preide na štetje in razlikovanje med številom in števnikom,
otrok zaznava prirejanje 1 – 1 in to tudi prireja,
otrok rabi simbole, s katerimi zapisuje dogodke in opisuje stanje.
5.2 Primeri dejavnosti, ki jih pripisuje Kurikulum
5.2.1 Primeri dejavnosti od 1. do 3. leta
Otrok (Kurikulum za vrtce, 1999):
šteje kar tako, iz veselja, ko izgovarja enadvatrištiri … ali enatrisedem kot eno besedo, šteje, ko skače, ko poje pesmice;
opazuje, kje vse se pojavijo številke (na igračah, hišnih številkah in podobnem), se igra s telefonom;
imenuje in prelaga en po en predmet v množici, šteje podobne objekte na sprehodu (drevesa, klopi v parku, liste na cvetu), šteje stvari, ki jih je malo, in stvari, ki jih je veliko;
šteje urejene stvari (korake, deske v ograji, stopnice, ko hodi po njih) in neurejene objekte (oblake, kaplje vode, cvetove na travniku, predmete in osebe na umetniških slikah), s pomočjo odraslega kaže in šteje predmete, ki jih ne more prijeti (na slikah, nedosegljivih mestih, hišah, ljudeh);
posnema štetje s prsti pri odraslih in drugih otrocih ter se igra s sencami prstov;
opazuje rabo simbolov in sodeluje v pogovorih o pomenu simbolov (npr. prometnih znakih, oznakah v vrtcu, avtu, na oblačilih, embalaži);
se igra z odraslim igre ena meni, eni tebi.
5.2.2 Primeri dejavnosti od 3. do 6. leta
Otrok (Kurikulum za vrtce, 1999):
imenuje in prelaga en po en predmet v množici, šteje podobne objekte na sprehodu (drevesa, klopi v parku, liste na svetu), šteje stvari, ki jih je malo, in stvari, ki jih je veliko;
25
šteje nazaj, šteje zaporedoma dve, tri števila zelo naglas, dve tri zelo po tihem, se uči izštevanke;
se igra z računalom in drugimi objekti, ki prikazujejo številke (telefonom, digitalno tehtnico, digitalnim termometrom, blagajno za igro »trgovina«), odkriva številke na zaslonu, jih imenuje, pridobiva izkušnje s pomenom in zapisom števila nič;
opazuje datum in dan na koledarju, se igra s koledarjem;
šteje predmete v skupinah, potem ko je večjo skupino razdelil, posebej šteje manjše skupine v večji skupini (3 smreke med 9 drevesi, vrtnice v šopku cvetja);
šteje več stvari ali reči, ki jih ne more prijeti, in pri tem uporablja še druge pripomočke (npr., medtem ko šteje okna na sosednji hiši, zlaga na kup male kocke, kamenčke);
šteje urejene reči (npr. korake, deske v ograji, stopnice, ko hodi po njih) in neurejene objekte (npr. oblake, kaplje vode, cvetove na travniku, predmete in osebe na umetniških slikah), s pomočjo odraslega kaže in šteje predmete, ki jih ne more prijeti (na slikah, nedosegljivih mestih, hišah, ljudeh);
posnema štetje s prsti pri odraslih in drugih otrocih, se igra s sencami prstov, šteje s prsti na svoj način, prišteva in odšteva (določi en prst za začetno število in s postopnim kazanjem dodatnih prstov prišteje drugo število);
šteje predmete in ljudi po odvzemanju in dodajanju. Ima priložnost, da si zapomni število objektov v eni skupini in nadaljuje štetje v drugi skupini (v prvi škatli tri kocke, otrok si zapomni tri in šteje v drugi škatli dalje, štiri, pet), pri tem si pomaga s prsti;
se igra družabne igre, ki vsebujejo štetje (človek ne jezi se, domino, kače in lestve, igre, kjer meče kocko in se premika po poljih naprej in nazaj glede na navodila na poljih);
opazuje rabo simbolov in sodeluje v pogovorih o pomenu simbolov (npr. prometnih znakov, oznak v vrtcu, avtu, na oblačilih, na embalaži);
si s simboli na sprehodu označuje, koliko avtov in koliko koles je srečal, kateri njegovi prijatelji so tisti dan v vrtcu, koliko jih ima kratke in koliko dolge hlače itn.;
se igra trgovino, tržnico, kuha po receptih, se igra zemljo krast, se igra z denarjem.
6 POVZETEK TEORETIČNEGA DELA
V teoretičnem delu sem predstavila začetek števil, saj matematika temelji na njih. Vse se je začelo s štetjem. Že primitiven človek je bil prisiljen k štetju, ko je npr. moral vedeti, koliko ljudi je v njegovem plemenu. Na začetku so jih zapisovali kar s kamni ali vejami. Delali so
26
zareze na kosti ali skale. Sprva je bilo to štetje le prirejanje eden enemu. Ker pa se je civilizacija hitro razvijala in napredovala, so se začele razvijati tudi številke in njihovi zapisi.
Števila so prvi zapisovali Sumerci, Egipčani so njihov zapis izboljšali in namesto klinov začeli uporabljati slike. Številke, kot jih poznamo danes, so iz hindujskih številk preoblikovali Arabci in zato jih imenujemo arabske številke. Prav tako, kot so se razvijali zapisi za številke, so se počasi razvijali tudi zvoki, ki jih uporabljamo za izgovarjavo številk. V samem začetku so te besede za števila večinoma povezane s prsti, saj so v začetku znali šteti le z njimi.
Sčasoma pa je postalo pomembno, da poimenujemo števila s krajšimi besedami. Kratko poglavje sem posvetila tudi številu nič, saj je ideja o ničli otrokom zelo težko razumljiva in je konceptualno drugačna od drugih razvitih števil. Za prehod od prvih števil do števila nič je človeštvo potrebovalo kar nekaj časa, saj je bilo treba o številih razmišljati kot o idejah, ki obstajajo tudi tedaj, ko ne preštevamo ničesar. Zgodovinarji so začetke števila nič postavili v Mezopotamijo, in sicer v leto 1600 pred Kr.
V teoretičnem delu sem predstavila tudi, kako je Piaget ugotavljal razvoj pojma število pri predšolskem otroku s pomočjo razredne inkluzije in konzervacije. S preizkusom razredne inkluzije je ugotavljal otrokovo zmožnost primerjave dela s celoto. Ugotovil je, da otrok na preoperacionalni stopnji, to je od 18 mesecev do 7 let, še ne zmore primerjati množice z njeno podmnožico. Otrokova pozornost je lahko usmerjena le na del ali na celoto, ne pa na oboje hkrati. S pomočjo konzervacije je Piaget zaključil, da otroci do 7. leta starosti še ne konzervirajo števila. Piagetov pogleda na razvoj koncepta števila je sprožil tudi nekaj kritik in mnogi ne morejo mimo dejstva, da Piaget štetju ni pripisoval dovolj velikega pomena.
Nekateri raziskovalci so mnenja, da imajo že mlajši otroci ustrezno znanje o količini in številkah, le da nimajo še dovolj izkušenj. Tukaj sem na kratko predstavila tudi osnovna načela štetja po Ferbarju (1990), ki jih morajo otroci osvojiti in se jih držati, če želijo, da je njihovo početje res štetje.
V zadnjem delu teoretičnega dela sem predstavila, kako je število opredeljeno v Kurikulumu za vrtce. Področje matematike v Kurikulumu zajema najrazličnejše dejavnosti, ki otroka spodbujajo, da si pridobiva matematične izkušnje. V Kurikulumu je opredeljena tudi vloga odraslih, ki pa je zelo pomembna, saj so števila del otrokovega sveta. Odrasli moramo otroka opazovati in mu v primernem trenutku pomagati širiti njegovo matematično znanje. S tem, ko otrok odrasle posluša, kako števila uporabljamo v vsakdanjem življenju, si razvija razumevanje in dojemanje številk ter računanja.
27
II EMPIRIČNI DEL
7 OPREDELITEV PROBLEMA
Danes se nam zdijo številke in njihov zapis nekaj čisto običajnega, nekaj samoumevnega. Pri njihovem zapisovanju in branju niti ne razmišljamo in si ne moremo predstavljati, kako je bilo, ko tega ljudje niso znali. Pomagali so si na različne načine, s katerimi so zapisovali števila. Zato sem v teoretičnem delu predstavila razvoj števil skozi čas – kako so jih včasih označevali, kdaj so se prvič pojavile številke, kako so včasih šteli … Na kratko sem predstavila tudi, kako poteka razvoj pojma število pri predšolskem otroku. V nadaljevanju pa sem se osredotočila na predšolskega otroka – kako se uči štetja, zapisovanja številk …
V empiričnem delu predstavljam, kako se predšolski otroci spopadajo s štetjem, številkami in kje pri zapisovanju imajo največ težav. Pri nalogah sem uporabila številke do 6, saj je bila to za preučevano skupino otrok prva sistematična obravnava zapisa števil.
7.1 Cilji raziskave
Cilji raziskave so:
predstaviti, kako predšolski otroci zapisujejo števila,
predstaviti, pri katerih zapisih števil imajo predšolski otroci največ težav.
8 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA
V diplomskem delu sem si zastavila naslednja raziskovalna vprašanja:
1. Kako so razvite številske predstave pri predšolskih otrocih?
2. Katera števila znajo zapisati predšolski otroci?
3. Ali predšolski otroci prepoznajo zapise številk?
4. Katere najpogostejše napake delajo predšolski otroci pri zapisovanju številk?
8.1 Hipoteze
Hipoteze, ki sem si jih zastavila, so naslednje:
28 Hipoteza 1: Predšolski otroci znajo šteti do 5.
Hipoteza 2: Predšolski otroci poznajo simbole za številke od 0 do 5.
Hipoteza 3: Predšolski otroci prepoznajo zapis enomestnih številk.
Hipoteza 4: Najpogostejša napaka pri zapisu števil je prava postavitev številke (največkrat predšolski otroci napišejo zrcalno sliko pravega zapisa).
9 RAZISKOVALNA METODOLOGIJA
9.1 Raziskovalna metoda
Pri raziskovanju sem uporabila deskriptivno metodo raziskovanja. Podatki so prikazani s pomočjo grafov. Rezultate sem interpretirala, analizirala in jih med seboj primerjala.
9.2 Vzorec
Vzorec je bil namensko izbran in je vključeval 15 otrok, od tega 8 deklic in 7 dečkov, starih od 4 do 6 let.
9.3 Merski instrumentarij (pripomočki)
Podatke sem zbirala s pomočjo dveh sklopov nalog, ki sem jih sestavila sama in pri katerih je bil poudarek na štetju in zapisovanju števil. Oba sklopa nalog sta vsebovala po 4 naloge.
Prvi sklop nalog so otroci reševali prek zgodb in različnih iger. Oblika dela je bila individualna, skupna in skupinska. Pri prvi nalogi sem preverjala prepoznavanje in poimenovanje številk, pri drugi štetje, pri tretji sem preverjala, ali otroci poznajo pravilno zaporedje številk, pri četrti nalogi pa njihovo zapisovanje števil.
Pri drugem sklopu so odgovarjali na vprašanja in reševali naloge. Oblika dela je bila individualna. S prvo nalogo sem preverila štetje, in sicer štetje konkretnih ter narisanih
29
predmetov, pri drugi nalogi sem preverjala otrokovo prepoznavanje pravilnega zapisa številk, s tretjo nalogo sem preverila, ali otroci poznajo pravilen vrstni red številk, pri četrti nalogi pa sem preverila, kako otroci zapisujejo številke in kaj jim pri tem povzroča največ težav.
9.4 Postopek zbiranja podatkov
Raziskava je potekala v Vrtcu Kekec, Enota Mojca v Ljubljani. Sodelovalo je 15 predšolskih otrok, 8 deklic in 7 dečkov, starih od 4 do 6 let. Prvi del raziskave je potekal od 13. 5. 2013 do 28. 5. 2013, drugi del pa leto dni kasneje, 13. 5. 2014. Podatke sem zbrala s pomočjo različnih nalog, ki sem jih sestavila sama in s katerimi sem preverila znanje predšolskih otrok – prepoznavanje zapisa številk, zapisovanje številk, poimenovanje številk, štetje … Prvi del nalog so otroci reševali skupinsko, in tako sem dobila bolj splošne rezultate. Drugi del nalog pa so reševali individualno (v prostoru, ločenem od ostalih otrok), in tako sem dobila bolj poglobljen vpogled v to, kako predšolski otroci razumejo številke in se z njimi rokujejo.
Drugi del nalog je bil hkrati preizkus temu, koliko so si otroci zapomnili po letu dni, in temu, koliko izkušenj s številkami so dobili v enem letu. Čas reševanja ni bil omejen.
9.5 Obdelava podatkov
Pri obdelavi podatkov sem uporabila deskriptivno statistiko. Analizirala sem rešitve nalog, ki so jih reševali predšolski otroci. Dobljene rezultate sem prikazala s pomočjo grafov.
10 POTEK RAZISKOVANJA IN INTERPRETACIJA REZULTATOV
Potek raziskovanja in interpretacija rezultatov je podana v obliki tabel in grafov na podlagi analiziranih rešitev nalog, ki so jih reševali predšolski otroci. Z različnimi nalogami sem preverjala, ali otroci:
znajo šteti in kako štejejo,
poznajo simbole, s katerimi zapisujemo števila,
znajo pravilno zapisati številke.
V nadaljevanju bom predstavila analizo rezultatov po posameznih nalogah.
30
10.1 Prvi sklop nalog
10.1.1 Naloga 1
Pri prvi nalogi sem otroke seznanila s številkami. V igralnico sem prinesla škatlo, v kateri so bile iz pene izrezane številke. Otroci so ugibali, kaj bi bilo lahko v škatli, in ko so ugotovili, da so številke, sem posamično klicala otroke, da so si iz škatle izbrali številko in jo poimenovali.
Pri tej nalogi sem ugotovila, da skoraj vsi otroci prepoznajo številke in jih pravilno poimenujejo – le en otrok od petnajstih številke ni poimenoval pravilno.
10.1.2 Naloga 2
S pomočjo druge naloge sem preverjala, ali otroci znajo šteti in kako štejejo. Razdelila sem jim liste, na katerih so imeli narisane pike. Pike so bile različnih velikosti in razporejene na papirju drugače kot na kocki. Jaz sem imela kocko, ki sem jo kotalila po igralnici. Otroci so morali pogledati oziroma prešteti število pik na kocki, prešteti pike na svojem listu in če se je to število ujemalo, so vstali.
Ugotovila sem, da več kot polovica otrok šteje pravilno. To pomeni, da so ti otroci pravilno prešteli pike na svojih listih in pike na kocki. Nekateri otroci pa so opravili uspešno le polovico naloge, saj so prepoznali številko na kocki, niso pa pravilno prešteli pik na svojih listih. Pri štetju pik na kocki so jih izmed petih otrok, trije prešteli pravilno. Štetje pik na kocki otrokom ni delalo večjih težav, saj samo dva otroka nista znala pravilno prešteti pik na kocki.
Pri tej nalogi sem preverjala, ali otroci razumejo in upoštevajo načelo, da je štetje neodvisno od narave predmetov.
