RAZMERJE MED OBSEGOM IN PREMEROM KROGA V RAVNINSKIH METRIKAH

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

MAŠA MEDVEŠ ˇ CEK

RAZMERJE MED OBSEGOM IN PREMEROM KROGA V RAVNINSKIH METRIKAH

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI U ˇCITELJ

MAŠA MEDVEŠ ˇCEK

Mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR Somentorica: ASIST. DR. EVA HORVAT

RAZMERJE MED OBSEGOM IN PREMEROM KROGA V RAVNINSKIH METRIKAH

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

Zahvala

V življenju se velikokrat ne zavedamo, da nas ne bo osreˇcil cilj, temveˇc pot do tja.

Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju za mentorstvo, hitro odzivnost in stro- kovno vodenje pri pisanju diplomskega dela. Ravno tako hvala somentorici asist. dr. Evi Horvat za dodatne komentarje.

Hvala vsem mojim najbližjim, tako družini kot prijateljem, za spodbujanje in motivacijo med celotnim študijem.

Povzetek

V diplomskem delu se ukvarjamo z razmerjem med obsegom in premerom kroga v ravninskih metrikah. Za zaˇcetek definiramo metriko kot funkcijo merjenja razdalj in si ogledamo nekaj posebnih primerov metrik poleg nam že znane evklidske metrike. Predstavimo taksi metriko, maksimum metriko in splošno p-metriko. V nadaljevanju predstavimo naˇcine raˇcunanja dolžine loka v vseh prej omenjenih metrikah z metodo aproksimacije in uporabo Lagrangeovega izreka.

V glavnem delu diplomskega dela s pomoˇcjo formule za obseg in dolžine loka izraˇcunamo vrednost števila pi v razliˇcnih metrikah. Na koncu dela dokažemo tudi, da pi v evklidski metriki res doseže minimalno vrednost.

Kljuˇcne besede:evklidska metrika, taksi metrika, maksimum metrika, p-metrika, dolžina loka, minimalna vrednost števila pi

Abstract

In diploma thesis, we investigate the ratio of circumference and diameter of a circle in the Euclidean plane. Firstly we define a metric as a function for measuring distances and introduce a few special cases of metrics beside the already known Euclidean one. We present the taxicab metric, maximum metric, and p-metric. In the next part we show how to calculate the arc length of a curve in Euclidean space with geodesic approximation method and usage of Lagrange theorem. The main part consists of calculating the value of pi in different metrics using the formula for circumference of a circle and the arc length. In conclusion, we prove that the value of pi is actually minimal in the Euclidean metric.

Key words:Euclidean metric, taxicab metric, maximum metric, p-metric, arc length, minimum value of pi

Kazalo

1 Uvod 1

2 Metriˇcni prostori 2

2.1 Definicija metrike . . . 2

2.2 Družinap-metrik naRⁿ . . . 3

2.2.1 Evklidska metrika . . . 3

2.2.2 Taksi metrika . . . 4

2.2.3 Maksimum metrika . . . 5

2.2.4 Splošnap-metrika . . . 6

3 Dolžina loka 7 3.1 Dolžina loka v ravninski metriki . . . 7

3.2 Dolžine loka vp-metrikah . . . 8

3.2.1 Dolžina loka v evklidski metriki . . . 8

3.2.2 Dolžina loka v taksi metriki . . . 10

3.2.3 Dolžina loka v maksimum metriki . . . 10

3.2.4 Dolžina krivulje v splošnip-metriki . . . 13

4 Doloˇcitev vrednosti številaπv razliˇcnihp-metrikah 14 4.1 Evklidska metrika . . . 14

4.2 Taksi metrika . . . 16

4.3 Maksimum metrika . . . 17

4.4 Družinap-metrik . . . 18

5 Minimalna vrednostπ 19

6 Sklep 23

7 Literatura 24

1 Uvod

Diplomsko delo spada na podroˇcje geometrije. Beseda geometrija izhaja iz gršˇcine in dobese- dno pomeni zemljemerstvo, s ˇcimer se bomo na nek naˇcin ukvarjali tudi mi. Nam najbližja vrsta geometrije je evklidska, vendar se ta pridevnik velikokrat izpušˇca. Zaradi potrebe po merjenju razdalj na drugaˇcne naˇcine pa se uporabljajo tudi drugaˇcne geometrije. V zaˇcetnem delu di- plomskega dela bomo spoznali tri posebne vrste metrik in tudi splošno p-metriko v ravnini, za katere bomo zapisali naˇcin merjenja razdalj. Zaradi kasnejše uporabe bomo tudi pogledali, kako lahko v vsaki posamezni metriki izraˇcunamo dolžino loka krivulje.

Naš najpomembnejši korak bo izraˇcun vrednosti števila pi. Kot že vemo, je pi šestnajsta ˇcrka v grški abecedi, ki predstavlja znano matematiˇcno konstanto, imenovano tudi Arhimedova kon- stanta. Obiˇcajna definicija števila pi je, da je to število razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom - ne glede na to, kako velik oziroma majhen je krog. Spoznali pa se bomo še z dru- gaˇcnim naˇcinom izraˇcuna obsega kroga in sicer v vseh prej omenjenih metrikah z izraˇcunom dolžine lokov funkcij v razliˇcnih p-metrikah. Vrednosti obsegov krogov so razliˇcne, zanimivo pa je, da se spremeni tudi oblika kroga. Zaradi razliˇcnih obsegov so poslediˇcno tudi vrednosti števila pi razliˇcne. V evklidski metriki je približek 3,14, medtem ko je vrednost v maksimum in taksi metriki enaka 4. Poznamo še nekaj približkov iz evklidske metrike, ki so bodisi veˇcji(²²₇) bodisi manjši (3) od števila pi.

Kot zadnji korak je naša naloga pokazati, da je med vsemi p-metrikami v ravnini vrednost števila pi res najmanjša v evklidski metriki. Za dokaz bomo poleg dolžin loka potrebovali tudi funkcije beta, gama in digama ter nekaj njihovih vrednosti. Z uporabo pomožnih trditev in znanja o odvajanju ter integriranju funkcij bomo dokazali, da v evklidski metriki pi res doseže minimalno vrednost.

1

2 Metriˇcni prostori

V tem poglavju bodo predstavljeni doloˇceni osnovni pojmi o metriˇcnih prostorih in razliˇcne metrike na evklidskih prostorih, ki jih bomo uporabili v diplomskem delu. Vsebina poglavja je povzeta po [5] in [8].

2.1 Definicija metrike

Definicija 2.1. Metrika na neprazni množici M je realna funkcija d : M × M → R dveh spremenljivk na M, ki ustreza štirim aksiomom.

(a) d(x, y)≥0za vsak par elementovx, y ∈M.

(b) d(x, y) = d(y, x)za vsak par elementovx, y ∈M. (c) d(x, y) = 0velja natanko tedaj, ko jex=y.

(d) d(x, y) +d(y, z)≥d(x, z)za vsake tri elementex, y, z∈M.

Paru(M, d), kjer jeM neprazna množica ind : M ×M →Rmetrika naM, reˇcemo metriˇcni prostor.

Zadnji aksiom, imenovan tudi trikotniška neenakost, je najbolj netrivialen (in ga bomo skozi diplomsko nalogo za razliˇcne primere metrik tudi dokazali).

Oglejmo si, da v definiciji metrike aksiom (d) nadomestimo z naslednjim, na videz šibkejšim aksiomom: ˇCe so x, y, z ∈ M in so med sabo razliˇcni, potem d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Predpostavimo, da jex=y. Potem velja:

d(x, z) =d(y, z) = d(y, y) +d(y, z)≤d(x, y) +d(y, z).

Podobno velja, ˇce jey =z, ˇce pa jex =z, potem velja d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) +d(y, z),torej trikotniška neenakost sledi iz prvega aksioma, ˇcex,yinzniso vsi razliˇcni.

Primer 2.2. Poglejmo si primer trivialne metrike, ki jo lahko definiramo na vsaki neprazni množiciM kot

d(x, y) =

( 1 ,ˇcex6=y, 0 ,ˇcex=y.

Preverimo, ali veljajo vsi zgornji aksiomi. Naj bostax, y ∈M. Potem velja bodisid(x, y) = 1 alid(x, y) = 0. V vsakem primeru jed(x, y)≥0, torejdzadošˇca prvemu aksiomu.

Ce jeˇ x=y, potem sledid(x, y) = 0. ˇCe pa jed(x, y) = 0, iz tega sledix=y, torejdzadošˇca tretjemu aksiomu.

2

Imejmox, y ∈ M, ˇce x 6= y potem, tudiy 6= x, torej je d(x, y) = 1 in d(y, x) = 1. Velja d(x, y) = 1 = d(y, x).Poglejmo si, kako je, ˇce je x = y, potem je tudi y = x in zato sledi d(x, y) = 0 =d(y, x). Tako funkcijadzadošˇca tudi drugemu aksiomu.

Naj bodox, y, z ∈ M razliˇcne toˇcke. Tedaj jed(x, z) = 1, d(x, y) = 1in d(y, z) = 1. Torej velja

d(x, y) +d(y, z) = 1 + 1≥1 =d(x, z).

Vidimo, da funkcijadzadošˇca vsem štirim aksiomom in je torej metrika.

2.2 Družina p-metrik na R

V tem razdelku si bomo ogledali razliˇcne vrste metrik naRⁿ in raˇcunanje razdalj v njih. Ker bomo v prihajajoˇcih poglavjih potrebovali le metrike vR², jih bomo najprej definirali v prostoru Rⁿin nato posebej zaR². V tem razdelku se sklicujemo na vire [2], [7] in [8].

2.2.1 Evklidska metrika

Najlažje je zaˇceti z metriko, ki je veˇcini dobro poznana in najveˇckrat uporabljena. Zaradi lažjega branja v nadaljevanju bomo evklidsko metriko oznaˇcevali zd₂(x, y). Slika 1 prikazuje razdaljo v evklidski metriki v ravnini.

Slika 1: Razdalja v evklidski metriki

Evklidska metrika oziroma pogosteje imenovana evklidska razdalja je obiˇcajna razdalja med dvema toˇckama v danem evklidskem prostoru.

• Razdalja v Rⁿ: Evklidska razdalja med dvema toˇckama v prostoru Rⁿ, kjer sta x = (x₁, x₂, ..., x_n)iny= (y₁, y₂, ..., y_n), je tako enaka:

d₂(x, y) =p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)²+· · ·+ (x_n−y_n)². 3

Prvi trije aksiomi so oˇcitni, dokaz zadnjega pa si lahko ogledamo v viru [2].

• Razdalja vR²: V evklidski ravnini, kjer stax = (x₁, x₂)iny = (y₁, y₂), je razdalja med njima podana kar s Pitagorovim izrekom (razvidno s slike 1):

d₂(x, y) =p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)². 2.2.2 Taksi metrika

Ker se ta metrika v matematiki uporablja manj, si je smiselno najprej ogledati, kako si jo pred- stavljamo in zakaj je prišlo do definiranja te nove neevklidske metrike. Zasluga za vpeljavo metrike se pripisuje nemškemu matematiku in fiziku Hermannu Minkowskemu, enemu od zaˇce- tnikov neevklidske geometrije, ki je vodila v Einsteinovo teorijo relativnosti. Najlažje bo, ˇce si predstavljamo, da smo v mestu (recimo v San Franciscu) in želimo priti od hotela do poljubnega parka. Najkrajša možnost bi seveda bila, da bi do tja poleteli z letalom po najkrajši poti, vendar to žal ni mogoˇce. Ker se ulice v San Franciscu med seboj pravokotno sekajo, lahko do parka pridemo po veˇc razliˇcnih poteh bodisi peš bodisi s taksijem.

Na spodnji sliki so prikazane tri poti, ena izmed njih (oznaˇcena s ˇcrtkano ˇcrto) nam prikazuje najkrajšo pot v evklidski metriki (hipotenuza), ostali dve pa sta dolžini v taksi metriki in sta enaki vsoti dolžin katet.

Slika 2: Razdalja v taksi metriki

• Razdalja vRⁿ: Razdaljad₁(x, y)med toˇckamax= (x₁, x₂, ..., x_n)iny = (y₁, y₂, ..., y_n) je definirana kot vsota dolžin projekcij daljice med danima toˇckama na vse koordinatne osi.

d₁(x, y) = |x₁−y₁|+|x₂−y₂|+· · ·+|x_n−y_n|=

n

X

i=1

|x_i−y_i|

Prvi trije aksiomi so oˇcitni, trikotniška neenakost za taksi metriko pa sledi neposredno iz trikotniške neenakosti za obiˇcajno absolutno vrednost.

4

• Razdalja vR²: V evklidski ravnini, kjer stax = (x₁, x₂)iny = (y₁, y₂), je razdalja med njima podana kot

d1(x, y) =|x1 −y1|+|x2−y2|. 2.2.3 Maksimum metrika

Maksimum metrika ali razdalja Chebysheva je poimenovana po ruskemu matematiku Pafnutyju L. Chebyshevu. Uporablja se tudi izraz "razdalja šahovnice", saj je pri igri šaha minimalno potrebno število premikov kralja z enega polja na drugega enako maksimum metriki med središˇci dveh polj, ˇce imajo polja dolžino robov enako ena, kot je prikazano v 2D prostorskih koordinatah z osmi, ki so poravnane z robovi šahovnice. Oglejmo si spodnjo sliko 3, da bomo lažje zapisali definicijo.

Slika 3: Razdalja v maksimum metriki

• Razdalja vRⁿ: Razdaljo med dvema toˇckamax= (x₁, x₂, ..., x_n)iny= (y₁, y₂, ..., y_n)v maksimum metriki zapišemo kot

d∞(x, y) = max{|x₁ −y₁|,|x₂−y₂|, . . . ,|x_n−y_n|}= max

i=1,...,n|x_i−y_i|.

Prve tri lastnosti metrike so oˇcitno izpolnjene, nekaj veˇc težav nam povzroˇca trikotniška neenakost, zato si jo bomo podrobneje ogledali.

Torej, naj bodo poljubne toˇcke iz Rⁿsledeˇce: x = (x₁, x₂, . . . , x_n), y = (y₁, y₂, . . . , y_n) inz = (z1, z2, . . . , zn). Pri vsakemm∈ {1, . . . , n}velja:

|x_m−y_m|+|y_m−z_m| ≥ |x_m−z_m|, zato je

i=1,...,nmax (|x_i−y_i|+|y_i−z_i|)≥ max

i=1,...,n|x_i−z_i|

5

in poslediˇcno

i=1,...,nmax |xi−yi|+ max

i=1,...,n|yi−zi| ≥ max

i=1,...,n(|xi−yi|+|yi−zi|)≥ max

i=1,...,n|xi−zi|, kar nam da trikotniško neenakostd∞(x, y) +d∞(y, z)≥d∞(x, z).

• Razdalja vR²: Maksimum metrika v ravnini, kjer sta toˇckix = (x₁, x₂)iny = (y₁, y₂), predstavlja najveˇcjo izmed dveh razdalj med paroma komponent.

d∞(x, y) = max{|x₁−y₁|,|x₂−y₂|}

Najbolj smiselno je, da si v nadaljevanju ogledamo primerjavo razdalj v razliˇcnih metrikah za dve izbrani toˇcki.

Primer 2.3. Imejmo dve toˇcki v prostoruR², in sicerx= (6,8)iny= (1,5).

- Taksi metrika:d₁((6,8),(1,5)) =|6−1|+|8−5|= 5 + 3 = 8.

- Evklidska metrika: d₂((6,8),(1,5)) =p

(6−1)²+ (8−5)² =√

5²+ 3² =√ 34.

- Maksimum metrika: d∞((6,8),(1,5)) = max{|6−1|,|8−5|}= max{|5|,|3|}= 5.

2.2.4 Splošnap-metrika

Zadnje podpoglavje je namenjeno p-metrikam v splošnem, medtem ko smo v prejšnjih podpo- glavjih omenili nekaj posebnih primerov. Naj bop≥1.

• Razdalja v Rⁿ: Razdalja d_p metrike med dvema toˇckama x = (x₁, x₂, ..., x_n) in y = (y₁, y₂, ...y_n)je enaka

d_p(x, y) = ^p q

|x₁−y₁|^p+|x₂−y₂|^p+· · ·+|x_n−y_n|^p = ^p v u u t

n

X

i=1

|x_i−y_i|^p.

• Razdalja vR²: V poljubnip-metriki, kjer stax= (x₁, x₂)iny= (y₁, y₂), je razdalja med njima podana kot

d_p(x, y) = ^p q

|x₁−y₁|^p+|x₂−y₂|^p.

Prvi trije aksiomi so neproblematiˇcni, dokaz trikotniške neenakosti pa je nekoliko daljši in ga bomo izpustili. Bralec si ga lahko ogleda v [8]. Splošno p-metriko smo definirali le zap ≥ 1, prip <1pa ugotovimo, da funkcijadp(x, y)ne zadošˇca trikotniški neenakosti.

6

3 Dolžina loka

V tem poglavju si bomo ogledali, kako v razliˇcnih posebnih metrikah in tudi v splošni p- metriki izraˇcunamo dolžino loka vR². Omejili se bomo na izraˇcune dolžine loka grafa funkcije f : [a, b] → R v ravnini, splošnih krivulj vR² pa se ne bomo, ˇceprav jih obravnavamo dokaj podobno. V sledeˇcih podpoglavjih se sklicujemo na vire [3], [6], [7] in [8].

3.1 Dolžina loka v ravninski metriki

Naj bod neka metrika na R² in naj bo s : [a, b] → R² zvezna preslikava, ki nam doloˇca lok vR². Kasneje bomo predpostavili, da jescelo zvezno odvedljiva. Na našem danem intervalu [a, b]si izberemo konˇcno mnogo toˇck, in sicera =x₀ < x₁ <· · ·< x_n−1< x_n=b, kar nam da delitev (particijo)D = {x₀, x₁, . . . , x_n}intervala [a, b]. Tako dobimon+ 1toˇck na lokus, in sicerT₀ =s(x₀), T₁ =s(x₁), . . . , T_n =s(x_n). Razdalja med dvema sosednjima toˇckamaT_i inTi−1 je odvisna od metrikedin je enakad(Ti−1, T_i). Definirajmo

δ(s, D) =

n

X

i=1

d(Ti−1, T_i)

kot aproksimacijo dolžine loka pri delitviD. DelitevD⁰je finejša odD, ˇce veljaD⊂D⁰, torej delitevD⁰ dobimo tako, da delitviDmorda dodamo še nove delilne toˇcke.

Trditev 3.1. Naj bos : [a, b] → R² zvezna in naj bostaDinD⁰ delitvi intervala[a, b]. Naj bo delitevD⁰finejša odD. Potem velja:

δ(f, D⁰)≥δ(f, D).

Dokaz. Naj bo D = {x0, x1, . . . , xn}. Ker vsako finejšo delitev dobimo tako, da zaporedoma dodajamo po eno novo toˇcko, bo rezultat sledil, ˇce ga dokažemo le, ko jeD⁰ =D∪ {x⁰}, kjer sex⁰ nahaja na nekem podintervalu[x_k−1, x_k]. Naj boT⁰ =s(x⁰). Potem je

δ(f, D⁰) =δ(f, D)−d(Tk−1, T_k) +d(T_k, T⁰) +d(T⁰, T_k)≥δ(f, D).

Pri tem smo uporabili trikotniško neenakost za toˇckeTk−1, T_kinT⁰, iz ˇcesar sledi, da jed(T_k, T⁰)+

d(T⁰, T_k)−d(Tk−1, T_k)≥0.

Trditev zgoraj nam pove, da finejša kot je delitevD, tem boljša je aproksimacija dolžine loka.

Za dve razliˇcni delitvi vedno lahko najdemo najmanjšo tako delitev, ki je finejša od obeh. ˇCe staD₁ inD₂ poljubni delitvi, jeD =D₁ ∪D₂ delitev, ki je finejša od obehD₁inD₂, in vsaka druga delitevD⁰, ki je finejša od obehD₁ inD₂, je finejša tudi odD.

Dolžino loka lahko definiramo, ˇce so aproksimacije navzgor omejene z neko vrednostjo.

7

Definicija 3.2. Naj bo s : [a, b] → R² zvezna preslikava in d metrika na R². ˇCe obstaja su- premum l(t) = sup_Dδ(s, D), potem pravimo, da ima loks konˇcnod-dolžino l_d(s), ˇce pa ne obstaja, pravimo, da imasneskonˇcnod-dolžino.

Ker smo za preslikavospredpostavili le zveznost, se seveda lahko zgodi, da je dolžina loka neskonˇcna, tudi ˇce je metrika d obiˇcajna evklidska metrika. Hitro lahko tudi vidimo, da ima vsak nekonstanten lok neskonˇcno dolžino v trivialni metriki.

3.2 Dolžine loka v p-metrikah

Pri izpeljavi formul v nadaljevanju se bomo omejili na loke, ki so podani z zvezno odvedljivo preslikavog : [a, b]→R, torejs(x) = (x, g(x)).

3.2.1 Dolžina loka v evklidski metriki

Zaˇcnimo kar z evklidsko metriko. Imejmo funkcijo g : [a, b] → R, ki je zvezno odvedljiva.

Na spodnji sliki 4 si lahko ogledamo graf funkcijeg, ki smo ga aproksimirali z lomljeno ˇcrto, doloˇceno z osmimi(n = 8)toˇckami(T₀, T₁, . . . , T₇).

V splošnem vzamemo poljubno delitevD ={x₀, x₁, . . . , x_n;a=x₀ < x₁ <· · ·< x_n =b}in- tervala[a, b]in dobimon+1toˇck oblikeT_i = (x_i, g(x_i)). Vsaka dolžina med dvema sosednjima toˇckama na grafu (slika 4) je enaka evklidski razdaljid₂ med toˇckamaTi−1inT_i.

Slika 4: Aproksimacija krivulje v metrikid₂

Zapišimo torej razdaljo med dvema toˇckama:

d₂(Ti−1, T_i) = p

(x_i−xi−1)² + (g(x_i)−g(xi−1))².

Za funkcijogpredpostavimo, da je zvezno odvedljiva, zato lahko uporabimo Lagrangeov izrek.

8

Izrek 3.3. (Lagrangeov izrek). Naj bo f : [a, b] → R zvezna na [a, b] in odvedljiva na(a, b).

Potem obstajaξ∈(a, b), da velja

f(b)−f(a) = f⁰(ξ)(b−a).

Preoblikujmo zgornjo formulo v:

d₂(Ti−1, T_i) =p

(x_i−xi−1)²+ (g(x_i)−g(xi−1))²

=p

(x_i−xi−1)²+ (g⁰(ξ_i)(x_i−xi−1))²

=p

(x_i−x_i−1)²+g⁰(ξ_i)²(x_i −x_i−1)²

= (x_i−x_i−1)p

1 +g⁰(ξ_i)². Torej je dolžina aproksimacije pri poljubni delitviDenaka

l₂(g, D) =

n

X

i=1

d₂(Ti−1, T_i) =

n

X

i=1

(x_i−xi−1)p

1 +g⁰(ξ_i)²,

in v tem primeru s ξ_i oznaˇcimo neke toˇcke na intervalu [xi−1, x_i]. Zgornja aproksimacija je ravno Riemannova vsota za funkcijop

1 +g⁰(x)² za delitev Din izbiro toˇck ξ_i na našem da- nem intervalu. Riemannov (doloˇceni) integral pa je ravno limita Riemannovih vsot, ko gre dolžina najdaljšega intervala proti niˇc oziroma ko so delitve intervala vedno finejše. Pri izreku smo predpostavili, da je funkcija zvezno odvedljiva na[a, b], zato Riemannov integral funkcije p1 +g⁰(x)² na tem intervalu obstaja, torej obstaja tudil₂(g) = sup_Dl₂(g, D). Dolžina iska- nega loka je

l₂(g) = Z b

a

q

1 +|g⁰(x)|²dx.

Primere si bomo, kot v prejšnjem poglavju, pogledali ob zakljuˇcku vseh podpoglavij.

9

3.2.2 Dolžina loka v taksi metriki

Oglejmo si, kako v taksi metriki z metodo aproksimacije izraˇcunamo dolžino loka. Pomagajmo si s spodnjo sliko 5.

Slika 5: Aproksimacija krivulje v metrikid1

Zopet predpostavimo, da je naša funkcijag : [a, b]→Rzvezno odvedljiva in naj boDponovno neka delitev intervala [a, b]. Toˇcke T_i = (x_i, g(x_i))pa so pripadajoˇce toˇcke na grafu funkcije.

Ker smo zdaj v taksi (d₁) metriki, je razdalja med dvema sosednjima toˇckamaTi−1 inT_i enaka dolžini seštevkov projekcij na koordinatni osixiny.

d1(Ti−1, Ti) =|xi−xi−1|+|yi−yi−1|

=|x_i−xi−1|+|(g(x_i)−g(xi−1)|

=|x_i−xi−1|+|g⁰(ξ_i)(x_i−xi−1)|

=|x_i−xi−1|+|g⁰(ξ_i)| |(x_i−xi−1)|

=|x_i−xi−1|(1 +|g⁰(ξ)|).

Torej je dolžina aproksimacije pri dani delitviDenaka l₁(g, D) =

n

X

i=1

d₁(Ti−1, T_i) =

n

X

i=1

(x_i−xi−1)(1 +|g⁰(ξ_i)|),

kjer soξ_i neke toˇcke na zaprtem intervalu[xi−1, x_i].Na podoben naˇcin kot pri evklidski metriki tudi tu dobimo formulo za izraˇcun dolžine loka v taksi (d₁) metriki:

l₁(g) = Z b

a

(1 +|g⁰(x)|)dx.

3.2.3 Dolžina loka v maksimum metriki

Podobno kot pri prejšnjih metrikah tudi tu uporabimo metodo aproksimacije. Spet predposta- vimo, da je funkcijag : [a, b]→Rzvezno odvedljiva in naj boDponovno neka delitev intervala

10

[a, b]. Toˇcke T_i = (x_i, g(x_i))pa so pripadajoˇce toˇcke na grafu funkcije. Spomnimo se, kako merimo razdaljo med dvema toˇckama(Ti−1, T_i)v maksimum metriki.

d∞(Ti−1, Ti) = max{|xi−xi−1|,|yi−yi−1|}

= max{|x_i−xi−1|,|g(x_i)−g(xi−1)|}

= max{|x_i−x_i−1|,|g⁰(ξ)(x_i−x_i−1)|}

= max{|x_i−xi−1|,|g⁰(ξ)| |x_i−xi−1|}

=|x_i−xi−1|max{1,|g⁰(ξ)|}. Dolžina aproksimacije pri naši izbrani delitviDje torej

l∞(g, D) =

n

X

i=1

d∞(Ti−1, T_i) =

n

X

i=1

(|x_i−xi−1|) max{1,|g⁰(ξ)|},

kjer soξ_ineke toˇcke na zaprtem intervalu[xi−1, x_i].Formula za izraˇcun dolžine krivulje našega grafa v maksimum metriki se torej glasi

l∞(g) = Z b

a

max{1,|g⁰(x)|}dx.

Oglejmo si zdaj primere izraˇcunov dolžin lokov v razliˇcnih metrikah.

Primer 3.4. Izraˇcunajmo dolžino loka krivulje g(x) = ¹₃(x² + 2)³² na intervalu x ∈ [0,1] v evklidski metriki.

l₂ = Z b

a

p1 +g⁰(x)²dx

= Z 1

0

s 1 +

1

3(x²+ 2)³² 0²

dx= Z 1

0

s 1 +

1 3 ·3

2(x²+ 2)¹²2x 2

dx

= Z 1

0

r 1 +

x(x²+ 2)¹²2

dx= Z 1

0

p1 +x²(x²+ 2)dx

= Z 1

0

√1 +x⁴+ 2x²dx= Z 1

0

p(x²+ 1)²dx

= Z 1

0

(x²+ 1)dx= x³

3 +x

1 0

= 1

3 + 1−0 = 4 3

11

Primer 3.5. Izraˇcunajmo dolžino loka krivuljeg(x) = ¹₃(x²+ 2)³² na intervalux∈[0,1]v taksi metriki.

l₂ = Z b

a

(1 +g⁰(x))dx

= Z 1

0

1 +

1

3(x²+ 2)³² 0

dx

= Z 1

0

1 + 1

3 ·3

2(x²+ 2)¹²2x

dx

= Z 1

0

1 +x(x² + 2)¹² dx

= Z 1

0

1dx+ Z 1

0

x√

x²+ 2dx

=x

1 0+1

3(√

x²+ 2)³

1 0

= 1−0 +

√3³ 3 −

√2³

3 = 1 +√

3− 2√ 2 3

Primer 3.6. Izraˇcunajmo dolžino loka krivuljeg(x) = x² + 1 v metriki d∞ na intervalux ∈ [0,1].

l∞= Z b

a

max{1,|g⁰(x)|}dx

= Z 1

0

max 1,

x²+ 1 dx

= Z 1

0

max{1,|2x|}dx

= Z 1

0

2xdx

=x²

1 0

= 1.

12

3.2.4 Dolžina krivulje v splošnip-metriki

Preostane nam le še zapis formule za izraˇcun dolžine loka v splošnip-metriki, do katere pridemo na enak naˇcin, kot smo to poˇceli v zgornjih podpoglavjih.

Predpostavimo, da jeg : [a, b]→ Rzvezno odvedljiva in naj boDneka delitev intervala[a, b].

Toˇcke Ti = (xi, g(xi)) so pripadajoˇce toˇcke na grafu funkcije. V p-metriki je razdalja med dvema sosednjima toˇckama(T_i−1, T_i)enaka

dp(Ti−1, Ti) = ^p q

|xi−xi−1|^p+|yi−yi−1|^p

= ^p q

|xi−xi−1|^p+|g(xi)−g(xi−1)|^p

= ^p q

|xi−xi−1|^p+|g⁰(ξi)(xi−xi−1)|^p

= ^p q

|xi−xi−1|^p+|g⁰(ξi)|^p|(xi−xi−1)|^p

=|xi−xi−1| ^p q

1 +|g⁰(ξi)|^p.

Dolžina aproksimacije pri naši izbrani delitvi D, kjer so ξ_i neke toˇcke na zaprtem intervalu [xi−1, x_i], je torej enaka

lp(g, D) =

n

X

i=1

dp(Ti−1, Ti) =

n

X

i=1

(xi−xi−1) q

1 +|g⁰(ξi)|^p.

Dolžina grafa zvezno odvedljive funkcijeg : [a, b]→R² je enaka lp(g) =

Z b

a

p

q

1 +|g⁰(x)|^pdx.

13

4 Doloˇcitev vrednosti števila π v razliˇcnih p-metrikah

V tem poglavju si bomo podrobneje pogledali, kako je s krožnicami v razliˇcnihp-metrikah. Kot že vemo, je namreˇc razdalja med dvema toˇckama pri vsaki metriki definirana drugaˇce, ravno tako je drugaˇce definirana tudi dolžina loka. V razliˇcnih metrikah definiramo število π_p tako, da vzamemo formulo ob = 2π_pr, kjer je r polmer kroga v dani metriki, in smo z ob oznaˇcili obseg kroga. V primerup-metrik se namreˇc izkaže, daπ_pni odvisen od dolžine polmera kroga.

Pomagali si bomo tudi z izraˇcunom dolžin loka v posamezni metriki iz prejšnjih poglavij, in sicer tako, da bomo v vsakem podpoglavju neposredno iz dveh formul za obseg kroga izraˇcunali vrednost številaπp v vsaki metriki. V tem poglavju se sklicujemo na vira [1] in [3].

Pred nadaljevanjem si poglejmo, kako sta v splošnem definirana pojma krog in krožnica pri nestandardni metriki na R². Naj bo torej d neka metrika naR², a ∈ R² dana toˇcka inr > 0.

Množica

K¯_d(a, r) = {x∈R²; d(x, a)≤r}

jezaprt krogz radijemrin središˇcema, množica

S_d(a, r) = {x∈R²; d(x, a) =r}

pa krožnica z radijem r in središˇcem a. V splošnem so si krožnice pri dani metriki d lahko geometrijsko precej razliˇcne, v primeru p-metrik pa hitro vidimo, da za vsak a ∈ R² in vsak r >0velja

K¯dp(a, r) = a+ ¯Kdp(0, r) = a+rK¯dp(0,1) in

S_dp(a, r) =a+S_dp(0, r) =a+rS_dp(0,1).

Zato bomo v nadaljevanju vedno predpostavili, da je središˇce krožnice kar izhodišˇce vR².

4.1 Evklidska metrika

Krožnica v evklidski metriki je vsem že dobro znana, vendar si bomo vseeno pomagali s sliko 6.

Slika 6: Krožnica v metrikid₂

14

V nadaljevanju bomo potrebovali funkcijog(x). Obseg kroga lahko izraˇcunamo zaradi njegove simetriˇcnosti tudi tako, da množimo dolžino loka krožnice v prvem kvadrantu s štiri (ko je x∈[0, r]). Krožnica z radijemrje podana z enaˇcbo

|x|²+|y|² =r². Obsega kroga z radijemrje enak

ob= 4 Z r

0

p|1 +g⁰(x)²|dx, kjer je

y= (r²−x²)¹² =g(x).

Vstavimo zdaj kar v zgornjo formulo že odvajang(x)in postavimo naše meje od0dor.

ob= 4 Z r

0

v u u t 1 +

− x

√r²−x²

2! dx

Poznana sta nam oba naˇcina izraˇcuna obsega krožnice v metriki d₂, ki ju lahko združimo in poenostavimo.

2π₂r = 4 Z r

0

v u u t 1 +

− x

√r² −x²

2! dx

= 4 Z r

0

s

1 + x² r²−x²

dx

Zdaj potrebujemo le še izraˇcun vrednostiπ₂. Združimo dve formuli za obseg, izpostavimoπ₂ in dobimo

2π₂r = 4 Z r

0

s

1 + x² r²−x²

dx.

Torej

π₂ = 4 2r

Z r

0

r

1 + x²

r² −x²dx= 2 r

Z 1 0

r

1 + r²t²

r²−r²t²r·dt

= 2 Z 1

0

r

1 + t²

1−t²dt = 2 Z 1

0

√ 1

1−t²dt

= 2 arcsinx

1 0 =π .

= 3,1415.

Kar je tudi res. Oglejmo si zdaj, kako je še pri ostalih metrikah.

15

4.2 Taksi metrika

Krožnica v taksi metriki je malo drugaˇcna, kot smo navajeni. Oglejmo si sliko 7.

Slika 7: Krožnica vd₁metriki zr= 1

Podobno kot v evklidski metriki tudi tu izraˇcunamo vrednostiπ₁ tako, da enaˇcimo dve formuli za izraˇcun obsega. Kot smo omenili v prejšnjem podpoglavju, obseg krožnice v taksi metriki izraˇcunamo podobno kot pri evklidski. Krožnica je v taksi metriki definirana kot

|x|+|y|=r.

Obseg kroga z radijemrje enak

ob= 4 Z r

0

(1 +|g⁰(x)|)dx, kjer je

y=r−x=g(x).

Vrednostπ₁ izraˇcunajmo po enakem postopku kot prej:

2π₁r= 4 Z r

0

(1 +|(r−x)⁰|)dx= 4 Z r

0

2dx= 8r, torej

π₁ = 4.

16

4.3 Maksimum metrika

Na sliki 8 si oglejmo krožnico z radijem 1 v maksimum metriki.

Slika 8: Krožnica v metrikid∞zr = 1

Obseg krožnice z radijemrje enak ob= 8

Z r

0

max{1,|g⁰(x)|}dx, kjer jeg(x) = 1.

Združimo zdaj obe formuli za izraˇcun obsega krožnice in izrazimoπ∞. 2π∞r = 8

Z r

0

max{1,|g⁰(x)|}dx π∞ = 4

r Z r

0

max{1,|1⁰|}dx

= 4 r

Z r

0

max{1,0}dx

= 4 r

Z r

0

1dx= 4 r(x)

r 0 = 4

r(r−0) = 4

17

4.4 Družina p-metrik

Oglejmo si še, kako bi izraˇcunali vrednost številaπ v poljubnip-metriki. Krožnica vp-metriki je definirana kot|x|^p+|y|^p =r^p.Ponovno potrebujemo funkcijog(x), ki je v tem primeru enaka

y= (r^p−x^p)^1p =g(x).

Dolžina loka dela krožnice v prvem kvadrantu je torej enaka:

l_p(g) = Z r

0

p

r 1 +

(r^p−x^p)^p1)⁰

p

dx

= Z r

0

p

r 1 +

−(x^p−1)(r^p−x^p)^1−pp

p

dx

= Z r

0

p

q

1 +|(x^(p−1)p)(r^p−x^p)^1−p|dx

= Z 1

0

p

s

1 + x^(p−1)p (r^p−x^p)^(p−1)dx

= Z 1

0

p

s 1 +

x^p r^p−x^p

(p−1)

dx.

Ponovno lahko združimo obe formuli za izraˇcun obsega kroga in izrazimoπ_p:

2π_pr= 4 Z r

0

p

s 1 +

x^p r^p−x^p

^(p−1) dx, torej

π_p = 2 r

Z r

0

p

s 1 +

x^p r^p−x^p

(p−1)

dx

= 2 r

Z 1 0

p

s 1 +

t^pr^p r^p−t^pr^p

(p−1)

rdt

= 2 Z 1

0

p

s 1 +

t^p 1−t^p

(p−1)

dt,

in tako dobimo enaˇcbo za izraˇcun vrednosti številaπp v poljubnip-metriki.

Kot vidimo, je vrednost števila π v taksi in maksimum metriki enaka. Opazimo tudi, da je izraˇcunana vrednost najmanjša prid₂. Ali je to res najmanjša vrednost števila π? Oglejmo si v naslednjem poglavju.

18

5 Minimalna vrednost π

V tem poglavju bomo raziskali, v kateri izmed obravnavanih p-metrik je vrednost števila π najmanjša. Pokazali bomo, da je prip = 2 vrednost π_p zares najmanjša, da torej π_p doseže globalni minimumπprip= 2. V poglavju se sklicujemo na vire [1], [3] in [4].

Na spodnji sliki je prikazan odvod funkcijeπ_p pop.

Slika 9: Minimalna vrednostπ

V prejšnjem poglavju smo izpeljali formulo zaπ_p:

π_p = 2 Z 1

0

p

s 1 +

t^p 1−t^p

(p−1)

dt.

Uvedimo novo spremenljivkot=u^1/p(dt= ¹_pu^1−pp du). Dobimo

πp = 2 p

Z 1 0

p

s 1 +

u 1−u

(p−1)

·u

1−p p du

= 2 p

Z 1 0

p

v u u

t 1 + u^(p−1)

(1−u)^(p−1)

! 1 u^p−1du

= 2 p

Z 1 0

p

s 1

u^p−1 + 1

(1−u)^p−1du

= 2 p

Z 1 0

(u^p−1+ (1−u)^p−1)^1p (u(1−u))^p−1p

du. (1)

19

Za doloˇcene vrednosti p lahko kar iz integrala vidimo, da je π₁ = 4, π₂ = π in π∞ = 4.V splošnem pa integrala ne znamo simboliˇcno izraˇcunati. Da vseeno pokažemo, da je njegova vrednost minimalna ravno pri p = 2, ga bomo nadomestili z drugim integralom, ki ga lahko obravnavamo in ki ga naš integral majorizira. Nov integral bo imel enako vrednost prip= 2. V π_p zamenjamo števec v integralu z(u^2(p−1)+ (1−u)^2(p−1))^1p in definiramo novo koliˇcinoΠ_p :

Π_p = 2 p

Z 1 0

u

2(p−1)

p + (1−u)

2(p−1) p

(u(1−u))^p−1p

du= 4 p

Z 1 0

u^p−1p (1−u)^−p−1p du. (2) Pokazali bomo, da je Π_p enakπ_p zap = 1, p = 2inp = ∞, in dokazali, da v splošnem velja Π_p ≤π_p.

Lema 5.1. VeljaΠ_p ≤π_p.

Dokaz. Najprej moramo dokazati, da ˇce jeα poljubno pozitivno realno število, potem za vsak v ≥0velja

(1 +v)^α(1 +v^α)≥(1 +v^α+12α )^α+1,

saj bomo to potrebovali pri dokazu naše leme. Imejmo v ≥ 0in definirajmo funkcijo f(y) = yln(1 + v^y1) za y > 0. Funkcija f je konveksna, saj je f⁰⁰(y) > 0 za y > 0. Torej velja f(^y1+y₂ ²)≤ ^f(y1)+f₂ ^(y2), in ko stay₁ = 1iny₂ = _α¹, dobimo:

(α+ 1

2α ) ln (1 +v^α+12α )≤ 1

2ln (1 +v) + 1

2αln (1 +v^α) (α+ 1) ln (1 +v^α+12α )≤αln (1 +v) + ln (1 +v^α)

ln ((1 +v^α+12α )^α+1)≤ln ((1 +v)^α(1 +v^α)) (1 +v^α+12α )^α+1 ≤(1 +v)^α(1 +v^α).

Za dokaz neenakostiΠ_p ≤π_p je dovolj dokazati, da velja

u^2(p−1)p + (1−u)^2(p−1)p ≤(u^p−1 + (1−u)^p−1)^1p

za0≤u≤1. ˇCe si izberemov = _1−u^u inα=p−1, to sledi neposredno iz zgornje neenakosti.

Integral

Z 1 0

u^p−1p (1−u)^−p−1p du je poseben primer beta funkcije

B(x, y) = Z 1

0

u^x−1(1−u)^y−1du,

20

kjer vzamemox= 2−1/piny= 1/p. Torej velja Π_p = 4

pB(2−1 p,1

p). (3)

Ponovimo nekaj osnovnih lastnosti beta funkcije. Velja B(x, y) = Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y), kjer je gama funkcijaΓ(x)definirana kot

Γ(x) = Z ∞

0

t^x−1e^−tdt.

VeljaΓ(1) = 1,Γ(¹₂) =√

πin splošna formulaΓ(x+ 1) = xΓ(x),ki nam za naravna številan daΓ(n+ 1) =n!. Potrebovali bomo še formulo

Γ(p)Γ(1−p) = π sinπp,

ki velja za vsak0 < p < 1. Spomnimo se, da jeln Γ(x)strogo konveksna funkcija za x > 0.

Naj boψ(x)funkcija digama, ki je definirana kot ψ(x) = d

dxln Γ(x) = Γ⁰(x)

Γ(x), (4)

in je torej strogo narašˇcajoˇca zax >0. Zdaj lahkoΠ_pzapišemo kot beta funkcijo, in sicer tako, da formulo (3) preoblikujemo.

Π_p = 4

pB(2− 1 p,1

p)

= 4 p

Γ(2− ¹_p)Γ(¹_p) Γ(2− ¹_p +¹_p)

= 41 p

Γ(2− ¹_p)Γ(_p¹) Γ(2)

= 41

pΓ(2− 1 p)Γ(1

p)

= 4Γ(2− 1 p)Γ(1

p+ 1) (5)

Ker poznamo funkcijoΓ, lahko izraˇcunamo vrednostiΠ_pzap= 1, p= 2inp=∞.

Π₁ = 4Γ(2− 1 1)Γ(1

1+ 1) = 4Γ(1)Γ(2) = 4·(1·1) = 4 Π₂ = 4Γ(2− 1

2)Γ(1

2+ 1) = 4Γ(3 2)Γ(3

2) = 4

√π 2 ·

√π 2 =π Π_∞= lim

p→∞4Γ(1 + 1

p)Γ(2−1

p) = lim

p→∞4(1 p)Γ(1

p)(1−1

p)Γ(1− 1

p) = lim

p→∞4(1− 1 p)

π p

sin^π_p = 4 21

Lema 5.2. Π_p doseže globalni minimum prip= 2.

Dokaz. Pri dokazu se opiramo na formuli (4) in (5). Za izraˇcun minimuma moramo namreˇc funkcijo

Πp = 4Γ(2−1 p)Γ(1

p + 1) odvajati:

d

dpΠ_p = 4(Γ⁰(1 + 1 p)(−1

p²)Γ(2− 1

p) + Γ(1 + 1

p)Γ⁰(2− 1 p)(1

p²))

= 4

p²(−Γ⁰(1 + 1

p)Γ(2− 1

p) + Γ(1 +1

p)Γ⁰(2− 1 p))

= 4

p²(−Γ(1 + 1

p)ψ(1 + 1

p)Γ(2−1

p) + Γ(1 + 1

p)Γ(2− 1

p)ψ(2− 1 p))

= 4

p²Γ(1 + 1

p)Γ(2− 1 p)

ψ(2− 1

p)−ψ(1 + 1 p)

.

Γ(x)je strogo pozitivna, ko jex >0, odvodΠ_pje zato enak0natanko tedaj, ko velja ψ(2− 1

p) = ψ(1 + 1 p).

Prej smo omenili, da je ψ(x) strogo narašˇcajoˇca funkcija za x > 0, torej je enakost lahko izpolnjena le, ko je2− ¹_p = 1 + ¹_p, torej prip= 2.

Zdaj nas zanima le, kolikšen je globalni minimum π_p. Od prej vemo, da veljaΠ_p ≤ π_p. Ker je Π₂ =π₂ in imaΠ_pprip= 2minimum, ima tudiπ_p prip= 2minimum.

22

6 Sklep

V diplomskem delu smo se osredotoˇcili na izraˇcun vrednosti števila pi v razliˇcnih metrikah. V prvem delu smo ponovili lastnosti metrike in si ogledali nekaj primerov. Nato smo predstavili nekaj ravninskih metrik vkljuˇcno z nam najbližjo evklidsko metriko. Za vsako smo si najprej ogledali izraˇcun razdalje med dvema toˇckama v splošnem in v ravnini, saj smo to potrebovali za naslednje poglavje. Z metodo aproksimacije in uporabo Lagrangeovega izreka smo v prej ome- njenih metrikah izpeljali formulo za izraˇcun dolžine loka poljubne funkcije na danem intervalu.

Nato smo si v naslednjem poglavju ogledali krožnice v ravninskih metrikah s polmerom ena ter s pomoˇcjo že znane formule za izraˇcun obsega kroga in dolžine loka krožnice izraˇcunali vre- dnost števila pi v razliˇcnih metrikah. V zadnjem poglavju, v katerem smo z uporabo formule za izraˇcun vrednosti števila pi z drugaˇcno parametrizacijo in uporabo beta, gama in digama funkcij dokazali, da je vrednost števila pi najmanjša ravno v evklidski metriki.

23

7 Literatura

[1] Adler, C. L. in Tanton, J. (2000).Pi is the Minimum value for Pi. The College Mathematics Journal, 31(2), 102 - 106.

[2] Euclidean Metric on Real Vector Space is Metric. (2018). Pridobljeno s https:

//proofwiki.org/wiki/Euclidean_Metric_on_Real_Vector_Space_

is_Metric

[3] Euler R. in Sadek, J. (1999). The Pis go full circle. Mathematics Magazine, 72 (1), 59–63. Pridobljeno s https://www.maa.org/sites/default/files/

269131730110.pdf

[4] Gamma function. (2018). Pridobljeno s https://en.wikipedia.org/wiki/

Particular_values_of_the_gamma_function

[5] Lipschutz, S. (1965).Theory and problems of General Topology. New York, Schaum publi- shing company.

[6] Slapar, M. (2012). Matematiˇcna analiza. Ljubljana: Pedagoška fakulteta Univerze v Lju- bljani.

[7] Thompson, K. P. (2011). The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geome- try. International Electronic Journal of Geometry, 4(2), 193-207. Pridobljeno s https:

//arxiv.org/pdf/1101.2922.pdf

[8] Vrabec, J. (1990). Metriˇcni prostori. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astrono- mov Slovenije.

24