UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ˇStudijski program: Matematika in fizika
Hiperboliˇ cne funkcije
DIPLOMSKO DELO
Mentor: Kandidatka:
dr. Marko Razpet Teja Bergant
Ljubljana, junij 2012
.
Zahvala
Iskreno se zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu za strokovno pomoˇc, usmerjanje in ˇcas, ki ga je posvetil nastajanju mojega diplomskega dela.
Velika zahvala gre vsem domaˇcim za podporo, pomoˇc in potrpeˇzljivost v ˇ
casu ˇstudija.
Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli, da je diplomsko delo konˇcno konˇcano.
Program dela
V diplomskem delu obravnavajte hiperboliˇcne funkcije in navedite nekaj primerov uporabe.
Ljubljana, junij 2012 Mentor: dr. Marko Razpet
Povzetek
V diplomskem delu so predstavljene hiperboliˇcne funkcije. V sklopu zgodo- vine le-teh sta skozi ˇzivljenje in delo opisana matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert, pod lastnostmi hiperboliˇcnih funkcij pa so obrav- navane njihove definicije, grafi, odvodi, integrali in razvoji v potenˇcne vrste.
Predstavljene so tudi zveze med njimi, njihove inverzne funkcije in adicijski izreki. Povzete so povezave hiperboliˇcnih funkcij s trigonometriˇcnimi, in sicer preko geometrijske razlage prvih in drugih ter povezava s pomoˇcjo kompleks- nega argumenta. Na koncu sta navedena ˇse dva primera uporabe, in sicer veriˇznica in Dirichletov problem.
Kljuˇ cne besede:
Hiperboliˇcne funkcije, Vincenzo Riccati, Johann Heinrich Lambert, eksponentna funkcija, inverzne hiperboliˇcne funkcije, ve- riˇznica, Dirichletov problem.Hyperbolic functions – Abstract
This thesis is an introduction to hyperbolic functions. The history part describes the lives and work of the mathematicians Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert. The characteristics section deals with the hyper- bolic functions’ definitions, graphs, derivatives, integrals, and power series expressions. The thesis also presents the relations between the hyperbolic functions, their inverse functions and addition theorems. Also included are the comparison of the hyperbolic functions to the trigonometric functions by means of their geometric interpretation, and the description of the relations among them by means of a complex argument. The thesis concludes with two examples of use, the catenary and the Dirichlet problem.
Key words:
Hyperbolic functions, Vincenzo Riccati, Johann Hein- rich Lambert, exponential function, inverse hyperbolic functions, catenary, Dirichlet problem.MSC(2010):
01A50, 26A06.Kazalo
Zahvala 3
Program dela 5
Povzetek 7
Kazalo 9
1 Uvod 11
2 Zgodovina hiperboliˇcnih funkcij 13
2.1 Vincenzo Riccati . . . 13
2.2 Johann Heinrich Lambert . . . 15
3 Lastnosti hiperboliˇcnih funkcij 19 3.1 Definicije in grafi . . . 19
3.2 Zveze med hiperboliˇcnimi funkcijami . . . 27
3.3 Area funkcije . . . 28
3.4 Adicijski izreki . . . 31
3.5 Odvodi . . . 33
3.6 Integrali . . . 36
3.7 Razvoji v potenˇcne vrste . . . 39
4 Analogija s trigonometriˇcnimi funkcijami 43 4.1 Trigonometriˇcne funkcije . . . 43
4.2 Geometrijska razlaga hiperboliˇcnih funkcij . . . 45 4.3 Hiperboliˇcne in trigonometriˇcne funkcije v kompleksni ravnini 47 5 Zveza z diferencialnimi enaˇcbami 51 5.1 Veriˇznica . . . 51 5.2 Dirichletov problem . . . 61
6 Zakljuˇcek 63
Literatura 65
Poglavje 1 Uvod
Hiperboliˇcne funkcije so prek kompleksnih funkcij sorodne trigonometriˇcnim in so transcendentne, kar pomeni, da niso algebraiˇcne. Osnovni hiperboliˇcni funkciji sta hiperboliˇcni sinus (sh) in hiperboliˇcni kosinus (ch), iz teh pa so izpeljane ˇse funkcije hiperboliˇcni tangens (th), hiperboliˇcni kotangens (cth), hiperboliˇcni sekans (sch) in hiperboliˇcni kosekans (csh).
Zgodovina hiperboliˇcnih funkcij sega v 18. stoletje, ko sta jih neodvisno eden od drugega vpeljala matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lam- bert. Skozi ˇzivljenje in delo sta opisana v sledeˇcem poglavju.
V poglavju o lastnostih hiperboliˇcnih funkcij so najprej predstavljene nji- hove definicije in grafi, nato pa ˇse nekatere pomembne zveze med njimi.
Inverzne hiperboliˇcne funkcije se imenujejo area funkcije: area hiperboliˇcni sinus (Ar sh), area hiperboliˇcni kosinus (Ar ch), area hiperboliˇcni tangens (Ar th), area hiperboliˇcni kotangens (Ar cth), area hiperboliˇcni sekans (Ar sch) in area hiperboliˇcni kosekans (Ar csh). Adicijski izreki hiperboliˇcnih funkcij moˇcno spominjajo na adicijske izreke trigonometriˇcnih funkcij. V nadalje- vanju so izpeljani tudi odvodi, integrali in razvoji v potenˇcne vrste hiper- boliˇcnih funkcij s pomoˇcjo lastnosti eksponentne funkcije.
Tako kot toˇcke (cosx, sinx) tvorijo enotsko kroˇznico, tako toˇcke (chx, shx) tvorijo desno polovico enakostraniˇcne hiperbole. V 4. poglavju tako najdemo malo veˇc o tem, pa tudi povezavo hiperboliˇcnih funkcij s trigonometriˇcnimi s pomoˇcjo kompleksnega argumenta.
Hiperboliˇcne funkcije se pojavljajo v reˇsitvah nekaterih pomembnejˇsih line- arnih diferencialnih enaˇcb, na primer enaˇcba veriˇznice in Laplaceova enaˇcba na pravokotniku v kartezijskih koordinatah. Prva je pomembna v arhite- kturi in gradbeniˇstvu na podroˇcju gradnje mostov in obokov, druga pa je pomembna na mnogih podroˇcjih fizike, med drugim v elektromagnetizmu, termodinamiki, mehaniki tekoˇcin in posebni teoriji relativnosti.
V diplomskem delu so bolj podrobno obravnavane ˇstiri hiperboliˇcne funkcije, in sicer hiperboliˇcni kosinus, hiperboliˇcni sinus, hiperboliˇcni tangens in hiper- boliˇcni kotangens, funkciji hiperboliˇcni sekans in hiperboliˇcni kosekans pa sta obravnavani zelo povrˇsinsko.
Poglavje 2
Zgodovina hiperboliˇ cnih funkcij
Hiperboliˇcne funkcije sta v 60. letih 18. stoletja neodvisno eden od drugega vpeljala Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Riccati je uporabil oznaki Sc. za sinus (sinus circulare) in Cc. za kosinus (cosinus circulare) ter Sh. za hiperboliˇcni sinus (sinus hyperbolico) in Ch. za hiperboliˇcni kosinus (cosinus hyperbolico). Lambert je privzel imena in spremenil okrajˇsave v take, kot se ponekod uporabljajo ˇse danes: sinh in cosh. [18]
2.1 Vincenzo Riccati
Italijanski matematik Vincenzo Riccati se je rodil 11. januarja leta 1707 v kraju Castelfranco blizu mesta Treviso kot drugi sin matematika Jacopa Francesca Riccatija in Elisabette dei Conti d’Onigo. [35]
Zgodnjega ˇsolanja je bil deleˇzen doma pod okriljem jezuitov, katerih redu se je leta 1726 tudi sam pridruˇzil. Leta 1728 je na jezuitskem kolegiju v Piacenzi zaˇcel pouˇcevati literaturo. Kasneje je literaturo pouˇceval ˇse v Padovi in Parmi. Za tem je v Rimu ˇstudiral teologijo, nato pa je od leta 1739 v Bologni 30 let pouˇceval matematiko. Riccati je bil med drugim izuˇcen tudi v vodogradbeniˇstvu. Delal je na obvladovanju poplavne ogroˇzenosti na rekah Reno, Pad, Adiˇza in Brenta, kar je beneˇsko in bolonjsko regijo reˇsevalo pred
Slika 2.1: Vincenzo Riccati (1707–1775). [34]
katastrofalnimi poplavami. Ob ukinitvi njegovega reda leta 1773 se je vrnil v rodni Treviso in dve leti za tem, 17. januarja leta 1775 tam umrl za koliko, star 68 let. [28], [29], [35]
Pri objavi svojega odkritja, hiperboliˇcnih funkcij, je sodeloval z Girolamom Saladinijem. Riccati ni le vpeljal teh novih funkcij, paˇc pa je izpeljal tudi enaˇcbe za integrale le-teh. Nato je izpeljal ˇse integrale trigonometriˇcnih funkcij. Njegova knjiga Institutiones (1765–1767) se ˇsteje za prvo obseˇzno razpravo na temo raˇcunanja integralov. Riccati je hiperboliˇcne funkcije razvil in njihove lastnosti dokazal geometrijsko s pomoˇcjo enotske hiperbole x2−y2 = 1 ali 2xy= 1, podobno, kot je opisan v razdelku (4.2). [30]
Riccati in Saladini sta se ukvarjala tudi z geometrijskimi problemi, kot so traktrisa1, strofoida2 in ˇstiriperesna deteljica3. Oˇce Vincenza Riccatija, Ja-
1Traktrisa ali vleˇcnica — krivulja, ki jo zariˇse telo-toˇcka, privezano na en konec ne-
raztegljive vrvice, medtem ko drugega vleˇcemo vzdolˇz premice na isti ravnini. [7]
2Strofoida— ravninska algebrska krivulja 3. reda, v polarnih koordinatah (r, ϕ) podana
z enaˇcbor=asin(α−2ϕ)/sin(α−ϕ). [31]
3Stiriperesna deteljicaˇ — krivulja, podana z enaˇcbor(ϕ) = 3 cos(2ϕ). [17]
copo (1676–1754), po komer se imenuje Riccatijeva diferencialna enaˇcba4, je bil eden vodilnih italijanskih matematikov 18. stoletja. [29]
2.2 Johann Heinrich Lambert
Johann Heinrich Lambert, nemˇski matematik, fizik, astronom in filozof, je bil eden velikih mislecev 18. stoletja. Nemˇski filozof Immanuel Kant (1724–
1804) ga je opisal kot “najveˇcjega genija Nemˇcije”. Posveˇcal se je optiki, as- tronomiji, pirometriji, balistiki, psihologiji, fotometriji, algebri, trigonometriji, projekciji, filozofiji, logiki, verjetnosti. ˇCeprav so bila njegova matematiˇcna razmiˇsljanja vredna spoˇstovanja, pa so bila njegova odkritja dostikrat za- senˇcena od del njegovih sodobnikov. Izjema je bil njegov prispevek k hiper- boliˇcni trigonometriji, ki mu je zagotovil trajno mesto v zgodovini razvoja matematike. Lambert je bil prav tako prvi, ki je dokazal, da jeπ iracionalno ˇstevilo. Domneval je tudi, da sta tako πkot e transcendentni ˇstevili5, vendar pa je dokaz za to priskrbel ˇsele kasneje Charles Hermite za e in Ferdinand Lindemann za π. [23], [25], [30]
Kot sin Lukasa Lamberta, krojaˇca, in Elisabethe Schmerber se je Johann Heinrich rodil 26. avgusta 1728 v M¨ulhausnu (danes Mulhouse, Alzacija, Francija) in umrl za tuberkulozo le 49 let kasneje v Berlinu. Izhajal je iz revnega okolja, zato je bil glede izobraˇzevanja prepuˇsˇcen samemu sebi.
Sluˇzboval je kot raˇcunovodja, tajnik, zasebni uˇcitelj in arhitekt po Nemˇciji, Nizozemski, Franciji, Italiji in ˇSvici. Delal je tudi kot uradnik v ˇzelezarni, nato pa je postal uˇcitelj v hiˇsi druˇzine grofa Andreasa von Salisa v mestu Coire v ˇSvici, ki je imela v lasti odliˇcno knjiˇznico. Tu je imel Lambert moˇznost raziskovati teme, ki so mu bile blizu. Leta 1759 je Coire zapustil in z dvema svojima ˇstudentoma potoval po zahodnoevropskih mestih G¨ottin-
4Riccatijeva diferencialna enaˇcba — enaˇcba oblikey0 =a(x)y2+b(x)y+c(x). [27]
5Transcendentno ˇstevilo— vsako kompleksno ˇstevilo, ki ni algebrsko oziroma ni reˇsitev
nobene polinomske enaˇcbe oblikeanxn+an−1xn−1+. . .+a1x1+a0x0= 0, kjer jen >0
in so koeficienti ai racionalna ˇstevila, ne vsa enaka 0. [32]
Slika 2.2: Johann Heinrich Lambert (1728–1777). [21]
gen, Utrecht, Pariz, Marseilles in Torino, nato pa ˇse sam po mestih Augs- burg, M¨unchen, Erlangen, zopet Coire in Leipzig. ˇZivel je v ˇcasu, ko je bila znanstvena dejavnost skoncentrirana v deˇzelah, ki so jih vodili razsvetljeni vladarji, ki so se radi obdajali z uˇcenjaki. Bil je ˇclan berlinske Akademije znanosti, kjer je med drugimi sodeloval z Leonhardom Eulerjem in Josephom Lagrangeem. [21], [22], [23]
Lambert je bil eden prvih, ki je predvidel nekatere lastnosti Rimske ceste.
V svojem delu Kosmologische Briefen (Kozmoloˇska pisma) (1761) je objavil svojo verzijo nastanka Sonˇcevega sistema iz meglice. Predpostavil je, da se zvezde blizu Sonca skupaj gibljejo po Rimski cesti in da je v galaksiji ˇse mnogo takih sistemov zvezd. To je kasneje potrdil Sir William Herschel.
Prepriˇcan je bil tudi, da nobeno telo v vesolju ni brez neke vrste ˇzivljenja.
“Stvarnik”, je zapisal, “je veliko preveˇc celovit, da ne bi vtisnil ˇzivljenja, sile in dogajanja na vsak drobec prahu . . . ˇCe naj bi si nekdo ustvaril pravilno podobo sveta, naj si za izhodiˇsˇce postavi resniˇcno veliˇcino namena Boga, da bi poselil ves svet . . . ” Izraˇcunal je tudi dolˇzino orbite Venerinega satelita, ki
je obˇsel planet v 11 dneh in 5 urah na povpreˇcni razdalji 66,5 radijev planeta po tiru, katerega ekscentriˇcnost je znaˇsala 0,195. Lambert ni bil edini, ki je opazoval omenjeni satelit. V 17. in 18. stoletju je 15 razliˇcnih astronomov opravilo 33 opazovanj telesa, vendar pa o satelitu ni veˇc nobenega sledu od leta 1768. [23], [25]
Lambert je prispeval svoj deleˇz tudi k razvoju kartografije. Bil je prvi, ki se je ukvarjal s projekcijo trodimenzionalne Zemeljine povrˇsine na dvodimenzio- nalno povrˇsino ploskve valja, stoˇzca ali na ravno ploskev. Po njem se imenuje Lambertova konformna konusna projekcija (slika 2.3), ki jo je razvil leta 1772.
To je projekcija, ki preslika toˇcke z Zemljine povrˇsine na plaˇsˇc stoˇzca. Precej natanˇcno se ujema povsod, razen na obmoˇcjih obeh polov. Po 1. svetovni vojni je ta projekcija dobila novo veljavo in je postala standardna projekcija za veˇcje zemljevide, ˇse posebaj za regije srednjih zemljepisnih ˇsirin. [20], [23]
Slika 2.3: Lambertova konformna konusna projekcija. [24]
Med drugim je Lambert pomembno prispeval tudi k razvoju optike. Prvi je meril jakost svetlobe. Po njem se imenuje enota za merjenje svetlosti lambert, ki je enak π−1 ·104 cd/m2 (kandela na kvadratni meter). Njegovo delo Photometria (Fotometrija) (1760) je bilo prva pomembnejˇsa knjiga o koliˇcinski opredelitvi svetlobe in posledicah. Znan je tudi Lambert-Beerov zakon o absorbciji svetlobe v obarvanih raztopinah, po katerem je svetilnost, ki jo obarvana plast raztopine absorbira, odvisna od debeline tega sloja in
od molarne koncentracije raztopljene obarvane snovi. [21], [23]
Po njem se imenujeta tudi kraterja na Luni in na Marsu ter velik asteroid glavnega pasu 187 Lamberta. [21]
Poglavje 3
Lastnosti hiperboliˇ cnih funkcij
3.1 Definicije in grafi
Hiperboliˇcne funkcije so tesno povezane z eksponentno funkcijo x 7→ ex, ki je bijektivna preslikava iz R na R+. Za osnovo ima Eulerjevo ˇstevilo1 e ≈ 2,718281828. Ker velja e >1, funkcija x 7→ ex strogo raste na R. Ker je vrednost funkcije vedno pozitivna, je navzdol omejena z 0, navzgor pa ni omejena.
Inverz eksponentne funkcije x 7→ ex je naravna logaritemska funkcija x 7→
lnx.
Funkcija x 7→ ex je posebej zanimiva v povezavi z odvajanjem in integri- ranjem, saj se pri teh dveh operacijah ne spremeni:
f(x) = ex ⇒ f0(x) = ex f(x) = ex ⇒
Z
f(x) =ex+C, C = konst.
Posledica tega je dejstvo, da lahko eksponentno funkcijo x 7→ ex zelo pre-
1Eulerjevo ˇstevilo— matematiˇcna konstanta, poimenovana po ˇsvicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707–1783).
........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1...
.........................................................
Slika 3.1: Eksponentna funkcija.
prosto zapiˇsemo v obliki potenˇcne vrste:
ex= 1 +x+ x2 2 +x3
3! +x4
4! +. . .=
∞
X
n=0
xn n!. Vrsta absolutno konvergira za vsak realen x.
3.1.1 Hiperboliˇ cni kosinus
Funkcija ch :R→R (hiperboliˇcni kosinus) je definirana s predpisom ch :x7→chx= ex+e−x
2 .
Oglejmo si definicijsko obmoˇcje in zalogo vrednosti funkcije.
Iz definicije funkcije vidimo, da je res definirana na R.
Izraz (ex+e−x)/2 spominja na enaˇcbo za izraˇcun aritmetiˇcne sredine. Velja, da je aritmetiˇcna sredinaA(a, b) pozitivnih ˇstevilainbvedno veˇcja ali enaka geometriˇcni sredini G(a, b), torej
A(a, b) = a+b
2 ≥√
a·b=G(a, b).
Enaˇcaj v tej neenaˇcbi velja samo v primeru, ko je a=b. ˇCe spremenljivko a
zamenjamo z ex in spremenljivko b z e−x, dobimo ex+e−x
2 ≥√
ex·e−x.
Torej je
chx≥1,
s ˇcimer smo doloˇcili zalogo vrednosti funkcije hiperboliˇcni kosinus.
Poglejmo si ˇse, kaj je s sodostjo oziroma lihostjo funkcije:
ch(−x) = e−x+ex
2 = chx.
Funkcija ch je torej soda, kar pomeni, da je njen graf simetriˇcen glede na ordinatno os.
Ko gre x → ∞, je vrednost e−x/2 zelo majhna, zato jo smemo v primer- javi zex/2 zanemariti. To pomeni, da se pri velikihxgraf funkcije ch obnaˇsa kot graf funkcije x7→ex/2.
Kje funkcija ch seka ordinatno os, ugotovimo z izraˇcunom vrednosti funkcije pri x= 0. Ko jex= 0, je ex = 1 in e−x = 1, torej
ch 0 = 1 + 1 2 = 1.
Tako smo dobili desno polovico grafa funkcije ch. Levo polovico dobimo zaradi sodosti funkcije z zrcaljenjem ˇcez ordinatno os.
3.1.2 Hiperboliˇ cni sinus
Funkcija sh :R→R(hiperboliˇcni sinus) je definirana s predpisom sh :x7→shx= ex−e−x
2 .
........................................ ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1
...
...
............................................................
Slika 3.2: Hiperboliˇcni kosinus.
Iz definicije vidimo, da je tudi ta funkcija definirana na mnoˇzici realnih ˇstevil.
Funkcija sh je liha, saj velja
sh(−x) = e−x−ex
2 =−shx.
Na vsem definicijskem obmoˇcju strogo naraˇsˇca, torej x < y=⇒shx <shy.
Dokaz za to je naslednji razmislek: vemo, da funkcija x7→e−x strogo pada, torej funkcijax7→ −e−x strogo naraˇsˇca. Torej mora biti funkcija sh kot vsota strogo naraˇsˇcajoˇcih funkcijx7→ex/2 inx7→ −e−x/2 tudi strogo naraˇsˇcajoˇca.
Iz istega razloga kot graf funkcija ch se tudi graf funkcije sh obnaˇsa kot graf funkcije x7→ex/2, ko gre x→ ∞.
Graf funkcije hiperboliˇcni sinus gre skozi toˇcko (0,0), saj je sh 0 = 0. Zaradi lihosti se opisana desna polovica grafa funkcije sh prezrcali ˇcez to toˇcko. S tem dobimo ˇse levo polovico grafa funkcije sh.
........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1
...
................................................................................................................
...........................................................................................................................
Slika 3.3: Hiperboliˇcni sinus.
3.1.3 Hiperboliˇ cni tangens
Funkcija th : R→R(hiperboliˇcni tangens) je definirana s predpisom th : x7→thx= shx
chx. Funkcija je definirana na R. Ker velja
th(−x) = −shx
chx =−thx,
........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1
−1...
...
...
...
.......................................
Slika 3.4: Hiperboliˇcni tangens.
je funkcija th liha.
Za x, y >0 je
th(x+y)−thx= sh(x+y)
ch(x+y) − shx
chx = shy
ch(x+y) chx >0,
torej je thx < th(x+y), kar dokazuje, da funkcija x7→ thx strogo naraˇsˇca na R+. Ker je th liha funkcija, strogo naraˇsˇca tudi na R.
Ker za funkcijo th velja
x→∞lim thx = lim
x→∞
ex−e−x ex+e−x
= lim
x→∞
ex(1−e−2x) ex(1 +e−2x)
= 1 in
x→−∞lim thx = lim
x→−∞
ex−e−x ex+e−x
= lim
x→−∞
e−x(e2x−1) e−x(e2x+ 1)
= −1,
sta premici y = 1 in y = −1 vodoravni asimptoti njenega grafa. Ker je th 0 = 0, gre graf funkcije th skozi toˇcko (0,0). Torej je zaloga vrednosti funkcije hiperboliˇcni tangens interval (−1,1).
3.1.4 Hiperboliˇ cni kotangens
Funkcija cth : R→R (hiperboliˇcni kotangens) je definirana s predpisom cth :x7→cthx= chx
shx = 1 thx.
Iz definicije lahko vidimo, da je funkcija definirana za vsa realna ˇstevila,
........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1
−1...
...
...
...
........................
......
...............
...............
Slika 3.5: Hiperboliˇcni kotangens.
razen za x = 0, torej je definicijsko obmoˇcje funkcije cth mnoˇzica R\ {0}.
Graf funkcije cth ima zato navpiˇcno asimptoto prix= 0.
Funkcija cth je liha, saj je
cth(−x) = 1
−thx =−cthx.
Iz
thx <th(x+y) =⇒ 1
thx > 1
th(x+y) =⇒ cthx >cth(x+y) vidimo, da funkcija cth strogo pada na intervalu (0,+∞). Ker je liha funkcija, strogo pada tudi na mnoˇzici strogo negativnih realnih ˇstevil.
S podobnim razmislekom kot za funkcijo th tudi tu ugotovimo, da velja
x→∞lim cthx = lim
x→∞
ex+e−x ex−e−x
........................................ ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1...
........................
Slika 3.6: Hiperboliˇcni sekans.
= lim
x→∞
ex(1 +e−2x) ex(1−e−2x)
= 1 in
x→−∞lim cthx = lim
x→−∞
ex+e−x ex−e−x
= lim
x→−∞
e−x(e2x+ 1) e−x(e2x−1)
= −1,
torej ima tudi graf funkcije cth vodoravni asimptoti pri y= 1 in y=−1.
3.1.5 Hiperboliˇ cni sekans
Funkcija sch :R→R (hiperboliˇcni sekans) je definirana s predpisom sch :x7→schx= 1
chx.
3.1.6 Hiperboliˇ cni kosekans
Funkcija csh : R→R (hiperboliˇcni kosekans) je definirana s predpisom csh :x7→cshx= 1
shx.
........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
x y
1 0
...
..
1...
.....................
.........
.........
.....................
Slika 3.7: Hiperboliˇcni kosekans.
3.2 Zveze med hiperboliˇ cnimi funkcijami
Med shx in chx velja pomembna zveza
ch2x−sh2x= 1, (3.1)
saj je
ex+e−x 2
2
−
ex−e−x 2
2
= 1
4 e2x+ 2 +e−2x−e2x+ 2−e−2x
= 1.
Ce enakost (3.1) delimo s chˇ 2x, dobimo 1−th2x= 1
ch2x, ˇ
ce jo delimo z sh2x, pa dobimo
cth2x−1 = 1 sh2x.
Poglejmo si ˇse nekatere druge zveze. Ker je thx= 1/cthx, velja zveza thx·cthx= 1.
Veljata pa tudi enakosti
th2x+ sch2x= 1 (3.2)
in
cth2x−csh2x= 1. (3.3)
Ker je
th2x+ sch2x= sh2x+ 1 ch2x
in ker iz zveze (3.1) sledi ch2x = sh2x+ 1, zveza (3.2) res velja. Podobno razmislimo ˇse o zvezi (3.3); ker velja
cth2x−csh2x= ch2x−1 sh2x
in ker iz zveze (3.1) sledi tudi sh2x= ch2x−1, enakost velja.
Navedimo in dokaˇzimo ˇse zvezo med funkcijama sh in th:
shx= thx p1−th2x
. (3.4)
Dokaz za to izpeljemo iz zveze (3.1), in sicer tako, da levo in desno stran enakosti delimo z sh2x in dobimo
1
th2x −1 = 1
sh2x ⇐⇒ sh2x= th2x 1−th2x
S korenjenjem leve in desne strani enakosti sedaj res dobimo zvezo (3.4).
3.3 Area funkcije
Iz dejstva, da sta sh in th lihi funkciji, sledi, da strogo naraˇsˇcata na mnoˇzici R. Velja:
Izrek 1. [6] Naj bo S neprazna podmnoˇzica mnoˇzice realnih ˇstevil R in naj bo f strogo monotona funkcija, ki deluje na mnoˇzici S.
a) Tedaj za funkcijo f obstaja inverzna funkcija f−1.
b) ˇCef strogo naraˇsˇca na S, potem tudi f−1 strogo naraˇsˇca na R(f).
c) ˇCef strogo pada na S, potem tudi f−1 strogo pada na R(f).
Iz izreka 1 sledi, da za funkciji sh in th obstajata inverzni funkciji sh−1 in th−1. Funkcija sh−1 je definirana na R, ker je R(sh) = R, funkcija th−1 pa je definirana na intervalu (−1,1), saj je R(th) = (−1,1).
Nasprotno pa funkcija ch zaradi sodosti ni bijektivna (premica y = b seka krivuljo y = chx v dveh toˇckah za vsak b > 1). Oznaˇcimo s Ch desno polovico krivulje y = chx, torej funkcijo ch na intervalu [0,+∞) , in s Cth funkcijo cth na mnoˇziciR+. Funkciji Ch in Cth sta strogo monotoni funkciji, zato iz izreka 1 sledi, da obstajata tudi inverzni funkciji Ch−1 in Cth−1. Pri tem je funkcija Ch−1 definirana na poltraku [1,∞), njena zaloga vrednosti pa je interval [0,+∞) . Funkcija Cth−1 je definirana na poltraku (1,∞), njena zaloga vrednosti pa je mnoˇzica R+.
Poiˇsˇcimo sedaj izraze za sh−1y, th−1y, Ch−1y in Cth−1y, ki jih po vrsti imenujemo area hiperboliˇcni sinus (Ar shy), area hiperboliˇcni tangens (Ar thy), area hiperboliˇcni kosinus (Ar chy) in area hiperboliˇcni kotangens (Ar cthy).
3.2.1
Za realno ˇsteviloy= shx= (ex−e−x)/2 je ex−e−x−2y= 0. Z mnoˇzenjem enaˇcbe z ex dobimou2−2uy−1 = 0, (3.5)
kjer je u=ex. Z reˇsevanjem kvadratne enaˇcbe (3.5) dobimo u=y±p
y2 + 1. (3.6)
Ker je y <p
y2 + 1 inu=ex >0, lahko iz enaˇcbe (3.6) zapiˇsemo ex =y+p
y2+ 1 =⇒ x= ln(y+p
y2+ 1).
Iz y = shx sledi x= sh−1y. Funkcija sh−1 :R→R pa je podana z enaˇcbo Ar shy= ln(y+p
y2+ 1), y ∈R.
3.2.2
Za realno ˇstevilo y ∈(−1,1) je y = thx= ex−e−xex+e−x =⇒ (1−y)ex = (1 +y)e−x =⇒
=⇒ e2x = 1 +y
1−y =⇒ x= 1
2ln1 +y 1−y. Funkcija th−1 je torej podana z enaˇcbo
Ar thy= ln
r1 +y
1−y, y∈(−1,1).
3.2.3
Za realno ˇstevilo y ≥1 je y = Chx= ex+e−x2 =⇒ e2x−2yex+ 1 = 0 =⇒ ex =y±p
y2 −1.
Ker velja ln(y−p
y2−1)+ln(y+p
y2−1) = ln((y−p
y2−1)(y+p
y2−1)) = ln 1 = 0, je tudi
x= ln(y+p
y2−1) ali x= ln(y−p
y2−1) =−ln(y+p
y2−1).
Strogo naraˇsˇcajoˇca funkcija Ch−1 je torej podana z enaˇcbo Ar chy= ln(y+p
y2−1), y≥1.
3.2.4
Ker je funkcija th definirana na intervalu (−1,1) in velja cthx= 1/thx, je D(cth) ={1/t: 0< t <1}={t∈R:t >1}. Torej jeAr cthy= ln
ry+ 1
y−1, |y|>1.
3.4 Adicijski izreki
Adicijski izrek je relacija, ki izraˇza funkcijsko vrednost vsote s funkcijskimi vrednostmi posameznih sumandov. Za hiperboliˇcne funkcije veljajo podobni adicijski izreki kot za trigonometriˇcne funkcije. Veljajo namreˇc naslednji trije adicijski izreki [11]:
Izrek 2. ch(x+y) = chxchy+ shxshy Dokaz.
chxchy+ shxshy = ex+e−x
2 · ey+e−y
2 + ex−e−x
2 · ey −e−y 2
= (ex+y+e−x+y+ex−y+e−x−y) + (ex+y−e−x+y −ex−y+e−x−y) 4
= ex+y+e−x−y 2
= ch(x+y)
Izrek 3. sh(x+y) = shxchy+ chxshy Dokaz.
shxchy+ chxshy = ex−e−x
2 · ey +e−y
2 + ex+e−x
2 · ey −e−y 2
= (ex+y−e−x+y+ex−y −e−x−y) + (ex+y+e−x+y−ex−y −e−x−y) 4
= ex+y−e−x−y 2
= sh(x+y)
Izrek 4. th(x+y) = thx+ thy 1 + thxthy Dokaz.
thx+ thy 1 + thxthy =
shx chx+
shy chy 1 + shx
chx· shy chy
=
shxchy+ chxshy chxchy chxchy+ shxshy
chxchy
= sh(x+y)
ch(x+y) = th(x+y)
Iz teh treh izrekov s spremembo predznaka spremenljivke ysledijo naslednje relacije, ki jih zaradi podobnosti s prejˇsnjimi dokazi ne bomo dokazovali:
Posledica 5. ch(x−y) = chxchy−shxshy Posledica 6. sh(x−y) = shxchy−chxshy Posledica 7. th(x−y) = thx−thy
1−thxthy Iz izrekov za x=y sledi ˇse:
Posledica 8. ch 2x= ch2x+ sh2x Posledica 9. sh 2x= 2 shxchx Posledica 10. th 2x= 2 thx
1 + th2x
Ce sedaj prviˇˇ c seˇstejemo in drugiˇc odˇstejemo enakosti (2) in (5), dobimo ˇse Posledica 11. ch(x+y) + ch(x−y) = 2 chxchy
Posledica 12. ch(x+y)−ch(x−y) = 2 shxshy Ce seˇstejemo in odˇstejemo enakosti (3) in (6), dobimoˇ Posledica 13. sh(x+y) + sh(x−y) = 2 shxchy Posledica 14. sh(x+y)−sh(x−y) = 2 chxshy
Z uvedbo novih spremenljivk u=x+yin v =x−y preoblikujemo enakosti (11), (12), (13) in (14) v
Posledica 15. chu+ chv = 2 chu+v
2 chu−v 2 Posledica 16. chu−chv = 2 shu+v
2 shu−v 2 Posledica 17. shu+ shv = 2 shu+v
2 chu−v 2 Posledica 18. shu−shv = 2 ch u+v
2 shu−v 2
3.5 Odvodi
Odvod funkcije x7→f(x) je definiran z enakostjo f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x) h
in obstaja za tiste vrednosti spremenljivke x, v katere okolici je funkcija definirana in obstaja konˇcna limita
h→0lim
f(x+h)−f(x)
h . [1]
Ker so hiperboliˇcne funkcije sestavljene iz eksponentne funkcijex7→ex, bomo njihove odvode poiskali s pomoˇcjo odvoda te funkcije in pravil za odvajanje.
Funkcija x7→ex ima odvod
(ex)0 =ex v vsaki toˇcki x∈R, ker je
(ex)0 = lim
h→0
ex+h−ex
h = lim
h→0
ex(eh−1)
h .
Pri majhnih vrednostih se h le malo razlikuje od 1, zato zapiˇsemo eh = 1 + 1/m, kjer je pri majhnih vrednostih h ˇstevilo m veliko. Od tod lahko zapiˇsemo
h= log(1 + 1 m).
Potem je
eh−1
h = 1
mlog(1 + m1) = 1 log(1 + m1)m.
Ce gre torejˇ h→0, gre |m| → ∞in log(1 + 1/m)m →1. Torej je
h→0lim
eh−1 h = 1
in je torej res
(ex)0 =ex. [11]
Po pravilu za odvajanje sestavljenih funkcij (g ◦ f)0(x) = g0(f(x))· f0(x) dobimo ˇse odvod
(e−x)0 =e−x·(−1) =−e−x.
Sedaj poiˇsˇcimo odvode hiperboliˇcnih funkcij. Odvoda funkcij ch in sh sta precej enostavna:
(chx)0 =
ex+e−x 2
0
= ex−e−x
2 = shx in
(shx)0 =
ex−e−x 2
0
= ex+e−x
2 = chx.
Pri odvodu funkcij th in cth uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta (u/v)0 =
u0v−uv0
v2 in zvezo med chx in shx ch2x−sh2x= 1 in dobimo:
(thx)0 = shx
chx 0
= (shx)0chx−shx(chx)0
ch2x = ch2x−sh2x ch2x = 1
ch2x in
(cthx)0 = chx
shx 0
= (chx)0shx−chx(shx)0
sh2x = sh2x−ch2x
sh2x =− 1 sh2x, pri odvajanju funkcij sch in csh pa uporabimo pravilo (1/u)0 =−(u0/u2) in dobimo:
(schx)0 = 1
chx 0
=−shx
ch2x =−thx chx in
(cshx)0 = 1
shx 0
=−chx
sh2x =−cthx shx .
Ker jih bomo v nadaljevanju potrebovali, poiˇsˇcimo ˇse odvode inverznih hiper- boliˇcnih funkcij, torej area funkcij. Pri tem bomo uporabili pravilo za odva- janje naravnega logaritma (lnx)0 = 1/x in pravilo za odvajanje sestavljenih funkcij. Najprej odvajajmo funkcijo Ar sh.
(Ar shy)0 =
ln
y+p y2+ 1
0
= 1
y+p
y2+ 1 1 + y py2+ 1
!
= 1
y+p
y2+ 1 ·
py2+ 1 +y py2+ 1
= 1
py2+ 1 za y∈R. Na podoben naˇcin dobimo odvod funkcije Ar ch.
(Ar chy)0 = ln
y+p
y2−10
= 1
y+p
y2−1 1 + y py2−1
!
= 1
y+p
y2−1 ·
py2−1 +y py2−1
= 1
py2−1 za y≥1.
Poiˇsˇcimo zdaj odvod funkcije Ar th.
(Ar thy)0 = 1
2ln1 +y 1−y
0
= 1
2· 1−y
1 +y ·(1−y) + (1 +y) (1−y)2
= 2
2(1 +y)(1−y)
= 1
1−y2 za y∈(−1,1).
Pa ˇse odvod funkcije Ar cth.
(Ar cthy)0 = 1
2lny+ 1 y−1
0
= 1
2 · y−1
y+ 1 · (y−1)−(y+ 1) (y−1)2
= −2
2(y+ 1)(y−1)
= 1
(1 +y)(1−y)
= 1
1−y2 za |y|>1.
3.6 Integrali
V prejˇsnjem razdelku smo imeli dano funkcijo in iskali njen odvod. V in- tegralskem raˇcunu pa iˇsˇcemo funkcijo, ki jo moramo odvajati, da dobimo funkcijo. Integral funkcije je izraz
Z
f(x)dx =F(x) +C, C=konst.
in velja
F0(x) =f(x) ⇐⇒
Z
f(x)dx=F(x) +C. [1]
Kot pri iskanju odvodov hiperboliˇcnih funkcij si tudi pri integriranju teh po- magamo z integralom eksponentne funkcije.
Ker velja
(ex)0 =ex, velja tudi
Z
exdx=ex+C.
In ker velja
(e−x)0 =−e−x, velja tudi
− Z
e−xdx=e−x+C oziroma
Z
e−xdx=−e−x+C.
Z upoˇstevanjem tega in pravil integriranja [10] najprej poiˇsˇcemo integrala hiperboliˇcnega sinusa in kosinusa.
Z
shx dx=
Z ex−e−x
2 dx= 1 2
Z
exdx− Z
e−xdx
= 1
2 ex+e−x +C, in je torej
Z
shx dx = chx+C.
Z
chx dx =
Z ex+e−x
2 dx= 1 2
Z
exdx+ Z
e−xdx
= 1
2 ex−e−x +C, zato je
Z
chx dx= shx+C.
Pri integriranju hiperboliˇcnega tangensa in kotangensa si pomagamo s pra- vilom
Z f0(x)
f(x) dx= ln|f(x)|+C in dobimo
Z
thx dx =
Z shx
chxdx= ln|chx|+C in
Z
cthx dx=
Z chx
shxdx= ln|shx|+C
Poiˇsˇcimo sedaj integral funkcije hiperboliˇcni sekans.
Z
schx dx=
Z dx chx =
Z 2dx ex+e−x = 2
Z e−xdx 1 +e−2x Na tem mestu uporabimo substitucijo
t =e−x, dt=−e−xdx, dx=−(dt/t) (3.7) in dobimo
Z
schx dx=−2
Z dt 1 +t2. Z upoˇstevanjem pravila
Z dx
1 +x2 = arctgx+C dobimo
Z
schx dx=−2 arctgt+C in konˇcno
Z
schx dx=−2 arctge−x+C.
Podobno se lotimo ˇse integrala hiperboliˇcnega kosekansa.
Z
cshx dx=
Z dx shx =
Z 2dx ex−e−x = 2
Z e−xdx 1−e−2x Ponovno uporabimo substitucijo (3.7) in dobimo
Z
cshxdx=−2
Z dt 1−t2. Ker velja
Z dt 1−t2 =
1 2ln
1+t1−t
+C za|t|<1
1 2ln
1+tt−1
+C za|t|>1 , dobimo na koncu
Z
cshx dx=−ln
1 +e−x 1−e−x
+C.
3.7 Razvoji v potenˇ cne vrste
Zvezno funkcijo ene spremenljivke f(x), ki je v okolici toˇcke x = a neskon- ˇ
cnokrat odvedljiva, lahko zapiˇsemo v obliki potenˇcne vrste kot f(a+h) = f(a) + h
1!f0(a) + h2
2!f00(a) +. . .+ hn
n!f(n)(a) +Rn (3.8) Ta formula se imenujeTaylorjeva vrsta, ˇclenRnpa je ostanek vrste, definiran kot razlika med f(a+h) in izrazom
f(a) + h
1!f0(a) + h2
2!f00(a) +. . .+hn
n!f(n)(a) in ga izraˇcunamo kot
Rn = hn+1
(n+ 1)!f(n+1)(a+ϑh), 0< ϑ <1.
Formula (3.8) se za a = 0 inh=x glasi f(x) = f(0) + x
1!f0(0) +x2
2!f00(0) +. . .+ xn
n!f(n)(0) +Rn, (3.9) ostanek Rn pa ima zdaj obliko
Rn= xn+1
(n+ 1)!f(n+1)(ϑx), 0< ϑ <1.
Tudi potenˇcne vrste hiperboliˇcnih funkcij bomo razvili s pomoˇcjo razvoja potenˇcne vrste eksponentne funkcije f(x) = ex.
Zaporedni odvodi funkcije ex so
f0(x) =f00(x) = . . .=f(n)(x) =ex, torej je
f(0) =f0(0) =f00(0) =. . .=f(n)(0) = 1.
Taylorjeva vrsta (3.9) se v tem primeru glasi ex = 1 + x
1!+ x2
2! +. . .+xn
n! +Rn.
Ostanek Rn lahko zapiˇsemo kot Rn = xn+1
(n+ 1)!eϑx =eϑxx 1 ·x
2 · x
3 ·. . .· x n+ 1.
Ce je leˇ n dovolj velik, lahko postane Rn tako majhen, kot ˇzelimo. Naj bo sedaj m najveˇcje celo ˇstevilo, ki je manjˇse od |x|. Produkt
eϑxx 1 · x
2 ·x
3 ·. . .· x m
ima neko konˇcno vrednost, vsi nadaljni faktorji vRn m+1x · m+2x ·. . .· n+1x pa so absolutno manjˇsi od 1. Zato velja
n→∞lim Rn= 0.
Torej je vrsta
ex= 1 + x 1! +x2
2! +x3
3! +. . .=
∞
X
n=0
xn n!
absolutno konvergentna za vsak x. [11]
Razvijmo sedaj v vrsti funkciji sh in ch.
shx = ex−e−x 2
= 1 2
∞
X
n=0
xn n! −
∞
X
n=0
(−x)n n!
!
= 1 2
1−1 + x
1! −−x 1! + x2
2! − x2 2! +x3
3! − (−x)3 3! +. . .
= 1 2
2· x
1!+ 2·x3
3! + 2·x5
5! + 2· x7 7! +. . .
=x+x3 3! +x5
5! + x7 7! +. . .
=
∞
X
n=0
x2n+1 (2n+ 1)!
chx = ex+e−x 2
= 1 2
∞
X
n=0
xn n! +
∞
X
n=0
(−x)n n!
!
= 1 2
1 + 1 + x
1!+ −x 1! +x2
2! +(−x)2 2! +x3
3! +(−x)3 3! +. . .
= 1 2
2 + 2· x2
2! + 2·x4
4! + 2·x6 6! +. . .
= 1 + x2 2! +x4
4! + x6 6! +. . .
=
∞
X
n=0
x2n (2n)!
Obe vrsti sta absolutno konvergentni za vsak realen x.
Kako se v vrsto razvijeta funkciji th in cth zaradi kompleksnosti ne bomo izpeljevali, vseeno pa ju zapiˇsimo [10]:
thx=x−x3 3 +2x5
15 −17x7
315 +. . .+22n(22n−1)B2nx2n−1
(2n)! +. . . −π
2 < x < π 2 in
cthx= 1 x +x
3 − x3
45+ 2x5
945 −. . .+ 22nB2nx2n−1
(2n)! +. . . −π < x < π .
Z Bk so oznaˇcena Bernoullijeva ˇstevila, ki so definirana s pomoˇcjo razvoja x
ex−1 =B0+B1x
1! +B2x2
2! +B3x3
3! +. . .=
∞
X
n=0
Bnxn
n! za|x|<2π .
Poglavje 4
Analogija s trigonometriˇ cnimi funkcijami
4.1 Trigonometriˇ cne funkcije
Trigonometriˇcne funkcije prav tako kot hiperboliˇcne pripadajo transcendent- nim funkcijam in so tesno povezane s stoˇznicami. Temeljijo na presekih s kroˇznimi loki kroˇznicex2+y2 = 1.
Za ostre kote so definirane v pravokotnem trikotniku s hipotenuzoc, nasproti leˇzeˇco katetoa in prileˇzno kateto b (slika 4.1):
sinus: sinα = ac kosinus: cosα = bc tangens: tgα= ab kotangens: ctgα= ab sekans: scα= cb kosekans: cscα = ac
Trigonometriˇcne funkcije pa lahko definiramo tudi na enotskem krogu, kjer merimo kot α od polmeraOA do pomiˇcnega polmeraOC v nasprotni smeri
Slika 4.1: Pravokotni trikotnik.
vrtenja urinega kazalca (slika 4.2). Z enotskim krogom (OA=R= 1) lahko funkcije opredelimo kot:
sinus: sinα =BC kosinus: cosα =OB tangens: tgα=AD kotangens: ctgα=EF sekans: scα=OD kosekans: cscα =OF
Slika 4.2: Enotski krog.
Za tako definirane trigonometriˇcne funkcije lahko argument predstavlja sre- diˇsˇcni kot ali pa tudi ploˇsˇcino kroˇznega izsekap, ki pripada srediˇsˇcnemu kotu 2α, saj za R = 1 velja
p= 1
2R2·2α=α.
