UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA
MAJA HLADNIK
DISKRETNE HARMONI ˇ CNE IN ANALITI ˇ CNE FUNKCIJE
DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA
DVOPREDMETNI U ˇCITELJ
MAJA HLADNIK
Mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR
DISKRETNE HARMONI ˇ CNE IN ANALITI ˇ CNE FUNKCIJE DIPLOMSKO DELO
LJUBLJANA, 2017
Zahvala
Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju za hitro odzivnost, napotke in strokovno pomoˇc pri pisanju diplomskega dela.
Zahvaljujem se tudi svoji druˇzini in prijateljem za vso podporo v ˇcasu ˇstudija. Ana in Maˇsa, hvala za nepozabne pogovore.
Iskrena hvala starˇsem, v ˇzivljenju so mi omogoˇcili vse, kar bi si lahko ˇzelela.
Povzetek
V diplomskem delu bomo definirali harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije na diskretnih objek- tih. Pri tem bomo izhajali iz definicij in izrekov, ki veljajo za obiˇcajne harmoniˇcne in holo- morfne funkcije. Zato bomo v diplomskem delu najprej definirali harmoniˇcne funkcije ter pokazali, da je povpreˇcna vrednost harmoniˇcne funkcije na poljubni krogli enaka vrednosti te funkcije v srediˇsˇcu krogle. Nato bomo definirali holomorfne funkcije in dokazali Morerov izrek. Definirali bomo osnovne pojme iz teorije grafov, v zadnjem delu diplomskega dela pa bomo definirali diskretne harmoniˇcne funkcije in diskretne analitiˇcne funkcije. Za oboje bomo navedli primere.
Kljuˇcne besede: harmoniˇcne funkcije, izrek o povpreˇcni vrednosti, holomorfne funkcije, Morerov izrek, grafi, diskretne harmoniˇcne funkcije, diskretne analitiˇcne funkcije.
Abstract
In this diploma thesis, we will introduce discrete harmonic and analytic functions. Defi- nitions will be based on definitions and theorems, known for harmonic and holomorphic functions. That is why we will start the diploma thesis by defining harmonic functions.
We will show that the average value of a harmonic function over a ball is equal to the value of this function at the center of the ball. We will then define holomorphic functions and prove Morera’s theorem. We will define some basic terms in graph theory, and in the last part of the thesis, we will define discrete harmonic and analytic functions. We will give examples for both.
Keywords: harmonic functions, Mean value theorem, holomorphic functions, Morera’s theorem, graphs, discrete harmonic functions, discrete analytic functions.
Kazalo
1 Uvod 1
2 Harmoniˇcne in holomorfne funkcije 2
2.1 Harmoniˇcne funkcije . . . 2
2.2 Holomorfne funkcije . . . 4
3 Grafi 10 3.1 Osnovni pojmi . . . 10
3.2 Primeri . . . 11
4 Diskretne harmoniˇcne funkcije 12 4.1 Definicija . . . 12
4.2 Primeri . . . 13
4.2.1 Primer 1 . . . 13
4.2.2 Primer 2 . . . 13
4.2.3 Primer 3 . . . 14
5 Diskretne analitiˇcne funkcije 16 5.1 Definicija . . . 16
5.2 Primeri . . . 18
5.2.1 Primer 1 . . . 18
5.2.2 Primer 2 . . . 18
5.2.3 Primer 3 . . . 19
6 Sklep 21 7 Literatura 22
Kazalo slik
1 Dokaz Morerovega izreka 1 . . . 82 Dokaz Morerovega izreka 2 . . . 9
3 Neusmerjen graf . . . 11
4 Primer funkcije na grafu . . . 13
5 Primer funkcije na uteˇzenem grafu . . . 14
6 Vezje z enakimi upori . . . 14
7 Graf elektriˇcnega vezja . . . 15
8 Preprosta sklenjena pot . . . 16
1 Uvod
V matematiki sta diskretna in zvezna matematika dve podroˇcji, ki se med seboj precej razlikujeta. Podroˇcji sta se razvili loˇceno drug od drugega in reˇsujeta razliˇcne probleme.
Zvezna matematika prouˇcuje zvezne strukture, njeno pomembno podroˇcje je analiza. Ker analiza med drugim prouˇcuje diferencialni in integralni raˇcun, limito ter konvergenco, je uporaba zvezne matematike razˇsirjena. Diskretna matematika prouˇcuje objekte, ki lahko zavzamejo samo doloˇcene vrednosti in niso zvezni. Takˇsni objekti so naravna ˇstevila in grafi. ˇSe posebej pri novejˇsih znanostih se diskretni modeli vse pogosteje uporabljajo.
Opazimo pa lahko, da obstajajo pri razliˇcnih vedah podroˇcja, kjer so nekateri objekti zvezni, drugi pa diskretni. Naravne pojave v fiziki velikokrat opiˇsemo z diferencialnimi enaˇcbami, klasiˇcno gledano je tudi prostor-ˇcas zvezna struktura. V tej zvezni strukturi prostora-ˇcasa imamo razliˇcne diskretne objekte, na primer molekule, atome in elemen- tarne delce, in ˇce opazujemo konˇcen del prostora-ˇcasa, vidimo le konˇcno ˇstevilo dogodkov.
Preplet diskretnih in zveznih objektov najdemo tudi pri ekonomiji, kjer je linearno pro- gramiranje matematiˇcna metoda, ki meji med diskretno in zvezno matematiko. Za vede, kjer prihaja do prepleta diskretnih in zveznih objektov, bi bilo zato smiselno definirati pojme na diskretnih strukturah, ki jih sicer sreˇcamo v zvezni matematiki.
V diplomskem delu bomo predstavili definicije harmoniˇcnih in analitiˇcnih funkcij na diskretnih objektih, grafih in kvadratnih mreˇzah. Pri tem bomo izhajali iz definicij in izrekov, ki veljajo za obiˇcajne harmoniˇcne in holomorfne funkcije.
V diplomskem delu bomo zato najprej definirali harmoniˇcne funkcije. Pokazali bomo, da je povpreˇcna vrednost harmoniˇcne funkcije na poljubni krogli enaka vrednosti te funkcije v srediˇsˇcu krogle. Nato bomo definirali holomorfne funkcije in dokazali Morerov izrek.
Sledilo bo poglavje, v katerem bomo definirali nekaj osnovnih pojmov iz teorije grafov.
Te definicije bomo potrebovali kasneje pri definiciji in primerih diskretnih harmoniˇcnih in analitiˇcnih funkcij.
V zadnjem delu bomo definirali diskretne harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije ter navedli primere zanje.
1
2 Harmoniˇ cne in holomorfne funkcije
V tem poglavju bomo definirali harmoniˇcne in holomorfne funkcije. V zaˇcetnem delu poglavja bomo definirali pojme, ki jih bomo potrebovali kasneje pri definicijah in izrekih.
Povzeto po [5], [7] in [16].
Naj bostaa= (a1, a2, . . . , an) inb = (b1, b2, . . . , bn) toˇcki v prostoru Rn. Razdalja med tema dvema toˇckama je v Rn definirana kot
d(a, b) = ||a−b||=p
(a1−b1)2 + (a2−b2)2+. . .+ (an−bn)2.
Odprta krogla s srediˇsˇcem v a in polmerom r je K(a, r) = {x ∈ Rn;||x−a|| < r}.
Zaprta krogla s srediˇsˇcem v a in polmerom r je K(a, r) ={x∈Rn;||x−a|| ≤r}. Sfera s srediˇsˇcem v a in polmerom r je S(a, r) ={x∈Rn;||x−a||=r}.
Na kompleksno ravnino lahko gledamo kot naR2. Razdalja med toˇckama z1 =x1+iy1 in z2 =x2+iy2 v kompleksni ravnini je enaka razdalji med toˇckama (x1, y1) in (x2, y2) v R2. Razdaljo med toˇckama z1 inz2 v kompleksni ravnini zato definiramo kot
d(z1, z2) =|z1−z2|=p
(x2−x1)2+ (y2−y1)2.
Definiciji odprtega in zaprtega kroga sledita iz definicij odprte in zaprte krogle, ˇce upoˇstevamo, da so toˇcke iz kompleksne ravnine, in raˇcunamo razdaljo med toˇckami tako, kot smo jo definirali za toˇcke iz kompleksne ravnine. Odprt krog s polmeromrokrog toˇcke a definiramo kot D(a, r) ={z ∈C;|z−a|< r}, zaprt krog s polmerom r okoli toˇcke a pa je D(a, r) ={z ∈C;|z−a| ≤r}.
Naj boD⊂C. Poloˇzaj toˇck glede na to mnoˇzico definiramo na naslednji naˇcin. Toˇcka a ∈ D je notranja toˇcka mnoˇzice D, ˇce obstaja , za katerega je D(a, ) ⊂ D. Toˇcka b ∈ C je zunanja toˇcka D, ˇce je b notranja toˇcka mnoˇzice C\D. Toˇcka c ∈ C je robna toˇcka mnoˇzice D, ˇce krog D(c, ) za vsak >0 seka tako D kot C\D. ˇCe je vsaka toˇcka a ∈ D notranja, reˇcemo, da je D odprta. ˇCe mnoˇzica F ⊂ C vsebuje vse svoje robne toˇcke, je zaprta. ˇCe odprte mnoˇziceD⊂Cne moremo napisati kot disjunktno unijo dveh nepraznih odprtih mnoˇzic, je D povezana mnoˇzica.
Ce jeˇ D⊂Rn odprta mnoˇzica inf :D→Rn takˇsna preslikava, da obstajajo parcialni odvodi v vseh toˇckah D ter so ti odvodi zvezni, je funkcija f zvezno odvedljiva funkcija oziroma funkcija razreda C1. ˇCe obstajajo v vsaki toˇcki D zvezni parcialni odvodi do reda k, je funkcija k-krat zvezno odvedljiva oziroma razreda Ck. Neskonˇcnokrat zvezno odvedljive funkcije na D so razreda C∞.
Preslikavi γ : [0,1] → C reˇcemo pot. Pot je sklenjena, ˇce velja γ(0) = γ(1). Pot je gladka, ˇce je γ zvezno odvedljiva, ˇce to velja povsod, razen v konˇcno mnogo toˇckah, reˇcemo, da je pot kosoma gladka.
2.1 Harmoniˇ cne funkcije
V tem delu bomo zapisali definicijo harmoniˇcnih funkcij. Dokazali bomo tudi izrek, na podlagi katerega bomo v nadaljevanju diplomskega dela zapisali definicijo diskretnih har- moniˇcnih funkcij. Glavni viri literature za ta del so [6], [8], [3], [16], [14], [11] in [13].
2
Definicija 1. Naj boDodprta podmnoˇzicaRn. Realna ali kompleksna funkcijaf ∈ C2(D) je harmoniˇcna na D, ˇce zadoˇsˇca Laplaceovi enaˇcbi
∆f =
n
X
1
∂2f
∂x2j = 0.
Primer: Funkcija f(x, y) =x2−y2+ 2y je harmoniˇcna naR2.
Preverimo, ˇce zadoˇsˇca Laplaceovi enaˇcbi. Ker v Laplaceovo enaˇcbo vstavljamo druge parcialne odvode, si jih najprej izraˇcunajmo:
∂f
∂x = 2x,
∂2f
∂x2 = 2,
∂f
∂y =−2y+ 2,
∂2f
∂y2 =−2.
Odvode vstavimo v Laplaceovo enaˇcbo:
∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 = 2 + (−2) = 0.
Ker f zadoˇsˇca Laplaceovi enaˇcbi, je funkcija x2 −y2+ 2y harmoniˇcna.
Harmoniˇcne funkcije imajo to lastnost, da je vrednost funkcije v srediˇsˇcu krogle enaka povpreˇcni vrednosti na poljubni krogli. Povpreˇcna vrednost na povrˇsini krogle je enaka tudi povpreˇcni vrednosti funkcije f v notranjosti krogle. Temu reˇcemo izrek o povpreˇcni vrednosti.
Izrek 1 (Izrek o povpreˇcni vrednosti). Naj bo K = K(a, r) krogla s srediˇsˇcem v a in polmerom r, ki je popolnoma vsebovana na odprti mnoˇzici D ⊂ Rn. Ce jeˇ f : D → R harmoniˇcna funkcija, je vrednost te funkcije v srediˇsˇcu krogle, f(a), enaka povpreˇcni vrednosti f na povrˇsini krogle:
f(a) = 1 V ol(K)
Z
K
f(x)dx= 1 V ol(∂K)
Z
∂K
f(x)dS(x).
Pred dokazom uvedimo naslednje oznake.
∇ (nabla) je operator vektorskega odvajanja:
∇= ∂
∂x1(a), ∂
∂x2(a), . . . , ∂
∂xn(a)
. Gradient funkcije f v toˇcki a je
∇f(a) = ∂f
∂x1
(a), ∂f
∂x2
(a), . . . , ∂f
∂xn
(a)
.
Naj boK =K(a, r) krogla s srediˇsˇcem vain polmeromr inK1 =K(0,1) ter ustrezna robova krogel ∂K =∂K(a, r), ∂K1 =∂K(0,1).
3
Dokaz. Definirajmo funkcijo
A(r) = 1 V ol(∂K)
Z
∂K
f(x)dS(x).
Toˇcko x z roba krogle opiˇsemo z enotskim vektorjem kotx=a+rn. Pri tem jen enotski vektor, ki kaˇze iz srediˇsˇca krogle protix. Zdaj lahko funkcijo A(r) prepiˇsemo v
A(r) = 1 V ol(∂K1)
Z
∂K1
f(a+rn)dS(n).
Pokazati ˇzelimo, da je odvod funkcije A(r) po r enak 0. Zato zapiˇsemo odvod funkcije A(r):
A0(r) = 1 V ol(∂K1)
Z
∂K1
∇f(a+rn)·ndS(n).
Oznaˇcimo s cvolumen enotske krogle. Volumen poljubne krogle je torejB(a, r) = crn, za sfero pa velja ∂B(a, r) =cnrn−1. Zdaj lahko zapiˇsemo
A0(r) = 1 cnrn−1
Z
∂K
∇f(x)· x−a
r dS(x) = 1 cnrn−1
Z
∂K
∇f(x)·ν(x)dS(x).
Po Stokesovem izreku dobimo:
A0(r) = 1 cnrn−1
Z
∂K
∂f
∂ν(x)dS(x) = 1 cnrn−1
Z
K
∆f(x)dx.
Ker je funkcija harmoniˇcna, velja ∆f(x) = 0. Zato je A0(r) = 0 in torej A(r) konstanta.
Zdaj izraˇcunamo limito A(r) = lim
r→0A(r) = lim
r→0
1 V ol(∂K)
Z
∂K(a,r)
f(x)dS(x) =f(a).
2.2 Holomorfne funkcije
V tem delu bomo napisali definicijo holomorfnih funkcij. Najprej bomo definirali ˇse nekaj pojmov, ki jih nismo definirali na zaˇcetku poglavja. Zapisali bomo tudi izreka, s pomoˇcjo katerih laˇzje dokaˇzemo, da je neka funkcija holomorfna. Povzeto po [16], [15], [20] in [12].
Definicija 2. Kompleksna funkcija je preslikava f :D→C, pri ˇcemer jeD ⊂C.
Naj boz =x+iyin naj bosta u, v :D→Rrealni funkciji na mnoˇzici D. Kompleksno funkcijo f : D → C lahko zapiˇsemo kot f(z) = f(x+iy) = u(x, y) +iv(x, y). Ker je D⊂C, mnoˇzico D razumemo kot podmnoˇzico R2, kompleksne funkcije pa kot preslikave f :D→R2.
Definicija 3. Naj bo f kompleksna funkcija, definirana na odprti mnoˇzici D. Naj bo a∈D. ˇCe obstaja limita
z→alim
f(z)−f(a) z−a ,
jo imenujemo kompleksni odvod funkcijef v toˇckia. Oznaka kompleksnega odvoda je f0(a).
4
Naj bo D ⊂ C odprta mnoˇzica. Podobno, kot smo zapisali na zaˇcetku poglavja za funkcije realnih spremenljivk, reˇcemo, da je kompleksna funkcija f = u+iv razreda Ck, ˇce obstajajo vsi parcialni odvodi funkcij uinv do vkljuˇcno redak in so zvezni. Povedano drugaˇce je kompleksna funkcija f =u+iv razreda Ck, ˇce stau in v razredaCk na D.
Zdaj lahko zapiˇsemo definicijo holomorfnih funkcij.
Definicija 4. Naj bo D ⊂ C odprta mnoˇzica. ˇCe je kompleksna funkcija f : D → C razreda C1 kompleksno odvedljiva v vsaki toˇcki z ∈ D, reˇcemo, da je funkcija f holo- morfna na D.
Izrek 2. Kompleksna funkcija razredaC1 je holomorfna natanko tedaj, ko zadoˇsˇca Cauchy- Riemannovima enaˇcbama
∂u
∂x = ∂v
∂y,
∂u
∂y =−∂v
∂x.
Dokaz. Naj bo f(z) = f(x +iy) = u(x, y) + iv(x, y) holomorfna funkcija. Ker je f holomorfna, obstaja njen kompleksen odvod v vsaki toˇcki z0 = x0 +iy0 ∈ D. Torej za vsak z0 ∈D obstaja limita
z→zlim0
f(z)−f(z0)
z−z0 = lim
h→0
f(z0+h)−f(z0)
h ,
kjer je h ∈ C. Ta limita obstaja ne glede na smer pribliˇzevanja z toˇcki z0. ˇCe je z = z0+h1 =x0+iy0+h1 = (x0+h1) +iy0, h1 ∈R, lahko reˇcemo, da sez vodoravno pribliˇzuje z0 in obstaja limita
lim
h1→0
f(z0+h1)−f(z0)
h1 .
Ce jeˇ z =z0+ih2 =x0+iy0+ih2 =x0+i(y0+h2), h2 ∈R, lahko reˇcemo, da seznavpiˇcno pribliˇzujez0 in obstaja limita
hlim2→0
f(z0+ih2)−f(z0)
h2 .
Ti dve limiti morata biti enaki. Najprej preoblikujmo vsako izmed limit.
lim
h1→0
u(x0+h1, y0) +iv(x0 +h1, y0)−u(x0, y0)−iv(x0, y0)
h1 =
hlim1→0
u(x0+h1, y0)−u(x0, y0)
h1 +i lim
h1→0
v(x0+h1, y0)−v(x0, y0)
h1 =
∂u
∂x(x0, y0) +i∂v
∂x(x0, y0), lim
h2→0
u(x0, y0+h2) +iv(x0, y0+h2)−u(x0, y0)−iv(x0, y0)
ih2 =
hlim2→0
u(x0, y0+h2)−u(x0, y0)
ih2 + lim
h2→0
iv(x0, y0+h2)−iv(x0, y0)
ih2 =
−i∂u
∂y(x0, y0) + ∂v
∂y(x0, y0).
5
Ker morata biti limiti enaki, velja
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0),
∂v
∂x(x0, y0) = −∂u
∂y(x0, y0).
Ce je kompleksna funkcija holomorfna, torej res zadoˇsˇˇ ca Cauchy-Riemannovima enaˇcbama.
Pokaˇzimo ˇse obrat izreka. Predpostavimo, da kompleksna funkcija razreda C1 zadoˇsˇca Cauchy-Riemannovima enaˇcbama. Torej sta po predpostavki u inv diferenciabilni.
Zanima nas, ali za vsako toˇcko z0 ∈D obstaja limita
h→0lim
f(z0+h)−f(z0)
h .
Upoˇstevali bomo, da je h=h1+ih2. Izraˇcunajmo najprej razliko f(z0+h)−f(z0) =
=u(x0+h1, y0+h2) +iv(x0+h1, y0+h2)−u(x0, y0)−iv(x0, y0) =
=u(x0+h1, y0+h2)−u(x0, y0) +iv(x0+h1, y0 +h2)−iv(x0, y0) =
= ∂u
∂x(x0, y0)h1+∂u
∂y(x0, y0)h2+o1+i ∂v
∂x(x0, y0)h1+∂v
∂y(x0, y0)h2+o2
=
= ∂u
∂x(x0, y0)(h1+ih2) + ∂u
∂y(x0, y0)(h2−ih1) +o1+io2.
Pri tem smo upoˇstevali, da sta u in v diferenciabilni, ter v zadnjem koraku, da funkcija zadoˇsˇca Cauchy-Riemannovima enaˇcbama. Po predpostavki velja limh→0 oi
|h| = 0, zato limita
h→0lim
∂u
∂x(x0, y0)(h1+ih2) + ∂u∂y(x0, y0)(h2−ih1) +o1+io2
h =
= lim
h→0
∂u
∂x(x0, y0)h+ ∂u∂y(x0, y0)(−ih) +o h
obstaja za vsakz0 ∈Din je enaka ∂u∂x(x0, y0)−i∂u∂y(x0, y0). Torej je funkcija holomorfna.
Primer: Funkcijaf(x, y) =y3−3x2y+i(x3−3xy2+17) je holomorfna. Preverili bomo, ali zadoˇsˇca Cauchy-Riemannovima enaˇcbama. Zapiˇsimo si najprej u(x, y) =y3−3x2y ter v(x, y) = x3−3xy2+ 17.
Izraˇcunajmo parcialne odvode
∂u
∂x =−6xy,
∂u
∂y = 3y2−3x2,
∂v
∂x = 3x2−3y2,
∂v
∂y =−6xy.
6
Vidimo, da velja ∂u∂x = ∂v∂y in ∂u∂y = −∂v∂x, torej kompleksna funkcija f zadoˇsˇca Cauchy- Riemannovima enaˇcbama, zato je holomorfna.
Definicija 5. V kompleksni ravniniC≡R2 ={(x, y)|x∈R, y ∈R}so linearni parcialni odvodi prvega reda, imenovani tudi Wirtingerjevi odvodi, definirani kot:
∂
∂z = 1 2
∂
∂x −i ∂
∂y
, ∂
∂z = 1 2
∂
∂x +i ∂
∂y
.
Ce smo parcialna odvodaˇ ∂z∂ in ∂¯∂z definirali na tak naˇcin, lahko zapiˇsemo parcialne odvode tudi za funkcijo f, in sicer kot
∂f
∂z = 1 2(∂f
∂x −i∂f
∂y) in ∂f
∂z¯ = 1 2(∂f
∂x +i∂f
∂y).
Ker je f(z) = u(x, x) +iv(x, y), lahko izraˇcunamo
∂f
∂z = 1 2
∂f
∂x +i∂f
∂y
=
= 1 2
∂(u+iv)
∂x +i∂(u+iv)
∂y
=
= 1 2
∂u
∂x +i∂v
∂x +i∂u
∂y +i2∂v
∂y
=
= 1 2
∂u
∂x −i∂u
∂y +i∂u
∂y − ∂u
∂x
= 0.
Pri zgornjem izraˇcunu smo upoˇstevali Cauchy-Riemannovi enaˇcbi in videli, da sta ekvivalentni enaˇcbi
∂f
∂z¯ = 0.
Glede na zgornje lahko zakljuˇcimo, da je f neodvisna od spremenljivke z. Zato tudi holomorfne funkcije vidimo kot funkcije ene kompleksne spremenljivke in ne kot funkcije dveh realnih spremenljivk.
Pokaˇzemo lahko, da so Wirtingerjevi odvodi komutativni, torej da velja
∂2
∂z∂z = ∂2
∂z∂z.
Trditev 1. Ce imaˇ f primitivno funkcijo F, je f holomorfna.
Dokaz. Naj bo F primitivna funkcija f. Za funkcijoF zapiˇsemo enaˇcbo ∂F∂z = 0. Ker je odvod te funkcije ˇze enak 0, velja tudi ∂z∂ (∂F∂z) = 0. Upoˇstevamo komutativnost Wirtinger- jevih odvodov in zapiˇsemo enaˇcbo ∂z∂(∂F∂z) = 0. Ker je F primitivna funkcija f, velja
∂F
∂z =f in po prejˇsnji enaˇcbi ∂f∂z = 0. Torej je f holomorfna.
Izrek 3 (Morerov izrek). Naj bo D ⊂ C odprta mnoˇzica in f funkcija razreda C1 na D.
Ce za vsako (kosoma) gladko sklenjeno potˇ γ v D velja Z
γ
f(z)dz = 0,
je funkcija f holomorfna na D in ima na D primitivno funkcijo.
7
Dokaz. Naj bo f razreda C1 na D. Naj bo integral za vsako kosoma gladko sklenjeno pot γ enak 0. Izberemo si poljubno toˇcko z0 ∈ D. Za katero koli toˇcko w v D naj bo γ : [0,1] → D takˇsna (kosoma) gladka pot, da bo veljalo γ(0) = z0 in γ(1) = w. Naj bo τ : [0,1]→D druga (kosoma) gladka pot takˇsna, da veljaτ(0) =z0 in τ(1) =w.
Slika 1: Dokaz Morerovega izreka 1 Najprej preverimo, da je integral
Z
γ
f(z)dz neodvisen od poti.
Pot, ki poteka poγ in v obratni smeri poτ (torej poτ−1), je (kosoma) gladka sklenjena pot v D, oznaˇcimo jo z γτ−1. Po predpostavki zato velja
Z
γτ−1
f(z)dz = Z
γ
f(z)dz+ Z
τ−1
f(z)dz =
= Z
γ
f(z)dz− Z
τ
f(z)dz = 0.
Odtod sledi enakost
Z
γ
f(z)dz = Z
τ
f(z)dz.
Torej zgornji integral ni odvisen od poti, ampak samo od zaˇcetne toˇckez0 in konˇcne toˇcke w.
Izberemo si dovolj majhen h, da bo zaprt krog D(w,|h|) v celoti vsebovan vD. Z γw
oznaˇcimo poljubno gladko pot, ki se zaˇcne vz0 in konˇca vw. Pot, ki se zaˇcne vz0 in konˇca v toˇckiw+h, oznaˇcimo z γw+h. Pot z zaˇcetno toˇcko win konˇcno toˇcko w+h oznaˇcimo z γ. Predpostavimo ˇse, da so tiri poti γw, γw+h in γ povsod, razen v krajiˇsˇcih, disjunktni.
8
Slika 2: Dokaz Morerovega izreka 2 Definirajmo funkcijo
F(w) = Z
γw
f(z)dz.
Prej smo pokazali, da je ta funkcija neodvisna od izbire poti γw. Pokazati ˇzelimo, da je F0(w) = f(w).
F(w+h)−F(w) = Z
γw+h
f(z)dz− Z
γw
f(z)dz =
= Z w+h
z0
f(z)dz− Z w
z0
f(z)dz =
= Z w+h
z0
f(z)dz+ Z z0
w
f(z)dz =
= Z w+h
w
f(z)dz = Z
γ
f(z)dz
Ker γ poteka od toˇcke w do toˇcke w+h, lahko uvedemo novo spremenljivko in dobimo F(w+h)−F(w)
h = 1
h Z 1
0
f(w+th)hdt= Z 1
0
f(w+th)dt.
To upoˇstevamo pri raˇcunanju odvoda funkcije F(w).
F0(w) = lim
h→0
F(w+h)−F(w)
h =f(w)
FunkcijaF je torej primitivna funkcija f, zato po prejˇsnji trditvi velja, da jef holomorfna naD.
9
3 Grafi
V nadaljevanju diplomskega dela bomo definirali diskretne harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije.
Pri tem bodo nekateri izmed primerov podani na grafih. Zato bomo v tem poglavju opre- delili nekatere pojme iz teorije grafov. Glavni viri literature za to poglavje so [10], [17], [18] in [19].
3.1 Osnovni pojmi
Definicija 6. Grafje urejen par dveh nepraznih mnoˇzic in ga oznaˇcimo zG= (V, E). Pri tem z V oznaˇcimo mnoˇzico vozliˇsˇc, z E pa mnoˇzico povezav grafa. Povezavi med vozliˇsˇcema i in j lahko doloˇcimo tudi dolˇzino, ki jo oznaˇcimo z lij > 0. Taki trojici G = (V, E, l) reˇcemo uteˇzeni graf.
GrafGje enostaven, ˇce nima zank ali vzporednih povezav. Povezavi reˇcemo zanka, ˇce sta njeno zaˇcetno in konˇcno vozliˇsˇce isto vozliˇsˇce. Povezavi sta vzporedni, ˇce povezujeta isto dvojico vozliˇsˇc.
Definicija 7. Mnoˇzico vseh sosedov nekega vozliˇsˇcav, torej mnoˇzico vseh vozliˇsˇc, za katere obstaja povezava do vozliˇsˇca v, oznaˇcimo z N(v) in ji reˇcemo soseˇsˇcina oz. okolica vozliˇsˇca v v grafu G. Stopnja vozliˇsˇca v je definirana kot moˇc soseˇsˇcine vozliˇsˇca v, torej deg(v) =|N(v)|.
Zaporedju vozliˇsˇc (v0, v1, . . . , vn), kjer za poljuben 1 ≤i ≤n velja, da je vozliˇsˇce vi−1
sosedno vozliˇsˇcu vi, reˇcemo sprehod. Loˇcimo veˇc vrst sprehodov. Ce so vse povezaveˇ sprehoda in vsa vozliˇsˇca sprehoda paroma razliˇcna, tak sprehod imenujemo pot. ˇCe je konˇcno vozliˇsˇcevn enako zaˇcetnemu vozliˇsˇcu v0, torej ˇce smo se na koncu sprehoda vrnili v zaˇcetno vozliˇsˇce, takemu sprehodu reˇcemo obhod. Obhod, pri katerem ne gremo skozi nobeno, razen zaˇcetno, vozliˇsˇce dvakrat, je cikel.
Definicija 8. Graf G je povezan, ˇce lahko pridemo od poljubnega vozliˇsˇca do katerega koli drugega vozliˇsˇca preko povezav. Graf je k-povezan, ˇce je povezan, ko mu odstranimo manj kot k vozliˇsˇc.
Definicija 9. Usmerjen grafje parG= (V, E), pri ˇcemer V oznaˇcuje mnoˇzico vozliˇsˇc, E pa mnoˇzico usmerjenih povezav, to je povezav, ki imajo tudi orientacijo. Te povezave imenujemo tudi loki. Vsak lok usmerjenega grafa ima rep te∈V in glavo he ∈V. Lok, ki je usmerjen od he do te, oznaˇcimo kot e= (he, te).
Vozliˇsˇcu v ∈ V reˇcemo izvor, ˇce so vse povezave, katerih eno krajiˇsˇce je v, usmerjene stran od vozliˇsˇca. Povedano drugaˇce, nobena povezava ni usmerjena tako, da bi imela rep v vozliˇsˇcu v. Vozliˇsˇcu v ∈ V reˇcemo ponor, ˇce so vse povezave, katerih eno krajiˇsˇce je v, usmerjene proti vozliˇsˇcu v. Z drugimi besedami, nobena povezava ni usmerjena tako, da bi imela glavo v vozliˇsˇcu v.
Vsakemu vozliˇsˇcu usmerjenega grafa lahko doloˇcimo vhodno in izhodno stopnjo. Vhodna stopnja je definirana kot ˇstevilo vseh povezav, ki se v tem vozliˇsˇcu konˇcajo. Izhodna stopnja vozliˇsˇca pa je ˇstevilo povezav, ki se v tem vozliˇsˇcu zaˇcnejo. Vhodno stopnjo vozliˇsˇca v oznaˇcimo zdeg−(v), izhodno pa z deg+(v).
10
Stopnja vozliˇsˇcav je d(v) = |δv|2, kjer je δv ∈RE ter definiramo
(δv)e=
1, ˇce te =v,
−1, ˇce he=v, 0 sicer.
Definicija 10. Graf G = (V, E) je ravninski, ˇce lahko mnoˇzici vozliˇsˇc in povezav na ravnini upodobimo tako, da se povezave ne sekajo. V ravninski upodobitvi grafa maksimalna povezana obmoˇcja ravnine znotraj povezav imenujemo lica.
Definicija 11. Ce imamo ravninsko upodobitev grafaˇ G = (V, E), je dual te upodobitve vsaka ravninska upodobitev, ki ima po eno vozliˇsˇce za vsako izmed lic grafa G (tudi za zunanje lice), za vsako povezavo e iz E pa med vozliˇsˇcema duala, ki ustrezata licema, ki mejita na e, natanko eno povezavo, ki seka e in povezuje novo nastali vozliˇsˇci.
3.2 Primeri
Na spodnji sliki je primer neuteˇzenega, neusmerjenega grafa.
Slika 3: Neusmerjen graf
Mnoˇzica vozliˇsˇc tega grafa je V = {u0, u1, u2, u3, u4, u5}. Vozliˇsˇce u3 ima ˇstiri sosede, in sicer je njegova soseˇsˇcina N(u3) ={u1, u2, u4, u5}, stopnja pa |N(u3)|= 4. Primer poti v tem grafu je (u0, u1, u2, u3), primer cikla pa (u0, u1, u2, u0).
Uteˇzen graf ima na vsaki povezavi zapisano uteˇz. Primer takˇsnega grafa je graf, katerega vozliˇsˇca so mesta, povezave pa ceste med mesti. Razdalje med mesti so ra- zliˇcne, zato na vsako povezavo, ki nam predstavlja posamezno cesto, zapiˇsemo drugaˇcno uteˇz.
11
4 Diskretne harmoniˇ cne funkcije
V tem poglavju bomo navedli definicijo in nekaj primerov harmoniˇcnih funkcij na grafih.
Glavna vira za to poglavje sta [10] in [9].
4.1 Definicija
V poglavju o harmoniˇcnih in holomorfnih funkcijah smo zapisali, da za harmoniˇcne funkcije velja izrek o povpreˇcni vrednosti. To bomo vzeli kot definicijo diskretnih harmoniˇcnih funkcij. Rekli bomo, da je funkcija diskretno harmoniˇcna, ˇce je njena vrednost v vozliˇsˇcu enaka povpreˇcni vrednosti te funkcije v soseˇsˇcini tega vozliˇsˇca.
Definicija 12. Naj bo G= (V, E) povezan graf. ˇCe velja 1
deg(i) X
j∈N(i)
f(j) = f(i), (1)
je f :V →C diskretna harmoniˇcna funkcija v vozliˇsˇcu i, sicer ima v ipol. Diskretna funkcija f je harmoniˇcna s poliS, ˇce je S mnoˇzica polov funkcije f.
Diskretne harmoniˇcne funkcije lahko definiramo tudi na uteˇzenih grafih.
Definicija 13. Naj bo graf G= (V, E, l) uteˇzeni. ˇCe velja enakost X
j∈N(i)
f(j)−f(i) lij
= 0, (2)
je f diskretna harmoniˇcna funkcija na uteˇzenem grafu v vozliˇsˇcu i.
Trditev 2. Vsaka nekonstantna funkcija ima vsaj dva pola.
Dokaz. Naj bof nekonstantna diskretna harmoniˇcna funkcija. Za minimum in maksimum funkcijef po definiciji velja, da je v njiju pol. Maksimum funkcije ne more biti v vozliˇsˇcu, kjer je funkcija harmoniˇcna, razen ˇce imajo vsa sosednja vozliˇsˇca enako vrednost. Ceˇ imajo sosednja vozliˇsˇca enako (maksimalno) vrednost, zanje prav tako velja, da funkcija v njih ne more biti harmoniˇcna, razen ˇce imajo njihovi sosedi enako vrednost. Hitro ugotovimo, da bo funkcija v tem primeru konstantna. Torej ima f v maksimumu pol.
Zaradi istega razloga tudi minimum funkcije ne more biti v vozliˇsˇcu, kjer je funkcija harmoniˇcna. Funkcijaf zato ne more biti harmoniˇcna v maksimumu in minimumu. Torej ima vsaj dva pola.
Hitro lahko vidimo, da zato velja, da za vsaki dve vozliˇsˇci obstaja harmoniˇcna funkcija z natanko tema dvema poloma.
12
4.2 Primeri
4.2.1 Primer 1
Na spodnjem grafu je primer funkcije na grafu. Preverili bomo, ali je za vozliˇsˇcii ink ta funkcija harmoniˇcna ali ne.
Slika 4: Primer funkcije na grafu
Najprej bomo preverili, ali je diskretna funkcija harmoniˇcna v vozliˇsˇcu i. Vrednost te funkcije v vozliˇsˇcu i je enaka 4. Preverimo, ali je povpreˇcna vrednost funkcije v soseˇsˇcini tega vozliˇsˇca prav tako enaka 4:
1 deg(i)
X
j∈N(i)
f(j) = 1
3(5 + 5 + 2) = 4.
Ker torej velja deg(i)1 P
j∈N(i)f(j) = f(i), je f diskretna harmoniˇcna funkcija v vozliˇsˇcu i.
Na istem primeru zdaj preverimo ˇse, ali je funkcija harmoniˇcna v vozliˇsˇcuk. Izraˇcunamo povpreˇcno vrednost vozliˇsˇc, sosednjih vozliˇsˇcu k:
1 deg(k)
X
j∈N(k)
f(j) = 1
3(9 + 13 + 2) = 8.
Vrednost funkcije v vozliˇsˇcu k je enaka 13. Torej ne velja enakost deg(k)1 P
j∈N(k)f(j) = f(k), zato ima funkcija po definiciji v vozliˇsˇcu k pol. Rezultat je seveda priˇcakovan, saj gre za maksimum funkcije.
4.2.2 Primer 2
Na spodnjem grafu, ki je uteˇzen, bomo pogledali, ali je funkcija na tem grafu v vozliˇsˇcu i harmoniˇcna.
13
Slika 5: Primer funkcije na uteˇzenem grafu Preverimo, ali za vozliˇsˇcei velja enaˇcba iz definicije.
X
j∈N(i)
f(j)−f(i)
lij = 8−3
1 2
+1−3
1 2
+2−3
1 6
= 10−4−6 = 0
Vsota je enaka 0, zato je funkcija na uteˇzenem grafu harmoniˇcna v vozliˇsˇcui. Na enak naˇcin bi lahko preverili, v katerih drugih vozliˇsˇcih je ˇse harmoniˇcna in v katerih ima pole.
4.2.3 Primer 3
Diskretne harmoniˇcne funkcije so uporabne za opisovanje elektriˇcnih krogov, nakljuˇcnih sprehodov in tudi v statiki. Poglejmo si primer harmoniˇcne funkcije na grafu, ki predstavlja elektriˇcni krog.
V elektriˇcnem krogu z enakimi, zaporedno vezanimi upori velja, da je potencial enak povpreˇcni vrednosti sosednjih potencialov. Na spodnji sliki je prikazano vezje zaporedno vezanih uporov.
Slika 6: Vezje z enakimi upori
Napetost je definirana kot razlika potencialov, ki so na sliki oznaˇceni z V1, V2 ter V3. V zaporedni vezavi je tok povsod v vezju enak, oznaˇcimo ga z I. Kirchhoffovo pravilo pa pravi, da je v zakljuˇceni zanki elektriˇcnega vezja vsota gonilnih napetosti, ki je v naˇsem primeru samo U0, enaka vsoti produktov tokov in pripadajoˇcih uporov. Upoˇstevamo ˇse, da so vsi upori enaki.
Velja torej IR+IR+IR+IR = U0, oziroma 4·IR = U0. V vezju z n zaporedno vezanimi enakimi upori bi torej veljala enaˇcba n·IR=U0.
14
Po Ohmovem zakonu velja U = I ·R. Zapiˇsemo lahko torej 4·U = U0 oziroma za vezje z n upori n·U =U0. To nas pripelje do napetosti na posameznem uporu: U = U40 aliU = Un0 za vezje z n upori. Kot vidimo, je napetost na vseh uporih enaka.
Upoˇstevamo definicijo napetosti in zapiˇsemo napetost na drugem uporuU =V2−V1 in napetost na tretjem uporuU =V3−V2. Ker sta napetosti enaki, veljaV2−V1 =V3−V2. Odtod sledi 2·V2 =V1+V3aliV2 = V1+V2 3. Potencial je enak povpreˇcni vrednosti sosednjih potencialov. Vidimo lahko, da to velja tudi v vezju z n enakimi upori.
Prenesimo zdaj situacijo v teorijo grafov. Naj bo G graf, ki predstavlja elektriˇcni krog. Povezave grafa so napetosti na posameznih uporih elektriˇcnega kroga, vozliˇsˇca grafa pa potenciali med upori. Napetosti so kot uteˇzi, a ker so v tem primeru upori enaki in zaporedno vezani, tako dobljen graf ni uteˇzen. Vrednosti diskretne funkcijef so vrednosti potencialov. To je prikazano na spodnji sliki.
Slika 7: Graf elektriˇcnega vezja
Stopnja vozliˇsˇca V2 je 2, zato lahko vrednosti funkcije vstavimo v enaˇcbo iz definicije diskretnih harmoniˇcnih funkcij. Dobimo
1
2(V1 +V3) = V2
in vidimo, da je to enakost, ki smo jo ˇze prej dokazali. Diskretna funkcija je torej har- moniˇcna v vozliˇsˇcu V2. Vidimo lahko, da bi to veljalo tudi v grafu vezja z n enakimi upori. Zato lahko zakljuˇcimo, da je elektriˇcni potencial za zaporedno vezavo diskretna harmoniˇcna funkcija.
15
5 Diskretne analitiˇ cne funkcije
V tem poglavju bomo napisali definicijo diskretnih analitiˇcnih funkcij ter ˇse en naˇcin, kako lahko na takˇsne funkcije gledamo. Zapisali bomo tudi, kako lahko izraˇcunamo njihove integrale. Navedli bomo nekaj primerov diskretnih analitiˇcnih funkcij. Glavni viri za to poglavje so [10], [2] in [1].
5.1 Definicija
Naj bo g holomorfna funkcija na kompleksni ravnini. Njena zoˇzitev na mnoˇzico toˇck mreˇze, na primer na Gaussova cela ˇstevila, je funkcija f. Diskretne analitiˇcne funkcije ˇ
zelimo definirati tako, da jih bomo lahko tudi integrirali po poti (v0, v1,· · · , vn), kjer je vk+1−vk ∈ {±1,±i}. Integriranje bomo definirali podobno kot v zvezni matematiki, in sicer bomo pri definiciji podobno kot pri Riemannovi vsoti seˇstevali vrednosti funkcije iz intervala, pomnoˇzene z dolˇzino intervala. Za razliko od Riemannove vsote te vrednosti ne bodo nakljuˇcne, saj ˇzelimo definirati integral diskretnih funkcij, zato bomo vzeli povpreˇcno vrednost obeh toˇck intervala:
n−1
X
k=0
(vk+1−vk)f(vk+1) +f(vk)
2 . (3)
Ker ta vsota ni odvisna samo od zaˇcetne in konˇcne toˇcke, ampak je odvisna od poti, ˇ
zelimo f definirati na drugaˇcen naˇcin, torej ne kot zoˇzitev funkcije g.
Spomnimo se na Morerov izrek iz poglavja o holomorfnih funkcijah, ki pravi, da ˇce je funkcija holomorfna, je njen integral na vsaki gladki sklenjeni poti enak niˇc. Definicija diskretnih analitiˇcnih funkcij bo zelo podobna Morerovemu izreku, in sicer bomo rekli, da so diskretne analitiˇcne funkcije tiste, katerih integral bo neodvisen od poti. To pomeni, da bo vrednost integrala po sklenjeni poti enaka niˇc, kar pa mora veljati tudi za najbolj preprosto sklenjeno pot, to je (z, z+ 1, z+ 1 +i, z+i, z).
Slika 8: Preprosta sklenjena pot Za ta primer vsoto (3) enaˇcimo z niˇc:
f(z+ 1) +f(z)
2 +if(z+ 1 +i) +f(z+ 1) 2
+ (−1)f(z+i) +f(z+ 1 +i)
2 + (−i)f(z) +f(z+i)
2 = 0.
16
Izpostavimo enake ulomke in dobimo
(i−1)f(z+ 1 +i) +f(z+ 1)
2 + (1−i)f(z) +f(z+i)
2 = 0.
Upoˇstevamo predznake in ustrezno zapiˇsemo ulomka, da dobimo (1−i)−f(z+ 1 +i) +f(z)
2 + (1−i)−f(z+ 1) +f(z+i)
2 = 0.
Zapiˇsemo naslednjo enaˇcbo
(1−i)f(z+ 1 +i)−f(z)
2 = (i−1)f(z+ 1)−f(z+i)
2 ,
ki jo pomnoˇzimo z 1+i1+i. Enaˇcbo samo ˇse delimo zi in dobimo:
f(z+ 1 +i)−f(z)
i+ 1 = f(z+ 1)−f(z+i)
1−i . (4)
Zdaj lahko zapiˇsemo definicijo diskretne analitiˇcne funkcije.
Definicija 14. Ce jeˇ Ω podmnoˇzica ravnine, ki je unija mreˇznih kvadratov, je funkcija, ki zadoˇsˇca enaˇcbi (4) za vsak kvadrat v Ω, diskretna analitiˇcna funkcija na Ω.
Ker imamo diskretne analitiˇcne funkcije definirane, lahko definiramo tudi njihov inte- gral.
Definicija 15. Naj bo f diskretna analitiˇcna funkcija ter a in b celi ˇstevili. Na mreˇzi izberemo pot (a =z0, z1, ..., zn). Integral od a do b definiramo kot:
Z b a
f dz=
n−1
X
k=0
f(zk+1) +f(zk)
2 (zk+1−zk).
Definicijo diskretnih analitiˇcnih funkcij lahko oblikujemo tudi drugaˇce, a moramo za to uvesti ˇse nekaj pojmov.
Definicija 16.Diskretna kompleksna ravnina je mreˇza, katere mreˇzne toˇcke so kompleksna ˇstevila. Vsaka mreˇzna toˇcka je oblike z = xh+iyh, kjer sta x in y celi ˇstevili, h pa predstavlja ˇsirino (dolˇzino) mreˇznih kvadratov. Soda podmreˇza je sestavljena iz tistih mreˇznih toˇck, za katere je vsota x+y soda. Liha podmreˇza je sestavljena iz tistih mreˇznih toˇck, za katere je vsota x+y liha.
Naj bo f1 definirana na lihi podmreˇzi, f2 pa na sodi podmreˇzi, ki smo jo zasukali za 45◦ in jo tako raztegnili, da ponovno dobimo obiˇcajno mreˇzo. Diskretne analitiˇcne funkcije lahko predstavimo tudi kot par kompleksnih funkcijf1 inf2.
Definicija 17. Par funkcij(f1, f2)je diskreten analitiˇcen par funkcij, ˇcef1 inf2 zadoˇsˇcata pogoju:
f1(z+ 1)−f1(z) = −i(f2(z)−f2(z−i)) oziroma pogoju
f1(z+i)−f1(z) = i(f2(z)−f2(z−1)).
17
Definirajmo ˇse dual funkcije na mreˇzi.
Definicija 18. Naj bo γ(z) takˇsna funkcija na mreˇzi, da je γ(z) = 1, ˇce je z toˇcka iz sode podmreˇze, in γ(z) = −1, ˇce je z toˇcka iz lihe podmreˇze. Dual funkcije na mreˇzi je definiran kot
fD(z) = γ(z)·f(z), kjer je f(z) konjugirana vrednost f(z).
Funkcija na mreˇzi je diskretna analitiˇcna natanko tedaj, ko je njen dual diskretna analitiˇcna funkcija.
5.2 Primeri
S pomoˇcjo definicije bomo za nekaj diskretnih funkcij preverili, ali so analitiˇcne ali ne.
5.2.1 Primer 1
Naj bo z = a +bi, kjer sta a, b ∈ Z. Preverimo, ali je funkcija f(z) = z diskretna analitiˇcna funkcija na Gaussovih celih ˇstevilih. Funkcijo najprej vstavimo v enaˇcbo (4), nato odpravimo oklepaje in enaˇcbo poenostavimo.
(a+bi+i+ 1)−(a+bi)
i+ 1 = (a+bi+ 1)−(a+bi+i) 1−i
a+bi+i+ 1−a−bi
i+ 1 = a+bi+ 1−a−bi−i 1−i
i+ 1
i+ 1 = 1−i 1−i
Ko smo enaˇcbo poenostavili, je preprosto videti, da funkcija f(z) = z zadoˇsˇca enaˇcbi iz definicije, zato je na Gaussovih celih ˇstevilih diskretna analitiˇcna funkcija.
5.2.2 Primer 2
Naj bo z = a+bi, kjer sta a, b ∈ Z. Preverimo, ali je funkcija f(z) = z2 diskretna analitiˇcna funkcija na Gaussovih celih ˇstevilih. Najprej si izpiˇsimo f(z + 1 +i), f(z+ 1) ter f(z+i).
f(z+ 1 +i) = (z+ 1 +i)2 =z2 + 2zi+ 2z+ 2i=a2 + 2abi−b2+ 2ai−2b+ 2a+ 2bi+ 2i f(z+ 1) = (z+ 1)2 =z2+ 2z+ 1 =a2+ 2abi−b2 + 2a+ 2bi+ 1
f(z+i) = (z+i)2 =z2+ 2zi−1 =a2+ 2abi−b2+ 2ai−2b−1 Zdaj vstavimo vrednosti v enaˇcbo (4).
(a2+ 2abi−b2+ 2ai−2b+ 2a+ 2bi+ 2i)−(a2+ 2abi−b2) i+ 1
= (a2+ 2abi−b2+ 2a+ 2bi+ 1)−(a2+ 2abi−b2+ 2ai−2b−1) 1−i
18
Odpravimo oklepaje:
a2+ 2abi−b2+ 2ai−2b+ 2a+ 2bi+ 2i−a2−2abi+b2 i+ 1
= a2 + 2abi−b2+ 2a+ 2bi+ 1−a2−2abi+b2−2ai+ 2b+ 1 1−i
in enaˇcbo poenostavimo.
2ai−2b+ 2a+ 2bi+ 2i
i+ 1 = 2a+ 2bi+ 1−2ai+ 2b+ 1 1−i
(2a)(i+ 1) + 2b(i−1) + 2i
i+ 1 = (2a)(1−i) + 2b(i+ 1) + 2 1−i
2a+ 2b(i−1) + 2i
i+ 1 = 2a+ 2b(i+ 1) + 2 1−i 2b(i−1) + 2i
i+ 1 = 2b(i+ 1) + 2 1−i
(2bi−2b+ 2i)·(1−i) = (2bi+ 2b+ 2)·(i+ 1)
2bi−2b+ 2i+ 2b+ 2bi+ 2 =−2b+ 2bi+ 2i+ 2bi+ 2b+ 2 4bi+ 2i+ 2 = 4bi+ 2i+ 2
Vidimo, da funkcijaf(z) = z2 zadoˇsˇca enaˇcbi (4), zato je diskretna analitiˇcna funkcija.
5.2.3 Primer 3
Vsota dveh diskretnih analitiˇcnih funkcij je diskretna analitiˇcna funkcija, produkt dveh diskretnih analitiˇcnih funkcij pa ni nujno diskretna analitiˇcna funkcija. Trditve ne bomo dokazovali, bomo pa zaf(z) =z3, kjer je z =a+bi;a, b∈Z, preverili, da ta funkcija ni diskretna analitiˇcna funkcija. Podobno kot prej bomo najprej izraˇcunali f(z), f(z + 1 + i), f(z+ 1) terf(z+i).
f(z) = z3 = (a+bi)3 =a3+ 3a2bi−3ab2−b3i f(z+ 1) = (z+ 1)3 =z3+ 3z2+ 3z+ 1
f(z+i) = (z+i)3 =z3+ 3iz2−3z−i
f(z+ 1 +i) = (z+ 1 +i)3 =z3+ (3 + 3i)z2+ 6iz−2 + 2i
19
Vstavimo vrednosti v enaˇcbo (4) in enaˇcbo poenostavimo.
z3 + (3 + 3i)z2+ 6iz−2 + 2i−z3
i+ 1 = (z3 + 3z2+ 3z+ 1)−(z3+ 3iz2−3z−i) 1−i
(3 + 3i)z2+ 6iz−2 + 2i
i+ 1 = 3z2+ 3z+ 1−3iz2+ 3z+i 1−i
3z2+ 6iz−2 + 2i
i+ 1 = 3z2+6z+ 1 +i 1−i (6iz−2 + 2i)·(1−i) = (6z+ 1 +i)·(i+ 1) 6iz−2 + 2i+ 6z+ 2i+ 2 = 6zi+i−1 + 6z+ 1 +i
6iz+ 4i+ 6z = 6iz+ 2i+ 6z 4i= 2i
Enakost iz enaˇcbe (4) ne velja, torej funkcijaf(z) =z3 ni diskretna analitiˇcna funkcija.
20
6 Sklep
V diplomskem delu smo ˇzeleli definirati harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije na diskretnih objektih. Da bi bile definicije smiselne, smo diplomsko delo zaˇceli z definicijami in izreki, ki veljajo za obiˇcajne harmoniˇcne in holomorfne funkcije. Sledile so definicije pojmov iz teorije grafov, ki smo jih potrebovali kasneje pri definicijah in primerih diskretnih harmoniˇcnih in analitiˇcnih funkcij. V zadnjem delu smo diskretne harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije tudi definirali in navedli nekaj primerov zanje. Eden izmed primerov se je nanaˇsal na elektriˇcne kroge, ki spadajo na podroˇcje fizike. S tem smo pokazali, da je harmoniˇcne in analitiˇcne funkcije res smiselno definirati tudi na diskretnih objektih, tako kot smo napovedali v uvodu.
21
7 Literatura
[1] Alpay, D., Jorgensen, P., Seager, R. in Volok, D. (2012).On discrete analytic functions:
products, rational functions, and some associated reproducing kernel Hilbert spaces.
Pridobljeno s https://arxiv.org/pdf/1208.3699.pdf
[2] Duffin, R. J. in Peterson, E. L. (1968).The Discrete Analogue of a Class of Entire Func- tions. Pridobljeno s https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/handle/2027.
42/33211/0000600.pdf;sequence=1
[3] Evans, L. C. (2010). Partial Differential Equations. Pridobljeno shttp://bookstore.
ams.org/gsm-19-r
[4] Gaussian integer. (2017). Pridobljeno shttps://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_
integer
[5] Globevnik, J. in Brojan, M. (2010). Analiza II.
[6] Harmonic function. (2017). Pridobljeno s https://en.wikipedia.org/wiki/
Harmonic_function
[7] Hladnik, M. (2012). Analiza 1. Pridobljeno shttp://www.fmf.uni-lj.si/~hladnik/
Analiza/Ana1.pdf.
[8] H¨ormander, L. (1994). Notions of Convexity. Boston: Birkh¨auser.
[9] Kun, J. (2016).Voltage, Temperature, and Harmonic Functions. Pridobljeno shttps:
//jeremykun.com/2016/09/26/voltage-temperature-and-harmonic-functions/
[10] Lov´asz, L. (2004). Discrete Analytic Functions: An Exposition. Pridobljeno s http:
//www.cs.elte.hu/~lovasz/analytic.pdf
[11] Mean-value formula for inhomogeneous harmonic functions. (2012).
Pridobljeno s https://math.stackexchange.com/questions/207659/
mean-value-formula-for-inhomogeneous-harmonic-functions?rq=1
[12] Morera’s Theorem. (2014). Pridobljeno s https://www.math.usm.edu/lee/
mathphysarchive/?p=1557
[13] Nabla. (2017). Pridobljeno shttps://sl.wikipedia.org/wiki/Nabla
[14] O’Connor, D. (2014). Mean value proof in Evans PDE. Pridobljeno shttps://math.
stackexchange.com/questions/922004/mean-value-proof-in-evans-pde
[15] Shaw, W. T. (2004). Recovering Holomorphic Functions from Their Real or Imagi- nary Parts without the Cauchy-Riemann Equations. Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 46, No. 4, 717–728. Pridobljeno s http://epubs.siam.org/doi/
pdf/10.1137/S0036144503432151
22
[16] Slapar, M. (2012). Kompleksna analiza. Ljubljana: Pedagoˇska fakulteta Univerze v Ljubljani.
[17] ˇSparl, P. (2016).Teorija grafov (Zapiski predavanj).
[18] Usmerjeni graf. (2015). Pridobljeno s https://sl.wikipedia.org/wiki/
Usmerjeni_graf
[19] Weighted Graph. (2017). Pridobljeno s http://mathworld.wolfram.com/
WeightedGraph.html
[20] Wirtinger derivatives. (2017). Pridobljeno s https://en.wikipedia.org/wiki/
Wirtinger_derivatives
23
