Osnove matematiˇcne analize

Osnove matematiˇ cne analize

Sedmi sklop izroˇ ckov

Fakulteta za raˇcunalniˇstvo in informatiko Univerza v Ljubljani

18. november 2020

1/23

Metode za iskanje niˇ cel zveznih funkcij

I Bisekcija

I Izberi zaˇcetna pribliˇzkaa=x₀inb=x₁, ki zadoˇsˇcata f(a)f(b)<0.

I Izberi maksimalno ˇstevilo ponovitevM.

I Zan= 2,3,4, . . . ,M : x_n= a+b

2 , [a,b] =

[a,xn], ˇce jef(a)f(xn)<0, [xn,b], ˇce jef(xn)f(b)<0.

Metode za iskanje niˇ cel zveznih funkcij

I Sekantna metoda

I Izberi zaˇcetna pribliˇzkaa=x0inb=x1. I Izberi maksimalno ˇstevilo ponovitevM.

I Zan= 2,3,4, . . . ,M :

xn=x_n−1−f(x_n−1)(x_n−1−x_n−2) f(x_n−1)−f(x_n−2) . I x_M je pribliˇzek za niˇclo.

3/23

Metode za iskanje niˇ cel zveznih funkcij

I Regula falsi

I Izberi zaˇcetna pribliˇzkaa=x0inb=x1 tako, da je f(a)f(b)<0, in maksimalno ˇstevilo ponovitevM.

I Zan= 2,3,4, . . . ,M :

xn=b−f(b)(b−a) f(b)−f(a), [a,b] =

[a,xn], ˇce jef(a)f(xn)<0, [x ,b], ˇce jef(x )f(b)<0.

Metode za iskanje niˇ cel zveznih funkcij

I Navadna iteracija

I Poiˇsˇcemo funkcijog(x), tako da je niˇclaαfunkcijef njena negibna toˇcka, tj.g(α) =α.

I Izberemo zaˇcetni pribliˇzekx₀in maksimalno ˇstevilo korakovM. I Zan= 1,2,3, . . . ,M :

xn=g(xn−1).

I Ce zaporedje (xˇ n)n konvergira, potem jexM pribliˇzek za niˇclo funkcijef. Konvergenca (xn)nje odvisna od odvodag⁰(α).

5/23

Primer

Reˇsujemo enaˇ cbo x + log x = 0. Eden od smiselnih intervalov je [0.1, 1]. ˇ Stevilo ponovitev posamezne metode M bo 10. Navadno iteracijo bomo izvajali s funkcijo g (x) =

in x

= 0.1.

korak bisekcija sekantna regula falsi navadna iteracija

1 0.5500 0.7189 0.7189 1.2012

2 0.7750 0.5400 0.6260 0.5089

3 0.6625 0.5693 0.5909 0.5921

4 0.6062 0.5671 0.5768 0.5580

5 0.5781 0.5671 0.5711 0.5706

6 0.5640 0.5671 0.5688 0.5658

7 0.5710 0.5671 0.5678 0.5676

8 0.5675 0.5671 0.5674 0.5669

9 0.5666 0.5671 0.5672 0.5672

10 0.5671 0.5671 0.5671 0.5671

Funkcije veˇ c spremenljivk

Funkcija n spremenljivk je predpis:

f : D

→ R,

(x

, x

, . . . , x

) 7→ u = f (x

, x

, . . . , x

) kjer D

⊂ R

imenujemo definicijsko obmoˇ cje funkcije f .

Primer

Doloˇci definicijska obmoˇcja naslednjih funkcij:

I f(x,y) = sinx+ siny I g(x,y) =p

1−x²−y² I h(x,y) =p

x²+y² I j(x,y,z) =p

x²+y²+z²

7/23

Γ = {(x, y, f (x, y)) : (x, y ) ∈ D

} . . . je ploskev v R

.

f(x,y) = sinx+ cosy g(x,y) =x²−y²

-5 0

5 -5

0 5

-2 -1 0 1 2

-2 0

2 -2

0 2 -5

0 5

h(x,y) =p x²+y²

Nivojske krivulje

Nivojska krivulja (na kratko nivojnica) funkcije f (x, y) je krivulja v D

⊂ R

, podana z enaˇ cbo f (x, y) = c.

f(x,y) = sinx+ cosy g(x,y) =x²−y²

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 0

2 -2

0 2 -5

0 5

h(x,y) =p x²+y²

9/23

Nivojske ploskve

Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk so ploskve v R

, podane z enaˇ cbo f (x , y, z ) = c .

Nivojske ploskve funkcije

f (x, y, z) = x

+ y

+ z

so sfere

Limita funkcije dveh spremenljivk

Neformalno: Lje limita funkcijef :R²→Rv toˇcki (a,b), ˇce je vrednost f(x,y) poljubno blizuL, ˇce je le (x,y) dovolj blizu (a,b) (a nujno ne enak (a,b)).

Formalno: ˇ Stevilo L je limita funkcije f (x, y) v toˇ cki (a, b), ˇ ce za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je |f (x, y) − L| < ε, za vsako toˇ cko (x, y) v krogu s polmerom δ okrog toˇ cke (a, b).

Krog s polmerom δ okrog (a, b) je mnoˇ zica vseh takˇsnih toˇ ck (x, y ), da velja

(x − a)

+ (y − b)

< δ

.

Funkcija f (x, y) je zvezna v toˇ cki (a, b), ˇ ce je lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = f (a, b).

11/23

Raˇ cunanje limit

Primer

Ali obstajajo naslednje limite:

I lim

(x,y)→(0,0) 2xy x²+y²

.

Krog s polmeromδokoli toˇcke(0,0)v polarnih koordinatah zapiˇsemo kot x =rcosϕ, y =rsinϕ, kjer r∈[0, δ]in ϕ∈[0,2π]. Pogoj

(x,y)→(0,0)se v polarnih koordinatah glasi r →0. Velja lim

(x,y)→(0,0)

2xy

x²+y² = lim

r→0

2r²cosϕsinϕ

r² = lim

r→0sin 2ϕ.

Zadnja limita pa ne obstaja, saj izraz sploh ni odvisen od r .

I lim

(x,y)→(0,0) 2x²y x²+y²

.

(x,y)→(0,0)lim 2x²y x²+y² = lim

r→0

2r³cos²ϕsinϕ

r² = lim

r→0rsin 2ϕcosϕ= 0.

I lim

.

Odvod

Funkcija f (x) naj bo definirana na nekem intervalu okrog toˇ cke x

. Diferenˇ cni kvocient funkcije f v toˇ cki x

,

f (x

+ h) − f (x

)

h ,

predstavlja relativno spremembo funkcijske vrednosti pri spremembi neodvisne spremenljivke za h.

Diferenˇ cni kvocient je enak smernemu koeficientu sekante na graf skozi toˇ cko (x

, f (x

)) in bliˇ znjo toˇ cko (x

+ h, f (x

+ h)).

13/23

Odvod

Odvod funkcije f v toˇ cki x

je limita diferenˇ cnega kvocienta f

(x

) = lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

h ,

ˇ ce le-ta obstaja.

Funkcijaf:D →Rjeodvedljiva naD, ˇce je odvedljiva v vsaki toˇckix0∈ D.

Izraˇcunaj odvode naslednjih funkcij, kjer obstajajo:

I f(x) =c:

f⁰(x0) = lim

h→∞

f(x0+h)−f(x0)

h = lim

h→∞

c−c h = 0.

I g(x) =xⁿ,n∈N: g⁰(x0) = lim

h→0

g(x0+h)−g(x0)

h = lim

h→∞

(x0+h)ⁿ−x0ⁿ

h

= lim

h→0

x₀ⁿ+ ⁿ₁

x₀ⁿ⁻¹h+ ⁿ₂

x₀ⁿ⁻²h²+. . .+hⁿ

−x₀ⁿ h

! ! !

Odvod

I h(x) = logx: h⁰(x0) = lim

h→0

log (x0+h)−logx0

h = lim

h→0

log^x0_x^+h

0

h = lim

h→0 log

1 + h x0

¹_h!

= lim

t→0

log (1 +t)^tx10

= lim

t→0

1 x0

log (1 +t)^1t

= 1 x0

log

t→0lim(1 +t)^1t

= 1 x0

loge= 1 x0

,

kjer smo v predpredzadnji enakosti upoˇstevali, da je log zvezna, da smo lahko zamenjali lim in log.

I k(x) = sinx. k⁰(x0) = lim

h→0

sin (x0+h)−sinx0

h = lim

h→0

2 cos x0+^h₂ sin^h₂ h

=

lim

h→0cos

x0+h 2

lim

h→0

sin^h₂

h 2

!

= cosx0·1 = cosx0, kjer smo v tretji enakosti upoˇstevali enakost (zaα=x+^h₂,β=^h₂)

sin (α+β)−sin (α−β) = 2 cosαsinβ.

15/23

Pomen odvoda

Odvodf⁰(x0) je

I relativna spremembavrednostif(x0), ˇce se vrednost spremenljivkex0

malce spremeni

I hitrost spreminjanjafunkcijef vx0

I naklonski koeficient tangentena graf v toˇcki (x0,f(x0))

Trditev

Ce je f odvedljiva v toˇ ˇ cki x

, potem je v x

tudi zvezna.

Dokaz.

I Po karakterizacije limit funkcij moramo pokazati, da za vsako zaporedje (an)n z limnan=x0 velja limnf(an) =f(x0).

I Definirajmo funkcijog(x) =^f(x)−f_x−x^(x0)

0 . Vemo, da velja

limx→x₀g(x) =f⁰(x0). Po karakterizaciji limit funkcij vemo, da za vsako zaporedje (an)nz limnan=x0velja limng(an) = ^f(a_a^n)−f(x0)

n−x₀ =f⁰(x0).

I Ker je limn(an−x0) = 0, mora za obstoj limng(an) veljati

limn(f(an)−f(x0)) = 0. V nasprotnem bi namreˇc obstajal >0 in neko podzaporedje (an_k)kzaporedja (an)n, tako da bi za vsakk veljalo

|f(a )−f(x )|> . Toda potem lim g(a ) ne bi obstajala (ˇstevec bi bil

Opomba

Ce je f zvezna v toˇˇ cki x0, potem v x0ni nujno odvedljiva. Primer - funkcija f(x) =|x|je zvezna v toˇcki 0, ni pa tam odvedljiva.

Levi odvod f

(x

) funkcije f v toˇ cki x

je leva limita, desni odvod f

(x

) pa desna limita diferenˇ cnega kvocienta

f

(x

) = lim

h%0

f (x

+ h) − f (x

)

h , f

(x

) = lim

h&0

f (x

+ h) − f (x

)

h .

Funkcija je odvedljiva z leve, ˇ ce obstaja levi odvod, in odvedljiva z desne, ˇ ce obstaja desni odvod.

Funkcijaf(x) =|x|je odvedljiva z leve in z desne v toˇckix0= 0, vendar je f−⁰(0) =−16=f₊⁰(0) = 1,

zato v tej toˇcki ni odvedljiva.

17/23

Pravila za raˇ cunanje odvodov

ˇCe staf :Df →Rin g:Dg→Rodvedljivi funkciji vx∈ Df ∩ Dg, potem velja

I (f + g )

(x) = f

(x) + g

(x)

Dokaz. Naj bo (an)n zaporedje z limnan=x0. Velja limn

(f +g)(an)−(f +g)(x0) an−x0

= lim

n

f(an) +g(an)−f(x0)−g(x0) an−x0

= lim

n

f(an)−f(x0) an−x0

+g(an)−g(x0) an−x0

= lim

n

f(an)−f(x0) an−x0

+ lim

n

g(an)−g(x0) an−x0

=f⁰(x0) +g⁰(x0).

Po karakterizacije limit funkcij z zaporedji velja lasnost odvoda vsote funkcij.

I Za vsak α ∈ R velja (αf )

(x) = αf

(x)

I (fg )

(x ) = f

(x)g (x) + f (x)g

(x)

I

f (x) g (x)

= f

(x)g (x) − f (x)g

(x)

(g (x))

, kjer g (x) 6= 0 I Veriˇ zno pravilo za posredno odvajanje funkcij. ˇ Ce je ˇse

Z

⊆ D

in je g odvedljiva v f (x), potem velja (g ◦ f )

(x) = g

(f (x))f

(x).

Dokaz. Naj bo (an)nzaporedje z limnan=x0. Velja limn

(g◦f)(an)−(g◦f)(x0) an−x0

= lim

n

g(f(an))−g(f(x0)) an−x0

= lim

n

g(f(an))−g(f(x0))

f(an)−f(x0) ·f(an)−f(x0) an−x0

= lim

n

g(f(an))−g(f(x0)) f(an)−f(x0)

lim

n

f(an)−f(x0) an−x0

=g⁰(f(x0))f⁰(x0).

Po karakterizacije limit funkcij z zaporedji velja veriˇzno pravilo.

I Ce ima ˇ f inverzno funkcije in je f

(x) 6= 0, potem je (f

)

(f (x)) = 1

f

(x) .

19/23

ˇ Se nekaj odvodov elementarnih funkcij

I f (x) = x

, kjer je m ∈ Z \ N.

f⁰(x) = 1

x^|m|

=1⁰x^|m|− |m|x^|m|−1

x^2|m| =−|m| 1

x^|m|+1 =mx^m−1, kjer smo v drugi enakosti uporabili pravilo za odvajanje kvocienta.

I f (x) = x

, kjer je m ∈ Z , n ∈ N .

Velja (f(x))ⁿ=x^m. Odvajamo obe strani, pri ˇcemer na levi uporabimo pravilo za odvajanje kompozituma:

n(f(x))ⁿ⁻¹f⁰(x) =mx^m−1. Iz enaˇcbe izrazimof⁰(x) in dobimo:

f⁰(x) = m n

x^m−1 (f(x))ⁿ⁻¹ =m

n x^m−1 x^m(n−1)n

=m

nx^{(m−1)nn −m(n−1)n} =m

nx^m−nn =m nx^mn−1.

I f (x) = e

.

Velja log(f(x)) = log(e^x) =x. Odvajamo obe strani, pri ˇcemer na levi uporabimo pravilo za odvajanje kompozituma:

1

f(x)f⁰(x) = 1.

Izrazimof⁰(x) in dobimo:

f⁰(x) =f(x) =e^x.

I f (x) = x

, kjer je α ∈ R \ {0}.

Zapiˇsimof(x) =x^α=e^log(xα)=e^αlog(x). Uporabimo pravilo za odvod kompozituma in dobimo:

f⁰(x) =e^αlog(x)·α1

x =x^αα1

x =αx^α−1.

21/23

Primeri

Odvajajmo naslednje funkcije:

1. f

(x) = √ x

f1⁰(x) = ¹₂x⁻¹² =₂^√1_x.

2. f

(x) = p x

− 1

f₂⁰(x) = √^x

x²−1.

3. f

(x) = arctan 1 − x 1 + x

f3⁰(x) = ¹

1+(^1−x_1+x)²

−(1+x)−(1−x)

(1+x)² =_(1+x)^(1+x)2+(1−x)^{2 2}

−2

(1+x)² =−_1+x¹2.

4. f

(x) = x

f₄⁰(x) = e^log(xx)0

=

e^xlog(x)0

=e^xlog(x) log(x) +x¹_x

=x^x(log(x)+1).

5. f

(x) = log(x + p

1 + x

)

f₅⁰(x) = √¹

1 +√^x

= √¹ .

Tabela elementarnih odvodov

f(x) f’(x)

x

, α ∈ R \ {0} αx

e

e

a

, a > 0 a

log a

log x

log

x, a > 0

sin x cos x

cos x − sin x tan x

cot x −

arcsin x

arctan x

23/23