1. Naj bo P ploskev z = x

(1)

PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.

2.

3.

4.

SKUPAJ

MATEMATI ˇ CNA ANALIZA 3

raˇcunski del

31.1.2006

Toˇckovanje: 20+30+25+25=100

1. Naj bo P ploskev z = x

²

−

^y₂²

in K krivulja

^*

r (t) =

³

t, −t,

^t₂²

´

, t ∈ R.

(a) Dokaˇzi, da krivulja K leˇzi na ploskvi P .

(b) Poiˇsˇci vse toˇcke na krivulji K, v katerih se smer glavne normale ujema s smerjo normale ploskve P .

2. Izraˇcunaj prostornino in povrˇsino telesa, omejenega s ploskvama 4z = x

²

+ y

²

in z = p

x

²

+ y

²

− 1.

3. Naj bo F

^*

(x, y, z) = (x

²

+ z, y

²

+ x, z

²

+ y) in P

^*

del sfere x

²

+ y

²

+ z

²

= 1, kjer je z ≥

^√₂²

, orientiran z zunanjo normalo. Izraˇcunaj

Z Z

*P

rot F d

^* ^*

S .

4. Reˇsite diferencialno enaˇcbo

y

⁰⁰

− 2y = e

^x

sin x.

Za krivuljo s parametrizacijo

^*

p (t) velja: T

^*

(t) =

^˙

*p(t)

k^*p˙(t)k

, N

^*

(t) = B

^*

(t)× T

^*

(t), B

*

(t) =

˙

*

p (t) ×

^*

¨ p (t) k

^*

p ˙ (t) ×

^*

¨ p (t)k

, κ(t) = k

^*

p ˙ (t) ×

^*

¨ p (t)k k

^*

p ˙ (t)k

³

, τ (t) = [

^*

p ˙ (t),

^*

¨ p (t), ...

*

p (t)]

k

^*

p ˙ (t) ×

^*

¨ p (t)k

²

.

1

(2)

Reˇsitve

1. naloga

(a) Preverimo, da koordinate krivulje zadoˇsˇcajo enaˇcbi ploskve.

(b) Normala na ploskev je ^*n= (p, q,−1) = (2x,−y,−1). Upoˇstevamo, da krivulja leˇzi na ploskvi, in dobimo

*n= (2t, t,−1). Vektor glavne normaleN^*je vzporeden vektorju ^*r˙(t)×(^*r˙(t)×^*¨r(t)) = (t,−t,−2). Torej se bosta smeri ujemali samo prit= 0 v toˇcki (0,0,0).

2. naloga

• Ploskev 4z=x²+y² je rotacijski paraboloid z vrhom v izhodiˇsˇcu, ploskevz =p

x²+y²−1 pa je stoˇzec z vrhom v (−1,0,0). Ploskvi se sekata v kroˇznici s srediˇsˇcem v toˇcki (0,0,1) in polmerom 2.

• Vpeljemo cilindriˇcne koordinate in dobimo

V = Z2π

0

dϕ Z2

0

rdr

r2

Z4

r−1

dz=. . .= 2π 3

• Povrˇsino telesaP je sestavljena iz povrˇsine ustreznih delov paraboloida S1 in stoˇzcaS2.

Ustrezen del paraboloida lahko paramertriziramo ^*f (r, ϕ) = (rcosϕ, rsinϕ,^r₄²), r ∈ [0,2], ϕ ∈ [0,2π] in dobimo√

EG−F²=r q

1 +^r₄². Potem je

S1= Z2π

0

dϕ Z2

0

r r

1 +r²

4 dr=. . .= 8π 3 (√

8−1).

Ce za izraˇcun povrˇsineˇ S2 uporabimo parametrizacijo stoˇzca ^*f (r, ϕ) = (rcosϕ, rsinϕ, r), r ∈ [0,2], ϕ ∈ [0,2π], dobimo√

EG−F²=√

2. Potem je

S2= Z2π

0

dϕ Z2

0

√2dr=. . .= 4π√ 2.

Pri izraˇcunu povrˇsin bi lahko uporabili tudi karteziˇcne koordinate.

3. naloga

Pretok vektorskega polja rotF^*skozi ploskevP^*lahko izraˇcunamo direktno, z uporabo Stokesovega izreka ali pa z uporabo Gaussovega izreka.

(a) direktno:

Ker je ploskev del sfere, jo parametriziramo s sfernima koordinatama^*f (ϕ, ψ) = (cosϕcosψ,sinϕcosψ,sinψ), ϕ∈[0,2π] inψ∈[^π₄,^π₂]. Vektor ^*f_ϕ×^*f_ψ= (cosϕcos²ψ,sinϕcos²ψ,sinψcosψ) kaˇze navzgor, torej je ori- entacija^*f_r×^*f_φ enaka orientaciji^*P. Pretok vektorskega polja rotF^*= (1,1,1) je torej

Z Z

*P

rot^*F d^*S= Z2π

0

dϕ

π

Z2

π4

(1,1,1)(cosϕcos²ψ,sinϕcos²ψ,sinψcosψ)dψ=. . .= π 2.

(Uporabili bi lahko tudi eksplicitno izraˇzavo ploskve.) (b) z uporabo Stokesovega izreka:

KrivuljoK, ki je rob ploskveP, parametriziramo ^*r (ϕ) = (^√₂²cosϕ,^√₂²sinϕ,^√₂²),ϕ∈[0,2π] in uporabimo Stokesov izrek

Z Z

*P

rotF d^* ^*S= I

K*

*F d^*r= Z2π

0

(1

2cos²ϕ+

√2 2 ,1

2sin²ϕ+

√2

2 cosϕ,1 2+

√2

2 sinϕ)(−

√2 2 sinϕ,

√2

2 cosϕ,0)dϕ=. . .=π 2.

2

(3)

(c) uporabimo Gaussov izrek:

Ce ploskevˇ P^*dopolnimo s ploskvijoD ={(x, y,^√₂²)∈R³; (x, y)∈∆}, kjer je ∆ ={(x, y);x²+y² ≤ ¹₂}, in jo orientiramo z normalo ^*n= (0,0,−1), dobimo rob odsekane krogleG orientirane z zunanjo normalo. Ker je div( rotF^*) = 0, je

Z Z

*P

rotF d^* ^*S=− Z Z

*D

rotF d^* ^*S=− Z Z

∆

(1,1,1)(0,0,−1)dxdy=pl(∆) = π 2.

Ploskev^*Dbi lahko parametrizirali tudi s^*p(r, ϕ) = (rcosϕ, rsinϕ,^√₂²), (r, ϕ)∈[0,^√₂²]×[0,2π].

4. naloga

• y⁰⁰−2y=e^xsinxje linearna diferencialna enaˇcba 2. reda s konstantnimi koeficienti

• najprej reˇsimo prirejeno homogeno diferencialno enaˇcboy⁰⁰−2y= 0 z nastavkomy=e^λx

• dobimo karakteristiˇcno enaˇcboλ²−2 = 0 z reˇsitvama λ1=−√

2 inλ1=√ 2

• sploˇsna reˇsitev homogene diferencialne enaˇcbe je torej oblikeyH =C1e⁻^√^2x+C2e^√^2x

• ker je desna stranf(x) =e^xsinxoblikee^αx(P(x) cosβx+Q(x) sinβx), kjer staP(x) inQ(x) polinoma stopnje 0 inα= 1 +ιni niˇcla karakteristiˇcne enaˇcbe, je nastavek za partikularno reˇsitevyP =e^x(Acosx+Bsinx)

• nastavekyP = e^x(Acosx+Bsinx) uporabimo v diferencialni enaˇcbi in z izenaˇcitvijo koeficientov dobimo A=B=−¹₄ ter sploˇsno reˇsitevy=C1e⁻^√^2x+C2e^√^2x−¹₄e^x(cosx+ sinx)

3