1 Osnove analize realnih funkcij

Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta

Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Katedra za matematiko in didaktiko matematike

Tadej Star£i£

NALOGE IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE IN KEMIKE Z RE’ITVAMI

U£no gradivo

Ljubljana, 2019

Predgovor

Izkaºe se, da je matematika zelo pomembna pri ²tudiju naravoslovnih ved, tudi biologije in kemije. Z matemati£nimi koncepti in modeli lahko namre£

zelo enostavno opi²emo veliko naravnih pojavov, ter jih tako laºje posku²amo razumeti.

Pri£ujo£a zbirka nalog zajema matemati£ne vsebine s podro£ij realnih funkcij s poudarkom na odvodu in integralu, osnove o matrikah in vektorjih, navadnih diferencialnih ena£b prvega in drugega reda, ter osnove verjetno- stnega ra£una. Veliko nalog je povezanih prav z biologijo in kemijo oziroma z vsakdanjim ºivljenjem, s £imer se ºeli opozoriti na veliko povezavo mate- matike z naravo. Na koncu so zbrane ²e re²itve, ve£inoma v obliki rezultatov in uporabnih nasvetov.

Zbirka je posebej namenjena ²tudentom Pedago²ke fakultete, ²tudijskega programa dvopredmetnega u£itelja biologije ali kemije, ki v prvem letniku

²tudija poslu²ajo predmet Matematika v naravoslovju. Prav pa bo pri²la tudi

²tudentom drugih fakultet z naravoslovno usmerjenimi ²tudijskimi programi.

Njen namen pa je v prvi vrsti matematiko ²e bolj pribliºati ²tudentom, ter poglobiti znanje le-te.

Pa sre£no pri re²evanju!

Ljubljana, januar 2019 dr. Tadej Star£i£

Kazalo

1 Osnove analize realnih funkcij 4

1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri . . . 4

1.2 Odvod in uporaba odvoda . . . 9

1.3 Nedolo£eni integral . . . 12

1.4 Dolo£eni integral in uporaba . . . 13

2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji in kemiji 15 2.1 Diferencialne ena£be 1. reda . . . 15

2.2 Diferencialne ena£be 2. reda . . . 18

2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda . . . 19

3 Vektorji in matrike 21 3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami . . . 21

3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz biologije . . . 23

3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b . . . 25

4 Osnove verjetnostnega ra£una 29 4.1 Pre²tevanje in kombinatorika . . . 29

4.2 Osnove verjetnosti . . . 30

4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke . . . 33

5 Re²itve 35 5.1 Osnove analize realnih funkcij . . . 35

5.1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri . . . . 35

5.1.2 Odvod in uporaba odvoda . . . 38

5.1.3 Nedolo£eni integral . . . 43

5.1.4 Dolo£eni integral in uporaba . . . 44

5.2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji in kemiji . 45 5.2.1 Diferencialne ena£be 1. reda . . . 45

5.2.2 Diferencialne ena£be 2. reda . . . 48

5.2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda . . . 49

5.3 Vektorji in matrike . . . 50

5.3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami . . . 50

5.3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz biologije 51 5.3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b . . . . 53

5.4 Osnove verjetnostnega ra£una . . . 55

5.4.1 Pre²tevanje in kombinatorika . . . 55

5.4.2 Osnove verjetnosti . . . 55

5.4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke . . . 58

1 Osnove analize realnih funkcij

1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri

1. Kako geometrijsko izgleda graf nara²£ajo£e oziroma padajo£e funkcije?

Zapi²i in nari²i kak²en primer. Pribliºno skiciraj graf funkcije, ki po- nazarja nara²£anje populacije ljudi na Zemlji?

2. Dane so poten£ne funkcije:

(a) f(x) = 2x⁵, (b) f(x) = x⁻⁴−1,

(c) f(x) =√ x+ 1, (d) f(x) = 5√³

x,

(e) f(x) = x³² + 1, (f) f(x) = √5²

x. Za vsako od na²tetih funkcij dolo£i denicijsko obmo£je in ugotovi, ali je soda, ali liha, ali ni£ od tega. ƒimbolj natan£no nari²i ²e grafe funkcij.

3. Dane so funkcije, ki predstavljajo

(a) stro²ke izdelave £evljev, £e za izdelavo100 £evljev porabimo 4000 EUR, za izdelavo 200 £evljev pa 7000 EUR, ter predpostavimo, da je odvisnost linearna.

(b) volumen stoºca z vi²ino 4v odvisnosti od radija.

(c) prostornino ²katle v odvisnosti od x, kjer iz papirja pravokotne oblike dolºine 8dm in ²irine 6dm naredimo ²katlo tako, da pri vogalih izreºemo kvadratke s stranico x ter preostanke zavihamo navzgor in zlepimo.

(d) ²tevilo tulipanov, ki jih ima Maja v svoji gredici, v odvisnosti od

²tevila vrst, £e so le-ti enakomerno razporejeni v vrste z enakim

²tevilom tulipanom in je ²tevilo tulipanov v vrsti za pet ve£je od

²tevila vseh vrst.

(e) produkt dveh pozitivnih ²tevil z vsoto2017 v odvisnosti od enega izmed ²tevil.

(f) vi²ino stoºca z volumnom1l v odvisnosti od radija.

(g) stranico kocke v odvisnosti od povr²ine.

(h) maso v teoriji relativnosti m(v) = q^m0 1−^v2

c2

, kjer je m₀ masa v mi- rovanja inc= 3·10⁸m/s hitrost svetlobe v vakuumu.

Zapi²i eksplicitne predpise danih funkcij, kjer manjkajo, ter skiciraj njihove grafe. Katere funkcije pa nam opi²ejo obratno odvisnost danih koli£in? Inverzne? Kdaj obstajajo? Zapi²i jih, £e je to mogo£e.

4. Dolo£i denicijsko obmo£je, izra£unaj ni£le, pole in asimptote nasle- dnjih funkcij ter skiciraj njihove grafe:

(a) f(x) = −3x+ 5, (b) f(x) = −2x²+ 5x+ 3,

(c) f(x) = _x2^2x−3−2x−3, (d) f(x) = ^x2_x^+2x+12−16 ,

5. Dolo£i denicijsko obmo£je in nari²i grafe naslednjih funkcij (pole ali vodoravne asimptote ustrezno ozna£i):

(a) f(x) = 2^x, (b) f(x) = 3^x−2 −1,

(c) f(x) = (¹₂)^x+ 1,

(d) f(x) = 2 ln(x), (e) f(x) = log¹

2(x+ 1). (f) j(x) =−log₁₀(x).

6. Naj funkcija P(t) = _1+9e¹⁰⁰⁰−t predstavlja spreminjanje populacije volkov na nekem obmo£ju v zadnjem desetletju. Kaj nam pove P(0)? Poi²£i inverzno funkcijo funkcije P in razloºi, kaj nam pove P⁻¹(500).

7. Populacija nekih bakterij na goji²£u se vsako uro podvoji. Na za£etku je bilo ²tevilo bakterij10000. S funkcijo predstavi, kako se v odvisnosti od

£asa spreminja populacija bakterij, ter dolo£i njeno inverzno funkcijo.

Oceni, kolik²na bo populacijo bakterij po15urah. Kdaj pa bo bakterij 10⁷ oziroma 10¹⁰?

8. V letu2000so v nekem naravnem okolju na²teli900sokolov. V vsakem naslednjem letu je nato ²tevilo sokolov naraslo za 6%. Kolik²na bo po pri£akovanju populacija sokolov v letih 2020 in 2030, £e upo²teva², da nara²£a eksponentno (linearno)?

9. V kemiji je za merilo kislosti oziroma bazi£nosti vpeljan pH kot 'nega- tivni' logaritem koncentracije oksonijevih ionov (pH = −log₁₀[H₃O]).

Kako se pove£a pH raztopine, £e se koncentracija desetkrat pove£a?

Izra£unaj pH raztopine z 10⁻⁷mol/l oksonijevih ionov.

10. Poi²£i denicijska obmo£ja, ni£le, periode, pole, asimptote, periode, to£ke lokalnih minimumov oziroma maksimumov, ter nari²i grafe na- slednjih funkcij:

(a) f(x) = cos(x), (b) f(x) = 2 sin(x− ^π₆),

(c) f(x) = tan(x) + 1, (d) f(x) = arcsin(x),

11. Gladina vode v nekem kraju ob morski obali je zaradi plimovanja ob razli£nih £asih dneva razli£na. Med oseko je gladina vode najmanj 2m, med plimo pa najve£ 6m. Oseka nastopi vsakih12ur. S sinusno funk- cijo modeliraj gladino morja v odvisnosti od £asa, t.j. dolo£i parametre funkcije y(t) =Asin(at+b) +B. Skiciraj ²e graf funkcije.

12. Re²i naslednje ena£be:

(a) 4^x−2^x+1−8 = 0,

(b) log₂(x+ 1) + log₂(x) = 1.

(c) sin(x) = ¹₂,

(d) arctan(_x+1^x ) = −1. 13. Dano je zaporedje a_n= 1 + _n².

(a) Ugotovi, od kod naprej se £leni zaporedja od1razlikujejo za manj kot ₁₀₀¹ .

(b) Za poljubenε >0poi²£i takN (odvisen odε), da bo |a_n−1|< ε zan > N. Odtod sklepaj na limn→∞a_n= 1. Utemelji.

14. Izra£unaj naslednje limite:

(a) limn→∞ −3n+2 2n+1 , (b) limn→∞ 2n²−n−2

n²+n+2,

(c) limn→∞ n² 2ⁿ, (d) limn→∞(1 + _n²)ⁿ, 15. Dana naj bo funkcija f(x) = _1+x⁴ .

(a) Kateri vrednosti se pribliºujejof(0,9),f(0.99),f(0.999), . . .? Kaj pa vrednosti f(1.001), g(1.01),g(1.1), . . .?

(b) Za koliko najve£ se vrednostf(x)razlikuje od vrednosti f(1) = 2,

£e je x ∈ [0.8,1.1]. (Nasvet: Upo²tevaj, da je funkcija na tem intervalu padajo£a.)

(c) Za najve£ koliko se lahkox razlikuje od1, da se bo vrednostf(x) zagotovo razlikovala od f(1) = 2za manj kot ₁₀₀¹ .

(d) Za najve£ koliko se lahko x razlikuje od 1, da se bo vrednost f(x) zagotovo razlikovala od f(1) = 2 za manj kot . Spomni se na deniciji zveznosti in limite funkcije f(x) v to£ki x = a, ter ugotovi, ali je f zvezna v x= 1 oziroma ali obstaja lim_x→1f(x).

(e) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(10), f(100), f(1000), . . .? Kaj pa vrednosti f(−10),f(−100), f(−1000), . . .?

(f) Najmanj kako velik mora bitix, da se bo vrednostf(x)razlikovala od 0za manj kot ₁₀₀¹ .

(g) Kako velik mora bitix, da se bo vrednostf(x)razlikovala od 0za manj kot. Dolo£ilimx→∞f(x), £e obstaja.

(h) Dolo£i limx→−∞f(x), £e obstaja.

(i) Kateri vrednosti se pribliºujejof(−0,9),f(−0.99),f(−0.999),. . .. Kateri vrednosti pa se pribliºujejo vrednosti f(−1.1), f(−1.01), f(−1.001), . . .? Koliko je limx→−1⁻f(x)? Kaj pa limx→1⁺f(x)? Odgovora utemelji.

16. (a) Dana je funkcija g(x) = ^sin(2x)_x . Kateri vrednosti se pribliºujejo vrednosti g(0.1), g(0.01), g(0.001), . . .? Ali je ta vrednost limita funkcije g, ko gre x→0? Odgovor utemelji.

(b) Ali je graf funkcije

h(x) =

_sin(2x)

x , x6= 0 5, x= 0

sklenjen? Kako bi popravil predpis funkcije, da bi bil graf skle- njen?

17. Dolo£i denicijska obmo£ja in razi²£i obna²anje funkcij na robu njihovih denicijskih obmo£ij, poi²£i asimptote, £e obstajajo:

(a) f(x) = √

x²−1, (b) f(x) = ln(x³+ 1),

(c) k(x) = xe^−x,

(d) f(x) = ^2x+1_x−1, (e) f(x) = ^x3_x^−x2+x+1^2−x+1, (f) f(x) = arctan(2x+ 3), (Opomba: Funkcija A(x) je asimptota funkcije f(x) v ±neskon£nosti (t.j. x→ ±∞), £e je limx→±∞(f(x)−A(x)) = 0.

18. Izra£unaj naslednje limite:

(a) limx→−1 x²−1 x+1, (b) limx→1 x²+x−2

x²+2x−3, (c) lim_x→1 ^x_x³2⁻¹−1,

(d) limx→0 sin(x) 2x , (e) limx→0

sin(^3x₂ ) 5x , (f) limx→0 sin(3x)

sin(2x),

(g) limx→0(1 +x)^2x, (h) limx→0(1 + 3x)^2x,

(i) limx→∞ 2x−2 x+2, (j) limx→∞ 3x²+x−1

4x²−x+2,

(k) limx→∞ −2x²+x−2 3x²+2x−3, (l) limx→∞ 2^x

3^x, (m) limx→∞ 3^x

2^x,

(n) limx→∞(1 + _2x¹ )^3x, 19. Dani sta funkciji:

f(x) =

x+ 2, x <−1

x², −1≤x , g(x) =







x+ 3, x <−2 x², −2≤x <1 2−x, x≥1

.

Poi²£i limx→−1⁻f(x), limx→−1⁺f(x), limx→−1f(x), ter limx→−2⁺g(x), lim_x→−2⁻g(x), lim_x→−2g(x), lim_x→1⁺g(x) in lim_x→1⁻g(x). Ali je ka- tera funkcija zvezna (t.j njen graf je sklenjen) povsod? Nari²ite ²e grafa funkcij.

20. Za katera realna ²tevila a, b∈R je funkcija

f(x) =







x−b, x >1 ax², 1≥x≥ −1 4 + ¹_x, x <−1 zvezna na vsej realni osi?

21. (a) Gostota zraka v atmosferi se z vi²ino spreminja. Ali zvezno?

(b) Sredstvo A ima lomni koli£nik n₁, sredstvo B pa lomni koli£niko n₂. Ali se lomni koli£nik pri prehodu iz sredstva A v sredstvo B spremeni zvezno?

22. Z besedami opi²i metodo bisekcije in nato utemelji, zakaj imajo funkcija ni£le na danih intervalih, ter jih opisano metodo poi²£i (napravi vsaj

²tiri korake):

(a) f(x) = x⁴−2, x∈[1,2], (b) f(x) = x³+ 2x²−1, x∈[0,1],

(c) g(x) =x³+ 2x−1, x∈[0,1], (d) f(x) = x−cosx, x∈[0,^π₂].

1.2 Odvod in uporaba odvoda

1. Zapi²i natan£no denicijo odvoda funkcije f(x) v poljubni to£kix=a in po deniciji izra£unaj odvode:

(a) f(x) = 2x³ + 2x+ 1 v to£ki x= 1, (b) f(x) = √

xv to£ki x= 2, (c) f(x) = _2x+1¹ v to£kix= 0.

2. Zapi²i pravila za odvajanje produkta f(x)· g(x), kvocienta ^f(x)_g(x) ter kompozituma (f◦g)(x) =f(g(x)) dveh odvedljivih funkcij f in g, ter odvajaj naslednje funkcije:

(a) y= 2x⁴ −x⁻¹+ 2x⁻³+x¹², (b) y=x⁴+ 2x⁻³+x¹² + 2,

(c) y= _x¹ − _x³2 +√³

x− ^√3_x, (d) y= 3 sinx+ 4 cosx,

(e) y= 3e^x−2^x+ 3 lnx, (f) y= ch(x),

(g) y=xe^x,

(h) y= (x+ 2) logx,

(i) y= (x²+cosx)(arcsinx+x³), (j) y= _ln^ex_x,

(k) y= ^2x_sin²⁺¹_x ,

(l) y= ^arctan_x2 ^x, (m) y= tanx,

(n) y= sin(6x),

(o) y= arctan(2x) +e^2x, (p) y= (1 +x²)²⁰,

(q) y=√³

2x+ 1, (r) y= log(3x²−1),

(s) y= ln(x²+ 3) arctan(3x), (t) y= ^sin(3x+

π 2) x²+e^2x , (u) y=p³

ln(4e^x+x⁵). (v) y=x^x.

3. Ali je funkcija

g(x) =







2x−1, x > 1 x², −1≤x <1 2 +x, x≤ −1.

odvedljiva (zvezno) v to£kah x= 1 oziroma x=−1?

4. Potek neke kemijske reakcije dveh snovi v nekem momentu pospe²imo s katalizatorjem, ki v trenutku pospe²i reakcijo. Ali je hitrost take kemijske reakcije gladka funkcija?

5. Dani sta funkciji

(a) f(x) = x³−3x+ 1, (b) f(x) = ^x₃³ −2x²+ 5x+ 1,

• Dolo£i tangento na graf funkcije v to£kah (0, y₀) ali (1, y₁). Ali katera izmed tangent na graf funkcije seka x-os pod kotom ^π₄? ƒe ne, potem poskusi ugotoviti, pod kak²nim kotom ta tangenta seka x-os?

• Poi²£i tudi vse tangente na graf funkcije g, ki so vzporedne pre- mici y = 9x−2, t.j. poi²£i vsaj eno tangento na graf funkcije s koecientom9, £e le-ta obstaja.

• Poi²£i kak²no tangento oziroma njen pribliºek na graf funkcije, ki gre skozi to£ko (0,0), t. j. oblike y=kx.

6. Razloºi, kako s pomo£jo odvoda poi²£emo stacionarne to£ke odvedljive funkcije f(x). Kako lahko ugotovimo, ali je v stacionarni to£ki doseºen lokalni minimum, lokalni maksimum ali prevoj? (Ali to deluje vedno?) Svojo razlago nato utemelji ²e na primerih:

(a) f(x) = x³−3x+ 1,

(b) f(x) = ³₂x⁴−8x³+ 12x²−2,

(c) f(x) = xe^−x, (d) f(x) = x²e^x,

7. Natan£no opi²i strategijo iskanja globalnih ekstremov za odvedljivo funkcijo f(x), denirano na intervalu, ter dolo£i globalni maksimum in minimum funkcije:

(a) f(x) = (x−1)²(x+ 2), x∈[−3,³₂], (b) f(x) = √

x(2−x), x∈[0,2),

(c) f(x) = (x² + 3x+ 1)e^x, x∈[−5,0], (d) f(x) = x³e^x, x∈[−4,1].

8. Zapi²i ²tevilo2017 kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil, da bo njun produkt najve£ji.

9. Zapi²i ²tevilo 11kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil x iny, da bo vsota prvega ²tevila in kuba drugega ²tevila minimalna.

10. V polkrog z radijem 1 v£rtaj pravokotnik z maksimalno plo²£ino.

11. Babica Francka ºeli imeti zelenjavni vrt pravokotne oblike, ki bo tik ob eni izmed sten njene hi²e. (Ograditi je treba le tri stranice.) Kak²nih dimenzij naj bo vrt, da bo

(a) njegova povr²ina najve£ja, ter bo zanj zadostovalo10metrov ograje?

(b) njegova povr²ina enaka10m², ter bo zanj potrebno najmanj ograje?

12. Kak²ne morajo biti dimenzije plo£evinke z volumnom 0.33l v obliki valja, da bo njihova izdelava najcenej²a.

13. V neki tovarni pakirajo kavo v kartonaste posodice, ki so oblike kvadra s kvadratnim dnom, pri £emer je pokrov£ek posodice iz plastike. Cena 1dm² kartona je 2 centa, cena 1dm² plastike pa 1 cent.

(a) Zapi²i funkcijo, ki predstavlja volumen steklenega dela posodice, narejenega iz 12dm² kartona, v odvisnosti od ene stranice poso- dice. Kak²ne naj bodo dimenzije take ²katle, da bo njen volumen najve£ji.

(b) Zapi²i funkcijo, ki predstavlja ceno posodice z volumnom1dm³ v odvisnosti od stranice posodice. Izra£unaj tudi, kak²ne naj bodo dimenzije posodic, da bodo stro²ki materiala minimalni.

14. Dane so funkcije:

(a) f(x) = x³−3x+ 1, (b) f(x) = x⁴−6x² + 8x+ 4,

(c) f(x) = x√

1−x², (d) f(x) = ^√x−1

x³, (e) g(x) = ^e_x^x2,

(f) f(x) = (x² −2x−1)e^12x,

(g) f(x) = x³e^−2x, (h) f(x) = 5xe^−x2,

(i) f(x) = ln(2x−1)−3x, (j) f(x) = ^ln(x)_x ,

(k) f(x) = −x²+ 2 log(x),

• Danim funkcijam dolo£i denicijsko obmo£jeD_f, pole, ni£le, asimp- toto, lokalne ekstreme, intervale nara²£anja ter padanja, zalogo vrednosti, ter nari²i njihove grafe.

• Dolo£i tudi intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje danih funkcij.

1.3 Nedolo£eni integral

1. Natan£no opi²i, kaj pomeni, da je funkcijaF nedolo£eni integral funk- cijef. Ali ima funkcija lahko ve£ nedolo£enih integralov? Odgovor ute- melji. Nedolo£ena integrala katerih funkcij sta funkcijiF(x) =xsin(x) in G(x) = x²e^x?

2. Izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:

(a) R

(2x³+x³² + 3x⁻¹² + 4)dx, (b) R

(√³

x− ^√3_x + ¹_x −_x³2)dx, (c) R

(2^x−2 −e^2x)dx,

(d) R

(3 sin(2x) + 4 cosx)dx, (e) R ₃

1+x²dx, (f) R ₁

√1−4x²dx.

3. Natan£no opi²i pravilo zamenjave spremenljivke v nedolo£enem inte- gralu in izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:

(a) R

(2x+ 1)¹⁵dx, (b) R

3xcos(x²+^3π₄ )dx, (c) R cos√

√ x x , (d) R

x√³

x²+ 1dx, (e) R _x²

√1+x³dx, (f) R

xe^−x2dx,

(g) R

√

ln(x)+1 x dx, (h) R (lnx)³+1

x(lnx) dx, (i) R

(sin(x) + 2)⁵cos(x)dx, (j) R sinx(√³

cosx+(cosx)²)

cosx dx,

(k) R _sinx

1+cos²(x)dx, (l) R _sinxcosx

√3

1+cosxdx.

4. Natan£no opi²i pravilo integracije 'per-partes' in izra£unaj naslednje integrale:

(a) R

xsin(2x)dx, (b) R

(2x−3) cos(5x)dx, (c) R

3xcos(5x+^2π₃ )dx, (d) R

(2x²+ 1) sin(x)dx,

(e) R

(x+ 1)e^−3xdx, (f) R

(3x²+x−2)e^xdx, (g) R

(x²−3x+ 1) ln(x)dx, (h) R

(x⁴+ 2x) lnxdx. 5. Izra£unaj nedolo£ene integrale naslednjih racionalnih funkcij:

(a) R _2x³_+2x+1

x−1 dx, (b) R _x⁴_+2x²_+2x+1

x−2 dx, (c) R _x²_+2x−1

x²+1 dx, (d) R _2x−3

x²−2x−3dx, (e) R _x²_+x+1

x²−x−2dx,

(f) R _x²_+9x+2

(x−1)²(x+3)dx, (g) R _dx

2+8x², (h) R _4x

x²+1dx, (i) R _4x+3

x²+2x+2dx, (j) R _−x²_+2x−2

x(x²+1) dx. 6. Izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:

(a) R 2 ln(x) ((ln(x))²+1)xdx, (b) R _(e^x−3)e^x

(e^x+1)(e^x+2)dx,

1.4 Dolo£eni integral in uporaba

1. Zapi²i denicijo nedolo£enega in (na kratko) denicijo dolo£enega in- tegrala. Kako sta oba integrala povezana (osnovni izrek integralskega ra£una)? Izra£unaj naslednja dolo£ena integrala:

Z 3 2

2xdx, Z

√ 3

0

√xdx 1 +x².

2. Natan£no napi²i izjavo osnovnega izreka integralskega ra£una in povej, koliko je odvod danih funkcij v to£ki x= 3π/2:

F(x) = Z x

1

sint

t , G(x) = Z x

0

e^−t2dt.

3. Avtomobila A in B v £asu t = 0 mirujeta, nato pa hitrost avta A v odvisnosti od £asa t∈ [1,20] (v s) opi²emo s funkcijo v_A(t) = 6√

t+ 1 (v m/s), pospe²ek avta B pa z a_B(t) = cos(πx). Kako se v odvisnosti od £asa spreminjata poti avtomobilov? Na prevoºeni poti avtomobilov predstavi osnovni izrek integralskega ra£una. Kolik²no pot prevozita avtomobila med tretjo in osmo sekundo? Kolik²na je njuna povpre£na hitrost v tem £asu?

4. Natan£no razloºi, kaj geometrijsko predstavlja dolo£eni integral funk- cije f na intervalu [a, b], oznaka Rb

af(x)dx, ter izra£unaj plo²£ino lika, ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:

(a) y= 4√

x, x= 2, y= 0. (b) y=x²+x−2, x-os,

(c) y=e^−x,x=−1,y = 1, (d) f(x) = x³−3x+ 1, y=−1,

(e) y=x²−1, y=−x+ 1,

(f) y= _3x2^x+2,x= 1,x= 2,x-os, (g) y=√

x,y= _x¹2, y= 1, (h) y=√

x,y=x−2,y-os.

(i) f(x) = xe^−x, y=0, x= 1, (j) f(x) = ^ln(x)_x , y= 0, x=e².

5. Izra£unaj obseg lika, podanega s krivuljami z ena£bami:

(a) y=x√

2x, x= 2, y= 0, (b) y= 2√

x³, y= 0, x= 1,

(c) y=−2x, y=√

x³ inx= 1, (d) y= log(sin(x)), x∈[^π₃,^2π₃ ]. (Nasvet: Dolºino grafa funkcije g nad intervalom[a, b] izra£unamo po formuli L=Rb

a

p1 + (g⁰(x))²dx.)

6. Izra£unaj volumen vrtenine, ki jo dobimo, £e okrog x-osi zavrtimo lik, ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:

(a) y= _x¹ + 1, x= 2, x= 3, (b) y=e^−x,y =e^x, x= 1,

(c) y=x²√

2x, x= 2,y= 0. (d) x²+y² = 5,

(e) f(x) = √

x,g(x) = x³

(f) y= sin(x) zax∈[0, π], x-os, (g) y=xe^x,x= 1,y = 0,

(h) y=√

x,y= 6−x,y = 0 . (Nasvet: Volumen vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra-

£unamo po formuli L=πRb

a(g(x))²dx.)

2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji in kemiji

2.1 Diferencialne ena£be 1. reda

1. Preveri, ali so zapisane funkcije re²itve pripadajo£ih diferencialnih ena£b na levi:

(a) y⁰ = 3x², y=x³,

(b) y⁰ =y+ 1, y = 4e^x−1,

(c) y⁰⁰+y= 0, y= 3 sin(x), (d) y⁰⁰−2y⁰+y= 0, y =xe^x. 2. Gra£no, t.j. s pomo£jo slike polja naklonov, poi²£i obliko re²itve in

nato re²i naslednje diferencialne ena£be:

(a) y⁰ = ¹₂y+ 1, (b) y⁰ = 1 +y²,

(c) y⁰ = ^y_x, (d) y⁰ =x.

3. Pri danih za£etnih pogojih re²i naslednje diferencialne ena£be z lo£lji- vima spremenljivkama:

(a) y⁰ =y+ 1, y(0) = 1, (b) y⁰ = 2y+ 3, y(0) = 1.

(c) y⁰ =y⁴, y(1) = 2, (d) y⁰ = 1 +y², y(0) = 1,

(e) y⁰ = (2−y)(1−y), y(0) =−1, (f) y⁰ =−_y^x2, y(0) = 1. (g) x²y⁰ =y, y(1) = 1,

(h) y⁰ =−^xy₂ , y(0) = 2, (i) xy²y⁰ = 1−x², y(1) = 1, (j) (x²−1)y⁰ = 2y, y(0) = 1, (k) y⁰ =x(1 +y²), y(0) = 0,

(l) y⁰ = (1 +x²)y², y(1) = 2, (m) xy²y⁰ = 1 +x⁴, y(1) = 1,

(n) y⁰ =−2y²e^2x, y(0) = 2. 4. Poi²£i splo²ne re²itve naslednjih diferencialnih ena£b z lo£ljivima spre-

menljivkama:

(a) xy⁰ = (1 +x²)y, (b) y⁰ = 2y(1 +x²),

(c) y⁰ =y(1−y), (d) y⁰ =−y(1 +y).

(e) y⁰ =−2yx, (f) y⁰ =−^y_x,

(g) y⁰ =−^x_y, (h) (1 +x²)y⁰ =y.

(i) xy= (1 +x²)y⁰, (j) 2yy⁰ = (1 +x²), (k) (1 +e^x)yy⁰ =e^x,

(l) xy² =e^−xy⁰,

5. Re²i naslednje linearne diferencialne ena£be:

(a) y⁰+ 2y= 1, (b) y⁰−y= 2x.

(c) y⁰+y=x²+ 1, (d) y⁰−y=e^3x,

(e) xy⁰−y= 2x⁻¹

(f) y⁰+ 2xy=x, y(1) = 1, (g) xy⁰+y=x²+1, y(1) =e, (h) y⁰−2xy=x,

(i) 2xy⁰+y= 2x³. (j) x²y⁰+xy=−1.

(k) y⁰− ^y_x =x³, (l) xy⁰+y=e^2x,

(m) xy⁰−y=x, y(2) = 0, (n) y⁰+2xy= 4x, y(0) = −1, (o) xy⁰−y=x⁴, y(1) =−2, (p) y⁰+ 3x²y= 6x², y(0) = −1. (q) y⁰−(2−¹_x)y=x, y(−1) =e, (r) xy⁰+y=e^x, y(−1) =e. (s) y⁰+y= _1+e¹x,

(t) xy⁰+ 2(1−x²)y= 1.

6. Re²i naslednje homogene, Bernoullijeve oziroma Riccatijeve diferenci- alne ena£be:

(a) y⁰ = ^(x+y)_2x2²,

(b) xy⁰−y=xtan(^y_x), (c) xy⁰−y=xe^yx. (d) xy⁰−y=y³,

(e) y⁰−y=−x²y⁻¹, (f) y⁰− ^y_x +^y_x² = 0,

(g) y⁰ =xy²+ (1−2x)y+x−1, (h) (1−x²)y⁰ = 1−y²,

(Nasvet: Pri homogeni ena£bi uvedi novo spremenljivko u = ^y_x, ter upo²tevaj, da je y⁰ = xu⁰ +u. Pri Bernoullijevi ena£bi uvedi novo spremenljivko z =y^1−α, ter z upo²tevanjem z⁰ = (1−α)y^−αy⁰ prevedi ena£bo do linearne. Pri Riccatijevi ena£bi pa ugani partikularno re²itev y_p, ter jo z nastavkomy(x) =y_p(x)+z(x)prevedemo na Bernoullijevo.) 7. Nek znanstvenik prou£uje telesno teºo ljudi, ki dnevno zauºijejo 2000 kalorij in ohranjajo enako stopnjo telesne aktivnosti. Predpostavi, da je hitrost spreminjanja teºe sorazmerna razliki med koli£ino zauºitih kalorij in porabo kalorij, ki je enaka 20 kalorij na kilogram trenutne teºe. Utemelji ena£bo y⁰(t) = k(2000− 20y(t)), kjer je y(t) teºa (v kilogramih) v £asu t, k pa neka konstanta. Kako se v odvisnosti od

£asa spreminja teºa 90kilogramov teºkega £loveka, £e je k = 0.002? 8. Neka agencija ogla²uje nek izdelek. Predpostavimo, da je hitrost infor-

miranosti populacije o izdelku sorazmerna deleºu populacije, ki o njem

²e ni ni£esar sli²ala. Kolik²en deleº populacije pozna izdelek po dveh letih, £e po enem letu izdelek pozna ºe polovica.

9. Na nekem otoku razsaja neozdravljiva bolezen. Hitrost ²irjenja bolezni je sorazmerna produktu deleºa okuºenih in deleºa zdravih v populaciji.

Kolik²en deleº populacije bo okuºen po enem letu, £e je na za£etku oku- ºenih10%, po enem mesecu pa je okuºenih ºe 20%populacije. Ugotovi tudi, kaj se dogaja, ko gre t→ ∞.

10. Na nekem obmo£ju v £asutºivi populacija volkovy(t). Obmo£je lahko prenese maksimalno populacijo 100 volkov, zato je hitrost nara²£anja populacije premosorazmerna produktu velikosti trenutne populacije, y(t) in razliki do maksimalne populacije, 100− y(t). Kako se s £a- som spreminja populacija volkov, £e je y(0) = 50,y(1) = 60?

11. Pri neki kemijski reakciji iz ene molekule snoviAin ene molekule snovi B nastane ena molekula snovi C, hitrost nastajanja snovi C v £asu t pa je sorazmerna produktu mnoºin snovi A inB v tem £asu t. Naj bo y(t) koncentracija snovi C v £asu t, a0 in b0 pa za£etni koncentraciji snovi Aoziroma B. Utemelji ena£bo y⁰(t) = k(a₀−y(t))(b₀−y(t)), ter poi²£i splo²no re²itev. Dolo£i mnoºino snovi C, £e sta za£etni mnoºini snovi A oziroma B pa2mola, po eni minuti pa imamo 1mol snovi C. 12. Med neko kemijsko reakcijo iz snovi A nastaja snov B.

(a) Naj bo hitrost spreminjanja mase snovi A v £asu t sorazmerna kvadratu mase snovi A, prisotne v £asu t. Utemelji ena£bo y⁰ = ky², kjer je y(t) masa snovi A v £asu t, k pa neka konstanta.

Kolik²na je masa snovi A po dveh urah, £e je na za£etku masa snovi A enaka 60g, po eni uri pa10g.

(b) Naj bo reakcija avtokatalizatorska, t.j. naj se njena hitrost po- ve£uje tudi s koli£ino novonastale snovi in je sorazmerna masama prisotnih snovi A oziroma C. Opi²i spreminjanje mase snovi C. 13. V neki sobi je 100m³ zraka. V sobo pri£ne s hitrostjo 0.1m³/min

pritekati cigaretni dim, ki vsebuje 4 procente ogljikovega monoksida, z enako hitrostjo pa iz sobe izteka dobro preme²ana me²anica dima in zraka. Kako se v sobi spreminja koncentracija ogljikovega monoksida?

14. Blizu ºabje mlake, ki vsebuje 500 l vode, se razlije cisterna s kemikali- jami. V mlako za£ne s hitrostjo 10 l/min pritekati onesnaºena vodna

raztopina, ki vsebuje1g kemikalij na1l raztopine. Iz mlake pa izto£a- sno preko majhnega poto£ka z enako hitrostjo izteka dobro preme²ana zmes. Kako se s £asom spreminja koli£ina kemikalij v mlaki?

15. V rezervoarju je na za£etku 200kg vodne raztopine s 100g raztopljene soli, nato pa za£ne vanj s hitrostjo 3kg/min pritekati raztopina z 1g soli v kg raztopine, ven pa s hitrostjo 2kg/min izteka dobro preme²ana me²anica. Kako se v odvisnosti od £asa t spreminja masa soli y(t) v rezervoarju?

(Nasvet: Opazi, da je hitrost spreminjanja soli v rezervoarju y⁰(t) v

£asu t enaka razliki hitrosti 'pritekanja' oziroma 'odtekanja' soli.)

2.2 Diferencialne ena£be 2. reda

1. Re²i naslednje diferencialne ena£be tako, da zniºa² njihov red:

(a) x²y⁰⁰+xy⁰ = 1, (b) y⁰⁰⁰−y⁰⁰ =x²,

(c) (y⁰⁰)² = (y⁰)²+ 1, (d) yy⁰⁰ = (y⁰)², 2. Re²i naslednje diferencialne ena£be:

(a) y⁰⁰+ 4y= 0,y⁰(0) = 6,y(0) = 2, (nevsiljeno nihanje) (b) y⁰⁰−4y = 0,

(c) y⁰⁰+ 2y⁰+ 5y= 0,y⁰(0) =−4, y(0) = 2, (du²eno nihanje) (d) y⁰⁰+ 2y⁰+y= 0,y⁰(0) =−4,y(0) = 2,

(e) y⁰⁰−y⁰−2y= 0, y⁰(0) = 2, y(0) =α, (f) y⁰⁰+y⁰−6y = 4e^2x, y(0) = 1 in y⁰(0) =−2. (g) y⁰⁰−y⁰−6y= (2x−3)e^x,y⁰(0) =−1in y(0) = 2 (h) y⁰⁰−4y⁰+ 4y= (3x−2)e^−x,

(i) y⁰⁰−5y⁰+ 4y= (3x−2)e^2x.

(j) y⁰⁰−5y⁰+ 6y= (2x−1)e^x, y(0) =−1 iny⁰(0) = 2 (k) y⁰⁰−2y⁰ =e^3x+x+ 1,

(l) y⁰⁰+y⁰+y = 3 cos(2x), y⁰(0) = 0, y(0) = 2, (resonanca) (m) y⁰⁰−2y⁰+ 5y=e^−xcos(2x),

(n) y⁰⁰−2y⁰+ 5y=e^xcos(2x).

(o) y⁰⁰+y = 3 cos(ωx),y(0) = 1, y⁰(0) = 1, ω ∈ {0.8,1}.

(p) x²y⁰⁰+ 4xy⁰ + 2y= 0,

(q) x²y⁰⁰−2xy⁰+ 4y=x²+ 2 ln(x).

Poi²£i ²e maksimum re²itve na intervalu [0,∞). Dolo£iα, da bo limx→∞y(x) = 0.

3. Z metodo variacije konstant re²i naslednje diferencialne ena£be:

(a) y⁰⁰+ 2y⁰+y=x⁻²e^−x, (b) y⁰⁰+ 4y= _sin(2x)³ ,

(c) y⁰⁰−3y⁰+ 2y= _1+e¹−x, (d) y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= sine^x

(Nasvet: Uporabi nastaveky =Ay₁+by₂, kjer stay₁, y₂re²itvi hoogene ena£be, odvoda funkcij A in B pa re²itvi sistema A⁰y₁ +B⁰Y₂ = 0, A⁰y₁⁰ +B⁰Y₂⁰ =f, f desna stran diferencialne ena£be.)

4. Na vzmet obesimo uteº, ki zaniha okrog razmnovesne lege. Pospe²ek y⁰⁰ je sorazmeren odmikuyod ravnovesne lege v £asut, t.j. y⁰⁰+ky = 0, kjer jek koecient vzmeti. Kako niha uteº, ce jey(0) = 4,y⁰(0) = 400, y⁰⁰(0) =−40?

5. Ko na uteº obesimo na vzmet s teºo 20 gramov, se ta raztegne za 3 centimetre. Nato uteº izmaknemo ²e za 3 centimetre in spustimo, da zaniha z y⁰(0) je 1 centimeter/sekundo. Opi²i gibanje vzmeti. Dolo£i aplitudo in frekvenco (A=Rcos(δ), B =Rsin(δ)).

2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda

1. Dani so sistemi linearnih ena£b:

(a) y⁰ = 3y z⁰ = y+z , (b) y⁰ = −y −z

z⁰ = 2y −z , (c) y⁰ = y −4z

z⁰ = 4y −7z , (d) y⁰ = 2y−z +x

z⁰ = −y+ 2z+ 1 .

(e) y⁰ = −2y −4z +1 + 4x z⁰ = −y +z +³₂x² , (f) y⁰ = 2y −z +e^x

z⁰ = 3y −2z +x , (g) y⁰ = 4y −2z +x⁻³

z⁰ = 8y −4z −x⁻² , (h)

x⁰ = x +2y +z y⁰ = 6x −y z⁰ = −x −2y −z

.

• Zapi²i re²itev homogenega dela sistema. Nato poi²£i partikularno re²itev sistema in zapi²i splo²no re²itev sistema.

• Re²i sistem pri za£etnih pogojih y(0) = 3 in z(0) = −2, £e je to mogo£e.

Nasvet: Sistem linearnih diferencialnih ena£b lahko prevede² do dife- rencialne ena£be drugega reda, lahko pa s pomo£jo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev matrike ustreznega homogenega sistema dolo£i² re²itve sistema.

2. Dan je nelinearen sistem ena£b

u⁰ =u(200−v) v⁰ =v(u−100) ,

ki predstavlja sobivanje dveh populacij, zajcev (u) in lisic (v).

(a) Kaj lahko pove² o trenutnem nara²£anju oziroma padanju popu- lacij, ko jeu= 50 in v = 10, ter kaj velja, ko je u= 10 inv = 50. (b) Ugotovi, kdaj je katera izmed populacij stabilna, t.j u˙ = 0 ali

˙

v. Kaj se takrat dogaja? Opi²i dinamiko populacije za£etnih 200 zajcev in 200 lisic.

3 Vektorji in matrike

3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami

1. Dane so matrike

• A=

1 −1 2 0

,

• B =





2 1 −1

0 2 1

3 −1 2



,

• C =





2 1 2

1 2 0

−1 −3 1



,

• D=





2 1

1 −1

−3 0



,

• E =

−2 1 3 0 0 2 −1 1

,

• F =

2 0 4 1 −1 −2

,

• G=





1 −2 3 −1

−2 3 5 1 0 −1 −2 0



,

• H =









2 −1 3

−1 2 2 2 −3 0

0 3 −1







. (a) Ugotovi, katere matrike lahko se²teje² oziroma pomnoºi² z2. Ma-

trike pomnoºi tudi z ni£elno matriko oziroma z identiteto.

(b) Ugotovi, katere matrike lahko pomnoºi² s stolpci (t.j. vektorji) a = [3,1]^T, b = [1,−1,3]^T, c = [1,1,0,−1]^T in katere z vrsticami a^T = [3,1], b^T = [1,−1,3], c^T = [1,1,0,−1].

(c) Izra£unaj tiste izmed produktov danih matrik, ki so dobro deni- rani. Ali kateri matriki komutirata? (Matriki X, Y komutirata,

£e velja XY =Y X.)

(d) Izberi tiste izmed izrazov A²−3A, CB+ 2A,(2I₂+A)(2B−I₃) inBCD, ki so dobro denirani, ter jih izra£unaj.

2. Dane so matrike (a) A=

2 1 1 2

,

(b) A=





3 −2 −4

2 3 2

−1 5 6



,

(c) A=





1 2 3 2 3 4 3 4 6



,

(d) A=





1 2 3 0 1 4 5 6 0



,

(e) A=





1 0 2

−1 1 −3 2 2 1



, (f) A=





2 1 −3 0 2 1 1 2 −1



.

• Izra£unaj determinante danih matrik, £e je to mogo£e. (Deter- minante izra£unaj na ve£ razli£nih na£inov, npr. z razvoji po vrsticah oziroma stoplcih ali po diagonalnem pravilu.) Preveri tudi, kaj se zgodi z determinanto, £e matrikam zamenja² stolpce oziroma vrstice ali pa jih pomnoºi² s3.

• Obrnljivim matrikam poi²£i njihove inverzne matrike.

3. V trgovini A stane kilogram jabolk 1.5 EUR na kilogram, kilogram banan pa1EUR, v trgoviniBpa stanejo jabolka1.25EUR/kg, banane pa 1.2 EUR/kg.

(a) Babica Francka ºeli kupiti 3 kilograme jabolk in 2 kilograma ba- nan, babica Zvonka pa ºeli kupiti2kilograma jabolk in3kilograme banan. S pomo£jo matrik enostavno izra£unaj, koliko denarja po- trebujeta za nakup v trgoviniA oziroma B.

(b) Babica Francka ºeli v tem mesecu v trgovini za jabolka in banane skupaj porabiti v prvi trgovini porabiti 10 EUR, v drugi pa 11 EUR. Babica Zvonka pa namerava v obeh trgovinah za jabolka in banane zapraviti po 12 EUR. Koliko sadja dobita za ta denar v posamezni trgovini?

4. Dani so pari matrik:

(a) A=





1 2 3 2 3 4 3 4 4



, B =





1 2 −2

−1 1 3 1 −2 0



,

(b) A=





1 1 1

−1 0 0 0 −1 0



, B =





1 −1 1 0 1 −1 2 −1 1



,

(c) A=





2 1 −3 0 2 1 1 2 −1



, B =



 3 1

−1



,

(d) A=





2 1 2

1 2 0

−1 −3 1



, B =

2 0 4 1 −1 −2

.

Poi²£i matriki X in Y, ki re²ita matri£ni ena£bi AX = B oziroma Y A=B, £e sta smiselno denirani.

(Nasvet: Izra£unaj inverz A⁻¹ matrike A.) 5. Dane so matrike:

(a) A=





−1 3 2 0 1 1 2 0 1



, B =I₃, C =



 1

−2 0



,

(b) A=





1 −1 0 0 2 −1 1 1 −2



, B =





−1 0 1 1 1 −2 1 0 0



, C =





2 3 −1 1 1 0 1 2 −1



. Re²i matri£no ena£no AX =BX+C, £e je le-to mogo£e.

3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz bi- ologije

1. Dane so matrike

A =





1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3



, B =





2 −2 4

−1 3 4 1 −2 −3



, C =





5 2 −3 1 3 −1 2 2 −1



.

(a) Pokaºi, da je matrikaA nilpotentna reda 3(t.j. A³ = 0), matrika B idempotentna (t.j. B² =B), terC³−7C²+ 13C−5 = 0. Kaj lahko na podlagi tega sklepa² o lastnih vrednostih danih matrik?

(b) Dolo£i tudi karakteristi£ne polinome danih matrik, njihove sledi, determinante, ter lastne vrednosti. Kaj opazi²?

2. Poi²£i vse 2×2 matrike A, za katere velja A² = 0. Kak²ne so njihove lastne vrednosti?

3. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:

(a) A=

0 −2

−2 0

, (b) A=

1 3 0 −2

, (c) A=

1 −1 2 4

,

(d) A=

2 1 4 −1

, (e) A=

0 1 2 −1

, (f) A=

0 1 1 0

.

4. Pokaºi, da sta dana vektorja v₁ in v₂ lastna vektorja matrike A, ter jima poi²£i pripadajo£i lastni vrednosti:

(a) A=





4 −4 2 2 −2 2

−2 2 −2



, v₁ =



 3 1

−1



, v₂ =



 1 1 0



,

(b) A=





3 2 0

2 5 −1

−1 −1 3



, v₁ =



 2

−1 1



, v₂ =





√1

17+3 4 1−√

17 4



.

5. Pokaºi, da sta ²tevili λ₁ oziroma λ₂ lastni vrednosti matrike A, ter poi²£i pripadajo£e lastne vektorje:

(a) A=





1 3 −3

−3 7 −3

−6 6 −2



,λ₁ = 4, λ₂ =−2,

(b) A=





−2 2 −1

2 1 −2

−3 −6 0



,λ₁ = 5, λ₂ =−3,

(c) A=





3 1 1 1 0 2 1 2 0



,λ₁ = 4, λ₂ =−2,

(d) A=





1 −1 0

−1 2 −1 0 −1 1



,λ₁ = 0, λ₂ = 3.

6. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:

(a) A=





−2 0 0

0 0 −1

0 −1 0



,

(b) A=





2 2 6

5 −1 −6

0 0 2



,

(c) A=





1 2 1

6 −1 0

−1 −2 −1



,

(d) A=





−2 2 −3 3 −1 3 4 −2 5



. 7. Utemelji naslednjo trditev: ƒe je λ lastna vrednost matrike A, potem

je λ² + 3 lastna vrednost matrike A²+ 3I.

8. Poi²£i dve razli£ni matriki oblike

a 1 b c

, a, b, c ∈ R, ki imata lastni vrednosti 1 in2.

9. Z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev skiciraj elipso z ena£bo 13x²−10xy−13y² = 72.

(Nasvet: Krivuljo lahko z ustrezno rotacijo spravi² v normalno obliko.) 10. V kostnem mozgu dnevno nastajajo nove rde£e krvni£ke (R_n), soraz- merno toliko, kolikor jih vranica iz krvi izlo£i (M_n). Predpostavimo, da velja R_n+1 = (1−f)R_n+M_n,M_n+1 =f γR_n.

(a) Dani ena£bi zapi²i v matri£ni obliki v_n+1 = Av_n = Aⁿv₀, kjer vn = [Rn Mn]^T.

(b) MatrikiApoi²£i lastne vrednosti in lastne vektorje matrike, ter jih zloºi v diagonalno matrikoD in prehodno matriko P, AP =P D. (c) Opazi, da je A = P DP⁻¹ in Aⁿ = P DⁿP⁻¹. Utemelji: ƒe bi bili lastni vrednosti manj²i od 1, bi imeli lim_n→∞v_n = 0, kar ne mogo£e. Podobno bi pri²li v protislovje tudi pri vsaj eni lastni vrednost ve£ji od1. Odtod sklepaj, da sta lastni vrednosti matrike A enaki 1 in−f.

(d) Izra£unaj R_n in M_n, ter limn→∞R_n in limn→∞M_n. Ali ta model izraºa realno stanje?

11. V nekem gozdu rastejo borovci in smreke. Ko nek bor odmre je ver- jetnost, da na njegovem mestu zraste bor:smreka enako 1 : 3, namesto smreke pa z enako verjetnotjo zraste drevo ene izmed teh vrst. Kako se s £asom spreminja gozd, £e imamo na za£etku 100 smrek in 20 bo- rovcev?

12. Par zaj£kov v enem mesecu odraste. Po dveh mesecih in nato vsak na- slednji mesec ima par odraslih zajcev po dva potomca razli£nega spola.

Pari potomcev spet po enem mesecu odrastejo in imajo vsak naslednji mesec prav tako dva potomca razli£nega spola itd. Z zaporedjiOm,Mn

oziromaF_npredstavi ²tevil£nost odraslih, mladih oziroma vseh zajcev v n-ti generaciji, ter poi²£i rekurzivne zveze zaporedij. Z uporabo matrik izra£unaj koliko zajcev bo po 100 mesecih.

3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b

1. Dolo£i range naslednjih matrik:

(a) A=









1 1 −1

−1 1 −1 2 −2 2

1 0 −1









(b) A=









−1 −2 −4 2

1 2 4 −2

2 −3 −2 4

−1 5 6 −6







,

(c) A=





1 −1 2 2 3 −1 −2 4 5 −1 −6 6



,

(d) A=









1 1 −1 1 2

−1 1 −1 2 5

3 1 2 −1 −2

2 2 2 −1 1.







 .

2. Dani so sistemi ena£b:

(a)

x −y +2z = 2 3x −y −2z = 4 5x −y −6z = 6.

,

(b)

x +y +z = 6

x +2y +2z = 11 2x +3y −4z = 3

,

(c)

x −y +2z = 2 3x −y −2z = 4 5x −y −6z = 8

,

(d)

x +y −z = 2

−x +y −z = 5 2x +2y +2z = 1

.

• Izra£unaj determinanto matrike koecientov danega sistema ena£b.

Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra- merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£b re²i ²e z Gaussovo eliminacijo.

• Vzemi prvi dve ena£bi danega sistema in dolo£i vse njune skupne re²itve.

• Danemu sistemu dodaj ena£bo x+y+z = 1 in premisli, ali je novonastali sistem re²ljiv?

3. Trije otroci se pogovarjajo o bombonih. Prvi ugotovi, da bi imel skupaj kar 32bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po polovico svojih.

Drugi bi imel28bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po tretjino svojih bonbonov. Tretji pa bi imel31bonbonov, £e bi mu preostala dva dala po £etrtino svojih sladkarij. Koliko bonbonov ima vsak od njih?

4. Zapi²i in re²i sistema treh (oziroma ²tirih) ena£b in treh (oziroma ²tirih) neznank, ki

(a) ima natanko eno re²itev.

(b) ima neskon£no re²itev.

(c) nima re²itev.

Zna² poiskati tako nehomogen kot homogen sistem?

5. Dani so sistemi ena£b:

(a)

x + y − z + w = −2

2x + y − 2z + 3w = −5

−3x − y + z + 2w = −3

x + y + z − w = 4.

,

(b)

x + y + z − w = 4

3x − y + 3z − w = 2

−2x − 2y + z − w = −5

−x − y + z + 2w = −5 ,

(c)

x − 2y + 3z − 4w = 4

−x + 3y − 4z + 5w = −7

x + 3y − 3w = 1

− 7y + 3z + w = −3 ,

(d)

−x +2y +2w = −1 y +4z +3w = −5.

−2x −y +2z +5w = −9

2x +2y +3z = 0

,

(e)

x − 2y + 3z − 4w = 4

y − z + w = −3

x + 3y −3w = 1

− 7y + 3z + w = −3 .

(f)

−2x −y +2z +5w = −4

−x −2y +2w = 1

2x +2y +3z = 0

y +4z +3w = −2.

,

• Izra£unaj determinanto matrike koecientov danega sistema ena£b.

Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra- merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£b re²i ²e z Gaussovo eliminacijo.

• Vzemi prve tri ena£be danega sistema in dolo£i vse njihove skupne re²itve.

• Zapi²i re²itev sistema petih ena£b, ki ga dobimo, £e danemu sis- temu dodamo ²e eno ena£bo x+y+z+w= 1.

6. Tulipan stane 6 EUR, gerbera stane 2 EUR, rde£a vrtnica 3 EUR, nageljni pa stanejo1EUR. Miha ima195EUR in ºeli kupiti 90roº, pri

£emer mora biti gerber in nageljnov skupaj dvakrat toliko kot vrtnic

in tulipanov skupaj. Z re²evanjem ustreznega sistema ena£b ugotovi, kak²no izbiro ima? Poi²£i vse moºnosti.

7. ’tirje mu²ketirji se pogovarjajo o svojem premoºenju. Prva dva za- poredoma ugotovita, da bi imela po 21 oziroma po 18 zlatnikov, £e bi preostali trije vsakemu od njiju razdali po polovico svojega premo- ºenja. Tretji bi imel 20 zlatnikov, £e bi mu preostali trije dali vsak po tretjino svojih zlatnikov. ƒetrti pa je ugotovil, da imajo skupaj 36 zlatnikov. Zapi²i ustrezni sistem linearnih ena£b in ga nato re²i z metodo Gaussove eliminacije. Koliko zlatnikov ima vsak od mu²ketir- jev? (Opozorilo: Premoºenje katerega od mu²ketirjev lahko ²teje tudi 0 zlatnikov.)

8. Dana sta sistema ena£b (a)

−x +2y +z = 2 4x −7y +az = −3

2x −3y = 1.

,

(b)

ax −y +2z +5w = −4

−x +2y +2w = 1

2x +2y +3z = 0

y +4z +3w = −2, ,

kjer je a neka realna konstanta.

• Izra£unaj determinanto matrike koecientov danega sistema v od- visnosti od parametraa. Kaj lahko na podlagi determinante skle- pa² o re²ljivosti tega sistema ena£b?

• Ugotovi, za katere vrednosti parametra a je dani sistem re²ljiv in koliko re²itev ima. Poi²£i tudi vse re²itve danega sistema v odvisnosti od parametra a.

4 Osnove verjetnostnega ra£una

4.1 Pre²tevanje in kombinatorika

1. V neki restavraciji nudijo 2 juhi (zelenjavno in govejo), 3 glavne jedi (testenine, riºota, pica),3solate (me²ana, zelena, ºol) in2sladici (sla- doled in torta). Na koliko na£inov lahko sestavimo kosilo, £e izberemo

(a) vse?

(b) natanko juho in glavno jed?

(c) govejo juho in vse ostalo?

(d) vsaj juho in glavno jed?

2. Na koliko na£inov lahko naredimo petkov urnik za 4 ure, £e izbiramo med 11 predmeti in

(a) ni omejitev, (b) ni blok ur,

(c) imamo natanko eno blok uro, (d) imamo vsak predmet le1uro.

3. V pritli£ju sedemnadstropne trgovine vstopijo v dvigalo ²tiri gospe.

Vsaka nato v nekem nadstropju izstopi. Na koliko na£inov lahko izsto- pijo, £e

(a) ni nobenega posebnega pogoja?

(b) v prvem nadstropju ne izstopi nobena gospa?

(c) vedno izstopi najve£ ena gospa?

4. Koliko razli£nih ²tirimestnih ²tevil lahko napi²emo le s ciframi 1, 2, 3, 4, 8in 9, ter smemo posamezno cifro uporabiti

(a) ve£krat (b) najve£ enkrat

in

• morajo biti soda? • morajo biti ve£ja od5000? 5. O£e in mati peljeta v kino svoje ²tiri sinove in tri h£ere. Usedejo se v

vrsto z devetimi sedeºi. Na koliko na£inov lahko to storijo, £e (a) se posedejo poljubno?

(b) o£e in mati vedno sedita skupaj?

(c) o£e in mati nikoli ne sedita skupaj?

(d) ºelijo dekleta in fantje sedeti skupaj?

6. V zaboju s 30 jabolki je 5 gnilih jabolk. (Posamezne primerke gnilih oziroma dobrih jabolk med seboj razlikujemo.) Iz zaboja vzamemo 4 jabolka. Na koliko na£inov lahko to storimo, £e

(a) izbiramo poljubno.

(b) jemljemo iz zaboja le dobra jabolka.

(c) vzamemo iz zaboja vsaj dve dobri jabolki.

7. V nekem razredu je 15 deklet in 13 fantov. Na koliko na£inov lahko u£itelj izbere skupino ²tirih u£encev, £e

(a) izbira poljubno.

(b) mora biti Janezek zagotovo izbran.

(c) morata biti v skupini vsaj dva fanta.

(d) upo²teva, da sta dve dekleti med seboj skregani in ju ne ºeli skupaj v skupini.

8. Na koliko na£inov lahko10oseb preno£i v hotelu s po eno enoposteljno, dvoposteljno, troposteljno in ²tiriposteljno sobo.

9. Iz kupa z 52 kartami izvle£emo eno karto. Koliko je moºnosti, da izvle£emo ali pikovo karto ali asa?

4.2 Osnove verjetnosti

1. V ²katlici so bonboni treh razli£nih okusov, zaviti v enak ovojni papir.

Od skupno 20 bonbonov je 6 jagodnih in 9 borovni£evih, preostali pa so pomaran£ni. Kolik²na je verjetnost, da izberemo pomaran£ni bonbon?

2. Pri ruleti lahko kroglica pristane na kateremkoli od 37 mest, ozna£e- nih s ²tevilkami od 0 do 36. Predpostavimo, da je verjetnost zadetka katerekoli ²tevilke enaka. Kolik²na je verjetnost, da zadanemo, £e smo stavili na:

(a) ²tevilo 1?

(b) ²tevilo med 1 in 12?

(c) liho ²tevilo?

(d) liha ²tevila in manj²a od 12? 3. Na loteriji izºrebajo dve ²tevili med 1in16. Kolik²na je verjetnost, da

zadanemo

(a) obe ²tevilki?

(b) le eno ²tevilko?

(c) vsaj eno ²tevilko.

(d) ni£esar?

4. Iz kupa z52kartami izvle£emo 5kart. Kolik²na je verjetnost, da bodo med izvle£enimi kartami karte vseh barv.

5. V letniku je 24 deklet in 10 izmed njih ima modre o£i, 3 zelene in 11 rjave o£i. Na kolokviju so tri dekleta dosegla vsaj 90%. Kolik²na je verjetnost, da

(a) imajo vse tri modre o£i?

(b) nobena nima modrih o£i?

(c) ima vsaj ena modre o£i?

(d) imata dve modre o£i?

(e) imajo vse enake o£i?

(f) imajo vse razli£ne o£i?

6. ’tudent zna odgovoriti na 20 izmed 25 vpra²anj. Na izpitu odgovarja na 3vpra²anja. Kolik²na je verjetnost, da bo znal odgovoriti na

(a) vsa tri vpra²anja? (b) vsaj dve vpra²anji?

7. Kolik²na je verjetnost, da imata med 30ljudmi dva rojstni dan na isti dan?

8. Dogodka A in B sta neodvisna, njuni verjetnosti pa sta P(A) = 2x in P(B) = 3x, kjer je x nenegativno realno ²tevilo. Izra£unaj x, £e je P(A∪B) = ²₃.

9. Naklju£no izberemo ²tevilo med1in100 (vklju£no z1 in100). Naj bo A dogodek, da je ²tevilo deljivo 5, B pa naj bo dogodek, da je ²tevilo deljivo z 9. Opi²i dogodka A∩B in A∪B ter izra£unaj njuni verje- tnosti. Ugotovi, ali sta dogodka A inB odvisna, ter ali sta zdruºljiva?

Izra£unaj verjetnosti, da je slu£ajno izbrano ²tevilo deljivo

(a) tudi s 5, £e je deljivo z 9. (b) z vsaj enim od ²tevil 2,5, 9. 10. Hkrati me£emo dve igralni kocki. Naj boAdogodek, da je vsota pik, ki

jih pokaºeta kocki, enaka 6in naj boB dogodek, da padeta dve trojki.

(a) S tabelo ponazorite elementarne dogodke, ki opi²ejo izide metanja kock.

(b) Izra£unajte verjetnosti dogodkov A in B. Opi²ite tudi dogodka A∩B in A∪B.

(c) Kolik²na je verjetnost, da sta padli dve trojki, £e je bila vsota pik enaka 6.

11. V razredu je 10 dijakov iz mesta, 6 iz okolice mesta in 8 s podeºelja.

Vemo ²e, da imajo pri matematiki oceno pet 3dijaki iz mesta,2dijaka z okolice in 6 dijakov s podeºelja. Kolik²na je verjetnost, da

(a) ima su£ajno izbrani dijak tega razreda oceno pet?

(b) je slu£ajno izbrani dijak s podeºelja, £e ugotovimo, da ima pri matematiki oceno pet.

12. Na neki ²oli ima 8% u£encev pri matematiki oceno pet, 9% u£encev ima oceno pet pri sloven²£ini in 5% u£encev ima oceno pet pri obeh omenjenih predmetih. Naklju£no izberemo nekega u£enca. Kolik²na je verjetnost, da ima oceno pet

(a) pri matematiki ali pri sloven²£ini (lahko tudi pri obeh predmetih).

(b) tudi pri matematiki, £e ima oceno pet pri sloven²£ini.

(c) tudi pri sloven²£ini, £e ima oceno pet pri matematiki.

13. V posodi je 10 £rnih in 2 beli kroglici. Kroglice zaporedoma vle£emo iz posode, dokler ne izvle£emo £rne kroglice, pri £emer

(a) kroglic ne vra£amo, (b) kroglice vra£amo.

Izra£unaj verjetnost, da je ²tevilo izvle£enih kroglic enako

• 1,

• 2,

• 3,

• 4.

14. V tovarni kontrolirajo serije 100 proizvodov, med katerimi je 5% po- kvarjenih. ƒe med 5 pregledanimi proizvodi najdejo vsaj enega po- kvarjenega, serijo zavrºejo. Kolik²na je verjetnost, da serijo zavrºejo,

£e

(a) ºe pregledane proizvode vra£ajo?

(b) ºe pregledanih proizvodov ne vra£ajo?

15. Dva ko²arkarja prideta na igri²£e. Prvi zna zadeti ko² z verjetnostjo 0.8, drugi pa z verjetnostjo 0.9. Vsak po enkrat vrºe na ko². Kolik²na je verjetnost, da

(a) ko²a ne bo zadel nih£e?

(b) bo vsaj eden izmed njiju zadel ko²?

(c) bo ko² zadel natanko en ko²arkar?

(d) bo ko² zadet dvakrat?

(e) je ko² zadel prvi ko²arkar, £e je ko² zadel natanko en ko²arkar?

(f) je ko² zadel prvi ko²arkar, £e je ko² zadel vsaj en ko²arkar?

16. Dva nogometa²a streljata enajstmetrovke. Prvi zna zadeti gol z ver- jetnostjo 0.7, drugi pa z verjetnostjo 0.8. Vsak poskusi po dvakrat in skupaj doseºeta dva gola. Kolik²na je verjetnost, da

(a) je dosegel prvi vsaj en gol?

(b) je prvi zadel natanko enkrat?

(c) prvi ni dal nobenega gola?

(d) sta zadela oba?

17. V prvi ko²ari je20jabolk in5hru²k, v drugi pa18jabolk in3hru²ke. Iz prve ko²are na slepo izberemo en sadeº in ga poloºimo v drugo ko²aro, ter nato iz nje izberemo en sadeº. Kolik²na je verjetnost, da

(a) smo iz prve ko²are v drugo poloºili jabolko?

(b) je izbrani sadeº iz druge ko²are jabolko?

(c) smo iz prve ko²are v drugo poloºili jabolko, £e smo iz druge ko²are vzeli jabolko?

18. V prvi ko²ari je 20 jabol£nih in 5 pomaran£nih bonbonov, v drugi pa 18 jabolk£nih in3 pomaran£ni. Iz prve ko²are nato na slepo izberemo 2 bonbona in ga poloºimo v drugo ko²aro, ter nato iz nje izberemo 2 bonbona. Kolik²na je verjetnost, da

(a) smo iz prve ko²are v drugo poloºili2 jabol£na bonbona?

(b) sta smo iz druge ko²are vzeli po en jabol£ni in po en pomaran£ni bonbon?

(c) smo iz prve ko²are v drugo poloºili 2 pomaran£na bonbona, £e smo iz druge ko²are vzeli 2jabol£na?

4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke

1. Naj boX diskretna slu£ajna spremenljivka, ki ²teje ²tevilo (a) metov kocke, da prvi£ pade ²estica.

(b) metov kovanca, da dokler ne pade 5grbov.

(c) grbov v7 metih kovanca.