wˆ202 =wˆ022 =wˆ220= 1
6 (︂
3 +√ 3)︂
, wˆ112 =wˆ211 =wˆ121= 1
12 (︄
2 +
√︃
6(︂
3 + 2√ 2)︂
)︄
.
Dobljeni oktant sfere v racionalni Bézierjevi obliki prikazuje slika 23. Dobljena krpa stopnje 4 je obarvana modro.
Slika 23: Racionalna trikotna Bézierjeva krpaˆrstopnje4, ki predstavlja oktant sfere, in njena kontrolna mreža.
5.3 Šestina sfere kot racionalna Bézierjeva ploskev iz tenzor-skega produkta
V tem razdelku bomo določili racionalno Bézierjevo ploskev iz tenzorskega produkta, ki predstavlja šestino sfere. Postopek izpeljave bo zelo podoben postopku, ki smo ga opisali pri racionalni predstavitvi oktanta sfere, le da bomo tu delali s ploskvami iz tenzorskega produkta. Najprej bomo šestino sfere, ki jo želimo predstaviti kot racionalno Bézierjevo ploskev iz tenzorskega produkta, z inverzno stereografsko pro-jekcijo projecirali na ravnino z = −1, nato bomo določili parametrizacijo dobljene ravninske racionalne Bézierjeve ploskve iz tenzorskega produkta in na koncu le-to preslikali nazaj na sfero ter določili njene kontrolne točke in uteži.
Podobno kot v prejšnjem poglavju označimo parametrizacijo ravninske racio-nalne ploskve iz tenzorskega produkta stopnje 2×2, ki jo bomo preslikali na sfero,
zf : [0,1]×[0,1]→R2. Parametrizacijaf je določena s predpisom R2. Rezultat kompozituma stereografske projekcije S in preslikave f bo racionalna Bézierjeva ploskev iz tenzorskega produkta stopnje 4×4. Njena parametrizacija r: [0,1]×[0,1]→ S,r=S◦f, bo torej oblike
Točke b′ij ∈ R3 predstavljajo kontrolne točke racionalne Bézierjeve ploskve iz ten-zorskega produkta stopnje4×4, števila wi′ ∈R pa njene uteži.
V nadaljevanju bomo delali s ploskvami stopnje 2×2 in4×4. Kontrolne točke bomo zapisovali v matrični obliki. Za ploskve stopnje2×2in4×4bodo kontrolne točke podane na sledeč način:
⎡
Analogno bomo zapisovali uteži, ki pripadajo kontrolnim točkam. Določimo najprej kontrolne točke in uteži ravninske racionalne Bézierjeve ploskve, ki določa množico točk F. Vzemimo sfero S in ji včrtajmo kocko. Le-ta razdeli sfero na šest enakih delov, torej so robne točke vsake šestine sfere ravno oglišča ene izmed ploskev včrtane kocke. Izberimo tisto šestino sfere, katere robne točke so oglišča spodnje ploskve včrtane kocke (glej sliko 24), to so
T1 =
Šestino sfere z zgornjimi robnimi točkami sedaj z inverzno stereografsko projekcijo preslikamo na ravnino z = −1. Slike robnih točk šestine sfere predstavljajo robne
Slika 24: Sferi S včrtana kocka in izbrane točke T1,T2,T3 inT4.
kontrolne točkeb22,b20,b00inb02ravninske racionalne Bézierjeve ploskve, ki določa množico točk F – glej sliko 25. Velja
S−1(T1) = (︂√ krožnima lokoma v vsakem izmed štirih oglišč na sferi pa je enak 2π3 . To pomeni, da morajo biti tudi robne krivulje ploskve F krožni loki, kot med njimi v robnih kontrolnih točkah pa mora biti enak 2π3 . Oglejmo si sliko 26. Točke b02,b22,b20 in b00 tvorijo kvadrat, torej morajo biti koti α, na sliki 26 označeni z rdečo barvo, zopet enaki 12π. Kontrolni poligoni robnih krožnih lokov so zopet enakokraki triko-tniki, zato točke b10,b01,b12 inb21, podobno kot v prejšnjem poglavju, izračunamo s pomočjo notranjih kotov in dolžine osnovnic enakokrakih trikotnikov. Za točko b11vzamemo koordinatno izhodišče. Kontrolne točkebij ∈R2, ki določajo parame-trizacijo f, so tako
⎡
Slika 25: Inverzna stereografska projekcija šestine sfere na ravnino z =−1.
Sedaj poznamo predpis za parametrizacijo f, zato lahko točke na ploskvi F s stereografsko projekcijo preslikamo nazaj na sfero S. Tako dobimo parametrizacijo racionalne Bézierjeve ploskve iz tenzorskega produkta stopnje4×4, ki smo jo označili zr – glej (5.10). S pomočjo programaMathematica izračunamo kontrolne točke b′ij in utežiw′ij, ki parametrizacijo r podajajo v Bézierjevi obliki. Kontrolne točke so
⎡
Slika 26: Ploskev F (siva) in njene kontrolne točke.
Določili smo kontrolne točke in uteži racionalne Bézierjeve ploskve iz tenzorskega produkta stopnje 4×4, ki predstavlja šestino sfere. Robne točke te ploskve so ravno oglišča spodnje ploskve sferi včrtane kocke. Z ustreznimi rotacijami lahko dobljene
kontrolne točke, ki določajo parametrizacijor, petkrat zarotiramo in sicer tako, da je šestina sfere vsakič razpeta nad eno izmed ploskev sferi včrtane kocke. Na tak način dobimo šest racionalnih Bézierjevih ploskev iz tenzorskega produkta stopnje 4×4, ki pokrivajo celotno sfero. V vsakem oglišču včrtane kocke se stikajo3 izmed dobljenih ploskev – glej sliko 27.
Slika 27: Racionalne Bézierjeve ploskve iz tenzorskega produkta stopnje 4×4, ki pokrivajo celotno sfero.
Za konec poglavja omenimo še, da lahko zgolj s spremembo kotaαv enakokrakih trikotnikih, ki jih tvorijo kontrolne točke robnih krivulj ploskveF, dobimo predsta-vitev nekega drugega dela sfere. Zanimiv je recimo primer, ko zaα vzamemo kot π4. Takrat robne krivulje ploskveF predstavljajo kar celotno krožnico, in sicer krožnico, ki je očrtana kvadratu, določenemu z robnimi kontrolnimi točkami. Kontrolne točke bij ∈R2, ki določajo parametrizacijo f, so v tem primeru enake
⎡
Ko ploskevF, podano z zgornjimi kontrolnimi točkami in utežmi, iz ravninez =−1 preslikamo na sfero S dobimo t. i. sferično kapico – glej sliko 28. Kontrolne točke
Slika 28: Stereografska projekcija kroga iz ravnine z = −1 na enotsko sfero in dobljena sferična kapica (modra).
parametrizacije r, ki določa sferično kapico, so
⎡
Slika 29 predstavlja dobljeno sferično kapico in njeno kontrolno mrežo.
Slika 29: Sferična kapica in njena kontrolna mreža (zarotiran pogled).
5.4 Racionalna Bézierjeva krpa stopnje 2, ki leži na sferi
Na začetku poglavja o predstavitvi kvadrik z racionalnimi Bézierjevimi ploskvami smo omenili pogoj, ki nam pove, kdaj racionalna Bézierjeva krpa stopnje2 predsta-vlja del kvadrika. Veljati mora, da se vse tri robne krivulje krpe sekajo v isti točki in imajo tam koplanarne tangente. V tem razdelku bomo zapisali kontrolne točke in uteži racionalne Bézierjeve krpe stopnje 2, ki ustreza omenjenemu pogoju in leži na sferi. Njene robne krivulje so krožnice, ki ležijo na sferi in se sekajo v isti točki.
Kontrolne točke krpe so
⎡
⎣
(0,0,1)
(1,0,1) (1,1,1)
(1,0,0) (1,1,0) (0,1,0)
⎤
⎦,
uteži pa so
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
√2 2
1 2 0 1
√2 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ .
Slika 30a predstavlja omenjeno krpo in njeno kontrolno mrežo, slika 30b pa poleg krpe prikazuje še njene robne krivulje, ki se sekajo v isti točki.
(a) Trikotna Bézierjeva krpa stopnje 2, ki leži na sferi.
(b) Robne krivulje trikotne krpe se sekajo v isti točki.
Slika 30: Racionalna trikotna Bézierjeva ploskev stopnje 2, ki leži na sferi in njene robne krivulje, ki se sekajo v isti točki.