Na podoben način določimo tudi predpis za inverz stereografske projekcije. Dobimo S−1(x˜, y˜, z˜) =
(︃ 2x˜
1−z˜, 2y˜ 1−z˜
)︃
. (5.3)
Točka (0,0,1) se po zgornjem predpisu preslika v točko v neskončnosti.
Omenimo še, da je stereografska projekcija konformna preslikava, to pomeni, da ohranja kote med krivuljami. Kot med dvema krivuljama na sferi je tako enak kotu med slikama teh dveh krivulj v ravnini.
5.2 Oktant sfere kot racionalna trikotna Bézierjeva krpa
V tem razdelku bomo s pomočjo stereografske projekcije določili racionalno triko-tno Bézierjevo krpo oz. njene kontrolne točke in uteži, ki predstavlja oktant sfere.
Najprej bomo v ravnini z = −1 definirali ustrezno območje, določeno s parametri-zacijo stopnje 2, ki ga bomo nato projecirali na sferoS s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom ena. Tako bomo dobili racionalno parametrizacijo stopnje4, ki predstavlja oktant sfere. Dobljeno Bézierjevo krpo bomo na koncu še zarotirali, da bomo dobili oktant sfere z robnimi točkami (0,0,1),(0,1,0) in (1,0,0). Tako podan oktant je namreč ustreznejši za nadaljnje delo, na primer za predstavitev celotne sfere z osmimi takimi oktanti, katerih kontrolne točke preprosto dobimo z rotacijo in translacijo. Postopek, ki ga bomo opisali oz. dobljena racionalna krpa, se v literaturi v taki ali drugačni obliki večkrat pojavlja – glej [5, poglavje 18.2], [4, poglavje 15.6] in [6].
Preden podrobneje opišemo postopek za določitev oktanta sfere, si oglejmo, kako stereografska projekcija deluje na točkah na ploskvi. To bo pojasnilo tudi, zakaj bo dobljena racionalna krpa, ki predstavlja oktant sfere, stopnje 4. Označimo para-metrizacijo omenjene ravninske racionalne krpe stopnje 2, ki jo bomo preslikali na sfero, z g. Izberimo trikotnik △ iz definicije 4.5, torej △ = ⟨(1,0),(0,1),(0,0)⟩. Parametrizacijo g :△ →R2 določimo s predpisom
g(u, v) =
∑︂
|i|=2
wibiBi2((u, v, w))
∑︂
|i|=2
wiBi2((u, v, w))
, (5.4)
kjer velja w = 1− u− v in bi ∈ R2. Slika preslikave g = (gx, gy) predstavlja množico točk v ravnini, ki jo označimo z R ={(x, y) = g(u, v),(u, v) ∈ △} ⊆ R2. Stereografska projekcijaStočko(x, y)∈ Rpreslika v točko(x˜, y˜, z˜) =S(x, y), ki leži na sferiS. Točko(x˜, y˜, z˜)torej dobimo kot kompozitum preslikavegin stereografske projekcije S. Stereografska projekcija je racionalna preslikava stopnje 2, zato bo
rezultat kompozituma racionalna Bézierjeva krpa stopnje 4. Njena parametrizacija točke racionalne Bézierjeve krpe stopnje 4, ki leži na sferi, številaw˜i pa njene uteži.
Poglejmo si sedaj podrobneje posamezne korake v opisanem postopku. Delali bomo s krpami stopnje 2 in 4. Kontrolne točke bomo v nadaljevanju zapisovali v matrični obliki. Za krpe stopnje2in4bodo kontrolne točke podane na sledeč način:
⎡
Analogno bomo zapisovali uteži, ki pripadajo kontrolnim točkam. Določimo najprej kontrolne točke in uteži ravninske racionalne Bézierjeve krpe, ki določa množico točk R. Tega se lotimo tako, da oktant sfere, ki ga želimo dobiti, najprej zarotiramo, nato pa preslikamo na ravnino z = −1. Predstaviti želimo oktant sfere z robnimi točkami (0,0,1),(0,1,0) in (1,0,0). Oktant zarotiramo tako, da se njegovo težišče preslika v točko (0,0,−1) in da je dobljeni zarotirani oktant simetričen glede na ravninox= 0. Ustrezna rotacijska matrika je
R = Dobljeni zarotirani oktant sedaj z inverzno stereografsko projekcijo projeciramo na ravnino z = −1. Slike robnih točk oktanta predstavljajo robne kontrolne točke b002,b200 in b020 ravninske racionalne Bézierjeve krpe, ki določa množico točk R – glej sliko 20. Po predpisu za inverzno stereografsko projekcijo, glej (5.3), dobimo
Slika 20: Projekcija oktanta sfere (modra) na ravninoz =−1in dobljena ravninska krpa R. Točka (0,0,1) na sferi predstavlja center stereografske projekcije. Daljice nakazujejo projekcijo robnih točk oktanta, to so (5.5), ki se preslikajo v robne točke krpe R, to so (5.6)–(5.8). Dobljene točke v ravnini predstavljajo oglišča enakostraničnega trikotnika z dolžino stranice 1+2√√63 in notranjimi kotiβ = π3 – glej sliko 21. Določiti moramo še kontrolne točke b101,b011 in b110 in uteži kontrolnih točk. Robne krivulje oktanta sfere so krožni loki, ki so med seboj pravokotni. Ker stereografska projekcija ohranja kote med krivuljami, morajo biti tudi robne krivulje krpeRmed seboj pravokotni krožni loki. Oglejmo si sliko 21. Kontrolni poligoni krožnih lokov so enakokraki trikotniki, zato so trikotniki ⟨b002b200b101⟩, ⟨b020b002b011⟩ in ⟨b200b020b110⟩ enakokraki. Nji-hove notranje kote α, ki so na sliki 21 označeni z rdečo, lahko izračunamo, saj mora veljati
2α+β = π 2,
iz česar slediα= 12π. Za enakokrake trikotnike sedaj poznamo notranje koteαin dol-žino osnovnic, torej lahko z nekaj osnovnimi računi s področja geometrije izračunamo še točke b101,b011 in b110. Kontrolne točke bi ∈R2, ki določajo parametrizacijo g,
Slika 21: Koti α (rdeči) in β (sivi).
Na začetku razdelka 3.4 smo zapisali, da za krožni lok, predstavljen z racionalno Bézierjevo krivuljo stopnje 2 v standardni obliki, velja w1 = cosα, kjer je α =
∠b2b0b1. Ker so robne krivulje krpe R krožni loki in ker v našem primeru velja Uteži, ki pripadajo zgornjim kontrolnim točkam, so tako
⎡
Krpa R je skupaj s svojo kontrolno mrežo predstavljena na sliki 22. Ker za točke
Slika 22: Ravninska trikotna krpa R stopnje 2 in njena kontrolna mreža.
na krpi R velja (x, y) = g(u, v), lahko po predpisu za g (glej (5.4)) dobimo zapis točke (x, y) v obliki
(x, y) =
(︃k1(u, v)
k3(u, v),k2(u, v) k3(u, v)
)︃
,
kjer so k1, k2 in k3 polinomske funkcije spremenljivk u in v stopnje največ 2. V predpis za g vstavimo izračunane kontrolne točke bi in uteži wi naše krpe R in dobimo
k1(u, v) = 2√
3(u−v)[︂
2 + (√
2−2)(u+v)]︂
, k2(u, v) = 2[︂
2√
2 + (√
2−2)(u2+v2) + (2−4√
2)v+u(2−4√
2 + 4(√
2−2)v)]︂
, k3(u, v) = (1 +√
3) [︂
−2 + (−4 +√ 2 +√
6)(u2+v2+uv −u−v) ]︂
.
Izbira parametrov u∈ [0,1] in v ∈ [0,1−u] v zgornjih enačbah nam da konkretno točko na ravninski krpi.
Sedaj, ko imamo zapis za točke na R v odvisnosti od parametrov u in v, lahko le te s stereografsko projekcijo preslikamo nazaj na sfero S. Tako dobimo parame-trizacijo trikotne sferične krpe stopnje 4, ki smo jo označili z r˜. Točke na oktantu sfere lahko torej parametriziramo v obliki
(x˜, y˜, z˜) =r˜(u, v) =
(︃h1(u, v)
h4(u, v),h2(u, v)
h4(u, v),h3(u, v) h4(u, v)
)︃
,
kjer so h1, h2, h3 in h4 polinomske funkcije spremenljivk u in v stopnje največ 4. Robne tri točke tega oktanta oz. krpe r˜, to so b004,b400 in b040, že poznamo, saj smo jih na začetku postopka izračunali kot rotacije točk (0,0,1),(0,1,0)in(1,0,0).
Z dobljenim oktantom sfere še nismo zadovoljni, saj nas zanima oktant sfere z robnimi točkami (0,0,1),(0,1,0) in (1,0,0), zato moramo dobljeno krpo, parame-trizirano z˜r, še zarotirati. Označimo našo končno parametrizacijo trikotne sferične krpe z rˆ. Rotacija, ki bo sferični oktant določen z ˜r, zarotirala v sferični oktant določen z rˆ, je ravno inverz rotacije R, ki smo jo uporabili na začetku izpeljave.
Velja
r
ˆ(u, v) = (︁
R−1·r˜T(u, v))︁T
, pri čemer je matrika R−1 enaka
R−1 =
Parametrizacija rˆje oblike r Preostane nam še, da parametrizacijorˆzapišemo v Bézierjevi obliki, torej
rˆ(u, v) =
i predstavljajo kontrolne točke krpe rˆ, števila wˆi pa njene uteži. Pri ra-čunanju kontrolnih točk in uteži si pomagamo s programskim paketomMathematica. Matrični zapis dobljenih kontrolnih točk bˆ
i,|i|= 4, je Matrični zapis dobljenih uteži pa je
⎡
kjer velja
wˆ103 =wˆ013 =wˆ301=wˆ031 =wˆ310 =wˆ130 = 1 4
√︃
3(︂
2 +√ 3)︂
, wˆ202 =wˆ022 =wˆ220= 1
6 (︂
3 +√ 3)︂
, wˆ112 =wˆ211 =wˆ121= 1
12 (︄
2 +
√︃
6(︂
3 + 2√ 2)︂
)︄
.
Dobljeni oktant sfere v racionalni Bézierjevi obliki prikazuje slika 23. Dobljena krpa stopnje 4 je obarvana modro.
Slika 23: Racionalna trikotna Bézierjeva krpaˆrstopnje4, ki predstavlja oktant sfere, in njena kontrolna mreža.