Racionalna Bézierjeva krivulja

Racionalna Bézierjeva krivulja stopnje n v R^d je projekcija polinomske Bézierjeve krivulje stopnje n v R^d+1 na hiperravninow= 1, pri čemer točko v R^d+1 označimo kot (x, w) = (x₁, x₂, . . . , x_d, w). Njena projekcija na hiperravnino w = 1 je podana s predpisom

(x, w)↦→(1 wx,1).

Točke oblike λ(x, w) zaλ ̸= 0 se preslikajo v isto točko, točke z w = 0 pa predsta-vljajo točke v neskončnosti.

Preden zapišemo formalno definicijo racionalne Bézierjeve krivulje, si za lažjo predstavo projekcije polinomske Bézierjeve krivulje na hiperravnino w= 1 oglejmo primer za d= 2 inn = 2.

Primer 2.7. Naj bo ppolinomska Bézierjeva krivulja stopnje 2 v R³ s kontrolnimi točkami b₀,b₁ inb₂ – glej sliko 3. Njeno projekcijo na ravnino w= 1 dobimo tako, da vsako točko p(t) na krivulji p projeciramo na ravnino w= 1 vzdolž premice, ki poteka od točke p(t) pa do koordinatnega izhodišča. Tam, kjer taka premica seka ravnino w= 1, dobimo točko r(t) na racionalni Bézierjevi krivulji, ki leži v ravnini w= 1. Kontrolni točkib₀ inb₂ v našem primeru že ležita v ravniniw= 1, točkab₁ pa ne. Kot je razvidno na sliki 3, je ustrezna srednja kontrolna točka za racionalno krivuljortočkab^′₁, ki pa jo tudi dobimo s projekcijo vzdolž premice, ki poteka skozi koordinatno izhodišče. Višje kot je kontrolna točkab₁, bližje bo krivuljar točkib^′₁ – višina točke b₁ (torej njena tretja koordinata) tako predstavlja t. i. utež točkeb^′₁. Uteži kontrolnih točk racionalnih Bézierjevih krivulj nam omogočajo dodatne proste parametre pri oblikovanju, podrobneje pa bomo njihov pomen in uporabo razložili v nadaljevanju.

Slika 3: Projekcija polinomske Bézierjeve krivulje p stopnje n= 2 v R³ na ravnino w= 1 in dobljena racionalna Bézierjeva krivulja r stopnje n= 2 v R². Vir: [5].

Definicija 2.8. Naj bodo b0,b1, . . . ,bn točke v R^d in w0, w1, . . . , wn ∈ R skalarji.

Racionalna Bézierjeva krivulja stopnje n v R^d je parametrično podana krivulja r : [0,1]→R^d, definirana s predpisom

r(t) =

n

∑︂

i=0

w_ib_iB_iⁿ(t)

n

∑︂

i=0

wiB_iⁿ(t) ,

kjerB_iⁿoznačujei-ti Bernsteinov bazni polinom stopnjen. Točkeb0,b1, . . . ,bn ime-nujemokontrolne točke. Če kontrolne točke povežemo z daljicami, dobimo kontrolni poligon. Številaw_i imenujemo uteži.

Pri delu z racionalnimi Bézierjevimi krivuljami privzamemo, da so vse uteži pozitivne. V nasprotnem primeru za krivuljo ne velja, da leži v konveksni ovojnici svojega kontrolnega poligona. Zato bomo od sedaj naprej, v kolikor ne bo navedeno drugače, vedno privzeli, da so vse uteži pozitivne. V zgornjem primeru (primer 2.7) smo videli, da uteži kontrolnih točk uravnavajo razdaljo krivulje do posamezne kontrolne točke. Slika 4 prikazuje vpliv uteži na krivuljo. Narisana je racionalna Bézierjeva krivulja stopnje n= 2 s kontrolnimi točkami b₀,b₁ inb₂, za katere velja w₀ = w₂ = 1, vrednost srednje uteži w₁ pa je za vsakega od primerov drugačna,

navedena je v opisu pod sliko. Večja kot je vrednost uteži w₁, bližje je krivulja točki b₁, v primeru negativne uteži w₁ pa krivulja ne leži v konveksni ovojnici svojega kontrolnega poligona.

Slika 4: Vpliv uteži na racionalno Bézierjevo krivuljo. Zgoraj levo: w₁ = ²₃, zgoraj desno: w₁ = 4, spodaj: w₁ =−¹₆.

Za racionalno Bézierjevo krivuljo veljajo podobne lastnosti kot za polinomsko.

Zapišimo

r(t) =

n

∑︂

i=0

w_ib_iB_iⁿ(t)

n

∑︂

i=0

wiBⁿ_i(t)

=

n

∑︂

i=0

b_i w_iB_iⁿ(t)

n

∑︂

i=0

wiB_iⁿ(t)

=

n

∑︂

i=0

b_iN_iⁿ(t),

kjer smo označili

N_iⁿ(t) = wiBⁿ_i(t)

n

∑︂

i=0

w_iB_iⁿ(t) .

Za t ∈ [0,1] očitno velja N_iⁿ(t) ≥ 0, saj so vse uteži pozitivne, Bernsteinovi bazni polinomi na intervalu (0,1) pa tudi. Podoben razmislek, kot smo ga naredili v dokazu trditve 2.3, pokaže, da velja tudi ∑︁n

i=0N_iⁿ(t) = 1, kar pomeni, da funkcije N_iⁿ tvorijo particijo enote. Tudi racionalne Bézierjeve krivulje interpolirajo svojo prvo in zadnjo kontrolno točko.

Točko na racionalni Bézierjevi krivulji pri določeni vrednosti parametrat∈[0,1]

prav tako dobimo s pomočjo de Casteljaujevega algoritma, prilagojenega za racio-nalne krivulje. Tukaj ga ne navajamo, bralec ga lahko najde v [5, poglavje 13.2].

V nadaljevanju se posvetimo utežem racionalnih Bézierjevih krivulj. Naslednja trditev nam pove, da lahko z ustrezno reparametrizacijo dobimo t. i. standardno obliko racionalne Bézierjeve krivulje, to pomeni, da za uteži velja w₀ =w_n = 1.

Trditev 2.9. Racionalno Bézierjevo krivuljo z neničelno prvo in zadnjo utežjo lahko reparametriziramo na način, da velja w₀ =w_n= 1.

Dokaz. Najprej bomo pokazali, da lahko z ustrezno reparametrizacijo krivulje dose-žemo, da sta prva in zadnja utež enaki. Za reparametrizacijsko funkcijo vzemimo

φ(u) = u

α·(1−u) +u,

kjer α predstavlja skalar, ki ga bomo določili kasneje. Oglejmo si s funkcijo φ reparametrizirani-ti Bernsteinov bazni polinom. Dobimo

B_iⁿ(φ(u)) =

Sedaj zapišimo s funkcijo φreparametrizirano racionalno Bézierjevo krivuljo in pri tem upoštevajmo pravkar dobljeni rezultat zaB_iⁿ(φ(u)):

r(φ(u)) = ostane nespremenjena. Številoα določimo tako, da bosta prva in zadnja utež enaki, torej da bo veljalo wˆ0 =wˆn. Ker velja wˆ0 = αⁿw0 in wˆn = α⁰wn = wn, iz enačbe αⁿw₀ =w_n izračunamo

α= ⁿ

√︃w_n w₀.

Ob taki izbiri številaαsta prva in zadnja utež enaki. Želimo še, da bosta obe enaki 1, kar pa dosežemo tako, da uteži še delimo z w_n. Dobljene uteži označimo z w˜_i.

Pokazali smo, da lahko v primeru, ko imamo podano racionalno Bézierjevo kri-vuljo, za katero velja w₀ ̸= 0 in w_n ̸= 0, naredimo tako reparametrizacijo, da velja w˜0 = w˜n = 1 in w˜i = √_n ^wi

wⁱ_nw₀ⁿ⁻ⁱ za i ∈ {1, . . . , n−1}. Brez škode za splošnost

lahko torej predpostavimo, da delamo s krivuljami v standardni obliki. Za dolo-čanje oblike krivulje tako dobimo n −1 dodatnih prostih parametrov, to so uteži w₁, w₂, . . . , w_n−1.

S pomočjo uteži definiramo t. i. utežne točke, ki ležijo na stranicah kontrolnega poligona.

Definicija 2.10. Utežne točke qi za i∈ {0,1, . . . , n−1}so definirane kot qi = w_i

w_i+w_i+1bi+ w_i+1

w_i +w_i+1bi+1.

Na sliki 5 je ponazorjena racionalna Bézierjeva krivulja stopnje n = 2 skupaj z utežnima točkama q₀ inq₁. Vrednosti uteži so w₀ =w₂ = 1 in w₁ = ³₂.

Slika 5: Racionalna Bézierjeva krivulja stopnjen = 2 in utežni točki q₀ in q₁. Točka q_i leži na daljici med kontrolnima točkama b_i in b_i+1 in to daljico deli v razmerju w_i+1 : w_i. Razmerje med utežjo w_i+1 in utežjo w_i lahko izrazimo tudi s pomočjo razmerja treh kolinearnih točk b_i,q_i in b_i+1. Zapišimo definicijo takega razmerja.

Definicija 2.11. Naj bodo a,xin b tri kolinearne točke in zapišimo x=αa+βb,

kjer je α+β = 1. Razmerje točk a,x inb definiramo kot ratio(a,x,b) = β

α. S pomočjo definiranega razmerja lahko zapišemo

ratio(b_i,q_i,b_i+1) = w_i+1

w_i (2.7)

oz.

w_i+1 =w_i·ratio(b_i,q_i,b_i+1).

Če izberemo prvo utež w₀, so nato po zgornji enakosti iz utežnih točk določene še ostale uteži.

Oglejmo si še, kako izračunamo odvod racionalne Bézierjeve krivulje. Naj bo r racionalna Bézierjeva krivulja, ki smo jo dobili s projekcijo polinomske Bézierjeve krivulje p na ravnino w= 1. Potem velja

r(t) = p(t)

w(t) oz. p(t) =r(t)w(t), kjer smo označili

p(t) =

n

∑︂

i=0

wibiB_iⁿ(t) in w(t) =

n

∑︂

i=0

wiB_iⁿ(t).

Parametrizacijo krivulje odvajamo po pravilu za odvod produkta in dobimo p^′(t) = r^′(t)w(t) +r(t)w^′(t).

oz.

r^′(t) = 1

w(t)(p^′(t)−r(t)w^′(t)). (2.8) Zapišimo odvod pri parametrut= 0. V zgornji formuli upoštevamo zvezo za odvod polinomske Bézierjeve krivulje (formula (2.4)) in dobimo

r^′(0) = 1

w₀(n(w₁b₁−w₀b₀)−b₀n(w₁−w₀)) = nw₁

w₀(b₁−b₀). (2.9) Podobno za t= 1 dobimo

r^′(1) =nw_n−1

w_n (bn−bn−1).

Torej tudi za racionalne Bézierjeve krivulje velja, da smerni vektor tangente na krivuljo v točkib₀ leži na nosilki daljice b₀b₁, smerni vektor tangente na krivuljo v točkib_n pa na nosilki daljice b_n−1b_n.

3 Predstavitev stožnic z racionalnimi Bézierjevimi krivuljami

Stožnice oz. krivulje drugega reda so podane z enačbo f(x, y) = 0,

kjer je f kvadratni polinom spremenljivk x in y. Poznamo tri tipe stožnic; to so elipsa, parabola in hiperbola. V tem poglavju si bomo ogledali, kako lahko stožnico predstavimo s pomočjo parametrične krivulje. Polinomske Bézierjeve krivulje ne bodo zadostovale, saj je edina stožnica, ki je hkrati tudi polinom, parabola. Zato za predstavitev stožnic v Bézierjevi obliki potrebujemo racionalne Bézierjeve krivulje.

Le-te smo definirali v prejšnjem poglavju, tukaj pa bomo predstavili njihovo vlogo in lastnosti pri predstavitvi stožnic.

3.1 Stožnice kot racionalne Bézierjeve krivulje stopnje 2

Pri racionalnih Bézierjevih krivuljah imamo opravka s projekcijo polinomske Bézi-erjeve krivulje na ravnino, zato nam bo prav prišla naslednja definicija stožnice.

Definicija 3.1. Stožnica v R² je projekcija parabole v R³ na neko ravnino.

Parabola je polinom stopnje 2, zato jo vR³ lahko zapišemo v obliki polinomske Bézierjeve krivulje stopnje 2. Če za ravnino iz zgornje definicije izberemo w = 1, iz definicije racionalne Bézierjeve krivulje (kot projekcije polinomske Bézierjeve krivulje na ravnino w= 1) sledi, da zapis

c(t) =

2

∑︂

i=0

w_ib_iB_i²(t)

2

∑︂

i=0

w_iB_i²(t)

= w₀b₀B₀²(t) +w₁b₁B₁²(t) +w₂b₂B₂²(t)

w₀B₀²(t) +w₁B₁²(t) +w₂B₂²(t) (3.1) predstavlja enačbo stožnice vR². V nadaljevanju izpeljimo nekaj osnovnih lastnosti stožnice, podane v standardni (w₀ =w₂ = 1) racionalni Bézierjevi obliki.

Slika 6: Točke b₁,c¹

2 in mso kolinearne in ležijo na premici p. Oglejmo si točko c¹

2 =c(︁₁

2

)︁. Iz (3.1) sledi c¹

2 = b₀+ 2w₁b₁+b₂

2 + 2w₁ . (3.2)

Označimo še m= ^b0+b₂ ² in pokažimo, da točkac¹

2 leži na premicip, ki poteka skozi točki min b₁ – glej sliko 6. Vektorska enačba premice pje

p(λ) =m+λs₁,

kjer je s₁ =b₁−m. Kratek račun pokaže, da velja p(︂

w1

1+w1

)︂

=c¹

2. Točka c¹

2 torej leži na premici p, hkrati pa seveda leži na stožnici c. Točka c¹

2 je torej presečišče premice p in stožnice c.

Spomnimo se definiranega razmerja treh kolinearnih točk (definicija 2.11). Iz enakosti (2.7) za i= 0 ob upoštevanjuw₀ = 1 sledi

ratio(b₀,q₀,b₁) =w₁, kjer je

q₀ = b₀+w₁b₁ 1 +w₁ . Če zvezo (3.2) zapišemo v obliki

c¹

2 = 1

1 +w₁

(︃b₀+b₂

2 +w₁b₁ )︃

= 1

1 +w₁m+ w₁ 1 +w₁b₁, vidimo, da velja tudi

ratio(m,c¹

2,b₁) = w₁. Pokažimo enakost

ratio(b₀,q₀,b₁) = ratio(m,c¹

2,b₁) (3.3)

še geometrijsko. Razmerje treh kolinearnih točk, kot smo ga definirali v definiciji 2.11, se s paralelno projekcijo ohranja – glej [5, poglavje 3.1] – zato (3.3) pokažemo tako, da poiščemo paralelno projekcijo, ki bo točko b0 preslikala v točko m, točko q₀ pa v točko c¹

2. Oglejmo si sliko 7. Naj bo q premica, ki poteka skozi točki b₀

Slika 7: Projekcija na premico p.

in b₁. Projekcijo iz premice q na premico p določimo vzdolž premice r, ki poteka skozi točkib₀ inm. Očitno je, da je slika točkeb₀ točkam. Pokazati moramo samo

še, da se točka q₀ preslika v točko c¹

2. To pomeni, da mora premica r₁, ki poteka skozi točko q₀ in je vzporedna premicir, premicopsekati v točkic¹

2. Smerni vektor premice r je s₂ =b₂−b₀, torej lahko enačbo premice r₁ zapišemo kot

r₁(λ) = q₀+λs₂. Kratek račun pokaže, da velja r₁(︂

1 2(1+w1)

)︂

= c¹

2. Točka c¹

2 torej leži tako na pre-mici p kot tudi na premici r₁, zato predstavlja njuno presečišče. Tako smo še na geometrijski način preverili enakost (3.3) in posledično tudi enakost

ratio(m,c¹

2,b₁) =w₁.

Izpeljani rezultati nam bodo prišli prav kasneje, ko bomo iskali racionalno Bézierjevo obliko stožnice iz dane implicitne oblike.

In document MagistrskodeloMentorica:prof.dr.MarjetkaKnezLjubljana,2021 STOŽNICEINKVADRIKIVRACIONALNIBÉZIERJEVIOBLIKI UNIVERZAVLJUBLJANIFAKULTETAZAMATEMATIKOINFIZIKOFAKULTETAZARAČUNALNIŠTVOININFORMATIKORačunalništvoinmatematika–2.stopnjaAdaŠadlPraprotnik (Strani 16-24)