Anagli

Anagli so, kljub temu da so zelo malo poznani, v resnici ºe precej stari.

Z njimi so se za£eli ukvarjati ºe v petdesetih letih 19. stoletja; v Nem£iji Wilhelm Rollmann [1], v Franciji pa Joseph D'Almeida [11]. Anaglifna slika nastane tako, da zdruºimo dva komplementarna izvle£ka. Postopek teme-lji na trikromati£nem zaznavanju barv, kar pa temeteme-lji na osnovnih barvah:

modri, rde£i in zeleni. Pri tem o£esi ne smeta hkrati videti iste barvne kom-ponente, da ne prihaja do podvajanja. Obstaja ve£ vrst anaglifov, saj je za njihov nastanek in ogled moºna uporaba razli£nih barvnih kombinacij. Naj-pogostej²a barvna kombinacija je rde£a-cian, ki jo je uvedel Stephen Gibson

v sedemdesetih letih 20. stoletja. Poznamo pa ²e kombinacije rde£a-zelena, rde£a-modra, temno rde£a-cian, zelena-magenta, magenta-cian . . . [1]

Za izdelavo anaglifa potrebujemo dve sliki iste scene, in sicer iz gledi²£ obeh o£es. Ob izdelavi anaglifa iz fotograj moramo isto sceno fotograrati dva-krat z okoli 60 mm zamika. Na ta na£in dobimo lo£ena pogleda levega in desnega o£esa. Za obe podobi, ki jima re£emo stereopar, izdelamo barvne izvle£ke (slika, ki vsebuje dolo£en barvni kanal) in ju zdruºimo ter tako do-bimo anaglif. Ko ga pogledamo z ustreznimi o£ali, vsako oko vidi le njemu namenjeno podobo. Do tega pride, ker barvna ltra v o£alih spremenita barve, na primer barva x skozi lter x barve izgleda bela, komplementarna barva pa £rna. Ti lo£eno zaznani podobi pa zdruºijo moºgani (ta pojav se imenuje binokularna fuzija), kar privede do prostorske zaznave [1]. Seveda je pomembno, da sta barvna izvle£ka prilagojena o£alom. To pomeni, da mo-ramo ob uporabi o£al z npr. rde£im in cian ltrom stereoparu, namenjenemu desnemu o£esu, pustiti rde£ barvni kanal, stereoparu, namenjenemu levemu o£esu, pa modrega in zelenega (velja za sivinski anaglif). Pri tem velja, da je globinska postavitev predmetov na anaglifni sliki dolo£ena z medsebojnima legama rde£e in cian (ali kak²ne druge barve, odvisno od barvne kombinacije) slike. ƒe se sliki prekrivata, predmet vidimo v ravnini, na kateri je anaglif prikazan, £e je cian slika zamaknjena v levo, predmet vidimo za ravnino, £e pa je cian slika zamaknjena v desno, pa predmet vidimo pred ravnino [15].

Odvisnost globinske zaznave od poloºaja stereoparov je prikazana na sliki 1.

Odvisno od ohranitve barvnih kanalov anaglif, gledan skozi anaglifna o£ala, lahko vsebuje razli£ne barve. Za pravi anaglif levemu stereoparu pustimo rde£ barvni kanal, desnemu pa modrega. Rezultat je temen, s slabo repro-dukcijo barv. Pri sivinskem anaglifu levemu stereoparu ohranimo rde£ kanal, desnemu pa zelenega in modrega; rezultat tega je popolna eliminacija barv.

Pri barvnem anaglifu s popolno reprodukcijo barv levemu paru ohranimo samo rde£o komponento rde£ega kanala, desnemu pa modro komponento

Slika 1: Globinska zaznava predmetov [15]

modrega kanala in zeleno komponento zelenega kanala. Polbarvni anaglif, ki delno reproducira barve, ampak je manj mote£ za ogled, je sestavljen iz levega stereopara z rde£im kanalom vseh treh komponent in desnega stere-opara, ki je enak kot pri barvnem anaglifu. Poznamo ²e Duboisov anaglif, optimiziran anaglif . . . [1]

3 GeoGebra 5.0

GeoGebra je program za dinami£no geometrijo in algebro. V nasprotju s prej²njo razli£ico GeoGebra 4, ki je omogo£ala geometrijo in algebro v rav-nini, nova razli£ica GeoGebra 5.0 omogo£a tudi delo v tridimenzionalnem prostoru. Program je na voljo za prenos na [13].

Osnovni izgled gra£nega vmesnika za delo s 3D geometrijo je sestavljen iz menijske vrstice, orodne vrstice, algebskega okna, 3D pogleda in vnosne vrstice (slika 2).

Slika 2: Gra£ni vmesnik programa Geogebra

V menijski vrstici so moºnosti za upravljanje z datotekami in za razne na-stavitve (videz, pisava, ozna£evanje . . . ).

V orodni vrstici si od leve proti desni sledijo orodja za:

• premikanje,

• to£ke, prese£i²£a, sredi²£a,

• premice, daljice, poltrake, vektorje,

• vzporednice, pravokotnice,

• mnogokotnike,

• kroºnice,

• prese£i²£a ploskev,

• ravnine,

• piramide, prizme, stoºce, valje, kocke,

• sfere,

• kote, razdaljo, plo²£ino, prostornino,

• zrcaljenje, vrtenje, raztege in premike,

• tekst,

• prilagajanje prikaza,

• spreminjanje pogleda na objekt.

V algebrskem oknu so prikazana dolo£ila za vse narisane objekte (koordinate to£k, ena£be krivulj in ploskev).

V 3D pogledu so prikazani objekti, v njem s pomo£jo orodij ustvarjamo nove objekte in jih prilagajamo, spreminjamo. Na voljo so tudi nastavitve, s

katerimi dolo£amo prikaz koordinatih osi, ravnine Oxy, mreºe in pogleda na sliko. Zadnja nastavitev, ki je za nas najbolj zanimiva, pa omogo£a izbiro projekcije. Na voljo so pravokotna, perspektivna in po²evna projekcija ter anaglifna slika, s katero si lahko objekte ogledamo v treh dimenzijah. S to moºnostjo so bile narejene anaglifne slike, ki so prikazane v tem delu. Za njihov ogled so potrebna anaglifna o£ala z rde£im in cian ltrom (slika 3).

Slika 3: Rde£a-cian anaglifna o£ala

Vnosna vrstica omogo£a drug na£in ustvarjanja objektov. Namesto da objekt z orodjem postavimo v risalno polje, v vnosno vrstico vpi²emo algebrski opis objekta.

Ve£ o GeoGebri 5.0 najdete v uporabni²kem priro£niku na [14].

4 Koordinatni sistem v prostoru

Pravokotni kartezi£ni koordinatni sistem v prostoru je dolo£en s tremi pa-roma pravokotnimi ravninami Oyz, Ozx in Oxy. Preseki parov teh ravnin so tri paroma pravokotne premice, na katerih leºijo koordinatne osi. Os x imenujemo abscisna os, os yordinatna os, osz pa aplikatna os. Osi se sekajo v izhodi²£u, ki ga ozna£imo s £rko O (slika 4).

Slika 4: Pravokotni kartezi£ni koordinatni sistem v prostoru

Izhodi²£e razdeli osi na po dva poltrakova, in sicer pozitivnega in negativnega.

Pozitivni del osi je v koordinatnem sistemu ozna£en s pu²£ico. Koordinatne ravnine razdelijo cel prostor na osem delov, ki jih imenujemo oktanti. Po-ljubna to£ka T v prostoru je enoli£no dolo£ena s koordinatami x, y in z, kjer absolutna vrednost koordinate pomeni razdaljo to£ke od koordinatnih ravnin, predznak pa pove, ali se to£ka pravokotno projicira na pozitiven ali

negativen del ustrezne osi. Absolutna vrednost koordinatexpomeni razdaljo to£ke od ravnine Oyz, absolutna vrednost koordinate y razdaljo od ravnine Ozxin absolutna vrednost koordinate z razdaljo od ravnineOxy. Za vse ko-ordinate velja, da so pozitivne, £e so na tisti strani ravnine, od katere razdaljo predstavljajo, kamor kaºe pozitivni del osi. To pomeni, da je koordinata x pozitivna, £e je to£ka na isti strani ravnineOyz kot pozitivni del osix. Koor-dinate podane to£keT lahko dobimo tako, da skozi to£ko postavimo ravnine, vzporedne koordinatnim ravninam. Prese£i²£a teh ravnin in koordinatnih osi x,y inz so to£keA(a,0,0),B(0, b,0) inC(0,0, c). Koordinate ustrezajo dolºini daljic med izhodi²£emO in prese£i²£i: x=|OA|, y =|OB|, z =|OC|, kjer je predznak pozitiven, £e je prese£i²£e na pozitivni strani osi, in negati-ven, £e je prese£i²£e na negativni strani osi.

Slika 5: To£ka kot presek ravnin (anaglif za ogled so potrebna rde£e-cian 3D o£ala)

Obratno pa ob poznavanju koordinat to£ke T lahko poi²£emo to to£ko tako, da na osi, v smeri, ki ustreza predznaku koordinate, in razdalji, ki ustreza absolutni vrednosti koordinate, postavimo ravnine, vzporedne koordinatnim.

Presek vseh treh ravnin je iskana to£ka T. To£koT s koordinatamix,y, inz ozna£imo sT(x, y, z)[10]. To£ka kot presek ravnin, vzporednih koordinatnim ravninam, je prikazana na sliki 5.

5 Ploskve v prostoru

5.1 Ravnine v prostoru

Ravnina v prostoru je lahko podana na ve£ na£inov. Eden od njih je s to£ko T₀(x₀, y₀, z₀), ki leºi v ravnini Σ, in z normalo ~n na ravnino Σ. To£ki T₀ priredimo krajevni vektor r~₀, poljubni to£ki T(x, y, z) pa krajevni vektor ~r. Ker je normala~n pravokotna na ravnino, to£kaT leºi v ravnini Σ takrat, ko je vektor~r−~r₀ pravokoten na normalo. To pomeni, da mora veljati naslednja relacija s skalarnim produktom [4]:

(~r−~r₀)·~n= 0.

Dobljena ena£ba je vektorska ena£ba ravnine. Vzemimo, da je ~n = (a, b, c), in vstavimo vektorje po komponentah v zgornjo ena£bo. Dobimo:

(x−x0, y−y0, z−z0)·(a, b, c) = 0,

(x−x₀)a+ (y−y₀)b+ (z−z₀)c= 0,

ax+by+cy−(ax₀+by₀+cz₀) = 0.

Izraz−(ax₀+by₀+cz₀)vzamemo zadin tako dobimo splo²no ena£bo ravnine:

ax+by+cz+d= 0.

Poleg omenjenega na£ina je lahko ravnina podana ²e s premico in to£ko, ki ne leºi na tej premici, s tremi nekolinearnimi to£kami, z dvema sekajo£ima se premicama ali z dvema neidenti£nima vzporednima premicama.