Kroºnica

Kroºnica je mnoºica to£k v ravnini, ki leºijo na enaki oddaljenosti od izbrane to£ke te ravnine. Izbrani to£ki re£emo sredi²£e kroºnice. Ozna£imo sredi²£e s S(p, q) in poljubno to£ko s T(x, y), ki je od sredi²£a oddaljena za r (slika 17).

Slika 17: Kroºnica

V obrazec za razdaljo d med dvema to£kama T₁(x₁, y₁) in T₂(x₂, y₂), ki se glasi d = p

(x₂−x₁) + (y₂−y₁) [2], vstavimo izbrane podatke in dobimo razdaljo med to£kama S inT:

d=p

(x−p)²+ (y−q)² =r.

Relacijo ²e kvadriramo in dobimo ena£bo kroºnice, ki ji ustrezajo tiste to£ke T(x, y), ki so za polmerr oddaljene od sredi²£aS:

(x−p)²+ (y−q)² =r².

Kot presek stoºca in ravnine pa kroºnico dobimo, ko je ta ravnina vzporedna z osnovno ploskvijo stoºca [8].

Presekajmo stoºecS₁ s slike 16, ki ga opisuje ena£ba ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄², z ravnino z = 4.

Presek (slika 18) poi²£emo kot re²itev, ki ustreza ena£bi ravnine in ena£bi stoºca hkrati. V ena£bo stoºca vstavimo z= 4:

x² 25+ y²

25 = 16 64. S kratkim izra£unom dobimo:

x²+y² = (5 2)²,

kar res ustreza ena£bi kroºnice s sredi²£em S(0,0)in polmerom r= ⁵₂. Kroºnica s polmerom r ima obseg o = 2πr, krog, ki ga omejuje, pa plo²£ino S =πr².

Slika 18: Kroºnica kot presek stoºca in ravnine (anaglif) 6.2.2 Elipsa

Elipsa je mnoºica to£k v ravnini, katerih vsota razdalj do dveh danih to£k, ki jima re£emo gori²£i, je konstantna [2]. Vsota teh razdalj je 2a.

Kot stoºnico elipso dobimo tako, da stoºec presekamo z ravnino pod kotom, ki je manj²i od naklonskega kota stranice stoºca [8] (slika 27). Na sliki 19 je prikazana elipsa kot presek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravnine 2x+ 3z = 18.

Slika 19: Elipsa kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo sredi²£e elipse v koordinatno izhodi²£e, tako da imata gori²£i ko-ordinati F₁(−c,0) in F₂(c,0). Ozna£imo: r₁ = |F₁T|, r₂ = |F₂T|, kjer je F to£ka v ravnini.

Denicija elipse je r₁+r₂ = 2a. Razdalji r₁ in r₂ s pomo£jo Pitagorovega izreka (slika 20) zapi²emo kot

r1 =p

(x+c)²+y² in r2 =p

(x−c)²+y².

Slika 20: Izpeljava ena£be elipse Denicijo elipse preoblikujemo v

p(x+c)² +y²+p

(x−c)²+y² = 2a.

Nadaljujemo:

x²+ 2xc+c²+y²+ 2p

(x+c)²+y²p

(x−c)²+y²+x²+c²−2xc+y² = 4a², x²+y²+c²+p

(x²+ 2xc+c²+y²)(x²−2xc+c² +y²) = 2a². Ozna£imo x²+y²+c² =K in preuredimo:

p(K+ 2xc)(K−2xc) = 2a²−K, K²−4x²c² = 4a⁴−4a²K +K²,

a²K−a⁴−x²c² = 0,

a²x²+a²y²+a²c²−a⁴−x²c² = 0, izpostavimo skupne faktorje:

x²(a²−c²) +a²y² −a²(a²−c²) = 0.

Ozna£imo a² −c² =b² in dobimo:

x²b²+a²y² −a²b² = 0,

x²b²+a²y² =a²b², nazadnje dobimo

x² a² +y²

b² = 1,

kar je ena£ba elipse s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u [8].

ƒe sredi²£e elipse premaknemo iz koordinatnega izhodi²£a, ji pripada ena£ba (x−p)²

a² +(y−q)² b² = 1, oziroma v parametri£ni obliki, ena£bi

x=p+acost, y=q+bsint,

kjer je t ∈ [0,2π], S(p, q) sredi²£e elipse, a in b pa ozna£ujeta elipsini polosi [2].

Slika 21: Elipsa

Na sliki 21 je elipsa s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u in polosema a in

b. To£keA, B, C inD so temena, daljicaAC je velika os in daljicaBD mala

popolni elipti£ni integral druge vrste [18]. Pribliºni formuli za obseg elipse sta [2]

6.2.3 Parabola

Parabola je mnoºica vseh tistih to£k v ravnini, za katere sta razdalji od dane to£ke (gori²£a) in dane premice (vodnice) enaki [2].

Kot stoºnico dobimo parabolo tako, da stoºec presekamo z ravnino, ki ima enak naklonski kot kot stranica stoºca [8] (slika 27). Parabola, kot presek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravnine −8x+ 5z = 25, je prikazana na sliki 22.

Slika 22: Parabola kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo parabolo v koordinatni sistem tako, da ima premica vodnica ena£bo x= −^p₂, gori²£e pa koordinatiF(^p₂,0). Teme parabole je tako v

ko-ordinatnem izhodi²£u. S pomo£jo denicije parabole poi²£imo njeno ena£bo.

Razdalja med to£ko T(x, y) na paraboli in vodnico je x+ ^p₂, razdalja med to£koT in gori²£emF pa jep

(x− ^p₂)²+y². Po deniciji parabole sta ti dve razdalji enaki, zato velja:

(x+ p

2)² = (x−p

2)²+y², x²+px+ p²

4 =x²−px+p² 4 +y².

Nazadnje dobimo ena£bo parabole s temenom v koordinatnem izhodi²£u:

y² = 2px.

Slika 23: Parabola

ƒe teme parabole prestavimo v to£koS(m, n), se njena ena£ba glasi(y−n)² = 2p(x−m).

6.2.4 Hiperbola

Hiperbola je mnoºica vseh to£k v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh danih to£k (gori²£) konstantna. Absolutna vrednost razlike razdalj je enaka 2a [2].

Hiperbolo dobimo tako, da stoºec presekamo z ravnino pod kotom, ki je ve£ji od naklonskega kota stranice stoºca [12] (slika 27). Hiperbola kot pre-sek stoºca S₁: ^x₂₅² +^y₂₅² = ^z₆₄² in ravninex+ 2y= 3 je prikazana na sliki 24.

Slika 24: Hiperbola kot presek stoºca in ravnine (anaglif)

Postavimo sredi²£e hiperbole v koordinatno izhodi²£e, gori²£i naj imata ko-ordinati F₁(−c,0) in F₂(c,0). Ozna£imo: r₁ = |F₁T|, r₂ = |F₂T|, kjer je F poljubna to£ka v ravnini. Denicija hiperbole je |r₁ − r₂| = 2a.

Vze-Slika 25: Izpeljava ena£be hiperbole

mimo da je r₁ > r₂, nato pa z uporabo Pitagorovega izreka denicijo lahko preoblikujemo v:

p(c+x)²+y²−p

(x−c)²+y² = 2a.

Nadaljujemo:

c²+ 2cx+x²+y²−2p

(c+x)²+y²p

(x−c)²+y²+x²+c²−2xc+y² = 4a², x²+y²+c² −p

(c²+ 2cx+x² +y²)(x²−2xc+c²+y²) = 2a². Ozna£imo x²+y²+c² =K in preuredimo:

−p

(K+ 2cx)(K−2cx) = 2a²−K, K²−4c²x² = 4a⁴−4a²K +K²,

a²K−a⁴−c²x² = 0,

a²x²+a²y²+a²c²−a⁴−x²c² = 0,

ena£bo mnoºimo z −1 in izpostavimo skupne faktorje:

x²(c²−a²)−a²y²−a²(c²−a²) = 0.

Ozna£imo c²−a² =b² in dobimo:

x²b²−a²y²−a²b² = 0, x²b² −a²y² =a²b².

Nazadnje dobimo ena£bo hiperbole s sredi²£em v koordinatenm izhodi²£u [8]:

x² a² − y²

b² = 1.

ƒe sredi²£e hiperbole premaknemo v to£ko S(m, n), je njena ena£ba (x−m)²

a² − (y−n)² b² = 1.

Na sliki 26 je prikazana hiperbola s sredi²£em v koordinatnem izhodi²£u.

To£kiF₁(−c,0)inF₂(c,0)sta gori²£i hiperbole, to£kiA(a,0)inB(−a,0)sta temeni hiperbole. DaljicaAB z dolºino2aje realna os, daljicaCD z dolºino 2bpa imaginarna os hiperbole. Pri tem jeclinearna ekscentri£nost hiperbole, zveza med njo in polosema hiperbole je c² =a² +b². Premici y = ±^b_ax sta njeni asimptoti, h katerima se vedno bolj pribliºujeta veji hiperbole, ko se oddaljujeta v neskon£nost. To£ke na desni veji hiperbole izpolnjujejo pogoj r₁−r₂ = 2a, to£ke na levi veji pa r₂ −r₁ = 2a.

Slika 26: Hiperbola

Na sliki 27 so skupaj prikazane stoºnice, ki jih dobimo s presekom stoºca in ravnin pod razli£nimi koti. Za kroºnico mora biti ravnina vzporedna osnovni ploskvi stoºca. Za parabolo mora biti ravnina vzporedna stranici stoºca.

Elipso dobimo, £e je naklonski kot ravnine ve£ji od tistega, pri katerem do-bimo kroºnico, in manj²i od tistega, pri katerem dodo-bimo parabolo. Hiperbolo dobimo, £e je naklonski kot ravnine ve£ji od tistega, pri katerem dobimo pa-rabolo.

Slika 27: Stoºnice

6.3 Krivulje na sferi

Kot smo zapisali zgoraj, lahko sfero opi²emo s parametri£nimi ena£bami:

x=x0+rcosusinv, y=y₀+rsinusinv,

z =z₀+rcosv, kjer u te£e od 0 do 2π,v pa od 0 do π.

Na enostaven na£in lahko na sferi najdemo dve vrsti kroºnic. Postavimo enotsko sfero v izhodi²£e, nato pa parameterv ksirajmo v to£ki v njegovem intervalu. Dobimo krivuljo z ena£bo

~r(u) = (cosusinv₀,sinusinv₀,cosv₀), 0≤v₀ ≤π.

Ta kroºnica je vzporednik na sferi, dobimo jo lahko tudi kot presek sfere z ravnino, ki je vzporedna z ravnino 0xy. Pri v₀ = ^π₂ dobimo ekvator sfere, ki je od vzporednikov edina njena glavna kroºnica. Pri v = 0in v =π dobimo pola sfere.

Namesto v sedaj ksirajmo parameteruna njemu ustreznem intervalu. Kri-vulja

~

r(v) = (cosu₀sinv,sinu₀sinv,cosv), 0≤u₀ <2π

je kroºnica, ki jo dobimo kot presek sfere z ravninami, ki potekajo skozi oba pola. Te kroºnice so poseben primer glavnih kroºnic. Polovice teh kroºnic so poldnevniki, ki so dolo£eni z ena£bo

~

r(v) = (cosu₀sinv,sinu₀sinv,cosv), 0≤u₀ < π.

Vzporedniki in poldnevniki tvorijo krivo£rtni koordinatni sistem na sferi (slika 28) [6]. V splo²nem so glavne kroºnice na sferi preseki sfere z rav-ninami skozi sredi²£e sfere.

Preprost na£in za iskanje malo bolj razgibanih krivulj na sferi je nadomestitev

Slika 28: Vzporedniki in poldnevniki na sferi (anaglif) parametrov u inv z razli£nima funkcijama enega novega parametra t. Pri tem si lahko pomagamo z GeoGebro. Poskusimo z zamenjavo u → at in v → bt za t ∈ [0, cπ]. Za a, b in c v GeoGebri izdelamo drsnike, nato pa vstavimo krivuljo z ena£bo

K₁:~r(t) = (cosatsinbt,sinatsinbt,cosbt), 0≤t ≤c π.

Nato s premikanjem drsnikov spreminjamo ²tevilaa, bincter tako poi²£emo zanimivo obliko krivulje K₁. Pri a = 2.1, b = 1.8 in c= 10 dobimo krivuljo

K₁ (slika 29) z ena£bo

K₁:~r(t) = (cos(2.1t) sin(1.8t),sin(2.1t) sin(1.8t),cos(1.8t)), 0≤t ≤10π.

Slika 29: Krivulja K1 na sferi (anaglif)

Izra£unov dolºin krivulj ter posebnih vektorjev in ravnin nanje za krivuljo K₁ in ostale krivulje ne bomo naredili, saj analiti£ne metode ne zadostujejo, ampak bi morali uporabiti numeri£ne metode.

Za novo krivuljo nadomestimo parametra u in v z u = at in v = sinbt na intervalu t∈[0, c π]. Pri iskanju primernih a, bin csi zopet pomagamo z GeoGebro. Na sliki 30 je krivulja

K₂:~r(t) = (cos(2t) sin(sin 5t),sin(2t) sin(sin 5t),cos(sin 5t)), 0≤t≤2π.

Slika 30: Krivulja K₂ na sferi (anaglif)

6.4 Krivulje na torusu

Torus parametri£no zapi²emo kot:

~r(u, v) = ((a+bcosv) cosu,(a+bcosv) sinu, bsinv),

−π < u≤π,−π < v≤π.

ƒe v tej ena£bi ksiramo u na pripadajo£em intervalu, dobimo poldnevnik na torusu:

~

r(v) = ((a+bcosv) cosu₀,(a+bcosv) sinu₀, bsinv), −π < v ≤π.

S ksiranjem parametrav na njemu pripadajo£em intervalu pa dobimo vzpo-rednike na torusu:

~r(u) = ((a+bcosv₀) cosu,(a+bcosv₀) sinu, bsinv₀), −π < u≤π.

Mreºa poldnevnikov in vzporednikov na kroºnem torusu je prikazana na sliki 31.

Naslednje krivulje na torusu bomo poiskali z nadomestitvijo parametrov u in v iz ena£be torusa s funkcijama novega parametra t. Pri tem si bomo pomagali z GeoGebro. Torus naj bo pri tem dolo£en z a = 2.9in b= 1.6. Pri u= 10t in v =t dobimo krivuljo K₃ (slika 32) z ena£bo:

K₃:~r(t) = ((2.9 + 1.6 cost) cos 10t,(2.9 + 1.6 cost) sin 10t,1.6 sint),

−π < t≤π.

Slika 31: Mreºa poldnevnikov in vzporednikov na kroºnem torusu (anaglif)

Slika 32: Krivulja K₃ na torusu (anaglif)

Pri u=t inv =πsin 10t dobimo krivuljo K₄ (slika 33) z ena£bo:

K₄:~r(t) = ((2.9 + 1.6 cos(πsin 10t)) cost,(2.9 + 1.6 cos(πsin 10t)) sint, 1.6 sin(πsin 10t)), −π < t≤π.

Slika 33: Krivulja K₄ na torusu (anaglif) Pri u=t inv = ³₂t³ ima krivulja K5 (slika 34) ena£bo:

K₅:~r(t) =

(2.9 + 1.6 cos3

2t³) cost,(2.9 + 1.6 cos3

2t³) sint,1.6 sin3 2t³

,

−π < t≤π.

Z odvisnostjo parametrov u inv [7]:

u= 2btanα

c (arctan(µtan(v

2)) +kπ)

Slika 34: Krivulja K₅ na torusu (anaglif)

dobimo dele loksodrome na torusu. Pri tem loksodroma seka poldnevnike pod kotom α,c=√

a²−b² inµ=q

a−b

a+b. Loksodroma je krivulja na torusu, ki seka vse njegove poldnevnike pod stalnim kotom.

Na torusu z a = 5 in b = 3 s sestavo ²tirih nesklenjenih krivulj, ki jih dobimo z nadomestitvami parametrov:

u_k = 3 tan^π₄

2 (arctan(1 2tan t

2) +kπ), v =t,

kjer za k iz£rpamo mnoºico {1,2,3,4}, dobimo loksodromo K₆ z ena£bo:

K₆:r~_k(t) = ((5 + 3 cost) cos(3

2(arctan(1 2tan t

2) +kπ)), (5 + 3 cost) sin(3

2(arctan(1 2tan t

2) +kπ)), 3 sint), k ∈ {1,2,3,4},

ki ²tirikrat obkroºi sredi²£nico in trikrat os torusa, poldnevnike pa seka pod kotom ^π₄.

Slika 35: LoksodromaK₆ na torusu (anaglif)

7 Uporaba anaglifnih slik v osnovni ²oli

Anaglifne slike bi lahko uporabili pri pouku matematike v osnovni ²oli.

Vklju-£ili bi jih lahko pri temah stereometrije, kjer bi, skupaj s zi£nimi modeli, u£encem nazorno prikazale telesa v prostoru. ƒeprav je mogo£e z anaglifnimi slikami dobro predstaviti trirazseºni predmet, se nam vseeno zdi, da jih lahko v polni meri izkoristimo ²ele v povezavi z ra£unalni²kim programom za di-nami£no geometrijo v prostoru, kot je na primer GeoGebra 5.0. Na ta na£in lahko telesa in ostale elemente v prostoru opazujemo iz razli£nih smeri, kar zagotovo pripomore k bolj²i predstavi. Druga pomembna pozitivna lastnost dinami£ne geometrije pa je moºnost spremljanja, kako spremembe posame-znega dela vplivajo na celoto.

Z GeoGebro 5.0 in anaglifnimi slikami bi si lahko na primer ogledali pra-vokotne trikotnike v piramidi (slika 36).

Slika 36: Zna£ilni pravokotni trikotniki v ²tiristani piramidi (anaglif)

8 Zaklju£ek

V diplomskem delu smo predstavili anaglifne slike. Obravnava ploskev in krivulj v prostoru v nadaljevanju dela se nam z uporabo anaglifnih slik, ki ustvarjajo iluzijo tridimenzionalnega prostora, zdi bolje predstavljena in ra-zumljiva, kot £e bi jo podkrepili s tradicionalnimi dvodimenzionalnimi pred-stavitvami.

Obravnavo ploskev smo izvedli na primerih sfere, torusa in elipsoida. Iz-ra£unali smo njihove prostornine, povr²ine, normale in tangentne ravnine.

Obravnavo krivulj smo naredili na primeru vija£nice. Izra£unali smo njeno dolºino, vektorje tangente, glavne normale in binormale, pritisnjeno, nor-malno in rektikacijsko ravnino ter eksijsko in torzijsko ukrivljenost.

Kot primer preseka dveh ploskev smo si ogledali stoºnice, nato pa smo poi-skali ²e nekaj krivulj na sferi in torusu.

Literatura

[1] Ahtik, J. (2011). Tehnike upodabljanja anaglifnih slik za uporabo v ume-tnosti: magistrsko delo, Ljubljana, Narovoslovnotehni²ka fakulteta.

[2] Bron²tejn, I. N. in ostali (2009). Matemati£ni priro£nik, Ljubljana, Teh-ni²ka zaloºba Slovenije.

[3] Larson, R. in ostali (2002). Calculus with Analytic Geometry, Boston, New York, Houghton Miin Company.

[4] Malni£, A. (2007). Geometrijski vektorji in analiti£na geometrija, ²tu-dijsko gradivo, Ljubljana.

[5] Mencinger, M. in ostali (2008). Zbirka re²enih nalog iz Matematike II, Maribor, Fakulteta za gradbeni²tvo, Univerza v Mariboru.

[6] Razpet, M. (2013). Loksodroma, ’tudijsko gradivo, Ljubljana.

[7] Razpet, M. (2013). Loksodroma na svitku, ’tudijsko gradivo, Ljubljana.

[8] Rugelj, M. in ostali (2003). Spatium, Matematika za 3. letnik gimnazij, Ljubljana, Modrijan.

[9] ’tamcar, N. (2012). Totalna ukrivljenost krivulj v prostoru in Fáry-Milnorjev izrek, diplomsko delo, Ljubljana, Pedago²ka fakulteta.

[10] Vidav, I. (1994). Vi²ja matematika I, Ljubljana, DMFA.

[11] Anaglyph 3D Know-How by Fred Wilder,

http://stcroixstudios.com/wilder/anaglyph/whatsanaglyph.html, 23.

12. 2013.

[12] Conic Sections,

http://sta.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/conics/sections.htm, 15. 10.

2014.

[13] GeoGebra 5.0 namestitvene datoteke,

http://www.geogebra.org/download, 8. 1. 2015.

[14] GeoGebra 5.0 uporabni²ki priro£nik,

http://wiki.geogebra.org/en/Manual, 8. 1. 2015.

[15] How Anaglyphs Works,

http://povera.myartsonline.com/lessons/3d_3_how_works.html, 23.

12. 2013.

[16] Joker, Stereoskopija za telebane,

http://www.joker.si/article.php?rubrika=30&articleid=7713&page=2, 23. 12. 2013.

[17] Wikipedia, Ellipsoid,

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid, 6. 6. 2014.

[18] Wikipedia, Elliptic integral,

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral, 11. 9. 2014.

[19] Wikipedia, Stereoscopy,

http://en.wikipedia.org/wiki/Stereoscopy, 23. 12. 2013.

Opomba

Priloºena so rde£a-cian anaglifna o£ala, ki so potrebna za ogled anaglifnih slik v tem delu.

Anaglifne slike so ustvarjene v barvnem okolju RGB, kar pomeni, da je pi-ksel v sliki dolo£en z rde£o, zeleno in modro komponento. Slike so kot take primerne za prikaz na zaslonih in projektorjih, ki uporabljajo RGB barvni model. Problem se pojavi pri tiskanju anaglifnih slik, saj tiskalniki upora-bljajo druge barvne modele, najbolj pogosto model CMYK, ki barve sestavlja iz sinje, magente in rumene, dodana pa jim je ²e £rna barva. Zaradi uporabe razli£nih modelov, natisnjene barve niso popolnoma enake kot tiste na za-slonu, posledica tega pa je, da so skozi ltra v o£alih vidni deli slik, ki jih ne bi smeli videti. Zato priporo£amo ogled anaglifnih slik v elektronski verziji tega dela, kjer bo kvaliteta prikaza bolj²a.

In document Ploskve in krivulje v prostoru z anaglifnimi slikami (Strani 43-0)