Dobra predstavitev poenostavi problem

Pri odprtem stikalu S teče tok 𝐼𝐼 = 1A . Določimo tok, ki teče, ko sklenemo stikalo.

Predpostavimo, da napetost ostane nespremenjena. Izračunajmo tudi napetosti na posameznih uporih.

Slika 3.1.1: Vezje s stikalom in z upori Podatki:

R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, I = 1 A

Slika 3.1.2: Razklenjeno stikalo Razklenjeno stikalo:

U = I (R1 + R2) = 1 × 7 = 7 V 𝑈𝑈_𝑅𝑅1= I 𝑅𝑅1 = 5 V

𝑈𝑈_𝑅𝑅2= I 𝑅𝑅2 = 2 V + - U I

R₁ R₂ R₃ R₄

I= 1A

R₁ R₂ R₃ R4

+

-6 𝑈𝑈𝑅𝑅₃= I 𝑅𝑅3 = 0 V

𝑈𝑈𝑅𝑅₄= I 𝑅𝑅4 = 0 V Sklenjeno stikalo:

Slika 3.1.3: Sklenjeno stikalo

Kadar je shema nepregledna, jo je smiselno preoblikovati in pri tem paziti pa na ohranitev povezav.

Slika 3.1.4: Pregledneje narisana shema s slike 3.1.3.

𝑅𝑅_N = 𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ ∥ 𝑅𝑅₃ ∥ 𝑅𝑅₄ = 𝑅𝑅₁ + �1 Napetosti na posameznih uporih:

+

7 𝑈𝑈𝑅𝑅₁ =𝐼𝐼 𝑅𝑅1 = 13 × 5

11 = 65 11 V

𝑈𝑈_𝑅𝑅2= 𝑈𝑈_𝑅𝑅3 = 𝑈𝑈_𝑅𝑅4 = 7 − 𝑈𝑈_𝑅𝑅1 = 77−65 11 =

12 11 V

Zadnja enačba je iz Kirchoffovega napetostnega zakona,

� 𝑈𝑈𝑖𝑖 n i = 1

v zanki = 0 V .

8 3.2. Izračun karakteristike potenciometra

Izračunajte in narišite v merilu diagram poteka razmerja UIZH / UVH v odvisnosti od normirane lege kontakta na drsnem uporu - potenciometru. Računajte to odvisnost za argument x, ki naj se spreminja v mejah od 0 do 1 s korakom ∆x = 0,1. Pri izračunu upoštevajte linearno odvisnost upornosti od normirane lege kontakta na drsnem uporu.

Slika 3.2.1: Nastavitev izhodne napetosti U^IZH s potenciometrom

Slika 3.2.2: Potenciometer lahko razdelimo v zgornji in spodnji upor Nadomestna upornost za vzporedno vezavo xR in KR je

1 𝑅𝑅N = 1

xR + 1

KR = K + x x K R +

-^{UVH R = B KR UIZH}

xR (1- )Rx

+ -UVH

xR KR (1- )Rx

+ -U_VH

(1- )Rx

xKR+ K x

9 Slika 3.2.3: Napetostni delilnik iz vezja na sliki 3.2.2

Spodnji upor ima nadomestno upornost 𝑅𝑅N = xKR

Opaziti je potrebno dve skrajnosti: Če je K zelo velik, kar pomeni, da je bremenski upor zelo velik, lahko rezultat približno zapišemo kot

𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈_VH = x .

Če je K zelo majhen, kar pomeni, da je bremenski upor zelo majhen, lahko rezultat približno zapišemo kot

𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈VH= 0 .

Tabela 3.2.1: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo pri velikem in majhnem koeficientu K - razmerjem med upornostjo bremena in potenciometra

x 𝑈𝑈_IZH

10

0,7 0,70 0,003

0,8 0,80 0,005

0,9 0,90 0,01

1 1 1

Slika 3.2.4: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo v odvisnosti od položaja potenciometra pri velikem K in pri majhnem K

Interpretacija rezultata: Naloga predstavlja potenciometrsko regulacijo napetosti na bremenskem uporu RB. Če je RB velik, regulacija deluje po pričakovanjih (U_RB je proporcionalen položaju srednjega priključka potenciometra).

Če je R^B majhen, imamo problem, ker vezje pod srednjim priključkom potenciometra (RB ∥ xR ) predstavlja majhno upornost ne glede na položaj drsnika potenciometra. Zato je v tem primeru napetost U^IZH bistveno manjša, kot bi jo s potenciometrom hoteli nastaviti.

Izračunan rezultat, aproksimaciji rezultata za velik in majhen K, tabela in graf pojasnjujejo nastavitev napetosti s potenciometrom.

majhen K velik K

x UIZH

UVH

11

4. Napetostni vir in tokovni vir

4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo Idealni napetostni vir

Slika 4.1.1: Idealni napetostni vir 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = 0 Ω Realni napetostni vir

Slika 4.1.2: Realni napetostni vir 𝑅𝑅VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = RNOTRANJI

Idealni tokovni vir

Slika 4.1.3: Idealni tokovni vir:

+

- U = n V

nU

I

+

-U = n V RNOTRANJI

U(I)

U n

I

m

U I

I = m A

12 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = ∞ Ω Realni tokovni vir

Slika 4.1.4: Realni tokovni vir 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = R_NOTRANJI

m

U I

I = m A R_NOTRANJI I(U)

13

5. Teorem o maksimalnem prenosu moči

5.1. Razmerje RA/RB = 1 za maksimalno moč na bremenu

Določimo razmerje K med bremensko upornostjo RB in notranjo upornostjo generatorja RG

tako, da bo na bremenski upornosti RB maksimalna moč. Določimo graf razporeditve moči med RB in RG v odvisnosti od koeficienta K.

Slika 5.1.1: Vezje za določitev maksimalne moči na bremenu P𝑅𝑅B= 𝐼𝐼² RB = U𝑅𝑅B 𝐼𝐼_𝑅𝑅B = 𝑈𝑈²

14

Tabela 5.3.1: Moč na bremenskem uporu RB, moč na uporu RG napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K

K P_𝑅𝑅B[𝑊𝑊] P_𝑅𝑅G[𝑊𝑊] 𝑃𝑃_CELOTNA[𝑊𝑊]

15

0, 9 2, 49 2, 77 5, 26

1, 0 2, 50 2, 50 5, 00

2, 0 2, 22 1, 11 3, 33

5, 0 1, 39 0, 28 1, 67

10, 0 0, 83 0, 08 0, 91

neskončno 0 0 0

Slika 5.1.2: Moč na bremenskem uporu R^B, na uporu R^G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K

K P_CELOTNI

P [W]

1 P_RB

P_RG

16

6. Theveninov teorem

Vezje levo od R5 nadomestimo s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Slika 6.1: Vezje, katerega del levo od priključnih sponk nadomeščamo s Theveninovim nadomestnim vezjem

Podatki so:

UG = 10 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ, R3 = 3 kΩ, R4 = 4 kΩ, R5 = 5 kΩ Rezultat bo v obliki:

Slika 6.2: Theveninovo nadomestno vezje, priključeno na R⁵ Račun:

𝑅𝑅_TH =𝑅𝑅₄ + 𝑅𝑅₃ ∥ (𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ ) =

= 4000 + 3000 (1000 + 2000)

3000 + 1000 + 2000 = 5,50 kΩ +

-R₁

R3 R₅

R₂

R₄

U_G

+

-R_TH

R5

U_TH

17 𝑈𝑈_TH = 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅₃

𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ + 𝑅𝑅₃ = 10 × 3000

1000 + 2000 + 3000 = 5,00 V

18 6.1. Uporaba Theveninovega teorema na mostiščnem vezju

a) Nadomestimo na R5 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Slika 6.1.1: Mostiščno vezje Podatki: UG = 4,5 V, R1 = R2 = R3 = R5 = 3,3 kΩ, R4 = 2,7 kΩ Določitev Theveninove upornosti RTH:

Slika 6.1.2: Izboljšanje preglednosti vezja, prvi korak

Slika 6.1.3: Izboljšanje preglednosti vezja, drugi korak 𝑅𝑅_TH = 𝑅𝑅₁ ∥ 𝑅𝑅₂+𝑅𝑅₃ ∥ 𝑅𝑅₄ =

= 3300 × 3300 3300 + 3300 +

3300 × 2700 3300 + 2700 =

= 1650 + 1485 = 3135 Ω Določitev Theveninove napetosti UTH:

+

-R1

R₂

R₃

R₄ R₅

U_G

R1

R2

R3

R4

R₁ R3

R₂ R₄

R₁ R₃

R₂ R₄

19 Slika 6.1.4: U^TH je razlika potencialov V^A in V^B

𝑈𝑈_TH = 𝑉𝑉_A − 𝑉𝑉_B= 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅2

𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 − 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅4

𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4 =

= 4,5 ( 3300

3300+3300 − 2700

3300 + 2700 ) = 0,225 V Rezultat:

Slika 6.1.5: R⁵ je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 6.1.1

b) Nadomestimo na R1 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Določitev Theveninove upornosti RTH: +

-R₁

R2

R3

R₄ UG V_A V_B

+

-RTH = 3135 Ω

U_TH= 0,225 V R₅

20 Slika 6.1.6: Vezje med priključnima sponkama nadomestimo z nadomestnim uporom RTH.

Slika 6.1.7: Preglednejše risanje sheme na sliki 6.1.6 𝑅𝑅_TH = 𝑅𝑅₂ ∥ �(R₃ ∥ R₄) + R₅�

R3 ∥ R4 = 1485 Ω

(R₃ ∥ R₄) + R₅ = 4785 Ω

𝑅𝑅₂ ∥ �(R3 ∥ R₄) + R5� = 1953 Ω Določitev Theveninove napetosti UTH:

Slika 6.1.8: U^TH je razlika potencialov V^A in V^B 𝑈𝑈_TH =𝑉𝑉_A− 𝑉𝑉_B, 𝑉𝑉_A= 𝑈𝑈_G = 4, 5 V

Za VB potrebujemo VC:

R2 R₄

R3

R₅

R₂ R₃ R₄

R₅

+

-R₂

R3

R₅

R₄ U_G

V_A V_B

V_C

21 𝑉𝑉C

𝑈𝑈_G = (𝑅𝑅₂ + R5) ∥ 𝑅𝑅4

𝑅𝑅₃ +�(𝑅𝑅₂ +𝑅𝑅₅) ∥ 𝑅𝑅4�= 0,37 𝑅𝑅2 + R5 = 6600 Ω

(𝑅𝑅₂+ 𝑅𝑅₅)∥ 𝑅𝑅₄ = 1916 Ω

𝑅𝑅3 + �(𝑅𝑅₂ + 𝑅𝑅5) ∥ 𝑅𝑅4 �= 5216 Ω 𝑉𝑉_C

𝑈𝑈G = 0,37 ⇒ 𝑉𝑉C= 1,67 V VB

VC = R2

R2 + R5 = 3300

3300 + 3300 = 0,5 ⇒VB = 0,84 V 𝑈𝑈_TH =𝑉𝑉_A− 𝑉𝑉_B= 4,5 −0,84 = 3,66 V

Slika 6.1.9: R¹ je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 6.1.6

+

-RTH = 1953 Ω

U_TH= 3,66 V R₁

22

7. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj

7.1. Zvezda - trikot in Wheatstoneov mostič Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči.

Slika 7.1.1: Wheatstoneov mostič Podatki:

𝑈𝑈G= 10 𝑉𝑉

𝑅𝑅₁ = 1,2 kΩ 𝑅𝑅₂ = 0,8 kΩ 𝑅𝑅₃ = 0,8 kΩ 𝑅𝑅₄ = 1,2 kΩ 𝑅𝑅₅ = 1 kΩ

Možne so pretvorbe trilotnikov R2, R4, R5 in R1, R3, R5 v zvezdi ter zvezd R1, R2, R5 in R3, R4, R5 v trikotnika.

Računamo s pretvorbo trikotnika R2, R4, R5 v zvezdo.

Slika 7.1.2: Wheatstoneov mostič z nakazanim spodnjim trikotnikom +

-R1

R₂

R3

R₄ R₅

U_G V_A V_B

+

-R1

R₂

R₃

R₄ R₅

U_G V_A V_B

23 Slika 7.1.3: Spodnji trikotnik Wheatstoneovega mostiča spremenjen v zvezdo 𝑅𝑅_A = R2 R5

24 𝐼𝐼_𝑅𝑅5 = V_B− V_A

R₅ = 5,51−4,49

1000 = 1,02 mA

𝐼𝐼𝑅𝑅₂ =𝐼𝐼𝑅𝑅₁ + 𝐼𝐼𝑅𝑅₅ = 4,59 mA + 1,02 mA = 5,61 mA 𝐼𝐼_𝑅𝑅4 =𝐼𝐼_𝑅𝑅3 − 𝐼𝐼_𝑅𝑅5 = 5,61 −1,02 = 4,59 mA

𝑃𝑃_𝑅𝑅1 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅1²𝑅𝑅₁ = 4,59 × 10^--6 × 1,2 × 10³ = 25,28 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅2²𝑅𝑅₂ = 5,61 × 10^--6 × 0,8 × 10³ = 25,18 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅3²𝑅𝑅₃ = 5,61 × 10^--6 × 0,8 × 10³ = 25,18 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅4 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅4²𝑅𝑅₄ = 4,59 × 10^--6 × 1,2 × 10³ = 25,28 mW 𝑃𝑃𝑅𝑅₅ = 𝐼𝐼_𝑅𝑅5²𝑅𝑅5 = 1,02 × 10^--6 × 1 × 10³ = 1,04 mW 𝑃𝑃_G = 10 ×10,2 × 10^--3 = 102 mW

Preizkus pravilnosti računanja s pomocjo dovajane električne in odvajane toplotne moči, 𝑃𝑃G = � 𝑃𝑃𝑅𝑅_i

5 𝑖𝑖=1

.

102 mW = 25,28 mW + 25,18 mW + 25,18 mW + 25,28 mW + 1,04 mW (= 102,48 W, zaokrožanja)

25 7.2. Zvezda-trikot in superpozicija

Izračunajmo vse tokove, potenciale in moči. Najprej naredimo preračun trikot – zvezda za upore R1, R4, R5, nato s super pozicijo izračunajmo tokovne prispevke napetostnih virov U2 in U3, nato preračunajmo zvezdo nazaj v trikot R1, R4, R5 in izračunajmo vse tokove in vse potenciale. Nalogo je možno izračunati tudi brez pretvorb trikot – zvezda.

Slika 7.2.1: Vezje s petimi neznanimi tokovi Podatki:

𝑈𝑈2 = 4 V, 𝑈𝑈3 = 8 V

𝑅𝑅1 = 4 Ω, 𝑅𝑅2 = 4 Ω, 𝑅𝑅3 = 2 Ω, 𝑅𝑅4 = 4 Ω, 𝑅𝑅5 = 4 Ω

Slika 7.2.2: Vezje s slike 7.2.1 po spremembi zvezde R1, R4, R5 v trikot +

-+

-R2 R₁

R₅

R₄ R₃ U₃

U₂

+

-+

-R₂

U2

U3

R_B R_C

R_A R₃

26 𝑅𝑅_A= R₁ R₄

R₁ + R₄ + R₅ = 1,33 Ω 𝑅𝑅B = R1 R5

R1 + R4 + R5 = 1,33 Ω 𝑅𝑅_C = R4 R5

R1 + R4 + R5 = 1,33 Ω

Superpozicija, računanje tokovnih prispevkov napetostnega vira U2

Slika 7.2.3: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča napetostni vir U² 𝑅𝑅N = 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅B + 𝑅𝑅A ∥(𝑅𝑅₃+𝑅𝑅C) = 4 + 1,33 + 1,33∥ (2 + 1,33) = = 6,28 Ω I = U2

RN= 4

6,28 = 0,64 A IL = I R3 + RC

RA + R3 + RC = 0,64

2 + 1,33

1,33 + 2 + 1,33 = 0, 46 A 𝐼𝐼D = 𝐼𝐼 − IL = 0,18 A

Superpozicija, računanje tokovnih prispevkov napetostnega vira U3

+

-IL I_D

I

R₂ RA

R_B R_C

R₃

U₂

27 Slika 7.2.4: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U³

𝑅𝑅_N = 𝑅𝑅₃ + 𝑅𝑅_C + 𝑅𝑅_A ∥ (𝑅𝑅₂+𝑅𝑅_B) = 2 + 1,33 + 1,33∥ (4 + 1,33) = 4,39 Ω

Seštetje tokovnih prispevkov napetostnih virov U2 in U3

Slika 7.2.5: Sešteti tokovni prispevki obeh napetostnih virov 𝑉𝑉_A =𝑈𝑈₂− 0,28 𝑅𝑅₂ = 4 × 0,28 × 4 = 2,88 V

28 𝑉𝑉B = 0,28 𝑅𝑅B −1,64 𝑅𝑅C = 0,28 × 1,33−1,64 × 1,33 = −1,81 V

Začetno vezje:

Slika 7.2.6: Začetno vezje s slike 7.2.2. z že izračunanimi tokovi in potenciali 𝐼𝐼_𝑅𝑅1 =2,88

1,32 % razlika (0.19 / 14.24) med levo in desno stranjo enačbe je napaka zaokroževanja tekom računanja.

Vse napetosti, vsi tokovi:

+

29 Slika 7.2.7: Začetno vezje s slike 7.2.1. z izračunanimi tokovi in potenciali

+

-+ -U₃=8V

U₂=4V

1,64A 2,88V

-1,81V 0,28A

-5,12V 1, A18

0,72A

0,45A 4Ω

4Ω

4Ω 4Ω 2Ω

30

8. Metoda vejnih tokov

8.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči!

Slika 8.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo vejnih tokov Podatki:

𝑈𝑈₁ = 10 V, 𝑈𝑈₂ = 5 V, 𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 68 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Potrebujemo tri neodvisne enačbe za izračun treh tokov, dvakrat uporabimo Kirchhoffov napetostni zakona in uporabimo Kirchhoffov tokovni zakon.

−𝑈𝑈1+𝐼𝐼𝑅𝑅₁𝑅𝑅1+𝐼𝐼𝑅𝑅₃𝑅𝑅3 = 0

31 Reševanje z eliminacijo spremenljivk:

Iz enačbe III:

𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3− 𝐼𝐼1

Rešujemo enačbo II:

22 𝐼𝐼3 + 68 𝐼𝐼3 – 68 𝐼𝐼1 = 5

− 68 𝐼𝐼1 + 90 𝐼𝐼3 = 5 ⇒ 𝐼𝐼3 = 5+ 68 I₁ 90 in enačbo I:

47 𝐼𝐼1 + 22 𝐼𝐼3 = 10 47 𝐼𝐼1 + 11

9 + 1496

90 I¹ = 10 63, 62 𝐼𝐼1 = 8, 78

𝐼𝐼₁ = 137, 97 mA⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅1 = 137, 97 mA 𝐼𝐼₂ = 21, 83 mA⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅2 = 21, 83 𝑚𝑚𝐴𝐴 𝐼𝐼₃ = 159, 80 mA ⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅3 = 159, 80 mA 𝑉𝑉_X = 𝐼𝐼_𝑅𝑅3 𝑅𝑅₃ = 0, 1598 × 22 = 3515, 6 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅1 =𝑈𝑈₁ –𝑉𝑉_X = 10 000−3515, 6 = 6484 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅2 =𝑈𝑈₂ –𝑉𝑉_X = 5 000−3515, 6 = 1484, 4 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅3 =𝑉𝑉_X = 3515,6 mA

𝑃𝑃𝑅𝑅₁ = 𝐼𝐼𝑅𝑅₁2 𝑅𝑅1 = 0, 13797² × 47 = 894,68 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 =𝐼𝐼_𝑅𝑅2² 𝑅𝑅₂ = 0, 02183²× 68 = 32,41 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 =𝐼𝐼_𝑅𝑅3² 𝑅𝑅₃ = 0,1598²× 22 = 561,79 mW 𝑃𝑃𝑈𝑈₁ = 𝑈𝑈1 𝐼𝐼R₁ = 10 × 137, 97 = 1379,7 mW 𝑃𝑃𝑈𝑈₂ = 𝑈𝑈2 𝐼𝐼R₃ = 5 × 21, 83 = 109,15 mW

�P_G = �P_R

32 Reševanje z determinantami, kofaktorsko:

determinanta D0:

33

9. Metoda zančnih tokov

9.1. Izračun zančnih tokov z eliminacijo spremenljivk Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči.

Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo zančnih tokov Podatki

𝑈𝑈₁ = 10 V, 𝑈𝑈₂ = 5 V

𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 82 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Zapis Kirchhoffovega zakona za vsako zaprto zanko

− 𝑈𝑈₁+ 𝑅𝑅₁ 𝐼𝐼₁ +𝑅𝑅₃ (𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₂) = 0

34 Vejni tokovi

𝐼𝐼R₁ =𝐼𝐼1 = 138,97 mA 𝐼𝐼R₂ =−𝐼𝐼2 = 18,68 mA 𝐼𝐼R₃ =𝐼𝐼1–𝐼𝐼2 = 157,65 mA Električni potencial

𝑉𝑉X = 𝐼𝐼R₃ 𝑅𝑅3 = 120, 29∙22 = 2646,38 mV Moči

𝑃𝑃_𝑅𝑅1 = 0, 13897² × 47 = 907,70 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 = 0, 01868² × 82 = 28, 61 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 = 0, 15765² × 22 = 546, 78 mW 𝑃𝑃_𝑈𝑈1 = 10 × 0, 13897 = 1389, 70 mW 𝑃𝑃_𝑈𝑈2 = 5 × (− 0, 01868) = − 93, 40 mW

�PUi 2 i=1

= �PRj 3 j=1

35 9.2. Izračun zančnih tokov

Izračunajmo zančne tokove.

Slika 9.2.1: Vezje za izračun treh zančnih tokov Podatki

𝑈𝑈₁ = 6 V, 𝑈𝑈₂ = 8 V

𝑅𝑅1 = 47 Ω, 𝑅𝑅2 = 22 Ω, 𝑅𝑅3 = 33 Ω, 𝑅𝑅4 = 10 Ω

Zapis Kirchhoffovega napetostnega zakona v vsaki zaprti zanki 𝑅𝑅₁𝐼𝐼₁ +𝑅𝑅₃(𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₃) + 𝑅𝑅₂(𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₂) = 0

Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznane tokove:

𝐼𝐼1 =−42,55 mA

-36

10. Metoda vozliščnih potencialov

10.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti

Izračunajmo vse napetosti in vse tokove z metodo vozliščnih potencialov.

Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun potencialov z metodo vozliščnih potencialov Podatki:

𝑈𝑈1 = 10 V, 𝑈𝑈2 = 5 V

𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 82 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona za vsako vozlišče z neznanim potencialom:

𝐼𝐼₁– 𝐼𝐼₃+ 𝐼𝐼₂ = 0

37 𝐼𝐼R₂= 𝑈𝑈2− 𝑉𝑉A

𝑅𝑅2 = 5−3,47

82 = 18,66 mA 𝐼𝐼_R3= 𝑉𝑉A

𝑅𝑅₃ = 3, 47

22 = 157,73 mA

𝑈𝑈R₁ = 𝑈𝑈1 − 𝑉𝑉A = 10−3, 47 = 6,53 V 𝑈𝑈R₂ = 𝑈𝑈2 − 𝑉𝑉A = 5−3, 47 = 1,53 V 𝑈𝑈_R3 = 𝑉𝑉_A = 3,47 V

38 10.2. Izračun tokov

Izračunajmo vse tokove z metodo vozliščnih potencialov.

Slika 10.2.1: Vezje z neznanima potencialoma V^A in V^B Podatki:

𝑈𝑈₁ = 4, 5 V, 𝑈𝑈₂ = 7 V

𝑅𝑅₁ = 470 Ω, 𝑅𝑅₂ = 680 Ω, 𝑅𝑅₃ = 330 Ω, 𝑅𝑅₄ = 1000 Ω, 𝑅𝑅₅ = 100 Ω Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona v vozliščih z neznanim potencialom:

𝐼𝐼1 – 𝐼𝐼2 – 𝐼𝐼3 = 0 𝐼𝐼₃ – 𝐼𝐼₄+ 𝐼𝐼₅ = 0

Zapis obeh tokovnih enačb z neznanima potencialoma:

Prva enačba:

39 Vstavimo iz prve enačbe 𝑉𝑉_B= − 9, 57 + 6, 63 𝑉𝑉_A

3, 03 , sledi

− 3,03 𝑉𝑉_A + 14,03

3,03 6, 63 𝑉𝑉_A = 70 +14,03 3,03 9,57 Vozliščna potenciala sta

𝑉𝑉A= 4.13 V, 𝑉𝑉B = 5.88 V Vejni tokovi so

𝐼𝐼_R1 = 𝑈𝑈₁−V_A

40

11. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov ter vozliščnih potencialov:

11.1. Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču Določimo vse tokove po metodah vejnih tokov, zančnih tokov in vozliščnih potencialov.

Slika 11.1.1: Wheatstoneov mostiček, 6 neznanih vejnih tokov in 2 neznana potenciala

Podatki:

𝑈𝑈_G= 60 V

𝑅𝑅1 = 90 Ω ,𝑅𝑅2 = 110 Ω ,𝑅𝑅3 = 110 Ω ,𝑅𝑅4 = 90 Ω ,𝑅𝑅5 = 50 Ω a) Uporaba metode vejnih tokov:

Slika 11.1.2: Računanje vejnih tokov v Wheatstoneovem mostiču +

-41 Imamo 6 vej, 6 neznanih tokov, potrebujemo 6 enačb. Iz treh zaprtih zank dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov napetostni zakon), iz treh vozlišč dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov tokovni zakon).

−𝑈𝑈G+𝐼𝐼𝑅𝑅1 𝑅𝑅1+ 𝐼𝐼R2 𝑅𝑅2 = 0

−𝐼𝐼R1𝑅𝑅1+𝐼𝐼R3 𝑅𝑅3− 𝐼𝐼R5 𝑅𝑅5 = 0

−𝐼𝐼_R2𝑅𝑅₂+𝐼𝐼_R5 𝑅𝑅₅+ 𝐼𝐼_R4 𝑅𝑅₄ = 0 𝐼𝐼G =𝐼𝐼R1+𝐼𝐼R3

𝐼𝐼R1 = 𝐼𝐼R2+𝐼𝐼R5

𝐼𝐼_R4 = 𝐼𝐼_R5+𝐼𝐼_R3

Vstavimo vrednosti elementov vezja 90 𝐼𝐼R1+ 110 𝐼𝐼R2 = 60

− 90 𝐼𝐼R1+ 110 𝐼𝐼R3−50 𝐼𝐼R5 = 0

− 110 𝐼𝐼_R2+ 50 𝐼𝐼_R5+ 90 𝐼𝐼_R4 = 0

− 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R3+𝐼𝐼_G= 0 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R2− 𝐼𝐼_R5 = 0 𝐼𝐼_R3− 𝐼𝐼_R4+𝐼𝐼_R5 = 0

Pripravimo za reševanje sistema enačb

90 𝐼𝐼_R1+ 110 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 0 𝐼𝐼_R4+ 0 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G = 60

−90 𝐼𝐼R1+ 0 𝐼𝐼R2+ 110 𝐼𝐼R3+ 0 𝐼𝐼R4−50 𝐼𝐼R5+ 0 𝐼𝐼G= 0 0 𝐼𝐼_R1−110 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 90 𝐼𝐼_R4+ 50 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G = 0

− 𝐼𝐼R1+ 0 𝐼𝐼R2− 𝐼𝐼R3+ 0 𝐼𝐼R4+ 0 𝐼𝐼R5+ 𝐼𝐼G = 0 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 0 𝐼𝐼_R4− 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G= 0 0 𝐼𝐼_R1+ 0 𝐼𝐼_R2+𝐼𝐼_R3− 𝐼𝐼_R4+ 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G= 0 Rešimo sistem enačb, izračunamo vejne tokove

𝐼𝐼R1 = 322,15 mA 𝐼𝐼_R2 = 281.88 mA 𝐼𝐼_R3 = 281.88 mA 𝐼𝐼R4 = 322.15 mA 𝐼𝐼R5 = 40.27 mA 𝐼𝐼_G = 604.03 mA

42 b) Uporaba metode zančnih tokov:

Imamo 3 zaprte zanke, potrebujemo 3 enačbe za tri neznane tokove.

Slika 11.1.3: Računanje zančnih tokov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko

− 𝑈𝑈_G+𝑅𝑅₁ (𝐼𝐼₁− 𝐼𝐼₂) +𝑅𝑅₂ (𝐼𝐼₁− 𝐼𝐼₃) = 0

Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznanke – neznane tokove treh zaprtih zank:

𝐼𝐼1 = 604,03 mA 𝐼𝐼₂ = 281,88 mA 𝐼𝐼3 = 322.15 mA

Iz zančnih tokov izračunamo vejne tokove:

𝐼𝐼𝑅𝑅₁ = 𝐼𝐼1– 𝐼𝐼2 = 322.15 mA

43 𝐼𝐼𝑅𝑅₄ = 𝐼𝐼3 = 322,15 mA

𝐼𝐼𝑅𝑅₅ = 𝐼𝐼3– 𝐼𝐼2 = 40,27 mA 𝐼𝐼G = 𝐼𝐼1 = 604,03 mA

c) Uporaba metode vozliščnih potencialov:

Imamo 2 neznana vozliščna potenciala, potrebujemo 2 enačbi.

Slika 11.1.4: Računanje vozliščnih potencialov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov tokovni zakon za vsako vozlišče z neznanim potencialom:

𝐼𝐼₁– 𝐼𝐼₂– 𝐼𝐼₅ = 0 𝐼𝐼3– 𝐼𝐼4+𝐼𝐼5 = 0

Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, prva enačba:

𝑈𝑈G− 𝑉𝑉A

Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, druga enačba:

𝑈𝑈_G− 𝑉𝑉_B Dve neodvisni enačbi za dve neznanki:

−40,20 𝑉𝑉A+ 20.00 𝑉𝑉B= − 666,67

44 Neznana vozliščna potenciala:

𝑉𝑉A= 31,01 V 𝑉𝑉_B= 28.99 V

Izračun vejnih tokov iz vozliščnih potencialov:

𝐼𝐼_R1 =𝑈𝑈G − VA

R1 = 60−31,01

90 = 322.15 mA 𝐼𝐼_R2= VA

R2 =31,01

110 = 281,88 mA 𝐼𝐼R₃= 𝑈𝑈_G − VB

R3 = 60−28, 99

110 = 281,88 mA 𝐼𝐼_R4= VB

R4 =28,99

90 = 322,15 mA 𝐼𝐼R₅= V_A − VB

R5 =31,01−28,99

50 = 40.27 mA

45 11.2. Izračun tokov v vezju z veliko zankami

Zapišimo sistem enačb za vezje na sliki 11.2.1. po najbolj smiselni metodi (najmanjše število enačb, zančna ali vejna metoda ali metoda vozliščnih potencialov).

Slika 11.2.1: Večje vezje z neznanimi tokovi in potenciali Podatki:

𝑈𝑈₁ = 5 V, 𝑈𝑈₂ = 15 V, 𝑈𝑈₃ = 25 V

𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅3 = 𝑅𝑅4 = 𝑅𝑅5 = 𝑅𝑅6 = 𝑅𝑅7 = 𝑅𝑅8 = 𝑅𝑅9 = 𝑅𝑅10= 𝑅𝑅11= 𝑅𝑅12 = 𝑅𝑅13= = 𝑅𝑅₁₄= 𝑅𝑅₁₅ =𝑅𝑅₁₆= 𝑅𝑅₁₇= 𝑅𝑅₁₈ = 10 Ω

Neznanih vejnih tokov je 20.

Neznanih vozliščnih potencialov je 11.

Neznanih zančnih tokov je 9.

Metoda zančnih tokov je najprimernejša.

+

-+-

+-+

-R₁ R₂

R3 R₄ R₅

R6 R7

R₈ R₉ R₁₀ R₁₁

R12 R₁₃

R14 R₁₅

R₁₆ R₁₇ R₁₈

U₁ U2

U₃

46 Slika 11.2.2: Določitev zančnih tokov za vezje na sliki 11.2.1

Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko:

𝐼𝐼1 𝑅𝑅1+ (𝐼𝐼1– 𝐼𝐼2) 𝑅𝑅3+ (𝐼𝐼1– 𝐼𝐼4) 𝑅𝑅6 – 𝑈𝑈1 = 0

Vstavimo številske vrednosti:

10 𝐼𝐼1+ 10 𝐼𝐼1– 10 𝐼𝐼2 + 10 𝐼𝐼1– 10 𝐼𝐼4 = 5

47 10 𝐼𝐼3−10 𝐼𝐼2 + 10 𝐼𝐼3 = 15

10 𝐼𝐼₄+ 10 𝐼𝐼₄ – 10 𝐼𝐼₁+ 10 𝐼𝐼₄ – 10 𝐼𝐼₅ = −30

10 𝐼𝐼₅−10 𝐼𝐼₄+ 10 𝐼𝐼₅−10 𝐼𝐼₂+ 10 𝐼𝐼₅−10 𝐼𝐼₆ + 10 𝐼𝐼₅ – 10 𝐼𝐼₈ = 0 10 𝐼𝐼6−10 𝐼𝐼5+ 10 𝐼𝐼6+ 10 𝐼𝐼6−10 𝐼𝐼9 = −15

10 𝐼𝐼₇+ 10 𝐼𝐼₈ + 10 𝐼𝐼₇ = 25

10 𝐼𝐼₈−10 𝐼𝐼₇+ 10 𝐼𝐼₈−10 𝐼𝐼₅+ 10 𝐼𝐼₈−10 𝐼𝐼₉+ 10 𝐼𝐼₈ = −25 10 𝐼𝐼9−10 𝐼𝐼8+ 10 𝐼𝐼9−10 𝐼𝐼6 + 10 𝐼𝐼9 = 0

Uredimo:

30 𝐼𝐼₁−10 𝐼𝐼₂ – 10 𝐼𝐼₄ = 5

−10 𝐼𝐼₁ + 40 𝐼𝐼₂ – 10 𝐼𝐼₃– 10 𝐼𝐼₅ = 0

−10 𝐼𝐼2+ 20 𝐼𝐼3 = 15

−10 𝐼𝐼₁ + 30 𝐼𝐼₄ −10 𝐼𝐼₅ =−30

−10 𝐼𝐼₂−10 𝐼𝐼₄+ 40 𝐼𝐼₅−10 𝐼𝐼₆ – 10 𝐼𝐼₈ = 0

−10 𝐼𝐼5+ 30 𝐼𝐼6−10 𝐼𝐼9 = −15 20 𝐼𝐼₇+ 10 𝐼𝐼₈ = 25

−10 𝐼𝐼5−10 𝐼𝐼7+ 40 𝐼𝐼8− 10 𝐼𝐼9 = −25

−10 𝐼𝐼6−10 𝐼𝐼8+ 30 𝐼𝐼9 = 0

Iz 9 neodvisnih enačb izračunamo 9 zančnih tokov:

𝐼𝐼₁ = −230,82 mA 𝐼𝐼2 = 26,56 mA 𝐼𝐼3 = 763,28 mA 𝐼𝐼₄ = −1,22 A 𝐼𝐼₅ = −426,23 mA 𝐼𝐼6 = −699,02 mA 𝐼𝐼₇ = 1,34 A 𝐼𝐼₈ = 186.56 mA 𝐼𝐼9 = − 170,82 mA

48

12. Srednja in efektivna vrednost

12.1. Definicije in pogosto uporabljane enačbe

Določimo srednjo in efektivno vrednost za signale sinusne, trikotne in pravokotne oblike!

Definiciji srednje in efektivne vrednosti signala:

𝑇𝑇 𝑈𝑈SR = �^Tu(t)dt Signal sinusne oblike:

2π 𝑈𝑈_SR= 𝑈𝑈_V�^2πsin𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑= Signal trikotne oblike:

Slika 12.1.1: Signali trikotne oblike

, .

49 Signal pravokotne oblike:

Slika 12.1.2: Signal pravokotne oblike u(t) =𝑈𝑈_V

� 𝑈𝑈^T _V dt = 𝑈𝑈VT =

0 𝑈𝑈_SR𝑇𝑇 ⇒ 𝑈𝑈_SR= 𝑈𝑈_V

� 𝑈𝑈^T _V² dt = 𝑈𝑈V2T = U EF2 𝑇𝑇 ⇒ UEF =

0 |𝑈𝑈_V|

Izračun srednje vrednosti signala ob odsekoma znanih srednjih vrednostih signala:

T𝑈𝑈_SR= 𝑇𝑇₁𝑈𝑈_SR1+ 𝑇𝑇₂𝑈𝑈_SR2 + … +𝑇𝑇_n𝑈𝑈_SRN .

Izračun efektivne vrednosti signala ob odsekoma znanih efektivnih vrednostih signala:

𝑇𝑇 𝑈𝑈_EF² = 𝑇𝑇1𝑈𝑈_EF² ₁ + 𝑇𝑇2𝑈𝑈_EF² ₂ + … + 𝑇𝑇N𝑈𝑈_EF² _N . U_VRŠNA

U

T t

50 12.2. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 1

Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za napetost periodične oblike:

Slika 12.2.1: Signal periodične oblike 𝑢𝑢₁ =− 6𝑡𝑡

51

52 12.3. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 2

Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za periodičen signal na sliki 12.3.1.

Slika 12.3.1: Signal periodične oblike Srednja vrednost:

53 6 𝑈𝑈_EF² = 2 × 10² + 2400

3 = 466, 6� ⇒ 𝑈𝑈EF = �466, 6�

6 = 8,82 V

54

13. Kazalci in kompleksna števila

13.1. Algebra kompleksnih števil Pravokotna in polarna oblika kazalčne algebre.

Spreminjanje iz pravokotne oblike v polarno obliko:

a) A��⃑= 1 + j2 b) B��⃑=− 4 + j4 c) C�⃑=−2−j6 d) D��⃑= 5−j3

Opomnik: tanα= tan(180° +α) = − tan(180°− α) = tan(−α) a) |A| =√1 + 4 =√5

α = tan⁻¹�2

1�= 63,4° A��⃑ = √5 ∡ 63,4°

b) |B| =√16 + 16 = 4√2

α = tan⁻¹(−1) = 135° B��⃑= 4√2 ∡ 135°

c) |C| =√4 + 36 = 2√10 α = tan⁻¹�6

2�= 251,6° C�⃑ = 2√10 ∡ 251,6°

d) |D| =√25 + 9 =√34 α = tan⁻¹�−3

5�= 329° D��⃑= √34 ∡ 329°

Spreminjanje iz polarne v pravokotno obliko:

A��⃑= √5 ∡ 63,4°

B��⃑= 4√2 ∡ 135°

C�⃑= 2√10 ∡ 251,6°

D��⃑= √34 ∡ 329°

A��⃑= √5 cos 63,4° + j√5 sin 63,4° = 1 + j2 B��⃑= 4√2 cos 135° + j 4√2 sin 135° =−4 + j4

C�⃑= 2√10 cos 251,6° + j 2√10 sin 251,6° = −2−j6

55 D��⃑= √34 cos 329° + j√34 sin 329° = 5−j3

Seštevanje:

A��⃑= 2 + j3 B��⃑= 6 ∡ 60°

A��⃑ + B��⃑ = 2 + j3 + 6 cos 60° + j 6 sin 60° =

= 2 + j3 + 3 + j5,2 = 5 + j8,2 = �5² + 8,2² ∡ tan⁻¹�8,2

5 �= 9,6 ∡ 58,6°

Odštevanje:

A��⃑= 12 ∡ 120°

B��⃑=−3−j4

A��⃑ − B��⃑ = 12 cos 120° + j 12 sin 120°−3 − 𝑗𝑗4 =

=− 6 + j10,4−3−j4 =− 9 + j6,4 =�9²+ 6,4² ∡ tan⁻¹�−9

6,4�= 11,04 ∡ 125,4°

Množenje:

A��⃑= 5 ∡ 120°

B��⃑= 16 ∡ 330°

A��⃑ B��⃑ = 5 × 16 ∡ (120° + 330°) = 80 ∡ 450° = 80 ∡ 90° = j80 A��⃑= 5 + j3

B��⃑= 6−j2

A��⃑ B��⃑ = (5 + j3) (6−j2) = 5 × 6−j2 × 5 + j3 × 6− j²3 × 2 =

= 30−j10 + j18 −(−1) × 6 = 36 + j8 = 36,9 ∡ 12,5°

Deljenje:

A��⃑= 8 ∡ 135°

B��⃑= 4 ∡ 90°

A��⃑

B��⃑ =8

4 ∡ (135°−90°) = 2 ∡ 45° =√2 + j√2 A��⃑= 4 + j2

56 B��⃑= 2 + j3

A��⃑

B��⃑ =4 + j2 2 + j3 =

(2−j3) (4 + j2) (2 + j3) (2−j3) =

8 + j4−j12 + 6 4−j6 + j6 + 9 =

14−j8 13 =

= 1,08−j0,62 = 1,25 ∡ 330,10

57

14. Kondenzatorji, tuljave, transformatorji

14.1. Kondenzatorji - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk

V kondenzatorju je shranjenih 40 μC (40 μAs) električnega naboja pri 15 V na sponkah kondenzatorja. Izračunajmo kapacitivnost kondenzatorja.

𝑄𝑄= 𝐶𝐶 𝑈𝑈 ⇒ 𝐶𝐶 = 𝑄𝑄

𝑈𝑈= 40 × 10^-6 As

15 V = 2,66 × 10^-6 As

V = 2,66 µF

Kondenzator kapacitivnosti C = 2μF je deklariran za napetost do 315 V. Kolikšna je največja možna množina naboja v tem kondenzatorju?

𝑄𝑄= 𝐶𝐶 𝑈𝑈 = 2,66 × 10^-6 As

V × 315 V = 630 µAs = 630 µC

Kolikšna je napetost na kondenzatorju s kapacitivnostjo 100 nF, v katerem je 5μC naboja ? Q = C U ⇒U = 𝑄𝑄

𝐶𝐶 = 5 × 10^-6 As V

100 × 10^-6 As = 0,05 × 1000 V = 50 V

58 Izračunajmo nadomestno kapacitivnost za vezje:

Slika 14.1.1: Zaporedno in vzporedno vezani kondenzatorji Podatki:

59 Izračunajmo razporeditev napetosti na kondenzatorjih:

Slika 14.1.2: Kapacitivni delilnik napetosti

Tok i skozi C1, C2, C3, C4 je isti. Napetosti se porazdelijo v razmerju reaktanc X kondenzatorjev.

Za enostavnejše računanje z razmerji uvedemo faktor skaliranja FS.

𝑋𝑋C₁ = 1 Napetost 10 V se razporedi v razmerju:

1

60 𝑈𝑈_{V C 4} = 6

69 × 10 = 0,87 V 𝑈𝑈V = � 𝑈𝑈V C_i

4 i=1

= 10 V

Izračunajmo razporeditev toka skozi kondenzatorje:

Slika 14.1.3: Kapacitivni tokovni delilnik

Napetost na vseh kondenzatorjih je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju susceptanc B kondenzatorjev.

Za enostavnejše računanje z razmerji uvedemo faktor skaliranja FS.

𝐵𝐵_C1= ω C1 = 2𝜋𝜋× 1000 × 4 × 100 × 10⁻⁹ = FS × 4 𝐵𝐵_C2= ω C2 = 2𝜋𝜋× 1000 × 2 × 100 × 10⁻⁹ = FS × 2 𝐵𝐵C₃= ω C3 = 2𝜋𝜋× 1000 × 5 × 100 × 10⁻⁹ = FS × 5 𝐵𝐵C₄= ω C4 = 2𝜋𝜋× 1000 × 8 × 100 × 10⁻⁹ = FS × 8 Tok 1 A se razporedi v razmerju:

4 ∶ 2 ∶ 5 ∶ 8

Tok 1 A normiramo v 4 + 2 + 5 + 8 = 19 enot.

𝐼𝐼V C₁= 4

19 × 1 = 0,21 A 𝐼𝐼V C₂= 2

19× 1 = 0,11 A

~ I_V = 1 A f = 1 kHz

C₁ C₂ C₃ C₄

400 nF 200 nF 500 nF 800 nF

61 𝐼𝐼V C₃= 5

19× 1 = 0,26 A 𝐼𝐼V C₄= 8

19× 1 = 0,42 A 𝐼𝐼_V =� 𝐼𝐼_{V Ci}

4 i=1

= 1A

62 Polnjenje in praznjenje kondenzatorja iz napetostnega vira preko upora:

Polnjenje kondenzatorja:

𝑢𝑢_𝐶𝐶 = 𝑈𝑈_G�1− 𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏}� 𝜏𝜏= 𝑅𝑅 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} 𝐼𝐼0 = 𝑈𝑈_G

𝑅𝑅

Slika 14.1.4: Polnjenje kondenzatorja preko upora

Slika 13.1.5: Časovni potek napetosti u^C pri polnjenju kondenzatorja

Slika 14.1.6: Časovni potek toka i^C pri polnjenju kondenzatorja +

-R

UG C

U

t uC ( )t

I

t iC ( )t

63 Praznjenje kondenzatorja:

𝑢𝑢_𝐶𝐶 = 𝑈𝑈_{𝐶𝐶ZAČETNA}𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} 𝜏𝜏= 𝑅𝑅 𝐶𝐶 𝑖𝑖_𝐶𝐶 = 𝐼𝐼_𝐶𝐶0𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} 𝐼𝐼_C0 = 𝑈𝑈_𝐶𝐶0

𝑅𝑅

Slika 14.1.7: Praznjenje kondenzatorja preko upora

Slika 14.1.8: Časovni potek napetosti u^C pri praznjenju kondenzatorja

Slika 14.1.9: Časovni potek toka i^C pri praznjenju kondenzatorja C R

+

-U

t uC ( )t

I

t iC ( )t

64 Določimo napetost in tok na kondenzatorju 50 µs po sklenitvi stikala. Napetost na kondenzatorju pred sklenitvijo stikala je 0 V.

Slika 14.1.10: Vezje za določitev napetosti u^C in toka i^C po sklenitvi stikala 𝑢𝑢𝐶𝐶 =𝑈𝑈G�1 – e^{− t𝑅𝑅𝐶𝐶} �

𝑢𝑢_𝐶𝐶@50 µs = 50�1 – 𝑒𝑒^{− 50×1082×10−6−6} �= 50 (1−0,54) = 22,83 V

𝑖𝑖_𝐶𝐶@50 µs =𝐼𝐼₀ e^{− 𝑅𝑅𝐶𝐶t} = 50

8200 ×𝑒𝑒^{− 50×10}

−6

82×10⁻⁶ = 6,10 mA × 0,54 = 3,30 mA +

-R U_G C

8,2 kΩ

10 nF 50 V

65 Napetost na kondenzatorju je 10 V. V kolikšnem času po sklenitvi stikala bo napetost na kondenzatorju padla na 2 V ?

Slika 14.1.11: Praznjenje kondenzatorja C skozi upor R 𝑢𝑢𝐶𝐶 =𝑈𝑈C0 𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏}

𝑢𝑢_𝐶𝐶

𝑈𝑈C0 = e^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} ln�𝑢𝑢_C

𝑈𝑈𝐶𝐶0�= − 𝑡𝑡 𝜏𝜏 ln 2

10 =− t

82×10^-6 ⇒ 𝑡𝑡= 131,97 µs C R

+

- 1 F 0 n 8,2 kΩ

U_C0 = 10 V

66 14.2. Tuljave - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka

spremenljivk

Tuljava z induktivnostjo L = 50 mH je vključena v tokokrog, v katerem teče tok I = 3 A.

Ta tok pade na 0 A po razklenitvi stikala, ki je vključeno v isti tokokrog. Prehodni pojav (sprememba toka s 3 A na 0 A) traja 1 ms. Kolikšna napetost se inducira v tuljavi pri tem prehodu?

𝑢𝑢_IND = L di dt

Za enostavnejše računanje poenostavimo prehodni pojav v linearno upadanje toka. Zato lahko pišemo

Izračunajmo nadomestno induktivnost za vezje:

Slika 14.2.1: Zaporedno in vzporedno vezane tuljave Podatki:

67 Izračunajmo razporeditev napetosti na tuljavah:

Slika 14.2.2: Induktivni delilnik napetosti

Tok i skozi L1, L2, L3, L4 je isti. Napetost se porazdeli v razmerju reaktanc X tuljav.

Za enostavnejše računanje z razmerji uvedemo faktor skaliranja FS.

𝑋𝑋𝐿𝐿₁= ω × 1 × 10⁻³ = FS × 1 𝑋𝑋𝐿𝐿₂= ω × 3 × 10⁻³ = FS × 3 𝑋𝑋𝐿𝐿₃= ω × 6 × 10⁻³ = FS × 6 𝑋𝑋_𝐿𝐿4= ω × 7 × 10⁻³ = FS × 7

Napetost 10 V se razporedi v razmerju 1 : 3 : 6 : 7.

Napetost 10 V normiramo v 1 + 3 + 6 + 7 = 17 enot.

𝑈𝑈_{V 𝐿𝐿1} = 1

17 × 10 = 0,59 V 𝑈𝑈_{V 𝐿𝐿2} = 3

17 × 10 = 1,76 V 𝑈𝑈_{V 𝐿𝐿3} = 6

17 × 10 = 3,53 V 𝑈𝑈_{V 𝐿𝐿4} = 7

17 × 10 = 4,12 V 𝑈𝑈V = � 𝑈𝑈𝐿𝐿_i

4 i=1

= 10 V +

-~ U_V = 10 V f = 10 kHz

L₁

1 mH 3 mH 6 mH 7 mH L₂ L₃ L₄

68 Izračunajmo razporeditev toka skozi tuljave:

Slika 14.2.3: Induktivni tokovni delilnik

Napetost na vseh tuljavah je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju susceptanc B tuljav.

Za enostavnejše računanje z razmerji uvedemo faktor skaliranja FS.

𝐵𝐵_𝐿𝐿1= 1 Tok 1 A se razporedi v razmerju:

1

69 Polnjenje in praznjenje tuljave iz napetostnega vira preko upora:

Polnjenje tuljave:

𝑖𝑖𝐿𝐿 = 𝑈𝑈_G

𝑅𝑅 �1− 𝑒𝑒^{𝑡𝑡𝜏𝜏}� 𝜏𝜏 = 𝐿𝐿

𝑅𝑅 =𝐿𝐿 𝐺𝐺 𝑢𝑢𝐿𝐿 = 𝑈𝑈G 𝑒𝑒^{− 𝜏𝜏𝑡𝑡}

Slika 14.2.4: Polnjenje tuljave preko upora Praznjenje tuljave:

𝐼𝐼𝐿𝐿 = 𝐼𝐼L₀ 𝑒𝑒^{−𝑡𝑡𝜏𝜏} 𝜏𝜏 = 𝐿𝐿

𝑅𝑅 =𝐿𝐿 𝐺𝐺 𝑢𝑢L= 𝑈𝑈𝐿𝐿₀𝑒𝑒^{− 𝜏𝜏𝑡𝑡} 𝑈𝑈L₀ = 𝐼𝐼L₀𝑅𝑅

Slika 14.2.5: Vezje za določitev toka iL in napetosti uL po spremembi položajev stikal +

-U_G

R

L I_L

U_G

R

L +

- IL

@ t = 0

70 6. Določimo tok skozi tuljavo 50 µs po sklenitvi stikala. Tok skozi tuljavo pred sklenitvijo stikala je 0 Amperov.

Slika 14.2.6: Vezje za določitev toka i^L po sklenitvi stikala 𝐼𝐼𝐿𝐿 = 𝑈𝑈G

𝑅𝑅 �1− 𝑒𝑒^{𝑡𝑡𝜏𝜏}� 𝜏𝜏 = 𝐿𝐿

𝑅𝑅 =𝐿𝐿 𝐺𝐺 𝑖𝑖_𝐿𝐿@50 µs = 50

100�1−e^{− 50×∙10}

-6×100

8,2×10⁻³ � = 0, 5 �1− 𝑒𝑒^{− 8,25} �=

= 0,5 (1−0,54) = 0,23 A +

-R

L8,20 mH U_G

50 V 100 Ω

71 V kolikšnem času po preklopu stikal bo tok skozi tuljavo padel na 2 A ?

Slika 14.2.7: Praznjenje tuljave L skozi upor R 𝑖𝑖L = 𝐼𝐼L₀ 𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} 𝑖𝑖_L

𝐼𝐼L₀ = 𝑒𝑒^{− 𝑡𝑡𝜏𝜏} ln�𝑖𝑖L

𝐼𝐼L₀�= − 𝑡𝑡 𝜏𝜏 IL₀= 𝑈𝑈_G

𝑅𝑅 = 1000

100 = 10 A

𝜏𝜏 =

𝐿𝐿 𝐺𝐺 = 8,2 × 10⁻³ × 10⁻² = 8,2 × 10⁻⁵ = 82 × 10⁻⁶ s ln 2

10 =− t

82×10^-6 ⇒ 𝑡𝑡 = 1,61 × 82×10^-6 = 131,97 µs U_G

R L +

-@ t = 0

8,20 mH 1000 V

100 Ω

72 14.3. Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti

Transformatorji:

u2

u1 = N2

N1

i2

i1 = N1

N2

Pretvorba upornosti:

Slika 14.3.1: Transformator – pretvornik upornosti RPRI

RB = 𝑢𝑢_PRI⁄iPRI

𝑢𝑢_SEK⁄iSEK = 𝑢𝑢_PRI iSEK

𝑢𝑢_SEK iPRI = 𝑁𝑁_PRI 𝑁𝑁_SEK

𝑁𝑁_PRI

𝑁𝑁_SEK = 𝑁𝑁_PRI²

𝑁𝑁SEK2 =�𝑁𝑁_PRI 𝑁𝑁_SEK�² R_B

R_PRI

73

15. RLC vezja

15.1. Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo 𝑍𝑍 =𝑅𝑅 +𝑗𝑗𝑋𝑋

Z = impedanca, R = upornost, X = reaktanca 𝑌𝑌 =𝐺𝐺 +𝑗𝑗𝐵𝐵 𝑌𝑌 =𝑍𝑍⁻¹

Y = admitanca, G = prevodnost, B = susceptanca Upor:

Slika 15.1.1: Upor z označbami napetosti in toka 𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑍𝑍_R 𝑖𝑖(𝑡𝑡), 𝑍𝑍R = 𝑢𝑢(𝑡𝑡)

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝑅𝑅, 𝑌𝑌_R = 1 𝑍𝑍_R =𝐺𝐺

Kondenzator:

Slika 15.1.2: Kondenzator z označbami napetosti in toka 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑢𝑢(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 , 𝑍𝑍_𝐶𝐶 = 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑖𝑖(𝑡𝑡) =?

𝑍𝑍𝐶𝐶 za poljubno obliko 𝑢𝑢(𝑡𝑡) je težko izračunljiv, je pa enostavno izračunljiv za:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝑈𝑈0sin(𝜔𝜔𝑡𝑡)

74 Yc = 1

𝑍𝑍_c= j ωC

Tuljava:

Slika 15.1.3: Tuljava z označbami napetosti in toka u(t) = L𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑍𝑍_𝐿𝐿 = 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = ?

𝑍𝑍𝐿𝐿 za poljubno obliko 𝑖𝑖(𝑡𝑡) je težko izračunljiv in je enostavno izračunljiv za:

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝐼𝐼0𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿 𝑑𝑑(𝐼𝐼₀sin(𝜔𝜔𝑡𝑡))

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐼𝐼₀𝜔𝜔𝐿𝐿cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) 𝑍𝑍_𝐿𝐿 =𝑢𝑢(𝑡𝑡)

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =

𝐼𝐼₀𝜔𝜔𝐿𝐿cos(𝜔𝜔𝑡𝑡)

𝐼𝐼₀sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) =𝑗𝑗𝜔𝜔𝐿𝐿 𝑌𝑌_L = 1

𝑍𝑍_L = 1

j ωL = −j 1 ωL

Zakaj je v zgornjih izpeljavah _sin(ωt) ^cos(ωt)=𝑗𝑗 ?

Slika 15.1.4: Funkciji sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) in cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) + u_L

-iL

1

π rad 2π rad cos (ωt)

sin (ωt)

75 Funkciji sta oblikovno enaki, cos(𝜔𝜔𝑡𝑡) prehiteva sin(𝜔𝜔𝑡𝑡) za 90°. V enotskem krogu narišemo, da 𝐵𝐵�⃑ prehiteva 𝐴𝐴⃑ za 90 °, kot:

Slika 15.1.5: Vrtenje kazalca v enotskem krogu za 90 ° V kompleksni ravnini 90° rotacijo narišemo:

Slika 15.1.6: Kazalca 𝐴𝐴⃑ in 𝐵𝐵�⃑ v kompleksni ravnini V izrazu 𝐵𝐵�⃗ = j 𝐴𝐴���⃗ je j operator vrtenja za 90°.

A

B pozitivna smer kota

A B = A j B

1 j

76 15.2. Računanje impedanc in admitanc v vezjih

Je vezje na sliki 15.2.1 bolj induktivno ali kapacitivno? Določimo tudi napetost na kondenzatorju.

Slika 15.2.1: RLC vezje in napetostni vir 𝑌𝑌_{𝑅𝑅2∥𝑋𝑋𝑐𝑐}= (0,001 +𝑗𝑗0,002) S

𝑍𝑍𝑅𝑅₂∥𝑋𝑋_𝑐𝑐 = 1

𝑌𝑌= 1

0,001 +𝑗𝑗0,002 =

(0,001− 𝑗𝑗 0,002)

(0,001 +𝑗𝑗0,002) × (0,001− 𝑗𝑗0,002) =

=1 × 10⁻³− 𝑗𝑗2 × 10⁻³

1 × 10⁻⁶+ 4 × 10⁻⁶ = (200− 𝑗𝑗400) Ω 𝑍𝑍_{𝑅𝑅1+𝑋𝑋𝐿𝐿} = (1000 +𝑗𝑗500) Ω

𝑍𝑍_{𝑅𝑅1+𝑋𝑋𝐿𝐿+𝑅𝑅2∥𝑋𝑋𝑐𝑐} =𝑍𝑍_VSOTA = 1000 +𝑗𝑗500 + 200− 𝑗𝑗400 = (1200 +𝑗𝑗100) Ω ⟹

⟹ Vezje je bolj induktivno kot kapacitivno.

Določitev napetosti uC na kondenzatorju:

Naj bo

𝑍𝑍_{𝑅𝑅1+𝑋𝑋𝐿𝐿} = 𝑍𝑍₁ in naj bo

𝑍𝑍_{𝑅𝑅2∥𝑋𝑋𝑐𝑐} =𝑍𝑍₂ Sledi:

+

-X_L= 500 Ω

X_C= 500 Ω R1= 1kΩ

R₂= 1 kΩ u_G= 50 ) 0 V< ^O

~

77 Slika 15.2.2: Vezje s slike 15.2.1 v obliki napetostnega delilnika

𝑢𝑢_𝑍𝑍2 =𝑖𝑖 𝑍𝑍₂

𝑢𝑢_𝐺𝐺 =𝑖𝑖 (𝑍𝑍₁+𝑍𝑍₂) 𝑢𝑢𝑍𝑍₂

𝑢𝑢_G = 𝑖𝑖𝑍𝑍₂ 𝑖𝑖(𝑍𝑍₁+𝑍𝑍₂) =

𝑍𝑍₂ 𝑍𝑍₁+𝑍𝑍₂ 𝑢𝑢_𝑍𝑍2 =𝑢𝑢_𝑐𝑐 =𝑢𝑢_𝐺𝐺 𝑍𝑍2

𝑍𝑍₁+𝑍𝑍₂ = 50 ∡0° 200− 𝑗𝑗400

1200 +𝑗𝑗100 = 50 ∡0°447,21 ∡ −63,6°

1204,16 ∡ 4,76° =

= (50 × 447,21 1204,16⁄ ) ∡ (0°−63,4°−4,76°) = 18,60 V ∡ −68,16°

𝑢𝑢_𝑐𝑐 = 18,60 V ∡ −68,16°

Narišimo še kazalce napetosti 𝑢𝑢_𝑍𝑍1,, 𝑢𝑢𝑍𝑍₂ in 𝑢𝑢_G:

Slika 15.2.3: Kazalci napetosti 𝑢𝑢_𝑍𝑍1,, 𝑢𝑢_𝑍𝑍2 in 𝑢𝑢_G za vezje na sliki 15.2.2.

Slika 15.2.3:

𝑢𝑢G= 𝑢𝑢Z₁+𝑢𝑢Z₂

+ -~ u_G

Z₂ Z₁ i

Z₂

u

u

G

u

Z1

1 j

u

Z2

78 Določimo napetost na uporu R2 za sledeče vezje:

Slika 15.2.4: RLC vezje in napetostni vir Oznake:

79

= 37,40 × 4,24

3,44 ∡ (45,42° + 57,99°−49,13°) = 46,10 Ω ∡ 54,28°

Seštejmo naslednje impedance v kazalčnem diagramu:

Slika 15.2.5: Zaporedno RLC vezje

Slika 15.2.6: Impedance vezja na sliki 14.2.5. v kazalčnem diagramu 𝑍𝑍REZULTAT= 3 +𝑗𝑗2 Ω

Seštejmo naslednje admitance v kazalčnem diagramu:

Slika 15.2.7: Vzporedno RLC vezje R= 3Ω XC= 2Ω XL= 4Ω

im. os

re. os X_L

XC

R

ZREZULTAT

j

Z ravnina

G = 2 S BC = 2 S

BL = 4 S

80 Slika 15.2.8: Admitance vezja na sliki 15.2.7. v kazalčnem diagramu

𝑌𝑌REZULTAT= 2− 𝑗𝑗2 S

im. os

re. os Y ravnina j

BC

G

YREZULTAT

BL

81

16. Večfazni prenosni sistem

16.1. Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po a) enofaznem sistemu, b) po trifaznem sistemu vezave zvezda in c) vezave trikot

Večfazni sistemi:

100 kW moči prenesimo 5 km daleč z 2% izgubami, na tri načine:

a) Enofazni sistem: 𝑈𝑈_EF = 230 V b) Trifazni sistem zvezda: 𝑈𝑈_EF= 230 V

c) Trifazni sistem trikot, medfazna napetost: 𝑈𝑈_EF= 230∙ √2 V

Izračunajmo potrebno maso bakra za vsakega od treh primerov, 𝜌𝜌_{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 1,7 E⁻⁸ Ω𝑚𝑚, Volumska gostota 𝑔𝑔_Cu= 8920 kg/m³ .

a) Enofazni sistem:

Slika 16.1.1: Prenos moči 100 kW po enofaznem sistemu 𝑃𝑃= 100 kW = 230 V × 434,78 A

𝑃𝑃_IZGUBLJENA= 2 kW = 434,78² A² × 10,58 mΩ 𝑅𝑅 = 𝜌𝜌𝜌𝜌

𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝜌𝜌

𝑅𝑅 = 1,7 E⁻⁸ × 10 E³ Ωm × m

10,58 E⁻³ Ω = 1,61 E⁻² m² =

= 0,0161 m² = 161 cm² = 12,7 × 12, 7 cm² ali 𝑟𝑟 = 7,16 cm +

-~ UEF = 230 V P = 100 kW

82 𝑉𝑉_Cu= 𝐴𝐴 ×𝜌𝜌 = 0,0161 × 10000 = 161 m³

mCu =𝑔𝑔Cu ×𝑉𝑉Cu= 8920 × 161 = 1436, 12 t

b) Trifazni sistem z vezavo zvezda:

Slika 16.1.2:

Trije porabniki, za en porabnik⇒ 𝑃𝑃= 33,3 kW = 230 V × 144,78 A 𝑃𝑃_IZGUBLJENA= 666 W = 144,78² A² × 31,77 mΩ

𝑅𝑅 = 𝜌𝜌𝜌𝜌

𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝜌𝜌

𝑅𝑅 = 1,7 E⁻⁸ × 5 E³ Ωm × m

31,77 E⁻³ Ω = 0,27 E⁻² m²=

= 0,0027 m² = 27 cm² = 5,2 × 5,2 cm² ali 𝑟𝑟 = 2,93 cm 𝑉𝑉_Cu= 0,0027 × 5000 × 3 = 40,5 m³

mCu = 8920 × 40,5 = 361 t

c) Trifazni sistem z vezavo trikot:

Slika 16.1.3:

~

~

83 Vodniki so tokovno obremenjeni enako kot v primeru b), zato sta 𝑉𝑉_Cu in m_Cu približno enaka kot v primeru b) kjer so trije tokovno obremenjeni vodniki in v primeru simetričnega bremena tokovno neobremenjen četrti vodnik.

enofazna napeljava trifazna napeljava Y trifazna napeljava ∆ 1436 tCu prbl. 400 tCu prbl. 400 tCu

2 vodnika 4 vodniki 3 vodniki

𝑈𝑈𝑅𝑅_EF = 230 V 𝑈𝑈𝑅𝑅_EF = 230 V 𝑈𝑈𝑅𝑅_EF = 230 √3 V

Razmerja mas vodnikov je 3,6 / 1 / 1 .

84

Seznam uporabljenih simbolov

Označba: enota: pomen:

UEF V efektivna vrednost izmenične napetosti uIND V inducirana električna napetost

USR V srednja vrednost izmenične napetosti

85 UTH V Theveninova napetost

UV V vršna vrednost izmenične napetosti

V V električni potencial

W J energija

ω rad/s krožna frekvenca

X Ω reaktanca

Y S admitanca

Z Ω impedanca

86

Literatura in viri

[1] M. Jenko, Elektrotehnika, Ljubljana: FS, U Lj., 2014.

[2] T. L. Floyd, Principles of electric circuits, Pearson Prentice Hall, 2007.

[3] L. S. Bobrow, Fundamentals of Electrical Engineering, Oxford: Oxford University Press, 1996.

[4] A. P. Tipler, Physics for scientists and engineers, Worth Publishers, 1995.

[5] J. Žerovnik, Matematika I, Ljubljana: FS, U Lj., 2008.

[6] M. Hribar, S. Kocjančič, A. Likar, S. Oblak, B. Pajk, V. Petruna, N. Razpet, B. Roblek, F. Tomažič and M. Trampuš, Elektrika,svetloba in snov, Fizika za 3. in 4. letnik

srednjih šol, Ljubljana: Modrijan, 2003.

[7] I. Kuščer, A. Moljk, T. Kranjc, J. Peternelj, M. Rosina and J. Strnad, Fizika za srednje šole, III. del, Ljubljana: DZS, 2002.

[8] J. Šparovec, D. Kavka, G. Pavlič and M. Rugelj, Tempus, matematika za 4. letnik gimnazij, Ljubljana: Modrijan, 2012.

[9] M. Rugelj, J. Šparovec, D. Kavka and G. Pavlič, Spatium, Matematika za 3. letnik gimnazij, Ljubljana: Modrijan, 2011.

In document Računske naloge z rešitvamiElektrotehnika (1. letnik RRP)dopolnilno gradivoLjubljana (Strani 8-0)