Računske naloge z rešitvamiElektrotehnika (1. letnik RRP)dopolnilno gradivoLjubljana

Marjan Jenko

Računske naloge z rešitvami Elektrotehnika (1. letnik RRP)

dopolnilno gradivo

Ljubljana, 2019

2

Kazalo

Uvod ... 1

1. Ohmov zakon ... 2

1.1. Enačba Ohmovega zakona ... 2

2. Prenos električne moči ... 4

2.1. Presek vodnika za prenos moči ... 4

3. Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja ... 5

3.1. Dobra predstavitev poenostavi problem ... 5

3.2. Izračun karakteristike potenciometra ... 8

4. Napetostni vir in tokovni vir ... 11

4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo ... 11

5. Teorem o maksimalnem prenosu moči ... 13

5.1. Razmerje RA/RB = 1 za maksimalno moč na bremenu ... 13

6. Theveninov teorem ... 16

6.1. Uporaba Theveninovega teorema na mostiščnem vezju ... 18

7. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj ... 22

7.1. Zvezda - trikot in Wheatstoneov mostič ... 22

7.2. Zvezda-trikot in superpozicija ... 25

8. Metoda vejnih tokov... 30

8.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami ... 30

9. Metoda zančnih tokov ... 33

9.1. Izračun zančnih tokov z eliminacijo spremenljivk ... 33

9.2. Izračun zančnih tokov ... 35

10. Metoda vozliščnih potencialov... 36

10.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti ... 36

3

10.2. Izračun tokov ... 38

11. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov ter vozliščnih potencialov: ... 40

11.1. Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču ... 40

11.2. Izračun tokov v vezju z veliko zankami ... 45

12. Srednja in efektivna vrednost ... 48

12.1. Definicije in pogosto uporabljane enačbe ... 48

12.2. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 1 ... 50

12.3. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 2 ... 52

13. Kazalci in kompleksna števila ... 54

13.1. Algebra kompleksnih števil ... 54

14. Kondenzatorji, tuljave, transformatorji ... 57

14.1. Kondenzatorji - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk ... 57

14.2. Tuljave - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk ... 66

14.3. Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti... 72

15. RLC vezja ... 73

15.1. Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo ... 73

15.2. Računanje impedanc in admitanc v vezjih... 76

16. Večfazni prenosni sistem ... 81

16.1. Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po a) enofaznem sistemu, b) po trifaznem sistemu vezave zvezda in c) vezave trikot... 81

Seznam uporabljenih simbolov ... 84

Literatura in viri ... 86

1

Uvod

Računske naloge z rešitvami – dopolnilno gradivo služi le kot komplement k predavanjem, avditornim vajam, laboratorijskim vajam in priporočenim študijskim knjigam pri predmetu Elektrotehnika na Fakulteti za strojništvo Univerze v Ljubljani. Priporočeno je obiskovanje predavanj in potrebna je aktivna udeležba na vseh vajah.

2

1. Ohmov zakon

1.1. Enačba Ohmovega zakona 𝐼𝐼= 𝑈𝑈

𝑅𝑅 , 𝑈𝑈= 𝐼𝐼 𝑅𝑅 , 𝑅𝑅 =𝑈𝑈 𝐼𝐼 Neznan električni tok

Slika 1.1.1: Neznan električni tok 𝐼𝐼=𝑈𝑈

𝑅𝑅 = 50

1000 = 0,05 A = 50 mA Neznana električna napetost

Slika 1.1.2: Neznana električna napetost 𝑈𝑈= 𝐼𝐼 𝑅𝑅 = 0,1 × 3000 = 300 V

Neznana električna upornost + -

I= ?

R= 1 kΩ U = 50 V

+ -

I= 100 mA

R= 3 kΩ U = ?

3 Slika 1.1.3: Neznana električna upornost

𝑅𝑅 =𝑈𝑈

𝐼𝐼 = 100

0,02 = 5 kΩ

Grafa oblik y = k x in y= k / x; U = R I in I = U / R

Slika 1.1.4: Odvisnosti med napetostjo U, tokom I in upornostjo R +

-

I= 20 mA

R= ? U = 100 V

U

I

I

R majhn upora nost R

velik upora nost R

@ = konst.U

4

2. Prenos električne moči

2.1. Presek vodnika za prenos moči

Za dvožilni bakreni vodnik, ki ima na določenih razdaljah priključene porabnike, dimenzionirajmo presek vodnika, da bo maksimalni padec napetosti na celotni dolžini 2,5%!

Slika 2.1.1: Sistem za prenos energije Podatki

U = 230 V

I1 = 12 A, I2 = 16 A. I3 = 36 A L1 = 25 m, L2 = 30 m, L3 = 55m ρ_cu = 0,0175 Ω mm²

m Uporabimo

Ohmov zakon: U = I R

Upornost vodnika: 𝑅𝑅 =𝜌𝜌 𝐿𝐿/𝐴𝐴 Enačba je

∆U 2 =

ρ

A (L1 (I1 + I2 + I3) + L2 (I2 + I3) + L3 I3) Za eno smer je polovica padca napetosti na dveh vodnikih

230

2 0,025 =

0,0175

A (25 (12 + 16 + 36) + 30 (16 + 36) + 55 × 36) Rezultat je

A = 31,29 mm² ⇒ Premer vodnika je 6,31 mm.

+ U= 230 V -

L_NAVPIČNInaj bo upoštevan kot 0 m.

I₁ I₂ I3

L1 L2 L₃

5

3. Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja

3.1. Dobra predstavitev poenostavi problem

Pri odprtem stikalu S teče tok 𝐼𝐼 = 1A . Določimo tok, ki teče, ko sklenemo stikalo.

Predpostavimo, da napetost ostane nespremenjena. Izračunajmo tudi napetosti na posameznih uporih.

Slika 3.1.1: Vezje s stikalom in z upori Podatki:

R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, I = 1 A

Slika 3.1.2: Razklenjeno stikalo Razklenjeno stikalo:

U = I (R1 + R2) = 1 × 7 = 7 V 𝑈𝑈_𝑅𝑅1= I 𝑅𝑅1 = 5 V

𝑈𝑈_𝑅𝑅2= I 𝑅𝑅2 = 2 V + - U I

R₁ R₂ R₃ R₄

I= 1A

R₁ R₂ R₃ R4

+ -

6 𝑈𝑈𝑅𝑅₃= I 𝑅𝑅3 = 0 V

𝑈𝑈𝑅𝑅₄= I 𝑅𝑅4 = 0 V Sklenjeno stikalo:

Slika 3.1.3: Sklenjeno stikalo

Kadar je shema nepregledna, jo je smiselno preoblikovati in pri tem paziti pa na ohranitev povezav.

Slika 3.1.4: Pregledneje narisana shema s slike 3.1.3.

𝑅𝑅_N = 𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ ∥ 𝑅𝑅₃ ∥ 𝑅𝑅₄ = 𝑅𝑅₁ + �1 𝑅𝑅₂ + 1

𝑅𝑅₃+ 1

𝑅𝑅₄�⁻¹=

=𝑅𝑅₁+ 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 𝑅𝑅4

𝑅𝑅₃𝑅𝑅₄ + 𝑅𝑅₂𝑅𝑅₄ + 𝑅𝑅₂𝑅𝑅₃ = 5 + 2 × 3 × 4

3 × 4 + 2 × 4 + 2 × 3 =

= 5 + 24 26 = 5

12 13 Ω 𝐼𝐼= 𝑈𝑈

𝑅𝑅N = 7 5 1213

= 7 × 13 77 =

13 11 A Napetosti na posameznih uporih:

+

- U= 7V

R₁ R2 R₃ R4

I= ?

+ - I= ?

U= 7V

R₁ R2

R3

R₄

7 𝑈𝑈𝑅𝑅₁ =𝐼𝐼 𝑅𝑅1 = 13 × 5

11 = 65 11 V

𝑈𝑈_𝑅𝑅2= 𝑈𝑈_𝑅𝑅3 = 𝑈𝑈_𝑅𝑅4 = 7 − 𝑈𝑈_𝑅𝑅1 = 77−65 11 =

12 11 V

Zadnja enačba je iz Kirchoffovega napetostnega zakona,

� 𝑈𝑈𝑖𝑖 n i = 1

v zanki = 0 V .

8 3.2. Izračun karakteristike potenciometra

Izračunajte in narišite v merilu diagram poteka razmerja UIZH / UVH v odvisnosti od normirane lege kontakta na drsnem uporu - potenciometru. Računajte to odvisnost za argument x, ki naj se spreminja v mejah od 0 do 1 s korakom ∆x = 0,1. Pri izračunu upoštevajte linearno odvisnost upornosti od normirane lege kontakta na drsnem uporu.

Slika 3.2.1: Nastavitev izhodne napetosti U^IZH s potenciometrom

Slika 3.2.2: Potenciometer lahko razdelimo v zgornji in spodnji upor Nadomestna upornost za vzporedno vezavo xR in KR je

1 𝑅𝑅N = 1

xR + 1

KR = K + x x K R +

-^{UVH R = B KR UIZH}

xR (1- )Rx

+ -UVH

xR KR (1- )Rx

+ -U_VH

(1- )Rx

xKR+ K x

9 Slika 3.2.3: Napetostni delilnik iz vezja na sliki 3.2.2

Spodnji upor ima nadomestno upornost 𝑅𝑅N = xKR

K + x .

Skozi oba upora teče isti tok. Zato je napetost na posameznem uporu proporcionalna vrednosti upora.

𝑈𝑈IZH

𝑈𝑈VH =

x K R K + x

(1 − 𝑥𝑥)R + x K RK + x

= x K R

(R− 𝑥𝑥R)(𝐾𝐾+𝑥𝑥) +𝑥𝑥𝐾𝐾R = 𝑥𝑥 𝐾𝐾 R

𝐾𝐾R +𝑥𝑥R− 𝑥𝑥𝐾𝐾R− 𝑥𝑥²R +𝑥𝑥𝐾𝐾R =

𝑥𝑥𝐾𝐾

K + x −x² = 𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈_VH

Opaziti je potrebno dve skrajnosti: Če je K zelo velik, kar pomeni, da je bremenski upor zelo velik, lahko rezultat približno zapišemo kot

𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈_VH = x .

Če je K zelo majhen, kar pomeni, da je bremenski upor zelo majhen, lahko rezultat približno zapišemo kot

𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈VH= 0 .

Tabela 3.2.1: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo pri velikem in majhnem koeficientu K - razmerjem med upornostjo bremena in potenciometra

x 𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈_VH

� @ 𝐾𝐾 = 1000 𝑈𝑈_IZH 𝑈𝑈_VH

� @ 𝐾𝐾 = 0,001

0 0 0

0,1 0,10 0,001

0,2 0,20 0,001

0,3 0,30 0,001

0,4 0,40 0,002

0,5 0,50 0,002

0,6 0,60 0,002

10

0,7 0,70 0,003

0,8 0,80 0,005

0,9 0,90 0,01

1 1 1

Slika 3.2.4: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo v odvisnosti od položaja potenciometra pri velikem K in pri majhnem K

Interpretacija rezultata: Naloga predstavlja potenciometrsko regulacijo napetosti na bremenskem uporu RB. Če je RB velik, regulacija deluje po pričakovanjih (U_RB je proporcionalen položaju srednjega priključka potenciometra).

Če je R^B majhen, imamo problem, ker vezje pod srednjim priključkom potenciometra (RB ∥ xR ) predstavlja majhno upornost ne glede na položaj drsnika potenciometra. Zato je v tem primeru napetost U^IZH bistveno manjša, kot bi jo s potenciometrom hoteli nastaviti.

Izračunan rezultat, aproksimaciji rezultata za velik in majhen K, tabela in graf pojasnjujejo nastavitev napetosti s potenciometrom.

majhen K velik K

x UIZH

UVH

11

4. Napetostni vir in tokovni vir

4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo Idealni napetostni vir

Slika 4.1.1: Idealni napetostni vir 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = 0 Ω Realni napetostni vir

Slika 4.1.2: Realni napetostni vir 𝑅𝑅VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = RNOTRANJI

Idealni tokovni vir

Slika 4.1.3: Idealni tokovni vir:

+

- U = n V

nU

I

+

-U = n V RNOTRANJI

U(I)

U n

I

m

U I

I = m A

12 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = ∞ Ω Realni tokovni vir

Slika 4.1.4: Realni tokovni vir 𝑅𝑅_VIRA = ∆𝑈𝑈

∆𝐼𝐼 = R_NOTRANJI

m

U I

I = m A R_NOTRANJI I(U)

13

5. Teorem o maksimalnem prenosu moči

5.1. Razmerje RA/RB = 1 za maksimalno moč na bremenu

Določimo razmerje K med bremensko upornostjo RB in notranjo upornostjo generatorja RG

tako, da bo na bremenski upornosti RB maksimalna moč. Določimo graf razporeditve moči med RB in RG v odvisnosti od koeficienta K.

Slika 5.1.1: Vezje za določitev maksimalne moči na bremenu P𝑅𝑅B= 𝐼𝐼² RB = U𝑅𝑅B 𝐼𝐼_𝑅𝑅B = 𝑈𝑈²

𝑅𝑅_B 𝑈𝑈_𝑅𝑅B

𝑈𝑈_G = KR R + KR =

𝐾𝐾 1 + K P_𝑅𝑅B= 𝑈𝑈_G²𝐾𝐾²

KR (1 +𝐾𝐾)² = 𝑈𝑈_G²𝐾𝐾 R (1 + K)² Določitev največje moči P_𝑅𝑅B:

d P𝑅𝑅_B

d K = 0 Pomagamo si z:

d �u(a ) v(a)�

d a = u(a)d v(a)

d a + v(a)d u(a) d a in z:

d (Cu(a ) )

d a = C d u(a) d a Določimo:

+ -

RG = 10 Ω = R

U_G= 10 V RB = RK

14 u(𝐾𝐾) =𝐾𝐾

in

𝑣𝑣(𝐾𝐾) = 1

(1 +K )² Sledi

d �K 1 (1 + K)²�

𝑑𝑑 𝐾𝐾 = 1

(1 + K)² + K

(−2)

(1 + K)³ = 1 + K − 2K

(1 + K)³ = 1− 𝐾𝐾 (1 + K)³ Iščemo:

1 − 𝐾𝐾

(1 + K)³ = 0 ⇒ K = 1

Za risanje in pisanje poteka moči izračunamo še P_𝑅𝑅G in 𝑃𝑃_CELOTNA : P𝑅𝑅_G = 𝑈𝑈R_G2

RG = 1 R

𝑈𝑈G2 R² R² (1 + K)² =

𝑈𝑈G2

R (1 + K)² 𝑃𝑃_CELOTNA= P𝑅𝑅_B+ P𝑅𝑅_G = 𝑈𝑈G2 (1 + K)

R (1 + K)² =

𝑈𝑈G2

R (1 + K)

Tabela 5.3.1: Moč na bremenskem uporu RB, moč na uporu RG napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K

K P_𝑅𝑅B[𝑊𝑊] P_𝑅𝑅G[𝑊𝑊] 𝑃𝑃_CELOTNA[𝑊𝑊]

0 0 10 10

0, 1 0, 83 8, 26 9, 09

0, 2 1, 39 6, 94 8, 33

0, 3 1, 76 5, 92 7, 67

0, 4 2, 04 5, 10 7, 14

0, 5 2, 22 4, 44 6, 67

0, 6 2, 34 3. 91 6, 25

0, 7 2, 42 3, 46 5, 88

0, 8 2, 47 3, 09 5, 56

15

0, 9 2, 49 2, 77 5, 26

1, 0 2, 50 2, 50 5, 00

2, 0 2, 22 1, 11 3, 33

5, 0 1, 39 0, 28 1, 67

10, 0 0, 83 0, 08 0, 91

neskončno 0 0 0

Slika 5.1.2: Moč na bremenskem uporu R^B, na uporu R^G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K

K P_CELOTNI

P [W]

1 P_RB

P_RG

16

6. Theveninov teorem

Vezje levo od R5 nadomestimo s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Slika 6.1: Vezje, katerega del levo od priključnih sponk nadomeščamo s Theveninovim nadomestnim vezjem

Podatki so:

UG = 10 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ, R3 = 3 kΩ, R4 = 4 kΩ, R5 = 5 kΩ Rezultat bo v obliki:

Slika 6.2: Theveninovo nadomestno vezje, priključeno na R⁵ Račun:

𝑅𝑅_TH =𝑅𝑅₄ + 𝑅𝑅₃ ∥ (𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ ) =

= 4000 + 3000 (1000 + 2000)

3000 + 1000 + 2000 = 5,50 kΩ +

-

R₁

R3 R₅

R₂

R₄

U_G

+ -

R_TH

R5

U_TH

17 𝑈𝑈_TH = 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅₃

𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₂ + 𝑅𝑅₃ = 10 × 3000

1000 + 2000 + 3000 = 5,00 V

18 6.1. Uporaba Theveninovega teorema na mostiščnem vezju

a) Nadomestimo na R5 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Slika 6.1.1: Mostiščno vezje Podatki: UG = 4,5 V, R1 = R2 = R3 = R5 = 3,3 kΩ, R4 = 2,7 kΩ Določitev Theveninove upornosti RTH:

Slika 6.1.2: Izboljšanje preglednosti vezja, prvi korak

Slika 6.1.3: Izboljšanje preglednosti vezja, drugi korak 𝑅𝑅_TH = 𝑅𝑅₁ ∥ 𝑅𝑅₂+𝑅𝑅₃ ∥ 𝑅𝑅₄ =

= 3300 × 3300 3300 + 3300 +

3300 × 2700 3300 + 2700 =

= 1650 + 1485 = 3135 Ω Določitev Theveninove napetosti UTH:

+ -

R1

R₂

R₃

R₄ R₅

U_G

R1

R2

R3

R4

R₁ R3

R₂ R₄

R₁ R₃

R₂ R₄

19 Slika 6.1.4: U^TH je razlika potencialov V^A in V^B

𝑈𝑈_TH = 𝑉𝑉_A − 𝑉𝑉_B= 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅2

𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 − 𝑈𝑈_G 𝑅𝑅4

𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4 =

= 4,5 ( 3300

3300+3300 − 2700

3300 + 2700 ) = 0,225 V Rezultat:

Slika 6.1.5: R⁵ je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 6.1.1

b) Nadomestimo na R1 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem.

Določitev Theveninove upornosti RTH: + -

R₁

R2

R3

R₄ UG V_A V_B

+ -

RTH = 3135 Ω

U_TH= 0,225 V R₅

20 Slika 6.1.6: Vezje med priključnima sponkama nadomestimo z nadomestnim uporom RTH.

Slika 6.1.7: Preglednejše risanje sheme na sliki 6.1.6 𝑅𝑅_TH = 𝑅𝑅₂ ∥ �(R₃ ∥ R₄) + R₅�

R3 ∥ R4 = 1485 Ω

(R₃ ∥ R₄) + R₅ = 4785 Ω

𝑅𝑅₂ ∥ �(R3 ∥ R₄) + R5� = 1953 Ω Določitev Theveninove napetosti UTH:

Slika 6.1.8: U^TH je razlika potencialov V^A in V^B 𝑈𝑈_TH =𝑉𝑉_A− 𝑉𝑉_B, 𝑉𝑉_A= 𝑈𝑈_G = 4, 5 V

Za VB potrebujemo VC:

R2 R₄

R3

R₅

R₂ R₃ R₄

R₅

+ -

R₂

R3

R₅

R₄ U_G

V_A V_B

V_C

21 𝑉𝑉C

𝑈𝑈_G = (𝑅𝑅₂ + R5) ∥ 𝑅𝑅4

𝑅𝑅₃ +�(𝑅𝑅₂ +𝑅𝑅₅) ∥ 𝑅𝑅4�= 0,37 𝑅𝑅2 + R5 = 6600 Ω

(𝑅𝑅₂+ 𝑅𝑅₅)∥ 𝑅𝑅₄ = 1916 Ω

𝑅𝑅3 + �(𝑅𝑅₂ + 𝑅𝑅5) ∥ 𝑅𝑅4 �= 5216 Ω 𝑉𝑉_C

𝑈𝑈G = 0,37 ⇒ 𝑉𝑉C= 1,67 V VB

VC = R2

R2 + R5 = 3300

3300 + 3300 = 0,5 ⇒VB = 0,84 V 𝑈𝑈_TH =𝑉𝑉_A− 𝑉𝑉_B= 4,5 −0,84 = 3,66 V

Slika 6.1.9: R¹ je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 6.1.6

+ -

RTH = 1953 Ω

U_TH= 3,66 V R₁

22

7. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj

7.1. Zvezda - trikot in Wheatstoneov mostič Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči.

Slika 7.1.1: Wheatstoneov mostič Podatki:

𝑈𝑈G= 10 𝑉𝑉

𝑅𝑅₁ = 1,2 kΩ 𝑅𝑅₂ = 0,8 kΩ 𝑅𝑅₃ = 0,8 kΩ 𝑅𝑅₄ = 1,2 kΩ 𝑅𝑅₅ = 1 kΩ

Možne so pretvorbe trilotnikov R2, R4, R5 in R1, R3, R5 v zvezdi ter zvezd R1, R2, R5 in R3, R4, R5 v trikotnika.

Računamo s pretvorbo trikotnika R2, R4, R5 v zvezdo.

Slika 7.1.2: Wheatstoneov mostič z nakazanim spodnjim trikotnikom +

-

R1

R₂

R3

R₄ R₅

U_G V_A V_B

+ -

R1

R₂

R₃

R₄ R₅

U_G V_A V_B

23 Slika 7.1.3: Spodnji trikotnik Wheatstoneovega mostiča spremenjen v zvezdo 𝑅𝑅_A = R2 R5

R2 + R4 + R5 = 800 × 1000

800 + 1200 + 100 = 266, 66 Ω RB = R4 R5

R2 + R4 + R5 = 1200 × 1000

800 + 1200 + 1000 = 400 Ω RC = R2 R4

R2 + R4 + R5 = 800 × 1200

800 + 1200 + 1000 = 320 Ω 𝑅𝑅_CELOTNI= 𝑅𝑅_C + (𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅_A) ∥ (𝑅𝑅₃ + 𝑅𝑅_B) =

= 320 + (1200 + 266,66) (800 + 400)

1200 + 266,66 + 800 + 400 = 980 Ω I = 𝑈𝑈G

𝑅𝑅CELOTNI = 10

980 = 10,2 mA IL

I =

R3 + RB

R1+ R3+ RA+RB = 800 + 400

1200 + 266,66 + 800 + 400 = 0,45 ⇒

⇒ IL = 0,45 × 10,2 mA = 4,59 mA ID = I −IL = 10,2−4,59 = 5,61 mA

VA = 10 − IL R1 = 10 − 4,59 × 10^-3× 1,2 × 10³ = 4,49 V VB = 10 − ID R2 = 10 − 5,61 × 10^-3 × 0,8 × 10³ = 5,51 V 𝐼𝐼_𝑅𝑅1= 𝐼𝐼_L = 4,59 mA

𝐼𝐼𝑅𝑅₃= 𝐼𝐼D = 5,61 mA

+ -U_G

V_A V_B

I_L I_D

R_A R_B

RC

I

R₁ R₃

24 𝐼𝐼_𝑅𝑅5 = V_B− V_A

R₅ = 5,51−4,49

1000 = 1,02 mA

𝐼𝐼𝑅𝑅₂ =𝐼𝐼𝑅𝑅₁ + 𝐼𝐼𝑅𝑅₅ = 4,59 mA + 1,02 mA = 5,61 mA 𝐼𝐼_𝑅𝑅4 =𝐼𝐼_𝑅𝑅3 − 𝐼𝐼_𝑅𝑅5 = 5,61 −1,02 = 4,59 mA

𝑃𝑃_𝑅𝑅1 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅1²𝑅𝑅₁ = 4,59 × 10^--6 × 1,2 × 10³ = 25,28 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅2²𝑅𝑅₂ = 5,61 × 10^--6 × 0,8 × 10³ = 25,18 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅3²𝑅𝑅₃ = 5,61 × 10^--6 × 0,8 × 10³ = 25,18 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅4 = 𝐼𝐼_𝑅𝑅4²𝑅𝑅₄ = 4,59 × 10^--6 × 1,2 × 10³ = 25,28 mW 𝑃𝑃𝑅𝑅₅ = 𝐼𝐼_𝑅𝑅5²𝑅𝑅5 = 1,02 × 10^--6 × 1 × 10³ = 1,04 mW 𝑃𝑃_G = 10 ×10,2 × 10^--3 = 102 mW

Preizkus pravilnosti računanja s pomocjo dovajane električne in odvajane toplotne moči, 𝑃𝑃G = � 𝑃𝑃𝑅𝑅_i

5 𝑖𝑖=1

.

102 mW = 25,28 mW + 25,18 mW + 25,18 mW + 25,28 mW + 1,04 mW (= 102,48 W, zaokrožanja)

25 7.2. Zvezda-trikot in superpozicija

Izračunajmo vse tokove, potenciale in moči. Najprej naredimo preračun trikot – zvezda za upore R1, R4, R5, nato s super pozicijo izračunajmo tokovne prispevke napetostnih virov U2 in U3, nato preračunajmo zvezdo nazaj v trikot R1, R4, R5 in izračunajmo vse tokove in vse potenciale. Nalogo je možno izračunati tudi brez pretvorb trikot – zvezda.

Slika 7.2.1: Vezje s petimi neznanimi tokovi Podatki:

𝑈𝑈2 = 4 V, 𝑈𝑈3 = 8 V

𝑅𝑅1 = 4 Ω, 𝑅𝑅2 = 4 Ω, 𝑅𝑅3 = 2 Ω, 𝑅𝑅4 = 4 Ω, 𝑅𝑅5 = 4 Ω

Slika 7.2.2: Vezje s slike 7.2.1 po spremembi zvezde R1, R4, R5 v trikot +

-

+ -

R2 R₁

R₅

R₄ R₃ U₃

U₂

+ -

+ -

R₂

U2

U3

R_B R_C

R_A R₃

26 𝑅𝑅_A= R₁ R₄

R₁ + R₄ + R₅ = 1,33 Ω 𝑅𝑅B = R1 R5

R1 + R4 + R5 = 1,33 Ω 𝑅𝑅_C = R4 R5

R1 + R4 + R5 = 1,33 Ω

Superpozicija, računanje tokovnih prispevkov napetostnega vira U2

Slika 7.2.3: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča napetostni vir U² 𝑅𝑅N = 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅B + 𝑅𝑅A ∥(𝑅𝑅₃+𝑅𝑅C) = 4 + 1,33 + 1,33∥ (2 + 1,33) = = 6,28 Ω I = U2

RN= 4

6,28 = 0,64 A IL = I R3 + RC

RA + R3 + RC = 0,64

2 + 1,33

1,33 + 2 + 1,33 = 0, 46 A 𝐼𝐼D = 𝐼𝐼 − IL = 0,18 A

Superpozicija, računanje tokovnih prispevkov napetostnega vira U3

+ -

IL I_D

I

R₂ RA

R_B R_C

R₃

U₂

27 Slika 7.2.4: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U³

𝑅𝑅_N = 𝑅𝑅₃ + 𝑅𝑅_C + 𝑅𝑅_A ∥ (𝑅𝑅₂+𝑅𝑅_B) = 2 + 1,33 + 1,33∥ (4 + 1,33) = 4,39 Ω I = U₃

R_N= 8

4,39 = 1,82 A IL = I RA

R2 + RB + RA = 1,82

1,33

4 + 1,33 + 1,33 = 0,36 A 𝐼𝐼_D = 𝐼𝐼 − I_L = 1,46 A

Seštetje tokovnih prispevkov napetostnih virov U2 in U3

Slika 7.2.5: Sešteti tokovni prispevki obeh napetostnih virov 𝑉𝑉_A =𝑈𝑈₂− 0,28 𝑅𝑅₂ = 4 × 0,28 × 4 = 2,88 V

+ -

I

I_L I_D

R₂ RA

RB RC

R₃ U3

+ -

+ -

R₂

U₂

U₃

R_B R_C

R_A R₃

V_A 1,82 - 0,18 = 1,64 A 0,64 - 0,36 = 0,28A

0,46 + 1,46 = 1,92 A

V_B

28 𝑉𝑉B = 0,28 𝑅𝑅B −1,64 𝑅𝑅C = 0,28 × 1,33−1,64 × 1,33 = −1,81 V

Začetno vezje:

Slika 7.2.6: Začetno vezje s slike 7.2.2. z že izračunanimi tokovi in potenciali 𝐼𝐼_𝑅𝑅1 =2,88

R1 = 2,88

4 = 0,72 A 𝑃𝑃_𝑅𝑅1 = 0,72²× 4 = 2,07 W 𝐼𝐼𝑅𝑅₂ = 0,28 A 𝑃𝑃𝑅𝑅₂ = 0,28²× 4 = 0,31 W 𝐼𝐼_𝑅𝑅3 = 1,64 A 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 = 1,64²× 2 = 5,38 W 𝐼𝐼𝑅𝑅₄ =2,88 − (−1,81)

4 = 1,17 A 𝑃𝑃𝑅𝑅₄ = 1,17²× 4 = 5,48 W 𝐼𝐼𝑅𝑅₅ =1,81

4 = 0,45 A 𝑃𝑃𝑅𝑅₅ = 0,45²× 4 = 0,81 W 𝑃𝑃_𝑈𝑈3 =𝑈𝑈₂ 𝐼𝐼_𝑈𝑈2 = 0,28× 4 = 1,12 W

𝑃𝑃_𝑈𝑈3 =𝑈𝑈₃ 𝐼𝐼_𝑈𝑈3 = 8 × 1,64 = 13,12 W

1,12 + 13,12 = 14,24 𝑊𝑊 = 2,07 + 0,31 + 5,38 + 5,48 + 0,81 +𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏

�P_{𝑈𝑈𝑥𝑥}

3 x = 2

= � 𝑃𝑃_{𝑅𝑅𝑖𝑖}

5

𝑖𝑖=1

1,32 % razlika (0.19 / 14.24) med levo in desno stranjo enačbe je napaka zaokroževanja tekom računanja.

Vse napetosti, vsi tokovi:

+ -

+ -

R₂ R1

R₅

R₄ R3

U₃

U2

1,64 A 2,88 V

-1,81 V 0,28 A

29 Slika 7.2.7: Začetno vezje s slike 7.2.1. z izračunanimi tokovi in potenciali

+ -

+ -U₃=8V

U₂=4V

1,64A 2,88V

-1,81V 0,28A

-5,12V 1, A18

0,72A

0,45A 4Ω

4Ω

4Ω 4Ω 2Ω

30

8. Metoda vejnih tokov

8.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči!

Slika 8.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo vejnih tokov Podatki:

𝑈𝑈₁ = 10 V, 𝑈𝑈₂ = 5 V, 𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 68 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Potrebujemo tri neodvisne enačbe za izračun treh tokov, dvakrat uporabimo Kirchhoffov napetostni zakona in uporabimo Kirchhoffov tokovni zakon.

−𝑈𝑈1+𝐼𝐼𝑅𝑅₁𝑅𝑅1+𝐼𝐼𝑅𝑅₃𝑅𝑅3 = 0 𝑈𝑈2− 𝐼𝐼𝑅𝑅₃𝑅𝑅3− 𝐼𝐼𝑅𝑅₂𝑅𝑅2 = 0 𝐼𝐼𝑅𝑅₁− 𝐼𝐼𝑅𝑅₃ +𝐼𝐼𝑅𝑅₂ = 0

𝐼𝐼𝑅𝑅₁ =𝐼𝐼1, 𝐼𝐼𝑅𝑅₂ =𝐼𝐼2, 𝐼𝐼𝑅𝑅₃ =𝐼𝐼3

Enačba I∶ − 10 + 47 𝐼𝐼₁ + 22 𝐼𝐼₃ = 0 Enačba II∶ 5 – 22 𝐼𝐼3 – 68 𝐼𝐼2 = 0 Enačba III∶ 𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₃+ 𝐼𝐼₂ = 0

47 𝐼𝐼₁+ 22 𝐼𝐼₃ = 10 22 𝐼𝐼3+ 68 𝐼𝐼2 = 5 𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₃ + 𝐼𝐼₂ = 0

+ -

+ - +

-

+

U₁ R₃

R₂

U₂ R1

I_R1 I_R2

I_R3 V_X - -

+

31 Reševanje z eliminacijo spremenljivk:

Iz enačbe III:

𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3− 𝐼𝐼1

Rešujemo enačbo II:

22 𝐼𝐼3 + 68 𝐼𝐼3 – 68 𝐼𝐼1 = 5

− 68 𝐼𝐼1 + 90 𝐼𝐼3 = 5 ⇒ 𝐼𝐼3 = 5+ 68 I₁ 90 in enačbo I:

47 𝐼𝐼1 + 22 𝐼𝐼3 = 10 47 𝐼𝐼1 + 11

9 + 1496

90 I¹ = 10 63, 62 𝐼𝐼1 = 8, 78

𝐼𝐼₁ = 137, 97 mA⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅1 = 137, 97 mA 𝐼𝐼₂ = 21, 83 mA⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅2 = 21, 83 𝑚𝑚𝐴𝐴 𝐼𝐼₃ = 159, 80 mA ⇒ 𝐼𝐼_𝑅𝑅3 = 159, 80 mA 𝑉𝑉_X = 𝐼𝐼_𝑅𝑅3 𝑅𝑅₃ = 0, 1598 × 22 = 3515, 6 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅1 =𝑈𝑈₁ –𝑉𝑉_X = 10 000−3515, 6 = 6484 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅2 =𝑈𝑈₂ –𝑉𝑉_X = 5 000−3515, 6 = 1484, 4 mV 𝑈𝑈_𝑅𝑅3 =𝑉𝑉_X = 3515,6 mA

𝑃𝑃𝑅𝑅₁ = 𝐼𝐼𝑅𝑅₁2 𝑅𝑅1 = 0, 13797² × 47 = 894,68 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 =𝐼𝐼_𝑅𝑅2² 𝑅𝑅₂ = 0, 02183²× 68 = 32,41 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 =𝐼𝐼_𝑅𝑅3² 𝑅𝑅₃ = 0,1598²× 22 = 561,79 mW 𝑃𝑃𝑈𝑈₁ = 𝑈𝑈1 𝐼𝐼R₁ = 10 × 137, 97 = 1379,7 mW 𝑃𝑃𝑈𝑈₂ = 𝑈𝑈2 𝐼𝐼R₃ = 5 × 21, 83 = 109,15 mW

�P_G = �P_R

32 Reševanje z determinantami, kofaktorsko:

determinanta D0:

�47 0 22 0 68 22 1 1 -1� �I1

I2

I3

� =�10 50�

𝐷𝐷0 = 47 × (68 × (−1)−22 × 1)− 0 × (0 × (-1)−22 × 1) +

1 × (0× 22−22 × 68) = − 5726 determinanta D1

�10 0 22 5 68 22 0 1 -1�

𝐷𝐷₁ = 10 × (68 × (−1)−22 × 1)− 5 × (0 × (-1) − 22 × 1) +

0 × (0 × (-1) − 22 × 1) = −790 determinanta D2

�47 10 22

0 5 22

1 0 -1�

𝐷𝐷2 = 47 × (5 × (−1)−22 × 0)− 0 × (10 × (-1) − 22 × 0) + 1 × (10 × 22 −22 × 5) = -125 determinanta D3

�47 0 10 0 68 5

1 1 0�

𝐷𝐷3 = 47 × (68 × 0−5 × 1)− 0 × (0 × 0 − 10 × 1) + 1 × (0 × 5 − 10 × 68) = -915 𝐼𝐼1 = D₁

D₀ = -790

-5726 = 137,97 mA 𝐼𝐼₂ = D₂

D₀ = -125

-5726 = 21,83 mA 𝐼𝐼3 = D₃

D₀ = -915

-5726 = 159,80 mA

33

9. Metoda zančnih tokov

9.1. Izračun zančnih tokov z eliminacijo spremenljivk Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči.

Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo zančnih tokov Podatki

𝑈𝑈₁ = 10 V, 𝑈𝑈₂ = 5 V

𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 82 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Zapis Kirchhoffovega zakona za vsako zaprto zanko

− 𝑈𝑈₁+ 𝑅𝑅₁ 𝐼𝐼₁ +𝑅𝑅₃ (𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₂) = 0 𝑅𝑅3 (𝐼𝐼2 – 𝐼𝐼1) +𝑅𝑅2 𝐼𝐼2+𝑈𝑈2 = 0 Uredimo

𝐼𝐼₁ (𝑅𝑅₁ + 𝑅𝑅₃) – 𝐼𝐼₂ 𝑅𝑅₃ = 𝑈𝑈₁

− 𝐼𝐼₁ 𝑅𝑅₃+𝐼𝐼₂ (𝑅𝑅₂+𝑅𝑅₃) =− 𝑈𝑈₂ 69 𝐼𝐼1 – 22 𝐼𝐼2 = 10

− 22 𝐼𝐼1+ 104 𝐼𝐼2 =− 5 𝐼𝐼2 = 10− 69 𝐼𝐼₁

− 22 =− 5

11 + 69 I1

22

− 22 𝐼𝐼₁− 520 11 +

104 × 69 𝐼𝐼1

22 = − 5

Zančna tokova

304,18 𝐼𝐼₁ = 42, 27 ⇒ 𝐼𝐼₁ = 138,97 mA 𝐼𝐼2 =−18,68 mA

+ +

U₁ -U₂

-

R₃ R2

R₁ V_X

+ - +

-

+ -

- +

I₂ I₁

I_R1 I_R2

I_R3

34 Vejni tokovi

𝐼𝐼R₁ =𝐼𝐼1 = 138,97 mA 𝐼𝐼R₂ =−𝐼𝐼2 = 18,68 mA 𝐼𝐼R₃ =𝐼𝐼1–𝐼𝐼2 = 157,65 mA Električni potencial

𝑉𝑉X = 𝐼𝐼R₃ 𝑅𝑅3 = 120, 29∙22 = 2646,38 mV Moči

𝑃𝑃_𝑅𝑅1 = 0, 13897² × 47 = 907,70 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅2 = 0, 01868² × 82 = 28, 61 mW 𝑃𝑃_𝑅𝑅3 = 0, 15765² × 22 = 546, 78 mW 𝑃𝑃_𝑈𝑈1 = 10 × 0, 13897 = 1389, 70 mW 𝑃𝑃_𝑈𝑈2 = 5 × (− 0, 01868) = − 93, 40 mW

�PUi 2 i=1

= �PRj 3 j=1

35 9.2. Izračun zančnih tokov

Izračunajmo zančne tokove.

Slika 9.2.1: Vezje za izračun treh zančnih tokov Podatki

𝑈𝑈₁ = 6 V, 𝑈𝑈₂ = 8 V

𝑅𝑅1 = 47 Ω, 𝑅𝑅2 = 22 Ω, 𝑅𝑅3 = 33 Ω, 𝑅𝑅4 = 10 Ω

Zapis Kirchhoffovega napetostnega zakona v vsaki zaprti zanki 𝑅𝑅₁𝐼𝐼₁ +𝑅𝑅₃(𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₃) + 𝑅𝑅₂(𝐼𝐼₁ – 𝐼𝐼₂) = 0

− 𝑈𝑈₁+𝑅𝑅₂(𝐼𝐼₂ – 𝐼𝐼₁) +𝑅𝑅₄(𝐼𝐼₂– 𝐼𝐼₃) = 0 𝑅𝑅4(𝐼𝐼3– 𝐼𝐼2) + 𝑅𝑅3(𝐼𝐼3– 𝐼𝐼1)− 𝑈𝑈2 = 0 Ureditev enačb

𝐼𝐼₁(𝑅𝑅₁ +𝑅𝑅₂+𝑅𝑅₃) – 𝐼𝐼2 𝑅𝑅₂ – 𝐼𝐼₃𝑅𝑅₃ = 0

− 𝐼𝐼₁ 𝑅𝑅₂+ 𝐼𝐼₂(𝑅𝑅₂+ 𝑅𝑅₄)– 𝐼𝐼₃ 𝑅𝑅₄ = 𝑈𝑈₁

− 𝐼𝐼1 𝑅𝑅3− 𝐼𝐼2 𝑅𝑅4+ 𝐼𝐼3 (𝑅𝑅₃+𝑅𝑅4) =𝑈𝑈2

102 𝐼𝐼₁− 22 𝐼𝐼₂−33 𝐼𝐼₃ = 0

−22 𝐼𝐼₁ + 32 𝐼𝐼₂ −10 𝐼𝐼₃ = 6

− 33 𝐼𝐼1−10 𝐼𝐼2 + 43 𝐼𝐼3 = 8

Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznane tokove:

𝐼𝐼1 =−42,55 mA 𝐼𝐼₂ = 96,95 mA 𝐼𝐼3 = −196.16 mA

+ -

+ +

U1 -U2

-

R3

R2

R1

+ - +

-

+-

- +

I3

I1

R4

I2

+ - + -

36

10. Metoda vozliščnih potencialov

10.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti

Izračunajmo vse napetosti in vse tokove z metodo vozliščnih potencialov.

Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun potencialov z metodo vozliščnih potencialov Podatki:

𝑈𝑈1 = 10 V, 𝑈𝑈2 = 5 V

𝑅𝑅₁ = 47 Ω, 𝑅𝑅₂ = 82 Ω, 𝑅𝑅₃ = 22 Ω

Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona za vsako vozlišče z neznanim potencialom:

𝐼𝐼₁– 𝐼𝐼₃+ 𝐼𝐼₂ = 0

Tokove izrazimo z neznanimi vozliščnimi potenciali. Neznan vozliščni potencial je v tem vezju samo VA.

𝐼𝐼₁ = 𝑈𝑈₁ − 𝑉𝑉_A

𝑅𝑅₁ 𝐼𝐼₂ = 𝑈𝑈₂− 𝑉𝑉_A

𝑅𝑅₂ 𝐼𝐼₃ =𝑉𝑉_A 𝑅𝑅₃ 𝑈𝑈₁− 𝑉𝑉_A

𝑅𝑅1 −𝑉𝑉_A

𝑅𝑅3+𝑈𝑈₂− 𝑉𝑉_A 𝑅𝑅2 = 0 𝑉𝑉_A�− 1

R1 − 1 R2− 1

R3 �=− U1

R1 −U2

R3

0, 07893 𝑉𝑉_A = 0, 27374 𝑉𝑉A = 3, 47 V

𝐼𝐼_R1= 𝑈𝑈1− 𝑉𝑉A

𝑅𝑅₁ = 10−3, 47

47 = 138,94 mA +

-

+ U₁ R₃ -

R₂

U2

R₁

I₁ I₂

I3

VA

37 𝐼𝐼R₂= 𝑈𝑈2− 𝑉𝑉A

𝑅𝑅2 = 5−3,47

82 = 18,66 mA 𝐼𝐼_R3= 𝑉𝑉A

𝑅𝑅₃ = 3, 47

22 = 157,73 mA

𝑈𝑈R₁ = 𝑈𝑈1 − 𝑉𝑉A = 10−3, 47 = 6,53 V 𝑈𝑈R₂ = 𝑈𝑈2 − 𝑉𝑉A = 5−3, 47 = 1,53 V 𝑈𝑈_R3 = 𝑉𝑉_A = 3,47 V

38 10.2. Izračun tokov

Izračunajmo vse tokove z metodo vozliščnih potencialov.

Slika 10.2.1: Vezje z neznanima potencialoma V^A in V^B Podatki:

𝑈𝑈₁ = 4, 5 V, 𝑈𝑈₂ = 7 V

𝑅𝑅₁ = 470 Ω, 𝑅𝑅₂ = 680 Ω, 𝑅𝑅₃ = 330 Ω, 𝑅𝑅₄ = 1000 Ω, 𝑅𝑅₅ = 100 Ω Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona v vozliščih z neznanim potencialom:

𝐼𝐼1 – 𝐼𝐼2 – 𝐼𝐼3 = 0 𝐼𝐼₃ – 𝐼𝐼₄+ 𝐼𝐼₅ = 0

Zapis obeh tokovnih enačb z neznanima potencialoma:

Prva enačba:

𝑈𝑈1− 𝑉𝑉A

𝑅𝑅₁ −𝑉𝑉A

𝑅𝑅₂−𝑉𝑉A− 𝑉𝑉B

𝑅𝑅₃ = 0 𝑉𝑉_A�− 1

𝑅𝑅₁− 1 𝑅𝑅₂− 1

𝑅𝑅₃�+𝑉𝑉_B 1

𝑅𝑅₃ =−𝑈𝑈₁ 𝑅𝑅₁ 𝑉𝑉_A� 1

470 + 1 680 +

1

330� − 𝑉𝑉_B 1 330 =

4, 5 470 6, 63 × E⁻³ 𝑉𝑉A – 3, 03 × E⁻³ 𝑉𝑉B= 9,57 × E⁻³ 6, 63 𝑉𝑉A − 3, 03 𝑉𝑉B= 9,57

𝑉𝑉B= − 9, 57 + 6, 63 𝑉𝑉_A 3, 03 Druga enačba:

+ -

+ U₁ -

R₁ R3 R₅

R₂ R₄

VA VB

U₂ I1

I₂ I4

I₃ I₅

39 𝑉𝑉_A− 𝑉𝑉_B

𝑅𝑅3 −𝑉𝑉_B

𝑅𝑅4+𝑈𝑈₂− 𝑉𝑉_B 𝑅𝑅5 = 0 𝑉𝑉A 1

𝑅𝑅3+𝑉𝑉B�− 1 𝑅𝑅3− 1

𝑅𝑅4 − 1

𝑅𝑅5�= −𝑈𝑈₂ 𝑅𝑅5

−𝑉𝑉_A 1

330 + V^B � 1 330 +

1 1000 +

1

100�= 7 100

− 3, 03 × E⁻³ 𝑉𝑉_A+ 14, 03 × E⁻³ 𝑉𝑉_B= 70 × E⁻³

− 3, 03 𝑉𝑉𝐴𝐴+ 14,03 𝑉𝑉B= 70 Vstavimo iz prve enačbe 𝑉𝑉_B= − 9, 57 + 6, 63 𝑉𝑉_A

3, 03 , sledi

− 3,03 𝑉𝑉_A + 14,03

3,03 6, 63 𝑉𝑉_A = 70 +14,03 3,03 9,57 Vozliščna potenciala sta

𝑉𝑉A= 4.13 V, 𝑉𝑉B = 5.88 V Vejni tokovi so

𝐼𝐼_R1 = 𝑈𝑈₁−V_A

R₁ = 4,50 - 4.13

470 = 787,23 µA 𝐼𝐼R₂ = V_A

R2 = 4.13

680 = 6.07 mA 𝐼𝐼R₃ = V_A− 𝑉𝑉_B

R3 = 4,13−5,88

330 =−5,30 mA

𝐼𝐼_R4 = V_B

R₄ = − 5,88

1000 = 5,88 mA 𝐼𝐼_R5 = 𝑈𝑈₂ −V_B

R₅ =7−5.88

100 = 11,20 mA

40

11. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov ter vozliščnih potencialov:

11.1. Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču Določimo vse tokove po metodah vejnih tokov, zančnih tokov in vozliščnih potencialov.

Slika 11.1.1: Wheatstoneov mostiček, 6 neznanih vejnih tokov in 2 neznana potenciala

Podatki:

𝑈𝑈_G= 60 V

𝑅𝑅1 = 90 Ω ,𝑅𝑅2 = 110 Ω ,𝑅𝑅3 = 110 Ω ,𝑅𝑅4 = 90 Ω ,𝑅𝑅5 = 50 Ω a) Uporaba metode vejnih tokov:

Slika 11.1.2: Računanje vejnih tokov v Wheatstoneovem mostiču +

-

R1

R₂

R3

R₄ R₅

U_G

+ -

R₁

R₂

R3

R₄ R₅

U_G

IR1

I_R2

I_R3

I_R4 I_R5

I_G

+ +

+

+ +

- -

-

- -

41 Imamo 6 vej, 6 neznanih tokov, potrebujemo 6 enačb. Iz treh zaprtih zank dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov napetostni zakon), iz treh vozlišč dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov tokovni zakon).

−𝑈𝑈G+𝐼𝐼𝑅𝑅1 𝑅𝑅1+ 𝐼𝐼R2 𝑅𝑅2 = 0

−𝐼𝐼R1𝑅𝑅1+𝐼𝐼R3 𝑅𝑅3− 𝐼𝐼R5 𝑅𝑅5 = 0

−𝐼𝐼_R2𝑅𝑅₂+𝐼𝐼_R5 𝑅𝑅₅+ 𝐼𝐼_R4 𝑅𝑅₄ = 0 𝐼𝐼G =𝐼𝐼R1+𝐼𝐼R3

𝐼𝐼R1 = 𝐼𝐼R2+𝐼𝐼R5

𝐼𝐼_R4 = 𝐼𝐼_R5+𝐼𝐼_R3

Vstavimo vrednosti elementov vezja 90 𝐼𝐼R1+ 110 𝐼𝐼R2 = 60

− 90 𝐼𝐼R1+ 110 𝐼𝐼R3−50 𝐼𝐼R5 = 0

− 110 𝐼𝐼_R2+ 50 𝐼𝐼_R5+ 90 𝐼𝐼_R4 = 0

− 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R3+𝐼𝐼_G= 0 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R2− 𝐼𝐼_R5 = 0 𝐼𝐼_R3− 𝐼𝐼_R4+𝐼𝐼_R5 = 0

Pripravimo za reševanje sistema enačb

90 𝐼𝐼_R1+ 110 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 0 𝐼𝐼_R4+ 0 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G = 60

−90 𝐼𝐼R1+ 0 𝐼𝐼R2+ 110 𝐼𝐼R3+ 0 𝐼𝐼R4−50 𝐼𝐼R5+ 0 𝐼𝐼G= 0 0 𝐼𝐼_R1−110 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 90 𝐼𝐼_R4+ 50 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G = 0

− 𝐼𝐼R1+ 0 𝐼𝐼R2− 𝐼𝐼R3+ 0 𝐼𝐼R4+ 0 𝐼𝐼R5+ 𝐼𝐼G = 0 𝐼𝐼_R1− 𝐼𝐼_R2+ 0 𝐼𝐼_R3+ 0 𝐼𝐼_R4− 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G= 0 0 𝐼𝐼_R1+ 0 𝐼𝐼_R2+𝐼𝐼_R3− 𝐼𝐼_R4+ 𝐼𝐼_R5+ 0 𝐼𝐼_G= 0 Rešimo sistem enačb, izračunamo vejne tokove

𝐼𝐼R1 = 322,15 mA 𝐼𝐼_R2 = 281.88 mA 𝐼𝐼_R3 = 281.88 mA 𝐼𝐼R4 = 322.15 mA 𝐼𝐼R5 = 40.27 mA 𝐼𝐼_G = 604.03 mA