Kot smo že omenili je medel podoben pristopu modeliranja s celičnimi avtomati, s skrajšanimi časi računanja. Namesto prostorske predstavitve mikrostrukture je uporabljen pristop modela ansambla, ki mikrostrukturo predstavi kot ansambel zrn, ki nam kasneje omogoča izračun energije zrn v določenem volumnu in moč disipacije premikanja med premikanjem kristalnih mej zrn. To nam nadalje omogoča kasnejšo uporabo Lagrangeevega formalizma za izračun hitrosti rasti zrn. Na sliki 3-3 vidimo vse vplivne procese in njihove medsebojne odvisnosti, ki s spreminjanjem notarjih spremenljivk stanja vplivajo na razvoj mikrostrukture in tako predstavljajo nov pristop k modeliranju DRX. V nadaljevanju bodo ti procesi podrobneje predstavljeni [2].
Slika 3-3: Shematski prikaz medsebojno odvisnih parametrov v modelu za simulacij DRX [2].
3.4.1 Predstavitev mikrostrukture
Model temelji na teoriji povprečnega polja, kjer je dani volumen 𝑉𝐸 razdeljen na 𝑁 zrn. Vsako zrno ima določene 4 notranje spremenljivke stanja, tj. povprečna gostota dislokacij zrna 𝜌𝑖, velikost zrna 𝑟𝑖, in dve spremenljivko za določitev volumna in površine zrna. Prvi dve se zaradi vhodnih parametrov, tj. hitrost deformacije in temperature spreminjata in posledično določata razvoj mikrostruktur. Ta je odvisen od procesov nukleacije novih zrn 𝑁̇, rasti zrn 𝑟̇, dinamične poprave DR, statične poprave SR, in deformacijskega utrjevanja WH (slika 3-3). Drugi dve spremenljivk sta geometrijski spremenljivki 𝜅𝑖(𝑉) in 𝜅𝑖(𝑆), ki podajata volumen in površino i-tega zrna.
𝑉𝑖(𝑟𝑖) = 𝜅𝑖(𝑉)𝑟𝑖3 (3.22) in
𝑆𝑖(𝑟𝑖) = 𝜅𝑖(𝑆)𝑟𝑖2 (3.23) V primeru predpostavke, da so vsa zrna okrogla sta spremenljivki 𝜅𝑖(𝑉) =4
3𝜋 in 𝜅𝑖(𝑆)= 4𝜋. Poleg tega moramo upoštevati tudi porazdelitev zrn, od katere je odvisna celotna kinetika rekristalizacije in končna mikrostruktura ter posledično mehanske lastnosti. Tako določimo začetno število zrn ter vsakemu pripišemo 𝑟𝑖 s pomočjo generatorja naključnih števil in z upoštevanjem povprečne začetne velikosti in raztrosa, ki jih določimo, bodisi preko eksperimentalnih realnih mikrostruktur, bodisi preko numeričnih preizkusov. Zrna v realnih mikrostrukturah niso nikoli idealnih oblik, običajno so oblike
13
različnih poliedrov. Predpostavka, da so vsa zrna enake oblike nam samo pomaga skrajšati čas računanja [2].
3.4.2 Gostota dislokacij
Razvoj gostote dislokacij v posameznemu zrnu temelji na KM-modelu, ki, je predstavljan v prejšnjem poglavju. V vsakem deformacijskem koraku se gostota dislokacij v posameznem zrnu zveča ali zmanjša, za kar uporabimo enačbo (3.9).
Za izračun dejanske napetosti tečenja v simuliranem materialu uporabimo enačbo (3.24), kjer moramo upoštevati še začetno napetost tečenja 𝑘𝑓0 ter namesto posameznih gostot dislokacij izračunamo povprečno gostoto dislokacij, ki upošteva volumen vsakega zrna.
𝜎 = 𝑘𝑓0+ 𝛼𝐺𝑏√𝜌̅ , (3.24)
Ta model je omogoča opis obnašanja materiala med plastično deformacijo z eno samo spremenljivko stanja, to je povprečna gostoto dislokacij, kar pa velja samo takrat kadar nimamo med procesom prehitrih sprememb (skokov) hitrosti deformacije [2].
3.4.3 Energija sistema
Zaradi uporabe Lagrangeevega formalizma, pri katerem potrebujemo za izračun Lagrangeeve funkcije energije sistema, moramo vsakemu zrnu izračunati njegovo potencialno energijo. Zato upoštevamo energijo dislokacij in energijo kristalnih mej zrn, ki skupaj predstavljata prosto energijo zrna. Prvi člen desnega dela enačbe (3.26) predstavlja energijo dislokacij, drugi člen pa energijo velikokotnih mej, skupni izračun pa znaša polovični seštevek porvršin vseh zrn v volumnu 𝑉𝐸 [2].
𝑊𝑃𝑜𝑡 = ∑ 𝑉𝑖(𝑟𝑖)𝜏𝜌𝑖 +1
2𝑆𝑖(𝑟𝑖)𝛾
𝑁
𝑖=1
, (3.26)
Kjer je 𝜏 linijska energija dislokacij in 𝛾 površinska energija. Gibanje velikokotnih mej je disipacijski proces, kjer je sila trenja proporcionalna hitrosti gibanja mej, kot to velja npr. za viskozni blažilec. Za izračun disipacije uporabimo spodnjo enačbo (3.27), ki jo izračunamo s pomočjo mobilnosti. Le to izračunamo po enačbi (3.13), ki je podane v prejšnjem poglavju [2]
𝑊̇𝐷𝑖𝑠𝑠 =1
Zrna, ki rekristalizirajo imajo tik ob kristalni meji gostoto dislokacij skoraj enako nič. Proti notranjosti tega zrna se gostota dislokacij povečuje zaradi vedno daljše izpostavljenosti deformacijskemu utrjevanju. Rekristalizacija zmanjšuje gostoto dislokacij in posledično tudi prosto energijo celotnega
14
sistem. Zato je potrebno upoštevati dodatno vodilno silo za gibanje kristalnih mej zrn. Ker v modelu ansambla zrn predpostavimo samo eno vrsto gostote dislokacij v zrnu, gonilna sila za rekristalizacijo ni upoštevana pri izračunu energije sistema. Vseeno pa jo moramo upoštevati zaradi uporabe Lagrangeevega formalizma [2]. To storimo na način, ki je shematsko prikazan na sliki 3-4.
Slika 3-4: Shematski prikaz sferičnega zrna modela za določitev zmanjšanja volumna, zaradi razlik v gostoti dislokacij [2].
Predpostavimo da zrna, ki rastejo zavzamejo volumen 𝑑𝑉𝑖 zrna 𝑖 kot je prikazano na sliki 3-4. Od tod lahko za hitrost spremembe energije zapišemo:
𝑑𝐸𝑖
𝑑𝑡 = 𝜌𝑖𝜏𝑑𝑉𝑖
𝑑𝑡 = 3𝜌𝑖𝜏𝜅𝑉,𝑖2 𝑟𝑖2𝑟̇𝑖 , (3.28) zaradi česar nastane sila, ki kaže proti središču zrna 𝑖:
𝐹𝑅𝑋,𝑖 = 𝜕
𝜕𝑟̇𝑖(𝑑𝐸𝑖
𝑑𝑡) = 3𝜌𝑖𝜏𝜅𝑉,𝑖2 𝑟𝑖2 . (3.29)
3.4.5 Variacijski pristop
Za izpeljavo enačbe za izračun hitrosti rasti zrn 𝑟̇𝑖, moramo s pomočjo enačb za energijo sistema uporabiti Lagrangeevo enačbo prvega reda, ki je razširjena z silo rekristalizacije 𝐹𝑅𝑋,𝑖:
𝑑
Tu je uporabljena je Lagrangeeva funkcija, ki je enaka negativni potencialni energije, ker v sistemu ne nastopa kinetična energija. Torej
𝐿 = 𝑊𝐾𝑖𝑛− 𝑊𝑃𝑜𝑡 = −𝑊𝑃𝑜𝑡 . (3.31) Celotni volumen sistema 𝑉𝐸 je konstanten. Is tega sledi enačba holonomnske vezi
𝑓(𝑟) = 𝑉𝐸− ∑ 𝑉𝑖(𝑟𝑖) = 0
𝑁
𝑖=1
. (3.32)
15
Združimo enačbe (3.26), (3.27), (3.29) in (3.30), da dobimo enačbo za izračun hitrosti rasti posameznih zrn
𝑟̇𝑖 = 𝑀 (−6𝜅𝑖(𝑉)
𝜅𝑖(𝑆)(𝜏𝜌𝑖 + 𝜆 + 𝜏𝜌𝑖𝜅𝑖(𝑉)) −2
𝑟𝑖 𝛾) . (3.33)
Če nato odvajamo enačbo (3.32) po času in vanjo ustavimo (3.33) dobimo enačbo (3.34) za izračun Lagrangeevega multiplikatorja [2]
𝜆 = −
∑ 𝜅𝑉,𝑖𝑟𝑖2(6𝜅𝑉,𝑖
𝜅𝑆,𝑖(𝜏𝜌𝑖) +2
𝑟𝑖𝛾 + 6𝜏𝜌𝑖𝜅𝑉,𝑖2 𝜅𝑆,𝑖
𝑁𝑖
∑ 𝜅𝑁𝑖 𝑉,𝑖𝑟𝑖2(6𝜅𝑉,𝑖 𝜅𝑆,𝑖)
. (3.34)
3.4.6 Nukleacija
Za upoštevanje nukleacije v tem modelu uporabimo kriterij za nukleacijo, ki sta ga določila Roberts in Ahlblom (enačba 3.14). Nova zrna so dodana v volumen, ko določeno zrno doseže kritično gostoto dislokacij 𝜌𝐶, kjer 𝑙 predstavlja velikost podzrn
𝑙 = 𝐾𝐺𝑏
𝑘𝑓 . (3.36)
Zgornja enačba temelji na recipročni zvezi normalizirane velikosti podzrn 𝑙 𝑏⁄ in normalizirani napetosti 𝑘𝑓/𝐺 s koeficientom 𝐾, z vrednostjo 10 za kovine. 𝑘𝑓 v našem primeru predstavlja napetost stacionarnega stanja 𝜎𝑆𝑆, ki jo izračunamo iz Sellarsove enačbe (3.5).
Nova zrna so ustvarjena glede na temperaturno odvisno verjetnost, ki je odvisna od velikosti časovnega koraka
𝑝 = 𝑆𝑝𝑛′𝜀̇𝑘𝑁exp (−𝑄𝑁
𝑅𝑇) 𝛥𝑡 . (3.37)
𝑆𝑝 predstavlja površino kristalne meje zrna z nukleacijskimi mesti, 𝑛′ je koeficient odvisen od materiala, 𝑘𝑁 je enak 0,5 in 𝑄𝑁 predstavlja aktivacijsko energijo za nukleacijo [2].
16