UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finančna matematika – 1. stopnja Jan Založnik

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finančna matematika – 1. stopnja

Jan Založnik

Trinomska drevesa in metoda končnih diferenc za vrednotenje opcij

Delo diplomskega seminarja

Mentor: izr. prof. dr. Janez Bernik Somentor: asist. dr. Tadej Kanduč

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Uvod 5

2. Opcije 5

3. Binomska drevesa in binomski model 7

3.1. Alternativni binomski modeli 8

4. Black-Scholes in Black-Scholes-Merton model 9

4.1. Black-Scholes model 9

4.2. Black-Scholes-Merton model 10

4.3. Slabosti Black-Scholes-Mertonovega modela 11

5. Trinomski model 11

5.1. Določitev parametrov 12

5.2. Alternativni trinomski model 14

6. Metoda končnih diferenc 15

6.1. Implicitna metoda končnih diferenc 16

6.2. Eksplicitna metoda končnih diferenc 18

6.3. Sprememba spremenljivke 21

Slike 23

Tabele 23

Literatura 24

Trinomska drevesa in metoda končnih diferenc za vrednotenje opcij

Povzetek

Eden pomembnejših dogodkov v finančnem svetu je zagotovo, ko so leta 1973 Black, Scholes in Merton izdali revolucionarno formulo za vrednotenje opcij. Trgo- vanje z opcijami se je s tem zelo razširilo, saj je končno obstajala analitična formula za izračun premij opcij. Vendar so se zaradi potreb na trgu oblikovale zahtevnejše opcije, ki niso imele analitične rešitve.

Zato se je par let kasneje razvila numerična metoda z binomskimi drevesi za računanje opcij. Metodo so oblikovali tako, da se lahko cena finačnega instrumenta v vsakem časovnem koraku dvigne ali pade in da se z manjšanjem koraka rešitev približuje k analitični reštivi. Zaradi želje po hitrejši konvergenci binomskega modela je nastal trinomski model, ki ima v vsakem koraku tri odločitve, poleg dviga in padca še dodamo možnost, da se cena ne spremeni. Prav tako so se pojavile številne možnosti parametrizacije, ki bi naj odpravljale določene težave prvotnih modelov in seveda zagotovile hitrejšo konvergenco.

V podoben razred sodi tudi metoda končnih diferenc, kjer zmanjšamo domeno parcilane diferencialne enačbe Black-Scholes-Mertonovega modela na končno mno- žico točk in s pomočjo končnih diferenc izračunamo vrednost premije. Seveda se tudi tu z večanjem števila točk numerična rešitev približuje analitični rešitvi, vendar s povečano časovno zahtevnostjo.

Trinomial and finite difference option pricing

Abstract

One of the most important event in the financial world is definitely the invention of the revolutionary option pricing formula by Black, Scholes and Merton in 1973.

Trading with options has thus become very widespread, as there was finally an analytical formula for calculating option premiums. However, due to market needs, more sophisticated options were formed that did not have an analytical solution.

Therefore, a couple of years later, a numerical method with binomial trees for calculating options was developed. The method was designed in such a way that the price of a financial instrument could rise or fall at each time step and that by reducing the step size, the solution approached the analytical solution. Due to the desire for faster convergence of the binomial model, a trinomial model was created, which has three decisions in each step, in addition to the rise and fall, we also add the possibility that the price does not change. Numerous parameterizations for these methods have also emerged, which are supposed to eliminate certain problems of the original models and, of course, ensure faster convergence.

A similar class of method is also the finite difference method, where we reduce the domain of the partial differential equation of the Black-Scholes-Merton model to a finite set of points and calculate the value of the premium with the help of finite differences. Of course with the increase of the number of points, it approaches the analytical solution, but with the increased time complexity.

Math. Subj. Class. (2010): 91G20, 65N99

Ključne besede: opcije, Black-Scholesov model, Black-Scholes-Mertonov model, binomska drevesa, trinomska drevesa, metoda končnih diferenc, implicitna metoda končnih diferenc, eksplicitna metoda končnih diferenc

Keywords: options, Black-Scholes model, Black-Scholes-Merton model, binomial trees, trinomial trees, finite difference method, implicit finite difference method, explicit finite difference method

1. Uvod

Izvedeni finačni instrumenti igrajo v današnjem globaliziranem finančnem svetu pomembno vlogo. Opcije spadajo med najpomembnejše in najpopularnejše finančne instrumente. Koncept opcij so poznali že v antični Grčiji, ko so špekulirali o sezon- skemu pobiranju oliv, a se je množično trgovanje z opcijami začelo komaj v 17.

stoletju. Takrat še opcije niso bile standardizirane in so se seveda prodajale ne- regulirano na prostem trgu. Po finančni krizi leta 1929 so pridobile slab sloves in trgovanje z njimi je bilo celo prepovedano za nekaj časa.

Z opcijami se najpogosteje trguje z namenom, da se bi zmanjšalo finančno tvega- nje, saj je z nakupom nakupne opcije že vnaprej znana največja potencialna izguba.

Znano imamo torej največjo možno izgubo, a zaslužek nima zgornje meje, prav tako dobimo pravico, da se čez določeno časovno obdobje odločimo ali bomo opcijo izvr- šili ali ne. Tako dobimo določeno prednost, ki jo seveda moramo plačati, in takoj se pojavi vprašanje, kakšna je pravilna vrednost opcije, da na trgu ne bi bilo arbitražnih priložnosti.

Nato sta leta 1973 Fischer Black in Myron Scholes predstavila formulo za izračun premij opcij in s tem sprožila ogromno zanimanja za opcije. Istega leta je formulo dopolnil še Robert Merton, ki je dodal, da se lahko dodatno izplačujejo še dividende.

Leta 1997 sta zato dobila Myron Scholes in Robert Merton Nobelovo nagrado iz ekonomije. Fischer Black je žal prej že umrl.

V moji diplomski nalogi se bomo posvetili določitvi čim bolj natančne cene premij za različne opcije. Za določitev premije lahko uporabimo veliko različnih metod, ki pa se med sabo razlikujejo predvsem po hitrosti same konvergence rešitve in po številu težav, ki jih lahko ima metoda.

V drugem poglavju so navedeni osnovni pojmi, ki so ključni za nadaljne razume- vanje. Dodan je tudi preprost primer, s katerim si lahko nove pojme lažje pred- stavljamo. V tretjem poglavju je predstavljen osnovni binomski model in izpe- ljava osnovnih parametrov. V četrtem poglavju je prikazana delna izpeljava Black- Scholes-Mertonove formule in izpostavljene so tudi njene slabosti. V petem poglavju je opisan trinomski model, njegova izpeljava iz binomskega in še dodatne možnosti parametrizacije. V šestem poglavju je predstavljena implicitna in eksplicitna oblika metode končnih diferenc. Dodatno je predstavljen primer, kjer vidimo težavo, ki jo ima ta metoda, in pa izpeljava metode z novo spremenljivko.

2. Opcije

Opcija (angl.option) je pogodba med dvema stranema, in sicer med nosilcem op- cije (angl. option holder) in izdajateljem opcije (angl. option writer) oziroma med dolgo in kratko stranjo. Opcija se nanaša na nakup oziroma prodajo nekega osnov- nega premoženja (angl. underlying asset) po določeni izvršilni ceni (angl. strike price) v nekem časovnem obdobju. Klasično opcijo delimo na nakupno (angl. call option) in na prodajno opcijo (angl. put option). Nakupna opcija daje nosilcu op- cije pravico nakupa osnovnega premoženja v prihodnosti po vnaprej določeni ceni.

Medtem ko prodajna opcija daje nosilcu opcije pravico prodaje osnovnega premo- ženja v pihodnosti po določeni ceni. Če torej ravnamo racionalno, se bomo odločali o izvršitvi nakupne opcije po principu (S_T −K)⁺ = max{S_T −K,0} in v primeru prodajne opcije po (K−S_T)⁺ = max{K −S_T,0}, kjer je K izvršilna cena osnov- nega premoženja in S_T cena osnovnega premoženja v časuT. Prednost opcije pred ostalimi finančnimi instrumenti je, da ko kupec kupi opcijo, nima nič več obveznosti

ampak samo še pravico do odločitve o izvršitvi. Izdajatelj opcije mora upoštevati kupčevo odločitev.

Poznamo več vrst opcij, najosnovnejši sta evropska (angl. European option), ki daje njenemu imetniku pravico izvrišitve samo ob času zapadlosti (angl.at maturity) in ameriška opcija (angl. American option), ki daje nosilcu te opcije pravico izvršitve kadarkoli, med začetkom njene veljavnosti in do vključno njenega časa zapadlosti.

Vse ostale opcije imenujemo eksotične opcije (angl. exotic options). Z eksotičnimi opcijami se večinoma trguje na prostem trgu, saj jih finančne institucije pogosto oblikujejo tako, da specifično ustrezajo željam njihovih strank.

Opcija je torej pogodba, ki nam daje pravico, da se lahko kasneje odločimo ali jo bomo izvršili ali ne. Posledično imamo določeno prednost, ki jo moramo seveda plačati. Nosilec opcije mora ob nakupu opcije plačati njeno ceno oziroma premijo za opcijo (anlg. option premium).

Za lažje razumevanje prej omenjenih pojmov si poglejmo primer nakup evropske nakupne opcije.

Primer 2.1. Recimo, da imamo priložnost plačati 500e za evropsko nakupno op- cijo, ki se nanaša na nakup 100 delnic nekega podjetja za ceno 50e čez 3 mesece.

Če opcijo kupimo in je cena ene delnice po 3 mesecih enaka 60e, lahko izvršimo našo nakupno opcijo in plačamo 5.000e za nakup 100 delnic. Delnice lahko nato po želji takoj prodamo po ceni 60e in dobimo 6.000e, torej imamo 500ezaslužka.

V primeru da cena delnice pade na 40e ali že samo na 49,90e opcije ne bomo izvršili, saj jo lahko na trgu kupimo ceneje. Ne glede na to ali bomo opcijo izvršili ali ne, smo morali prej plačati premijo in imamo zato posledično 500e izgube.

Slika 1. Primer za opcijo

Slika 2. Profitabilnost

♦ Z opcijami torej že vnaprej vemo kakšna je potencialno največja izguba, ki jo lahko imamo. Na takšen način bi se lahko na primer zaščitila podjetja, ki kupujejo neko osnovno surovino, katerega cena je nestabilna in se bi lahko v prihodnosti zelo povečala. Ker bi zaradi potrebe podjetje čez nekaj mesecev v vsakem primeru kupilo surovino, se bi podjetju obrestovalo kupiti nakupno opcijo, saj bi se tako lahko zaščitilo pred hitrim dvigom cen neke osnovne surovine.

3. Binomska drevesa in binomski model

Binomska drevesa predstavljajo ceno delnice v obliki drevesa skozi T časovnih obdobij, kjer so mogoče različne poti cene delnice. Tukaj predpostavljamo, da cena delnice izbere naključno pot in ima v vsakem časovnem koraku možnost, da se cena zviša za določen faktor, kar označimo zu >1kot upper in zniža za določeno faktor kar označimo z d < 1 kot down. V skladu s tem označimo s p verjetnost, da se bo cena delnice dvignila, z 1−p pa verjetnost, da bo cena delnice padla. Dodatno So predstavlja začetno ceno delnice in r netvegano obrestno mero. Preden določimo vrednosti p, u ind, je pomembno, da razumemo tako imenovano tveganju nevtralno vrednotenje (angl. risk-neutral valuation). Ta pravi, da smo oziroma so investi- torji pri vrednotenju izvedenega finančnega instrumenta nevtralni glede na tveganje (angl. risk-neutral). To pomeni, da investitorji ne zahtevajo višjega pričakovanega donosa, če se poveča tveganost finančnega instrumenta, temveč pričakujejo isti do- nos. Seveda v realnosti temu ni tako, kjer sta tveganje in pričakovani donos močno odvisna. Toda izkaže se [4], da če privzamemo nevtralnost do tveganja, dobimo pra- vilno ceno opcij tudi v realnosti. Tako dobimo dve najpomembnejši predpostavki za določitev verjetnosti p:

• Pričakovana vrednost donosa delnice (ali katere koli druge naložbe) je netve- gana obrestna mera r.

• Diskontirana obrestna mera, ki jo uporabljamo za računanje vrednosti opcije (v posameznih korakih), je netvegana obrestna mera r.

Ena najosnovnejših in praktičnih metod za računanje premij opcij je binomski model (BM), saj lahko z njim dobimo vse cene premij, torej tudi premije bolj za- pletenih eksotičnih opcij. Pri tej metodi imamo N časovnih obdobij t= 1,2, . . . , N, razliko med časovnimi obdobij označimo z ∆t. Predpostavimo, da je obrestovanje zvezno in sedaj lahko določimo formulo zaptako, da bo pričakovana stopnja donosa netvegana obrestna mera r:

p= e^r∆t−d u−d .

Določimo še vrednosti u in d. Določimo ju tako, da ohranimo isto volatilnost σ. Volatilnost delnice (ali drugega finančnega instrumenta) je definirana tako, da je standardni odklon pričakovanega donosa na nekem kratkem intervalu ∆t enaka σ√

∆t. Posledično je varianca enaka σ²∆t in na časovnem intervalu ∆t imamo verjetnost p, da bo pričakovani donosu−1ter verjetnost 1−p, da bo pričakovani donos d−1. Podrobnejša izpeljavo si lahko pogledate v [4]. Tako dobimo naslednjo enačbo:

(1) σ²∆t=p(u−1)²+ (1−p)(d−1)²−(p(u−1) + (1−p)(d−1))².

Ko v enačbo (1) vstavimo prej dobljenipin jo razrešimo, dobimo parametrauind in opazimo, da veljad= _u¹. Te vrednosti ustrezajo CRR (Cox, Ross and Rubinstein) modelu, ki so ga objavili leta 1979:

u=e^σ

√

∆t, d=e^−σ

√

∆t.

Na sliki 3 vidimo vse možnosti za naključni sprehod finančnega instrumenta.

Vrednosti opcije računamo iz desne proti levi, tako da najprej določimo vredno- sti v desnih vozliščih. V primeru n = 3 in nakupne opcije uporabimo formulo max{S₃−K,0}, v primeru prodajne opcije pa max{K−S₃,0}. Torej S₃ tu simbo- lizira S₀u³, S₀u, S₀d inS₀d³. Ko smo določili vse vrednosti, se pomaknemo levo in izračunamo diskontirane pričakovane donosnosti nakupne opcije v vseh treh vozli- ščih:

E[S₂] =e^−r∆t(p∗max{S₀u³−K,0}+ (1−p)∗max{S₀u−K,0}).

Postopek ponavljamo dokler ne pridemo do čisto levega vozla. Vrednost, ki jo dobimo v levem vozlu, je izračunani približek iskane vrednosti opcije.

3.1. Alternativni binomski modeli. Trenutno obstaja že več kot 11 različnih poizkusov izboljšave orginalnega CRR binomskega modela [5]. V večini primerov gre za spreminjanje parametrovp,uind. Metode se med sabo razlikujejo predvsem v hitrosti konvergence in razpršenosti samih rezultatov.

Slika 3. Primer binomskega drevesa zan = 3

3.1.1. Jarrow-Ruddov binomski model. Model je znan kot model enake verjetnosti in temelji na ujemanju prvih dveh momentov. Podobno kot smo za binomski model enačili varianco, tukaj enačimo prva dva momenta, enačbo razrešimo in dobimo naslednje vrednosti parametrov:

p= 1 2,

u=e^{(r2−σ2)∆t+σ}

√

∆t,

d =e^{(r2−σ2)∆t−σ}

√∆t

.

V limiti tudi ta izbira parametrov konvergira k rešitvi BSM modela.

4. Black-Scholes in Black-Scholes-Merton model

4.1. Black-Scholes model. Postaviti pravilno ceno za vse vrste opcij, od najpre- prostejših tako imenovanih vanilla options options do bolj zapletenih tipov eksotič- nih opcij, je zelo pomemben del finančnega poslovanja. Cena mora biti postavljena zelo natančno, da ne bi prišlo do arbitražnih priložnosti. Eden izmed najbolj osnov- nih modelov za ocenjevanje finančnih insturmentov je Black-Scholesov-Mertonov model (BSM). Osnovni model sta predstavila Black in Scholes v začetku 70ih let 20. stoletja, ki opisuje obnašanje opcij, katerega osnovno premoženje je delnica, ki ne izplačuje dividend. Tako sta Fisher Black in Myron Scholes dosegla izjemni na- predek v ocenjevanju evropskih opcij. Od odkritja te metode leta 1973 se je število finančnih poslovanj z opcijami zelo povečalo in klasičnim evropskim opcijami so bile dodane različne bolj zapletene in natančne eksotične opcije, ki jih v realnosti tudi pogosto uporabljamo. Ampak kot se je izkazalo, so bile nekatere eksotične opcije

tako zapletene, da Black-Scholesov model za njihovo ocenitev ni bil mogoč. Za izra- čun teh so morali uporabiti druge numerične metode, največkrat uporabljene so na primer metoda končnih diferenc, numerična integracija [3], ki jo je prestavil in leta 1977 uporabil Michael Parkinson, in metoda Monte Carlo [13], ki jo je istega leta kot Parkinson predstavil Phelim P. Boyle.

V najbolj enostavni obliki Black-Scholesov model (BS) predpostavlja, da imamo na trgu izbiro med tveganimi in netveganimi vrednostnimi papirji. Netvegan vre- dnostni papir je na primer obveznica, ki ima vnaprej določeno obrestno mero, primer tveganega vrednostnega papirja pa je delnica. Za izpeljavo BS modela morajo veljati naslednje predpostavke:

• Cena osnovnega premoženja zasleduje proces geometričnega Brownovega gi- banja, ki ima konstantno pričakovano vrednost µin volatilnost σ.

• Dovoljeno je neomejeno posojanje in izposojanje delnic po konstantni netve- gani obrestni meri.

• Kupimo ali prodamo lahko neomejene količine delnic.

• Netvegana obrestna merar je konstantna in enaka za vse čase dospelosti.

• Na trgu ni arbitražnih priložnosti.

• Finančni trg je brez trenja, torej ni transakcijskih stroškov ali davkov itd.

• Delnica ne izplačuje dividend.

Za izpeljavo Black-Scholesovega modela lahko uporabimo binomski model na ča- sovnem intervalu od [0, T]. Interval nato razdelimo na N enako dolgih podinter- valov in predpostavimo, da je trgovanje možno le ob časih 0,_N^T,^2T_N, . . .^(N−1)T_N , T. Ta zapis lahko z uvedbo novega parametra še malo poenostavimo: ^t×T_N , kjer je t ∈ {0,1, . . . N}. Tudi tukaj imamo podobno kot pri binomskem modelu v vsakem vozlišču možna dva razvoja, dobrega(u)in slabega(d). Vrednost tveganega vredno- stnega papirja je potem S_N,t =S₀u^DN,td^1−DN,t, kjer D_N,t šteje število dobrih razvo- jev. Poleg tega imamo netvegan vrednosti papir, ki ga označimo zB_N,t= (1 +r_N)^t, kjer je r_N obrestna mera in obrestujemo t-krat. Če imamo zvezno obrestovanje, pa sledi (1 +r_N)^N =e^rT.

Če veljajo vse prej naštete predpostavke lahko v binomskem modelu s pomo- čjo Brownovega gibanja in Wienerjevega procesa v limiti, ko pošljemo N proti ne- skončno, dobimo vedno manjše podintervale in s tem Black-Scholesovo parcialno diferencialno enačbo:

(2) ∂f

∂t + ∂f

∂SrS+ 1 2

∂²f

∂S²σ²S² =rf.

V tej enačbi imamo naslednje oznake: f je cena opcije, t predstavlja čas, S je cena delnice, r je netvegana obrestna mera inσ je volatilnost.

4.2. Black-Scholes-Merton model. V tem modelu upoštevamo Mertonov pri- stop, pri katerem še dodatno dovoljujemo, da delnica izplačuje dividende, kar ozna- čimo s stopnjo donosa q (angl. yield to maturity), torej zanemarimo zadnjo iz prejšnjih predpostavk. Dobimo podobno Black-Scholes-Mertonovo (BSM) parcialno diferencialno enačbo:

(3) ∂f

∂t + ∂f

∂S(r−q)S+ 1 2

∂²f

∂S²σ²S² =rf.

Ob upoštevanju vseh začetnih pogojev lahko rešimo zgornjo parcialno diferenci- alno enačbo za pridobitev formule, ki nam pove ceno evropske nakupne opcije:

(4) C(S, t) =Se^−qTN(d1)−Ke^−rTN(d2),

kjer je K izvršilna cena opcije, T čas dospelosti, d₁ ter d₂ sta zapisana spodaj in N(x) komulativna porazdelitvena funkcija standardne normalne:

(5) N(x) = 1

√2π Z x

−∞

e^−12z2dz,

(6) d1 =

ln_K^S +

(r−q) + ^σ₂² T σ√

T , d2 =d1−σ√ T =

ln_K^S +

(r−q)−^σ₂² T σ√

T .

Iz paritete evropske nakupne in prodajne opcije lahko dobimo tudi formulo za izračun premije evropske prodajne opcije:

(7) P(S, t) =Ke^−rTN(−d₂)−Se^−qTN(−d₁).

4.3. Slabosti Black-Scholes-Mertonovega modela. Čeprav je BSM model zelo znan in razširjen v finančnem svetu, je sestavljen iz veliko neživljenjskih predpostavk o trgu in o finančnih isntrumentih. Pojavljajo se naslednje težave:

(1) Donosi ne sledijo v popolnosti normalni porazdelitvi. Velika občutljivost na t.i. repno tveganje (angl. tail-risk), tj. zelo malo verjetni dogodek, ki pa ima lahko hude posledice. Tail risks vsebujejo malo verjetne dogodke na obeh straneh normalne porazdelitve, ki jih imenujemo "tail events". Vendar so investitorji večinoma bolj zaskrbljeni za dogodke na levi strani porazdelitve, saj jih bolj skrbi za izgube kot za zaslužek.

(2) Neupoštevanje trenutnih tržnih razmer. BSM model privzema, da se na trgu nahajajo večinoma evropske nakupne opcije, vendar se večinoma trguje z ameriškimi nakupnimi opcijami, katere se lahko izvršijo kadarkoli.

(3) Predpostavljanje netvegane obrestne mere. V resnici je težko izračunati ne- tvegano obrestno mero, investitorji si pomagajo z vrednostnimi papirji kot so 10 letna ameriška obveznica. Če smo natančni tudi ta ni čisto netvegana, zagotovo pa sodi med najmanj tvegane.

(4) Model predpostavlja, da nimamo nič transakcijsih stroškov in davkov. V ve- čini primerov moramo plačevati provizije, da lahko kupimo oziroma prodamo finančni instrument. Poleg tega se obračunavajo davki na poslovanje s temi instrumenti in upoštevati bi morali tudi, da se davčna stopnja zmanjšuje, glede na dolžino držanja instrumenta.

(5) Predpostavili smo tudi, da je trgovanje neprestano, a se trgovanje na borzi čez noč prekine.

5. Trinomski model

Trinomski model lahko uporabimo kot alternativni pristop binomskega modela.

Uporabimo podoben premislek, z razliko da imamo sedaj tri možnosti, k temu da imamo možnost zvišanja in znižanja cene, dodamo možnost, da se cena vrednostnega papirja ne spremeni. Sedaj imamo verjetnosti p_u da se cena zviša, p_d da cena pade inp_m da vrednostni papir ohrani isto vrednost. Seveda velja p_u+p_m+p_d = 1inp_u, pm,pd∈[0,1]. Zopet sledi premislek, da če velikost posameznih korakov zmanjšamo

oziroma pošljemo velikost korakov proti 0, dobimo vrednost, ki konvergira k rešitvi, ki bi jo dobili z Black-Scholes-Mertonovo metodo.

Slika 4. Primer binomskega drevesa za splošni n =N

Vrednosti trinomskega modela računamo iz desne proti levi in jih hkrati diskon- tiramo na čas t −1. Uporabimo torej naslednjo formulo, da pridemo do rešitve trinomskega modela, ki leži v zadnjem vozlišču (čisto levo v S₀):

(8) f =e^−r∆t(pufu+pmfm+pdfd).

Primerjava vrednosti, ki jih dobimo, če večamo število korakov binomskega in tri- nomskega modela, kjer za pravilno vrednost uporabimo BS formulo, je prikazana na sliki 5. Primer je narejen za naključne podatke (S = 40, K = 40, T = 1, r = 0,08, σ = 0,8,N = 5inλ= 1,1). Seveda se graf glede na podatke zelo spreminja, ampak v večini primerov vidimo podobno sliko, torej da trinomski model hitreje konvergira k pravi vrednosti kot binomski model.

Za boljšo primerljivost si pogljemo še graf (slika 6), ki prikazuje absolutne razlike med metodama.

5.1. Določitev parametrov. Najpreprostejši trinomski model lahko izpeljemo iz binomskega modela, in sicer, gledamo na trinomski model, kot da je binomski, ki v vsakem času naredi dva koraka namesto enega.

Sklepamo, da je en korak v trinomskem modelu enak dolžine ∆t, če imamo v binomskem modelu korak dolžine∆t. S tem dobimo naslednje vrednosti parametrov:

utrinomski=u²_binomski=e^σ

√∆t 2 e^σ

√∆t 2 =e^σ

√2∆t

,

Slika 5. Primerjava binomskega in trinomskega modela

Slika 6. Primerjava absolutne vrednosti napake binomskega in tri- nomskega modela

d_trinomski=d²_binomski=e^−σ

√∆t 2 e^−σ

√∆t

2 =e^−σ

√ 2∆t,

m =u_binomski d_binomski = 1.

Podobno izračunamo tudi pripadajoče verjetnosti:

p_u =p² = e^r∆t2 −e^−σ

√∆t 2

e^σ

√∆t 2 −e^−σ

√∆t 2

!² ,

Slika 7. Izpeljava parametrov za trinomski model

pd = (1−p)² = e^−σ

√∆t

2 −e^r∆t2 e^σ

√∆t 2 −e^−σ

√∆t 2

!² ,

p_m = 1−p_u−p_m.

5.2. Alternativni trinomski model. Glede na to, da je trinomski model nekakšna izpeljava binomskega modela, posledično sledi, da lahko podobno kot v binomskemu modelu tudi v trinomskem uporabimo različne parametre in pridemo vseeno do prave rešitve.

5.2.1. Kamrad-Ritchkenovi parametri. Najprej uvedemo novo spremenljivko Z = ln(S). Potem s pomočjo končnih diferenc, ki jih bomo spoznali v naslednjem po- glavju, aproksimiramo vrednosti funkcije. Končne diference vstavimo v parcialno diferencialno enačbo (2) ter upoštevamo dodaten pogoj tendence µ=r− ¹₂σ² in jo razrešimo. Dobimo naslednje vrednosti parametrov in pripadajoče verjetnosti:

u=e^λσ

√

∆t m= 1 d=e^−λσ

√

∆t

pu = 1

2λ² + µ√

∆t

2λσ pm = 1− 1

λ² pd= 1

2λ² −µ√

∆t 2λσ ,

kjer jeλ≥1. V posebnem, če vstavimoλ= 1, dobimo binomski model. Ob pogledu na Kamrad-Ritchkenove verjetnosti lahko opazimo, da je verjetnost dviga (pu) večja kot verjetnost padca (p_d). S tem dobimo večjo uteženost vozlišč v zgornji polovici drevesa, kar pa ni najbolje saj s tem izgubimo simetrijo modela. To lahko popravimo z Jarrow-Ruddovimi parametri.

5.2.2. Jarrow-Ruddovi parametri za trinomski model. Tokrat uporabimo novo spre- menljivko Z = ln(Se^−µt) in zopet vstavimo končne diference v diferencialno enačbo (2). S tem dobimo:

Slika 8. Trinomsko drevo v primeru Jarrov-Ruddovih parametrov za n = 3

u=e^µ∆t+σ

√

2∆t, m=e^µ∆t, d =e^µ∆t−σ

√ 2∆t,

p_u = 1

4, p_m = 1

2, p_d = 1 4.

Da bi zagotovili simetrijo modela, bomo sedaj dovolili premik vozlišč navzgor, kar vidimo iz parametram =e^µ∆t, ki ni več1kot pri Kamrad-Ritchkenovih parametrih.

Tendenca je še zmeraj µ=r− ¹₂σ².

6. Metoda končnih diferenc

Zopet se sklicujemo na diferencialno enačbo (3), kjer bomo to enačbo ocenili s končnim številom točk. BSM model je enačba, ki deluje na celotni domeni. Če pa mi to domeno zmanjšamo na samo končno množico točk, bo rešitev enačbe veliko preprostejša.

Recimo, da ima opcija življensko dobo T. Celotni življenski čas razdelimo na N enako velikih intervalov, dolžina enega intervala je ∆t. Potem predpostavimo, da ima delnica S_max, ki ga lahko dosežemo. Celotni interval od 0 do S_max potem razdelimo na M enako velikih podintervalov, ki imajo dolžino∆S. Dobimo mrežo, ki imaM+ 1točk cene delnice inN+ 1točk v časovni komponenti. Z f_i,j označimo vrednost opcije v času i∆t in ceno delnice zj∆S.

Ključni del končnih diferenc je, da parcialne odvode modela BSM zamenjamo z našimi danimi diferencami. Vsaka notranja točka na mreži (N + 1)×(M + 1) ima vrednost parcialne enačbe, ki so aproksimirane z vrednostmi diferenc v sosednjih točkah. Imamo dve možnosti za uporabo končnih diferenc na tem modelu:

(1) Implicitna metoda uporablja takšno točkovno shemo, da je za vsak izračun vrednosti vozlišča f_i,j potrebno uporabiti iterativno metodo. Metoda je ra- čunsko bolj zahtevna od eksplicitne, vendar je tudi bolj numerično stabilna.

(2) Z eksplicitno metodo lahko vsakf_i,j izračunamo direktno iz poznavanja pre- ostalih členov f_i+1,j+1, f_i+1,j in fi+1,j−1, kjer so bile že prej izračunane vse vrednosti na desni strani mreže oziroma imamo podan zadnji stolpec vozlišč.

S pomočjo teh vrednosti potem rešimo parcialno diferencialno enačbo (3).

Slika 9. Mreža in možen razvoj

Slika 10. Zgled implicitne in eksplicitne metode

6.1. Implicitna metoda končnih diferenc. Metodo si bomo ogledali in predsta- vili na preprostem primeru ameriške prodajne opcije. Parcialno diferencialno enačbo (3) BSM bomo reševali le v notranjih točkah f_i,j := f(i∆t, j∆S). Za vsako točko na mreži lahko sedaj uporabimo naslednjo aproksimacijo v smeri S:

∂f_i,j

∂S ≈ f_i,j+1−f_i,j

∆S

oziroma:

∂f_i,j

∂S ≈ f_i,j−fi,j−1

∆S .

Zgornji aproksimaciji se imenujeta prema in obratna diferenca. Mi bomo še za boljše ujemanje vzeli njuno povprečje, kar imenujemo simetrična diferenca:

(9) ∂f_i,j

∂S ≈ f_i,j+1−fi,j−1

2∆S .

Za ∂fi,j/∂t bomo vzeli premo diferenco, tako da je vrednost v času i∆t odvisna od časa (i+ 1)∆t:

(10) ∂f_i,j

∂t ≈ f_i+1,j−f_i,j

∆t . Že od prej vemo, da je obratna diferenca v točki (i, j+ 1):

∂f_i,j+1

∂S ≈ f_i,j+1−f_i,j

∆S . Iz tega tako sledi še zveza za ∂²fi,j/∂²S:

∂²f_i,j

∂S² ≈

f_i,j+1−f_i,j

∆S − f_i,j−fi,j−1

∆S

1

∆S, oziroma:

(11) ∂²f_i,j

∂S² ≈ f_i,j+1−2f_i,j −fi,j−1

∆S² .

Naposled vse dobljene aproksimacije (9), (10) in (11) vstavimo v diferencialno enačbo BSM (3). Tako dobimo naslednjo zvezo:

fi+1,j−fi,j

∆t

+

+

= rf (i, j).

Enačbo lahko preoblikujemo:

(12) f_i+1,j =a_jfi,j−1+b_jf_i,j +c_jf_i,j+1, kjer so:

a_j = 1

2(r−q)j∆t− 1

2σ²j²∆t,

b_j = 1 +σ²j²∆t+r∆t,

c_j =−1

2(r−q)j∆t− 1

2σ²j²∆t,

za j = 1, . . . , M −1 in i= 1, . . . , N −1.

Sedaj določimo še začetne pogoje za prodajno opcijo. Ker vemo, da je vrednost prodajne opcije v času T enaka max(K−S_T,0), kjer je S_T vrednost delnice v času T. Pri evropskih opcijah je to kar čas dospetja. Tako dobimo naslednjo zvezo:

(13) f_N,j = max(K−j∆S,0), j = 1, . . . , M

S podobnim premislekom dobimo še robne pogoje, ko delnica zavzame vrednosti 0 in S_max:

(14) f_i,0 =K in f_i,M = 0, i= 1, . . . , N

Dobili smo robne pogoje prodajne opcije v točkah na mreži (9), ki ustrezajo vsaj eni izmed naslednjih enačb S =S0, S =Smax in t=T. Sedaj uporabimo enačbo (12), da dobimo še vse ostale vrednosti f_i,j. Pomembno je, da izberemo pravilni vrstni red računanja. Najprej se lotimo računanja za časT−∆t, kar v praksi izgleda tako, da v enačbo (12) vstavimo i=N −1:

(15) f_N,j =a_jf_N−1,j−1+b_jf_N−1,j+c_jf_N−1,j+1, j = 1, . . . , M −1

Leva stran enačbe je znana zaradi (13), prav tako pa zaradi (14) vemo, da je

fN−1,0 = K in fN−1,M = 0. Tako dobimo M −1 enačb z M − 1 neznankami:

fN−1,1, fN−1,2, . . . , fN−1,M−1. Ko neznanke izračunamo in če imamo ameriško pro- dajno opcijo, moramo po izračunu neznank vsako vrednost f_N−1,j primerjati s pri- padajočo vrednostjo K−j∆S. Torej, če je f_N−1,j <K−j∆S, potem je optimalno ravnanje, da opcijo izvršimo v času T −∆t in enačimo fN−1,j = K −j∆S. Nato postopek podobno ponovimo še za T − 2∆ in naslednje čase, dokler ne dobimo vrednosti f_0,1, f_0,2, . . . , f0,M−1. Dobljene vrednosti so približki za prodajno opcijo za različne izbire vrednosti delnice in potrebno je še samo, da razberemo pravilno iskano vrednost.

6.2. Eksplicitna metoda končnih diferenc. Zopet bomo parcialno diferencialno enačbo BSM (3) reševali le v točkah f_i,j :=f(i∆t, j∆S). Potrebno je še dodati, da gre tudi tukaj za zgled enega izmed bolj preprostih eksplicitnih shem. Podobno kot prej aproksimiramo parcialne odvode s končnimi diferencami in sicer z naslednjimi premimi diferencami:

∂f_i,j

∂t ≈ f_i+1,j−f_i,j

∆t

Nato še za S vzamemo simetrične diference, ki imajo boljši red aproksimacije in jih vzamemo tako, da f_i,j izračunamo iz podatkov ob času (i+ 1)∆t:

∂f_i,j

∂S ≈ ∂f_i+1,j

∂S ≈ f_i+1,j+1−f_i+1,j−1

2∆S ,

∂²f_i,j

∂S² ≈ ∂²f_i+1,j

∂S² ≈ f_i+1,j+1−2f_i+1,j−fi+1,j−1

∆S² .

Zopet v enačbo (3) vstavimo na novo dobljene aproksimacije in dobimo:

f_i+1,j−f_i,j

∆t + ^{(fi+1,j+1−fi+1,j−1}_2∆S ^{)(r−q)j∆S} + ¹₂^{(fi+1,j+1−2fi+1,j}_∆S^+f2^{i+1,j−1)σ2j∆S2} = rf(i, j).

Enačbo še potem poenostavimo in dobimo formulo za izračunf_i,j. Podobno kot pri trinomskih modelih računamo vrednosti od konca mreže proti začetku, saj vrednosti desnih vozlišč poznamo.

(16)

f

=

Tudi tukaj imamo določene predpostavke:

• Podane imamo zadnje vrednosti, torej vrednost opcije ob času zapadlosti.

• Če imamo delnico s ceno 0, ima tudi nakupna opcija ceno 0

• Za delnico z največjo vrednostjo Smax ima pripadajoča prodajna opcija ni- čelno vrednost, tako da drži pariteta evropske prodajne in nakupne opcije.

6.2.1. Povezava med eksplicitno metodo končnih diferenc in pristop s trinomskim modelom. Prejšnjo enačbo (16) formuliramo na naslednji način:

(17) f_i,j =a^∗_jfi+1,j−1+b^∗_jf_i+1,j+c^∗_jf_i+1,j+1. V teh enačbah, interpretiramo naslednje parametre:

(18) a^∗_j = 1

1 +r∆t

−1

2(r−q)j∆t+ 1

2σ²j²∆t

,

(19) b^∗_j = 1

1 +r∆t 1−σ²j²∆t ,

(20) c^∗_j = 1

1 +r∆t 1

2(r−q)j∆t+1

2σ²j²∆t

.

6.2.2. Povezava med trinomskim modelom in metodo končnih diferenc. Eksplicitna metoda končnih diferenc je ekvivalentna trinomski metodi, če imamo a^∗_j, b^∗_j in c^∗_j takšna kot so v (18), (19) in (20). Potem lahko naslednje izraze definiramo kot verjetnosti in imamo enakost med metodama:

• p^∗_u = ¹₂(r−q)j∆t+¹₂σ²j²∆tje verjetnost, da cena delnice naraste iz j∆S na (j+ 1)∆S v času ∆t,

• p^∗_m = 1− σ²j²∆t je verjetnost, da ostane cena delnice nespremenjena na vrednosti j∆S v času ∆t,

• p^∗_d=−¹₂(r−q)j∆t+¹₂σ²j²∆t je verjetnost, da se vrednost delnice zmanjša izj∆S na(j−1)∆S v času ∆t.

Slika 11 prikazuje možno gibanje delnice:

6.2.3. Težave eksplicitne metode končnih diferenc. Ker so p^∗_u, p^∗_m, p^∗_u verjetnosti, se morajo sešteti v 1 in vse verjetnosti morajo biti nenegativne, če želimo, da je metoda učinkovita, morajo biti torej verjetnosti pozitivne. Tukaj lahko pride do numeričnih težav, če je časovni korak prevelik. Verjetnosti se bodo seštele v 1, vendar bodo lahko nekatere vrednosti negativne, kar lahko posledično vodi do nepravilnih numeričnih približkov te metode. Zaradi negativnih verjetnosti, potem ni nujno, da bo metoda končnih diferenc izračunala vrednosti, ki bi skonvengirale k pravi vrednosti opcije, ki jo dobimo z BSM modelom.

Slika 11. Interpretacija eksplicitne metode končnih diferenc kot tri- nomskega drevesa

Primer 6.1. Ocenjevanje opcije z metodo končnih diferenc. Na trgu lahko kupimo evropsko nakupno opcijo, ki ima čas dospetja čez 1 leto. Kupimo jo lahko po izvršilni ceni 100e in tudi cena osnovnega premoženja, v tem primeru delnice, je 100e. Netvegana obrestna mera je 5 %, letna stopnja donosnosti je 2 % in volatilnost je 14 %.

Uporabili bomo eksplicitno metodo končnih diferenc (formula (17)) na mreži, in sicer bomo ceno razdelili na 100 podintervalov, kjer je največja dovoljena cena 200e. Časovni interval 1 leta razdelimo na različno ševilo podintervalov od 1 do 1024. Za vsako delitev izračunamo numerično rešitev in dane verjetnosti.

Slika 12. Primer ocenjevanja opcije z metodo končnih diferenc

Tabela 1 prikazuje, kako spreminjanje koraka ∆t vpliva na vrednosti p^∗_m in kdaj nastopijo težave, torej kdaj zavzame negativne vrednosti.

Tabela 1. Vrednosti j kopm postane negativen

∆t 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 j ≥9 ≥12 ≥16 ≥22 ≥30 ≥42 ≥59 ≥82 / / / Opazimo, da ko je∆tmanjši ali enak1/256, so vse verjetnosti pozitivne in metoda tedaj načeloma ne bi smela imeti težav.

Sedaj lahko z metodo končnih diferenc izračunamo vrednosti opcij pri posameznih intervalih in jih primerjamo s točno vrednostjo, ki smo jo izračunali po BSM formuli.

Tabela 2. Vrednosti opcije pri različnih korakih ∆t

∆t 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 Vrednost opcije 48,09 <0 <0 <0 <0 <0 89605182,64 6.9699 6.9490 6.9479 6.9473

Točna vrednost, ki smo jo dobili po BSM formuli je C = 6,9608. ♦ 6.3. Sprememba spremenljivke. Če cena osnovnega premoženja zasleduje proces geometričnega Brownovega gibanja, je računsko bolj učinkovito, če metodo končnih diferenc uporabimo naln(S)kot pa na S, ki je osnovna spremenljivka modela. Tako definiramo novo spremenljivko Z = ln(S)in diferencialno enačbo (3) prevedemo na:

∂f

∂t + ∂f

∂Z(r−q− σ² 2 ) + 1

2

∂²f

∂Z²σ² =rf.

S tem se spremeni tudi osnovna mreža, saj imamo sedaj namesto enako dolgih korakov v smeri S, enako dolge korake v smeri Z. Enačba, ki jo dobimo z metodo končnih diferenc za implicitno metodo se glasi:

f_i+1,j−f_i,j

∆t +(f_i,j+1−f_i,j−1)(r−q− ^σ₂²)

2∆Z +1

2

(f_i,j+1−2f_i,j +f_i,j−1)σ²

∆Z² =rf(i, j) oziroma:

fi+1,j =αjfi,j−1+βjfi,j+γjfi,j+1. Kjer so:

αj = ∆t

2∆Z(r−q− σ²

2 )− ∆t 2∆Z²σ²,

β_j = 1 + ∆t

∆Z²σ²+r∆t,

γ_j =− ∆t

2∆Z(r−q−σ²

2 )− ∆t 2∆Z²σ². Naposled pa še enačba, ki jo dobimo z eksplicitno metodo:

f_i+1,j−fi,j

∆t

+

σ2 2 )

2∆Z

+

= rf (i, j)

oziroma:

f_i,j =α^∗_jfi+1,j−1+β_j^∗f_i+1,j+γ_j^∗f_i+1,j+1. Kjer so:

α_j^∗ = 1 1 +r∆t

− ∆t

2∆Z(r−q− σ²

2 ) + ∆t 2∆Z²σ²

,

β_j^∗ = 1 1 +r∆t

1− ∆t

∆Z²σ²

,

γ_j^∗ = 1 1 +r∆t

∆t

2∆Z(r−q− σ²

2 ) + ∆t 2∆Z²σ²

.

S pristopom spremembe spremenljivke dosežemo da soα_j,β_j, γ_j, α^∗_j,β_j^∗ inγ_j^∗ neod- visne od j. Če vstavimo še namesto ∆Z = σ√

3∆t potem sta drevo in verjetnosti enake kot pri Kamrad-Ruddovi parametrizaciji, kjer je λ=√

3.

Slike

1 Primer za opcijo 6

2 Profitabilnost 7

3 Primer binomskega drevesa za n= 3 9

4 Primer binomskega drevesa za splošni n =N 12

5 Primerjava binomskega in trinomskega modela 13

6 Primerjava absolutne vrednosti napake binomskega in trinomskega modela 13

7 Izpeljava parametrov za trinomski model 14

8 Trinomsko drevo v primeru Jarrov-Ruddovih parametrov za n= 3 15

9 Mreža in možen razvoj 16

10 Zgled implicitne in eksplicitne metode 16

11 Interpretacija eksplicitne metode končnih diferenc kot trinomskega drevesa 20 12 Primer ocenjevanja opcije z metodo končnih diferenc 20

Tabele

1 Vrednosti j ko p_m postane negativen 21

2 Vrednosti opcije pri različnih korakih ∆t 21

Literatura

[1] A. Morris,Trinomial and Finite Difference Option Pricing, (2011).

[2] L. Švábová in M. Ďurica,The relationship between the finite difference method and trinomial trees, (2014).

[3] M.J. Brennan in E.S. Schwartz,Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis, Journal of Financial and Quantitative Analysis (1978) 461–474.

[4] J. Hull in A. White, The use of the control variate technique in option pricing, Journal of Financial and Quantitative analysis (1988)

[5] N. Hasani,Drevesne metode za vrednotenje opcij, magistrsko delo, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, 2021.

[6] R.A. Jarrow in A. T. Rudd,Option pricing, Irwin Series in Finance, (1983).

[7] R.A. Jarrow in S.M. Turnbull,Derivative securities, South-Western Pub, 2000

[8] B. Kamrad in P. Ritchken,Multinomial approximating models for options with k state varia- bles, Management science37, (12) (1991) 1640–1652.

[9] M. Rubinstein, On the relation between binomial and trinomial option pricing models, The Journal of Derivatives8,(2) (2000) 47–50.

[10] R.C. Merton, Theory of rational option pricing, The Bell Journal of economics and manage- ment science (1973) 141–183.

[11] F. Black in M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of political economy 81(3) (1973) 637–654.

[12] P.P. Boyle,Option valuation using a tree-jump process, International Options Journal3(1986) 7–12.

[13] P.P. Boyle, Options: A Monte Carlo approach, Journal of Financial Economics, Fakulteta za matematiko in fiziko,4(3) (1977) 323-338.