Matematiˇ cne metode
BF – Biotehnologija
Matjaˇ z ˇ Zeljko
Zapiski ob predavanjih v ˇsolskem letu 2010/2011
Izpis: 19. avgust 2011
Kazalo
1 ˇStevila 5
1.1 Naravna ˇstevila . . . 5
1.2 Cela ˇstevila . . . 6
1.3 Racionalna ˇstevila . . . 6
1.4 Realna ˇstevila . . . 7
1.5 Urejenost realnih ˇstevil . . . 8
1.6 Omejene mnoˇzice realnih ˇstevil . . . 11
1.7 Aksiomatska vpeljava realnih ˇstevil . . . 13
2 Mnoˇzice 15 2.1 Mnoˇzice . . . 15
2.2 Operacije z mnoˇzicami . . . 15
2.3 Preslikave med mnoˇzicami . . . 18
3 Zaporedja 21 3.1 Zaporedja . . . 21
3.2 Potence in koreni . . . 35
4 Vrste 37 4.1 Stevilske vrste . . . .ˇ 37 5 Funkcije 48 5.1 Sploˇsni pojem funkcije . . . 48
5.2 Limita funkcije . . . 53
5.3 Zveznost . . . 59
5.4 Lastnosti zveznih funkcij . . . 65
5.5 Pregled elementarnih funkcij . . . 69
5.6 Zveznost elementarnih funkcij . . . 81
6 Diferencialni raˇcun 82 6.1 Definicija odvoda . . . 82
6.2 Geometriˇcni pomen odvoda . . . 85
6.3 Pravila za odvajanje . . . 87
6.4 Odvodi elementarnih funkcij . . . 89
6.5 Diferencial funkcije . . . 95
6.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . 97
6.7 Konveksnost, konkavnost, prevoji . . . 104
6.8 Ekstremi funkcij . . . 106
6.9 Risanje grafov funkcij . . . 113
6.10 L’Hˆopitalovo pravilo . . . 117
6.11 Funkcijske vrste . . . 121
6.12 Potenˇcne vrste . . . 122
6.13 Taylorjeva vrsta . . . 123
7 Integralski raˇcun 130 7.1 Nedoloˇceni integral . . . 130
7.2 Pravila za integriranje . . . 131
8 Integralski raˇcun 137
8.1 Integral racionalne funkcije . . . 137
8.2 Integracija trigonometriˇcnih funkcij . . . 140
8.3 Integracija korenskih funkcij . . . 142
8.4 Doloˇceni integral . . . 142
8.5 Geometrijski pomen integrala . . . 144
8.6 Lastnosti doloˇcenega integrala . . . 145
8.7 Zveza med doloˇcenim in nedoloˇcenim integralom . . . 146
8.8 Raˇcunanje doloˇcenega integrala . . . 148
8.9 Posploˇseni integral . . . 152
8.10 Uporaba integrala . . . 158
9 Funkcije veˇc spremenljivk 167 9.1 Sploˇsni pojem funkcije . . . 167
9.2 Odprte mnoˇzice in okolice . . . 169
9.3 Zveznost . . . 171
9.4 Parcialni odvodi . . . 175
9.5 Veriˇzno pravilo . . . 182
9.6 Taylorjeva formula . . . 185
9.7 Lokalni ekstremi . . . 186
9.8 Metoda najmanjˇsih kvadratov . . . 190
9.9 Vezani ekstremi . . . 192
10 Matrike 196 11 Matrike 196 11.1 Operacije z matrikami . . . 196
11.2 Permutacije . . . 201
11.3 Determinante . . . 202
11.4 Raˇcunanje determinant . . . 204
11.5 Razvoj po vrstici ali stolpcu . . . 206
11.6 Cramerjevo pravilo . . . 208
11.7 Gaussova metoda . . . 211
11.8 Inverz matrike . . . 218
11.9 Vektorji v prostoru . . . 223
11.10Koordinatni sistem v prostoru . . . 227
11.11Premica in ravnina v prostoru . . . 237
11.12Razdalje med toˇckami, premicami in ravninami . . . 239
11.13Preseˇciˇsˇca premic in ravnin . . . 241
12 Optimizacija 243 12.1 Sistem linearnih neenaˇcb . . . 243
12.2 Linearno programiranje . . . 246
13 Kombinatorika 250 13.1 Preˇstevanja . . . 250
14.1 Osnovni pojmi in raˇcunanje z dogodki . . . 256
14.2 Osnovne lastnosti verjetnosti . . . 259
14.3 Algebra dogodkov . . . 260
14.4 Lastnosti verjetnosti . . . 260
14.5 Pogojna verjetnost . . . 262
14.6 Zaporedje neodvisnih dogodkov . . . 267
15 Verjetnost 270 15.1 Sluˇcajne spremenljivke . . . 270
15.2 ˇStevilske karakteristike sluˇcajnih spremenljivk . . . 275
16 Odlocanje 278 16.1 Odloˇcanje . . . 278
16.2 Odloˇcanje ob negotovosti . . . 279
16.3 Odloˇcanje s tveganjem . . . 281
17 Statistika 281 17.1 Statistika . . . 281
17.2 Enostavno sluˇcajno vzorˇcenje . . . 281
17.3 Predstavitev podatkov . . . 282
17.4 ˇCasovne vrste . . . 283
17.5 Vzorˇcne ocene . . . 284
18 Primeri vpraˇsanj za teoretiˇcni del izpita 289
1 Stevila ˇ
1.1 Naravna ˇstevila
Naravna ˇstevilaso ˇstevila, s katerimi ˇstejemo:
1, 2, 3, 4, . . .
Mnoˇziconaravnih ˇstevil{1,2,3, . . .}oznaˇcimo zN. Naravna ˇstevila lahko med seboj seˇstevamo in mnoˇzimo. Vrstni red pri seˇstevanju in mnoˇzenju ni pomemben, ˇclene (pri seˇstevanju) ali faktorje (pri mnoˇzenju) lahko poljubno zdruˇzujemo. Torej za vsaka tri naravna ˇstevila a,binc velja
a+b = b+a, ab = ba,
(a+b) +c = a+ (b+c), (ab)c = a(bc).
Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seˇstevanja oz. mnoˇzenja, drugi dve lastnosti pa imenujemo asociativnost seˇstevanja oz. mnoˇzenja.
Ce naravna ˇstevila seˇstevamo in mnoˇzimo, se moramo drˇzati dogovora o vrstnem redu ope-ˇ racij. Ker imamnoˇzenje prednost pred seˇstevanjem, je
a+b·c = a+ (b·c), a·b+c = (a·b) +c.
Ce ˇzelimo najprej izraˇcunatiˇ a+bin nato rezultat pomnoˇziti sc, zapiˇsemo (a+b)·c. V sploˇsnem velja pravilo o distributivnostimnoˇzenja:
(a+b)c = ac+bc, a(b+c) = ab+ac.
Naˇcelo matematiˇcne indukcije
Naravna ˇstevila soinduktivna mnoˇzica: ˇce jeS⊆Ntaka podmnoˇzica, da je 1∈S in velja sklep: ˇce n∈S, potem n+ 1∈S, jeS =N. Tej lastnosti pravimo tudi naˇcelo matematiˇcne indukcije.
Zgled 1.1. Za vsako naravno ˇstevilo n velja
1 + 2 +. . .+n= n(n+ 1)
2 . (1)
Reˇsitev. OznaˇcimoS ={n∈N; 1 + 2 +. . .+n= n(n+1)2 }. Mnoˇzica S je torej mnoˇzica tistih naravnih ˇstevil, za katera drˇzi enakost (1). (Induktivna hipoteza je, da formula (1) drˇzi za dano ˇstevilon.)
Najprej preverimo, da je 1∈S.
Privzemimo sedaj, da je n ∈S. Tedaj je 1 + 2 +. . .+n= n(n+1)2 . Torej je (1 + 2 +. . .+ n) + (n+ 1) = n(n+1)2 + (n+ 1) = (n+1)(n+2)2 , kar pomeni, da je tudi n+ 1 ∈ S. Po naˇcelu matematiˇcne indukcije jeS =N. Torej velja formula 1 + 2 +. . .+n= n(n+1)2 za vsako naravno ˇstevilon.
Matematiˇcno indukcijo lahko uporabimo tudi na mnoˇzici N∪ {0}.
6 ∈ ∪ { }
a+aq+. . .+aqn=aqn+1−1 q−1 . Reˇsitev. Zan= 0 seveda veljaa=aq0+1q−−11 =a.
V dokazu induktivnega koraka pa opazimo, da je
a+aq+. . .+aqn+aqn+1 = aqn+1−1
q−1 +aqn+1=
= aqn+1−1 + (q−1)qn+1
q−1 =
= aqn+2−1 q−1 . Peanovi aksiomi
Naravna ˇstevila lahko aksiomatiˇcno vpeljemo s pomoˇcjo Peanovih aksiomov:
• 1 je naravno ˇstevilo.
• Vsakemu naravnemu ˇstevilu n pripada natanˇcno doloˇceno naravno ˇstevilo n+, ki ga ime- nujemonaslednikˇstevilan.
• ˇStevilo 1 ni naslednik nobenega naravnega ˇstevila.
• [Naˇcelo indukcije] ˇCe je S ⊆N taka podmnoˇzica, da je 1∈ S in velja sklep: ˇce n∈S, potemn+∈S, jeS =N.
S Peanovimi aksiomi lahko v mnoˇzico naravnih ˇstevil vpeljemo tudi seˇstevanje in mnoˇzenje.
1.2 Cela ˇstevila
V mnoˇzici naravnih ˇstevil lahko seˇstevamo in mnoˇzimo, ne moremo pa odˇstevati. Da bi lahko naravna ˇstevila odˇstevali, vpeljemo ˇstevilo 0innegativnaˇstevila. ˇStevilo 0 je tako ˇstevilo, da zanj velja
a+ 0 =a
za vsako naravno ˇstevilo a. K naravnemu ˇstevilua pa pridruˇzimo tako nasprotnoˇstevilo−a, da zanj velja
a+ (−a) = 0.
Mnoˇzico celih ˇsteviloznaˇcimo z
Z=N∪ {0} ∪ {−n; n∈N}.
To je “najmanjˇsa” mnoˇzica ˇstevil, v kateri je za vsaki naravni ˇstevili a in b reˇsljiva enaˇcba a=b+x.
1.3 Racionalna ˇstevila
V mnoˇzici celih ˇstevil ne moremo deliti. ˇCe ˇzelimo ˇstevilo a razdeliti nab, b6= 0, enakih delov, bo vsak del velik ab. Racionalno ˇstevilo ab je torej tako ˇstevilo, za katero velja ab ·b=a.
Mnoˇzico racionalnih ˇstevil oznaˇcimo z Q = {ab; a, b ∈ Z, b 6= 0}. To je “najmanjˇsa”
mnoˇzica ˇstevil, v kateri je za vsaki celi ˇstevili ainb,b6= 0, reˇsljiva enaˇcbaa=bx.
Pri raˇcunanju s ˇstevilom 0 je potrebno biti previden. Jasno je a+ 0 = a,
a−0 = a, a·0 = 0.
Racionalno ˇstevilo a0, a 6= 0, pa ne obstaja (oz. deljenje z 0 ni dopustno), saj ne obstaja tako ˇstevilox, za katerega bi bilo x·0 =a.
1.4 Realna ˇstevila Stevilska premicaˇ
Racionalna ˇstevila si lahko ponazorimo s toˇckami na ˇstevilski premici. Stevilska premicaˇ je poljubna premica, na kateri smo si izbrali dve razliˇcni toˇcki, ki predstavljataO inE. Toˇcko O imenujemo koordinatno izhodiˇsˇce in upodablja ˇstevilo 0. Toˇcka E upodablja ˇstevilo 1.
O E
0bc 1bc
Z nanaˇsanjem daljice OE v eno ali v drugo stran od koordinatnega izhodiˇsˇca dobimo slike celih ˇstevil.
0 1 2 3 4
−1
−2
bc bc bc bc bc
bc
bc
Z enostavno geometrijsko konstrukcijo (razmerja) lahko upodobimo racionalna ˇstevila.
0bc 35b 1bc
Izkaˇze se, da na premici obstajajo ˇstevila, ki niso upodobitve racionalnih ˇstevil.
0 1 √
2
bc bc b
Pojem ˇstevila zato ˇse enkrat razˇsirimo in reˇcemo, da so realna ˇstevila vsa ˇstevila, ki jih lahko upodobimo na ˇstevilski premici. Mnoˇzico realnih ˇstevil oznaˇcimo z R.
Med mnoˇzicami naravnih, celih, racionalnih in realnih ˇstevil velja zveza N⊂Z⊂Q⊂R,
kjer so vse inkluzije prave.
Naj boX toˇcka na ˇstevilski premici. ˇStevilu X bomo priredilidecimalno ˇstevilo x.
Ker cela ˇstevila razdelijo ˇstevilsko premico na enotske intervale, obstaja celo ˇstevilo a0, da leˇzi toˇckaXmeda0ina0+1. ( ˇCeXne upodablja celega ˇstevila, je ˇsteviloa0doloˇceno enoliˇcno.) Interval med a0 in a0 + 1 razdelimo na deset enako dolgih delov. Potem obstaja ˇstevilo a1∈ {0,1, . . . ,9}, da leˇzi toˇcka X meda0+ 101 ina0+101 a1+101 .
Postopek ponavljamo. Toˇcki X na ˇstevilski premici smo tako priredili neskonˇcno zaporedje ˇstevk a0, a1, . . .. Pravimo, da je
x=a0.a1a2a3. . . decimalni zapis ˇstevila x.
a0 a0+ 1
a0+ a101 a0+ a110+1
a0+a101 +100a2 a0+a101 +a1002+1
bbb
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bbb
bx
bx
bx
• Decimalni zapis ni nujno enoliˇcen. ˇStevilo 54 lahko zapiˇsemo kot 1.25000. . . = 1.250 ali 1.249999. . .= 1.249.
• Cela ˇstevila in racionalna ˇstevila oblike 2ma5n imajo konˇcen decimalni zapis.
• Vsa druga racionalna ˇstevila imajo neskonˇcenperiodiˇcen decimalni zapis.
5
3 = 1.666. . .= 1.6, 1
7 = 0.142857142857. . . = 0.142857.
• Iracionalna ˇstevila imajo neskonˇcen neperiodiˇcen decimalni zapis.
π = 3.1415926535897932384626433832795. . .
√2 = 1.4142135623730950488016887242097. . .
1.5 Urejenost realnih ˇstevil
Realna ˇstevila lahko primerjamo po velikosti. Pravimo, da je ˇstevilo a na ˇstevilski premici pozitivno, ˇce leˇzi desno od toˇcke 0 (torej na istem poltraku kot toˇcka 1). Pravimo, da je ˇstevilo a na ˇstevilski premici negativno, ˇce leˇzi levo od toˇcke 0 (torej na drugem poltraku kot toˇcka 1).
0 1 negativna ˇstevila
pozitivna ˇstevila
bc bc
Pravimo, da je ˇstevilo amanjˇse od bin oznaˇcimo a < b, ˇce je ˇstevilo b−apozitivno (tj.b leˇzi desno oda). Pravimo, da je ˇsteviloaveˇcje od bin oznaˇcimo a > b, ˇce je ˇstevilob−anegativno (tj. bleˇzi levo oda).
Stevilo 0 ni ne pozitivno ne negativno.ˇ
Simbol < lahko tudi obrnemo. Pravimo, da je ˇstevilo a veˇcje od b, oznaka a > b, ˇce je b < a.
Ce jeˇ a < b alia=b, na kratko oznaˇcimo a≤b in pravimo, da je amanjˇse ali enako b.
Ce jeˇ a > b alia=b, na kratko oznaˇcimo a≥b in pravimo, da je aveˇcje ali enako b Pri raˇcunanju s pozitivnimi oz. negativnimi ˇstevili moramo biti nadvse pazljivi.
• iza < b sledia+c < b+c za vsakc∈R,
• iza < b inc >0 slediac < bc,
• iza < b inc <0 pa sledi ac > bc.
Zadnja lastnost enostavno pove, da se pri mnoˇzenju z negativnim ˇstevilom neenakost obrne.
Absolutna vrednost
Vsakemu realnemu ˇstevilu x lahko priredimo nenegativno realno ˇstevilo |x|s predpisom
|x|=
(x, ˇce jex≥0
−x, ˇce jex <0.
Steviloˇ |x|imenujemo absolutna vrednost ˇstevila x. Velja
|x·y| = |x| · |y|
x y
= |x|
|y|
|x+y| ≤ |x|+|y| trikotniˇska neenakost
Geometrijsko pomeni |x| razdaljo od toˇcke X, ki upodablja ˇstevilo x, do toˇcke O na ˇstevilski premici. ˇCe stax,y realni ˇstevili, je|y−x|razdalja med njunima slikama na ˇstevilski premici.
Intervali in okolice
Naj bostaa inb,a≤b, poljubni realni ˇstevili. Definirajmo:
[a, b] = {x∈R; a≤x≤b} zaprt interval odado b (a, b] = {x∈R; a < x≤b} polodprt interval od adob [a, b) = {x∈R; a≤x < b} polodprt interval od adob (a, b) = {x∈R; a < x < b} odprt interval odado b
a [a, b] b a (a, b] b a [a, b) b a (a, b) b
{ } ∅
Definiramo lahko tudi neskonˇcne intervale, ki so pri ∞vedno odprti, saj ∞sploh ni ˇstevilo:
(−∞, b] = {x∈R; x≤b} (−∞, b) = {x∈R; x < b} [a,∞) = {x∈R; a≤x} (a,∞) = {x∈R; a < x} (−∞,∞) = R
Za vsak a∈Rinε >0 imenujemo interval
(a−ε, a+ε) ={x∈R; a−ε < x < a+ε} ε-okolica toˇckea.
a a+ε
a−bc ε bc bc
Zgled 1.3. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevilax, za katera jex+2>|2x−1|. Rezultat zapiˇsi z intervalom.
Reˇsitev. Ker je|2x−1|= 0 za x= 12, loˇcimo dva primera.
Ce jeˇ x < 12, je |2x −1| = −2x + 1. Neenakost postane x+ 2 > −2x + 1, kar lahko preoblikujemo v 3x >−1 oz.x >−13. Torejx∈(−13,12).
Ce pa jeˇ x≥ 12, je|2x−1|= 2x−1. Neenakost postanex+2>2x−1, kar lahko preoblikujemo vx <3. Torej x∈[12,3).
Reˇsitev je x∈(−13,12)∪[12,3), kar lahko krajˇse zapiˇsemo kot x∈(−13,3).
O x 1
y
1 x+2
|2x−1|
bcbc bc bcbc
3
bcbc
−13 Zgled 1.4. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevila x, za katera je
|x−2| ≥ |3x−1| −2.
Reˇsitev. Ker je|x−2|= 0 za x= 2 in |3x−1|= 0 zax= 13, loˇcimo 3 primere.
Ce jeˇ x < 13, neenakost preoblikujemo v 2−x ≥ 1−3x−2, kar nam da x ≥ −32. Torej x∈[−32,13).
Ce jeˇ x >2, neenakost preoblikujemo vx−2≥3x−1−2, kar nam dax≤ 12. Torej v tem primeru ni reˇsitev.
Ce pa jeˇ 13 ≤x≤2, velja 2−x≥3x−1−2 in x≤ 54. Torej x∈[13,54].
Reˇsitev je x∈[−32,13)∪[13,54], kar lahko krajˇse zapiˇsemo kot x∈[−32,54].
O x 1
y
1
|x−2|
|3x−1|−
2
bcbc bc bcbc
5 4
bcbc
−32
Zgled 1.5. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevila x, za katera je
|x2−2|< x+ 2.
Reˇsitev. Ker je |x2−2| = 0 za x = ±√
2, loˇcimo 3 primere, ki pa jih lahko zdruˇzimo v 2:
|x| ≤√
2 in |x|>√ 2.
Ce jeˇ |x| ≤√
2, velja 2−x2 < x+ 2. Torejx2+x >0. Ker jex2+x= 0 zax= 0 inx=−1, mora biti x >0 alix <−1. Ob pogoju |x| ≤√
2 to pomenix∈[−√
2,−1)∪(0,√ 2].
Ce pa jeˇ |x|> √
2, velja x2−2 < x+ 2. Torej x2 −x−4 < 0. Ker je x2−x−4 = 0 za x1,2 = 1±√217, ob pogoju |x|>√
2 to pomeni x∈(1−√217,−√
2)∪(√
2,1+√217).
Reˇsitev je torej x∈(1−√217,−1)∪(0,1+√217).
O x 1
y
x+2
bcbcbc
bc bc
bc bc
bc bc
|x2−2|
bc
1+√ 17 2
bc−1
bc
1−√ 17 2
1.6 Omejene mnoˇzice realnih ˇstevil
Naj bo A neprazna mnoˇzica realnih ˇstevil. ˇCe obstaja ˇstevilo M, da je a≤M za vsak a∈A, pravimo, da je M zgornja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica A navzgor omejena, ˇce obstaja kakˇsna zgornja meja mnoˇzice A.
Ce obstaja ˇsteviloˇ m, da jem≤aza vsaka∈A, pravimo, da jemspodnja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica Anavzdol omejena, ˇce obstaja kakˇsna spodnja meja mnoˇzice A.
M mbc A abc bc
Steviloˇ M je natanˇcna zgornja meja mnoˇziceA, ˇce je zgornja meja mnoˇzice A in ˇce za vsak ε >0 obstajaa∈A, da jea > M−ε. (Natanˇcna zgornja meja je torej najmanjˇsa zgornja meja mnoˇzice A.)
M−ε a M
A bc bc bc
Natanˇcno zgornjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo s supA in poimenujemosupremum mnoˇziceA.
• Natanˇcna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med ainbje ˇstevilob.
Steviloˇ m je natanˇcna spodnja meja mnoˇzice A, ˇce je spodnja meja mnoˇzice Ain ˇce za vsak ε >0 obstaja a∈A, da jea < m+ε. (Natanˇcna spodnja meja je torej najveˇcja spodnja meja mnoˇzice A.)
mbc abc m+bc ε A
Natanˇcno spodnjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo z infA in poimenujemoinfimum mnoˇzice A.
• Natanˇcna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala medainbje ˇsteviloa.
Zgled 1.6. Doloˇci natanˇcno spodnjo in zgornjo mejo mnoˇzic A = {n2+ 1; n∈Z} B = {n1; n∈N},
C = {x∈R; 2< x2 ≤3}. inf(A) = 1, sup(A) =∞.
inf(B) = 0, sup(B) = 1.
inf(C) =−√
3, sup(C) =√ 3.
• Dedekindov aksiom Vsaka neprazna navzdol omejena podmnoˇzica realnih ˇstevil ima natanˇcno spodnjo mejo.
Dedekindov aksiom je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena pod- mnoˇzica realnih ˇstevil natanˇcno zgornjo mejo.
Ta aksiom razloˇci med realnimi in racionalnimi ˇstevili. Mnoˇzica A ={x; x2 >2 inx > 0} v mnoˇzici racionalnih ˇstevil namreˇc nima natanˇcne spodnje meje, v mnoˇzici realnih ˇstevil pa je natanˇcna spodnja meja (iracionalno) ˇstevilo √
2.
Zgled 1.7. Steviloˇ √
2 je iracionalno.
Reˇsitev. Dokaz s protislovjem.
Recimo, da je √
2 = pq, kjer je pq okrajˇsan ulomek. Potem je p2 = 2q2. Torej p = 2p1 in 2p21 =q2. Sledi q = 2q1 in pq = 2p2q1
1 v resnici ni okrajˇsan ulomek.
1.7 Aksiomatska vpeljava realnih ˇstevil
Realna ˇstevila lahko vpeljemo povsem aksiomatsko. Realna ˇstevila so mnoˇzica (oznaˇcimo jo z R), v kateri sta definirani raˇcunski operaciji: seˇstevanje in mnoˇzenje.
Za poljubni dve ˇstevili a∈Rinb∈Robstaja natanˇcno doloˇceno realno ˇstevilo a+b, ki ga imenujemo vsota ˇstevilain b.
Za poljubni dve ˇstevili a∈R inb∈Robstaja natanˇcno doloˇceno realno ˇstevilo a·b(krajˇse ab), ki ga imenujemoprodukt ˇstevilainb.
Za seˇstevanje in mnoˇzenje veljajo naslednji zakoni
I Komutativnost seˇstevanja: a+b=b+a za vsakaa, b∈R
II Asociativnost seˇstevanja: (a+b) +c=a+ (b+c) za vsake a, b, c∈R
III Obstoj nevtralnega elementa za seˇstevanje: Obstaja 0∈R, da jea+ 0 =aza vsak a∈R
IV Obstoj nasprotnega elementa za seˇstevanje: Za vsak a∈Robstaja ˇstevilo −a∈R, da jea+ (−a) = 0
V Komutativnost mnoˇzenja: a·b=b·aza vsaka a, b∈R
VI Asociativnost mnoˇzenja: (a·b)·c=a·(b·c) za vsake a, b, c∈R
VII Obstoj enote za mnoˇzenje: Obstaja 1∈R, da je 1·a=aza vsak a∈R
VIII Obstoj inverznega elementa za mnoˇzenje: Za vsak a∈R\ {0} obstaja a−1 ∈R, da je a·a−1= 1
IX Distributivnostni zakon: (a+b)·c=a·c+b·c za vsake a, b, c∈R X Razliˇcnost ˇstevil 0 in 1: Velja 16= 0
Mnoˇzici, opremljeni z operacijama seˇstevanja in mnoˇzenja, ki zadoˇsˇcata zahtevam I – X, pravimo obseg. Torej je mnoˇzica realnih ˇstevil obseg.
Za vsaki dve realni ˇstevili ainb obstaja natanˇcno doloˇceno realno ˇstevilox (namreˇc ˇstevilo b+ (−a)), da jea+x=b. ˇSteviloximenujemo razlika ˇstevil bin ain oznaˇcimo zb−a. Velja a+ (b−a) =b. Podobno za vsaki dve realni ˇstevili a, a 6= 0, in b obstaja natanˇcno doloˇceno realno ˇstevilo x, da je ax =b. ˇStevilo x imenujemo kvocient ˇstevil b in a in oznaˇcimo z ab. Veljaa·ba =b.
Urejenost realnih ˇstevil
Realna ˇstevila delimo na pozitivna, negativna in ˇstevilo 0.
XI ˇCe je a 6= 0, je od ˇstevil a in −a natanko eno pozitivno. ˇStevilo 0 ni ne pozitivno ne negativno.
XII ˇCe sta ˇstevili ainbpozitivni, sta tudi ˇstevili a+binabpozitivni.
MnoˇzicoRuredimo po velikosti z dogovorom: ˇce jea−bpozitivno ˇstevilo, pravimo, da jeˇstevilo a veˇcje od b in piˇsemo a > b. Podobno, ˇce je a−b negativno ˇstevilo, pravimo, da jeˇstevilo a manjˇse od b in piˇsemo a < b. ˇCe jea < b ali a= b, piˇsemo a≤ b. ˇCe jea > b ali a= b, piˇsemo a≥b.
• Tranzitivnost: ˇCe jea > b inb > c, je a > c.
• Zakon trihotomije: Za vsaki dve ˇsteviliainbvelja natanko ena od treh moˇznostia > b ali a < b alia=b.
• Ce jeˇ a > b, jea+c > b+c za vsakc∈R.
• Ce jeˇ a > b inc >0, je ac > bc. ˇCe je a > binc <0, je ac < bc.
• Med poljubnima dvema realnima ˇsteviloma leˇzi vsaj eno realno ˇstevilo.
Omejene mnoˇzice realnih ˇstevil
Naj boAneprazna mnoˇzica realnih ˇstevil. ˇCe obstaja ˇsteviloM, da jea≤M za vsaka∈A, pravimo, da je M zgornja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica A navzgor omejena, ˇce obstaja kakˇsna zgornja meja mnoˇzice A.
Ce obstaja ˇsteviloˇ m, da jem≤aza vsaka∈A, pravimo, da jemspodnja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica A navzdol omejena, ˇce obstaja kakˇsna spodnja meja mnoˇziceA.
Mnoˇzica A je omejena, ˇce je omejena navzgor in navzdol.
Steviloˇ M je natanˇcna zgornja meja mnoˇziceA, ˇce je zgornja meja mnoˇzice A in ˇce za vsak ε >0 obstajaa∈A, da jea > M−ε. (Natanˇcna zgornja meja je torej najmanjˇsa zgornja meja mnoˇzice A.)
M−ε a M
A bc bc bc
Natanˇcno zgornjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo s supA in poimenujemosupremum mnoˇziceA.
• Natanˇcna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med ainbje ˇstevilob.
Steviloˇ m je natanˇcna spodnja meja mnoˇzice A, ˇce je spodnja meja mnoˇzice Ain ˇce za vsak ε >0 obstaja a∈A, da jea < m+ε. (Natanˇcna spodnja meja je torej najveˇcja spodnja meja mnoˇzice A.)
mbc abc m+bc ε A
Natanˇcno spodnjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo z infA in poimenujemoinfimum mnoˇzice A.
• Natanˇcna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala medainbje ˇsteviloa.
XIII [Dedekindov aksiom] Vsaka neprazna navzdol omejena podmnoˇzica realnih ˇstevil ima na- tanˇcno spodnjo mejo.
Aksiom XIII je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnoˇzica realnih ˇstevil natanˇcno zgornjo mejo.
Ta aksiom razloˇci med realnimi in racionalnimi ˇstevili. Mnoˇzica A ={x; x2 >2 inx > 0} v mnoˇzici racionalnih ˇstevil namreˇc nima natanˇcne spodnje meje, v mnoˇzici realnih ˇstevil pa je natanˇcna spodnja meja (iracionalno) ˇstevilo √
2.
Zgled 1.8. Steviloˇ √
2 je iracionalno.
Dokaz. Dokaz s protislovjem.
Recimo, da je √
2 = pq, kjer je pq okrajˇsan ulomek. Potem je p2 = 2q2. Torej p = 2p1 in 2p21 =q2. Sledi q = 2q1 in pq = 2p2q1
1 v resnici ni okrajˇsan ulomek.
Izrek 1.9 (Arhimedova lastnost). Ce staˇ x, y∈Rin je y >0, obstaja tak n∈N, da jex < ny.
Dokaz. Recimo, da takega nni. Potem jex≥ny za vsaknin je zato xzgornja meja mnoˇzice A={ny; n∈N}. Oznaˇcimo z M njeno natanˇcno zgornjo mejo. Potem obstaja tak n∈N, da jeny > M −y. Sledi (n+ 1)y > M. Ker je (n+ 1)y∈A, je to v protislovju s predpostavko, da je M natanˇcna zgornja meja mnoˇzice A.
Izrek 1.10. Za vsako realno ˇstevilo ain vsak ε >0 obstaja racionalno ˇstevilo pq, da je|a−pq|<
ε.
Pravimo, da je mnoˇzica racionalnih ˇstevil gostav mnoˇzici realnih ˇstevil.
2 Mnoˇ zice
2.1 Mnoˇzice
Mnoˇzica Aje doloˇcena, ˇce obstaja pravilo, po katerem je mogoˇce za vsako reˇc odloˇciti ali je vA ali ne. ˇCeaspada v mnoˇzicoA, pravimo, da je aelementmnoˇziceA in oznaˇcimoa∈A. ˇCe a ni element mnoˇziceA, oznaˇcimo a /∈A.
Mnoˇzico lahko podamo tako, da zapiˇsemo njene elemente:
A={1,2,3} , B ={“modra”,“zelena”}.
Mnoˇzico lahko podamo tudi tako, da povemo lastnostL, ki jo imajo natanko vsi njeni elementi.
Torej A={a; L(a)}.
C={x; |2x−1|<1}, D={n; ndeli ˇstevilo 12}.
Moˇzno je, da noben element nima lastnostiL; tedaj jeAprazna mnoˇzica, kar zapiˇsemoA=∅. 2.2 Operacije z mnoˇzicami
A B MnoˇzicaAje podmnoˇzicamnoˇziceB, z oznakoA⊆B, ˇce vsak element mnoˇzice
A leˇzi tudi v mnoˇzici B. ˇCe je A ⊆ B in B ⊆ A, imata mnoˇzici A in B iste elemente in sta enaki. Oznaka: A=B.
A B
A∪B Unija mnoˇzic A in B je mnoˇzica A∪B, definirana z
A∪B ={x; x∈A ali x∈B}.
A B
A∩B Presek mnoˇzic A in B je mnoˇzicaA∩B, definirana z
A∩B={x; x∈A inx∈B}.
Za poljubne mnoˇzice A,B inC velja
• ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩
• Asociativnost ∪ in ∩ (A∪B)∪C =A∪(B∪C), (A∩B)∩C =A∩(B∩C)
• Idempotentnost ∪ in ∩ A∪A=A, A∩A=A
•
A B
Absorbcija
A∪(A∩B) =A, A∩(A∪B) =A
• Lastnost ∅ A∪ ∅=A, A∩ ∅=∅
Izrek 2.1 (Distributivnostna zakona). Za poljubne mnoˇzice A, B in C velja A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
B C
A
A∩(B∪C)
B C
A A∪(B∩C)
A\B
A B
Razlika mnoˇzic A in B je mnoˇzica A\B, definirana z A\B ={x; x∈Ainx /∈B}.
Mnoˇzici A\B pravimo tudikomplement mnoˇzice B glede na A.
Vˇcasih obravnavamo le podmnoˇzice neke fiksne, dovolj velike mnoˇziceU, ki jo v tem primeru imenujemo univerzalna mnoˇzica. Komplement mnoˇzice A (glede na univerzalno mnoˇzico U) je mnoˇzica Ac, definirana zAc =U \A.
• A∪U =U, A∩U =Alastnost univerzalne mnoˇzice U
• A∪Ac=U, A∩Ac =∅lastnost komplementa
• (Ac)c =A involutivnost komplementa
• Uc =∅, ∅c =U komplementarnost U in ∅
Izrek 2.2 (De Morganova zakona). Za poljubne mnoˇzice A,B in C velja (A∪B)c = Ac∩Bc
(A∩B)c = Ac∪Bc
A B (A∪B)c
A B
(A∩B)c
Zgled 2.3. IzraˇcunajA∪B,A∩B inA\B zaA={2n−1; n= 1,2, . . . ,7}inB={3n−2; n= 1,2, . . . ,7}.
Reˇsitev. Ker jeA={1,3,5,7,9,11,13} inB={1,4,7,10,13,16,19}, je A∪B = {1,3,4,5,7,9,10,11,13,16,19}, A∩B = {1,7,13} in
A\B = {3,5,9,11}.
Naj box∈Ain y∈B. Urejeni parelementov x iny je mnoˇzica {{x},{x, y}},
ki jo krajˇse oznaˇcimo z (x, y).
• Iz (x, y) = (x′, y′) sledi, da je x = x′ in y = y′. V urejenem paru je vrstni red zapisa pomemben.
• Za x6=y je (x, y)6= (y, x), vendar pa{x, y}={y, x} Karteziˇcni produkt mnoˇzic A inB je mnoˇzica urejenih parov
A×B={(x, y); x∈A, y ∈B}.
• A×B =∅ natanko tedaj, ko je vsaj ena izmed mnoˇzicA inB prazna.
• Za razliˇcni neprazni mnoˇziciA inB veljaA×B6=B×A.
• Ce jeˇ A=B, piˇsemo namestoA×A kar A2.
Potenˇcna mnoˇzica mnoˇzice A je mnoˇzica vseh podmniˇzic mnoˇzice A in jo oznaˇcimo sP(A).
Torej
P(A) ={X; X⊆A}.
• P(∅) ={∅}
• P(P(∅)) ={∅,{∅}}
• P({1,2,3}) ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
• Za konˇcno mnoˇzico A z n elementi velja, da ima potenˇcna mnoˇzica P(A) natanko 2n elementov.
2.3 Preslikave med mnoˇzicami Preslikave med mnoˇzicami
Naj bosta A in B mnoˇzici. Preslikava f:A → B je pravilo f, ki vsakemu elementu a mnoˇzice A priredi natanˇcno doloˇcen element f(a) mnoˇzice B. (Preslikavo pogosto imenujemo tudi funkcija, zlasti, ˇce jeA⊆R inB⊆R.)
f
a f(a)
A B
b b
Mnoˇzica Aje lahko tudi prazna, saj za vsako mnoˇzicoB obstaja “prazna” preslikava∅ →B.
Ce pa je mnoˇzicaˇ B prazna, obstaja preslikava A→ ∅, le ˇce je tudi mnoˇzica Aprazna.
Mnoˇzico A imenujemo definicijsko obmoˇcje ali domena, mnoˇzico f(A) = {f(a); a ∈ A} ⊆ B pa zaloga vrednosti ali kodomena preslikave f. Definicijsko obmoˇcje funkcije f oznaˇcimo tudi zDf, zalogo vrednosti pa zZf.
f
A=Df B
Zf
Zgled 2.4. Ali sta funkciji f1(x) = xx in f2(x) = 1 enaki? Ali sta funkciji g1(x) = √ x2 in g2(x) =x enaki?
Preslikava f:A → B je injektivna, ˇce za vsaka a1, a2 ∈ A, a1 6= a2, velja f(a1) 6= f(a2).
(Ekvivalentno: f je injektivna, ˇce za vsaka a1, a2∈A izf(a1) =f(a2) sledia1=a2.)
a1 f(a1)
a2 f(a2)
A B
f
b f b
b b
Preslikava f: A→B je surjektivna, ˇce je Zf =B. (Ekvivalentno: f je surjektivna, ˇce za vsakb∈B obstaja tak a∈A, da je f(a) =b.)
a b
A B
f
b b
Preslikava f je bijektivna, ˇce je injektivna in surjektivna.
Graf preslikave f:A→B je mnoˇzica
Γ(f) ={(a, f(a)); a∈A} ⊂A×B.
A B
Γ(f)
A×B a
f(a) bc
bc
bc
Funkcija f je injektivna, ˇce vsaka vodoravna premica v A×B seka graf Γ(f) najveˇc enkrat.
Funkcijaf je surjektivna, ˇce vsaka vodoravna premica v A×B seka graf Γ(f) vsaj enkrat.
Zgled 2.5. Nariˇsi graf funkcije f: [−1,2] → [−1,4], podane s predpisom f(x) = x2. Ali je funkcija injektivna oz. surjektivna?
Reˇsitev.
O x 4
−1
y
−1 2
bc
bc
bcbc bc
Funkcija ni ne injektivna ne surjektivna.
Zgled 2.6. • Funkcija f:R→R, definirana s predpisom f(x) =x3, je bijektivna.
• Funkcijaf:R→R, definirana s predpisom f(x) =x3−x, je surjektivna, a ni injektivna.
• Funkcija f:R→R, definirana s predpisom f(x) = 2x, je injektivna, a ni surjektivna.
Naj bostaf:A→B ing:B →Cpreslikavi. Kompozitum preslikav f ingje preslikava g◦f:A→C, definirana z (g◦f)(a) =g(f(a)).
f
a f(a)
A B
g
g(f(a)) C g◦f
b b b
Zgled 2.7. Naj bo f:A→B in g:B →C.
• Ce staˇ f, g injektivni, je g◦f injektivna.
• Ce staˇ f, g surjektivni, je g◦f surjektivna.
• Ce jeg◦f injektivna, je f injektivna.
• Ce jeˇ g◦f surjektivna, je g surjektivna.
Reˇsitev. Ceˇ a1 6=a2, potemf(a1)6=f(a2) in g(f(a1))6=g(f(a2)).
Za c∈C obstaja b∈B, dag(b) =c. Obstajaa∈A, da f(a) =b. Torej g(f(a)) =c.
Ceˇ a16=a2, potem g(f(a1))6=g(f(a2)) in zatof(a1)6=f(a2).
Za c∈C obstaja a∈A, da je g(f(a)) =c. Torej jeg(b) =c za b=f(a)∈B.
Preslikavo f:A → A, definirano z f(a) =a, imenujemo identiˇcna preslikava mnoˇzice A in oznaˇcimo idA.
Naj bo f:A → B preslikava. ˇCe obstaja taka preslikava g: B → A, da je g◦f = idA in f◦g=idB, pravimo, da je g inverz preslikavef in oznaˇcimof−1 =g.
f
a f(a)
A g B
b b
Trditev 2.8. Preslikava f:A→B je bijektivna natanko tedaj, ko ima inverz.
Zgled 2.9. Naj bo A={1,2,3,4} in f(n) = 2n−1 za n∈A. Doloˇci mnoˇzico B in preslikavo g:B →A, ki je inverz preslikave f.
Reˇsitev. Po vrsti izraˇcunamo f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5 in f(4) = 7. Torej je mnoˇzica B ={1,3,5,7} zaloga vrednosti preslikave f.
Ker iz f(n) = 2n−1 = m sledin = m+12 , je preslikava g:B → A, podana z g(m) = m+12 , inverz preslikavef.
f:n7→2n−1
g:m7→ m+12
1 2 3 4 1 3 5 7
b b b b b b b b
Naj bo f: A → B poljubna preslikava in ˜A ⊂ A podmnoˇzica. Zoˇzitev preslikave f na podmnoˇzico ˜A je preslikavaf|A˜: ˜A→B, definirana zf|A˜(a) =f(a).
Zgled 2.10. Funkcija f:R → R, podana s predpisom f(x) = x2 + 1, ni bijektivna. Za A = {x; x≥0} in B ={x; x≥1} je zoˇzitev f|A:A→B funkcijef bijektivna.
Reˇsitev. Funkcijafni injektivna, saj jef(x) =f(−x) za vsakx∈R. Funkcijaf ni surjektivna, saj je f(x)≥1 za vsak x∈R.
Injektivnost zoˇzitveCe jeˇ f|A(x1) =f|A(x2), je x21+ 1 = x22+ 1, od koder sledi x21 =x22 oz. (x1−x2)(x1+x2) = 0. ˇCe je x1+x2 = 0, je zaradix1 ≥0 in x2 ≥0 lahko le x1 =x2 = 0.
Ce jeˇ x1+x2 6= 0, mora bitix1−x2= 0 oz. x1 =x2.
Surjektivnost zoˇzitveVzemimo poljubeny≥1. Tedaj zax=√y−1 veljaf|A(x) =y.
O x 1 y
f
f:R→R
bcbc
O x 1 y
f|A
f|A:A→B
A B
bcbcb
b
3 Zaporedja
3.1 Zaporedja
Zaporedje realnih ˇstevilje preslikava a:N→R. Obiˇcajno namestoa(n) piˇsemo an. ˇStevilo animenujemon-tiˇclen zaporedja, ˇstevilonpaindeks ˇclenaan. Zaporedje s sploˇsnim ˇclenom an oznaˇcimo z (an).
Zaporedje je lahko podano
• eksplicitno: s pomoˇcjo funkcijskega predpisaan=f(n)
• implicitno oz. rekurzivno: zapiˇsemo prvih nekaj ˇclenov zaporedja in pravilo, kako izraˇcunamo naslednji ˇclen s pomoˇcjo prejˇsnjih.
Zaporedje lahko ponazorimo
• s slikomnoˇzice toˇck {an; n∈N} na realni osi ali
• z grafomΓ(a)⊂N×R funkcijea:N→R.
Zgledi
• Zaporedje s sploˇsnim ˇclenoman= 2−n je 2−1, 2−2, 2−3, . . .
• Zaporedje (an) = (−1,1,−1, . . .) ima sploˇsni ˇclen an= (−1)n= cos(nπ).
• Aritmetiˇcno zaporedje Podamo a1 in razliko d med poljubnima sosednjima ˇclenoma:
an+1−an=d. Sledian=a1+ (n−1)d. Ugodnejean=a0+nd.
• Geometriˇcno zaporedjePodamoa1in kvocientq med poljubnima sosednjima ˇclenoma:
an+1
an =q. Sledi an=a1qn−1. Ugodneje: an=a0qn.
• Fibonaccijevo zaporedje Podamo a1 = a2 = 1 in an+2 = an+1 +an. Velja an = (1,1,2,3,5,8,13, . . .)
Zaporedje je naraˇsˇcajoˇce, ˇce jean+1 ≥an za vsak indeksn.
N R
b b b b b b b b b b
| | | | | | | | | |
an−b 1 anb an+1b R
Zaporedje je padajoˇce, ˇce je an+1 ≤an za vsak indeks n.
Zaporedje je monotono, ˇce je naraˇsˇcajoˇce ali padajoˇce.
Zaporedje je navzgor omejeno, ˇce obstaja M ∈ R, da je an ≤ M za vsak n. ˇStevilo M imenujemo zgornja mejazaporedja.
N R
M
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
an−1 an+1 an M R
b
b b
b
Zaporedje je navzdol omejeno, ˇce obstaja m ∈ R, da je an ≥ m za vsak n. ˇStevilo m imenujemo spodnja mejazaporedja.
Zaporedje je omejeno, ˇce je navzgor in navzdol omejeno.
• Naraˇsˇcajoˇce zaporedje je navzdol omejeno, padajoˇce pa navzgor omejeno.
Zgled 3.1. Raziˇsˇci zaporedje s sploˇsnim ˇclenom an= 14n+ 1.
Reˇsitev.
N R
1
an= 14n+ 1
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
Zaporedje ima ˇclene a1 = 54, a2 = 64, a3 = 74, . . . . Ker je an+1 −an = 14 > 0, je zaporedje naraˇsˇcajoˇce. Torej je navzdol omejeno. Zaporedje ni navzgor omejeno.
Zgled 3.2. Raziˇsˇci zaporedje s sploˇsnim ˇclenom an= n1. Reˇsitev.
N R
1
an= n1
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
Zaporedje ima ˇclenea1 = 1,a2 = 12,a3 = 13, . . . . Ker je an+1−an=−n(n+1)1 <0, je zaporedje padajoˇce. Torej je navzgor omejeno. Ker je an >0 za vsak n ∈N, je zaporedje tudi navzdol omejeno. Torej je zaporedje omejeno.
Natanˇcna zgornja in spodnja meja
Steviloˇ M je natanˇcna zgornja meja zaporedja (an), z oznako M = supn∈Nan, ˇce je an≤M za vsakn in ˇce za vsakε >0 obstaja indeksk, da je ak> M−ε.
k N
R M M−εbc
bc b b b b b b b b b b
| | | | | | | | | |
ak R
an M −ε M
b
b
b
Steviloˇ M je natanˇcna spodnja meja zaporedja (an), z oznako M = infn∈Nan, ˇce je an≥M za vsakn in ˇce za vsakε >0 obstaja indeksk, da je ak< M+ε.
k N R
M M+εbc
bc b b b b b b b b b b
| | | | | | | | | |
ak M+ε an R M
b b b
Izrek 3.3. Vsako omejeno zaporedje ima natanˇcno zgornjo in spodnjo mejo.
Dokaz. Naj bo A ={an; n∈N} mnoˇzica vseh ˇclenov zaporedja (an). Ker je zaporedje (an) omejeno, je mnoˇzica A ⊂ R omejena in zaradi znanih lastnosti omejenih podmnoˇzic realnih ˇstevil obstajata natanˇcna zgornja in spodnja meja mnoˇzice A.
Trditev je tako dokazana, saj je ˇsteviloM natanˇcna zgornja meja mnoˇziceA, ˇce jeM zgornja meja mnoˇziceA in ˇce za vsakε >0 obstajaa∈A, da je a > M−ε.
Opozoriti velja, da infan ne pomeni najmanjˇsi ˇclenzaporedja. Tudi ˇce infan obstaja, ni nujno, da je infan=aN za neki N ∈N.
Podobno tudi supanne pomeni najveˇcji ˇclenzaporedja. Tudi ˇce supanobstaja, ni nujno, da je supan=aN za neki N ∈N.
Obratna trditev pa drˇzi. ˇCe najmanjˇsi ˇclen zaporedja obstaja (oznaˇcimo ga z minan), je seveda infan= minan.
Podobno je tudi supan = maxan, ˇce le najveˇcji ˇclen zaporedja obstaja (oznaˇcimo ga z maxan).
Zgled 3.4. Doloˇci natanˇcno zgornjo in spodnjo mejo zaporedja s sploˇsnim ˇclenoman= (n+1)(n−1)n. Reˇsitev.
N R
1
−1
an= (n+1)(n−1)n
b b b b b b b b b b
bcbc
| | | | | | | | | |
Zaporedje s ˇcleni |an|= n+1n = 1 +n1 je padajoˇce k 1. Torej je (pod)zaporedje s sodimi indeksi padajoˇce k 1, (pod)zaporedje z lihimi pa naraˇsˇcajoˇce k−1. Torej je supan = maxan=a2 = 32 in infan= minan=a1 =−2.
Stekaliˇsˇce zaporedja
Steviloˇ aje stekaliˇsˇce zaporedja (an), ˇce za vsak ε >0 in obstaja neskonˇcno indeksovm, da je|a−am|< ε. Drugaˇce povedano, ˇstevilo aje stekaliˇsˇce zaporedja (an), ˇce je v vsaki njegovi okolici neskonˇcno ˇclenov tega zaporedja.
N R
a+ε a a−εbc
bcbc b b b b b b b b b b
| | | | | | | | | |
a R am
a+ε a−ε
bc b
• Zaporedje s sploˇsnim ˇclenom an = 1n ima (edino) stekaliˇsˇce v toˇcki 0. ˇStevilo 0 ni ˇclen tega zaporedja.
N R
1
an= 1n
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
• Zaporedje s sploˇsnim ˇclenoman = (−1)n ima stekaliˇsˇci v toˇckah 1 in−1, ki sta tudi ˇclena zaporedja.
N R
1
−1
an= cos(nπ)
b b b b b b b b b b
bcbc
| | | | | | | | | |
• Zaporedje s sploˇsnim ˇclenoman= 14n+ 1 nima stekaliˇsˇc.
N R
1
an= 14n+ 1
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
• Zaporedje s sploˇsnim ˇclenoman= 1 +n+1n cos(nπ2 ) ima stekaliˇsˇca v toˇckah 0, 1 in 2. Toˇcka 1 je tudi ˇclen tega zaporedja.
N R
0 1 2
an= 1 + n+1n cos(nπ2 )
b b b b b b b b b b b b b b
bcbcbc | | | | | | | | | | | | | |
Za n= 4k±1 velja an= 1 + 4k4k±±1+11 ·0 = 1.
Za n= 4k veljaan= 1 +4k+14k ·1→2.
Za n= 4k+ 2 velja an= 1 + 4k+24k+3·(−1)→0.
Izrek 3.5. Vsako omejeno zaporedje ima stekaliˇsˇce.
Dokaz. Naj bom= infan inM = supan. Mnoˇzica
A={x∈R;an< xza najveˇc konˇcno n}
je neprazna, saj je m∈A. Je omejena, saj x < M za vsak x∈A. Torej ima natanˇcno zgornjo mejo a= supA.
konˇcno ˇclenov R neskonˇcno ˇclenov
−bc abc bc
Steviloˇ aje stekaliˇsˇce zaporedja. Za ε > 0 je a−ε∈A ina+ε /∈A. Levo od a−εje konˇcno mnogo ˇclenov zaporedja, levo od a+ε pa neskonˇcno. Torej jih je na intervalu (a−ε, a+ε) neskonˇcno.
Limita zaporedja
Steviloˇ a je limita zaporedja an, z oznako a= lim
n→∞an, ˇce za vsak ε >0 obstaja N ∈N, da je |an−a|< εza vsakn≥N.
N R
a+ε a a−ε
N
bcbcbc b b b b b b b b b b
| | | | | | | | | |
a R an
aN
a+ε a−ε
bc b
b
Drugaˇce povedano, a je limita zaporedja an, ˇce v vsaki njegovi okolici leˇzijo vsi ˇcleni od nekega ˇclena dalje.
Steviloˇ N, ki nastopa v definiciji limite zaporedja, je odvisno od ε. Pri manjˇsem εje ˇstevilo N =N(ε) veˇcje.
N1 N2
a+ε1 a+ε2
a a−ε2 a−ε1
N R
| | | | | | | | | | | |
b b b b b b b b b b b b
bcbcbcbcbc
Na gornji sliki imamo ε2 < ε1. Za pripadajoˇca N1 =N(ε1) in N2 =N(ε2) velja N2 > N1.
• Vsaka limita je tudi stekaliˇsˇce, obrat pa ne drˇzi, saj ima lahko zaporedje veˇc stekaliˇsˇc.
Zaporedje je konvergentno, ˇce obstaja limita tega zaporedja. Zaporedje jedivergentno, ˇce ni konvergentno.
Zgled 3.6. Dokaˇzi, da za zaporedje an= 1n velja lim
n→∞an= 0. Od katerega ˇclena dalje leˇzijo vsi ˇcleni v ε-okolici limitne toˇcke za ε= 1001 ?
Za dani ε >0 oznaˇcimo N = [1ε] + 1. Torej je N1 < ε in je zatoan ≤aN = N1 < ε za vsak n ≥ N. Posebej, pri ε = 1001 leˇzijo v ε-okolici limitne toˇcke vsi ˇcleni od vkljuˇcno ˇclena a101
dalje.
Zgled 3.7. Izraˇcunaj limito zaporedja s sploˇsnim ˇclenom an= n+1n+3. Reˇsitev. Ker je n+1n+3 = 1−n+32 , domnevamo, da bo lim
n→∞
n+1 n+3 = 1.
N R
1
an= n+1n+3
b b b b b b b b b b
bc
| | | | | | | | | |
Naj boε >0. Da bi vsi ˇcleni odN-tega dalje leˇzali vε-okolici toˇcke 1, mora veljati|an−1|< ε za n ≥N. Torej mora biti |n+32 |< εoz. n > 2ε −1. ˇCe torej izberemo poljubno tako naravno ˇsteviloN, da je N > 2ε−1, bo za vsakn≥N veljalo |an−1|< ε.
Zgled 3.8. Doloˇci limito ter najveˇcji in najmanjˇsi ˇclen zaporedja s sploˇsnim ˇclenoman= 3−2n2n. Reˇsitev. Ker je 3−2n2n =−1 + 3−32n, je lim
n→∞
2n
3−2n =−1.
N R
1
−1 2
−4
an= 3−2n2n
b b b b b b b b b b
bcbcbcbc
| | | | | | | | | |
Ker je za n≥2 vrednost izraza 3−32n negativna in s naraˇsˇcajoˇcim npribliˇzuje 0, bosta najveˇcji in najmanjˇsi ˇclen kara1= 2 in a2 =−4.
Izrek 3.9. Naj bo a∈R. Tedaj za|a|<1 zaporedje s sploˇsnim ˇclenom an=an konvergira k 0, za a= 1 zaporedje (an) konvergira k 1, v vseh ostalih primerih pa je zaporedje (an)divergentno.
Dokaz. Ce jeˇ a= 0, je lim
n→∞an= 0.
Ce je 0ˇ < a < 1, je zaporedje an padajoˇce in navzdol omejeno. Torej je konvergentno in oznaˇcimo njegovo limito zα. Ker se zaporedjean+1razlikuje od zaporedja an le v prvem ˇclenu, je tudi ima enako limito kot an. Sledi
α= lim
n→∞an+1 = lim
n→∞a·an= lim
n→∞a· lim
n→∞an=aα, od koder zaradia6= 0 sledi α= 0.
Ce jeˇ a= 1, je lim
n→∞an= 1.
Ce jeˇ a >1 inˇce je zaporedje an omejeno, je konvergentno. Oznaˇcimo njegovo limito z β.
Torej jeβ ≥a >1. Sedaj podobno kot v primeru 0< a <1 dokaˇzemo, da jeβ =aβ. Ker pa je β >1 in a >1, ta enaˇcba ni smiselna. Torej an ni omejeno.
Ce jeˇ −1< a <0, velja lim
n→∞|a|n= 0, od koder izpeljemo, da je tudi lim
n→∞an= 0.
Za a≤ −1 pa ima zaporedje neskonˇcno ˇclenov na intervalu (−∞,−1] in neskonˇcno ˇclenov na intervalu [1,∞), zato ni konvergentno.
velja
(1 +x)n>1 +nx.
Dokaz. Trditev bomo dokazali z indukcijo. Zan= 2 ni kaj dokazovati. V dokazu indukcijskega koraka pa privzemimo, da je (1 +x)n>1 +nx. Tedaj velja
(1 +x)n+1 = (1 +x)n(1 +x)>(1 +nx)(1 +x) =
= 1 + (n+ 1)x+nx2 >1 + (n+ 1)x, saj je nx2 >0.
Izrek 3.11. Naj bo apozitivno realno ˇstevilo. Potem je lim
n→∞
√n
a= 1.
Dokaz. Zaa= 1 ni kaj dokazovati. ˇCe jea >1, lahko pri fiksnemn >1 zapiˇsemoa= 1 +nx, kjer je x= a−n1 >0. Tedaj po Bernoullijevi neenakosti velja
1 +a−1 n
n
>1 +na−1 n =a, od koder sledi 1 + a−n1 > √n
a > 1. Ker je lim
n→∞(1 + a−n1) = 1, iz gornje ocene sledi, da je tudi
nlim→∞
√n
a= 1. ˇCe pa je 0< a <1, piˇsemo b= 1a in po ˇze dokazanem velja lim
n→∞
√n
b= 1. Torej je tudi
nlim→∞
√n
a= lim
n→∞
1
√n
b = 1
nlim→∞
√n
b = 1.
Lastnosti konvergentnih zaporedij
Izrek 3.12. Vsako konvergentno zaporedje je omejeno.
Dokaz. Naj bo a= lim
n→∞an. Torej leˇzi izven intervala (a−1, a+ 1) le konˇcno mnogo ˇclenov zaporedja an. Mnoˇzica
A={a−1, a+ 1} ∪ {an; an∈/ (a−1, a+ 1)}
je konˇcna in ima natanˇcno spodnjo in zgornjo mejo: minM. Sledim≤an≤M za vsakn.
Zaporedje, ki ni omejeno, ne more biti konvergentno. Prav tako ne more biti konvergentno zaporedje, ki ima veˇc kot eno stekaliˇsˇce.
Izrek 3.13. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima natanko eno ste- kaliˇsˇce.
s1 R s1−ε s1+ε
s2 s2−ε s2+ε
b bbc bc
Dokaz. Recimo, da je zaporedje konvergentno in oznaˇcimo njegovo limito zs1. Po ˇze dokazanem je omejeno. V skladu z definicijo je limita zaporedja tudi njegovo stekaliˇsˇce. Recimo, da ima zaporedje ˇse eno stekaliˇsˇce, ki ga oznaˇcimo zs2. Oznaˇcimoε= 12|s2−s1|. Potem znotrajε-okolic za s1 ins2 leˇzi neskonˇcno ˇclenov tega zaporedja, kar pomeni, da nobena izmed toˇck s1 ins2 ni limita tega zaporedja.
