Matematika BF – Lesarstvo

Matematika

BF – Lesarstvo

Matjaˇ z ˇ Zeljko

Zapiski ob predavanjih v ˇsolskem letu 2009/2010

Izpis: 19. januar 2010

Kazalo

1 ˇStevila 5

1.1 Naravna ˇstevila . . . 5

1.2 Cela ˇstevila . . . 6

1.3 Racionalna ˇstevila . . . 6

1.4 Realna ˇstevila . . . 7

1.5 Urejenost realnih ˇstevil . . . 8

1.6 Omejene mnoˇzice realnih ˇstevil . . . 11

2 Mnoˇzice 13 2.1 Mnoˇzice . . . 13

2.2 Operacije z mnoˇzicami . . . 13

2.3 Preslikave med mnoˇzicami . . . 15

3 Matrike 18 3.1 Operacije z matrikami . . . 18

3.2 Permutacije . . . 23

3.3 Determinante . . . 24

3.4 Raˇcunanje determinant . . . 26

3.5 Razvoj po vrstici ali stolpcu . . . 28

3.6 Cramerjevo pravilo . . . 30

3.7 Gaussova metoda . . . 33

3.8 Inverz matrike . . . 40

4 Vektorji 45 4.1 Vektorji v prostoru . . . 45

4.2 Koordinatni sistem v prostoru . . . 49

4.3 Premica in ravnina v prostoru . . . 59

4.4 Razdalje med toˇckami, premicami in ravninami . . . 61

4.5 Preseˇciˇsˇca premic in ravnin . . . 63

5 Zaporedja 65 5.1 Zaporedja . . . 65

6 Funkcije 80 6.1 Sploˇsni pojem funkcije . . . 80

6.2 Limita funkcije . . . 85

6.3 Zveznost . . . 90

6.4 Lastnosti zveznih funkcij . . . 95

6.5 Pregled elementarnih funkcij . . . 98

6.6 Zveznost elementarnih funkcij . . . 109

7 Diferencialni raˇcun 110 7.1 Definicija odvoda . . . 110

7.2 Geometriˇcni pomen odvoda . . . 114

7.3 Pravila za odvajanje . . . 114

7.4 Odvodi elementarnih funkcij . . . 116

7.5 Diferencial funkcije . . . 122

7.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . 124

7.7 Konveksnost, konkavnost, prevoji . . . 130

7.8 Ekstremi funkcij . . . 132

7.9 Risanje grafov funkcij . . . 139

7.10 L’Hˆopitalovo pravilo . . . 144

8 Integralski raˇcun 147 8.1 Nedoloˇceni integral . . . 147

8.2 Pravila za integriranje . . . 148

8.3 Integral racionalne funkcije . . . 153

8.4 Integracija trigonometriˇcnih funkcij . . . 157

8.5 Integracija korenskih funkcij . . . 158

8.6 Doloˇceni integral . . . 159

8.7 Geometrijski pomen integrala . . . 160

8.8 Lastnosti doloˇcenega integrala . . . 161

8.9 Zveza med doloˇcenim in nedoloˇcenim integralom . . . 162

8.10 Raˇcunanje doloˇcenega integrala . . . 164

8.11 Uporaba integrala . . . 168

9 Vrste 177 9.1 Stevilske vrste . . . 177ˇ 9.2 Funkcijske vrste . . . 188

9.3 Potenˇcne vrste . . . 189

9.4 Taylorjeva vrsta . . . 190

10 Funkcije veˇc spremenljivk 198 10.1 Sploˇsni pojem funkcije . . . 198

10.2 Odprte mnoˇzice in okolice . . . 200

10.3 Zveznost . . . 202

10.4 Parcialni odvodi . . . 204

10.5 Veriˇzno pravilo . . . 211

10.6 Taylorjeva formula . . . 213

10.7 Lokalni ekstremi . . . 214

10.8 Metoda najmanjˇsih kvadratov . . . 219

10.9 Vezani ekstremi . . . 221

10.10Vektorske funkcije . . . 225

11 Diferencialne enaˇcbe 227 11.1 Sploˇsen pojem diferencialne enaˇcbe . . . 227

11.2 Diferencialne enaˇcbe prvega reda . . . 229

11.2.1 Enaˇcba z loˇcljivima spremenljivkama . . . 229

11.3 Radioaktivni razpad . . . 231

11.4 Naravna rast . . . 232

11.5 Problem meˇsanja raztopin . . . 233

11.6 Bartalanffyev model rasti . . . 234

11.7 Linearna diferencialna enaˇcba I. reda . . . 235

11.8 Diferencialne enaˇcbe viˇsjih redov . . . 236

11.9 Homogene linearne diferencialne enaˇcbe II. reda . . . 237

11.9.1 Enaˇcbe s konstantnimi koeficienti . . . 238

11.10Nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe II. reda . . . 239

11.11Nihanje . . . 243

11.12Sistemi diferencialnih enaˇcb . . . 247

11.13Sistem dveh diferencialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti . . . 247

12 Kombinatorika 251

12.1 Preˇstevanja . . . 251

13 Verjetnost 257 13.1 Osnovni pojmi in raˇcunanje z dogodki . . . 257

13.2 Osnovne lastnosti verjetnosti . . . 259

13.3 Algebra dogodkov . . . 260

13.4 Lastnosti verjetnosti . . . 260

13.5 Pogojna verjetnost . . . 262

13.6 Zaporedje neodvisnih dogodkov . . . 265

13.7 Sluˇcajne spremenljivke . . . 268

13.8 ˇStevilske karakteristike sluˇcajnih spremenljivk . . . 271

14 Primeri vpraˇsanj za teoretiˇcni del izpita 274

1 Stevila ˇ

1.1 Naravna ˇstevila

Naravna ˇstevilaso ˇstevila, s katerimi ˇstejemo:

1, 2, 3, 4, . . .

Mnoˇziconaravnih ˇstevil{1,2,3, . . .}oznaˇcimo zN. Naravna ˇstevila lahko med seboj seˇstevamo in mnoˇzimo. Vrstni red pri seˇstevanju in mnoˇzenju ni pomemben, ˇclene (pri seˇstevanju) ali faktorje (pri mnoˇzenju) lahko poljubno zdruˇzujemo. Torej za vsaka tri naravna ˇstevilaa,binc velja

a+b = b+a, ab = ba,

(a+b) +c = a+ (b+c), (ab)c = a(bc).

Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seˇstevanja oz. mnoˇzenja, drugi dve lastnosti pa imenujemo asociativnost seˇstevanja oz. mnoˇzenja.

Ce naravna ˇstevila seˇstevamo in mnoˇzimo, se moramo drˇzati dogovora o vrstnem redu ope-ˇ racij. Ker imamnoˇzenje prednost pred seˇstevanjem, je

a+b·c = a+ (b·c), a·b+c = (a·b) +c.

Ce ˇzelimo najprej izraˇcunatiˇ a+bin nato rezultat pomnoˇziti sc, zapiˇsemo (a+b)·c. V sploˇsnem velja pravilo o distributivnostimnoˇzenja:

(a+b)c = ac+bc, a(b+c) = ab+ac.

Naˇcelo matematiˇcne indukcije

Naravna ˇstevila soinduktivna mnoˇzica: ˇce jeS⊆Ntaka podmnoˇzica, da je 1∈S in velja sklep: ˇce n∈S, potem n+ 1∈S, jeS =N. Tej lastnosti pravimo tudi naˇcelo matematiˇcne indukcije.

Zgled 1.1. Za vsako naravno ˇstevilo n velja

1 + 2 +. . .+n= n(n+ 1)

2 . (1)

Reˇsitev. OznaˇcimoS ={n∈N; 1 + 2 +. . .+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ }. Mnoˇzica S je torej mnoˇzica tistih naravnih ˇstevil, za katera drˇzi enakost (1). (Induktivna hipoteza je, da formula (1) drˇzi za dano ˇstevilon.)

Najprej preverimo, da je 1∈S.

Privzemimo sedaj, da je n ∈S. Tedaj je 1 + 2 +. . .+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . Torej je (1 + 2 +. . .+ n) + (n+ 1) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ + (n+ 1) = ^(n+1)(n+2)₂ , kar pomeni, da je tudi n+ 1 ∈ S. Po naˇcelu matematiˇcne indukcije jeS =N. Torej velja formula 1 + 2 +. . .+n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ za vsako naravno ˇstevilon.

Matematiˇcno indukcijo lahko uporabimo tudi na mnoˇzici N∪ {0}.

Zgled 1.2. Naj bo q6= 1. Za vsako ˇstevilo n∈N∪ {0} velja a+aq+. . .+aqⁿ=aqⁿ⁺¹−1

q−1 . Reˇsitev. Zan= 0 seveda veljaa=a^q0+1_q−⁻₁¹ =a.

V dokazu induktivnega koraka pa opazimo, da je

a+aq+. . .+aqⁿ+aqⁿ⁺¹ = aqⁿ⁺¹−1

q−1 +aqⁿ⁺¹=

= aqⁿ⁺¹−1 + (q−1)qⁿ⁺¹

q−1 =

= aqⁿ⁺²−1 q−1 . Peanovi aksiomi

Naravna ˇstevila aksiomatiˇcno vpeljemo s pomoˇcjo Peanovih aksiomov:

• 1 je naravno ˇstevilo.

• Vsakemu naravnemu ˇstevilu n pripada natanˇcno doloˇceno naravno ˇstevilo n⁺, ki ga ime- nujemonaslednikˇstevilan.

• ˇStevilo 1 ni naslednik nobenega naravnega ˇstevila.

• [Naˇcelo indukcije] ˇCe je S ⊆N taka podmnoˇzica, da je 1∈ S in velja sklep: ˇce n∈S, potemn⁺∈S, jeS =N.

S Peanovimi aksiomi lahko v mnoˇzico naravnih ˇstevil vpeljemo tudi seˇstevanje in mnoˇzenje.

1.2 Cela ˇstevila

V mnoˇzici naravnih ˇstevil lahko seˇstevamo in mnoˇzimo, ne moremo pa odˇstevati. Da bi lahko naravna ˇstevila odˇstevali, vpeljemo ˇstevilo 0innegativnaˇstevila. ˇStevilo 0 je tako ˇstevilo, da zanj velja

a+ 0 =a

za vsako naravno ˇstevilo a. K naravnemu ˇstevilua pa pridruˇzimo tako nasprotnoˇstevilo−a, da zanj velja

a+ (−a) = 0.

Mnoˇzico celih ˇsteviloznaˇcimo z

Z=N∪ {0} ∪ {−n; n∈N}.

To je “najmanjˇsa” mnoˇzica ˇstevil, v kateri je za vsaki naravni ˇstevili a in b reˇsljiva enaˇcba a=b+x.

1.3 Racionalna ˇstevila

V mnoˇzici celih ˇstevil ne moremo deliti. ˇCe ˇzelimo ˇstevilo a razdeliti nab, b6= 0, enakih delov, bo vsak del velik ^a_b. Racionalno ˇstevilo ^a_b je torej tako ˇstevilo, za katero velja ^a_b ·b=a.

Mnoˇzico racionalnih ˇstevil oznaˇcimo z Q = {^a_b; a, b ∈ Z, b 6= 0}. To je “najmanjˇsa”

mnoˇzica ˇstevil, v kateri je za vsaki celi ˇstevili ainb,b6= 0, reˇsljiva enaˇcbaa=bx.

Pri raˇcunanju s ˇstevilom 0 je potrebno biti previden. Jasno je a+ 0 = a,

a−0 = a, a·0 = 0.

Racionalno ˇstevilo ^a₀, a 6= 0, pa ne obstaja (oz. deljenje z 0 ni dopustno), saj ne obstaja tako ˇstevilox, za katerega bi bilo x·0 =a.

1.4 Realna ˇstevila Stevilska premicaˇ

Racionalna ˇstevila si lahko ponazorimo s toˇckami na ˇstevilski premici. Stevilska premicaˇ je poljubna premica, na kateri smo si izbrali dve razliˇcni toˇcki, ki predstavljataO inE. Toˇcko O imenujemo koordinatno izhodiˇsˇce in upodablja ˇstevilo 0. Toˇcka E upodablja ˇstevilo 1.

O E

0_bc 1_bc

Z nanaˇsanjem daljice OE v eno ali v drugo stran od koordinatnega izhodiˇsˇca dobimo slike celih ˇstevil.

0 1 2 3 4

−1

−2

b

c bc bc bc bc

b c b c

Z enostavno geometrijsko konstrukcijo (razmerja) lahko upodobimo racionalna ˇstevila.

0 1 2 3

−1

−2

3 5

b

c bc bc bc bc

b c b

c b

Izkaˇze se, da na premici obstajajo ˇstevila, ki niso upodobitve racionalnih ˇstevil.

0 1 √

2

b

c bc b

Pojem ˇstevila zato ˇse enkrat razˇsirimo in reˇcemo, da so realna ˇstevila vsa ˇstevila, ki jih lahko upodobimo na ˇstevilski premici. Mnoˇzico realnih ˇstevil oznaˇcimo z R.

Med mnoˇzicami naravnih, celih, racionalnih in realnih ˇstevil velja zveza N⊂Z⊂Q⊂R,

kjer so vse inkluzije prave.

Decimalni zapis realnega ˇstevila

Naj boX toˇcka na ˇstevilski premici. ˇStevilu X bomo priredilidecimalno ˇstevilo x.

Ker cela ˇstevila razdelijo ˇstevilsko premico na enotske intervale, obstaja celo ˇstevilo a₀, da leˇzi toˇckaXmeda₀ina₀+1. ( ˇCeXne upodablja celega ˇstevila, je ˇsteviloa₀doloˇceno enoliˇcno.) Interval med a0 in a0 + 1 razdelimo na deset enako dolgih delov. Potem obstaja ˇstevilo a₁∈ {0,1, . . . ,9}, da leˇzi toˇcka X meda₀+ ₁₀¹ ina₀+₁₀¹ a₁+₁₀¹ .

Postopek ponavljamo. Toˇcki X na ˇstevilski premici smo tako priredili neskonˇcno zaporedje ˇstevk a0, a1, . . .. Pravimo, da je

x=a₀.a₁a₂a₃. . . decimalni zapis ˇstevila x.

a₀ a₀+ 1

a₀+ ^a₁₀¹ a₀+ ^a1₁₀⁺¹

a0+^a₁₀¹ +₁₀₀^a2 a₀+^a₁₀¹ +^a₁₀₀²⁺¹

b b b

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

b b b

xb

xb

xb

• Decimalni zapis ni nujno enoliˇcen. ˇStevilo ⁵₄ lahko zapiˇsemo kot 1.25000. . . = 1.250 ali 1.249999. . .= 1.249.

• Cela ˇstevila in racionalna ˇstevila oblike ₂m^a5ⁿ imajo konˇcen decimalni zapis.

• Vsa druga racionalna ˇstevila imajo neskonˇcenperiodiˇcen decimalni zapis.

5

3 = 1.666. . .= 1.6, 1

7 = 0.142857142857. . . = 0.142857.

• Iracionalna ˇstevila imajo neskonˇcen neperiodiˇcen decimalni zapis.

π = 3.1415926535897932384626433832795. . .

√2 = 1.4142135623730950488016887242097. . .

1.5 Urejenost realnih ˇstevil

Realna ˇstevila lahko primerjamo po velikosti. Pravimo, da je ˇstevilo a na ˇstevilski premici pozitivno, ˇce leˇzi desno od toˇcke 0 (torej na istem poltraku kot toˇcka 1). Pravimo, da je ˇstevilo a na ˇstevilski premici negativno, ˇce leˇzi levo od toˇcke 0 (torej na drugem poltraku kot toˇcka 1).

0 1 negativna ˇstevila

pozitivna ˇstevila

b

c bc

Pravimo, da je ˇstevilo amanjˇse od bin oznaˇcimo a < b, ˇce je ˇstevilo b−apozitivno (tj.b leˇzi desno oda). Pravimo, da je ˇsteviloaveˇcje od bin oznaˇcimo a > b, ˇce je ˇstevilob−anegativno (tj. bleˇzi levo oda).

Stevilo 0 ni ne pozitivno ne negativno.ˇ

Simbol < lahko tudi obrnemo. Pravimo, da je ˇstevilo a veˇcje od b, oznaka a > b, ˇce je b < a.

Ce jeˇ a < b alia=b, na kratko oznaˇcimo a≤b in pravimo, da je amanjˇse ali enako b.

Ce jeˇ a > b alia=b, na kratko oznaˇcimo a≥b in pravimo, da je aveˇcje ali enako b Pri raˇcunanju s pozitivnimi oz. negativnimi ˇstevili moramo biti nadvse pazljivi.

• iza < b sledia+c < b+c za vsakc∈R,

• iza < b inc >0 slediac < bc,

• iza < b inc <0 pa sledi ac > bc.

Zadnja lastnost enostavno pove, da se pri mnoˇzenju z negativnim ˇstevilom neenakost obrne.

Absolutna vrednost

Vsakemu realnemu ˇstevilu x lahko priredimo nenegativno realno ˇstevilo|x|s predpisom

|x|=

(x, ˇce jex≥0

−x, ˇce jex <0.

Steviloˇ |x|imenujemo absolutna vrednost ˇstevila x. Velja

|x·y| = |x| · |y|

x y

= |x|

|y|

|x+y| ≤ |x|+|y| trikotniˇska neenakost

Geometrijsko pomeni |x| razdaljo od toˇcke X, ki upodablja ˇstevilo x, do toˇcke O na ˇstevilski premici. ˇCe stax,y realni ˇstevili, je|y−x|razdalja med njunima slikama na ˇstevilski premici.

Intervali in okolice

Naj bostaa inb,a≤b, poljubni realni ˇstevili. Definirajmo:

[a, b] = {x∈R; a≤x≤b} zaprt interval odado b (a, b] = {x∈R; a < x≤b} polodprt interval od adob [a, b) = {x∈R; a≤x < b} polodprt interval od adob (a, b) = {x∈R; a < x < b} odprt interval odado b

a [a, b] b a (a, b] b a [a, b) b a (a, b) b

Pri a=b je [a, a] ={a} in (a, a] = [a, a) = (a, a) =∅.

Definiramo lahko tudi neskonˇcne intervale, ki so pri ∞vedno odprti, saj∞sploh ni ˇstevilo:

(−∞, b] = {x∈R; x≤b} (−∞, b) = {x∈R; x < b} [a,∞) = {x∈R; a≤x} (a,∞) = {x∈R; a < x} (−∞,∞) = R

Za vsak a∈Rinε >0 imenujemo interval

(a−ε, a+ε) ={x∈R; a−ε < x < a+ε} ε-okolica toˇckea.

a a+ε

a−^bc ε ^{bc bc}

Zgled 1.3. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevilax, za katera jex+2>|2x−1|. Rezultat zapiˇsi z intervalom.

Reˇsitev. Ker je|2x−1|= 0 za x= ¹₂, loˇcimo dva primera.

Ce jeˇ x < ¹₂, je |2x −1| = −2x + 1. Neenakost postane x+ 2 > −2x + 1, kar lahko preoblikujemo v 3x >−1 oz.x >−¹₃. Torejx∈(−¹₃,¹₂).

Ce pa jeˇ x≥ ¹₂, je|2x−1|= 2x−1. Neenakost postanex+2>2x−1, kar lahko preoblikujemo vx <3. Torej x∈[¹₂,3).

Reˇsitev je x∈(−¹₃,¹₂)∪[¹₂,3), kar lahko krajˇse zapiˇsemo kot x∈(−¹₃,3).

O x 1

y

1 x+2

|2x−1|

b c b c

b c

b c

b c

3

b c b c

−¹₃ Zgled 1.4. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevila x, za katera je

|x−2| ≥ |3x−1| −2.

Reˇsitev. Ker je|x−2|= 0 za x= 2 in |3x−1|= 0 zax= ¹₃, loˇcimo 3 primere.

Ce jeˇ x < ¹₃, neenakost preoblikujemo v 2−x ≥ 1−3x−2, kar nam da x ≥ −³₂. Torej x∈[−³₂,¹₃).

Ce jeˇ x >2, neenakost preoblikujemo vx−2≥3x−1−2, kar nam dax≤ ¹₂. Torej v tem primeru ni reˇsitev.

Ce pa jeˇ ¹₃ ≤x≤2, velja 2−x≥3x−1−2 in x≤ ⁵₄. Torej x∈[¹₃,⁵₄].

Reˇsitev je x∈[−³₂,¹₃)∪[¹₃,⁵₄], kar lahko krajˇse zapiˇsemo kot x∈[−³₂,⁵₄].

O x 1

y

1

|x−2|

|3x−1|−

2

b c b c

b c b c

b c

5 4

b c b c

−³₂

Zgled 1.5. Poiˇsˇci vsa realna ˇstevila x, za katera je

|x²−2|< x+ 2.

Reˇsitev. Ker je |x² −2| = 0 za x = ±√

2, loˇcimo 3 primere, ki pa ji lahko zdruˇzimo v 2:

|x| ≤√

2 in |x|>√ 2.

Ce jeˇ |x| ≤√

2, velja 2−x² < x+ 2. Torejx²+x >0. Ker jex²+x= 0 zax= 0 inx=−1, mora biti x >0 alix <−1. Ob pogoju |x| ≤√

2 to pomenix∈[−√

2,−1)∪(0,√ 2].

Ce pa jeˇ |x|> √

2, velja x²−2 < x+ 2. Torej x² −x−4 < 0. Ker je x²−x−4 = 0 za x1,2 = ^1±√₂¹⁷, ob pogoju |x|>√

2 to pomeni x∈(^1−√₂¹⁷,−√

2)∪(√

2,^1+√₂¹⁷).

Reˇsitev je torej x∈(^1−√₂¹⁷,−1)∪(0,^1+√₂¹⁷).

O x 1

y

x+2

b c b c b c

b c

b c b

c

b c

b c

b c

|x²−2|

b c

1+√ 17 2

b

c−1

b c

1−√ 17 2

1.6 Omejene mnoˇzice realnih ˇstevil

Naj bo A neprazna mnoˇzica realnih ˇstevil. ˇCe obstaja ˇstevilo M, da je a≤M za vsak a∈A, pravimo, da je M zgornja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica A navzgor omejena, ˇce obstaja kakˇsna zgornja meja mnoˇzice A.

Ce obstaja ˇsteviloˇ m, da jem≤aza vsaka∈A, pravimo, da jemspodnja meja mnoˇzice A. Pravimo, da je mnoˇzica Anavzdol omejena, ˇce obstaja kakˇsna spodnja meja mnoˇzice A.

M mbc A abc bc

Mnoˇzica A jeomejena, ˇce je omejena navzgor in navzdol.

Steviloˇ M je natanˇcna zgornja meja mnoˇziceA, ˇce je zgornja meja mnoˇzice A in ˇce za vsak ε >0 obstajaa∈A, da jea > M−ε. (Natanˇcna zgornja meja je torej najmanjˇsa zgornja meja mnoˇzice A.)

M−ε a M

A _{bc bc bc}

Natanˇcno zgornjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo s supA in poimenujemosupremum mnoˇziceA.

• Natanˇcna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med ainbje ˇstevilob.

Steviloˇ m je natanˇcna spodnja meja mnoˇzice A, ˇce je spodnja meja mnoˇzice Ain ˇce za vsak ε >0 obstaja a∈A, da jea < m+ε. (Natanˇcna spodnja meja je torej najveˇcja spodnja meja mnoˇzice A.)

m_bc a_bc m+_bc ε A

Natanˇcno spodnjo mejo mnoˇzice A oznaˇcimo z infA in poimenujemoinfimum mnoˇzice A.

• Natanˇcna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala medainbje ˇsteviloa.

Zgled 1.6. Doloˇci natanˇcno spodnjo in zgornjo mejo mnoˇzic A = {n²+ 1; n∈Z} B = {_n¹; n∈N},

C = {x∈R; 2< x² ≤3}. inf(A) = 1, sup(A) =∞.

inf(B) = 0, sup(B) = 1.

inf(C) =−√

3, sup(C) =√ 3.

• Dedekindov aksiom Vsaka neprazna navzdol omejena podmnoˇzica realnih ˇstevil ima natanˇcno spodnjo mejo.

Dedekindov aksiom je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena pod- mnoˇzica realnih ˇstevil natanˇcno zgornjo mejo.

Ta aksiom razloˇci med realnimi in racionalnimi ˇstevili. Mnoˇzica A ={x; x² >2 inx > 0} v mnoˇzici racionalnih ˇstevil namreˇc nima natanˇcne spodnje meje, v mnoˇzici realnih ˇstevil pa je natanˇcna spodnja meja (iracionalno) ˇstevilo √

2.

Zgled 1.7. Steviloˇ √

2 je iracionalno.

Reˇsitev. Dokaz s protislovjem.

Recimo, da je √

2 = ^p_q, kjer je ^p_q okrajˇsan ulomek. Potem je p² = 2q². Torej p = 2p₁ in 2p²₁ =q². Slediq = 2q1 in ^p_q = ^2p_2q¹

1 v resnici ni okrajˇsan ulomek.

2 Mnoˇ zice

2.1 Mnoˇzice

Mnoˇzica Aje doloˇcena, ˇce obstaja pravilo, po katerem je mogoˇce za vsako reˇc odloˇciti ali je vA ali ne. ˇCeaspada v mnoˇzicoA, pravimo, da je aelementmnoˇziceA in oznaˇcimoa∈A. ˇCe a ni element mnoˇzice A, oznaˇcimo a /∈A.

Mnoˇzico lahko podamo tako, da zapiˇsemo njene elemente:

A={1,2,3} , B ={“modra”,“zelena”}.

Mnoˇzico lahko podamo tudi tako, da povemo lastnostL, ki jo imajo natanko vsi njeni elementi.

Torej A={a; L(a)}.

C={x; |2x−1|<1}, D={n; ndeli ˇstevilo 12}.

Moˇzno je, da noben element nima lastnostiL; tedaj jeAprazna mnoˇzica, kar zapiˇsemoA=∅. 2.2 Operacije z mnoˇzicami

A B MnoˇzicaAje podmnoˇzicamnoˇziceB, z oznakoA⊆B, ˇce vsak element mnoˇzice

A leˇzi tudi v mnoˇzici B. ˇCe je A ⊆ B in B ⊆ A, imata mnoˇzici A in B iste elemente in sta enaki. Oznaka: A=B.

A B

A∪B Unija mnoˇzic A in B je mnoˇzica A∪B, definirana z

A∪B ={x; x∈A ali x∈B}.

A B

A∩B Presek mnoˇzic A in B je mnoˇzica A∩B, definirana z

A∩B={x; x∈A inx∈B}.

Za poljubne mnoˇzice A,B inC velja

• Komutativnost ∪ in ∩ A∪B =B∪A, A∩B=B∩A

• Asociativnost ∪ in ∩ (A∪B)∪C =A∪(B∪C), (A∩B)∩C =A∩(B∩C)

• Idempotentnost ∪ in ∩ A∪A=A, A∩A=A

•

A B

Absorbcija

A∪(A∩B) =A, A∩(A∪B) =A

• Lastnost ∅ A∪ ∅=A, A∩ ∅=∅

Izrek 2.1 (Distributivnostna zakona). Za poljubne mnoˇzice A, B in C velja A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

B C

A

A∩(B∪C)

B C

A A∪(B∩C)

A\B

A B

Razlika mnoˇzic A in B je mnoˇzica A\B, definirana z A\B ={x; x∈Ainx /∈B}.

Mnoˇzici A\B pravimo tudikomplement mnoˇzice B glede na A.

Vˇcasih obravnavamo le podmnoˇzice neke fiksne, dovolj velike mnoˇziceU, ki jo v tem primeru imenujemo univerzalna mnoˇzica. Komplement mnoˇzice A (glede na univerzalno mnoˇzico U) je mnoˇzica A^c, definirana zA^c =U \A.

• A∪U =U, A∩U =Alastnost univerzalne mnoˇzice U

• A∪A^c=U, A∩A^c =∅lastnost komplementa

• (A^c)^c =A involutivnost komplementa

• U^c =∅, ∅^c =U komplementarnost U in ∅

Izrek 2.2 (De Morganova zakona). Za poljubne mnoˇzice A,B in C velja (A∪B)^c = A^c∩B^c

(A∩B)^c = A^c∪B^c

A B

(A∪B)^c

A B

(A∩B)^c

Zgled 2.3. IzraˇcunajA∪B,A∩B inA\B zaA={2n−1; n= 1,2, . . . ,7}inB={3n−2; n= 1,2, . . . ,7}.

Reˇsitev. Ker jeA={1,3,5,7,9,11,13} inB={1,4,7,10,13,16,19}, je A∪B = {1,3,4,5,7,9,10,11,13,16,19}, A∩B = {1,7,13} in

A\B = {3,5,9,11}.

Naj box∈Ain y∈B. Urejeni parelementov x iny je mnoˇzica {{x},{x, y}},

ki jo krajˇse oznaˇcimo z (x, y).

• Iz (x, y) = (x^′, y^′) sledi, da je x = x^′ in y = y^′. V urejenem paru je vrstni red zapisa pomemben.

• Za x6=y je (x, y)6= (y, x), vendar pa{x, y}={y, x} Karteziˇcni produkt mnoˇzic A inB je mnoˇzica urejenih parov

A×B={(x, y); x∈A, y ∈B}.

• A×B =∅ natanko tedaj, ko je vsaj ena izmed mnoˇzicA inB prazna.

• Za razliˇcni neprazni mnoˇziciA inB veljaA×B6=B×A.

• Ce jeˇ A=B, piˇsemo namestoA×A kar A².

Potenˇcna mnoˇzica mnoˇzice A je mnoˇzica vseh podmniˇzic mnoˇzice A in jo oznaˇcimo sP(A).

Torej

P(A) ={X; X⊆A}.

• P(∅) ={∅}

• P(P(∅)) ={∅,{∅}}

• P({1,2,3}) ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

• Za konˇcno mnoˇzico A z n elementi velja, da ima potenˇcna mnoˇzica P(A) natanko 2ⁿ elementov.

2.3 Preslikave med mnoˇzicami Preslikave med mnoˇzicami

Naj bosta A in B mnoˇzici. Preslikava f:A → B je pravilo f, ki vsakemu elementu a mnoˇzice A priredi natanˇcno doloˇcen element f(a) mnoˇzice B. (Preslikavo pogosto imenujemo tudi funkcija, zlasti, ˇce jeA⊆R inB⊆R.)

f

a f(a)

A B

b

b

Mnoˇzica Aje lahko tudi prazna, saj za vsako mnoˇzicoB obstaja “prazna” preslikava∅ →B.

Ce pa je mnoˇzicaˇ B prazna, obstaja preslikava A→ ∅, le ˇce je tudi mnoˇzica Aprazna.

Mnoˇzico A imenujemo definicijsko obmoˇcje ali domena, mnoˇzico f(A) = {f(a); a ∈ A} ⊆ B pa zaloga vrednosti ali kodomena preslikave f. Definicijsko obmoˇcje funkcije f oznaˇcimo tudi zD_f, zalogo vrednosti pa zZ_f.

f

A=D_f B

Z_f

Zgled 2.4. Ali sta funkciji f₁(x) = ^x_x in f₂(x) = 1 enaki? Ali sta funkciji g₁(x) = √ x² in g2(x) =x enaki?

Preslikava f:A → B je injektivna, ˇce za vsaka a₁, a₂ ∈ A, a₁ 6= a₂, velja f(a₁) 6= f(a₂).

(Ekvivalentno: f je injektivna, ˇce za vsaka a1, a2∈A izf(a1) =f(a2) sledia1=a2.)

a₁ f(a1)

a₂ f(a₂)

A B

f

b f

b

b b

Preslikava f: A→B je surjektivna, ˇce je Z_f =B. (Ekvivalentno: f je surjektivna, ˇce za vsakb∈B obstaja tak a∈A, da je f(a) =b.)

a b

A B

f

b b

Preslikava f je bijektivna, ˇce je injektivna in surjektivna.

Graf preslikave f:A→B je mnoˇzica

Γ(f) ={(a, f(a)); a∈A} ⊂A×B.

A B

Γ(f)

A×B a

f(a) ^bc

b c b c

Funkcija f je injektivna, ˇce vsaka vodoravna premica v A×B seka graf Γ(f) najveˇc enkrat.

Funkcijaf je surjektivna, ˇce vsaka vodoravna premica v A×B seka graf Γ(f) vsaj enkrat.

Zgled 2.5. Nariˇsi graf funkcije f: [−1,2] → [−1,4], podane s predpisom f(x) = x². Ali je funkcija injektivna oz. surjektivna?

Reˇsitev.

O x 4

−1

y

−1 2

b c

b c b c b c

b c

Funkcija ni ne injektivna ne surjektivna.

Zgled 2.6. • Funkcija f:R→R, definirana s predpisom f(x) =x³, je bijektivna.

• Funkcijaf:R→R, definirana s predpisom f(x) =x³−x, je surjektivna, a ni injektivna.

• Funkcija f:R→R, definirana s predpisom f(x) =x², ni injektivna in ni surjektivna.

• Funkcija f:R→R×R, definirana s predpisom f(x) = (x, x²), je injektivna.

• Funkcija f:R×R→R, definirana s predpisom f(x, y) =xy, je surjektivna.

Naj bostaf:A→B ing:B →Cpreslikavi. Kompozitum preslikav f ingje preslikava g◦f:A→C, definirana z (g◦f)(a) =g(f(a)).

f

a f(a)

A B

g

g(f(a)) C g◦f

b

b

b

Zgled 2.7. Naj bo f:A→B in g:B →C.

• Ce staˇ f, g injektivni, je g◦f injektivna.

• Ce staˇ f, g surjektivni, je g◦f surjektivna.

• Ce jeˇ g◦f injektivna, je f injektivna.

• Ce jeˇ g◦f surjektivna, jeg surjektivna.

Reˇsitev. Ceˇ a₁ 6=a₂, potemf(a₁)6=f(a₂) in g(f(a₁))6=g(f(a₂)).

Za c∈C obstaja b∈B, dag(b) =c. Obstajaa∈A, da f(a) =b. Torej g(f(a)) =c.

Ceˇ a₁6=a₂, potem g(f(a₁))6=g(f(a₂)) in zatof(a₁)6=f(a₂).

Za c∈C obstaja a∈A, da je g(f(a)) =c. Torej jeg(b) =c za b=f(a)∈B.

Preslikavo f:A → A, definirano z f(a) =a, imenujemo identiˇcna preslikava mnoˇzice A in oznaˇcimo id_A.

Naj bo f:A → B preslikava. ˇCe obstaja taka preslikava g: B → A, da je g◦f = id_A in f◦g=id_B, pravimo, da je g inverz preslikavef in oznaˇcimof⁻¹ =g.

f

a f(a)

A g B

b

b

Trditev 2.8. Preslikava f:A→B je bijektivna natanko tedaj, ko ima inverz.

Zgled 2.9. Naj bo A={1,2,3,4} in f(n) = 2n−1 za n∈A. Doloˇci mnoˇzico B in preslikavo g:B →A, ki je inverz preslikave f.

Reˇsitev. Po vrsti izraˇcunamo f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5 in f(4) = 7. Torej je mnoˇzica B ={1,3,5,7} zaloga vrednosti preslikave f.

Ker iz f(n) = 2n−1 = m sledin = ^m+1₂ , je preslikava g:B → A, podana z g(m) = ^m+1₂ , inverz preslikavef.

f:n7→2n−1

g:m7→ ^m+1₂

1 2 3 4 1 3 5 7

b b b b b b b b

Naj bo f: A → B poljubna preslikava in ˜A ⊂ A podmnoˇzica. Zoˇzitev preslikave f na podmnoˇzico ˜A je preslikavaf|A˜: ˜A→B, definirana zf|A˜(a) =f(a).

Zgled 2.10. Funkcija f:R → R, podana s predpisom f(x) = x² + 1, ni bijektivna. Za A = {x; x≥0} in B ={x; x≥1} je zoˇzitev f|A:A→B funkcijef bijektivna.

Reˇsitev. Funkcijafni injektivna, saj jef(x) =f(−x) za vsakx∈R. Funkcijaf ni surjektivna, saj je f(x)≥1 za vsak x∈R.

Injektivnost zoˇzitveCe jeˇ f|A(x₁) =f|A(x₂), je x²₁+ 1 = x²₂+ 1, od koder sledi x²₁ =x²₂ oz. (x₁−x₂)(x₁+x₂) = 0. ˇCe je x₁+x₂ = 0, je zaradix₁ ≥0 in x₂ ≥0 lahko le x₁ =x₂ = 0.

Ce jeˇ x₁+x₂ 6= 0, mora bitix₁−x₂= 0 oz. x₁ =x₂.

Surjektivnost zoˇzitve Vzemimo poljubeny≥1. Tedaj za x=√

y−1 veljaf|A(x) =y.

3 Matrike

3.1 Operacije z matrikami

Matrika je pravokotna tabela (shema) realnih ˇstevil, sestavljena izvrsticin stolpcev:

−4 2 −2 2 0 −3 1 ¹₂

ali



 −3 √

5 2

2 0 1

4 −3 −1



.

Mnoˇzico vseh realnih matrik zmvrsticami innstolpci oznaˇcimo zR^m×n. V sploˇsnem oznaˇcimo

A=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







ali krajˇseA= [a_ij]∈R^m×n. (Toreji= 1, . . . , minj = 1, . . . , n.) ˇSteviloa_ij imenujemo(i, j)-ti elementmatrike A.

Matrika A= [a_ij]∈R^m×n jekvadratna, ˇce jem=n. Kvadratna matrikaA= [a_ij]∈R^n×n je diagonalna, ˇce je a_ij = 0 zai6=j.

A=







a₁₁ 0 . . . 0 0 a₂₂ . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . a_nn







Zgled 3.1. Zapiˇsi matriko A= [a_ij]∈R^2×3, kjer je a_ij = (−1)ⁱ+ 2^j. Reˇsitev.

A=

(−1)¹+ 2¹ (−1)¹+ 2² (−1)¹+ 2³ (−1)²+ 2¹ (−1)²+ 2² (−1)²+ 2³

=

1 3 7 3 5 9

.

Enakost matrik

Matriki A ∈ R^m×n in A^′ ∈ R^m′×n′ sta enaki, ˇce je m = m^′, n = n^′ ter a_ij = a^′_ij za i= 1, . . . , minj= 1, . . . , n.

Enostavno povedano: matriki sta enaki, ˇce sta enakih razseˇznosti in se ujemata v istoleˇznih elementih.

Vsota matrik

Za matriki A, B∈R^m×ndefiniramovsoto matrik A+B. ˇCe je

A=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn





 inB =







b₁₁ b₁₂ . . . b_1n b₂₁ b₂₂ . . . b_2n ... ... ... b_m1 b_m2 . . . b_mn





,

je

A+B =







a11+b11 a12+b12 . . . a1n+b1n

a₂₁+b₂₁ a₂₂+b₂₂ . . . a_2n+b_2n

... ... ...

a_m1+b_m1 a_m2+b_m2 . . . a_mn+b_mn





.

Produkt matrike s skalarjem

Za matriko A∈R^m×n in ˇstevilo λ∈R definiramoprodukt s skalarjem λ. ˇCe je

A=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn





,

je

λA=







λa₁₁ λa₁₂ . . . λa_1n λa₂₁ λa₂₂ . . . λa_2n

... ... ... λa_m1 λa_m2 . . . λa_mn





.

Zgled 3.2. Izraˇcunaj 5A−3B za matriki A=

1 −2

2 4

in B =

−1 0 2 −3

. Reˇsitev. Raˇcunajmo

5A−3B = 5·

1 −2

2 4

−3

−1 0 2 −3

=

=

5 −10 10 20

−

−3 0 6 −9

=

8 −10 4 29

. Navedimo glavne lastnosti seˇstevanja in mnoˇzenja matrik s skalarjem.

• asociativnost seˇstevanja (A+B) +C=A+ (B+C) za vseA, B, C∈R^m×n

• obstoj nevtralnega elementa za seˇstevanje Za niˇcelno matriko 0 =





0 . . . 0 ... ... 0 . . . 0



∈R^m×n

velja A+ 0 = 0 +A=A za vsakA∈R^m×n.

• obstoj nasprotnega elementa za seˇstevanje Za matrikoA ∈ R^m×n ima nasprotna matrika−A= (−1)A lastnostA+ (−A) = 0.

• komutativnost seˇstevanjaA+B=B+A za vseA, B ∈R^m×n

• distributivnost v skalarnem faktorju (λ+µ)A = λA+µA za vse A ∈ R^m×n in λ, µ∈R,

• distributivnost v matriˇcnem faktorju λ(A+B) =λA+λB za vse A, B ∈R^m×n in λ∈R,

• multiplikativnost v skalarnem faktorju(λµ)A=λ(µA) za vseA∈R^m×ninλ, µ∈R,

• mnoˇzenje s skalarjem 1 1·A=A za vseA∈R^m×n. Produkt matrik

Ce ima matrikaˇ Atolikostolpcevkot ima matrikaBvrstic, lahko matrikiAinBzmnoˇzimo.

Produkt matrik A∈R^m×n inB∈R^n×p oznaˇcimo zAB in je matrika C= [c_ij] z elementi c_ij =

Xn k=1

a_ikb_kj =a_i1b_1j+a_i2b_2j +. . .+a_inb_nj za i= 1, . . . , m,j= 1, . . . , p. Skratka





a₁₁ . . . a_1n ... ... a_m1 . . . a_mn





| {z }

A

·





b₁₁ . . . b_1p ... ... b_n1 . . . b_np





| {z }

B

=









 Xn k=1

a_1kb_k1 . . . Xn k=1

a_1kb_kp

... ...

Xn k=1

a_mkb_k1 . . . Xn k=1

a_mkb_kp











| {z }

AB

.

Element v i-ti vrstici in j-tem stolpcu matrike C = AB ∈ R^m×p je skalarni produkt i-te vrstice matrike A∈R^m×n inj-tega stolpca matrike B ∈R^n×p:

cij =ai1b1j+ai2b2j +. . .+ainbnj.

· = i

j

i

j

A B AB

b b b

b

b

b

b

Zgled 3.3. Izraˇcunaj produkt matrik A=





2 −1

−3 2

0 1



in B =

2 0

−3 1

.

Reˇsitev.

AB =





2 −1

−3 2

0 1



·

2 0

−3 1

=

=





2·2+ (−1)·(−3) 2·0+ (−1)·1 (−3)·2+2·(−3) (−3)·0+2·1 0·2+1·(−3) 0·0+ 1·1



=

=





7 −1

−12 2

−3 1



.

Zgled 3.4. Izraˇcunaj AB in BAza A=

1 −2

2 4

in B =

−1 0 2 −3

. Reˇsitev. Raˇcunajmo

AB =

1 −2

2 4

·

−1 0 2 −3

=

=

1·(−1) + (−2)·2 1·0 + (−2)·(−3) 2·(−1) + 4·2 2·0 + 4·(−3)

=

−5 6 6 −12

,

BA =

−1 0 2 −3

·

1 −2

2 4

=

=

(−1)·1 + 0·2 (−1)·(−2) + 0·4 2·1 + (−3)·2 2·(−2) + (−3)·4

=

−1 2

−4 −16

.

Raˇcun torej kaˇze, da jeAB6=BA. Pravimo, da je mnoˇzenje matrik nekomutativno. (ˇSe veˇc, razseˇznosti matrikA inB so lahko take, da obstaja le eden od produktovAB inBA.)

Mnoˇzenje matrik zadoˇsˇca pogojem

• asociativnost (AB)C=A(BC) za vse A∈R^m×n, B∈R^n×p inC∈R^p×q,

• obstoj enote za mnoˇzenje

In=









1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0

0 0 1 0

... ... . .. 0 0 0 0 . . . 1







 .

Za vsako matriko A ∈ R^m×n velja I_mA = AI_n = A. Kvadratno matriko I_n imenujemo identiˇcna matrika. Pogosto namestoInpiˇsemo karI, ko je iz besedila razvidno, kakˇsne razseˇznosti je matrikaI.

• leva distributivnost (A+B)C =AC+BC za vse A, B ∈R^m×n inC∈R^n×p,

• desna distributivnostA(B+C) =AB+AC za vse A∈R^m×n inB, C ∈R^n×p,

• homogenost λ(AB) = (λA)B =A(λB) za vseA∈R^m×n,B ∈R^n×p inλ∈R.

Izrek 3.5. Za matrike A∈R^m×n, B∈R^n×p in C ∈R^p×q velja (AB)C=A(BC).

Dokaz. Oznaˇcimo A = [a_ij], B = [b_ij] in C = [c_ij]. Izraˇcunajmo (i, j)-ti element matrike (AB)C:

((AB)C)_ij = Xp l=1

(AB)_ilc_lj = Xp

l=1

( Xn k=1

a_ikb_kl)c_lj =

= Xp l=1

Xn k=1

a_ikb_klc_lj = Xn k=1

Xp l=1

a_ikb_klc_lj =

= Xn k=1

a_ik( Xp

l=1

b_klc_lj) = Xn k=1

a_ik(BC)_kj = (A(BC))_ij.

Transponirana matrika Za matriko

A=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







definiramotransponirano matriko k A

A^T =







a11 a21 . . . am1

a₁₂ a₂₂ . . . a_m2 ... ... ... a_1n a_2n . . . a_mn





.

Za A∈R^m×n je torejA^T ∈R^n×m.

Zgled 3.6. Zapiˇsi transponirano matriko k matriki A=





2 1 −1 3

−1 0 1 2

0 2 4 −2



.

Reˇsitev. Velja

A^T =







2 −1 0

1 0 2

−1 1 4

3 2 −2





.

Za transponiranje matrik velja

• (A^T)^T =A za vse A∈R^m×n

• (A+B)^T =A^T +B^T za vseA, B ∈R^m×n

• (λA)^T =λA^T za vse A∈R^m×n inλ∈R

• (AB)^T =B^TA^T za vseA∈R^m×nin B∈R^n×p

Izrek 3.7. Za A∈R^m×n in B∈R^n×p velja (AB)^T =B^TA^T.

Dokaz. OznaˇcimoA= [aij] inB = [bij]. Izraˇcunajmo (i, j)-ti element matrike (AB)^T: ((AB)^T)_ij = (AB)_ji=

Xn k=1

a_jkb_ki. Ker pa je

(B^TA^T)_ij = Xn k=1

B_ik^TA^T_kj = Xn k=1

b_kia_jk= Xn k=1

a_jkb_ki, res velja (AB)^T =B^TA^T.

3.2 Permutacije

Permutacija reda n je bijektivna preslikava σ: {1,2,3, . . . , n} → {1,2,3, . . . , n}. Mnoˇzico vseh permutacij reda noznaˇcimo zS_n. Permutacijo obiˇcajno zapiˇsemo v obliki

σ=

1 2 . . . n a1 a2 . . . an

,

kjer gornja oznaka pomeni, da jeσ(1) =a1,σ(2) =a2, . . . , σ(n) =an. Zgled 3.8. Zapiˇsi permutacijo σ ∈S₄, ki preslika 17→3, 27→1 in 47→2.

Reˇsitev. Ker je preslikava σ bijekcija, mora veljati ˇse σ: 37→4. Torej je σ =

1 2 3 4

3 1 4 2

.

Permutacija ι je identiˇcna permutacija, ˇce je ι(i) = i za vsak i. (To je pravzaprav identiˇcna preslikava.)

Permutacija τ je transpozicija, ˇce za nekaiinj,i6=j, veljaτ(i) =j,τ(j) =iinτ(k) =k za vsakk /∈ {i, j}.

Zgled 3.9. Zapiˇsi transpozicijo σ∈S₄, ki zamenja ˇstevili 2 in 4.

Reˇsitev. Iskana transpozicija je

σ =

1 2 3 4

1 4 3 2

.

Dokazati je moˇzno, da za vsako permutacijo σ obstajajo transpozicijeτ₁,τ₂, . . . , τ_m, da je τ_m◦τ_m−1◦. . .◦τ₁◦σ=ι.

Stevilo transpozicij, ki uredijoˇ σ v identiˇcno permutacijo, ni enoliˇcno doloˇceno. Dokazati je moˇzno, da iz

τm◦τm−1◦. . .◦τ1◦σ =ι in

τ_m′◦τ_m′−1◦. . .◦τ₁◦σ =ι

sledi, da je m ≡m^′ (mod 2) (tj. ˇstevili m inm^′ sta iste parnosti), kar pomeni, da je (−1)^m = (−1)^m′. ˇStevilo (−1)^m imenujemo predznak permutacije in ga oznaˇcimo s sign(σ). Permu- tacije s predznakom 1 so sode, permutacije s predznakom−1 pa lihe.

3.3 Determinante

Naj boA∈R^n×n kvadratna matrika:

A=







a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn





.

Determinanta matrike A je ˇstevilo det(A), ki je vsota vseh moˇznih produktov po enega ˇstevila iz vsake vrstice in stolpca z upoˇstevanjem ustreznih predznakov. Natanˇcneje:

det(A) = X

σ∈Sn

sign(σ)a_1σ(1)a_2σ(2). . . a_nσ(n), (2) kjer S_n oznaˇcuje mnoˇzico vseh permutacij redan, ˇstevilo sign(σ) pa predznak permutacijeσ.

Obiˇcajno piˇsemo

det(A) =

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

.

Opozoriti velja, da je za velikenizraˇcun vrednosti determinante po definiciji zelo zamuden, saj ima mnoˇzicaS_n natanˇcno n! = 1·2· · ·n elementov. Torej je potrebno za izraˇcun determinante reda n seˇsteti n! ˇclenov in pri vsakem od njih je potrebno pravilno doloˇciti predznak ustrezne permutacije.

Oglejmo si sedaj vrednost det(A) za majhne razseˇznosti matrike A.

Pri n= 1 je

A= [a₁₁].

V vsoti (2) imamo je en ˇclen, torej je

det(A) =a₁₁.

Pri n= 2 je

A=

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

. V mnoˇzici S₂ imamo le dve permutaciji ι =

1 2 1 2

in τ =

1 2 2 1

. Permutacija ι je identiˇcna in ima predznak (−1)⁰ = 1, permutacijaτ pa je transpozicija in ima predznak (−1)¹ =

−1. Torej je

det(A) = sign(ι)a_1ι(1)a_2ι(2)+ sign(τ)a_1τ(1)a_2τ(2)=a11a22−a12a21

ali krajˇse

a₁₁ a₁₂ a21 a22

=a11a22−a12a21.

Zgled 3.10. Izraˇcunaj vrednost determinante

3 5

−2 −1 .

Reˇsitev. Po pravilu za izraˇcun determinante reda 2×2 je

3 5

−2 −1

= 3·(−1)−5·(−2) =−3 + 10 = 7.

Pri n= 3 je

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



. V mnoˇzici S₃ je natanˇcno 3! = 1·2·3 = 6 permutacij. Te so

σ₁ =

1 2 3

1 2 3

σ₂ =

1 2 3

1 3 2

σ₃ =

1 2 3

2 1 3

σ₄ =

1 2 3

2 3 1

σ₅ =

1 2 3

3 1 2

σ₆ =

1 2 3

3 2 1

Hitro se vidi, da imajo permutacije σ₁,σ₄ inσ₅ predznak 1, ostale pa predznak −1.

Torej je det(A) =a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃.To formulo si lahko enostavno zapomnimo tako, da k matrikiAna desni pripiˇsemo prva dva stolpca matrike A

matrikaA

z }| {

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a31 a32

ter seˇstejemo produkte na glavnih diagonalah (polne ˇcrte) in odˇstejemo produkte na stranskih (ˇcrtkane ˇcrte).

Opozorilo. Zgoraj opisani prijem s pripisovanjem dveh stolpcev na desni (Sarrusovo pravilo) velja samo za izraˇcun determinant razseˇznosti 3×3. Metoda za sploˇsen n,n6= 3, ne drˇzi in je tudi ni moˇzno ustrezno prirediti.

Zgled 3.11. Izraˇcunaj vrednost determinante

3 −1 −2

2 1 1

−2 0 1 .

Reˇsitev. Po Sarrusovem pravilu je 3 −1 −2 3 −1

2 1 1 2 1

−2 0 1 −2 0

= 3·1·1 + (−1)·1·(−2) + (−2)·2·0− (−2)·1·(−2)−3·1·0−(−1)·2·1 = 3 + 2 + 0−4−0 + 2 = 3.

3.4 Raˇcunanje determinant Lastnosti determinant

Matrika A in njej transponirana matrikaA^T imata enako determinanto: det(A) = det(A^T).

Torej

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

=

a₁₁ a₂₁ . . . a_n1 a₁₂ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_1n a_2n . . . a_nn

.

Ce pomnoˇzimo vse elemente v kakˇsni vrstici (ali stolpcu) z istim faktorjemˇ k, se vrednost determinante pomnoˇzi sk.

a11 a12 . . . a1n

... ... ... kai1 kai2 . . . kain

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

=k

a11 a12 . . . a1n

... ... ... ai1 ai2 . . . ain

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

.

Ce pomnoˇzimo vse elemente v matriki z istim faktorjemˇ k, se vrednost determinante pomnoˇzi s kⁿ. Za A∈R^n×n torej velja det(kA) =kⁿdet(A).

Ce v determinanti dve vrstici (ali stolpca) zamenjamo med sabo, determinanta spremeniˇ

predznak.

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn

... ... ... a_i1 a_i2 . . . a_in

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

=−

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_i1 a_i2 . . . a_in

... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

.

Ce sta v determinanti dve vrstici enaki (ali dva stolpca enaka), je vrednost determinanteˇ

enaka 0.

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn

... ... ... a_i1 a_i2 . . . a_in

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

= 0.

Ce so vsi elementi, ki leˇzijo na eni strani glavne diagonale, enaki 0, je vrednost determinanteˇ enaka produktu diagonalnih elementov.

a11 a12 a13 . . . a1n

0 a₂₂ a₂₃ . . . a_2n 0 0 a₃₃ . . . a_3n ... ... . .. ... 0 0 0 . . . a_nn

=a₁₁a₂₂. . . a_nn.

Vrednost determinante se ne spremeni, ˇce k eni vrstici priˇstejemo veˇckratnik druge vrstice (ali ˇce k enemu stolpcu priˇstejemo veˇckratnik drugega stolpca).

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n

... ... ...

a_i1+ka_j1 a_i2+ka_j2 . . . a_in+ka_jn

... ... ...

a_j1 a_j2 . . . a_jn

... ... ...

a_n1 a_n2 . . . a_nn

=

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_i1 a_i2 . . . a_in

... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn

... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

.

Zgled 3.12. Izraˇcunaj vrednost determinante

2 1 −1

1 3 0

0 −5 −1 .

Reˇsitev. Reˇsimo nalogo na 2 naˇcina. Po Sarrusovem pravilu je

2 1 −1 2 1

1 3 0 1 3

0 −5 −1 0 −5

=−6 + 0 + 5−0−0−(−1) = 0.

Z vrstiˇcnimi operacijami izraˇcunamo

2 1 −1

1 3 0

0 −5 −1

= −

1 3 0

2 1 −1

0 −5 −1 =−

1 3 0

0 −5 −1 0 −5 −1

=

= −

1 3 0

0 −5 −1

0 0 0

= 0.

Zgled 3.13. Izraˇcunaj vrednost determinante

−1 1 −2

2 −1 3

2 1 −1

.

Reˇsitev. Z vrstiˇcnimi operacijami izraˇcunamo

−1 1 −2 2 −1 3 2 1 −1

=

−1 1 −2 0 1 −1 0 3 −5 =

=

−1 1 −2 0 1 −1 0 0 −2

= (−1)·1·(−2) = 2.

Zgled 3.14. Izraˇcunaj vrednost determinante

1 −1 2 0

0 1 −2 1

−1 2 1 −1

2 0 −1 3

.