Nasvet: Pokazi, da za vsak n2IN veljaan3 (mod 4)

Izpit iz Visje Algebre

(26.8.1998)

1. Naj bo ^{pi i}-to prastevilo (^p1 = 2^{; p2} = 3^;:::) in ^an = ^p1p2:::pn+ 1. Pokazi, da za vsak ^{n 2 IN} stevilo ^an ni popoln kvadrat.

Nasvet: Pokazi, da za vsak ^n2IN velja^an3 (mod 4).

2. Poisci vse nicle polinoma 9 + 9^x+ 3^x2+^x3.

3. Naj bodo ^a,^bin ^cnicle polinoma 3^x3+ 45^x2;7^x;12. Izracunaj ^a4b4c2+^a4b2c4 +^a2b4c4. 4. Naj bo^G grupa,^H in ^K pa njeni podgrupi. Pokazi, da velja

[^H :^{H \K}][^G:^K]^:

Izpit iz Visje Algebre

(9.9.1998)

1. Naj boⁿ tako naravno stevilo, da po tem ko zbrisemo neko njegovo cifro dobimo stevilo, ki je 9-krat manjse in tudi deljivo z 9. Poisci vsaj dve taki stevili.

2. Koliko nerealnih (^CCnIR) nicel ima polinom 7 + 7^x2;13^x4+^x6?

3. Naj bo^{n 2IN} in^Gmnozica vseh nicel polinoma^xn;1. Pokazi, da je^GAbelova grupa za operacijo mnozenja kompleksnih stevil.

4. Poisci vse neizomorfne Abelove grupe moci 136125.

Izpit iz Visje Algebre

(21.1.1999)

1. Izracunaj ostanek pri deljenju 1⁵ + 2⁵+ 3⁵++ 99⁵ + 100⁵ s 4.

2. Poisci nicle polinoma 6^x3+ 2^x2+ 11^x;10.

3. Naj bodo ^a,^bin ^cnicle polinoma 2^x3;3^x2 + 7. Izracunaj ^a3b+^a3c+^b3a+^b3c+^c3a+^c3b.

Nasvet: Ne isci nicel polinoma.

4. Naj bo^G=^{fx2IRjx >}0^{;x 6}= 1^gin naj bo:^GG;!IR binarna operacija denirana s predpisom

a;b2G; ab=^alogb. Pokazi, da je (^G;) Abelova grupa.

Izpit iz Visje Algebre

(4.2.1999) 1. Izracunaj ostanek 507⁵²¹+ 205²¹⁵ pri deljenju s 13.

2. Koliko realnih nicel ima polinom^x5;2^x3+ 7^x;2? Koliko jih je vecjih od 0?

3. Poisci ^vsenicle polinoma 8^y3;96^y2 + 432^y;1215.

4. Poisci vse neizomorfne Abelove grupe moci 2600.

Izpit iz Visje Algebre

(15.4.1999) 1. Resi diofantsko enacbo 1101101^x+ 1101^y = 3.

2. Poisci vse nicle polinoma^x3;12^x+ 8^p2.

3. Naj bodo ^a,^bin ^cnicle polinoma 2^x3+ 5^x2;3^x;1. Izracunaj^a2b2+^a2c2+^b2c2.

4. Naj bo (^G;) grupa in naj bo ^A = ^{fxyx;1 y;1jx;y 2 Gg} njena podmnozica. Pokazi, da je ^G Abelova grupa natanko takrat, ko mnozica^A vsebuje le enoto grupe ^G.