katerimi skušajo raziskovalci opisati dogajanje na trgu in se v zadnjem poglavju dotaknili še

"!$#%'&(

)+*-,/./02143516*87/*:9;*-14359<*-14=2,?>"=2@"A%=B7C=B,?>

DFEHGCIJE-K$LNMOEQPFRSTP-UCU/UWV$XZYC[$\XHE]KOE

^`_5aCb6ced-f5ghd%cCiHjFkdHjFlj5gTc/m?nCcCdNa/o2p

qsrHt%uFvxw/yy/w

z|{ }~€:‚F€xƒ

„`…†ˆ‡x‰T‡‹ŠFŒŽ‰hx‘“’”‘•…—–“‡ ˜“™8šJ‰…—‡ Š…B‘:™‘:’”‘•…B› ’œ™†ˆ‡::‘x…B› :ŒŽ†œš%™x› ‡˜…žŽ‡ ‰ +˜‘“‡

Ÿ ¡x¢h£Ž¤¥§¦©¨Zª8«¦¥¤:¬ˆªx­h£]¦¯®¡x¨Jª:«ˆ°¤ 2±²N¬¤´³ˆ¤x­µ­ª´²]¨ŽŸx¦x¶•·"ª¨|­:¤x¸Tªœ£"¹”®¤³:±ºF±»”­“¡ ¹œ²¼±£Ž¤½x¸±

¾ˆ¿ À¿xÁÂ%¿ Ó¿ Àà ŽÄ%Å Æ ÇxÈÉÕÊËÂ-Ê͕̔ÊÈ´ÊÎÀ:ǜώ¾œÄNÐÊÒÑÓQÅxÔT¿ ÊBÈŜώ¿ÕÖÍüÑNÕ×:¿¾œÄ%¿:Ä%Ç

؁ÙxÚ2ێÙ:Ü]ݓÞߜÜ]ݕàBá â“ÞxÚ%ã:äåÙæ2àÜ%Ù:Ø ß”âÚJÙxçèÙxçÉé“Ù êTُݓ٠ãxëhÜHàØ ß:æÙåÙ ìTÙ æã ߜÜ%ݓÞߜÜHàÒíïîHàBð

ñóòxôÒõ%ò:öJ÷:øùœöJ÷:òûú:øxôŽü:ýˆþòÿöò ÷TüTøô÷ùˆø ü“ùˆùˆøòB÷ùˆøˆòx÷”öJô%üÿB÷“ò þòÿ

! "# $%'&)(+*,&!-/.102&!-34'2!(,&65 7- 0268:9; <>=?"@A02+65B!&C2&'&6DE7F-

G,H/IJK$ILM!G!NJPOMQ'RSQ,I TUMTVIQ3W2I6XZY[NN\N]_^`MH/aTbMc'MLMdQ'IPQ'ae!NK$MO,N\fgaG,IQ'L!aK

hij'kSjl\mnk/op/i!qSjlrpSho6s\ltvu[lq!w xUyz!{2y| h}i p/y oq{2ihi~$y6so!l€2pSho ƒ‚jh!l€2o

„S…†$‡ˆb‡ˆŠ‰'‡Œ‹/‡!‡r†FŽ!/†F‘A’ƒ“•”“–P”ˆ@Ž—’˜‘!™›š/œ™$†$ž!‘!”,Ž6Ÿ“  ˆ¡“¢,™FŽ £¤“ˆ@Ž

‘†$‡6ŸŽ‹!“’2ŽŒŽ‰'„/‘¥Ÿ¢,™2!‡Œ”S†$‡¦'‘„—™ƒ“§Ž6Ÿ\“Z—”,Ž¦†2Ž!™2Ž¨“„A™F‡r„A™©‘ 'Ž„A™ƒ“–S'‡r„ª…†$‡ˆ@‡Ÿ’[“”!‡

«¬$­®/­A¯±°!²6³¯F´!µ6¶S«'·¸¡µ¹ µ¹+º²!»,­¼·½!¹'²´/²¹¾¯F­6¿Àº,µ6Á!²³²Âº·¼·«µ´/­¸@·Ã¶Ä«'·!Å2­¹!ÆS¹µ¸

Ç

²º·¹!·¸¡È

!

"#%$ &')(+*-,/./021432567(89-1+./,';:<1===-=-==-==-==-==-==-==-==-==-=-===-=-==-==-==-==-==-==-=-==-==-==-== >

?@ ACBDEFHG;IKJL<MNEOPG;L+JLQ+LERSJUTVIKRJ W

X+Y%Z [\^]/\%_-`<a+bdce_f<gih%_jfk_-l mm-m-mm-mm-mm-mm-mm-mm-mm-m-mm-mm-mmm-m-mm-mm-mm-mm-m-mm-mm-mm-mm-mm-mm npo

q+r sutv^w+xzy{|}yU~€V|;y‚|;ƒ„‚-y-…t~S|;ƒ€~v …j†Ky+ƒ ‡<ˆ

‰Š%‹ ŒŽ‘N’//“2-”•‘ ––-––-––-––-––-––-––-––-––-–-––-––-––-––-––-––-––-––-–-––-––-––-––-––-––-––-––-–-–– —p˜

™š ›œžŸ ¡¢-£+ž ¤<¥

1. Uvod

!" !#$&%'(!)!*$+-,/./%'($+*$+0

odprtim sistemom v katerem veliko majhnih enot pod vplivom povratnih informacij interagira neline

1234658781 9:4;31=<;4*>?@!AB1C9!A9D<*E+1FB<G;!< 9D34IH1J<><K!<31

–

;9L<NM'4PO:1 9L4Q;3<N9!R(1*><C3<R1B SLT*ULV WX-Y Z\[]U_^`a!WbdcSL]*U(]&^[]WS:]U(e!`f]gW]/^[h*V8fT&S!i'[]WjfTW]kcTWb*[l&Wbgm]n!bpob'X ]^U(bc q!U:`(W'VX*`(`n:n`c

`Wpo [`rbsQWb S^-[]nQ`S!U(bc!]reLT*ltcT'X TWjf]uUbl&o'rTU(S!W'`ikS`S^Tl/bc Y

v

o [`a!Vjfb aLT*lwSLT*l&`W] xyz|{}~+}z €}x{'‚ƒ‚-„(}*…†L‡*€ˆ‡Š‰ˆˆ‚‰ˆ‚‹!…‡ŒŽ‚‚„‡Š}*€ ‚‰pŒ‘‚……‹!… ‚’F€ x} †:‡ ‰L}Q“ ”

•—–'˜š™–*›+œ™žœNŸ  œ*¡¢!£¤£¦¥¨§(–§©GªLœ«™–­¬‘£™–*™¢!™œ›®¤ ¯¡°ªŸ  œ›d£™_–©I±Lœ™œ-²´³µ– ¢Lœ*¶£´·©›/©­¸­ –Q¸¶– ¯'©

›+–Q¤œ›+–Q¤£¢!™'£¹t© © º*£Ž¥»§L£-£¹¼·©›/©½¡'Ÿ© –*· £¶£—¾C§(– ª™œ˜£¹tŸ© ¯¶–Q¾¿£¹À¥ÁŸ  œ'º ª¤–Q¾£¶£8·©›+©Â›+© º'œ¶œ¼ª

katerimi skušajo raziskovalci opisati dogajanje na trgu in se v zadnjem poglavju dotaknili še

Ã(Ä*ÅÆÇÈ ÉÊËÆ#ÌÍÄÎÅÈËÐϑÊÍÈÍÑ!Í ÊÒ)ÓÅÔΑÕÐÖ´ÓÆ'×ÇÊ&ØÄÙ+ÄÛÚÄËÆÙ ÓÄÇÈQÎÊÇÍÄ'ÔÎʦÜ/ΎÕˎÕpÃjÓÈ ×*ÅÈÎÐÈÇÊÈ*ØÔLÄ*ÇÝÎÍÈ

ÓÅÆ'×ÍÄ'ÔέÔ!Ú ÅÆ*Ù+ÆÙ&ØÆ®ÉLÆ*ÍÆÛÓÞÍÆ*Ã(ÆÙ Ñ:È ÔLÄQÓÍÆ*Ù ÄÃ_ÓQÊÅÝÀܐÊÍßÌÞÍ_ËÊÙ ÚÄÃ(ÈQÌÈÇÊ ÍÆÍÈÃLÇËÝÑ!ÍÄ'ÔÎ

oblikovanja cen.

2. Orodja

Poglejmo vsoto n

^{àá â'ãäåæ!à'åçèåã'áà!éå}ê!àâìëâ*íîïã'áðñá*à åç)òå¦óôå¦ó¦ã6óõ´àî*öLðñ÷êà åç&æ!ë íá*ø+áà'ðñåäö

x i ,

n

n x x x

S ≡ ₁ + ₂ + ... + (1)

ùú û*üýþÿ!ü

ú'û û*üûßü

ÿ!üû

û/ûü þ

ke { } x i karakterizirajo momenti ^E { } ^{x i n , ki so}

neodvisni od i . Gostota verjetnostne porazdelitve (PDF) za S _n v splošnem ni Gaussova, z

ý ÿ!þ

n pa se, po

!"$#!%'&(*)+#,$-.+$/012#/-3#4,51768%//#:9<;

Hitrost konvergence je po Berry-

=?>@>AA!B CDAEGFA$CHAEJILKC!MCNA!B OP>RQSD1CTUA!B1FC!EVFWHAFXA$YOJELCEPAB1F2O

absolutne vrednosti in kuba standardne deviacije x _i . Podobno velja tudi za

B OQ@MXI NBA Z[$\]^L]!_`abcd.]fedb@_bZghbi]!_1jbk_gl[g\m:n1i]!`a]_ ]hoqpsrut

2.1. Stabilne porazdelitve

Poseben tip porazdelitev na katerega naletimo pri porazdelitvi vsote n

b<tvb<t<iwtx_ md@`ay k_$bz

spremenljivk, so stabilne porazdelitve. Njihova funkcio

_m`_ mJg{`bd3mPn1m|\m:n`bk_ ]}c\]i!_ gZsjb

n ostaja enaka.

~

g!\]_n1gc1mb_+€8myZZg:c1m[g\m:n1i]!`bj]c‚Z3jm4Z3jm{$b`_b[ g!\mn1i$]`bjƒc:b<t„?m4[\ƒcg4[\]:c1]\b^Lgxjg+Z…[ g!^Lgk†ag

‡.ˆ!‰ˆ‡*Š‹!‰Œ3ŠŒŽ‹’‘$‡.“Œ”‹f•—–™˜›šœž‰‹Ÿ1ž ‹l¡ž‰ˆŸ¢‹£ŒŠ¤ 1‹R”‹

2 2

) 1

( x x

P = +

γ π

γ (2)

K

¥!¦¥§*¨2©¦ª«3¨ª¬ ­ ¥J®u¯$­§.°ª±¥

– Fourierova transformiranka verjetnostne gostote – zanjo je

iqx q

e dx e x P

q ^γ

ϕ ^{∞ −}

∞

−

=

≡ ∫ ^{( )}

)

( (3)

Po konvolucijskem izreku je Fourierova transformiranka konvolucije funkcij enaka produktu Fourierovih transformirank teh funkcij. Karakterist

^ª¬­¥®’¯­$§.°ª±¥

ϕ _n (q ) verjetnostne porazdelitve

) ( ...

) ( ) ( ) ...

( x ₁ x ₂ x _n P x ₁ P x ₂ P x _n

P + + + = ⊗ ⊗ ⊗ ^; x _{1 ,} x ₂ ,..., x n i.i.d (4)

je dana s

[ ] ⁿ

n ( q ) ϕ ( q )

ϕ = ⁽⁵⁾

!" #$%&'(") *$+$,!-'/.

unkcijo ϕ ₂ ( q ) = e ^{− 2 q} γ in njej Fourierov obrat. PDF za dve spremenljivki

2 2 2

1 4

1 ) 2

( x x x

P + = +

γ π

γ (6)

ima enako funkcionalno obliko kot za eno samo (2), Lorenzova porazdelitev je torej stabilna.

01213,465278-479):7;1=<?>":3+@)7A1;1CBD5EFB;5:,A5:"7EG52A54H:

ostnih porazdelitev je skupna oblika

γ α

ϕ ( q ) = e ^{− q} ; ( α = 1 za Lorenzovo, α = 2 za Gaussovo porazdelitev) (7)

I5G%JK7:L0ME7:4@E7:5ONQPRS8-41O25T)7U1WV"2BD"U5;X8V"UBT:58-461D7U:5YVB21Z[5U74\G5^]^0_1213,45278`479:)1a<?>":

kcija take porazdelitve je oblike

 



 





 





 



 +

−

 





 



 



 



− 

−

=

q q ln i q q q i

q tg i q q

q i q ln

β π γ

µ

π α β

γ µ ϕ

α

1 2 1 2 )

(

[ ]

[ ¹ ]

1

=

≠ α α

(8)

kjer so 0 < α ≤ 2 ^, γ je pozitivni skalni faktor, µ ∈ ℜ ⁱⁿ β

V)121;5452b1"87;54279:)B"8-47

[ ] − ^{1 , 1} β ∈ ^.

cedfghihj)d)fCklghm-fnophqoposrktfuvoghipowqoFudfdfsgo=ufad)om-f-qpto"vdkx-ih

α ⁱⁿ β ^:

2 0 , 1

1 , 2 / 1

=

=

=

=

= α

β α

β α

Gaussova Lorenzova

Smirnov Levy −

(9)

yzm,pftqfgh{x|o}l)k~k}gox€xh~oithjdkr)ktfuvoghiphqk

( β ^{= 0} )

^udhj%ogdh~ r)kprto"j‚qo~

( µ ^{= 0} ) ^.

ƒ

h~*oithjdfnop%„…qopf=potqoid)k"x-idfsrktfuvoghi6op

P L z indeksom α in skalnim faktorjem γ ^je

^{≡ ∞} ∫ ⁻

0

) 1 cos(

)

( x e qx dq

P _L ^q

γ α

π ⁽¹⁰⁾

razvito v vrsto za x >> 0 , γ = 1

) 1 ( 1

) 2 / sin(

) 1 ) (

( _α ^α

π

πα

α ^{− +}

+ ≈

+

≈ Γ x

x x

P _L (11)

x

porazdelitve. ^E { } ^{x n} divergira za n ≥ α , ko je α <2. Nobena Levijeva porazdelitev z α <2 nima

"#3 )04'567.8- 9: .!9: ,; <)/! = > "#?+:?"#)" );

skale –

@ABCDEFGEFHBF@I4FJAK(@K.LM#D@N@FPO

Q

DM#FRBS+DUTKWV7XFYLD[Z%K

stabilne porazdelitve tudi samopodobne. Za reskaliranje verjetnostne

\

DHF]X.K^BZ=EK_LK`D]HBS+DaMbEHKX@D.L;ZBEGB]CD.XBTNc

α γ

γ πα

α π

α

/ 1

0 ( )

) / 1 ( ) 1

0

( S e dq n

P _n = = ∫ ^{∞ − n q} = Γ ⁽¹²⁾

Porazdelitev P ( S _n ) je pravilno reskalirana z

α /

) 1

(

~ )

~ (

n S P S

P _n ≡ _n ⁽¹³⁾

\

HB#NKS1KHdL

i normalizacijo zagotovimo z izbiro

α / 1

~ n

S _n ≡ S ^{n . (14)}

ePfhg`i7jlkPmn%oqpPrstk(uvn%rhpPrhwPrhk'xlpzy{oqx7p

|~}%}€;}2€‚ƒ„*…:}ƒ†.;}€‚.†‡ƒ„ˆ.Š‰‹4‡†;ŒŽ„ƒŽ€ˆ‰;Œ†…Œ‘‚ƒ†a‡…†ˆ†’‰€“+†.”„…€‰ƒŒ‘`•–€ƒƒ‚ƒ€—`}‰ˆ†‡˜

™ †’†…ƒ_†’€1;}%†—.;}€‚ƒ„ˆ.Ž’‰†4„`‹—}„‡`‹ƒƒŒ„a†Ž’†ˆ.†;Œƒ

i verjetnosti na vseh nivojih, kar pa

š›`œ`›žŸ ¡¢:£¤:¢4›œ›.¥žŽ ›¦+¡§.¡¨žG©žª£›œž'«.¬¤©¤­¤#¢4›a®.¡¯Ÿ›¦+ž(Ÿ¡£›œž;š¡Gœ+¥œ›ª`­#¡ž­¤ªd°ž©¤¢­±š›:š¡

¨ž.¢¡œ ›a­;¡›Ÿž.²¤š›`¡©«¢®›­£›.£›d³:£±¥¤ž;š¡`ž¢¤¦®£¡£2¤¨ ›Gœ›š›£ ¡.¢;£ ›a®¡ž©¥›Ÿ¤£´œ›'«

Definirajmo Y (t ) k

¡£h²› ¡aµ¶¤ ž ¨ ›zž­·£¤œ›aœG£› .±£­±

t

«.¸¹®¡:š¦+¡¦?µ–¤ ž ¨ žzž­£¤œž`©žœ©ž¦+›¦1¡

vse, kar se prodaja na borzi (delnice posameznih podjetij, druge vrednostne papirje kot so npr.

obveznice in blagovne opcije, tuje valute…) in vse celokupne indekse, ki so kakorkoli odraz dejavnost na trgu (indeks S&P 500 je prerez skozi 'delovanje' 500 najbolj reprezentativnih

º»1¼½¾¿À¾ÁÃÂÄ.Å;ƼǾƖÈ'Ɋ¾ÊżÀ;ˊÌ~ÍÎÏÐËĊÉÀÑÆÒӼʺÃÂÄÅ:ƼÇƺŠÇ¶ÔÕ¾ÖÔ'Ë;Ǻ½¼×¼À#ÄÊÄ»¾Æ¼hؐÙqÔ~ÚhžÊ.¾ÂÄÛ.Ä;ƖÈ'Å.º

aktiva sodi v našo obravnavo je, da je trg

ÄɺÊƼ`Ü`Ê·ÆÄaÅÄÉÄÑÆݾɺÁ.ÊÄWÈÅ.ºÞƼÇ%Ľ¼;ÆËÂÑÄÁßË»G¾Ë¼ÑÊÄ

govoriti o njeni statistiki v pravem pomenu te besede.

à

Ç%ÄÁº.Ë;ǾÓʺ_˽¼»1¼ÊÑƾÉÀ#º'ÈÀ¾qÆÄ(áÄ»1Äa½ºÜ¾ËÀ#ÄɺѾÖÈâƼ_ËÂ.½¼»+¼»áº`ã¼Ê¼

) ( ) ( )

( t Y t t Y t

Z _{∆ t} ≡ + ∆ − ⁽¹⁵⁾

ä

ѾǼ½ºÇÒ.½¾hÂÄÛÄ.Ë;ÇÄYÀ#ÄÇåË;ÇÄÁºË;Ç2¾ÓÊÄ[ËÂ.½¼

menljivko obravnavajo spremembo logaritma cene. S

æçèêéçYëì.íîæ%îïðéçñìóòîëôæôïñîõ;æJöçñç'÷lëì¹õìè1îøîùúìïñìïî¹òì¹ôëù.ôúì¹ñôè1ì¹òî.õðçûôöü~ý~þûôhÿì.õ

!"#$%&'($ ) *+%&',-.$ ) *$'&/0'&%&'$1

2#$34&'506

bro definiran, toda trgovanje na borzi poteka le kratek del dneva. Bolj smiselno

0 +* *. *+$7&'8(9 "101:;'8(!<0=-># -?> @(9#0A0B-=C$'40-

-?> 0*81EDF *$ G0H?**8I'&-< *$'&/0J&$ *@?K *8-L?66M;'81DN? '60,&'

O0*?+'O 30P$"-P$ *+$-Q&'$(6KR'&S6T$"/0-6T&'&U?@(-=V&

privzetkih, ni bistvenih razlik.

"!# $ %$&')(*" )+ ,-. /

)

lnY (t difuzni proces pri katerem so spremembe lnY (t ) porazdeljene Gaussovo. Tako je k problemu prvi pristopil leta 1900 Louis Bachelier [3]. Predvideval je, da so spremembe cen neodvisne,

0123,40536/76"89;:,12<=2"32?>@9"ABCB*6D,2EB782"F23<=0DG'2-HI2BJ,5C2%6"K89D39D,9F6LD,B*9G'6%B

premembo cene

G'6;4D,B*6;46)M42D;0$<$30$N)F9=N30$N)39"GC<=A530$NO780B72;DG'6DJPG*0*=0$N)76;D*:8650=6Q89;:<$0530RS9GT468$=0#39U48VA#JW39B

centralni limitni teorem napelje na Gaussa kot prvega kandidata!

X.Y/Z[\]"^_`aY"a%b[cd]["Z];cefga[ihPe[CjLa[;k,[%d"f$lY"anm]_om]Epeqkfpef$l^$fr]"bs["laYt*Y"a mY%u*]"aL["pY;r,]"a]dYLk

]"Zvpf$efga]"ZweY;`fxb'[;k,Y"anmy#zW{|\xc["pY"aTmY-_Pb*f"x*[}`;a[kY)f$a~`a[k,Y}];kf\]a,cf$eYaY)aY)eY`;^$fgaf$~c€ed"f$#_xC[

pe]u*]mtaTmY_pe]\kx*]"ZkEp[\"e[g‚my#_b*fom]Eced[;k,u*]"ZƒaYml[^m`,Yaf$Z%fk_Ck%e]pf$Ep["eY;`,\]^$fcqk,]-z„PZvpf$efga]

distribucije so precej bolj širokorepe kot predlagana Gaussova porazdelitev -

f$ZYm[}[r…mff$aikftomf ZYb'xf$Z%yZ†c‡]"eˆtf$etC]Qe]p]Š‰‹Œ^$f$b'YŽz‘k,Ya,cfcY;cfka[imf$)f`Z]ef$Z[Ox’g*]c€eqcf$ZwZ[Z]"ac["Z“\"fxc€ef$lyufm]

razlik cene, definirano z

) 3 (

) (

4 4

∆ −

−

≡ ∆

T Z

Z _T

T

ε σ ⁽¹⁶⁾

„Pbx*u*]x”m]•\[^[g*]a–cYb'[_—\Y˜f$ZY˜pefš™|Yyx*x*[;kf›p["eY;`,\]^$fcqkfŒke]\a[xcEafgzLœ.[;`fcfkaYke]\a[xc

ε

p[Z]"afp[gCYx*]ažYxf$Z%p,c[;cfg*]a~eY`;b*e[mPœŸš 

-ja. Vrednost ε sprememb cene izmerjena na trgu

cynmf$k,Y^$y,c-f$ZY%c€f$pfga]%ke]\"a[xcf["b*e[d

≈ 60

ε , za indeks S&P 500 pa znaša ε ≈ 15 ^.

¡¢£¤¥›¦…§T¨q¥©ª«š¬n£­q£®°¯‚¥±¬‚²­³¥o´‚µn¶n¢£·¸ˆ¹°¬T­º¶n«ˆ¶n«š»‚¶¼½¶n¯…¶Œ­Œ´‚¥±¾²¿/À‚²¯‚¶…¹ŒÁ$¯n‚¹Ã·­q£¥¢ÅĸT¶n­³¥nÆT¶¨S¾ÀÁÄ©«ˆ¶…µÇ¢¶È·‡£‚¦oɅÊT˱£¯Œ¦½ÉnÉTÌW¸

ÍTÎÐÏшÒnÎÓÕԂÖ'ÏÅ×ØPÔمڽÚoÛoÖT۱͂ÛκÔoׂÜnÒnÝÏÞÖÏÓqÛßTà‡ánâãÚÃÞÕԱͅÛγԂׂÜTÒnÝÏÞqÒÈÖP֚ÝÛnäTÔÎqÏއњÏå…ænϽڅçÔÝÏè

ki poudarja razliko v repih porazdelitve

é.êë"ìêí€î$ï*î,ð*ëñòóëôíê;õ,ö÷ëøEòùëíë;õîíqõ,êúóìîûëüý÷êþêiÿEìö;ÿîðï'ë;õ,ö"þn÷ê?ñóìêû"ýöùö"ý$î*ôíê;õî$ý$þêiöýíê"ìþöíîõê

ëûê"ý$òwùêëLêíìîøþêùö ìëLþëõ,êùö ù"î$üö"þn÷ö

ìqõîEíö"ï ëûê"ýñ ï*î~òóëôíêõö ýêó,íëï*òìqí€îøþëðí

êvóî$ìîøþî õ,êì$÷êíþëðí€þîóë"ìö

zdelitev, je leta 1963 predlagal Mandelbrot [4], ko je modeliral )

(t lnY

ê"þê/üë%üö,ö/ï'ëí"ðíëöðí€îøþî*óìë

êð—ÿ,êõ

-stabilnimi negaussovimi spremembami.

!#"$%&' ()+*,-"(.!*%$(/! #"0

cijo enako 1 v primerjavi z Levyjevo porazdelitvijo z α = 1 . 428

^{1 32 54(/!6} *7"8"9 :;!39&)'()1

<>=@?ABDCFEG5H=IJH>GELKMECJ?=@NOEPHQRSG5BQRSEQR@HTQU?DCO?VHTQR3H>WELPLGDBQRXRSYDV>EQH>KZB\[5BVB>WG5BQR]^ELGTG5?QO_0B\G5`OGEV>aSYDA>E ELG

višji momenti.

b$Hc`HQUBFCDGETELGJR3?>aCJH\PdQ ?AH=@B`eRSaSEfCJ?\PLEL_0BQRSG5?cQR@B>[G=@?cQU?gG=@?ABDChKZBV?\PZEIFa@?V>GDBcVB\Wa@Bi[aSELP?AH

dejanskim podatkom v centralnem delu porazdelitve, odpove pa v primeru najredkejših dogodkov.

b$H _CJH\PLER@HDRjECDG5B _0H\a@H>_R@?\aSEIJHk5E=@B ?\_0QO[D?>aSELKZ?\GJR@H\PLG5B B>[DHDlJ?\G5?AH [a@Bk?QUH G5H=S[a@?=mVB\PB`OELKTB

verjetnostno porazdelitev P (Z )

QO[a@?>KZ?\KMWnELGDV?>_QUHoIJHpa@HFIDPLE`OGD?eCDa@?V\G5BQRSE

∆ t . Vrednosti za

∆ t

^EIDWD?>a@?\KZBMR3H>_0B-qJVHrQUBsPBAH>aSERSKME`5G5BsKZ?VrQUH>WDBt?\G5H\_0BtBVVH>P=@?>GE0QU?AH=@B`uBVwvxVByvUzzzsKMELGYOR|{

Slika 3: Verjetnostna porazdelitev P ( Z _{∆ t} )

}~€ ‚'ƒ…„%†‡wˆM‰'ƒ ‚'Šˆ0~ }‹…}~#Œ,€ LˆƒŽ}‹

∆ t

’‘u M“U‘#”’•9–—˜D™›šœ.ž, Ÿ–•

intervalom se verjetnostna porazdelitev širi.

 $¡F¢£@¤¦¥§S¨©Uª>«¡D¬Jª\­5¡¯®Jª°­Dª>«U±£S²D©O­¨³¥§@¡´U¤µD¶µU¡¸·\¨µ¢S§S¨L¹²5´O¨£@¤°¹D¡>±£9ª>±L¨³ºZª>­ £»µO¨LºT¤D¢S§S¨©O­D¤°¨L­¼µU¤¸½O¨

rijo, ko

¬J¤©Uª>ºZ¡

∆ t (Slika 3). Opazimo tudi, da imajo precej širše repe kot bi bilo to pri normalnem

¥§@¡´U¤µ5²¿¾¯Àµ5«0ª>­ £@¤Á¥Dª>§@ª\ºZ¤D¢S§@¡F¬Â¥5¡\§@ªD®J·¤>±L¨¢¬O¤h£@¤Â®Oª>ÃJ¢3¤D¬D­D¡^¶Ä©U¤ÅµU¤Æ¥D¡µO±L²OÇD²£@¤\ºZ¡ÆºT¤D¢@¡·^¶y«U¨tµ¤

¡µ5§@¤·¡F¢@¡©ª£@¡¦­Dª¦§@¤\¥5¤¦¥D¡>§@ªF®J·¤\±L¨¢¬J¤^¶%µUª£9¬J¤©7£@¤¸¬F§@¤·>­

osti ∆ t pomenijo manjše število podatkov.

È

ª½°¥§S¨µ¢@¡\¥É£@¤¦®JªF¢@¡¦·>§S²Dʪ©¤>­¿Ë6§@ª£@¤¦½¢j²5·>¨L§@ª\ºZ¡°¬J¤>§L£@¤F¢S­5¡µ¢f·¡Ê¡·\«0¡D¬¯¬Ì¨®FÃ5¡·\¨½U©O²

) 0 ( Z =

P kot

funkcijo ∆ t

¾¿Í°¢@¡Î¨®D¹¨L§@¡Î¥§@¡\²5©O² £@¤>ºZ¡s¢@¡©O«¡’¬JµUª\«0¤y¥D¡>§@ªF®J·¤\±L¨¢¬J¤^¶\«U¨£@¤

najmanj prizadeta s šumom

zaradi omejenosti naše baze podatkov (Slika 4)

! "#$%&(')

) 0 ( Z =

P kot funkcija intervala ∆ t za indeks OBX.

Podatkom se prilega premica s strmino –0.712 ±

*,+-*/.102+,35476894:(;=<?>A@B4DCFE7GIHKJBEL:MENEL4OQPRO4

1000 minut opazimo ne-normalno skalirno obnašanje (naklon ≠ -0.5). Eksperimentalne

<KB4D>4/CDS>CJTNJTNFUGEOE;4TNR>VJ47@J/>=S:FHSI8W8X4OJ7G478ZYFJDC[\;JDCJT]D4;JL4/^+_YJ/C[;J/CJBETGJD>E`C?4NF@JO7H;Ja8

delu pora

^{^OJ7GIS}>CJ2bDO476@4RNJc;=SFd@=SIGJBEeYJ/C[;JDCFERN>E76SIGIHKEfNFSI8XJ/>=@=S:FHK4gdK4a@ED^OJ7GIS>J/Ch^iSIHKOJaUjN4a8

α ⁱⁿ skalnim faktorjem γ

^k PM*DlmDUMS;=<n8947@E7894noJfO4aG4:FS>AS-+

p

@JaUj4gdK4OED>=UEn4gHKEaUG47H<qBa@EDr=Es^EiCJa@I;JD>=HD4N>7O4B4OaUjEsCiS^D]K4O7So:K< k P%.l

γ α

πα α

/

) 1

( ) / 1 ) (

0

( Z t

P ∆

≡ Γ

= (17)

S^D@E:F<HDE78X4iCD@JOaHK4N>,SIHDOJ7UNE

α ^, α ^=1.40 ± 0.05.

p

4B7GJ%;=8X4soJ2m:JsNJsNKUjE7GISI@EaH;Jf@E/^>JD^FEs:JD^htMJ7G4D>AHK49CJa@I;JD>=HD4N>AHK4idK4a@ED^OJ7GIS>J/C+YFJDC[\;JDC49NFSI8XJ/>=@=S:FHD4

porazdelitev znamo reskalirati (13, 14)

uvwxy{z|}~€‚„ƒ…†‡y(ˆ‰vw-Š{x…(D‹yuvwx(w€Œ‚…‰yŽŠ~xyvw†y‹w‘_‹…(y‘’“…†‡y(ˆ‰vw-Š_~”_~(~(‰–•…ŽŠ‹…~(y—{…’”˜F…™\x€‹y™\†I‚y%‘

š›œžDŸ (¡Ÿ¢£¤\œ£¥{ ¦œ§(œ–ž‚{¨£(©«ªœª¢‡ž ¬§\›­TŸ ®”%­¬£šœ£{Ÿ %¢(š¨£¯ª°±¡\£²

Vsi podatki se sesedejo na porazdelitev za ∆ t =1 min. Sklepamo, da Levyjeva porazdelitev dobro opiše dinamiko porazdelitve P (Z )

³K´aµ¶·=¸K¹F³Dº»´R¼½¾¿ºÀ´R¼½º7µÁ¹´À¾/ÂD³Kº»´fÃI³Fĺ7½ÂF´7¶´sž7¶ÆDÃI³Dº

vsaj treh velikostnih stopenj.

Ç

½=ÃIÈ9º7½I·´·=È9¾ÊÉFºDÂË\·ºD¾̼K¾a½´DÍź7¶IÃĺ/ÂnÍRº7Èi¼ÃI½=ùF³D¾L¼

orazdelitvijo spremembe cene (Slika 6). Polna

¹F½Ä´Î³ÃÏÀ´aÈX¾ÑÐÒÃÄÓ¼K¾Å´DÄAµj¾7ÈnÔ̼½=ÃIÈ9º7½=³ÃRÀFµj´a¶IÃI½=³ÃnÐ=´7µÄ¾7½

γ = 0.00375 smo dobili z uporabo

eksperimentalnih vrednosti pri P ( Z = 0 )

ÕIÖØ×ÚÙMÛDÜÝeÞhßaàIÕáFÖKâÎãä=ÕIàåæçaÖèåêéFåDëì\èåDëåæçíãäâDî–ÕIàçíÖDç â7ïðXâáè=ñXò=äåaóXëFå7àIÕIôjâõò=ÖÕIófäåßâDë9â7ãKç/öDÕIðXâiöç

Z / σ ≥ 6 ; tukaj je σ =0.0508 standardna deviacija.

Slika 6: Primerjava ∆t = 1 porazdelitve (indeks OBX) z Levyjevo stabilno porazdelitvijo. Normalna porazdel zelo slabo ujemanje s podatki, posebno v repih.

!"$#%'&!)(*$&!+,-".+/0"21#3+456,- !"#!87

9!$#;:<1$#!) !"$#=4>)/-(*,;>6?@04>4>-"BA;,;C1

α <2 (11), toda eksponentno padanje

D;E(*/-64>!"F$ !"#!F4GH-I(*,;J6?@K4>4>!"B7KLM6H;N4G6,-O

$"6(*#=#!1)(*-#!@)O5(*,-<#/P"6Q7=RS(0="P1! !T"6UT4V(0,W#!6H;8A

,;XP1YTU -Z/=$ !"#!)/-4>45T5H;X?T1!9-#;:<1$#!X$

delitev?

9!$#;:<1$#![/-(*U1\[D-(]^,;/;#$/-(*QAW(;/-4>[@\(* !`_a^(*cbSAda^(*Ve$fgA`/;h !i#

/-$"16?j/k(*,-j#!6H;YA8"KP16#-01D;jDP"6?1j(* ?2101KlmenBAY)1o9!$#;:<1$#!j/-(*21

pqrsqutvopvwxyz{}|;v~;q$tz{ozt-€s-vwz{j€6‚pzƒ!vKpztv„5z…0q}† …U!v

zi-

~0€vrzwtz{†`~0€‡q{v~0€6z|-tz{}ˆsq‰;~;qk~

…*qt|-tqŠ-vs6zvt‰;qY‹CŒSqt|-tvo!vs6zvt‰;vˆq„>tzQŽipvkxŠ~…*vwzsvtUxˆs6zrwztqztK!wxvwtv…*qt|-t„

|;v~;qt„‘zt!€‡s!vw‚’‹-“Sv”pvwxy;”|;v~;qt•zt!€s!vw”~]•„>qsv”~-…0vwzsvt2x”~-…*v$ƒz€6zQ‹–Sq—w0x6„=q)!sx$€6tq~0€

pq—qp…*q$˜'zƒ{qpzy;|-‚

) 0 ( Z =

P

^™!š'›œ;žŸ*ž ¢¡£Ÿ2›!£¤¥-¤£¦ž§š$¨6Ÿ*£œ¤§£Ÿ0;š+©iª¬«®­¯¯'-Ÿ;°¦šP±²

) 0 ( Z =

P _G , P _G

Ÿ*ž¨´³š°;;ž$›!šk¦ž¡š$™!§£µœ¨£›¶$›!£¡±£$¨6¤ž0¨±ž”™-š·§ž¸ž§£ŸW›”œ™¹ž§œº;¥°Z™!š»¦¡ž¼]£¶Ÿ]œ½œ

bil Gaussov.

¾´¿

¦œ¡6œ¥-¤£À›¡£§¤ž0¨6œÁ›!š¡6œš¤¼;£cœ™ ¿

£¡±£¤£™!š›!;šŸ0ž

vrednost ∆ t

^{°¦ž¡š½œ¿ ž™-šcœ™¡š¥°¤}

P _G ( 0 ) . Razlika med verjetnostma pri vsakem ∆ t je merilo za ne-normalnost verjetnostne porazdelitve.

Â

¦š™¤žC±£Y¶;§š)¡š™$µœŸ*š=›!£¡±£¨6¤ž0¨6œ<›=œ™¹ž§œº;¥-°>-œP¨£

¿

š$¨6œ¥-¤ž)¦š§šW™

a 30 < ∆ t < 1000 minut (Slika 7).

Z ekstrapolacijo skalirnega obnašanja P ( 0 ) in P _G ( 0 ) ocenimo, da se zlom negaussovega

-Ÿ*šµœ¡š¤2±š‘™!¸ž§œ=¦¡6œ=¦¡6œ½µœÃ¤ž

10 4

¨6¡¸ž$›!šµ¤œ¹

¿

œ¤°-¨š¹ÄÅSšŸ;µ±6°¥œ

¿

žÆµš¹Ÿ0žY¶=§

a je negaussovo

-Ÿ*šµœ¡š¤2±£²ž¦š$Ã!£¤žj¤šk¥;š;ž$›¤£

¿

œ¤-¨£¡›-šµ°’¶8Ÿ;œ2±£²œ¼;£¡Y›!£µœŸ!¶¤£k¦š»¤£-Ÿ*ž¤¥;£¤¶;£¸š0±ž¥5ž§KÇ)¦š

do 10 ⁴ trgovalnih minut.

ÈÉÊËgÌMÍ0Î<ÏÐ2ÑÒÐÓÔÕ2Ö×Ó!Ø2ÕUÙUÕ2Ø0ËgÌÛÚÊÜUÝ<ÕUØPÊÞàß<áâÜÌÛÚ0ÊÖàÕ0ËgÕ<ãäÑåÐ2Ë¢ÚæÐ2Ô<ß<Ô<ÐMçÕ2ØUÌÓËgÐiÈèéëê2ìUìMí‡ËàÑåÕUÙ2î<Êï;Ö<ËàáUç<Ì×Ò2ÜYÚæÐ2ÑÒðÐÓÔÕUÖ ÓÒÕ0ñ<ßòÐÁó2Êòó2ÊÉ

3.1 Prirezan Levyjev let

!#"$%& ' ()*!(+', ())!-."'!-

intervalu, je prirezano Levyevo gibanje, TLF, definirano z



 



≡ 0

) ( 0 )

( x cP x

P _L

l x

l x l

l x

−

<

≤

≤

−

>

(18)

) (x

P _L

^{+/ )-01}32 54 617 8!()97:)8! -

α in skalnim faktorjem γ ^, c je normal

7+ ' <;>=?2@'A B)(!C D E "F817 ()A -0G-H"F8I 5

!B)()J(K2 14 1 L17 8!()M #; NO-0LL!P !L)Q ! !R)LQSQ% 1T78()UV;

Porazdelitev P ( S _n ) se dobro prilega P _L (x ) v limiti n → 1 , za limito n → ∞ pa je P ( S _n ) = P _G ( S _n ) (Slika 8a). Obstaja mejna vrednost n , n _x , da je

 

≈ 

) (

) ) (

(

n G

n L

n P S

S S P

P

x x

n n

n n

>>

<<

(19)

n x je dan z n _x ≈ Al ^α , kjer je za γ = 1

[ ]

) 2 /(

2

2 /

) 1

2 /(

) 2 / sin(

) 1 ( ) / 1 ( 2

−

 

 





− +

Γ

= Γ

α α

α πα

α α

A πα (20)

Zanimivo je opazovati konvergenco procesa TLF k njegovi asimp

V"SQ!% %"7L )-

n . Pri parametrih α = 1 . 5 ⁱⁿ l = 100

)-H%(+W!X #" 8+W-0+

≈ 260 n x .

Pri enakih parametrih narišimo porazdelitev P ( S _n )

^{7 7()Y8!}

osti n , vselej primerno

!())<"8Z !(+&!-0[)-0!)+ #;]\^B())_=?2@`17 8!()M Z ZaZ !-H)T+_7

n -jem. Za majhne vrednosti n ( n = 1, 10) se njena oblika ujema z Levyjevo, za velike n ( n = 1000) pa se

B()X.SP% 5 %];

bcdegf$hijMfkOlmonpqmsrtvuowxry0dzT{vuo|d}~€Qegu‚rƒM€otTeg„…dpqf

n za α = 1 . 5 ⁱⁿ l = 100

†‡…ˆs‰vŠŒ‹Mˆs‰0Žˆso‘`‹MˆP’TU“g”‚•v”D–˜—™’všD›–…šQœ)qšDž

Ÿ ¡…¢¢‚£‚¤$¥v P¢F¦§)¨©ª D«v£¬­§Ž£T®o¯…°¥T§²±…³T¢ª¨q ‚¤´µq ªµq£¢°¶·¡T´ T¯°µM£¢

4

10

5 ⋅ realizacijami. (b)TLF proces z enakimi kontrolnimi

parametri za n = 1, 10, 100 in 1000. Za majhne n (1(krogci), 10 (kvadratki)) je centralni del porazdelitve dobro

! "#$%& '#()*+"

n

-,./.. 0/12312%4%56!/7869:23+

;

<8) 4#$"23:#$%=

Posledice brutalnega rezanja porazdelitve

>@?BADCFEHG5IKJ1CLADCM1GBN1CFOGHPQI5CSRL?UTLGLVLRLCFWXGBCFRLCFE$YN-YZ[RL?5\]C YVLJ1C^VDC VDC OCFJ1CFON1?FJ-Y>N(YZ[R_G `a5R]O*b[YM1GcPdJ1C5Z[a]R_CFE$R]Ye[O*? >_Y$Wfa5EC]b[YM1? T5J1G]b@?5>gC > N"CFO*G I5?^`hY$R]Y$J1CFRLG

porazdelitvijo pa zahtevajo precej napora.

Eksponentno odrezano Levyjevo gibanje, ETLF, kjer porazdelitev pri neki meji namesto

>[O*GKO*GFWiCj?FO>[T_GKR_?FR[N-R_GkT_G]e[EM1?FWXGkT5J1G^N-YLR5YZ[E$YPM1?lVDCm>[Y$Wfa5EC]b[YM1?nT]J1?5b@?MQT5J-Y$WX?KJ-R_?M1e@?nY$Ro?KR_G5>N1CLpLRL?M1e@?cP

T_GKE?5\qN1?5\]ClTLClTLGLVLRLCFWXGqN-aLIFY*CKR_CFE$YN(YZ@?FRiVDCFT]Y>iRM1?5\5G^pD?rO*CFJ1CKO/N1?FJ-Y>N-YZ[R_?q`a5R5Ob[YM1?

[ ^{( )} ]

) cos 2 / cos(

) / 1 ) (

( ln

2 / 2 2 1

0 q l arctg l q

c c

q α

ϕ = − + πα ^{α (21)}

) 2 /

0 cos(

πα

α

≡ l −

c ; c ₁ je skalni faktor (22)

s

J-aL\5C5Zg?FRtR_C5Z_Y$RoJ1?^VDCFRM1ClRL?fpLT]E$YpDCrR_CrO*GFR[pD?FJ1\]?FR_bgGjucvxw5yrz|{}CFa_>g>[a~

Raziskava skalirnih lastnosti P ( Z = 0 )

pdJ1CLVLE$YZ_R5Y$z€Z@C]>@GLpLR]Y$zGK‚_I]GF‚/M-Y$zdR_CKW TLGLpD?cPlO*CKO*G€>g?

obnašata indeks α in skalni faktor γ

ƒ1„'…$†$‡*ˆj‰^ŠŒ‹5Ž_†-‘_’|“1”H•5–]ˆj—@’m˜F™1ˆLš†

P ( Z = 0 )

›Dˆn™1ˆ^›L…$†Ž[‘Lˆn…”L"ˆ

œ

›LL’F™1”]–F‘5†•c_’K…”5˜m1”]˜5ˆž_ˆm—@’

œ

›^_’F™1”]–F‘]†@-Ÿ_–K†D˜F™1ˆLšŸo›[ˆj @”K…’L1”K‘¡’F¢L—@”5˜k_’]–5ˆL(‡*’

œ

•K‡*ˆF™Q‡*ˆ^£D”H•]–5ˆi“1”

œ

grobem indeks α

^Žg”L›f”^1ˆr‡*’F‘L—1ˆF‘[1”F‘F‹

Faktor γ s katerim je povezana vertikalna pozicija grafa,

‡*ˆ^£D”

œ

”5Ž“1”qšh…$Ÿ]‡/-ŸLˆ5 [†“1”c‹@¤)”]Ž“-†Œ“1”q›Dˆt’F¢_–]’F¢“1ˆH•L‡’¥“1”q-™1˜r¢_’F…“F–5”“1ˆ

œ

”F‘F‹

¦]§¨©Œª¬«­®5¯°±¯²"³´µ+²@¶ª¬·/´¸/´/·¯©H¹!¨¶/º´/·¨»¼½¾¨³·/¯©Œµ8ª¬¦L¿]À¥Á/ÂÂQ¶ª¬°Ãª¶/§¨¼³ª¾§¯²ªÄÅƪ¶/¨²1¨-±¯x¯³ª©Œ´:µ©Œª§³´6¹/¯

denje za vsa leta, skalni faktor γ

ƪ¾©ŒªÇ¯È¹¯¼(±¯6ɧ½/©²1½ª/ʨ±¯Ä

Ë

ˆ]—@’

œ

‘Lˆl‘L”5’]–

œ †—[‘L’5—c‡*’F‘[-™1’F…$‘]†$ÌoLˆF™1ˆKÍX”L-™1’

œÎxÏ]Ð

-ja, α ^, γ ⁱⁿ l , je glavni pomislek tega modela.

TLF model d

’F¢5™1’Ñ’F]†Ò@”Óˆ]—[†$ÍfD"’L-†Ž[‘L”ԝL’F™1ˆL›[–5”F…$†œ

”Õ—[5™1”KÍX”FÍq¢€ @”F‘L”ÑÍX”F™$“1”K‘5†$ÌՑ_ˆÑ™1ˆ^›L…$†Ž[‘]†$Ì

Ž@ˆ]—@’

œ

‘]†$Ì¡—[‡ˆF…ˆFÌF•F‘_”m’FÍX’]˜5’]Ž@ˆnLˆn5™1ˆ

œ

†$…$‘_”]˜5ˆm’F5†—gˆjŽ@ˆ]—@’

œ

‘L”j’]–

œ †—[‘L’5—(†

œ

’K…ˆL-†$…$‘L’5—(†

- dejavnosti -

’FLˆL£D”K‘_”r‘_ˆr™1”5ˆK…$‘_”FÍ֐-™1˜FŸF‹

Znano dejstvo je, da gibanja cen na trgu ne posedujejo omembe vredne avtokorelacije [6, 7].

Avtokorelacijska funkcija sprememb cene

) ) var(

(

t T t t T t t

y y y y

T y

R δ

δ δ δ

δ ₊ − ₊

≡ ⁽²³⁾

#%$&('*)*+,&(-/.10325460782549$:+;'/.<50=46>@?' ACB,)@'

T ≥ 15 min jo lahko mirno e

49'6790=<D-E)54607*F

GIHJKLNMPORQ S*TPUV/KV/WYXZHL3[\J]^\KL`_ba3c3K[\J]L5deLfG*gIhji3O3ORklXZHXnmXZceLceLopJcZaUc3J6^KL/HJqr%aZc3K[J]Ls^tX`WYLed3KPWuL!]LsXZK^vV/cXZcU(cVs^

KL/WYLRKwUXZWJ^U(Jx\c3JoxtL3^tV/o

min

≈ 4

τ ^.

Odsotnost zaznavnejše korelacije v spremembah cene je velikokrat dokumentirana

^{y=zf{ |Iy}%~/1z*{}

€‚ƒ1=„(…:†9…‡;ˆ*ƒ ‰Š‹6ˆ „1Œ(…9Ž9=†6‡;ˆ*ƒ(‹6‘I…Eƒ’„(‘6…6‰”“–•I—w˜

™

‹:†9ˆ š›‹ †8Œ(‹œ=†@ƒ’6ƒ1*†*ˆœ… žI‡;ˆœ„(…*Ÿ*ˆ *Œ16¡*Ž%‹œ¢IR£‚¤I„(‹ šD‹:šE¢9‹f€,‹ †9‹œ¤*ˆ6£%‹I¥6ˆ@… ‹fˆ:¢9Ž‚‚ƒ1†9ˆœ‡;ˆ:„(‹ …I€‚Œ(ˆ¦¢6

Œ(ˆ… ž6‡/ˆfŸ*‡/ˆ „1£/ƒ1==ZE¤6„(‹:¤6„(ˆI£/ƒ1;£/ƒ’„(…*ƒ(‹I‘ Œ1–¦@£§‡;…*ƒ‹ „(ˆ`¢I\¥Iˆ6£%‹I‘6…:=;¤*ˆ*Ÿ*ƒ’*†9‹`„(‹Ÿ*6ƒ…*ƒ(‹¦%£%‹`¤6„(…*Ÿ@…6£9=@ 

ke.

Š…:‡;‹¨£/ƒ1„(…ƒ(‹6‘:Œ(‹©¤9…ª¢6ƒ(… ‡/ˆ©„(‹6¥:9€‚=„(…:‹©‡;ˆ „(‹:…6€‚Œ(‹¦„(…*Ÿ@‹:†¨šDˆ:„(¥6…©†*…©‡%„(…*ƒ‹ ‡«„(ˆ ‡‚¦ƒ(ˆ¬Œ(‹¨Ž%…I£*¦‡%IŒ(‹

¤9ˆƒ1„(‹ ¢*‹ † ¦s¥6…­=†@®1ˆ „1š›…6€‚Œ(‹¯*Ž‚=†6‡,3Œ(‹/Œ(ˆ°†9…±ƒ1„(‘:C˜›²³‘Iˆ „1†3Œ(‹´£‚==‡;‹¯µ(¶·==‡;…³¸%¹º`Œ(‹¯„(…*Ÿ%¥ †9ˆ¦E¥6…»£,‹

avtokorelacijska funkcija spremembe cene eksponentno razkroji z rela

^{‡;£%…I€‚Œ(£‚‡%=š Ž%…6£%ˆ:š}

min

≈ 4

τ

^¼½‚¾E¿P¾ZÀÁÂ5ÃeÄ/ÅÁÇÆÄtÈÊÉeÂ5Ë3ÉZÌÍ3ÂZÎ=Ïe¾RÅÂZÉEÌÉpÁÂ5ÐeÄtÍ3ÂnÏe¾RÉ8ÏEÑÒÄtÓZÉeÄ3ÀÈ(ÑÔÌ6ÌÉPÕYÄRÎÑÒ¾ZÖÌÁ×À\ÆÂ8ÈÂZØ3ÉÄ/ÅÄ3Ù/ÌÁÂZ¼Ú@ÄÛÈ×ÂZØÝÜÈ(ÌÎÌØ ÑpÌÉ3ËnÈ×¾/ØÞÄÛÌÉPÕuÄ/ÎѾ3Ö\ÌÁÌß*ÆtÌÁÂÍ/Ð3ÅÌÍ\¾RžÛɾ8ÀÐZÎYÂZÑÒÂZÑpÃÄÔÍ;ÎYÂàRÉeÄZÀ!ÈÌ;¾/ÆáÈ(ÌÍ\ÂZß/ÓÂÍ3ÀÌtÍ3Âà3ÄâÌÉÉe¾âÉwÁÂZÉÎY¾3¿\Ë3ÉÊÏe¾3À\ÅËÓ3ÆtÌ/É3ÌÀPÄ·Í\ ¿

ÑÒÄeÓ3É3̼

¶ƒ…*ƒ1£/ƒ’Ž‚†9‹ã…6£/ƒ’†9ˆ6£Rƒ1… žI‡;ˆ¬ˆ ¢6„(…*†9…@… š›ˆjƒ1*¥ 6ä¤6„(ˆI£/ƒ(ˆ „1N®á„(‹ ‡3@‹:†9€*˜¶¤*‹ ‡3ƒ1„(…:=†9…¬‘6ˆI£/ƒ(ˆ*ƒ…jŽ%…6£,ˆ**†*‹

vrste je dana kot Fourierova transformiranka njene avtokorelacijske funkcije

∫ − ^∞ ∞

= R T e − dT f

S ( ) ( ) ^{i 2 π fT} (24)

Za posamezno delnico ugotovimo, da je spektralna gostota logaritma cene dobro opisana z

2

) 1 ( f f

S ≈ (25)

‡;…:„%Œ(‹Eƒ’9¥ /£‚¤9‹:‡3ƒ1„(… =†*…s‘Iˆ6£/ƒˆ*ƒ(…†9…:‡%Œ19Ž‚†*‹fž*ˆ/Œ(‹˜

Slika 11: (a)Avtokorelacijska funkcija spremembe logaritma cene za Coca-Colo od 7/89 do 10/95. (b)Spektralna gostota za isto delnico je dobro aproksimirana z S ( f ) = 1 / f ² .

Hiter razkroj avtokorelacijske funkcije implicira aditivnost varianc: vemo, da je za nepovezane spremenljivke varianca vsote enaka vsoti njihovih varianc. Odsotnost linearne korelacije je tako

kons

!" #%$&$'$(!)*+$&-,./10

4.1 Volatilnost

2

3$&%%$&5476 $%-%8 9:9;-<3<$&%8=$>9?@ 9A$&$B"%9

"9A$&>' #@9 6%C0%DE ##>F3$&

cije še ne pomeni, da so

G%HIJK:JKLJNMJOJPOJQ RS#TG%OJPOUVWXYZOJ[GH IJK?JO WXTS#V&J'\^]`_JS#TWOJ[a>_YRTXJ[GQbHQVUcUWJ'd^RUNTK:U>XQ

avtokorelacijske funkcije nelinearnih funkcij kot so absolutna vrednost ali kvadrat vrednosti daljši spomin. To nas navede na misel, da poleg

GUKTe[G%H IJK:JKL[MJO[QLG>_UXUNaJfJOgG>_QeU G_TZO T

proces – volatilnost. Volatilnost je najpogosteje ocenjena kot standardna deviacija ali kot

ULGQWY%_OU5SIJROQ G_hG%H IJK:JKLJ-MJOJ5SiYG_IJc#OJKAZUGQSOJKAQVBS#TIY<TO?XJjK:JITWQkdV&UVQSJIXJ_OQ

XJ'd?R UlLQAOU aUmG_QeUG_TZ%OUmG%H IJK:JOWXTSV&UmR Q#nTSJWUpoCWYVB_YU M%TXQk\q^QLJIIU#cWQ rpcUsQL IUS#OUS%Q

G_U#_TG_TZO TetWU G_OQ G_ TS%QWU_ TWOQ G>_TXJur Q#_QSQj_U'd'RU-SQWU#_TWOQG_^RTIJVB_OQtWUeV&QtHQ#SJn%JK:QuG5VQWTZ%TOQ

TOoQIK?U M%TXJkdVTH ITGHJ-OU_Ir!SvR QWQ ZJOJKwZU GYx\'y^US%JWTV&Q5V&QWTZ%TOQ5TO%ozQIK:U MTXGJ_ Ir QS%M%TOUSUROQ

L YIOQQ R#cQSJ>XQ'd#V&QWTZ%TOUc%UK:JOBXUOTe:R JWO TM{XJ?S%JWTV&Ukd%TO|SQWU#_TWOQG_S|G%HWQ a%OJK}SJWTV&U'\~QWJ r€_J rU

XJ!TcH IUVB_TZ%OJ rUSTRTV&USQWU#_TWOQG_'VWXYZ%O T3HUIUK:J_JI cU!K:JIQ_S%J r UOBXUoCTOUOZ%OJ!TOSJG_TM%TXJk\

Spektralna gostota in avtokorelacijska funkcija spremembe cene

G>_U‚G_U#_TG_TZ%OTQIQ R>XTƒd^V3T'O TG_U HQGJLOQQLZ%Y_WXTS#TOU!V&QIJWU M%TXJR UWXaJ rUvRQ GJr Uk\„EJG_CdV3T1XJYG%HJa%OJ>Xa%TBcUQ RVITSUOBXJ!H ITGQ#_OQG_T

V&QIJWU MTXJR UWXaJ rUR QGJ rU'd_JK:JWXTOUQHU#cQS%UOBXY?ZU GQ#SOJr UIUc3SQXU?G_UORUIROJ?R JS#TU M%TXJ

) σ (t spremembe cene. V splošnem je σ ( t ) ∝ t ^ν , kjer je ν = 1 / 2 za neodvisne spremembe.

…

KH TITZ%OJtIUcTGV&USJ=GQtHQV&Uc%UWJ'd'RUXJ5SIJ ROQG_^VQ Jo7TM%TJO_U

ν

^{G%HJ M%To7T}Z%OUic%UiS%GUV?_Ir=HQGJLJX

(NYCI ≈ ^{0.52, DAX} ≈ 0.53, MIB ≈

^† \ƒ‡ˆ‰{XJfHUtSJROQfIUe WQtS%J ZŠXU‚QR

†

\ƒ‡kd^VUI‹V&UnJfOUfIUeWQ

korelacijo daljšega dosega.

!#"$%&'&()!*+ !,-"/.0$ 1,+ "32"&(4567"398:<;=

0.

>@?ACBEDGFIH9JLKNMOCHPJ9QRIBESTBVUWACHNSJLHEM9FXMYQ[ZP?9BY\YKV]^STBVJ_Q[M9\YHESRKP>#`(acbdYdPRBeDGfB9]CBVJ9Q[g[Qih'\KeQ[jkK

) σ (t ^dva

lCm9nVo[pkqsrItuqwvIlCq9x^vTmzyq{mw|xs}~Y€x^lC‚ƒ9„LqN…[†Yo[‡zpˆo[†Y‰XxYŠ9‹CmˆƒNŒY†9qYqN†‹Cmˆ{X‰ŽGmNlCEo‰L‘9†9ƒz|

5 .

> 0

ν ^{) z} ν ≈ 0 . 8 ^,

YƒN…‚YƒyqY{ƒV„9†YoIlCm9n

im pa je blizu difuznemu ( ν = 0 . 5 ^).

’

ƒ‹Cq9„“…qN‡YvTƒzŽ9ƒ9„LmVnLmEp“ƒˆ{•”/vTƒEŽoymE†‹CmEpP„LƒE…qVx^o[…[†Gƒ{x^o”—–Tm‹C{x „XƒEpP‘9†GqN†Yo[p˜o‘•o[†GqN†GyX†9mˆ…[ox™mElCq9xš‰YlCms›„LmN…[o[vo[p

gibanjem v ceni sledijo še druge velike fluktuacije, ki pa niso obvezno v isti smeri.

Seveda podobno anal

^o‘XƒˆqN‡YvTƒ†9qElCmYNo[pkƒœx^‰GNo*„WlCmNv„LmN†GyX†9mEp˜ŽYlCƒY{xCƒEl^‰Er|C0…[o[vTqwž~9ŠŸvTq9nXmk{GŽGmEvxCmElW–Ivo

se obnaša kot 1 / f ^η z η ≈ 0 . 7

o[† xCƒNlCm‹ˆŽ9ƒ9x^l[‹^‰‹CmcŽl^o{ƒ9xš†GƒY{xkYqN…‹CmY‚q¡{XŽ9ƒEpˆo[†9qP„_yqY{Iƒ9„9†o„VlC{x^o

„LƒN…q9x^o[…[†9ƒY{x^oir(¢£vTqElCqNvxCmEl^o{x^oyX†GmNp¤lCq9‘9Ž9qYN†GmEp¥yIqY{X‰¦‹Cm§„¨xCm p¤Žl^o[pkmEl^‰¨xCmVn9vTƒP‚YƒV„LƒEl^ox^oir¢“Œ†GqqE†‹Cm

q9„IxCƒEvTƒNlCmE…q©Xo‹C{XvTmªW‰†YvT©Xo‹Cmª„LƒE…qVx^o[…[†Gƒ{x^o9†9qEpˆlCmyz†Gq‹^ŒGƒE…‹Cm«ƒEŽomEpkƒ«{zŽGƒVxCmE†9yX†Yo[p¬‘LqEvTƒN†GƒNp­o[†ˆW‰†YvT©Go‹Cq

ƒY{xCqE†9m¨Ž9ƒ9‘9ox^o„V†Gq®o[†¯lCqV‘9…[oyX†Gq°ƒY®†Yoyª„LmYy±…m9xWr)²#mE…mV„LqE†XxCmE†³ŽGƒYq9xCmNv´‹Cm°…m¦mNvT{XŽGƒN†GmN†Lx

α , ki je enak α

η = 1 − , α ≈ 0 . 3 ^.

µ¶·¸¹ˆº»¼Gµ½+¾¸W¿ ¾À9Á¶¹¿C·¶ÃÂÄ/¿C·Á·Ä¸Â+ÅÀ-¾¸WÁ¾ÃÆ÷ÇȽ+Âɹ¿C¸ÂÁȵ9ÊËÌÍÍιœÆ*¹Ä•ÂɈºÏÐ+ѓÉ“ºÏÏ+ÒIÓLÔ3ÄÕ¿ ¾ÀXÁTÀ Ǖ½¹Ö¾Ã´½À ·

frekvenci 1/dan je povezan s fluktuacijami volatilnosti znotraj enega dne.

Poudariti je treba, da o

ŒG{x™ƒ‹zvTƒElCmN…qY©Xo‹Cm˜„P„LƒN…q9x^o[…[†9ƒY{x^o†Gm¬†9qY{XŽlCƒ9x^‰‹CmcƒEŽ9q9nLqN†‹CmEp×pkmY{mEŒ9ƒ‹^†9m

neodvisnosti spremembe cene, saj avtokorelacijski funkciji spremembe cene in volatilnosti

‘LqV„9o{XoxCqzƒYªlCq9‘9…[oyG†Yo[‡zlCmYYƒV„ˆŽ9ƒY‚Yƒ‹^†Yo[‡“„LmEl[‹CmVx^†Gƒ{x^†o[‡Ø‚ƒY{xCƒVxWr

!"#

trtega momenta porazdelitve P (Z ) . V primeru i.i.d.

$

%& '#%(&&)+*,%

$

#!

n pada kot 1 / n , v našem primeru spremembe cen pa se

%*-%./%0.+#

$

!1,234-576.89

:);

!<=>? *

τ ξ

κ τ

κ ( n ) ∝ ( ) / n (26)

s ξ ≈ 0 . 5 ^{. Prehod} P _L ( Z )

@#AB#<

$

$

-5DCFEG

$$

%*)H

) Z (

P _G je torej

-5

$ $

IJ!K*&1

$

(

L

M-

$

0

$ *,-D#)

L

-5

n oz. ∆ t → ∞ ^.

NOPQSR?TSU<VNQWR1OPX(YAZ[Z1\=Y]R=^_R.Ya`(bcb"QWd_efb]d_R[dhg=Xib"jkb"jl\Abcefb"Y]b"mnR=o=R1Ya`(bpZ1g=P^fbBgAZAqrb"Y]s]Y"P]tAR.QSZ.Yutvb"QWdhgAZ1YAb"YwqrZ.jyx.mz.m{YAo"b"QWd

S&P 500.

|

*%#!G! C-5}G!A~?&!%*()~7%%=C7 !"

L

I€!!-.

-CM*%#)G!D* %

$

#!F%&& &#)!/!%

$

I

:

‚„ƒ…v†„‡+ˆ‰fŠ‹Œ„‡

Žy‘ ’“”•–— )‘&˜/—!™˜š˜›’œ’žŸ”,’‘&”1–˜, ˜•”¡Ÿœ’š(›>) •‘&‘ ¢ £“! ”¤=š’›?“!”¦¥a’“”“!§!“!‘¨šJ•™—&©)’•©<

repe kot jim jih napoveduje Gaussova porazdelitev. Njihovo porazdelitev v centralnem delu dobro opisuje sime

^šJ•’§)“!”ª›«]–›)”¬.šI”¢’œ“”­ ˜•”¡Ÿœ’š›®’“!Ÿ¤5”

α in skalnega faktorja γ ^,

¤5”š•¯• ’  !”¯ •£“"–—=–.–˜°›•–š“˜.š7¤5.šJ•‘ “’±²Ÿ˜™˜Ÿ¤5˜›³?´µ“”“!˜¶–+ Ÿ”·’‘&”‘K ’•’§)“”

 !˜•”¡Ÿœ’š›¶! •‘?‘ ¢¸£<“!°¤5˜“!§)“°‘&˜‘&“š°’“­š˜®–š

udi drugi veliki manko Levyjeve porazdelitve –

“"–“’¹‘&˜‘?“šJ’˜º“”‘ •§»“!)¤5˜“§)“’ž³l¼¨š‘ —½ •˜¢œ‘ —½—.š•¡“!˜¾ •’.š˜ ’‘&˜¿

 •’•¡”“˜ª)›«]–›˜@ ˜•”¡Ÿœ’š(›’–˜+¦¤’[ !”²’‘&”+?¤.˜š[–˜ ’<”“!˜›­•”¡)Ÿœ¤<—¶À+³IÁc”œuš—Ÿ’c“!¤.”.–

pomankljivosti. Preverili smo tudi korelacij

)¤5,¥Ã—“¤5£)’–/¥a’“”“!§!“’±'§<”˜›“’±>›•.ša³)Äu›š˜¤5˜•œ”£)’–)¤.”

¥Ã—“¤.£)’–”,) •‘&‘K¢!,£“!,}•”¡¤•˜.–’.›>“’§?¤.) !˜“!“)š“!˜,K¤5”•”¤=šI•’.š’§!“’‘F§”<˜‘FÅ,‘K’“M¤5”•+“!”

navaja na neodvisnost spremenljivk, avtokorelacijska funkcija kvadrata spremembe cene – t.i.

volatilnost, pa

¤5”Â)y •£1–Æ›§A–˜~›¡<š•”.–“˜.ša³¹Ç˜¡’š’›“”y’“~˜ŸÈ“’§€•”¡œ’§)“”ɘ.š”“!›Ê¡œ˜ÉŸ˜œ™‘

§”˜›“‘­˜¢!Ÿ˜¢"–—˳

Reference

[1] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, Second edition (J.

Wiley & Sons, New York, (1971)

[2] A. Ya. Khintchine, P. Levy, ' Sur les loi stables' , C. R. Acad. Sci. Paris 202, 374 -376 (1936) [3] L. Bechelier, ' Theorie de la speculation' [Ph.D. thesis in mathematics], Annales Scientifiques de l' Ecole Normale Superieure III -17, 21-86, (1900)

[4] B. B. Mandelbrot, ' The Variation of Certain Speculative Prices' , J. Business 36, 394 -419 (1963)

[5] R. N. Mantegna, H. E. Stanley, ' Stochastic Process with Ultraslow Convergence to a Gaussian: the Truncated Levy Flight' , Phys. Rev. Lett. 73, 2946 -2949 (1994)

[6] E. F. Fama, ' Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work' , Journal of Finance 25, 383-417 (1970)

[7] A. Pagan, ' The Econometrics of Financial Markets' , Journal of Empirical Finance 3, 15 -102 (1996)

[8] R. N. Mantegna, H. E. Stanley , An Introduction to Econophysics, (Cambridge University Press, Cambridge, 2000)

[9] P. Gopikrishnan, M. Meyer, L. A. N. Amaral, V. Plerou, H. E. Stanley, ' Scaling and Volatility Correlations in the Stock Market' , Cond. -Mat. preprint server 9905306

[10] R. N. Mantegna, H. E. Stanley, ' Scaling Behaviour in the Dynamics of an Economic Index' . Nature 376, 46-49 (1995)

[11] R. Cont, M. Potters, J.-P. Bouchaud, ' Scaling in Stock Market Data: Stable Laws and Beyond' , in Scale Invariance and Beyond (Springer, Berlin, 1997)

[12] R. Cont, ' Scaling and Correlation in Financial Data' , Cond. -Mat. preprint server 9705075 [13] I. Koponen, ' Analytic Approache to the Problem of Convergence of Truncated Levy Flights towards the Gaussian Stochastic Process' , Phys . Rev E 52, 1197-1199 (1995)

[14] R. N. Mantegna, ' Levy Walks and Enhanced Diffusion in Milan Stock Exchange' , Physica A 179, 232-242 (1991)

[15] R. N. Mantegna, H. E. Stanley, ' Turbulence and Financial Markets' , Nature 383, 587 -588 (1996)

[16] L. C. Miranda, R. Riera, ' Truncated Levy Walks and an Emerging Market Economic Index' , Physica A 297, 509-520, (2001)

[17] P. Gopikrishnan, V. Plerou, Y. Liu, L. A. N. Amarla, X. Gabaix, H. E. Stanley, ' Scaling and

Correlalation in Financial Time Series' , Physica A 287, 362-373, (2000)

[18] V. Plerou, P. Gopikrishnan, L. A. N. Amaral. M. Meyer, H. E. Stanley, ' Scaling of the

Distribution of Price Fluctuations of Individual Companies' , Cond. -Mat. preprint server 9907161