UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Dvopredmetno poučevanje
Petra Kavaš
REIFIKACIJA POJMA FUNKCIJE
Magistrsko delo
LJUBLJANA, 2020
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Dvopredmetno poučevanje
Petra Kavaš
REIFIKACIJA POJMA FUNKCIJE Reification of the concept of function
Magistrsko delo
Mentor: doc. dr. ZLATAN MAGAJNA
LJUBLJANA, 2020
Zahvala
Sreča ni v glavi in ne v daljavi, ne pod palcem skrit zaklad. Sreča je, ko se delo dobro opravi in ko imaš nekoga rad. (Tone Pavček)
Za strokovno pomoč, čas in nasvete se zahvaljujem mentorju doc. dr. Zlatanu Magajni.
Hvala možu, staršem in sestrama, ki so me vsa leta študija podpirali in spodbujali. Brez vas mi ne bi uspelo.
POVZETEK
V magistrskem delu obravnavam razumevanje linearnih funkcij v različnih vrstah srednjih šol z vidika teorije A. Sfard o reifikaciji matematičnih pojmov. Anna Sfard je uvedla in opisala tri stopnje v procesu razumevanja matematičnih pojmov: interiorizacijo, kondenzacijo in reifikacijo. V magistrskem delu sem te stopnje opisala, poleg tega pa sem predstavila tudi stopnje razumevanja pojmov pri drugih avtorjih (Dubinsky, Gray in Tall).
Predstavljeno je, kako se različne ravni reifikacije izražajo na primeru obravnave in razumevanja linearne funkcije. V empiričnem delu je najprej predstavljena obravnava linearnih funkcij v treh učbenikih matematike za srednje šole. Na kratko so tudi opisane ure matematike, ko dijaki obravnavajo linearne funkcije. V ta namen sem opravila hospitacije na treh različnih vrstah srednjih šol (srednja poklicna, srednja tehniška šola ter gimnazija). Poleg tega sem s preizkusom in intervjujem ugotavljala razumevanje linearnih funkcij 9 dijakov (3 iz gimnazije, 3 iz srednje poklicne šole ter 3 iz srednje tehniške šole).
Raziskava je pokazala, da se pri učencih kažejo razlike v razumevanju linearnih funkcij. Razlike se pokažejo že v srednješolskih učbenikih ter v obravnavi snovi pri učnih urah. Učbenik, namenjen gimnaziji, na primer, edini vsebuje tudi dokaze o trditvah o funkcijah, česar razumevanje kaže na stopnjo reifikacije.
KLJUČNE BESEDE: linearna funkcija, razumevanje, stopnja reifikacije pojma
ABSTRACT
In the master's thesis I consider the understanding of linear functions in three different types of secondary schools from the perspective of theory of reification of A. Sfard. Anna Sfard introduced and described three levels of understanding of mathematical concepts:
internalization, condensation, and reification. In the thesis I discussed the levels of understanding linear functions according to Sfard's theory, and I also presented the levels of understanding of concepts according to some other authors (Dubinsky, Gray and Tall). I also described how different levels of understanding manifest themselves in the case of the concept of linear function. The empirical part of this thesis considers the way of introducing linear functions in mathematics textbooks for three different types of secondary schools (vocational, technical, gymnasium). I also conducted hospitations at three different types of secondary schools. Finally, using a test and interviews I assessed the level of understanding of linear functions of 9 students: 3 from each type of school.
The research has shown, that there are differences in the understanding of linearnih functions in the tested students. The differences are manifested in mathematcs textbooks, where the textbook for gymnasium is the only one with proofs, the understanding of which indicates the level of reification.
KEYWORDS: linear function, understanding, level of reification of a concept
KAZALO
1. UVOD ... 13
2. DVOJNA NARAVA MATEMATIČNIH POJMOV ... 15
3. TEORIJA REIFIKACIJE ... 20
3.1. INTERIORIZACIJA ... 20
3.2. KONDENZACIJA ... 20
3.3. REIFIKACIJA ... 20
3.1.1. ZAHTEVNOST REIFIKACIJE ... 23
4. TEORIJI REIFIKACIJE SORODNE TEORIJE ... 24
4.1. TEORIJA PROCEPTOV (GRAY IN TALL) ... 24
4.1.1. Procedura: ... 24
4.1.2. Proces: ... 24
4.1.3. Procept: ... 24
4.2. TEORIJA APOS (DUBINSKY) ... 25
5. VPOGLED V ZAČETNO OBRAVNAVO FUNKCIJ ... 27
5.1. POUČEVANJE FUNKCIJ ... 27
1. NAČELO ... 28
2. NAČELO ... 29
3. NAČELO ... 32
5.2. RAZUMEVANJE LINEARNIH FUNKCIJ ... 33
1. Naloga: ... 33
2. Naloga: ... 34
3. Naloga: ... 34
4. Naloga: ... 35
5. Naloga: ... 35
6. EMPIRIČNI DEL ... 36
6.1. Opredelitev raziskovalnega problema ... 36
6.2. Raziskovalna vprašanja ... 36
6.3. Hipoteze... 37
6.4. Vzorec in instrumenti ... 37
6.5. Obdelava podatkov ... 37
6.6. Rezultati pregleda učbenikov ... 38
6.6.1. Učbenik za triletne poklicne šole: MATEMATIKA, avtorica M. Vencelj ... 38
6.6.2. Učbenik za srednje strokovne šole: MATEMATIKA 1, avtorji M. Bon Klanjšek, B. Dvoržak, D. Felda ... 39
6.6.3. Učbenik za gimnazijo: LINEA NOVA, avtorji G. Pavlič, D. Kavka, M. Rugelj, J. Šparovec 40 6.6.4. Naloge v učbenikih ... 41
6.7. Prva učna ura obravnave pojma funkcije v treh različnih srednjih šolah ... 43
6.7.1. Obravnava pojma funkcije v prvem letniku gimnazije... 43
6.7.2. Obravnava pojma funkcije v prvem letniku srednje poklicne šole ... 44
6.7.3. Obravnava pojma funkcije v prvem letniku srednje tehniške šole ... 45
6.8. Preizkus razumevanja linearne funkcije ... 46
6.8.1. PREIZKUS GIMNAZIJCEV ... 47
6.8.2. PREIZKUS DIJAKOV SREDNJE TEHNIŠKE ŠOLE ... 49
7. SKLEPNE UGOTOVITVE... 53
8. LITERATURA ... 54
PRILOGA 1 ... 56
PREIZKUS RAZUMEVANJA ... 56
KAZALO SLIK
Slika 1: Razvoj pojma števila (Sfard, 1991, str. 13)... 18
Slika 2: Proces razumevanja (Sfard, 1991, str 22). ... 22
Slika 3: Primer dodajanja (Gray, Tall, 1991). ... 24
Slika 4: Primer prištevanja (Gray, Tall, 1991). ... 24
Slika 5: Seštevanje, znano dejstvo (Gray, Tall, 1991) ... 25
Slika 6: Primer naloge, rešljive na več načinov. ... 39
Slika 7: Obravnavi snovi na stopnji reifikacije v učbeniku Linea nova. ... 41
Slika 8: Struktura nalog o linearni funkciji glede na stopnjo kognitivne zahtevnosti. ... 42
Slika 9: Ponazoritev preslikave. ... 45
Slika 10: Rešitev 2. naloge. ... 48
Slika 11: Delna rešitev 3. naloge. ... 48
1. UVOD
Po teoriji Anne Sfard (1991) imajo mnogi matematični koncepti dvojno naravo, pogojeno s procesom njihovega tvorjenja. Na matematični pojem je mogoče gledati kot na proces (operacijsko) ali pa kot na strukturo, ki hkrati pomeni v objekt spremenjen proces in rezultat le tega (strukturalno). Tvorjenje posameznega vsebinskega koncepta pri posamezniku poteka postopoma v treh stopnjah – od interiorizacije, preko kondenzacije, do reifikacije. Reifikacija se zgodi, ko v učenčevem umu pride do preskoka, v katerem se proces »zapre« v enovit objekt, rezultat procesa pa »odlepi« od procesa samega in postane samostojni objekt – abstraktna struktura. V učenčevem umu nastane nekakšna miselna slika, ki jo je le včasih mogoče dejansko konkretizirati – denimo narisati na papirju. Novo formirani objekt lahko postane osnova tvorjenja matematičnega koncepta na višjem nivoju, kar jasno kaže na hierarhičnost izgradnje vsebinskega matematičnega koncepta. Hierarhija konceptov torej pomeni izgradnjo konceptov na predhodno razumljenih konceptih. Dvojna narava matematičnih konceptov pride posebej do izraza ob učenju zahtevnejših matematičnih pojmov. Primer takega pojma so linearne funkcije.
V prvem delu magistrskega dela predstavljam stopnje razvoja znanja v teorijah različnih raziskovalcev. Najbolj se osredotočam na raziskavo Anne Sfard, ki je razumevanje razdelila na tri stopnje: interiorizacija, kondenzacija ter reifikacija. Na stopnji interiorizacije učenci postopek izvajajo na že usvojenem pojmu. Na drugi stopnji, stopnji kondenzacije, se postopek oblikuje in pretvarja v neko celoto. Nazadnje, na tretji stopnji, stopnji reifikacije, pa učenec vidi postopek kot nov objekt, kot enovit pojem. Poleg Sfardove pa so stopnje razumevanja preučevali tudi drugi: Gray in Tall sta razumevanje razdelila na tri stopnje, ki sta jih poimenovala procedura, proces in procept. Dubinsky pa je predstavil teorijo, ki jo je poimenoval APOS (akcija – proces – objekt – shema). V nadaljevanju na kratko opišem stopnjo reifikacije pri algebri, kasneje pa se osredotočim na začetno obravnavo funkcij.
Navedene stopnje razumevanja po Sfardovi so tudi predmet raziskave v empiričnem delu.
Z raziskavo poizkušam ugotoviti usvojene stopnje razumevanja pojma funkcije v prvih letnikih srednjih šol (poklicna srednja šola, tehniška srednja šola ter gimnazija). V ta namen opravljam hospitacije na treh različnih vrstah srednjih šolah. Pripravila sem preizkus znanja, ki ga je rešilo 9 dijakov iz treh različnih srednjih šol. S preizkusom ugotavljam njihovo stopnjo razumevanja linearnih funkcij. V empiričnem delu analiziram tudi učbenike posameznih srednjih šol. Ugotoviti želim, ali so razlike v doseženih stopnjah med učenci gimnazije in srednje poklicne ter srednje tehniške šole.
Izkaže se, da v srednji tehniški, srednji poklicni šoli ter gimnaziji obstajajo razlike v razumevanju linearnih funkcij. Razlike se pokažejo že v učbenikih ter obravnavi pri učni uri.
Učbenik, namenjen gimnaziji, vsebuje dokaze ter naloge, za katere je potrebna stopnja reifikacije. Medtem ko učbenik za triletno poklicno šolo vsebuje zgolj naloge stopenj interiorizacije ter kondenzacije. Reifikacijo, najvišjo stopnjo razumevanja je dosegel le dijak v gimnaziji. Najpogostejša stopnja razumevanja med devetimi učenci, ki so rešili kviz, je druga stopnja, stopnja kondenzacije.
2. DVOJNA NARAVA MATEMATIČNIH POJMOV
»Osnovna komponenta matematične sposobnosti je zmožnost „videnja“ nevidnih objektov. Eden glavnih razlogov za dejstvo, da je za toliko ljudi znanje matematike praktično nedosegljivo, je ravno v pomanjkanju te zmožnosti.« (Sfard, 1991) Prav v tem je bistvena razlika med matematiko in drugimi znanostmi, saj so matematični objekti za naša čutila povsem nedostopni.
V algebrskem izrazu 3 ∙ (𝑥 + 5) + 1, lahko »vidimo« več stvari:
• Vidimo lahko kratek opis računskega procesa. Izraz 3 ∙ (𝑥 + 5) + 1 obravnavamo kot zaporedje navodil: nekemu številu prištejemo 5, rezultat pomnožimo s 3 in dodamo 1.
• Zapis 3 ∙ (𝑥 + 5) + 1 lahko predstavlja tudi določeno število. Vidimo rezultat računanja in ne samo račun. Tudi če rezultata trenutno ni mogoče določiti, ker v izrazu nastopa neznanka (x), je oz. bo rezultat še vedno število.
• Izraz 3 ∙ (𝑥 + 5) + 1 je lahko tudi funkcija – preslikava, ki »spremeni« vsako število x v neko drugo število. V tem primeru izraz ne predstavlja nobene fiksne (tudi če neznane) vrednosti. Namesto tega odraža spremembo oz. odnos med spremenljivko in prirejeno vrednostjo. (Sfard, Linchevski, 1994)
Kot lahko opazimo, je prvi opis drugačen kot druga dva: opisuje postopek, medtem ko druga dva opisujeta nek objekt (število, odnos). Tako vidimo, da se enaka predstavitev istega matematičnega koncepta lahko interpretira kot proces in v drugih primerih kot objekt. Ali, kot je zapisala A. Sfard (Sfard, 1991), matematični pojem lahko razumemo operativno ali strukturalno. V skladu s tem lahko snov učencu predstavimo na dva načina. Funkcijo, na primer, lahko definiramo kot množico urjenih parov (strukturalni pristop) ali pa kot postopek preslikave točk iz ene množice v drugo (operacijski pristop).
V matematiki se operacijski koncept pojma običajno razvije pred strukturalnim. Pri strukturalnem pristopu se na nek objekt sklicujemo kot na aktualen objekt, bistvo prepoznamo na prvi pogled. Z objektom manipuliramo v celoti, brez poseganja v detajle. Pri operacijskem pristopu pa pojem obravnavamo kot potencialen, ne pa kot dejanski objekt.
Primeri, s katerimi Sfardova (1991) opisuje pristopa, so navedeni v Tabeli 1.
Tabela 1: Strukturalno in operacijsko pojmovanje nekaterih matematičnih pojmov
POJEM STRUKTURALNO
POJMOVANJE
OPERACIJSKO POJMOVANJE Funkcija Množica urejenih parov
(po Bourbaki, 1934, Sfard, 1991)
Računski postopek ali dobro definiran način prirejanja med elementi množic
Simetrija Lastnost geometrijskega lika Transformacija geometrijskega lika Naravno število Lastnost množice ali razred
vseh množic z enako (končno) kardinalnostjo
0 ali katerokoli število, ki ga dobimo tako, da številu 0 prištevamo po ena (rezultat štetja)
Racionalno število Ekvivalenčni razred para celih števil (element faktorske množice parov naravnih števil glede na določeno ekvivalenčno relacijo)
Rezultat deljenja celih števil
Krožnica Geometrijsko mesto vseh točk, ki so enako oddaljene od dane točke
Krivulja, ki nastane z rotacijo točke okoli dane točke
Dvojne narave matematičnih pojmov pa ne opazimo le v besednih opisih, temveč tudi pri različnih simbolnih predstavitvah. Čeprav so interpretacije teh predstavitev bolj subjektivne, se zdi, da so nekatere predstavitve bolj strukturalne kot druge. Sfardova (1991) tako navaja primer funkcije 𝑦 = 3𝑥4. Algebraični zapis lahko interpretiramo na dva načina:
kot postopek računanja ali kot statični odnos dveh količin. Graf funkcije ustreza bolj strukturalni predstavitvi, saj so lastnosti funkcije v trenutku združene v »gladko črto«. Če pa funkcijo zapišemo s pomočjo računalniškega programa (na primer Magma), pa govorimo o operacijski predstavitvi:
for x:= 1 to 100 do y := 3*x^4;
print y;
end for;
Kot smo že omenili, se v matematiki operacijsko pojmovanje pojma razvije pred strukturalnim. Proces na nekem nivoju postane objekt na višjem. Že Freudenthal (po Sfard, 1994) je prepoznal ravni v učnem procesu: matematika, ki jo izvajamo na eni stopnji, postane predmet opazovanja na višji stopnji. Ta izjava poudarja, da je matematika večplastna struktura, v kateri se iste ideje obravnavajo različno, če jih gledamo z različnih perspektiv.
Zavedati pa se moramo, da v običajnih preizkusih znanja ne moremo ugotoviti, ali je učenec sposoben uporabljati posamezne interpretacije algebrskih simbolov in torej snov razume ali algebrske izračune rešuje po principu »kuharskih receptov«. Učenec se bo, na primer, enačbe (𝑝 + 𝑞)𝑥2+ 2𝑥 = 3𝑥2+ (𝑝 − 𝑞)𝑥 lotil z enakim nizom operacij ne glede na to, ali vidi algebrske objekte, numerično enakost ali le niz simbolov.
Kot smo že omenili, se običajno operacijski pristop razvije pred strukturalnim.
Poglejmo si to na primeru primer zgodovinskega razvoja pojma števila, kot ga opisuje A.
Sfard (1991).
Včasih je bil pomen izraza »število« omejen na tisto, kar je danes znano pod imenom
»naravno število«. Ta števila izvirajo iz procesa štetja. Za raziskovalce je zanimiva faza, v kateri se otrok uči šteti in že razvije direktne povezave med besedami »ena«, »dve«, »tri«. Če otroka v tej fazi vprašamo po določenem številu predmetov, bo otrok ponovil postopek štetja in ne bo povedal le zadnjega števila (na primer, če je v vrečki 5 bonbonov, bo otrok rekel:
»Ena, dve, tri, štiri, pet,« in ne: »Pet.«). To jasno pokaže operativne korenine naravnih števil:
za otroka je pojem števila proces štetja in ne abstrakten produkt štetja. (Sfard, 1991)
V zgodovini človeštva je bil pomen izraza »število« večkrat posplošen. Razmerje dveh celih števil včasih ni predstavljalo števila, ampak opis postopka merjenja. To pomeni, da so izvajali operacije samo na takrat poznanih vrstah števil, preden so abstrakten rezultat operacij (merjenja) sprejeli za novo vrsto matematičnega objekta.
Izraz »število« se je dolgo časa pojavljal predvsem v kontekstu štetja ali rezultata postopka merjenja. Pitagorejci so odkrili, da razmerja med dolžinama stranice in diagonale kvadrata ni mogoče izraziti kot razmerje dveh naravnih števil (kot ulomek). Veliko časa je minilo, preden so matematiki uspeli ločiti pojem števila od razmerja količin in sprejeti dejstvo, da razmerja dolžin katere koli daljice in enotske daljice predstavlja število, tudi če ga ni mogoče dobiti z merjenjem, ki se izide z ulomkom. Sčasoma se je pojem števila znova razširil, tako da je poleg naravnih števil in ulomkov vključevalo tudi (pozitivna) iracionalna števila. (Sfard,1991)
Tako so nastali novi računski procesi in kasneje nove vrste števil. Že Cardanovi recepti za reševanje enačb tretjega in četrtega reda, ki so bili objavljeni leta 1545, so vsebovali primere odštevanja pozitivnih racionalnih števil in korene izrazov (danes znani kot »negativna števila« in »imaginarna števila«). Matematiki kljub temu niso želeli sprejeti »stranskih produktov«, ki so jih navajali kot »absurdne« in »izmišljenje«. Tako sta se izraz »negativno število« ter simbol √−1 uporabljala kot okrajšava za številske operacije, ki za njih niso imele dejanskega pomena. (Sfard, 1991)
Filozof P. E. Jourdaina (1956 po Sfard, 1991) pravi, da negativno (celo) število lahko razumemo kot operacijo odštevanja v množici (naravnih) števil (v tem smislu razumemo pozitivna števila s prištevanjem):
Naj bo 𝑎 − 𝑏 = 𝑐. Da bi dobili c iz a, izvedemo operacijo odvzema b. Ta operacija, ki je izpolnjena z ukazom: »odštej b«, je »negativno število«. Matematika jo imenuje »število« in jo
označuje z »–b« samo zaradi analogije: enaka pravila namreč veljajo tako za »negativna števila« kot za »pozitiva števila«.
Iz kratkega opisa zgodovine pojma števila je razvidno, da gre pri razvoju pojma števila za cikličen proces. Vsakič, ko se rodi novo število, se ponovi približno enako zaporedje dogodkov. Te ponovitve so prikazane na spodnji sliki.
Slika 1: Razvoj pojma števila (Sfard, 1991, str. 13).
Vsak ponavljajoči se segment sheme predstavlja dolgotrajen proces, sestavljen iz treh faz:
• Predkonceptualna faza, na kateri so se matematiki navadili na določene operacije na že znanih številih (ali – kot v primeru štetja – na konkretnih predmetih). Na tej točki so bile rutinske manipulacije obravnavane kot postopki.
• Dolgo obdobje pretežno operativnega pristopa, med katerim se je kot rezultat poznanih postopkov začelo pojavljati »novo število« (Kar je sprožilo ta premik, so bile določene občasne operacije, ki so se prej štele za popolnoma prepovedane, a so se izkazale za uporabne), pojavila se je ideja o novem abstraktnem konstruktu. Čeprav že razširjena, je hkrati vzbujala pomisleke filozofske narave.
• Strukturalna faza, kjer je določeno število na koncu priznano kot polnopravni matematični predmet. Od zdaj naprej se z novimi števili izvajajo operacije, pri čimer se rodijo še bolj zahtevne vrste števil.
Če povzamemo: zgodovina števil je kot dolga veriga prehodov od operativnih do strukturnih pojmovanj. Znova in znova so se postopki, opravljeni na že sprejetih abstraktnih predmetih, pretvorili v kompaktne celote. Ta proces imenujemo reifikacija (iz latinske besede res – stvar). (Sfard, 1991)
Tak vzorec se ponovi tudi v zgodovini pojma funkcije. Ideja funkcije je konec sedemnajstega stoletja nastala kot rezultat dolgotrajnega iskanja matematičnega modela fizikalnih pojavov, ki vključujejo spremenljive količine. Ko se je izraz »funkcija« prvič pojavil (Leibniz, 1692, po Sfard, 1991), je pojem hitro postal priljubljen in postopoma vstopal v vse veje matematike.
Pojem funkcije je bil najprej tesno povezan z algebraičnimi procesi. Uporabljali so ga za označevanje »količine, sestavljene na kakršen koli način, ne glede na spremenljivko in konstanto« (Jean Bernoulli, 1718 po Sfard, 1991) ali kot »analitični izraz« (Euler, 1747 po Sfard, 1991). Tako je postal koncept funkcije za algebraične manipulacije o spremenljivkah to, kar je bila takrat ideja negativnega števila za odštevanje: nekaj med rezultatom in samim procesom. (Sfard,1991)
3. TEORIJA REIFIKACIJE
Teorija reifikacije je teorija o oblikovanju novih matematičnih pojmov. Za uspešno razumevanje te teorije bomo najprej predstavili, kako je strukturirano razumevanje matematičnih pojmov.
A. Sfard (1991) je razvoj razumevanja matematičnega pojma opisala s tremi stopnjami.
Na prvi stopnji učenci postopek izvajajo na že usvojenem pojmu. Na drugi stopnji se postopek oblikuje in pretvarja v neko celoto. Nazadnje, na tretji stopnji, učenec vidi postopek kot nov objekt, kot enovit pojem.
Te tri stopnje je A. Sfard poimenovala: interiorizacija, kondenzacija ter reifikacija:
3.1. INTERIORIZACIJA (ang. interiorization)
Na tej stopnji učenec usvoji postopke izvajanja matematičnih problemov na nižji ravni in postopoma razvija kompetence za izvajanje postopkov. Učenec se seznani s postopki in operacijami na nižji ravni in na koncu pridobi znanje o teh operacijah in postopkih (Sfard, 1991). »Postopek je interioriziran takrat, ko ga lahko s pomočjo (miselnih) predstavitev preučujemo, analiziramo in primerjamo, brez potrebe po ponovnem izvajanju« (Sfard, 1991).
Pri primeru negativnih števil učenec v tej fazi postane suveren v odštevanju.
3.2. KONDENZACIJA (ang. condensation)
Na tej stopnji učenec postane sposoben razmišljati o zapletenem postopku kot celoti in ne kot nizu korakov. V tej fazi učenec postopoma postaja sposoben spreminjanja dolgih zaporedij operacij v bolj obvladljive elemente v obliki, ki je zanj lažje razumljiva. Ukvarja se tudi z alternativnimi oblikami in reprezentacijami pojma, združuje postopke in omogoča primerjave in posplošitve. Na stopnji kondenzacije učenec lažje prehaja med različnimi predstavitvami določenega pojma (Sfard, 1991).
3.3. REIFIKACIJA (ang. reification)
Na stopnji reifikacije je učenec sposoben dojemati postopek kot avtonomen objekt. To je preskok v razumevanju in ne postopno napredovanje. Učenec zmore dojemati postopek kot
»polnopraven predmet« (Sfard, 1991). Učenec nov koncept razume tako, da se mu ni treba več »opirati« na postopek, katerega je »zaprl« v predmet.
Stopnja reifikacije negativnih števil je dosežena, ko npr. učenec dojame, da je množica negativnih števil podmnožica množice celih števil.
Stopnji kondenzacije in reifikacije sta na videz podobni, vendar je med njima bistvena razlika. Kondenzacija pomeni predvsem tehnično spremembo v izvajanju postopkov, ki se izraža v zmožnosti obravnave celotnega postopka, ne da bi nujno upošteval vmesne korake.
Primerjamo jo lahko s pretvarjanjem določenih delov računalniškega programa v procedure, ki jih lahko razvijamo, z njimi manipuliramo in »kličemo« kot zaprt del postopka.
Kondenzacija je kvantitativna sprememba v znanju, medtem ko je reifikacija nenaden
»kvantni« preskok (Sfard, 1992). Če je učenec nek postopek interioriziral in kondenziral, kar pomeni, da je dosegel drugo stopnjo razumevanja, še ne pomeni, da bo dosegel tudi stopnjo reifikacije in s tem prešel na strukturno razumevanje.
V spodnji tabeli so prikazani primeri nalog negativnih števil, ulomkov ter linearnih funkcij na posameznih stopnjah razumevanja.
Tabela 2: Primeri nalog posamezne stopnje razumevanja
Stopnja razumevanja Negativna oz.
predznačena števila
Ulomki Linearne funkcije Interiorizacija Izračunaj:
3 − 6 =
Obkroži 1
4: S pomočjo tabele
nariši graf linearne funkcije
𝑦 = −2𝑥 + 3
Kondenzacija Izračunaj:
3 ∙ (−2) =
Kolikšen del lika je pobarvan?
S pomočjo
koeficienta in prostega člena nariši graf linearne funkcije
𝑦 = −2𝑥 + 3 Reifikacija Poišči x:
9 + 𝑥 = 4
Kolikšen del lika je pobarvan?
S pomočjo premikov nariši graf linearne funkcije
𝑦 = −2𝑥 + 3
Trofazno shemo Anne Sfard moramo razumeti hierarhično, kar pomeni, da ene stopnje ni mogoče doseči, preden se usvojijo predhodne stopnje (slika 2). Učenec sicer lahko pri določeni snovi manipulira s konceptom (začetniki si, na primer, po navadi zamislijo linearne preslikave, kadar je omenjen pojem funkcije (Markovitz et al., 1985 po Sfard, 1991)). Lahko tudi razvije kvazistrukturalno razumevanje, kjer identificira pojem z eno od njegovih predstavitev (v primeru funkcije je to formula ali graf), vendar ne razume nevidnega
»objekta«. To razumevanje pa je lahko prehodno ali trajno. (Sfard, 1991)
Opisana teorija pa se lahko razlikuje od šolske prakse pri uvajanju novih pojmov, kadar izhajajo iz strukturalnih opredelitev in brez sklicevanja na postopke, ki so osnova pojma. V mnogih matematičnih učbenikih je, na primer, kompleksno število uvedeno z definicijo, torej strukturalno. V tovrstnih primerih, po različnih raziskavah, v začetni fazi predstavitve novega pojma učenec definicijo interpretira operacijsko. (Sfard, 1991)
Slika 2: Proces razumevanja (Sfard, 1991, str 22).
3.1.1. ZAHTEVNOST REIFIKACIJE
O tem, zakaj je reifikacija tako zahtevna, pove veliko že sama definicija reifikacije: je miselni preskok, nenadna sposobnost videti nekaj, kar sicer že poznajo, v popolnoma novi luči.
Obstajata dva razloga, zaradi katerih je stopnjo reifikacije zelo težko doseči:
• Pri razlog so poimenovali začaran krog reifikacije. Ime se nanaša na dejstvo, da usvajanje novih objektov (na primer negativna števila) zahteva hkratno usvajanje operacij in postopkov med temi objekti. Po drugi strani pa je razumevanje oziroma usvojenost objektov predpogoj za učinkovito izvajanje operacij/postopkov, saj bi se le- ti brez objektov zdeli nesmiselni in bi si jih zato težko zapomnili in jih posledično še težje razumeli. Na primer: Negativno število »minus dve« na začetku vidimo kot
»račun« 3 – 5. Da bi lahko računali z negativnimi števili, moramo postopke, kot so npr. 3 – 5 ali 3 – 1,5 videti kot zakonite matematične objekte. Po drugi strani pa je razumevanje negativnih števil povezano z operacijami med njimi. Takšna realizacija je nepogrešljiva za utemeljitev in usvojitev reifikacije (Sfard, 1992).
• Druga ovira se pojavi, če ima nov abstrakten objekt drugačne lastnosti kot predhodni.
Če, na primer, govorimo o kvadratnem korenu negativnega števila, se mora učenec najprej otresti globoko zakoreninjenega prepričanja, da je število nekaj, kar izraža velikost količine (rezultat merjenja) (Sfard, 1992).
4. TEORIJI REIFIKACIJE SORODNE TEORIJE
Stopnje razvoja znanja pri učencih pa ni raziskovala le A. Sfard. Poglejmo si, kako so jih opredelili še drugi raziskovalci.
4.1. TEORIJA PROCEPTOV (GRAY IN TALL)
Razvoj matematičnega znanja sta opisala tudi raziskovalca Gray in Tall. Stopnje razumevanja sta poimenovala procedura, proces ter procept.
4.1.1. Procedura: Pri proceduri se učenec osredotoči na osnovne pojme, ki so predstavljeni bodisi s konkretnim materialom, besedami, pisnimi simboli ali slikami. Učenec izvede ločene korake postopka.
4.1.2. Proces: Pri procesu učenec začne na (prej ločene) korake gledati kot na celoto.
4.1.3. Procept: Gray in Tall (1994) sta procept opredelila kot »mešanico« treh komponent:
o procesa, ki se izvaja nad matematičnimi objekti, o objekta,
o simbola, ki se uporablja za predstavitev postopka ali pojma.
Na tej stopnji učenec celoten proces »zapre« v nov pojem.
Gray in Tall (1991) sta procept opredelila kot skupek procesa, ki proizvede matematični predmet, in simbola, ki se uporablja za predstavljanje bodisi procesa bodisi predmeta.
Vsota dveh števil, recimo 3 + 2, je najprej zasnovana kot postopek »dodajanja« ali
»seštevanja«. Dodajanje je torej mogoče obravnavati kot proces + proces:
»Prištevanje« je bolj subtilen postopek, v katerem je prvo število (tri) že obravnavano kot celota, štetje pa proces prištevanja še dveh številk (»štiri«, »pet«). Tako je prištevanje sestavljeno iz procepta in procesa:
Slika 3: Primer dodajanja (Gray, Tall, 1991).
Slika 4: Primer prištevanja (Gray, Tall, 1991).
Na koncu pa pridemo do procepta in procepta, ki je utelešen kot znano dejstvo:
Prav tako nam lahko funkcija f(x) = x 2 – 3 »pove« dve stvari: koliko je vrednost funkcije za določeno vrednost x, ali pa »zapre« celoten koncept funkcije za neko splošno vrednost x.
Prav tako število vidimo kot osnovni objekt. Simbol, kot je »3«, lahko prikliče proces štetja (»ena, dva, tri«) ali pa samo število. Besedo »tri« in njen simbol »3« lahko izgovorimo, lahko jo slišimo, lahko je napisana in jo tako lahko preberemo. »Tri« je abstrakten pojem, ampak z uporabo komunikacije in različnih operacij prevzame vlogo resničnega pojma. (Gray & Tall, 1994).
Algebrski izraz procept je, kot smo že omenili, simbolni zapis, ki označuje proces in objekt hkrati. Grey in Tall (1994) sta prepričana, da razlika med uspešnimi in neuspešnimi učenci temelji na zmožnosti uporabe procepta s sposobnostjo fleksibilne interpretacije simbolnega zapisa kot procesa ali objekta (odvisno, kar je bolj primerno v dani situaciji) ter uporabe različnih simbolnih predstavitev za isti objekt. Manj uspešni učenci so osredotočeni na rutinsko izvajanje postopkov in omejeni na proceduralno razmišljanje, proceptualno mišljenje pa omogoča bogato konceptualno strukturo s povezavami med postopki, procesi in objekti.
4.2. TEORIJA APOS (DUBINSKY)
Ed Dubinsky (1991) je predstavil teorijo, ki jo je poimenoval APOS (akcija – proces – objekt – shema), pri kateri predlaga, da mora imeti učenec že usvojene ustrezne miselne strukture, da lahko razume nove matematične koncepte. Te strukture se nanašajo na dejanja, procese, objekte, sheme, ki so potrebni za učenje določenega koncepta. Teorijo je razvil z namenom, da bi razložil Piagetov koncept reflektivne abstrakcije pri učenju matematike.
Teorija se začne s hipotezo, da je matematično znanje sestavljeno iz težnje posameznika, da se spoprijema z matematičnimi težavami s pomočjo različnih miselnih
Slika 5: Seštevanje, znano dejstvo (Gray, Tall, 1991)
dejanj, procesov in objektov ter da jih organizira v sheme, s čimer si pomaga razumeti situacije in reševati težave. (E. Dubinsky, A. McDonald, 2001)
V teoriji APOS je akcija manipuliranje z matematičnim predmetom, ki ga učenec dojema kot zunanjega. Učenec je sposoben izvajati postopke, vezane na posebne reprezentacije. Lahko gre za postopek, ki ga učenec izvrši korak za korakom po izrecnem algoritmu ali za postopek, ki si ga je zapomnil, a ne razumel. Pri funkcijah se ta stopnja pokaže, ko učenec funkcijo povezuje s točno določenim pravilom ali formulo. Izvesti mora vsak korak postopka, saj si naenkrat lahko predstavlja samo eno vrednost (torej x pomeni določeno število).
Ko učenec večkrat ponovi neko dejanje in o njem razmisli, se lahko Akcija interiorizira v proces. Proces je zdaj zaznan kot notranji, pod nadzorom učenca, ki lahko razmišlja o njem, ne da bi mu bilo treba izrecno izvesti vse korake postopka. V stopnji procesa učenec lahko vidi postopek kot celoto, uporablja več predstavitev, združuje z drugimi procesi ipd. Proces se pri funkcijah kaže tako, da funkcija pri učencu postane splošno vhodno- izhodni »stroj«. Učenec si lahko zamisli celoten postopek naenkrat, kjer je postopek neodvisen od formule.
Naslednja stopnja je objekt. V stopnji objekta lahko učenec preusmeri postopek v predmet, lahko razpravlja o lastnostih. Pri funkcijah je učenec sposoben ločiti kompozitume (funkcije, ki se uporabljajo zaporedno) od pretvorb (funkcije na prostoru funkcij), učenec lahko dela s funkcijskimi prostori, razume več predstavitev in lastnosti funkcij.
Zadnja stopnja, matematična shema, pa je skladna zbirka akcij, procesov, objektov in drugih predhodno izdelanih shem, ki so sintetizirane za oblikovanje matematičnih struktur, ki se uporabljajo v problemskih situacijah.
Štiri komponente, akcija, proces, objekt in shema so predstavljene kot hierarhičen, urejen seznam. V teoriji mora biti vsaka stopnja usvojena, preden učenec lahko doseže naslednjo stopnjo. V resnici pa si komponente, medtem ko učenec razvija svoje razumevanje koncepta, ne sledijo tako linearno. Pri funkcijah, na primer, učenec pride do rezultata, tako da neznanke spremeni v številke. To si lahko predstavljamo kot predhodno zasnovo procesa, v katerem je funkcija mišljena kot vhodno-izhodni stroj. Tako se zgodi, da bo učenec začel z določenimi formulami, razmišljal o izračunih, nato začel razmišljati o postopku, se vrnil k akcijski razlagi, morda z bolj kompleksnimi formulami in nato razvil koncept procesa. In tako naprej. (E. Dubinsky, A. McDonald, 2001)
Teorija APOS je uporabna pri določanju učenčeve uspešnosti in za opisovanje učenčevih miselnih konstruktov. (Dubinsky, 1991)
5. VPOGLED V ZAČETNO OBRAVNAVO FUNKCIJ
Linearna funkcija je prva funkcija, ki jo dijaki obravnavajo v procesu izobraževanja. Zato je dobro razumevanje in pravilno poučevanje učiteljev dobro izhodišče za razumevanje ostalih funkcij, kar močno pripomore pri uspešnem učenju matematike v srednji šoli.
V tem delu bomo najprej pogledali napake, ki jih učitelji delajo pri začetni obravnavi funkcije. Nato pa je predstavljen kriterij, s pomočjo katerega bom v empiričnem delu magistrskega dela določila stopnjo razumevanja funkcij dijakov srednjih šol.
5.1. POUČEVANJE FUNKCIJ
Funkcije so vse okoli nas, čeprav se učenci tega vedno ne zavedajo. Kupovanje sadja je, na primer, povezano z odnosom med količino sadja in plačilom zanj. Funkcije potrebujemo pri finančnem načrtovanju, da lahko vnaprej predvidimo prihodke, stroške, obresti. Funkcije so pomembne tudi za opis lokalnih in svetovnih demografskih gibanj in rasti prebivalstva, kar je ključno za gospodarsko načrtovanje in razvoj. Zasledimo jih celo v javnih športnih statistikah.
Algebrska orodja omogočajo zelo učinkovito obravnavo funkcionalnih odnosov. S tovrstnimi orodji je mogoče učinkovito:
• ugotoviti vrednost ene količine (na primer denarna protivrednost jabolk), ko poznamo vrednost druge (masa jabolk);
• vizualno prikazati odnos med količinami na način, ki omogoča enostavno razbiranje smeri, velikosti in stopnje spremembe ene spremenljivke glede na drugo.
V preprostih situacijah, kot je določanje denarne protivrednosti jabolk, obstoječe (predhodno) znanje aritmetike učencem običajno omogoča, da brez težav izračunajo strošek za določeno količino jabolk, če vedo ceno za kilogram (npr. 2 €). Učenci seveda vedo, da 2 kilograma jabolk stane 4 €, 3 kilograme stane 6 € in tako naprej. In razumejo, da je strošek v evrih (y) za poljubno maso jabolk v kilogramih (x) enak 2x. Tako lahko napišemo: y = 2x.
(Kalchman, Koedinger, 2005)
V življenjskih situacijah pa smo soočeni tudi z bolj zapletenimi odnosi, kot so na primer rast populacije ali kopičenje obresti v daljšem časovnem obdobju, kjer rešitve niso tako enostavno izračunljive, saj se »osnova za izračun« s časom spreminja. V teh situacijah
algebrska orodja omogočajo obravnavo, izračune ter prikazovanje nastopajočih količin, ki se spreminjajo glede na čas.
Učenci obravnavajo algebro kot »zapleteno računanje« in kompleksen problem.
Kalchman in Koedinger menita, da je to rezultat neustreznega začetnega poučevanja algebre na način, ki krši tri načela učenja (Kalchman, Koedinger, 2005). V nadaljevanju predstavljam načela in kako so kršena pri obravnavi funkcij.
1. NAČELO
Prvo načelo poudarja pomen graditve novega znanja na temelju obstoječega znanja in razumevanja učencev. Ker imajo učenci številne izkušnje s funkcionalnimi odnosi v vsakdanjem življenju, v učilnico prinašajo veliko pomembnega znanja. To znanje lahko učencem pomaga pri razumevanju algebre. Naloga 1 kaže, da lahko problem, opisan kot problem v vsakdanjem življenju, reši veliko več učencev kot isti problem, predstavljen le z matematično enačbo. (Kalchman, Koedinger, 2005)
NALOGA 1:
Tabela 3: Primer naloge, napisane na 3 različne načine
Katera od teh nalog je najtežja za učenca, ki je na začetku spoznavanja algebre?
Besedilna naloga Problem z besedo Enačba
Ko se je Peter vrnil iz službe, je 6 ur, kolikor je delal ta dan, pomnožil s svojo urno postavko. Na koncu je dodal 66 €, kolikor je dobil napitnine, in ugotovil, da je zaslužil 81,90 €. Kakšno urno postavko ima Peter?
Neko število pomnožim s 6, mu nato dodam 66 in dobim 81,9. S katerim številom sem začel?
Poišči x:
x 6 + 66 = 81,90
Večina učiteljev meni, da bodo učenci imeli več težav pri pravilnem reševanju matematične »zgodbe« ali besedilne naloge, kot pa pri reševanju enačbe, saj mora učenec prebrati besedilo in ga nato prevesti v enačbo. Dejansko je raziskava, ki je preučevala uspešnost učencev v nižjih srednjih šolah, za gornje naloge pokazala, da so učenci v povprečju dosegli 66 odstotno uspešnost pri nalogi z zgodbo, 62 odstotno pri besedilni nalogi in le 43 odstotno pri enačbi. Torej vidimo, da učenci bolje rešujejo naloge iz vsakdanjega
življenja kot pa enačbe. Preiskava pisnega dela učencev pomaga razložiti, zakaj. (Kalchman, Koedinger, 2005)
Učenci so pogosto rešili probleme, ki so predstavljeni kot zgodba, brez uporabe enačbe. Nekateri učenci so na primer uporabili strategijo poskušanja in napačne rešitve:
ocenili so vrednost za urno postavko (npr. 4 € / uro), izračunali ustrezno plačilo (npr. 90 €), jo primerjali z dano vrednostjo (81,90 €) in nato po potrebi popravili urno postavko in ponovili.
Drugi učenci so uporabili strategijo obratnega razmisleka: začeli so s končno vrednostjo 81,9 in ji odšteli 66. Dobili so 15,9, to število so nato delili s 6.
Toda zakaj so bile enačbe težke za učence? Čeprav nekateri menijo, da pri reševanju enačb ni ključno branje, se učenci dejansko morajo naučiti brati enačbe. Večino napak pri enačbah je mogoče pripisati težavam pri pravilnem razumevanju pomena te enačbe. V zgornji enačbi je na primer veliko učencev seštelo 6 in 66, kar se pri besedilno zastavljenih nalogah ni zgodilo. (Kalchman, Koedinger, 2005)
To pa ne pomeni, da morajo biti vse naloge oz. razlage v obliki besedilnih nalog. Za učence je pomembno, da se naučijo formalne matematične terminologije in abstraktne algebrske simbolike. Učenčevo predhodno znanje je le temelj razumevanja bolj zapletenih načinov matematičnega razmišljanja. Kalchman in Koedinger (2005) menita, da je uporaba primerov iz vsakdanjega življenja eden od načinov, kako lahko učitelj ugotovi predznanje učencev pred obravnavo nove snovi. Na to predznanje pa se nato navežejo, na njem gradijo učenčevo razumevanje in jih usmerijo h globljemu razumevanju formalnih matematičnih izrazov, algoritmov in simbolov.
2. NAČELO
Drugo načelo trdi, da učenci potrebujejo tako močno razumevanje konceptov kot tudi poznavanje procedur. Nov in zelo osrednji koncept, uveden s funkcijami, je odnos odvisnosti:
vrednost neke količine je odvisna od druge, določena z drugo ali je funkcija druge. Problemi, s katerimi se ukvarjamo, niso več osredotočeni na določanje neke vrednosti (koliko stane 5 kilogramov jabolk). Zdaj so osredotočeni na pravilo ali izraz, ki nam pove, kako je ena stvar (denarna protivrednost) povezana z drugo (maso jabolk). »Funkcija« je formalno definirana v matematiki kot »niz urejenih parov števil (x, y), tako da vsaka vrednost prve spremenljivke (x) ustreza edinstveni vrednosti druge spremenljivke (y).« Taka opredelitev, čeprav pravilna, učencem ne kaže, da se začenjajo učiti o novem načinu razmišljanja o tem, kako vrednost ene količine določa vrednost druge in o pravilu, ki natančno opiše to odvisnost.
Pomembna ni le formalna definicija funkcije, temveč tudi več načinov, kako funkcijo opišemo in predstavimo. Običajni načini opisovanja funkcij vključujejo tabele, grafe, algebraične simbole, besede in problemske situacije. Vsaka od teh predstavitev na svoj način opisuje, kako vrednost ene spremenljivke določa vrednost druge. Učenci morajo razumeti, da gre za različne načine opisovanja istega odnosa.
Ustrezna razlaga pa ni pomembna le za razvoj učenčeve sposobnosti za izvajanje različnih postopkov, kot sta na primer iskanje vrednosti y za podan x ali risanje grafa s podano enačbo.
Razlaga mora pomagati učencem pri razvijanju razumevanja koncepta funkcije, sposobnost predstavitve funkcije na različne načine in sposobnosti gladkega prehoda med različnimi predstavitvami funkcije. (Kalchman, Koedinger, 2005)
Učenci morajo razumeti temeljni koncept funkcij: razumeti morajo, da je vrednost ene spremenljivke odvisna od vrednosti druge ter da se odnos med dvema spremenljivkama lahko izrazi na različne načine – z besedami, enačbami, grafi, tabelami. Za dobro poučevanje ni potrebno le dobro razumevanje vsebine, temveč tudi specifično znanje o razvoju učenčevih konceptualnih razumevanj in procesnih kompetenc. Kalchman in Koedinger (2005) sta s tem namenom izdelala načrt za poučevanje funkcij, ki zajema štiri stopnje – od 0 do 3. Vsaka stopnja opisuje, kaj lahko učenci običajno razumejo na določeni stopnji. V spodnji tabeli je kratek opis učenčevega razumevanja na posamezni stopnji.
Tabela 4: Načrt za poučevanje funkcij, ki zajema štiri stopnje
Stopnja Splošen opis Primeri nalog in razumevanja
0
Učenci ne povezujejo numerične in grafične predstavitve količin.
• Začetno numerično razumevanje:
učenci računajo iterativno (npr. »dodaj 4«) v zaporedju pozitivnih celih števil.
• Začetno grafično razumevanje:
učenci predstavljajo relativne velikosti količin kot črtice na grafu in zaznavajo kvalitativne vzorce sprememb količin s pregledom grafa od leve proti desni.
Primer naloge:
• Razširi vzorec:
3, 7, 11, 15, __, __, __.
Razumevanje:
• Na grafu letnega števila prebivalcev ugotovi, da je vsak stolpec višji od prejšnjega.
1 Na tej stopnji so grafična in numerična razumevanja že izoblikovana in integrirana ter
tvorijo osrednjo konceptualno strukturo.
Oblikovanje numeričnega razumevanja:
• S ponavljanjem operacije na členih zaporedja tvorite novo zaporedje.
• Ponavljano operacijo zapišite z algebrskim izrazom.
Oblikovanje grafičnega razumevanja:
• Učenci morajo obravnavati primere zveznih količin vzdolž vodoravne osi.
• Prepoznajo naraščanje in padanje funkcije iz položaja točk na grafu.
Integracija izdelanih odgovorov:
Učenec vidi odnos med spremenljivkama v tabeli ter na grafu
• Algebrske reprezentacije interpretira tako numerično kot grafično.
Primeri nalog:
• Vsako število v zaporedju 0, 1, 2, … pomnoži z 2, da dobiš zaporedje parov: 0-0, 1- 2, 2-4, …
• Posploši vzorec in ga izrazi kot y = 2x
Razumevanje:
• Pri dnevnem
spremljanju rasti neke rože, morajo biti vpisani vsi dnevi.
• Dobrodelna hoja: za vsak prehojen km, daruješ 2 €. Po grafu učenec lahko ugotovi, da je na vsak km konstantna vrednost €
»navzgor« za 2: na grafu opazi linearni vzorec z naklonom 2.
2
Učenci izoblikujejo začetno integrirano numerično in grafično razumevanje.
Nadgradijo razumevanje odnosov y = x in y = x + b, da oblikujejo miselno strukturo za linearne funkcije.
Vključijo racionalna števila in negativna cela
Primer naloge:
števila v razumevanja odnosa.
Oblikujejo miselne strukture za druge družine linearnih funkcij, na primer, y = xn + b.
Ali spodnji graf funkcije predstavlja funkcijo 𝑦 = 𝑥 −
10? Zakaj tako misliš?
Če je bil odgovor na prvo vprašanje: »Ne«, napiši enačbo funkcije, ki jo graf predstavlja.
3
Učenci dopolnijo razumevanje struktur, razvitih na ravni 2, in s tem ustvarijo strukture višjega reda za razumevanje kompleksnih funkcij, kot so polinomi in eksponentne funkcije.
Nadgradijo razumevanje grafov in negativnih celih števil in s tem ločijo predznake števil v posameznem kvadrantu v koordinatnem sistemu.
Primer naloge:
V kateri točki funkcija 𝑦 = 10𝑥 − 𝑥2 seka abscisno os?
3. NAČELO
Tretje načelo opozarja na pomembnost metakognitivnih procesov, ki spremljajo razumevanje pri učencih. Ker algebra obravnava matematične odnose na splošni ravni, morajo učenci delovati na višji stopnji abstrakcije, kot je značilna za matematiko, s katero so se srečevali prej. Učenci morajo sodelovati pri spremljanju lastnega reševanja problemov in razmišljanja o lastnih rešitvah in strategijah. Metakognitivno angažiranje je še posebej pomembno, ko matematika postane bolj abstraktna.
Učence torej želimo spodbuditi, da o težavah razmišljajo ne le na več načinov (strategij), ampak tudi z več orodji (reprezentacijami), in da s tem pridejo do zaključka, ki ni le kvantitativen (numerični odgovori), ampak tudi kvalitativen (ustne interpretacije zaključka).
Metakognitivno razmišljanje je omogočeno le v ustreznem vzdušju v učilnici, v kateri učenci upajo raziskovati, eksperimentirati in tvegati pri reševanju problemov. Vključuje pomoč učencem, da razvijejo toleranco in voljo, da vztrajajo, ko naletijo na problem, ki ga sprva ne
znajo rešiti. Druga vrsta podpore metakognitivnemu razmišljanju pa vključuje pomoč učencem, da upajo prositi pomoč, ko jo potrebujejo. Sami morajo namreč ugotoviti, kje rabijo pomoč in vedeti, kako to pomoč pridobiti (pomoč učitelja, sošolca ali z uporabo orodij, kot so računalnik, internet itd).
Ko sta učenčeva konceptualno razumevanje in metakognitivno spremljanje šibka, je njegovo prizadevanje za reševanje celo precej preprostih algebrskih problemov pogosto neuspešno. (Kalchman, Koedinger, 2005)
5.2. RAZUMEVANJE LINEARNIH FUNKCIJ
Prehod iz računskih operacij na abstraktne predmete je dolgotrajen in sam po sebi težak proces, ki se, kot je to opisala Sfardova (1991), izvaja v treh korakih: interiorizacija, kondenzacija ter reifikacija. Prav zato, ker je ta proces težak, pa najvišje stopnje razumevanja, reifikacije, ne doseže vsak. Reifikacija je mogoča, ko se v dijakovem umu zgodi preskok, v katerem se rezultat procesa odlepi od procesa samega in postane samostojni objekt – abstraktna struktura. V njegovem umu nastane nekakšna miselna slika, ki jo je le včasih mogoče dejansko konkretizirati – denimo narisati na papirju.
Z namenom, da ugotovim stopnjo razumevanja dijakov srednjih šol, sem na osnovi kriterijev A. Sfard izdelala naloge, ki mi bodo pomagale pri analizi stopnje razumevanja linearne funkcije..
1. Naloga: Luka se vozi s kolesom po klancu navzdol, tako da enakomerno pospešuje.
Ob času t = 0 ima hitrost 2 𝑚
𝑠, čez 5 s pa 15 𝑚
𝑠. S kolikšno hitrostjo se Luka pelje ob času t = 10 s?
Komentar: Pri nalogi me zanima, ali dijak zna razbrati točke z grafa ter iz njih sklepati o nadaljevanju grafa. Ali dijak dosega stopnjo reifikacije, graf oziroma funkcijo vidi kot dobro definirano metodo prehoda iz enega sistema v drugega.
Interiorizacija Dijak na grafu funkcije določi točko.
Kondenzacija
Reifikacija Dijak funkcijo vidi kot računski proces ali dobro definirano metodo prehoda iz enega sistema v drugega.
2. Naloga: Nariši graf linearne funkcije 𝑦 =1
2𝑥 + 8 .
Komentar: Matematične naloge, kot je ta, se da rešiti na več načinov. S pomočjo točk, ki jih dijak dobi s tabeliranjem funkcije, s pomočjo koeficienta in prostega člena ali s premiki.
Medtem ko vsi načini dajo pravilno rešitev, le slednji dokazuje doseženo najvišjo stopnjo razumevanja, reifikacijo, saj dijak razume pojem funkcij in njihovo obnašanje v koordinatnem sistemu.
Interiorizacija Dijak graf funkcije nariše s pomočjo točk.
Kondenzacija Dijak graf funkcije nariše s pomočjo koeficienta in prostega člena.
Reifikacija Dijak graf funkcije nariše s premiki.
3. Naloga: Zapiši enačbo premice:
Komentar: Tako kot prejšnjo nalogo, se tudi to da rešiti na več načinov. S pomočjo točk, ki jih dijak razbere z grafa, na osnovi sistema dveh linearnih enačb izračuna koeficient in prosti člen ali pa dijak že iz grafa razbere koeficient ter prosti člen in ju zapiše v enačbo premice.
Medtem ko enako kot v prejšnji nalogi vsi načini dajo pravilno rešitev, le slednji dokazuje doseženo najvišjo stopnjo razumevanja, reifikacijo, saj dijak razume pojem funkcij in njihovo obnašanje v koordinatnem sistemu.
Interiorizacija Dijak določi točki, iz njiju napiše enačbi, ju izenači in na koncu dobi enačbo premice.
Kondenzacija Dijak določi 2 točki, s katerima dobi »k« in »n«.
Reifikacija Dijak iz grafa razbere »k« ter »n« ter napiše enačbo premice v obliki f(x) = kx + n.
4. Naloga: Katera od funkcij ni linearna in zakaj?
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑓(𝑥) = 5 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓(𝑥) =3 𝑥
Komentar: Pri tej nalogi iščem razumevanje razlike med različnimi vrstami funkcij. Čeprav odgovor na vprašanje dijak lahko dobi na več načinov (npr. grafično, s pogledom na stopnjo funkcije), le razumevanje bistva linearne funkcije dokazuje doseg stopnje reifikacije.
Interiorizacija Dijak ne pozna razlike med linearno in kvadratno funkcijo.
Kondenzacija Dijak nariše grafe in nato določi, katera funkcija ni linearna.
Reifikacija Dijak razume, kaj je linearna funkcija, pravilno obkroži in svoj odgovor obrazloži.
5. Naloga: Razvrsti premice, podane s spodnjimi enačbami, glede na strmino grafa.
Prični z najmanjšo strmino.
𝑦 = 5𝑥 − 6 𝑦 = −3𝑥 𝑦 = 1,3𝑥 + 6
Komentar: Tako kot pri prejšnji nalogi lahko dijak pride do odgovora na več načinov, vendar le pravo razumevanje kaže na doseg stopnje reifikacije.
Interiorizacija Dijak ne ve, kaj je strmina funkcije.
Kondenzacija Dijak nariše funkcije in vidi, kako strmi so grafi.
Reifikacija Dijak presoja, kako strma je funkcija, na podlagi smernega koeficienta.
6. EMPIRIČNI DEL
6.1. Opredelitev raziskovalnega problema
Pojem matematične funkcije in posebej linearne funkcije je zahteven. Matematik po navadi preučuje predmete, katerih obstoj je znan le peščici ljudi. Tudi najkompleksnejše abstraktne entitete se med pregledovanjem, manipuliranjem in po dosegu neke stopnje razumevanja, zdijo matematiku resnične in logične.
Čeprav dijak v srednji šoli običajno še zdaleč ni matematik, mu ne preostane drugega, kot da se obnaša kot matematik, ko se sooča z osnovnimi matematičnimi pojmi, zlasti pri obravnavi funkcij. Kmalu po predstavitvi tega pojma se od njega pričakuje, da bo novo usvojen pojem analiziral in z njim manipuliral z zaupanjem, ki ga lahko dosežejo le tisti, ki z njim ravnajo, kot da je to neka resnična stvar. Zdi pa se, da tega zaupanja oziroma stopnje razumevanja marsikateri izmed naših dijakov nima.
Zato sem želela preučiti, kako dobro razumevanje pojma linearnih funkcij se pričakuje v prvih letnikih srednjih šol. Pri obravnavi tega vprašanja sem se naslonila na teorijo reifikacije A. Sfard. V skladu z njeno teorijo sem izdelala kriterije, po katerih iz nalog in rešitev nalog sklepam na predvideno oz. doseženo raven reifikacije pojma funkcije.
6.2. Raziskovalna vprašanja
Izhajajoč iz teorije reifikacije matematičnih pojmov A. Sfard želim v empiričnem delu odgovoriti na naslednja raziskovalna vprašanja o razumevanju pojma linearne funkcije pri srednješolcih:
RV1: Kako se izražajo stopnje reifikacije pri uvajanju funkcij v srednješolski matematiki?
RV2: Katera stopnja razumevanja je predvidena pri obravnavi linearne funkcije v posameznih vrstah srednjih šol?
RV3: Katera stopnja razumevanja je dosežena po uvedbi pojma funkcije v posameznih vrstah srednjih šol?
6.3. Hipoteze
Predvidevam, da se pri uvajanju funkcij kažejo razlike v posameznih vrstah srednjih šol.
Pričakujem, da je predvidena stopnja razumevanja funkcij v srednji poklicni ter tehniški šoli stopnja kondenzacije, v gimnaziji pa stopnja reifikacije.
Predvidevam, da v poklicni srednji šoli vsi učenci ne dosežejo stopnjo reifikacije pojma funkcije, torej ostanejo na stopnji kondenzacije, stopnjo reifikacije dosežejo le redki.
Predvidevam, da v gimnaziji stopnjo reifikacije linearne funkcije doseže večina dijakov.
6.4. Vzorec in instrumenti
Uporabila sem štiri raziskovalne instrumente: analizo dokumentov, opazovanje brez udeležbe, pogovor z učiteljem ter preizkus znanja.
Z analizo dokumentov sem preučila poglavja o linearnih funkcijah v treh učbenikih za srednješolsko matematiko: Matematika, Matematika 1, ter Linea nova:
• Matematika, namenjen triletnim poklicnim šolam, avtorica M. Vencelj,
• Matematika 1, namenjen 1. letniku srednje strokovne šole, avtorica M. B.
Klanjšček idr.,
• Linea nova, namenjen 1. letniku gimnazije, avtor G. Pavlič idr.
Stopnjo razumevanja linearne funkcije pri dijakih sem ugotovila s preizkusom znanja (priloga 1). Preizkus je reševalo 9 dijakov, po trije iz prvih letnikov naslednjih srednjih šol:
srednja poklicna šola, srednja tehniška šola ter gimnazija. Iz posamezne vrste šol so reševali preizkus dijak s povprečno oceno pri matematiki odlično 5, dijak s povprečno oceno dobro 3 ter dijak, ki ima povprečno oceno zadostno 2. Preizkus znanja so dijaki reševali individualno, in sicer ustno, pri čemer sem reševanje, s predhodnim soglasjem učencev, snemala. Preizkus je sestavljen iz petih vprašanj/nalog.
Z opazovanjem brez udeležbe sem preučila skupno 3 ure pouka v 1. letnikih na treh različnih vrstah srednih šol. Na teh urah so pričeli obravnavati funkcije. Obravnavali so linearno funkcijo, sodost/lihost funkcije, naraščanje/padanje funkcije ter graf funkcije.
6.5. Obdelava podatkov
Za obdelavo podatkov sem uporabila kvalitativne metode.
Odgovor na prvo raziskovalno vprašanje sem pridobila iz člankov ter učbenikov.
Odgovor na drugo raziskovalno vprašanje sem poiskala s pomočjo analize dokumentov (učbeniki) in opazovanja brez udeležbe (hospitacija na treh različnih vrstah srednjih šol).
Odgovor na tretje raziskovalno vprašanje sem pridobila s pomočjo preizkusa znanja, ki sem ga izdelala sama. Naloge preizkusa in interpretacije rešitev sem predstavila v razdelku 5.2.
6.6. Rezultati pregleda učbenikov
Učbeniki imajo pomembno vlogo pri pouku matematike. Uporabljajo se kot izobraževalno sredstvo za poučevanje in učenje ter predstavljajo povezavo med načrtovanim in implementiranim učnim načrtom. Eden izmed najpomembnejših elementov matematičnih učbenikov so naloge, ki naj bi jih učenci reševali med ali po usvojitvi učne snovi. Ker te naloge močno vplivajo na matematično razmišljanje učencev, je zelo pomembno, da učbenik vsebuje naloge različnih stopenj razumevanja. Narava nalog v učbenikih namreč vpliva na način razmišljanja učencev, ga strukturira in lahko služi za omejevanje ali razširitev njihovih pogledov na vsebino, ki jo obravnavajo. Zato je pomembno, da učbeniki in druga učna gradiva, ki se uporabljajo v učilnicah, zagotavljajo bogate in koristne matematične naloge.
(Glasnovič Gracin, 2018)
Namen raziskave je bil preučiti podobnosti in razlike obravnave funkcij med učbeniki iz matematike za srednje šole.
6.6.1. Učbenik za triletne poklicne šole: MATEMATIKA, avtorica M. Vencelj
Učbenik je namenjen 1. letniku triletne poklicne šole in vsebuje 3 poglavja. Vsako poglavje ima podpoglavja. Na koncu učbenika so rešitve nalog. Na začetku vsakega poglavja ter podpoglavja je na kratko predstavljena snov, nato so napisane rešene naloge iz vsakdanjega življenja s postopki reševanja. Na koncu vsakega podpoglavja pa so zapisane naloge, ki si sledijo po težavnosti od najlažje do najtežje.
Podpoglavja v poglavju funkcij so:
o Preoblikovanje formul in rešitve enačb o Linearna enačba z eno neznanko o Linearna funkcija
Stopnja reifikacije se v učbeniku ne pojavi v razlagi, niti v nalogah. Nekatere naloge, kot je naloga na sliki 6, so rešljive na več načinov in lahko pokažejo dijakovo doseženo stopnjo reifikacije. Nalogo bi dijak namreč lahko rešil s tabeliranjem, določitvijo smernega koeficienta in prostega člena, kot tudi s premiki:
Pomembno je poudariti tudi, da v učbeniku Matematika za triletne srednje šole ni predstavljene surjektivnosti, injektivnosti ter bijektivnosti funkcije.
Primeri nalog iz učbenika posamezne stopnje težavnosti:
• Stopnja interiorizacije: Pri testu za 100 točk pomeni vsak napačen ali manjkajoč odgovor izgubo 5 točk. Zapiši funkcijo, ki opisuje Klemnov uspeh, če ni prav rešil x nalog.
• Stopnja kondenzacije: Izberi dve točki na grafu linearne funkcije in izračunaj naklon premice:
o y = −𝑥 + 6 o 𝑦 = 3𝑥 + 1
• Stopnja reifikacije: /
6.6.2. Učbenik za srednje strokovne šole: MATEMATIKA 1, avtorji M. Bon Klanjšek, B. Dvoržak, D. Felda
Učbenik je namenjen 1. letniku srednje strokovne šole. Vsebuje 52 poglavij, vključno z rešitvami na koncu. Vsako poglavje vsebuje definicije, opise, primere iz vsakdanjega življenja, rešene primere nalog ter na koncu naloge za reševanje, ki si sledijo po težavnosti od najlažjih do najtežjih, ki si označene z zvezdico (*).
Podpoglavja v poglavju funkcij so:
• Funkcije,
• Sodost/lihost,
• Realne funkcije,
• Linearna funkcija,
• Graf linearne funkcije,
• Naraščanje in padanje linearne funkcije,
Stopnja reifikacije se v učbeniku pri razlagi snovi ne pojavlja, pojavi se samo v nalogah.
Primeri nalog iz učbenika posamezne stopnje težavnosti:
Slika 6: Primer naloge, rešljive na več načinov.
• Stopnja interiorizacije: Ali je tabelirana funkcija linearna?
x – 1 0 1
2
f(x) 1 1
2
1 4
• Stopnja kondenzacije: Zapiši linearno funkcijo, ki ima začetno vrednost enako –2 in diferenčni količnik 3
4.
• Stopnja reifikacije: Dana je družina linearnih funkcij 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑎)𝑥 − 2𝑎. Določi a tako, da bo začetna vrednost funkcije f(x) enaka 3.
Dana je množica 𝐴 = {𝑥 ℕ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 15}. Predpis f vsakemu številu x A priredi ostanek pri deljenju števila 2x-1 s 16. Ali je funkcija 𝑓: 𝐴 → 𝐴 bijektivna?
6.6.3. Učbenik za gimnazijo: LINEA NOVA, avtorji G. Pavlič, D. Kavka, M. Rugelj, J.
Šparovec
Učbenik je namenjen 1. letniku gimnazije. Učbenik vsebuje 7 poglavij. Vsako poglavje ima podpoglavja. Na koncu učbenika so rešitve nalog. Prav tako je na začetku vsakega poglavja ter podpoglavja na kratko opisana snov ter njena zgodovina. Med razlago snovi so predstavljeni tudi dokazi. Temu sledijo rešene naloge s postopkom reševanja ter naloge, ki si sledijo po težavnosti od najlažje do najtežje.
Podpoglavja v poglavju funkcij so:
• Koordinatni sistem,
• Razdalja med dvema točkama v ravnini,
• Obseg in ploščina trikotnika,
• Funkcija in njene lastnosti,
• Linearna funkcija,
• Enačbe premice.
Stopnja reifikacije se pokaže tako v razlagi (vključeni dokazi, primer na sliki 7), kot tudi v nalogah.
Primeri nalog iz učbenika posamezne stopnje težavnosti:
• Stopnja interiorizacije: Izračunajte vrednost linearne funkcije 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 pri:
o 𝑥 = 4 o 𝑥 = −2 o 𝑥 = −0.5
• Stopnja kondenzacije: Graf funkcije 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 𝑛 seka ordinatno os v točki (0, –3). Zapišite predpis za funkcijo f in narišite njen graf.
• Stopnja reifikacije: Zapišite predpis za linearno funkcijo f, ki ima začetno vrednost 3
2, njen graf pa je vzporeden premici z enačbo 𝑦 =1
4𝑥 + 9.
6.6.4. Naloge v učbenikih
Analiza zajema vse naloge, ki nimajo podanega odgovora v poglavju linearna funkcija v vseh treh učbenikih. Analiza skupaj zajema več kot 90 nalog iz treh učbenikov.
Slika 7: Obravnavi snovi na stopnji reifikacije v učbeniku Linea nova.
Slika 8: Struktura nalog o linearni funkciji glede na stopnjo kognitivne zahtevnosti.
Komentar: Po zgornjem grafu je razvidno, da se razlike pojavijo že v številu nalog. Največ nalog za vajo ima učbenik za gimnazije, najmanj pa učbenik za triletne poklicne šole.
Največja razlika se pokaže v količini nalog posamezne težavnosti. Medtem ko ima učbenik za gimnazije kar 9 nalog, katerih rešitve kažejo na razumevanje na stopnji reifikacije, ima učbenik za triletne šole naloge le naloge na stopnji interiorizacije in kondenzacije.
Razlike v zahtevnosti nalog, poglobljeni razlagi ter primerih nalog so v analiziranih učbenikih velike. Učbenik Matematika za triletne poklicne šole ima 22 primerov rešenih nalog, medtem ko jih imata Linea nova 14, Matematika 1 pa 11. Pomembno je še izpostaviti, da ima učbenik Linea nova, učbenik za gimnazije, predstavljene tudi dokaze, katerih razumevanje kaže na stopnjo reifikacije.
0 5 10 15 20 25 30 35
Matematika Matematika 1 Linea nova
Zahtevane stopnje razumevanja linearne funkcije v nalogah pregledanih učbenikov?
Interiorizacija Kondenzacija Reifikacija
6.7. Prva učna ura obravnave pojma funkcije v treh različnih srednjih šolah V tem razdelku je opisano opazovanje v razredu, kjer so dijaki začeli obravnavati linearne funkcije. Opazovala sem začetek, torej prvo uro, obravnavanja linearnih funkcij. Ker so me zanimale predvsem razlike v obravnavah učne ure in sem predvidevala, da so začetki obravnave funkcij v vseh šolah zelo podobni, sem se po opazovanju učne ure pogovorila z vsakim učiteljem posebej, ki mi je predstavil obravnavo funkcij v naslednjih učnih urah.
6.7.1. Obravnava pojma funkcije v prvem letniku gimnazije
• Opazovanje prve učne ure:
Pri obravnavi izhajajo iz definicije:
Imamo množici A in B. Predpisu, pri katerem vsakemu elementu množice A priredimo natanko en element množice B, pravimo funkcija in jo običajno označimo s črko f: A -->B.
A – definicijsko območje f(A) – zaloga vrednosti
Tu so se ustavili in prikazali primere funkcij, tako klasično matematične s predpisom, kot tudi nematematične (z vozniki in avtomobili in podobno). Učenci morajo prepoznati, kdaj je neko prirejanje funkcija in kdaj ne.
• Pogovor z učiteljem:
Naslednjo uro sledi prikaz funkcij s tabelo, diagrami, predpisom, grafom.
Graf se posebej definira preko urejenih parov in sicer kot množica točk (x, f(x)), kjer x zavzame vse elemente iz množice A.
Veliko pozornosti se posveti določanju definicijskega območja in zaloge vrednosti. Za dijake so posebej zanimivi nematematični primeri.
Nato se posvetijo lastnostim:
Naraščanje in padanje se definira enostavno: funkcija f je naraščajoča, če za poljubna argumenta x1, x2 iz x2 > x1 sledi f(x2) > f(x1). Analogno opredelijo padajoče funkcije.
Obvezno pokažejo kak primer linearne funkcije, lahko tudi kvadratne funkcije, morda preprost primer racionalne funkcije (𝑓(𝑥) =1
𝑥), čeprav jih uradno še ne poznajo.
Obvezno se naraščanje funkcije tudi demonstrira z grafom, da se poveže naraščanje (»s hojo navkreber«).
Sodost – lihost
