Matematika 2
4. vaja, parcialni odvodi
B. Jurˇciˇc Zlobec1
1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija
Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 6. maj 2012
Doloˇ ci definicijsko obmoˇ cje funkcije.
f(x) =p
1− |x| − |y|
I
Osnovna pravila
I Totalni diferencial:
z =f(x,y) je dz = ∂z
∂xdx+ ∂z
∂ydy u=f(x,y,z) je du = ∂u
∂xdx+ ∂u
∂ydy +∂u
∂zdz
I Sestavljene funkcije: z =f(x,y),x =ϕ(u,v), y=ψ(u,v).
∂z
∂u = ∂z
∂x
∂ϕ
∂u + ∂z
∂y
∂ψ
∂u
∂z
∂v = ∂z
∂x
∂ϕ
∂v + ∂z
∂y
∂ψ
∂v
I Implicitna funkcija: F(x,y,z) = 0.
∂z
∂x =−
∂F
∂x
∂F
∂z
in ∂z
∂y =−
∂F
∂y
∂F
∂z
Osnovne formule
I Stacionarna toˇcka funkcije z =f(x,y):
∂z
∂x = 0 in ∂z
∂y = 0.
I Zadosten pogoj za nastop ekstrema. V stacionarni toˇcki (x0,y0) nastopi ekstrem, ˇce je ∆(x0,y0)>0, kjer je
∆ =AC−B2, A= ∂2z
∂x2, B = ∂2z
∂x∂y, C = ∂2z
∂y2.
I Ce jeˇ A>0, nastopi ekstremminimum,
I ˇce jeA<0, nastopi ekstremmaksimum,
I ˇce je ∆<0, ekstrema ni in
I ˇce je ∆ = 0, je odvisno od viˇsjih odvodov.
I Vezani ekstrem funkcijez =f(x,y) pri pogoju ϕ(x,y) = 0 lahko nastopi v stacionarnih toˇckah Lagrangeove funkcije
F(x,y, λ) =f(x,y) +λϕ(x,y).
