UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
JANEZ PUNTAR
PARCIALNE
DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE IN PRETOK
PROMETA
MAGISTRSKO DELO
Ljubljana, 2020
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
STUDIJSKI PROGRAM: POU ˇˇ CEVANJE
SMER: PREDMETNO POU ˇCEVANJE: MATEMATIKA - RA ˇCUNALNIˇSTVO
KANDIDAT:
JANEZ PUNTAR
MENTOR: IZR. PROF. DR.
MARKO SLAPAR
PARCIALNE
DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE IN PRETOK
PROMETA
MAGISTRSKO DELO
Ljubljana, 2020
Zahvala
Najprej bi se rad zahvalil mentorju izr. prof. dr. Marku Slapar za ves vloˇzen ˇcas in strokovno pomoˇc, ki mi jo je namenil pri pisanju
magistrske naloge.
Rad bi se zahvalil zaroˇcenki ˇSpeli, ki je tekom ˇstudija verjela vame in me na vsakem koraku iskreno podpirala.
Na koncu bi se rad zahvalil mojim domaˇcim, ki so mi v vseh letih ˇstudija stali ob strani, me finanˇcno in psihiˇcno podpirali ter spodbujali.
Iskrena hvala.
Povzetek
V magistrskem delu bomo analizirali gibanje vozil na enopasovni ce- sti s pomoˇcjo matematiˇcnega modela. Model prometa bo temeljil na dveh koliˇcinah: hitrostnem polju in gostoti prometa. S pomoˇcjo ohra- nitvenega zakona bomo izpeljali prometno enaˇcbo. Prometna enaˇcba je kvazilinearna parcialna diferencialna enaˇcba dveh spremenljivk, ki jo lahko reˇsujemo s pomoˇcjo metode karakteristik. V zadnjem delu bomo konkretno obravnavali nekatere prometne situacije.
Kljuˇcne besede: sistemi diferencialnih enaˇcb, kvazilinerna parcialno diferencialna enaˇcba, prometna enaˇcba, pretoˇcnost prometa
Abstract
In this masters thesis we analyze the movement of vehicles on a one lane road using a mathematical model. Our traffic model will depend on two quantities: velocity field and traffic density. Using a conservation law, we derive the traffic equation. The traffic equation is a quasilinear partial differential equation that we can solve using the method of characteristics. In the last part of the thesis, we study a few examples of different traffic situations.
Keywords: systems of diferential equations, quasilinear partial diffe- rential equation, traffic equation, traffic flow
Kazalo
Poglavje 1. Uvod . . . 1
Poglavje 2. Sistemi diferencialnih enaˇcb prvega reda . . . 3
2.1. Obstoj in enoliˇcnost reˇsitve . . . 5
2.2. Sistemi linearnih diferencialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti . . . 7
Poglavje 3. Kvazilinearne parcialne diferencialne enaˇcbe prvega reda . . . 12
3.1. Kvazilinearne parcialne diferencialne enaˇcbe . . . 13
3.2. Metoda karakteristik . . . 15
Poglavje 4. Modeliranje pretoka prometa . . . 23
4.1. Opredelitev pojmov . . . 23
4.2. Ohranitveni zakon za enosmerni promet . . . 25
4.3. Prometna enaˇcba . . . 26
4.4. Reˇsitev prometne enaˇcbe z metodo karakteristik . . . 29
Poglavje 5. Sklep . . . 39
Literatura . . . 40
POGLAVJE 1
Uvod
Uvod je povzet po [1, 2, 4, 5, 7, 9].
Razred kvazilinearnih parcialnih diferencialnih enaˇcb prvega reda lahko dokaj uspeˇsno obravnavamo s pomoˇcjo metode karakteristik. Ta me- toda nam omogoˇca, da reˇsevanje prevedemo na reˇsevanje sistema dife- rencialnih enaˇcb prvega reda. V magistrskem delu bomo najprej pred- stavili osnovno teorijo sistemov parcialnih diferencialnih enaˇcb prvega reda. Glavni poudarek bo na eksistenˇcnem izreku in na odvisnosti reˇsitev glede na zaˇcetni pogoj. Teorijo sistemov diferencialnih enaˇcb bomo v nadaljevanju uporabili pri reˇsevanju kvazilinearnih parcialnih diferencialih enaˇcb s pomoˇcjo metode karakteristik.
Vse to bomo v nadaljevanju uporabili pri modeliranju preprostih pro- metnih modelov, pri katerih bomo predpostavili, da vozila vozijo po enosmerni cesti, na katero se nova vozila ne morejo vkljuˇcevati in se med seboj ne prehitevajo. Tako bosta edini res neznani koliˇcini go- stota prometa in hitrost prometa, produkt teh dveh koliˇcin pa nam bo predstavljal pretok prometa. Ker predpostavimo, da vozila v promet ne vstopajo in iz njega ne izstopajo, lahko s pomoˇcjo ohranitvenega zakona izpeljemo kvazilinearno parcialno diferencialno enaˇcbo, ki nam modelira sam pretok prometa. V tej enaˇcbi nastopata tako hitrost prometa kot tudi gostota prometa. Obiˇcajno gostota in hitrost pro- meta nista nepovezani koliˇcini - ˇce je na nekem delu ceste ob nekem ˇ
casu velika gostota vozil, se bodo vozila obiˇcajno premikala poˇcasneje.
Predstavili bomo dva razliˇcna modela odvisnosti hitrosti prometa od gostote prometa.
V zadnjem delu bomo obravnavali prometno enaˇcbo za razliˇcne moˇznosti povezav gostote in hitrosti prometa.
Naˇs namen je bralcu na matematiˇcno korekten in razumljiv naˇcin prika- zati uporabnost sistemov diferencialnih enaˇcb na podroˇcju raziskovanja problemov pri analizi prometa.
POGLAVJE 2
Sistemi diferencialnih enaˇ cb prvega reda
Glavni viri tega poglavja so [1, 3, 5, 6, 8]
Sploˇsni sistem diferencialnih enaˇcb prvega reda je oblike dx1
dt =F1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2
dt =F2(t, x1, x2, . . . , xn) (1)
· · · dxn
dt =Fn(t, x1, x2, . . . , xn),
kjer so F1, F2, . . . , Fn funkcijen+ 1 spremenljivk definirane na nekem obmoˇcju I×D⊂R×Rn. Reˇsitev takega sistema so funkcije
x1(t), x2(t), . . . , xn(t) :J →D,
definirane na nekem intervalu J ⊂I, ki zadostijo sistemu (1). Zaˇcetni pogoj za sistem diferencialnih enaˇcb (1) je toˇcka (t0,x0)∈I×D, reˇsitev zaˇcetne naloge pa je takˇsna reˇsitev sistema, da je t0 ∈J in velja
(x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0)) =x0.
Sistem diferencialnih enaˇcb prvega reda je avtonomen, ˇce funkcije Fk niso direktno odvisne od spremenljivke t. Avtonomen sistem je torej oblike
dx1
dt =F1(x1, x2, . . . , xn) dx2
dt =F2(x1, x2, . . . , xn) (2)
· · · dxn
dt =Fn(x1, x2, . . . , xn),
pri ˇcemer formalno ˇse vedno razumemo, da so funkcije F1, F2, . . . , Fn funkcijen+ 1 spremenljivk. Formalno lahko neodvisnost zapiˇsemo kot
∂Fk
∂t = 0 in razumemo lahko, da so Fk definirana na R×D ⊂R×Rn. Ce so funkcijeˇ x1(t), x2(t), . . . , xn(t) reˇsitev avtonomnega sistema, so za poljubens∈Rfunkcijex1(s+t), x2(s+t), . . . , xn(s+t) reˇsitev sistema.
Zato lahko reˇsitve avtonomnega sistema predstavimo kar s slikami poti t 7→ (x1(t), . . . , xn(t) v Rn, ki jih imenujemo trajektorije. Trajekto- rije sledijo polju smeri za avtonomni sistem, to je vektorskemu polju (F1, F2, . . . , Fn), definiranem na D ⊂ Rn. Dve razliˇcni reˇsitvi seveda lahko predstavljata isto trajektorijo, vendar, kot bomo videli v nasle- dnjem razdelku, se v tem primeru reˇsitvi razlikujeta le za translacijo v spremenljivki t.
Primer 2.1. Poglejmo si avtonomni sistem dveh diferencialnih enaˇcb prvega reda
dx1
dt =x2−x1/2, dx2
dt =−x1−x2/2.
Za poljubni realni konstanti a, bje
x1(t) =e−t/2(acost+bsint) x2(t) =e−t/2(bcost−asint) reˇsitev sistema. Za reˇsitvi
x1(t) = e−t/2cost x2(t) = −e−t/2sint in
˜
x1(t) = −e−t/2sint
˜
x2(t) = −e−t/2cost
na primer velja ˜x1 =x1(t+π/2) in ˜x2 =x2(t+π/2),zato predstavljata isto trajektorijo, ˇceprav sta si reˇsitvi formalno razliˇcni.
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2 -1 0 1 2 3
Slika 1. Polje smeri in dve trajektoriji.
2.1. Obstoj in enoliˇcnost reˇsitve
Brez dokaza si poglejmo eksistenˇcni izrek za sisteme diferencialnih enaˇcb prvega reda. Dokaz lahko bralec najde na primer v [8].
Izrek 2.2 (Picardov eksistenˇcni izrek). Naj bo dx1
dt =F1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2
dt =F2(t, x1, x2, . . . , xn)
· · · dxn
dt =Fn(t, x1, x2, . . . , xn),
sistem diferencialnih enaˇcb prvega reda, kjer so funkcije F1, F2, . . . , Fn zvezne na obmoˇcju I ×D ⊂R×Rn in zvezno parcialno odvedljive po spremenljivkah x1,x2, . . . , xk. Naj bo (t0,x0) ∈ I ×D. Potem obstaja > 0 in enoliˇcno doloˇcene C1 funkcije x1(t), x2(t), . . . , xn(t) defini- rane na (t0 − , t0 +), ki reˇsijo sistem skupaj z zaˇcetnim pogojem (x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0)) =x0.
Kot vidimo v izreku, reˇsitev zaˇcetne naloge morda obstaja le na krat- kem ˇcasovnem intervalu okrog toˇcke t0, ˇceprav same enaˇcbe morda nimajo nobene singularnosti. Poglejmo si to na primeru navadne dife- rencialne enaˇcbe.
Primer 2.3. Poglejmo si avtonomno diferencialno enaˇcbo prvega reda dx
dt =x2.
Ker je enaˇcba separabilna, jo lahko reˇsimo s preprosto integracijo in dobimo sploˇsno reˇsitev
x(t) = 1 C−t. Reˇsitev zaˇcetne naloge (0, x0) je
x(t) = x0 1−x0x
in je singularna pri x = 1/x0, ˇceprav tega ne moremo direktno videti iz zapisa diferencialne enaˇcbe. V zgornjem izreku bi torej za ta primer lahko vzeli = 1/|x0|. Vrednost je torej odvisna ne le od enaˇcbe, ampak tudi od samega zaˇcetnega pogoja.
V nadaljevanju bomo potrebovali tudi informacijo o tem, kako so same reˇsitve odvisne od spremembe zaˇcetnega pogoja. Dokaz za naslednji izrek lahko najdemo v [6].
Izrek 2.4. Naj bo γ(s) = (t0(s),x0(s)) preslikava iz intervala [α, β] v I ×Rn ⊂R×Rn in
dx1
dt =F1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2
dt =F2(t, x1, x2, . . . , xn)
· · · dxn
dt =Fn(t, x1, x2, . . . , xn),
sistem enaˇcb, definiran naI×D, pri ˇcemer veljajo predpostavke Picar- dovega izreka. Predpostavimo, da je γ razreda Cn. Potem obstaja >0 in C1 funkcije x1(s, t), x2(s, t), . . . , xn(s, t), definirane na {(s, t); s ∈ [α, β], t0(s)− < t < t0(s) +}, ki za vsak s reˇsijo sistem skupaj z zaˇcetnim pogojem (x1(t0(s)), x2(t0(s)), . . . , xn(t0(s))) =x0(s).
2.2. Sistemi linearnih diferencialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti
Sisteme diferencialnih enaˇcb prvega reda obiˇcajno ne znamo eksplici- tno reˇsevati. Dober opis prostora reˇsitev imamo pri sistemih linearnih diferencialnih enaˇcb, konkretno metodo iskanja eksplicitnih reˇsitev pa imamo v primeru sistemov linearnih diferencialnih enaˇcb s konstan- tnimi koeficienti. V tem razdelku si bomo na kratko pogledali, kako lahko takˇsne sisteme reˇsujemo. Veˇcino teorije v tem razdelku smo pov- zeli po [1].
Sistem linearnih diferencialnih enaˇcb je oblike dx1
dt =a11(t)x1+a12(t)x2+· · ·+a1n(t)xn+b1(t) dx1
dt =a21(t)x1+a22(t)x2+· · ·+a2nxn(t) +b2(t) (3)
· · · dx1
dt =an1(t)x1+an2x2+· · ·+ann(t)xn+bn(t),
kjer so aij(t) inbi(t) realne funkcije (obiˇcajno predpostavimo vsaj zve- znost), definirane na nekem intervalu I ⊂R. ˇCe oznaˇcimo
A(t) =
a11(t) a12(t) · · · a1n(t) a21(t) a22(t) · · · a2n(t)
... ... . .. ... an1(t) an2(t) · · · ann(t)
, b(t) =
b1(t) b2(t)
... bn(t)
.
in
x=
x1 x2 ... xn
,
lahko sistem krajˇse zapiˇsemo kot dx
dt =A(t)x+b(t).
Sistem je homogen, ˇce velja b1 = b2 = . . . = bn = 0. Na kratko si poglejmo lastnosti reˇsitev takˇsnega sistema. ˇCe jet0 poljubna toˇcka na intervalu I in je x0 ∈ Rn, ima sistem (3) enoliˇcno reˇsitev.Ta zadoˇsˇca
zaˇcetnemu pogoju (t0,x0), pri ˇcemer je reˇsitev definirana na celem in- tervaluIin ne le v neki majhni okolici toˇcket0. ˇCe imamo opravka s ho- mogenim sistemom in jet0poljubna toˇcka intervala ter sox10,x20, . . . , xn0 linearno neodvisni vektorji v Rn, potem za vsak zaˇcetni pogoj (to,xi0) dobimo xi(t) reˇsitev sistema. Druge reˇsitve sistema lahko dobimo kot linearno kombinacijo teh reˇsitev, torej
x(t) = a1x1+a2x2 +· · ·+anxn.
Prostor reˇsitev homogenega linearnega sistema je torejn-dimenzionalen vektorski prostor. Vse reˇsitve nehomogenega sistema (3) dobimo tako, da poljubni reˇsitvi homogenega sistema priˇstejemo neko (partikularno) reˇsitev nehomogenega sistema.
V kolikor so funkcije aij v linearnem sistemu dejansko odvisne od spre- menljivke t, nimamo dobre metode, kako eksplicitno poiskati reˇsitve sistema. Velja pa, da ˇce sluˇcajno znamo poiskati vse reˇsitve homoge- nega sistema, lahko z metodo variacije konstant poiˇsˇcemo partikularno reˇsitev nehomogenega sistema in tako reˇsimo nehomogen sistem.
V nadaljevanju si poglejmo kako lahko reˇsujemo linearne sisteme v primeru, ko funkcije aij inbi niso odvisne od spremenljivket. Takˇsnim sistemom bomo rekli sistemi linearnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti (obiˇcajno v literaturi dovolimo, da sobifunkcije spremenljivket, vendar se bomo mi tukaj omejili le na avtonomne sisteme). Naj bo torej
dx
dt =Ax+b
sistem s konstantnimi koeficienti. Partikularno reˇsitev takˇsnega sis- tema lahko poiˇsˇcemo tako, da reˇsimo obiˇcajen linearen sistem enaˇcb
Ax=−b.
Da torej poiˇsˇcemo sploˇsno reˇsitev, moramo znati poiskati sploˇsno reˇsitev homogenega sistema
dx
dt =Ax.
Takoj lahko vidimo, da je
x=eλtv
reˇsitev sistema, ˇce je v lastni vektor matrike A za lastno vrednost λ.
V primeru, da ima matrika A n-linearno neodvisnih realnih lastnih vektorjev, smo s tem naˇsli vse reˇsitve homogenega sistema. ˇCe ima matrika Akompleksno lastno vrednost λ=µ+iω in pripadajoˇc lastni vektor v=u+iw, sta tako realni kot imaginarni del
eλtv=e(µ+iω)t(u+iw) = eµt(cosωt+isinωt)(u+iw)
reˇsitvi sistema. Sploˇsno reˇsitev sistema lahko torej najdemo za ge- neriˇcne matrike, to je takˇsne, ki jih lahko diagonaliziramo nad komple- ksnimi ˇstevili. ˇCe matrika ni diagonalizabilna, kar pomeni, da imamo kakˇsno lastno vrednost, ki ima algebraiˇcno veˇckratnost strogo veˇcjo od geometriˇcne veˇckratnosti, pa reˇsitve najdemo s pomoˇcjo korenskih vek- torjev. Tega primera ne bomo obravnavali v vsej sploˇsnosti, si bomo pa razliˇcne situacije pogledali na dveh preprostih primerih.
Primer 2.5. Poiˇsˇcimo sploˇsno reˇsitev sistema x01 = 3x1−2x2
y20 = 4x1−x2
in tisto reˇsitev, ki zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju x1(0) = 0, x2(0) = 1.
Lastni vrednosti matrike
A =
"
3 −2 4 −1
# .
sta λ1 = 1 + 2iin λ2 = 1−2i. Lastni vektor za lastno vrednost 1 + 2i je
v=
"
1 1−i
#
=
"
1 1
# +i
"
0
−1
# . Sploˇsna reˇsitev sistema je torej
x(t) = et a1 cos 2t
"
1 1
#
−sin 2t
"
0
−1
#!
+a2 cos 2t
"
0
−1
#
+ sin 2t
"
1 1
#!!
, oziroma
x1(t) = et(a1cos 2t+a2sin 2t)
x2(t) = et(a1(cos 2t+ sin 2t)−a2(cos 2t−sin 2t)).
Da zadostimo zaˇcetnemu pogoju x1(0) = 0, x2(0) = 1, mora veljati 0 =a1
1 =a1−a2,
torej a1 = 0 in a2 =−1. Reˇsitev zaˇcetne naloge je x1(t) =−etsin 2t
x2(t) =et(cos 2t−sin 2t).
Primer 2.6. Poiˇsˇcimo reˇsitev sistema x01 = 2x1+x2 x02 =x2+x3 x03 =x3+ 1,
ki zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju x1(0) = 1, x2(t) = 1, x2(0) = 1. Lastni vrednosti matrike
A=
2 1 0 0 1 1 0 0 1
.
sta λ1 = 2 in λ2 = 1, pri ˇcemer ima 1 algebraiˇcno veˇckratnost 2.
Za λ = 2 imamo lastni vektor v1 = (1,0,0)T, lastna vrednost 1 pa ima geometriˇcno veˇckratnost 1, za lastni vektor pa lahko vzamemo v2 = (1,−1,0)T. Tako dobimo dve reˇsitvi homogenega sistema,
x1 =e2t(1,0,0)T in
x2 =et(1,−1,0)T. Tretjo reˇsitev iˇsˇcemo z nastavkom
x3 =teλ2tv2+eλ2tw.
Ce nastavek vstavimo v enaˇˇ cbo dxdt =Ax, dobimo enaˇcbo (A−λ2)w=v2.
Za reˇsitev lahko vzamemo (korenski) vektor w = (1,0,−1)T. Vse reˇsitve homogenega sistema so torej oblike
x=a1e2tv1+a2etv2+a3(teλ2tv2+eλ2tw).
Ker za partikularno reˇsitev nehomogenega sistema lahko vzamemo kon- stantni vektor x, ki reˇsi sistem
Ax=
0 0
−1
,
torej (−1/2,1,−1)T in dobimo sploˇsno reˇsitev nehomogenega sistema x=a1e2tv1+a2etv2+a3(teλ2tv2+eλ2tw) + (−1/2,1,−1)T, oziroma
x1(t) =a1e2t+ (a2+a3+a3t)et−1/2 x2(t) =−(a2+a3t)et+ 1
x3(t) =−a3et−1.
Ce upoˇstevamo ˇse zaˇˇ cetni pogoj, dobimo reˇsitev x1(t) = 3e2t−(2 +t)et−1/2 x2(t) = (1 +t)et+ 1
x3(t) =et−1.
POGLAVJE 3
Kvazilinearne parcialne diferencialne enaˇ cbe prvega reda
Glavni viri tega poglavja so [1, 2, 3, 5, 10].
Sploˇsna parcialna diferencialna enaˇcba prvega reda za neznano funkcijo u(x1, x2, . . . , xn) ima naslednjo obliko:
F(x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2, . . . , uxn) = 0,
kjer je funkcija F podana kot funkcija 2n + 1 spremenljivk, uxi pa predstavlja parcialni odvod funkcije po i-ti spremenljivki xi. V fiziki so sicer bolj prisotne parcialne diferencialne enaˇcbe drugega reda, kar pomeni, da poleg parcialnih odvodov funkcije v enaˇcbi nastopajo tudi parcialni odvodi drugega reda, medtem ko parcialne enaˇcbe prvega reda pogosto uporabljamo pri modeliranju razliˇcnih inˇzenirskih procesov, kot sta npr. pretok materiala v tekoˇcini in ˇsirjenje valovnih front v optiki. Kot bomo videli v nadaljevanju, lahko v doloˇcenih primerih za reˇsevanje parcialnih diferencialnih enaˇcb uporabimo metode reˇsevanja sistemov navadnih diferencialnih enaˇcb prvega reda.
V nadaljevanju se bomo osredotoˇcili na parcialne diferencialne enaˇcbe prvega reda za funkcijo dveh spremenljivk, ˇceprav se metode zlahka posploˇsijo na viˇsje dimenzionalne primere.
Naj bo funkcija u(x, y) reˇsitev diferencialne enaˇcbe
F(x, y, u, ux, uy) = 0. (4) Normala na ploskev v R3, ki jo dobimo kot graf funkcije u(x, y), je podana z (ux(x, y), uy(x, y),−1), toˇcke na ploskvi pa so (x, y, u(x, y)).
Enaˇcbo (4) lahko razumemo tako, da nam v vsaki toˇcki ploskve poda nek pogoj na normalo v tej toˇcki, reˇsevanje enaˇcbe pa geometrijsko razumemo kot konstrukcijo ploskve, ki bo zadoˇsˇcala tej zvezi. Ploskev
bomo pogosto naˇsli v parametriˇcni obliki, vendar ne nujno eksplicitno kot graf funkcije.
Zaˇcetni oziroma Cauchyjev pogoj za parcialno diferencialno enaˇcbo pr- vega reda je obiˇcajno podan tako, da vzdolˇz neke krivulje vxy ravnini podamo vrednosti funkcije u(x, y) ali pa podamo krivuljo kar parame- triˇcno v R3
γ(s) = ((x0(s), y0(s), u0(s)).
Ta naj leˇzi na ploskvi, ki reˇsi enaˇcbo. Priˇcakujemo, da bo ob primernih pogojih na samo enaˇcbo in na zaˇcetni pogoj v okolici zaˇcetnega pogoja obstajala ena sama ploskev, ki predstavlja reˇsitev enaˇcbe in vsebuje zaˇcetni pogoj.
3.1. Kvazilinearne parcialne diferencialne enaˇcbe
Geometrijska metoda reˇsevanja parcialnih diferencialnih enaˇcb je ˇse po- sebej primerna pri tako imenovanih kvazilinearnih diferencialnih enaˇcbah prvega reda. To so enaˇcbe oblike
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =c(x, y, u), (5) kjer so a, b, c : R3 → R znane funkcije. Enaˇcbi reˇcemo kvazilinearna zato, ker parcialni odvodi v enaˇcbi nastopajo linearno, sama funkcijau pa ne nujno. Pomemben poseben primer kvazilinearne enaˇcbe je tudi linearna parcialna diferencialna enaˇcba
a(x, y)ux+b(x, y)uy =c0(x, y)u+c1(x, y). (6) V tem primeru soa, b, c0, c1znane funkcije le dveh spremenljivk. Enaˇcba je tako linearna v parcialnih odvodih in tudi v sami funkciji.
Primer 3.1.
ux =u+h(y) (7)
V tem primeru imamo linearno parcialno diferencialno enaˇcbo prvega reda, kjer je a = 1, b = 0, c0 = 1, c1 = h(y). Ker enaˇcba ne vsebuje
odvoda y spremenljivke, lahko ˇstejemo spremenljivko y kot parame- ter. Tako lahko enaˇcbo razumemo kot preprosto linearno diferencialno enaˇcbo v spremenljivkix. Njena sploˇsna reˇsitev je
u(x, y) = A(y)ex−h(y),
kjer jeA(y) poljubna funkcija spremenljivkey. Poglejmo si dva razliˇcna zaˇcetna pogoja. Naj bo najprej zaˇcetni pogoj podan vzdolˇz y osi, in sicer
u(0, y) =f(y) oziroma
γ(s) = (0, s, f(s)).
V tem primeru imamo A(y) = f(y) +h(y) in dobimo enoliˇcno reˇsitev diferencialne enaˇcbe, skupaj z zaˇcetnim pogojem,
u(x, y) = f(y)ex+h(y)ex+y.
Poglejmo si, kaj se zgodi, ˇce zaˇcetni pogoj vzamemo vzdolˇz x osi, to- rej
u(x,0) =g(x) oziroma
γ(s) = (s,0, g(s)).
Da bi reˇsitev zadostila zaˇcetnemu pogoju, mora velja to u(x,0) =g(x) =A(0)ex−h(y) oziroma
A(0) = (g(x) +h(y))e−x.
Ker mora bitiAkonstanten, mora biti odvodApoxenak 0, torej g0(x)−g(x)−h(y) = 0.
To je moˇzno le, ˇce je g(x) = Cex in h(y) = 0. Enaˇcbe (7) torej pri zaˇcetnem pogoju vzdolˇz x osi obiˇcajno ne moremo reˇsiti, razen v primeru zaˇcetnega pogoja u(x,0) = Cex in h(y) = 0. V tem primeru je vsaka funkcija
u(x, y) = A(y)ex reˇsitev enaˇcbe, ˇce je le A(0) =C.
Ce povzamemo, ima enaˇˇ cba (7) lahko pri nekem zaˇcetnem pogoju enoliˇcno reˇsitev, lahko nima reˇsitev, lahko pa ima tudi neskonˇcno reˇsitev.
V nadaljevanju bomo videli, kdaj natanˇcno lahko priˇcakujemo obstoj in enoliˇcnost reˇsitev.
3.2. Metoda karakteristik
Vzemimo sploˇsno kvazilinearno parcialno diferencialno enaˇcbo
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =c(x, y, u) in naj bo
γ(s) = (x0(s), y0(s), u0(s)), s∈(α, β) zaˇcetni pogoj oziroma zaˇcetna krivulja.
Diferencialno enaˇcbo lahko napiˇsemo v obliki
(a, b, c)·(ux, uy,−1) = 0. (8) Ce jeˇ u reˇsitev enaˇcbe, je (ux, uy,−1) normala na graf funkcije u v R3, zato vektor (a, b, c) leˇzi v v tangentni ravnini ploskve. Ploskev v R3, ki predstavlja reˇsitev diferencialne enaˇcbe, bomo iskali tako, da bomo iz vsake toˇcke na zaˇcetni krivulji reˇsevali sistem diferencialnih enaˇcb
˙ x= dx
dt(t) =a(x, y, u),
˙ y= dy
dt(t) =b(x, y, u),
˙ u= du
dt(t) =c(x, y, u).
(9)
Videli bomo, da ob primernih predpostavkah na zaˇcetni pogoj in na gladkost funkcij a, b, c, unija vseh teh reˇsitev predstavlja ploskev, ki je reˇsitev diferencialne enaˇcb. Takˇsna reˇsitev naj bi bila enoliˇcno doloˇcena in naj bi obstajala v neki okolici zaˇcetne krivulje.
To je sistem navadnih diferencialnih enaˇcb prvega reda in ga imenu- jemosistem karakteristiˇcnih enaˇcbali na kratkokarakteristiˇcne enaˇcbe.
Reˇsitve imenujemo karakteristiˇcne krivulje enaˇcbe. Opazimo, da so enaˇcbe 9 avtonomne, kar pomeni, da ni nobene eksplicitne odvisno- sti od spremenljivke t. Reˇsitev parcialne diferencialne enaˇcbe skupaj z zaˇcetnim pogojem γ dobimo tako, da za vsak s ∈ (α, β) poiˇsˇcemo karakteristiko, ki zadosti zaˇcetnemu pogoju
x(0) =x0(s), y(0) =y0(s), u(0) =u0(s).
Unijo teh karakteristik lahko parametriˇcno zapiˇsemo v obliki
(x(t, s), y(t, s), u(t, s)). (10) Ce uspemoˇ t in s izraziti z x in y, lahko reˇsitev najdemo eksplicitno v obliki u(x, y).
V primeru, ko imamo opravka z linearno parcialno diferencialno enaˇcbo oblike
a(x, y)ux+b(x, y)uy =c0(x, y)u+c1(x, y), je sistem diferencialnih enaˇcb oblike
xt(t, s) =a(x, y), yt(t, s) =b(x, y),
ut(t, s) =c0(x, y)u+c1(x, y).
Prvi dve enaˇcbi vsebujeta lex inyin ju lahko reˇsujemo loˇceno, zadnja enaˇcba pa je linearna enaˇcba v u in jo lahko enostavno reˇsimo.
Poglejmo si primer.
Primer 3.2. Poiˇsˇcimo reˇsitev enaˇcbe ux+uy = 2
ob upoˇstevanju zaˇcetnega pogojau(x,0) =x2. Karakteristiˇcne enaˇcbe diferencialne enaˇcbe so
xt(t, s) = 1, yt(t, s) = 1, ut(t, s) = 2,
pri ˇcemer upoˇstevamo zaˇcetni pogoj
x(0, s) =s, y(0, s) = 0, u(0, s) =s2. Sploˇsna reˇsitev karakteristiˇcnih enaˇcb je
x(t, s) = t+C(s), y(t, s) = t+D(s), u(t, s) = 2t+E(s).
Ce upoˇstevamo ˇse zaˇˇ cetne pogoje, dobimo reˇsitev x(t, s) = t+s,
y(t, s) = t, u(t, s) = 2t+s2.
Tako smo dobili parametriˇcno obliko ploskve, ki predstavlja reˇsitev diferencialne enaˇcbe. Da dobimo eksplicitno podano reˇsitev, moramo u izraziti z x in y. Iz prvih dveh enaˇcb lahko izrazimo t ins:
t =y, s =x−y in tako dobimo reˇsitev
u(x, y) = 2y+ (x−y)2.
Slika 1. Reˇsitev enaˇcbeux+uy = 2 skupaj z zaˇcetnim pogojem.
Poglejmo si, kdaj nam metoda karakteristik omogoˇci reˇsitev parcialne diferencialne enaˇcbe.
Definicija 3.3. Naj bo
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =c(x, y, u) kvazilinearna enaˇcba. Zaˇcetni pogoj
γ(s) = (x0(s), y0(s), u0(s)), s∈(α, β) je dopusten v toˇckis ∈(α, β), ˇce velja
det
"
a(γ(s)) b(γ(s)) (x0)s(s) (y0)s(s)
# 6= 0.
Izrek 3.4. Naj bo
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =c(x, y, u) kvazilinearna enaˇcba in
γ(s) = (x0(s), y0(s), u0(s)), s∈(α, β)
zaˇcetni pogoj. Naj bodo funkcije a, b in c razreda C1 v okolici zaˇcetne krivulje in γ razreda C1. Predpostavimo, da je zaˇcetni pogoj dopusten za vsak s ∈ (s0 − 2δ, s0 + 2δ) ⊂ (α, β). Potem obstaja > 0, da za vsak s ∈ (s0−δ, s0 +δ) obstaja reˇsitev karakteristiˇcnega sistema z zaˇcetnim pogojemγ(s) za vsak |t|< . Parametriˇcna ploskev reˇsitev je za (t, s)∈(−, )×(s0−δ, s0+δ)) razreda C1 in jo lahko zapiˇsemo kot graf funkcije u(x, y). Reˇsitevu je enoliˇcno doloˇcena.
Dokaz. Iz Picardovega izreka o enoliˇcnosti in obstoju reˇsitev sis- tema diferencialnih enaˇcb prvega reda lahko za vsako toˇcko s ∈(α, β) najdemo reˇsitev karakteristiˇcnih enaˇcb, ki zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju γ(s). Reˇsitev je enoliˇcna in obstaja za |t| < (s), kjer je (s) >0 od- visen od s. Ker je zaˇcetni pogoj zvezen, je (s) zvezno odvisen glede na s. Ce se torej omejimo na kompakten interval [sˇ 0 − 3δ/2, s0 + 3δ/2], lahko vzamemo (s) = 0 >0 konstanten. Ker je zaˇcetni pogoj gladko odvisen od s in so a, b, c gladke funkcije, je preslikava (s, t) 7→
(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) razreda C1 na (−0, 0)×(s0 −δ, s0 +δ). ˇCe je zaˇcetni pogoj dopusten, nam izrek o implicitni preslikavi omogoˇca, da
ploskev (s, t) 7→ (x(t, s), y(t, s), u(t, s)) v R3, za nek > 0 zapiˇsemo kot graf funkcije u(x, y).
Poglejmo, da je tako dobljena funkcija u(x, y) reˇsitev kvalinearne par- cialne diferencialne enaˇcbe:
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =a(x, y, u)(uttx+ussx) +b(x, y, u)(utty +ussy)
=ut(x, y, u)(atx+bty) +us(x, y, u)(asx+bsy)
=c(x, y, u)(atx+bty) +us(asx+bsy) Ker velja
1 = tt=txxt+tyyt =atx+bty
in
0 =st=sxxt+syyt=asx+bsy, dobimo
a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy =c(x, y, u).
Poglejmo ˇse, da je reˇsitev ena sama. Naj bo (x(t), y(t), u(t)) neka ka- rakteristiˇcna krivulja z zaˇcetnim pogojem γ(s) in naj bo zaˇcetni pogoj dopusten v toˇckis. Poglejmo, da vsaka reˇsitevu=f(x, y) vsebuje tako karakteristiˇcno krivuljo. Seveda velja u(0) =f(x(0), y(0)). Oznaˇcimo
g(t) =u(t)−f(x(t), y(t)) in odvajajmo po spremenljivki t
gt(t) = ut(t)−fx(x(t), y(t))xt(t)−fy(x(t), y(t))yt(t)
=c(x, y, g+f)−fx(x, y)a(x, y, f +g)−fy(x, y)b(x, y, f+g).
Ce razumemo to kot diferencialno enaˇˇ cbo za g z zaˇcetnim pogojem g(0) = 0 in opazimo, da g(t) = 0 reˇsi enaˇcbo, zaradi enoliˇcnosti velja g(t) = 0 za vsakt. Vsaka reˇsitev diferencialne enaˇcbe torej vsebuje vse
karakteristike.
Primer 3.5. Poiˇsˇcimo reˇsitev enaˇcbe
−yux+xuy =u
ob upoˇstevanju zaˇcetnega pogoja u(0, y) =y. Karakteristiˇcne enaˇcbe diferencialne enaˇcbe so
xt(t, s) =−y, yt(t, s) =x, ut(t, s) =u, pri ˇcemer upoˇstevamo zaˇcetni pogoj
x(0, s) = 0, y(0, s) = s, u(0, s) =s.
Preverimo, za katere s je zaˇcetni pogoj dopusten:
det
"
a(γ(s)) b(γ(s)) (x0)s (y0)s
#
= det
"
−s 0
0 1
#
=−s.
Zaˇcetni pogoj je dopusten, razen pri s = 0. Poglejmo si ˇse reˇsitev.
Zadnja enaˇcba ima sploˇsno reˇsitev. Poiˇsˇcimo najprej sploˇsno u(t, s) = C(s)et. Poiˇsˇcimo ˇse sploˇsno reˇsitev sistema
˙
x=−y,
˙ y =x.
Matrika sistema je
"
0 −1
1 0
#
z lastnima vrednostmaλ1,2 =±iin pripadajoˇcima lastnima vektorjema v1,2 = (1,∓i)T. Sploˇsna reˇsitev je
"
x y
#
=A
"
cost sint
# +B
"
sint
−cost
# .
Sploˇsna reˇsitev karakteristiˇcnih enaˇcb je tako x(t, s) =A(s) cost+B(s) sint, y(t, s) =A(s) sint−B(s) cost, u(t, s) =C(s)et.
Ce upoˇstevamo ˇse zaˇˇ cetne pogoje, dobimo reˇsitev x(t, s) = −ssint, y(t, s) = scost, u(t, s) = set.
Tako smo dobili parametriˇcno obliko ploskve, ki predstavlja reˇsitev diferencialne enaˇcbe. Da dobimo eksplicitno podano reˇsitev, moramo u izraziti z x in y. Iz prvih dveh enaˇcb lahko izrazimo t ins:
t= arctan x
y, s=±p
x2+y2,
pri ˇcemer moramo za arctan vzeti ustrezno vejo funkcije glede na poloˇzaj toˇcke (x, y). Tako dobimo reˇsitev
u(x, y) = ±p
x2+y2e−arctanxy.
Primer 3.6. Poglejmo si parcialno diferencialno enaˇcbo oblike a(x, y, u)ux+b(x, y, u)uy = 0
z zaˇcetnim pogojemu(x,0) =g(x). Karakteristiˇcne enaˇcbe so xt(t, s) = a(x, y, u),
yt(t, s) = b(x, y, u), ut(t, s) = 0,
pri ˇcemer upoˇstevamo zaˇcetni pogoj
x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = g(s).
Matrika
"
a b 1 0
#
je nesingularna natanko tedaj, ko jebneniˇceln vzdolˇz zaˇcetnega pogoja.
Iz tretje enaˇcbe dobimo, da je vzdolˇz karakteristikukontanten, in sicer enak g(s). ˇCe to upoˇstevamo, lahko iz prvih dveh enaˇcb eliminiramo spremenljivko u in dobimo sistem
xt(t, s) =a(x, y, g(s)), yt(t, s) =b(x, y, g(s)).
Bolj konkretno si poglejmo primer, ko staainble funkciji spremenljivke u. Torej takrat, ko imamo enaˇcbo
a(u)ux+b(u)uy = 0.
V tem primeru dobimo
xt(t, s) = a(g(s)), yt(t, s) = b(g(s)),
kar nam ob upoˇstevanju zaˇcetnega pogoja da reˇsitev x(t, s) =a(g(s))t+s,
y(t, s) =b(g(s))t, u(y, s) =g(s).
Da dobimo eksplicitno reˇsitev, moramo s pomoˇcjo enaˇcbe x= a(g(s))
b(g(s))y+s izraziti u=g(s) z x iny.
POGLAVJE 4
Modeliranje pretoka prometa
Glavni viri tega poglavja so [2, 4, 7, 9].
V tem poglavju bomo izpeljali prometno enaˇcbo in predstavili nekaj modelov pretoka prometa. Najprej bomo opredelili in definirali pojme, ki jih bomo v nadaljevanju potrebovali. Naj poudarim, da se v analizi ne bomo osredotoˇcali na voˇznjo posameznega voznika, ampak nas bo predvsem zanimalo premikanje prometa kot celota.
Predstavljajmo si promet kot nekakˇsno ˇcrto, ki je ponekod sklenjena ali pretrgana. Kjer je promet poˇcasen, je ˇcrta videti zvezna, pri hitrem prometu pa je ˇcrta pretrgana. Sklepamo lahko, da je razlog razliˇcnega gibanja avtomobilov razmik med vozili. Modeli pretoka prometa po- skuˇsajo izkoristiti ta opaˇzanja in jih uporabiti za oblikovanje pred- postavk, s katerimi se izdelajo modeli za razumevanje vsakodnevne voˇznje.
4.1. Opredelitev pojmov
Obravnavali bomo le najbolj preprost primer pretoka prometa, in sicer bomo predpostavili, da imamo avtocesto z enim samim voznim pasom, kjer se avtomobili premikajo v isto smer. Ker se avtomobili ne morejo med seboj prehitevati, se vrstni red avtomobilov ohranja, seveda pa se avtomobili lahko premikajo z razliˇcno hitrostjo. Predpostavili bomo tudi, da promet opazujemo zgolj na delu ceste, iz katerega vozila ne izstopajo in nanj ne vstopajo nova vozila. Definirajmohitrost avtomo- bila isui. ˇCex-os sovpada s cesto in lego avtomobila definirajmoxi(t) v ˇcasu t.
Promet si bomo predstavljali tako, da v vsaki vrednostixin ob vsakem ˇ
casu vemo, s kakˇsno hitrostjo se ob tem ˇcasu in na tem mestu vozilo pre- mika. Zato bomo definirali hitrostno polje s funkcijo u(x, t). Vrednost u(x, t) nam ob doloˇcenem ˇcasut in doloˇceni poziciji xpoda hitrost vo- zila na doloˇcenem odseku. ˇCe poznamo hitrostno polje, lahko seveda gibanje avtomobila dobimo s pomoˇcjo integracije hitrostnega polja, saj za vsako vozilo velja dxdti(t) = u(xi(t), t). Hitrostno polje pa lahko iz opazovanj doloˇcimo tako, da v nekem kratkem ˇcasovnem intervalu opa- zujemo premikanje vozil na doloˇcenem segmentu avtoceste.
Gostoto prometa definiramo kot povpreˇcno ˇstevilo vozil na enoto dolˇzine ceste v doloˇcenemu poloˇzaju in ˇcasu. Glede na definiranje gostote mo- ramo seveda vzeti smiselno enoto dolˇzine ceste, da bomo zajeli zado- stno ˇstevilo avtomobilov za razumno statistiˇcno povpreˇcje. Gostoto prometa bomo oznaˇcevali s ρ(x, t).
SLbomo oznaˇcili povpreˇcno dolˇzino vozila in zdpovpreˇcni razmik med dvema voziloma. Vsako vozilo tako zavzemaL+denot ceste, pribliˇzno
1
L+dvozil pa je prisotnih na enoti dolˇzine ceste. V tem primeru je stalna gostota prometaρ= L+d1 .Obiˇcajno je razdalja med vozilomadodvisna vsaj od hitrosti vozil na nekem odseku, saj naj bi omogoˇcila, da lahko voznik dovolj varno zmanjˇsa hitrost svojega vozila v primeru zaviranja vozila pred njim.
Zadnji pojem, katerega bomo ˇse uporabljali, je prometni pretok. Pro- metni pretok nam poda ˇstevilo avtomobilov, ki so prevozili doloˇceno toˇcko na cesti v nekem ˇcasu. Prometni pretok bomo oznaˇcili s ˇcrko q.
Seveda velja
q(x, t) = ρ(x, t)u(x, t). (11)
Za boljˇse razumevanje pojmov si poglejmo primer.
Primer 4.1. Na enopasovni cesti je v odseku 1km100 avtomobilov in vsak ima hitrost 60km/h. V eni uri gre tako mimo opazovalca ob cesti odsek 60-ih km avtomobilov ali 60·100 = 6000 avtomobilov na uro.
To nam predstavlja pretok, kjer je hitrost u = 60 km/h ter gostota ρ = 100 vozil na km.
4.2. Ohranitveni zakon za enosmerni promet
V tem razdelku si bomo pogledali ohranitveno prometno enaˇcbo za enosmerni promet. Ta enaˇcba je posledica preproste predpostavke, da vozila na cestiˇsˇce ne vstopajo in iz cestiˇsˇca tudi ne izstopajo. Izberimo si neko razdaljo na naˇsi enopasovni cesti med toˇckamax=Ainy=B, kjer velja B > A. Oznaˇcimo ta del ceste z AB. Vemo, da je ˇstevilo vozil med toˇckama A ter B v nekem ˇcasu t odvisno od ˇcasa t. Ceˇ se v del ceste AB pripelje veˇc vozil, kot iz tega dela odpelje, potem ˇstevilo vozil v intervalu naraˇsˇca in obratno. Zapiˇsimo to matematiˇcno s pomoˇcjo prometnega pretoka.
Sprememba ˇstevila vozil v intervalu mora biti enaka razliki pretoka vozil na ta del ceste. ˇCe je NAB(t) ˇstevilo vozil, potem velja
dNAB
dt =−q(B, t) +q(A, t), (12) kjer q(B, t) predstavlja izliv in q(A, t) pritok avtomobilov v interval AB.
Po drugi strani vemo, da lahko NAB dobimo preko integracije go- stote
NAB(t) = Z B
A
ρ(x, t)dx. (13)
Enaˇcbo 12 lahko preuredimo in dobimo
d dt
Z B A
ρ(x, t)dx=−q(B, t) +q(A, t). (14) Ce veljaˇ q(B, t)> q(A, t), izteˇce veˇc vozil, kot jih pride, zato se boNAB zmanjˇseval. Osnovni izrek integralskega raˇcuna nam da
d dt
Z B A
ρ(x, t)dx= Z B
A
∂q
∂xdx, (15)
za poljubni konstanti A, B, saj je
Z B A
∂q(x, t)
∂x dx=q(B, t)−q(A, t). (16)
S pomoˇcjo 14, 15 ter 16 lahko napiˇsemo
Z B A
∂ρ(x, t)
∂t +∂q(x, t)
∂x
dx= 0. (17)
Ta relacija velja za poljuben interval AB. Po izreku o povpreˇcni vre- dnosti vemo naslednje: ˇce jef(x) zvezna na zaprtem intervalu [α, β] in velja
Z B A
f dx= 0 (18)
za vsak intervalAB ∈(α, β), jef identiˇcno enaka 0 na celem intervalu [α, β].Tako dobimo diferencialno obliko ohranitvenega zakona 14
∂ρ(x, t)
∂t + ∂q(x, t)
∂x = 0. (19)
Enaˇcbo 19 lahko s pomoˇcjo 11 zapiˇsemo kot
∂ρ
∂t + ∂(ρu)
∂x = 0. (20)
4.3. Prometna enaˇcba
Enaˇcba 20 ima dve neznani koliˇcini, gostoto ρ in hitrost u. Za reˇsitev take enaˇcbe bomo potrebovali ˇse kak pogoj. Pogosta predpostavka pri modeliranju prometa je, da je hitrost dejansko le funkcija gostote.
Zapiˇsemo torej u= u(ρ). Tako naˇsa ohranitvena enaˇcba postane par- cialna diferencialna enaˇcba za funkcijo ρ:
∂ρ
∂t +∂(ρu(ρ))
∂x = 0. (21)
To je parcialna diferencialna enaˇcba prvega reda. Oznaˇcimo F(ρ) = ρu(ρ) in ponovno zapiˇsimo prometno enaˇcbo:
∂ρ
∂t +F0(ρ)∂ρ
∂x = 0. (22)
Poglejmo si dva standardna naˇcina, kako hitrost prometa zapiˇsemo kot funkcijo gostote.
Na cesti imamo vozilo, za katerega menimo, da ima neko maksimalno hitrost voˇznje, ki jo prazno cestiˇsˇce dopuˇsˇca. Predpostavimo torej, da je pri ρ= 0 hitrost prometa umax oziroma u(0) =umax. Vemo, da hitrost prometa pada, ˇce se gostota zviˇsuje, torej lahko reˇcemo dudρ <0, ρ >0.
Prav tako zagotovo obstaja gostota prometa, kjer je hitrost prometa enaka 0. Temu bomo rekliρmax.Ce jeˇ Lpovpreˇcna dolˇzina vozila, lahko reˇcemo ρmax = L1.Ce predpostavimo, da se hitrost linearno zmanjˇsujeˇ z gostoto prometa, dobimo relacijo
u(ρ) =
( umax(1−ρρ
max) ;ρ≤ρmax 0 ;ρ > ρmax
. (23)
Slika 1. Linearna povezava hitrosti in gostote prometa.
Pretok prometa je produkt gostote in hitrosti, zato je pri tem modelu pretok prometa kot funkcije ρ enak
q(ρ) =
( umax(ρ− ρρ2
max) ;ρ≤ρmax
0 ;ρ > ρmax . (24)
Slika 2. Pretok prometa pri linearni povezavi hitrosti in gostoti prometa.
Najveˇcji pretok prometa doseˇzemo pri poloviˇcni gostoti prometa.
Prometna diferencialna enaˇcba je v tem primeru enaka
∂ρ
∂t +umax
1− 2ρ ρmax
∂ρ
∂x = 0.
Nekoliko bolj zapleteno zvezo dobimo s sledeˇcim razmislekom. Oznaˇcimo s ˇcrko a pojemek vozila pri zaustavljanju, hkrati pa s d oznaˇcimo raz- daljo med avtomobili, na kateri je moˇzno varno upoˇcasniti v primeru, da se hitrost vozila pred njim v trenutku zmanjˇsa za polovico (tukaj predpostavimo, da je reakcijski ˇcas voznika tolikˇsen, da spremembo hi- trosti vozila pred njim zazna ˇsele, ko se je ta zmanjˇsala za polovico).
Cas, v katerem je moˇˇ zno upoˇcasniti iz hitrostiuna hitrost u2, jeT = 2au. Da se vozilo ne bo zaletelo v vozilo pred njim, mora zato veljati
Z T 0
(u−at)dt =d+uT /2, (25)
iz tod pa dobimo d =u2/(8a). Ce je povpreˇˇ cna dolˇzina avtomobila L in je 1/(d+L) gostota prometa s hitrostjo u, velja
ρ= 1
L+u2/(8a) (26)
oziroma
u=K r 1
Lρ −1, K =√
8aL. (27)
Ker gre limita spodnje enaˇcbe proti +∞, ko greρ→0, predpostavimo, da je pri dovolj majhni gostoti ρmin hitrost prometa maksimalna, torej u(ρ) = umax,ˇce je ρ≤ρmin. Tako lahko zapiˇsemo
u=
umax ; 0< ρ≤ρmin
√8aLq
1
Lρ −1 ;ρ > ρmin.
Slika 3. Povezava med hitrostjo in gostoto prometa, ki upoˇsteva varnostno razdaljo.
4.4. Reˇsitev prometne enaˇcbe z metodo karakteristik
S pomoˇcjo metode karakteristik bomo sedaj poiskali reˇsitev naˇse pro- metne enaˇcbe in reˇsili nekaj primerov. Prometna enaˇcba
ρt+F0(ρ)ρx = 0 (28)
je kvazilinearna parcialna diferencialna enaˇcba prvega reda. Ker je spremenljivka t ˇze vsebovana v enaˇcbi kot neodvisna spremenljivka, bomo v nadaljevanju namesto spremenljivke t pri zapisu karakteri- stiˇcnih enaˇcb uporabili spremenljivko τ. Prav tako bomo namesto F0
pisali f. Zapiˇsimo karakteristiˇcne enaˇcbe tτ = 1 xτ =f(ρ) ρτ = 0.
Zaˇcetni pogoj je oblike ρ(x,0) = g(x) oziroma v parametriˇcni obliki ((x0(s), t0(s), ρ0(s)) = (s,0, g(s)).
Reˇsitev karakteristiˇcnih enaˇcb skupaj z zaˇcetnim pogojem je t(τ, s) =τ,
x(τ, s) =f(g(s))·τ +s, ρ(τ, s) =g(s).
Da dobimo reˇsitev v eksplicitni obliki, moramo iz enaˇcbe x=f(g(s))·t+s
izraziti s s pomoˇcjo x in t ter zapisati ρ = g(s) v obliki ρ(x, t) = g(s(x, t)). Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 4.2. Poglejmo si konkreten primer, kjer bomo uporabili pove- zavo
u(ρ) =umax
1− ρ ρmax
in naj bo F = ρu(ρ). Po izpeljavi vidimo, da je F0 = umax(1− ρ2ρ
max).
Zaradi enostavnosti vzemimo umax = 1 in ρmax = 1. Potem je f = F0(ρ) = 1−2ρ.
Dodajmo ˇse zaˇcetni pogoj. Predstavljajmo si, da imamo na mestu x = 0 zaporo na cesti. Do zapore avtomobili stojijo in je zato gostota enakaρ= 1.Med oviro in toˇckos = 1 se gostota avtomobilov spreminja s funkcijo 1−s. Definirajmo:
ρ(s) =
1 ;s≤0 1−s ; 0≤s≤1
0 ;s≥1
Slika 4. Graf gostote prometa v ˇcasu t= 0 z ρmax = 1.
Z uporabo zaˇcetnih pogojev lahko funkcijo x(s, t) zapiˇsemo kot
x(s, t) =
−t+s ;s≤0
−t+ 2st+s ; 0≤s ≤1 t+s ;s≥1.
Zelimo si, da spremenljivkoˇ sizrazimo z xtert. Preoblikujmo funkcijo v obliko s(x, t)
s(x, t) =
x+t ;x+t ≤0
x+t
2t+1 ; 0≤ 2t+1x+t ≤1 x−t ;x−t≥1.
Prav tako poiˇsˇcimo reˇsitev za funkcijoρ(s, t) = ρ(x, t).Zapiˇsemo jo kot
ρ(x, t) =
1 ;x+t ≤0
t−x+1
2t+1 ; 0≤ 2t+1x+t ≤1 0 ;x−t≥1.
Sedaj smo dobili sploˇsno reˇsitev naˇsega primera, kjer lahko pogledamo gostoto prometa v vsakem ˇcasu.
Preverimo lahko, ali je reˇsitev ustrezna. ˇCe vstavimo t = 0, bi mo- rali dobiti prav zaˇcetno predpostavljeno funkcijo.
ρ(x,0) =
1 ;x≤0 1−x ; 0≤x≤1
0 ;x≥1 Poglejmo si ˇse primer, ko je t= 1.
ρ(x,1) =
1 ;x≤ −1
2−x
3 ;−1≤x≤2 0 ;x≥2
Slika 5. Graf gostote prometa v ˇcasu t= 1 z ρmax = 1.
Reˇsitev nam pove, da se poˇcasi pred oviro gostota prometa redˇci, ven- dar do x = −1 avtomobili ˇse vedno stojijo, saj je ρ = 1. Od ovire do mestax= 2 se gostota prometa niˇza s funkcijo 2−x3 , nato pa avtomobili potujejo s hitrostjo umax.
Primer 4.3. Poglejmo si ˇse primer, kjer definiramo umax = 1 ter ρmax= 2.Pred oviro avtomobili potujejo s poloviˇcno hitrostjo. Zapiˇsemo lahkof =F0(ρ) = 1−ρ. Zaˇcetni pogoj in druge predpostavke ostanejo enake kot pri prejˇsnjemu primeru.
Z uporabo zaˇcetnih pogojev lahko novo funkcijo x(s, t) zapiˇsemo kot
x(s, t) =
s ;s≤0 st+s ; 0≤s≤1
t+s ;s≥1.
Preoblikujmo funkcijo v obliko s(x, t)
s(x, t) =
x ;x≤0
x
t+1 ; 0≤ t+1x ≤1 x−t ;x−t≥1
Prav tako poiˇsˇcimo reˇsitev za funkcijoρ(s, t) = ρ(x, t).Zapiˇsemo jo kot
ρ(x, t) =
1 ;x+t ≤0
t−x+1
t+1 ; 0≤ x+tt+1 ≤1 0 ;x−t≥1.
Poglejmo, kako se gostota prometa spreminja v ˇcasu t = 0.
ρ(x,0) =
1 ;x≤0 1−x ; 0≤x≤1
0 ;x≥1.
Poglejmo si ˇse primer, ko je t= 1.
ρ(x,1) =
1 ;x≤0
2−x
2 ; 0≤x≤2 0 ;x≥2
Slika 6. Graf gostote prometa v ˇcasu t= 1 z ρmax = 2.
Primer 4.4. V zadnjem primeru si bomo pogledali model prometa, kjer vozila stojijo pred semaforjem, na katerem gori rdeˇca luˇc. Avto- mobili pred semaforjem stojijo in lahko reˇcemo, da je tam maksimalna gostota prometa, torej ρ(x,0) = 1,x≤0. Predpostavimo, da za sema- forjem ni vozil, torej je tam gostota prometa 0, oziroma ρ(x,0) = 0, ˇce je x >0. Zaˇcetni pogoj je torej
g(s) =
( 1 ;s≤0 0 ;s≥0.
Slika 7. Gostota prometa pri primeru semaforja.
Ce uporabimo metodo karakteristik, dobimoˇ
x(s, t) =
( −t+s ;s ≤0 t+s ;s >0.
Preoblikujmo funkcijo v obliko s(x, t):
s(x, t) =
( x+t ;x+t≤0 x−t ;x−t >0.
Poiˇsˇcimo reˇsitev za funkcijoρ(x, t). Zapiˇsemo jo kot ρ(x, t) =
( 1 ;x+t≤0 0 ;x−t >0.
Vpraˇsajmo se, ali je rezultat smiseln. Za katere x in t znamo rezultat interpretirati? Poglejmo si na grafu.
Slika 8. Graft(x)
V grafu je jasno videti, da znamo konkretno nekaj povedati samo, ko je gostota prometa enaka 1 ali 0. Ko je gostota enaka 1, smo v obmoˇcju, obarvanem z modro barvo, ob gostoti 0 pa se nahajamo v rdeˇcem obmoˇcju.
Ali lahko iz omenjene enaˇcbe izraˇcunamo gostoto za primer, ko jet = 1?
Naˇso funkcijo lahko tedaj zapiˇsemo kot
ρ(x,1) =
( 1 ;x≤ −1 0 ;x >1.
Iz enaˇcbe vidimo, da za interval −1 < x < 1 ne moremo o gostoti povedati niˇcesar. Tukaj je teˇzava nastala, ker je zaˇcetni pogoj nezve- zen v toˇcki 0. Zaradi pravkar omenjene teˇzave se bomo primera lotili nekoliko drugaˇce.
Na x osi si predstavljajmo semafor na mestu x = 0. Vemo, da avto- mobili 1 ˇcasovno enoto pred semaforjem ˇse vedno stojijo, avtomobilov 1 ˇcasovno enoto za semaforjem pa trenutno ˇse ni, saj do tam ˇse niso mogli priti. Kaj se torej dogaja med ˇcasovnima enotama −1 ter 1?
Slika 9. Prikaz voˇznje avtomobilov na xosi.
Namesto nezveznega zaˇcetnega pogoja bomo raje vzeli zvezen zaˇcetni pogoj. Za poljuben vzemimo g(s) takˇsno funkcijo, ki se med 0 in linearno zvezno spremeni od vrednosti 1 do vrednosti 0. Na grafu to izgleda takole
Slika 10. Obmoˇcje v funkcijig(s).
oziroma s formulo
g(s) =
1 ;s ≤0 1− s ; 0≤s≤
0 ;s >0.
Z uporabo zaˇcetnih pogojev zapiˇsimo novo funkcijox(s, t) kot
x(s, t) =
−t+s ;s <0
−t+s+ 2ts ; 0≤s≤ t+s ;s >0.
Preoblikujmo funkcijo v obliko s(x, t)
s(x, t) =
x+t ;x+t <0
(t+x)
+2t ;−t≤x≤t x−t ;x−t >0 in prav tako poiˇsˇcimo reˇsitev za funkcijo ρ(x, t) :
ρ(x, t) =
1 ;x+t <0
t−x+
+2t ;−t≤x≤t+ 0 ;x−t >0
Preverimo, ali je dodani pogoj smiseln. ˇCe gre→0, je funkcija oblike
ρ(x, t) =
1 ;x+t <0
t−x
2t ;−t≤x≤t 0 ;x−t >0.
Za primer t= 0 bi lahko rekli, da funkcija ni definirana, vendar bomo pokazali, da je tudi v tej toˇcki limitna definicija smiselna. Ker velja
−t ≤x≤t, je x=λt, pri ˇcemer je −1≤λ≤1. ˇCe v naˇs pogoj sedaj namesto x piˇsemoλt dobimo
t−λt
2t = 1−λ 2
Dobili smo tako funkcijo, preko katere lahko v vsaki toˇcki toˇcno doloˇceno povemo, kako se gostota prometa spreminja. ˇCe zopet pogledamo sta- nje prometa pri t= 1, dobimo
ρ(x,1) =
1 ;x <−1
1−x
2 ;−1≤x≤1 0 ;x >1.
POGLAVJE 5
Sklep
V prvem delu magistrske naloge smo predstavili sploˇsno teorijo siste- mov diferencialnih enaˇcb prvega reda, ki smo jo potem uporabili pri reˇsevanju kvazilinearnih parcialnih diferencialnih enaˇcb prvega reda s pomoˇcjo metode karakteristik. Videli smo, da ob primernih predpo- stavkah na zaˇcetni pogoj in na gladkost funkcij unija reˇsitev karak- teristiˇcnega sistema predstavlja ploskev, ki je kar reˇsitev diferencialne enaˇcbe.
Glavni vsebinski del magistrskega dela je bil modeliranje pretoka pro- meta. Preko ohranitvenega zakona za enosmerni promet smo izpe- ljali prometno enaˇcbo in jo v nadaljevanju reˇsili z metodo karakteri- stik.
V sklepnem delu magistrske naloge smo reˇsili nekaj primerov podanih situacij v prometu.
Modeliranje prometa temelji na kvazilinearni parcialni diferencialni enaˇcbi prvega reda, zato je dostopno ˇze z osnovnim znanjem sistemov diferencialnih enaˇcb. Seveda smo mi obravnavali le najbolj preprost model. Bolj zapleteni modeli bi vkljuˇcevali tudi moˇznost prehiteva- nja in prehajanja vozil med pasovi, kar pa potem posega ˇze v teorijo sistemov parcialnih diferencialnih enaˇcb.
Literatura
[1] Boyce, W. E., DiPrima, R. C., Elementary Differential Equations. John Wiley and Sons, 2012.
[2] Childress, S., Notes on traffic flow.https://www.math.nyu.edu/faculty/
childres/traffic3.pdf, Pridobljeno 22.6.2020.
[3] ˇCermelj, P.,Sistemi linearnih diferencialnih enaˇcb. Diplomsko delo. Ljubljana:
Univerza v Ljubljani, Pedagoˇska fakulteta, 2000.
[4] Doboszczak S., Forstall V., Mathematical modeling by differential equati- ons, Case study: Traffic flow. 2013. http://www.norbertwiener.umd.edu/
Education/m3cdocs/Presentation2.pdf. Pridobljeno 15.9.2019.
[5] Doboviˇsek M., Nekaj o diferencialnih enaˇcbah. Ljubljana: DMFA zaloˇzniˇstvo, 2011.
[6] Hartman, P.,Ordinary Differential Equations,2nd edition, SIAM’s Classics in Applied Mathematics, John Wiley and Sons, New York, 2002.
[7] Jerman, K., Analiza prometnih zastojev. Diplomsko delo. 2017.
https://repozitorij.uni-lj.si/Dokument.php?id=110408&lang=slv. Prido- bljeno 15.4.2020.
[8] Magajna, B., Uvod v diferencialne enaˇcbe, kompleksno in Fourierovo analizo, DMFA Zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2018
[9] Perlman, C.,Mathematical Modelling of Traffic Flow at Bottlenecks.Lund Insti- tute of Technology, 2008.
[10] Pinchover, Y., Rubinstein, J, Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2005.
